一次函数的应用（第1课时）
一、学生起点分析
本节课之前，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法.二、教学任务分析本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象、表格等信息，确定一次函数的表达式.与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法；并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件，这个问题虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念--基本量.值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于％、b的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题.因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练.
本节课的教学目标是：
①了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待
定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题.
②经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表
达式，进一步发展数形结合的思想方法；
③经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生
的思维.
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：初步探究;第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结;
第六环节：作业布置.
第一环节复习引入
内容：提问：(1)什么是一次函数？
(2) 一次函数的图象是什么？
(3) 一次函数具有什么性质？目的：学
生回顾一次函数相关知识，温故而知新.第二环节初步
探究
内容1：
展示实际情境
提供两个问题情境，供老师选用.
实际情境一：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度p(米/
秒)与其下滑时间看(秒)的关系如图所示.
(1)写出/与Z之间的关系式；
(2)下滑3秒时物体的速度是多少？
分析：要求/与Z之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函
数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数
(4)求甲、乙二人y与X的函数关系式.
目的：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件.情景一、二可根据学生情况进行选取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式.
教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法.
内容2：
想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？
目的：在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念一一基本量.由于一次函数有两个基本量&、b,所以需要两个条件来确定.
第三环节深入探究
内容1：
例1在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体的质量x（千克）的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长IGcm0写出y与X之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.
解：设y=履+b,根据题意，得
14.5=6,①
16=3%+。，②
将6=14.5代入②，得A=0.5.
所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5.
当x=4时，y=0.5×4+14.5=16.5（厘米）.
即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米.
目的：
引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型.这道例题关键在于求一次函数表达式,在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解.
教学注意事项：
学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂
3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到y与X间的关
系式.对此，教师应给予肯定，并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不
内容2：
想一想：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求一次函数表达式的步骤.
求函数表达式的步骤有：
1 .设一次函数表达式.
2 .根据已知条件列出有关方程.
3 .解方程.
4 .把求出的h8值代回到表达式中即可.
目的：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法.
第四环节反馈练习
内容：
1 .如图，直线/是一次函数y=&+b的图象,
求它的表达式.
2 .若一次函数y=2x+力的图象经过A(—1,1),b=,该函
数图象经过点B(1,—)和点C(—,0).
3 .如图，直线/是一次函数)，=履+b的图象，填空:
(1) b=,k=；
(2)当x=3O时，y=；
(3)当y=30时，X=.
4 .己知直线/与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0,2),求直线/的表达式∙
答案：
1. y=-3X
(2) ^=3,B(1,5)t C(--,0).
(3) 3∙(1)b=2,k=--；
(4) 一18;
(5) -42.
(6) y=-2x+2•
目的：
四个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程.
效果：
四个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求一次函数的方法.对于问题4,教师可引导学生分析，并教学生要学会画图，利用图象分析问题，体会数形结合方法的重要性.学生若出现解题格式不规范的情况，教师应纠正并给予示范，训练学生规范答题的习惯.
第五环节课时小结
内容：
总结本课知识与方法
1 .本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件（根据图象、表格或具体问题）求出3b的值，从而确定函数解析式。其步骤如下：（1）设函数表达式；（2）根据已知
条件列出有关h6的方程；（3）解方程，求h6；4.把k6代回表达式中，写出表达式.
2 .本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想.
目的：
引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化.
第六环节作业布置
习题4.5:1、2、3、4
目的：进一步巩固当天所学知识。教师也可根据学生情况适当增减，但难度不应过大.
四、教学设计反思
1 .设计理念
本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件，一次函数的确定需要两个条件，能由条件利用待定系数法求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题.本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础.
2 .突出重点、突破难点策略
探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣,又让学生深切体会到一次函数就在我们身边，应用非常广泛.教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求一次函数表达式的一般方法.教学中还注意到尊重学生的个体差异，使每个学生都学有所获.
3 .分层教学
根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择拓展资源中内容进行补充或拓展，也可留作课后作业.
一次函数的应用（第1课时） 一、学生起点分析 本节课之前，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法.二、教学任务分析本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象、表格等信息，确定一次函数的表达式.与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法；并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件，这个问题虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念--基本量.值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于％、b的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题.因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练. 本节课的教学目标是： ①了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待 定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题. ②经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表 达式，进一步发展数形结合的思想方法； ③经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生 的思维. 三、教学过程设计 本节课设计了六个教学环节： 本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：初步探究;第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结;
4.４一次函数的应用（第1课时） 教学目标是： ①了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等） 利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题． ②经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函 数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法； 教学过程 第一环节复习引入 内容：提问：（1）什么是一次函数？ （2）一次函数的图象是什么？ （3）一次函数具有什么性质？ 第二环节初步探究 实际情境一：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v(米/秒)与其下滑时间t(秒)的关系如图所示． (1)写出v与t之间的关系式； (2)下滑3秒时物体的速度是多少？
实际情境二：假定甲、乙二人在一项赛跑中路程y 与时间x 的关系如图所示． （1）这是一次多少米的赛跑？ （2）甲、乙二人谁先到达终点？ （3）甲、乙二人的速度分别是多少？ （4）求甲、乙二人y与x的函数关系式． 想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？ 第三环节深入探究 例1 在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm。写出y与x之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度．
想一想：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求一次函数表达式的步骤． 求函数表达式的步骤有： 1．设一次函数． 2．根据已知条件列出有关． 3．解． 4．把求出的值代回到表达式中即可． 第四环节反馈练习 内容： 1．如图，直线l是一次函数b =的图象，求它 y+ kx 的表达式． 2．若一次函数b =2的图象经过A（－1，1），则= x y+ b，该函数图象经过点B（1，）和点C（，0）． ３．如图，直线l是一次函数b y+ =的图 kx 象，填空： （1）= k； b，= （2）当30 y； = x时，=
第四章一次函数 ４. 一次函数的应用（第1课时） 各位老师，各位评委大家好！我是新九学校的数学教师陈莹，今天我说课的课题是《一次函数的应用》第一课时，下面是我对本节课的简单分析。 一、学情分析 在前面的学习过程中，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。在此基础上，引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法．且八年级学生在13—14岁之间，有一定生活经验和较强的好奇心、求知欲，已具备了思维的完整性、深刻性和实践性等思维品质，但尚待提高，学生的抽象概括能力有限．在学习过程中尽可能的为学生提供更广阔的独立自由思考的空间，也鼓励学生大胆探索，调动学生的学习积极性，使学生在活动中，学会解决问题的方法。 二、教材分析 1.本课内容在教材中地位、特点和作用 本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象、表格等信息，确定一次函数的表达式．在此之前，学生已经学习一次函数的相关知识，本节既是对前面所学知识的深化与拓展，又是联系生活实际，培养学生应用数学意识和创新能力的良好素材。为今后学习实际问题与反比例函数，实际问题与二次函数的转化奠定了基础。与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法；并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件，这个问题
虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念---基本量．值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于k、b的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题．因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练． 2.教学目标的确立及依据 教学目标是教学活动的起点和归宿，教学目标设计的科学性和合理性直接影响教学过程的实施和教学效果的评价.基于本班学生，知识、能力、情感态度以及对新的学习所具备的相关知识掌握程度，考虑到本班学生已有的认知结构、心理特征，及本节课在教材中的地位和作用，本着以教材为基础、以课标为准绳，我确立如下三维目标： 知识与技能：了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题． 过程与方法：经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法； 情感态度与价值观：经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维． 3.教学重难点 由于函数具有较高的抽象性和动态变化过程，其中蕴含众多的数学思想，八年级学生虽然具备了一定的抽象概括能力，但要求学生自主发现实际问题如何转化成函数问题是很困难的，所以我确定本节课重点和难点是：
《一次函数的应用》第一课时教学设计 一、教材分析： 一次函数的应用是在研究了正比例函数的图像和性质、一次函数的图像和性质以及用待定系数法求解一次函数的解析式的基础上进行的，它是对一次函数图像和性质的实际应用.这节内容的学习可以完善一次函数的知识结构，对于发展学生的数学应用意识起着十分重要的作用。 二、学情分析： 学生已经学习本章关于一次函数的相关知识，在数学问题的解决上已具备了一定的方法，同时学生们具有一定的探索精神的意识，敢于表达自己的观点和想法。通过本节课的学习预期达到应用一次函数的图象解决简单的实际问题的效果，以及发现一元一次方程与一次函数之间关系，强化“数形结合”思想的应用的效果。 三、教学目标： 知识与技能目标：了解一次函数在实际问题中的应用。初步学会从数 学的角度分析问题、理解问题，并能综合应用所 学过的知识和技能解决问题。 过程与方法目标：经历将实际问题转化为数学问题的过程。学会与人 合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
情感态度与价值观目标：初步认识数学与实际生活的密切联系，发展 应用意识。获得成功体验，增强对数学的 兴趣。 四、重点难点： 教学重点：应用一次函数的图象，解决实际问题。 教学难点：图象信息的挖掘，一次函数和一元一次方程的联系 五、教学策略： 根据本节课的特点、目标要求及学生的实际情况，主要采用探究式教学法，引导学生进行观察探索、合作交流、归纳总结,进而培养学生数学学习的良好习惯，培养学生们的创新精神，使他们体会到数学问题解决的严密性和规范性。 六、课时安排：1课时 七、教学过程： 教学程序教师活动学生活动设计意图 复习提问引入新知采用小组比赛的形式，哪 组展示机会多，给小组加 分，获胜小组发喜报。 课前热身： 学生跃跃欲试 观察图象 学生回答 激发学生的 学习兴趣和 欲望 给出问题， 引发学生思
第六章一次函数 ５．一次函数图象的应用（一） 成都七中育才学校杨璐伊、李冰 一、学生起点分析 学生已学习了一次函数及其图象，认识了一次函数的性质．在现实生活中也见识过大量的函数图象，所以具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础．但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，所以还需通过具体实例来培养他们这方面的能力． 二、教学任务分析 《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准北师大版实验教科书数学八年级（上）第六章《一次函数》的第五节．本节内容安排了2个课时完成，本节为第一课时．主要是利用一次函数图象解决有关现实问题，与原传统教材相比，新教材更注重借助材料让学生在具体操作中获取一次函数图象的有关信息，从而回答和解决现实生活中的具体问题，也就是说，新教材注重在图象信息的识别与分析中，提高学生的识图能力，进一步培养学生的数形结合能力和数学应用能力，发展形象思维． 三、教学目标分析 知识与技能目标： 1．能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 2．在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。 过程与方法目标： 1．通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维； 2．通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力； 3．引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式． 情感与态度目标： 1．在具体的案例中，培养学生良好的环保意识和对生活的热爱等． ●教学重点 一次函数图象的应用． ●教学难点 正确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题． 四、课前准备 有条件的学校可以准备多媒体课件，没有条件的可以准备投影片或者小黑板．
4.4一次函数的应用（第一课时） 教学目标： 知识与技能： 1.了解两个条件确定一个一次函数，一个条件确定一个正比例函数。 2.会利用一次函数表达式解决有关现实问题。 过程与方法： 从一次函数“数”的角度入手，转移到“形”。让学生感受确定一个函数需要两个条件，进而探索需要哪些条件。 情感态度与价值观： 培养学生数形结合的能力，体会数学在生活中发挥着巨大的作用。 教学重难点 重点：掌握确定一个一次函数解析式的方法。 难点：将数和形建立起联系。 教学过程 （一）课前研究： 学生自学教材89页,并完成书中问题完成课本P89“某物体沿一个斜坡下滑……”回答：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？ （二）课中展示： 小组合作交流，完成问题。 小组可以对问题的结果进行互相交流，共同得出结论。 （三）应用新知： 1 在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体质量x(千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。 小组讨论，根据上面得出的结论正确完成练习。
2 写出满足下表的一个一次函数的解析式 x −1 0 2 y 7.5 7 6 （四）小结梳理： 已知函数图象，怎样求函数的表达式？ （1） 根据图象判断是正比例函数还是一次函数； （2） 设出表达式； （3） 正比例函数找出除原点外的一个点的坐标；一次函数找出两个点的坐标。（因为一 次函数的图像是一条直线，两点确定一条直线，所以需要两个条件，而正比例函数的图像是经过原点的一条直线，所以只需要一点就可以确定这条直线。） （五）后测达标： 1.若一次函数y = x +n 的图象经过点A (−3，2)，则n = __________； 2.一条直线与x 轴的交点为(−3，0)，与y 轴的交点为(0，−7)，那么这条直线对应的函数表达式是__________，这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积S = ________ 3.已知三点(3，5)，(t ，9)，(−4，−9)在同一直线上，则t = ________ 4.已知y −2与x 成正比例，当x = 3时，y = 1，求y 与x 之间的函数关系式。 点评：用换元的思想，将y −2看成一个整体。 （六）拓展延伸： 1．如图，已知直线2+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ， 另一直线()0≠+=k b kx y 经过点C （1，0），且把△AOB 分成两部分， （1）若ΔAOB 被分成的两部分的面积相等，求k 和b 的值； （2）若ΔAOB 被分成的两部分的面积比为1∶5，求k 和b 的值。
第四章一次函数 4 一次函数的应用 第1课时 一、教学目标 1.了解两个条件可确定一次函数；一个条件确定正比例函数. 2.能根据所给信息(图象、表格、实际问题等)利用待定系数法确定一次函数的表达式. 3.从一次函数“数”的角度入手，转移到“形”，让学生进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力. 4.初步体会函数与方程的联系. 二、教学重难点 重点：了解两个条件可确定一次函数，一个条件确定正比例函数. 难点：利用待定系数法确定一次函数的表达式. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等 四、教学过程设计
【探究】 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t(s)的关系如右图所示： (1)请写出v与t的关系式； (2)下滑3 s时物体的速度是多少？ 教师活动：图象过原点，所以是正比例函数. 预设答案：解：(1)设v=kt， 将点(2，5)代入得5=2k，k=2.5，∴v=2.5t; (2)当t=3时，v=2.5×3=7.5 (m/s). ∴下滑3 s时物体的速度是7.5m/s. 【想一想】 问题一：确定正比例函数的表达式需要几个
条件？ 预设答案：y=kx，要求出k值，只需要一个点的坐标. 问题二：确定一次函数的表达式呢？ 预设答案：y=kx+b，要求出k、b值，需要两组对应变量值(两点的坐标). 【探究】 在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度. 预设答案： 解：设y=kx+b(k≠0),根据题意，得： 14.5=b① 16=3k+b② 将①代入②，得：k=0.5. 所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5 当x=4时，y＝0.5×4＋14.5=16.5(cm). 即物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm. 【问题】怎样求一次函数的表达式？ 教师活动：这种求函数表达式的方法叫做待定系数法.
第5章一次函数 5.5 一次函数的简单应用 第1课时一个一次函数（图象）的应用 1、理解和掌握一次函数的图像及其性质 2、学会运用函数这种数学模型来解决生活和生产中的实际问题，增强数学应用意识. 一次函数图像及其性质. 体会函数、方程、不等式在解决实际问题时的密切联系，并在一定条件下互相转化的各种情形，感受贴近生活的数学，培养解题能力. 1、判断题（1）正比例函数是一次函数（√ ） （2）一次函数是正比例函数（×） （3）一次函数图像是一条直线（√ ） 2、已知直线y= —1 2X，下列说法错误的是（ D ） A 比例系数为-1/2 B 图像不在一、三象限 C 图像必经过（-2 ，1）点 D y随x增大而增大 1、引出概念 确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法就是利用图象去获得经验公式，这种方法步骤是： （1）通过实验，测得获得数量足够多的两个变量的对应值。 （2）建立合适的直角坐标系，在坐标系内以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图像。
（3）观察图像特征，判定函数的类型。 例1、生物学家测得7条成熟雄性鲸的全长y 和吻尖到喷水孔的长度x 的数据如下表（单位：m ） 吻 尖到 喷水 孔的 长度 X （m ） 1.78 1.91 2.06 2.32 2.59 2.82 2.95 全 长y （m ） 10.00 10.25 10.72 11.52 12.50 13.16 13.90 问能否利用一次函数刻画这两个变量x 和y 的关系？如果能，请求出这个一次函数的解析式 解：在直角坐标系中画出以表中x 的值为横坐标，y 的值为竖坐标的7个点。 4 6 81012 14 16 18 Y (m ) 过7
一次函数的应用（第1课时） 学习目标 1.了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题． 2.经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法. 学习提纲 一、复习思考 在前面我们学习了一次函数的图像与性质，并且知道一次函数的图像是一条直线，那么确定一条直线我们需要几个点呢？由此要确定一次函数的表达式需要几个条件呢？ 二、初步探究 假定甲、乙二人在一项赛跑中路程y与时间x的关系如图所示． （1）这是一次多少米的赛跑？ （2）甲、乙二人谁先到达终点？ （3）甲、乙二人的速度分别是多少？ （4）求甲、乙二人y与x的函数关系式． 想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？
-2-13 2 4 2 1 1 x y 三、深入探究 1.在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm。写出y与x之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度． 总结出求一次函数表达式的步骤． 这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法． 2．一次函数y=kx+b的图象如图所示，看图填空： （1）当x=0时，y=________，当x=______时，y=0； （2）k=__________，b=____________； （3）当x=5时，y=__________，当y=30时，x=___________. 3. 如图，在直角坐标系中，一次函数y=-4x+8的图象分别与x、y轴交于点A、B，点P在x轴的负半轴上，∆ABP的面积为12，某一次函数的图象经过点P和点B，求这个一次函数的表达式 四、达标过关(教材P89-90)
一次函数（第一课时）教学设计及反思设计目标 本节课的教学目标为： 1. 让学生了解一次函数的定义和基本概念； 2. 掌握一 次函数的图像特征和性质； 3. 能够利用一次函数解决实际问题。 教学内容概述 本节课主要包括以下内容： 1. 一次函数的定义和表达式形式； 2. 一次函数的 图像和特征； 3. 一次函数的性质及应用。 教学步骤 步骤一：导入和概念解释（5分钟） •在课堂开始前，教师可以简单介绍一次函数的定义和基本概念，引起学生的兴趣和思考。 •教师可以提出以下问题进行讨论： –什么是一次函数？ –一次函数有哪些典型的表达式形式？ –一次函数的图像有什么特征？ 步骤二：一次函数的表达式形式（10分钟） •教师通过示例和图表等方式，向学生展示一次函数的不同表达式形式，如 y=ax+b，y=kx，y=k等。 •教师可以让学生讨论和比较不同表达式形式的特点和应用场景，加深对一次函数的理解。 步骤三：一次函数的图像特征（20分钟） •教师带领学生观察和探究一次函数的图像特征。 •教师可以通过绘制坐标轴和一次函数的图像，让学生观察和分析图像的斜率、截距和变化趋势等特征。
•教师可以提出问题，让学生思考并回答： –斜率为正的一次函数的图像有什么特征？ –斜率为负的一次函数的图像有什么特征？ –斜率为零的一次函数的图像有什么特征？ 步骤四：一次函数的性质及应用（20分钟） •教师向学生介绍一次函数的性质，如随着斜率的增大或减小，函数图像的变化规律，以及函数图像和实际问题的联系等。 •教师可以通过实际问题的例子，让学生应用一次函数解决问题，如利润与销量、距离与时间的关系等。 步骤五：小结和反思（5分钟） •教师对本节课的内容进行小结和回顾，重点总结一次函数的定义、表达式形式、图像特征和性质等。 •教师可以提出一些问题，让学生思考本节课所学内容的应用和拓展。 反思和改进 本节课教学设计中，可以进一步改进的地方有： 1. 增加学生参与度：在教学 过程中，可以增加学生的参与和互动，通过小组讨论或问题解答等形式，提高学生的学习兴趣和主动性。 2. 加强实际应用：在教学中，可以引入更多的实际问题， 让学生能够将一次函数的概念和性质应用到实际生活中，提高学生的问题解决能力。 3. 多样化的教学资源：可以利用多媒体和互联网等资源，向学生展示一次函数的图像和实际应用，激发学生的学习兴趣和想象力。 通过对本节课的反思和改进，可以提高教学效果，让学生更好地掌握和应用一次函数的知识。
一次函数的应用（一）教学设计 栖霞市桃村中学姜永娜 一、教学目标 知识与技能目标 1、能根据一次函数的图象，分析出有用的信息，提高识图能力。 2、能利用一次函数图象解决简单的实际问题。 过程与方法目标 1、在合作探究的过程中，初步体会函数与方程的关系，发展形象思维。 2、了解数形结合的基本思想，进一步培养学生的数学应用能力。 情感与态度目标 1．经历对实际问题的解决过程，在合作与交流活动中发展学生的合作意识和能力； 2．联系生活实际，培养学生良好的环保意识。 二、教材分析 本节课内容选自鲁教版七年级上册第六章《一次函数》第五节《一次函数图象的应用》的第一课时。其主要内容是：在学生已经掌握了一次函数的意义、图象、性质，以及确定一次函数表达式的基础上，应用一次函数的图象解决简单的实际问题，发现一元一次方程与一次函数之间的关系，从中体会“数形结合”思想。在整个函数知识体系中，对于图象的感受、解读、分析，特别是应用函数的图象解决问题是非常重要的内容。而一次函数图象的应用是学生接触的第一个相关内容，是后续学习其它函数图象应用的前提和保障；另外在本节课中将要探索的“一次函数与一元一次方程的关系”，将为学生今后探索“一次函数与二元一次方程组的关系”、“一次函数与一元一次不等式的关系”以及“二次函数与一元二次方程的关系”起到重要的引领作用，因此本节课内容的重要性不言而喻。 三、教学重、难点 重点：能从一次函数图象中获取有用的信息，提高识图能力。 难点：体会一次函数与一元一次方程的关系，了解数形结合的思想。 四、学情分析 学生已经学习过了《变量之间的关系》以及本章关于一次函数的相关知识，在数学问题的解决上已具备了一定的方法。但学生直接利用图象信息解决问题的意识比较薄弱，因此本节通过图象的形式呈现了日常生活中的几个问题情境，引导学生通过观察、分析获取有用的信息，并据此逐步回答有关问题。由于学生之间存在着一定的差异，因此对学生的要求不应
课题6.5一次函数图象的应用学案第 1 课时 学习目标1．能利用函数图象解决简单的实际问题； 2．初步体会方程与函数的关系，建立良好的知识联系。 重、难点学习重难点：能利用函数图象解决简单的实际问题 教师引导学习过程 一、复习引入： 1、一次函数的表达式是。 2、把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的 ，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的。 3、一次函数y=-2x+2的图象与x轴的交点坐标为；与y轴的交点坐标 为。 4、一次函数的图象是一条 . 5、对一次函数y=kx+b, 当k>0时, y随x的增大而 , 当 k<0时, y随x的增大而 二、新课学习： 1、问题一：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。干旱持续 时间t(天)与蓄水量V(万米3)的关系如图所示，回答下列问题： (1)干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？ (2)蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报。干旱多少天后将发出严重干旱警报？ (3)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？ 2、例1．某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y(升)与摩托 车行驶路程x(千米)之间的关系如图所示。
根据图象回答下列问题： (1)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ (2)摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？ (3)油箱中剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？ 3、巩固练习 练习1：弹簧的长度y (cm)与所挂物体的质量x (kg)的关系是 一次函数,图象如左图所示,观察图象回答： （1）弹簧不挂物体时的长度是多少？从图中还可知道什么？ （2）y 与x 之间的函数关系式为？ （3）弹簧的长度是24cm 时，所挂物体的质量是多少？ 练习2、（1） 当y=0时，X= _______ （2） 直线对应的函数表达式是 ________ (3)方程0.5x+1=0的解是_______ . 议一议：一元一次方程0.5x+1 = 0与一次函数y = 0.5x+1有什么联系？ 4、例2、函数y=4x+2图像如图右所示， 求方程4x+2=0的解。 巩固练习： 画出y =2x-5的图象，求方程2x-5=0的解 课后反思 x/kg 0 8 10 5 15 20 y/cm A y 2 x -0.5
教学设计
1 教学目标：能通过函数图象获取信息，利用函数图象解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力通过对一次函数图象的观察、分析、思考解决见大的实际问题，学会用函数的观点去认识问题的方法。能综合运用一次函数图象与一元一次方程的关系，建立良好的知识联系，解决相关的实际问题。经历从不同角度去观察、分析、思考、体验解决问题的多样性的过程，获得成功的体验，树立学习的信心。 2 教学方法：启发引导法，合作探究与自主学习相结合。 3 教学手段：根据目标要求，利用多媒体、、画图工具等辅助教学。
三、学以致用，例题探究总结：如何解答实际情景函数图象的 信息？ 三、学以致用，例题探究 例1：某种摩托车的油箱最多可储油 10升，加满油后，油箱中的剩余油 量（升）与摩托车行驶路程千米之 间的关系如图所示。 根据图象回答下列问题： （1）一箱汽油可供摩托车行驶多少 千米？ （2）摩托车每行驶100千米消耗多 少升汽油？ （3）油箱中的剩余油量小于1升时， 摩托车将自动报警，行驶多少千米 后，摩托车将自动报警？ 例题图 师生活动：学生交流归 纳，教师加以提示，帮 助总结。 （1）理解横纵坐标分 别表示的的实际意义。 （2）分析已知（看已 知的是自变量还是因 变量），通过做轴或轴 的垂线，在图象上找到 对应的点，由点的横坐 标或者纵坐标的值读 出要求的值。（3）利用 数形结合的思想，将 “数”转化为“形” 和由“形”定“数” 学生活动：学生自己读 图，识图，完成题中的 问题。 教师活动：教师巡视， 对学生解答问题中出 现的疑问给予帮助或 组织学生在班上交流， 在答题过程中，教师适 时的书写解答过程，教 师演示t课件并给出答 案。在此活动中，教师 应重点关注：（1）学生 是否能通过探究从 “数”和“形”两个角 度认识一次函数图象。 （2）学生能否意识到 用一次函数图象解决 问题的优点和缺点。 培养学生的语言表 达能力和总结归纳 的能力。 在情境探索和例题 探究中，为了更好 的完成本节课的教 学目标，耐心的引 导学生如何识图， 尽量从图象上获取 信息，找准图象上 点的横坐标和纵坐 标分别表示的意 义，这样，既避免 了学生习惯的“代 数化”方法，有使 学生在识图方面有V/万米3
21.4 一次函数的应用 第1课时 单个一次函数的应用 学习过程 第一环节 复习 怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？ 在一次函数y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而增大， 当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0
第十二讲一次函数的应用 [教学内容]： 八年级第十二讲“一次函数的应用” .（第一课时） [教学目标]: 知识技能： 1、使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题； 2、学生能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图象； 3、能够利用一次函数解决实际生活中的方案选择问题. 数学思考： 通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生数学抽象思维能力得到发展，体验到数学与实际生活的联系. 问题解决： 通过利用一次函数解决实际问题，使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，进一步发展学生解决问题的能力. 情感态度： 学生在小组合作学习中体验学习的快乐，合作交流的好氛围，让学生更有机会体验自己与他人的想法，从而掌握知识，发展技能，获得愉快的心里体验，通过小组合作学习，培养学生的合作精神. [教学重点和难点]: 重点：利用一次函数解决实际生活中的方案选择问题 难点：利用一次函数解决实际生活中的方案选择问题 [教学准备]: 动画多媒体语音课件
第一课时 教学过程： 教学路径 方案说明 一 、课前谈话： 欢迎大家走进佳—数学思维训练课堂，在这里大家感受到学习的快乐，数学源于生活，服务于生活，在现实生活中有太多的事情需要我们用数学知识：用函数的思想来解决，大家讨论一下，来举一些例子. 生讨论，列举. 师：这里也有一个实例，我们一起来看一下： 小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球后，量桶中水面升高多少？ （2）你知道放入小球后量桶中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）之间的一次函数关系式是什么？ （3）量桶中至少放入几个小球后有水溢出？ 小亮：（1）放入三个球后，量桶中的水面上升6 cm ，由此可求放入一个小球后，量桶中水面升高的高度为（36-30）÷3=2 cm ； 小萍：（2）设一次函数的关系式为y=kx+b ，把(0,30)，(3,36)坐标代入得30,336,b k b =⎧⎨+=⎩解得2, 30, k b =⎧⎨ =⎩即y=2x+30． 小颖：（3）由2x+30>49，得x>9.5，即至少放入10个小球后有水溢出． 二、自主探究，合作交流 师：用一次函数解决实际问题的一般方法是什么呢？ 教师引导学生寻找信息；尝试解答。（假如解决有困难，可以在第一课时讲解完成后在来叫学生独立解 答）
第四章一次函数 ４. 一次函数的应用〔第1课时〕
教 学 环 节 教学内容学生活动教师活动设计意图 第一环节回忆与思考3、活动2 〔出示“课堂活动〞连一连：把以下函数图象和对应的函数 表达式连起来。〕 2 - x y= 学生动手 进行连 线，并说 明理由。 学生完成 之后，利 用白板5 的“课堂 活动〞小 程序演示 结果，让 学生明确 每个函数 的图象的 特征。 利用“课 堂活动〞 小程序激 发学生的 参与兴 趣，并且 回忆正比 例函数与 一次函数 的图象特 征及其性 质。 0) (k kx y< = x 3 1 y=
教 学环节教学内容学生活动教师活动设计意图 0) (k 2 kx y< + =
第二环节合作与探究1、提出问题：如何确定一次函数的表 达式并利用一次函数的表达式解决问 题呢？明确探究目标。 2、想一想： 实际情境一：某物体沿一个斜坡下滑， 它的速度v(米/秒)与其下滑时间 t(秒 )的关系如下图． (1)写出v与t之间的关系式； (2)下滑3秒时物体的速度是多少？ 想一想： 〔1〕v是t的函数，即可设v= 〔2〕图象经过点〔2，〕即t= v= 〔3〕解得：； 〔4〕所以v与t的函数关系式为； 〔5〕当 =3时得 即下滑3时物体的速度是 m/s。 3、类比与猜想： 思考：确定正比例函数关系式需要几个条件？ 猜想：确定一次函数的关系式需要几个条件？ 4、议一议： 实际情境二：在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体 的质量x(千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长；当所挂 物体的质量为3kg时，弹簧长16cm。写出y与x之间的关系式， 并求所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度． 议一议： 〔1〕y是x的函数，因此可设 y与x的关系式 为：。 〔2〕由题意得：当x= 时，y=；当x=3时， y= 。把x与y的对应值代入关系式可得： 。 〔3〕由上面的方程可得：k= ； b= 。 〔4〕将k、b 的值代入y与x的关系式可得：。 5、归纳与小结： 〔1〕确定正比例函数需要一个条件，确定一次函数的关系式 需要两个条件； 〔2〕确定一次函数表达式的一般步骤：设、代、解、写。 1、明确本 环节的学 习目标： 如何确定 一次函数 的表达式 并利用一 次函数的 表达式解 决问题。 2、逐个思 考想一想 的5个小 问题。 3、反思确 定正比例 函数的关 系式需要 几个条 件？并类 比猜想确 定一次函 数的关系 式需要几 个条件？ 4、学生分 组讨论完 成“议一 议〞的4 个问题后 小组进行 汇报交 流。 5、反思： 确定一次 函数的一 般步骤 是？ 1、让学生 明确本环 节的学习 目标。 2、引导学 生答复 “想一 想〞的问 题之后板 书标准 “情境 一〞的解 题过程。 3、明确： 确定正比 例函数关 系式需要 一个条 件。设疑： 确定一次 函数的关 系式需要 几个条 件？ 4、指导学 生分组进 行讨论交 流完成 “议一 议〞的四 个问题， 指明学生 汇报小组 成果。 5、师生交 流后归纳 明确确定 一次函数 表达式的 一般步 骤。 情景一采 取师生互 动交流的 教学方 法，利用 函数图象 提供的信 息可以确 定正比例 函数的表 达式，一 方面让学 生初步掌 握确定函 数表达式 的方法， 即待定系 数法，另 一方面让 学生通过 实践感受 到确定正 比例函数 只需一个 条件．情 景二采取 学生小组 合作学习 的方法， 设计一定 的问题学 生交流讨 论后师再 进行标准 书写及认 识及方 法，利于 学生接 受． 教 学 环 节 教学内容学生活动教师活动设计意图