导数练习题及答案
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章末检测
一、选择题
1. 已知曲线y = x2 + 2x — 2在点M处的切线与x轴平行，则点 M的坐标是( )
A . (— 1,3) B. (— 1，— 3)
C. (— 2, — 3) D. (— 2,3)
答案 B
解析 T f' (x) = 2x+ 2 = 0,二 x=— 1.
2
f( — 1) = ( — 1)2+ 2 X (— 1) — 2=— 3.A M(— 1 , — 3).
2. 函数y= x4— 2x2 + 5的单调减区间为( )
A .(―汽―1)及(0,1)
B. (— 1,0)及(1 ,+^ )
C. (— 1,1)
D . ( — 8, — 1)及(1 , )
答案 A
解析 y' = 4x3— 4x= 4x(x2 — 1)，令 y' <0 得 x 的范围为(―^ ,— 1) U (0,1)，故选 A.
3 .函数f(x)= x3+ ax2+ 3x— 9，在x=— 3时取得极值，则 a等于( )
A . 2 B. 3
C. 4 D. 5
答案 D
解析 f' (x) = 3x2 + 2ax+ 3.由f(x)在x=— 3时取得极值，
即 f' (— 3) = 0，即 27 — 6a + 3= 0, /• a= 5.
1
4. 函数y= In ■-的大致图象为( )
|x+ 1|
答案 D
解析 函数的图象关于 x=— 1对称，排除A、C,当x>— 1时，y=— ln(x+ 1)为减函数，故选 D.
5. 二次函数y= f(x)的图象过原点，且它的导函数y= f' (x)的图象过第一、 二、三象限的一条直线， 则函数y= f(x)的图象的顶点所在象限是( )
A .第一 B .第二
C.第三 D .第四 答案 C
解析•/ y= f，(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数 y= f(x)的图象必然先下降再上升且对称
轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限.
6. 已知函数f(x) = -x3+ ax2— x- 1在(—a,+s )上是单调函数，则实数 a的取值范围是( )
A .(―汽一.3) B. [ - .3, ,3]
C. ( .3,+^ ) D. (- 3, 3)
答案 B
解析 f (x) = — 3x + 2ax— 1 w 0 在(—00 ,+ m)恒成立，△= 4a — 12 w 0? —:: 3w a w ：J3.
7. 设 f(x)= xln x，若 f' (xo)= 2，贝U xo 等于( )
A . e2 B .In 2
In 2
C~^ D. e
答案 D
解析 f' (x) = x (ln x)' + (x)' ln x = 1 + ln x.
--f (x。)= 1 + ln xo = 2,
•'•In x0= 1,
…x° = e.
1
& 设函数 f(x) = 3x— In x(x>0)，贝y y= f(x)( )
1
A .在区间(e，1)(1 , e)内均有零点
1
B. 在区间(-,1), (1 , e)内均无零点
1
C. 在区间(-,1)内无零点，在区间(1, e)内有零点
e
1
D. 在区间(：，1)内有零点，在区间(1, e)内无零点
答案 C x— 3
解析 由题意得 f' (x)=厂，令 f' (x) >0 得 x> 3;令 f' (x)v 0 得 0v XV 3; f' (x) = 0 得 x= 3,
3x
故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3, + o)为增函数，在点x= 3处有极小值1 — In 3 V 0；
1 e 1 1
又 f(1) = §> 0, f(e)= 3— 1V 0, f(e)= 3e+ 1 > 0.
ain A 备，2ecu A R 仃
9.设函数f(x) = 「x3+ 厂x2 + tan 0,其中 两[0,匚]，则导数f' (1)的取值范围是( ) sin( + A • [ - 2,2] B . [ ,2, .3]
C. [ 3, 2] D. [ 2, 2]
答案 D
解析 T f' (x) = x2sin 0+ x • 3cos 0,
••• f' (1) = sin 0+ 3cos 0= 2(*sin B+^cos 0
n
=2sin( 0+ 3).
n n 3 n
• n0+n 34-，
n — n
3) w 1. • . 2< 2sin( 0+ 3)w 2.
10 .方程2x3- 6X2+ 7= 0在(0,2)内根的个数有(
A . 0 B . 1
C . 2 D . 3
答案 B
解析令 f(x)= 2x3- 6x2 + 7,
• f' (x) = 6x2- 12x = 6x(x- 2), 由 f' (x) > 0 得 x>2 或 xv 0;由 f' (x) v 0 得 0v xv2 ;又 f(0) = 7> 0, f(2) = - 1 v 0，•方程在(0,2)内只有一实根.
二、填空题
11.若曲线y = kx+ In x在点(1 , k)处的切线平行于 x轴，贝U k= _________________ .
答案 —1
解析 求导得y' = k+1，依题意k+1 = 0,
x
所以k=- 1.
12 .已知函数f(x) =- x3 + ax在区间(一1,1)上是增函数，则实数 a的取值范围是 _______________________ .
答案 a > 3
解析 由题意应有f' (x)=- 3求+ a>0,在区间(—1,1)上恒成立，则 a> 3x2, x€ (-1,1)恒成立，
故 a > 3.
13 .在平面直角坐标系 xOy中，点P在曲线C: y= x3- 10x+ 3上，且在第二象限内，已知曲线 C 2 在点P处的切线的斜率为 2,则点P的坐标为 _______________ .
答案 (2,15)
解析 y' = 3x2— 10 = 2? x =戈，又点P在第二象限内，••• x=- 2，得点P的坐标为(—2,15)
14.函数f(x)= x3+ ax2 + bx+ a2,在x= 1时有极值10,那么a, b的值分别为 __________________________ .
答案 4，— 11
2 解析 f' (x) = 3x + 2ax+ b, f' (1) = 2a+ b+ 3 = 0,
2
f(1) = a + a+ b+ 1= 10,
2a+ b=— 3 a=— 3 a = 4 , ，或 ，当a=— 3时，x= 1不是极值点，a, b的值分别为4, |a2+ a + b = 9 | b = 3 |b =— 11
—11.
三、解答题
15•设|
解令 f' (x)= 3/— 3ax= 0,
得 X1 = 0, X2 = a.
a3 3 f(0) = b, f(a) = — 2 + b, f( — 1) = — 1 —壬+ b,
3 f(1) = 1 — ?a+ b
2 3 因为3
故最大值为f(0) = b = 1,
3 3 所以f(x)的最小值为f(— 1) = — 1 —歹+ b=—尹，
所以—3a=— -2，所以 a=36.
故 a = ~6 b= 1. 3
3 1 1 16 •若函数f(x) = 4x3 — ax+ 3在［—y ［上是单调函数，则实数 a的取值范围为多少？
解f' (x) = Hx2— a,若f(x)在［—1，1上为单调增函数，则f' (x)> 0在［—2 2上恒成立，
2 1 1 即12x — a>0在［—2, 2】上恒成立，
2 1 1 2 • a< 12x 在［—2,刁上恒成立，••• a< (12x)min = 0.
当 a = 0 时，f (x) = 12x2> 0 恒成立(只有 x= 0 时 f (x) = 0).
••• a= 0符合题意.
1 1 若f(x)在［—2, 2】上为单调减函数，
1 i
则f (x)w o,在［—2, 2】上恒成立，
2 i i
即12x — aw 0在［—2, 2】上恒成立，
2 1 1
• a> 12x在［—2, 2】上恒成立，
• - a》(12x)max= 3.
当 a = 3 时，f' (x) = 12x2— 3= 3(4x2— 1)w0 恒成立(且只有 x= g时 f (x) = 0).
因此，a的取值范围为aw 0或a > 3.
17. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r米，高为h米,
体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100元/平方米，底面的建造
成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000n元(n为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域；
⑵讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
解(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100 • 2rto= 200nh(元)，底面的总成本为160n2元，
所以蓄水池的总成本为(200 nrh + 160 nr2)元.
又根据题意 200 nrh + 160 n2= 12 000 n,
2 n 3
从而 V(r)= n h= 5(300r — 4r ).
因为r>0，又由h>0可得r<5 3,
故函数V(r)的定义域为(0,5 . 3).
n 3
⑵因为 V(r)= 5(300r — 4r ),
n 2
故 V' (r) = 5(300 — 12r ).
