江苏省如东高级中学等四校2020届高三12月联考数学试题含答案

高三数学12月联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知全集2，3，4，5，，集合3，，2，，则A. B.C. 2，4，D. 2，3，4，2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，若，则的最小值为A. 12B.C. 15D.4.已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点A. B. C. D.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.已知a，，则“”是“函数是奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种8.已知数列：，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的A. 第44项B. 第76项C. 第128项D. 第144项9.在长方体中，，，E，F，G分别是AB，BC，的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线与平面EFG平行，则面积的最小值为A. B. 1 C. D.10.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且时，，则A. B. C. 1 D.11.如图，设抛物线的焦点为F，过x轴上一定点作斜率为2的直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记的面积为，的面积为，若，则抛物线的标准方程为A.B.C.D.12.已知函数，若关于x的方程有六个不同的实根，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.设双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线上且异于A、B两点，O为坐标原点，若直线PA与PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为______．14.已知是定义在R上的偶函数，且若当时，，则______15.已知梯形ABCD，，，，P为三角形BCD内一点包括边界，，则的取值范围为______．16.瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为的欧拉三角形．如图，是的欧拉三角形为的垂心已知，，，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为______．三、解答题（本大题共7小题）17.数列的前n项和为，已知，2，3，Ⅰ证明：数列是等比数列；Ⅱ求数列的前n项和．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为等边三角形．当PB长为多少时，平面平面ABCD？并说明理由；若二面角大小为，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19.已知椭圆C：，C的右焦点，长轴的左、右端点分别为，，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过焦点F斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．20.第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分满分100分数据，统计结果如下：组别频数 5 30 40 50 45 20 10若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算．在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．参考数据：；；21.已知函数e为自然对数的底数，是的导函数．Ⅰ当时，求证；Ⅱ是否存在正整数a，使得对一切恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l经过点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出曲线C的普通方程；若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求的取值范围．23.已知函数，．若，求a的取值范围；若，对，，都有不等式恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．先求出，再得出，由集合运算的定义直接求解．【解答】解：由全集2，3，4，5，，集合3，，得4，，又2，，则4，，2，，2，4，．故选C．2.【答案】D【解析】解：所对应的点为，该点位于第四象限故选：D．根据将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量平行和“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．根据已知条件，，，得出，继而可得等式，再求解等式即可．【解答】解：，，，，即，，当且仅当，即，，时取等号，的最小值为：．故选B．4.【答案】A【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C为目标函数取得最大值的最优解，联立，解得，所以，即；所以，代入，得，即，由，解得．所以直线必过定点．故选：A．由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线由直线系方程得答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的解题思想与数学转化方法，是中档题．5.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据，计算求解即可，属于中等题．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：，，，该几何体的各个面中，面积小于的个数是3个．故选：C．6.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，若函数为奇函数，则，当时，，若为奇函数，则，即，，即函数为奇函数的充要条件是，，或，“”推不出“函数是奇函数”，“函数是奇函数”“”；则“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．故选：B．根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数是奇函数”的等价条件，再根据“”或；由充分必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法种数，先在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有种，若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后2个安排到剩下的展区，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有种，则小李和小王不在一起排法有种；故选：B．本题考查排列，组合的应用，涉及分步计数原理的应用，是中档题．根据题意，用间接法分析，先求小李和小王不受限制的排法种数，再减去其中小李和小王在一起的排法种数即可．8.【答案】C【解析】解：观察数列可得，该数列中分子，分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，，分子，分母之和为16的有15项，分子，分母之和为17的有16项，排列顺序为，，，，，，其中为分子，分母之和为17的第8项，故共有项．故选：C．观察数列可知，此数列按照分子，分母之和的大小排顺序，据此可以求出的位次．本题考查数列的应用，涉及数列求和公式和分数知识，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：如图，补全截面EFG为截面EFGHQR，易知平面平面EFGHQR，设于点R，直线平面EFG，，且当P与R重合时，最短，此时的面积最小，由等积法：得，又平面ABCD，，为直角三角形，故，故选：A．找出平面EFG与长方体的截面，然后再找出过与平面EFG平面平行的平面，即可找出P 在平面ABCD上的位置．本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用．10.【答案】B【解析】解：由函数的图象过点，，解得，又，，；又的图象向左平移个单位之后为，由两函数图象完全重合知，，；又，，；，其图象的对称轴为，；当，，其对称轴为，，．故选：B．由题意求得、的值，写出函数的解析式，求图象的对称轴，得的值，再求的值．本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．11.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点，过x轴上一定点作斜率为2的直线l的方程为，联立抛物线方程可得，设，，可得，，设F到AB的距离为d，可得，即，联立可得，，．则抛物线的标准方程为．故选：C．求得直线l的方程，联立抛物线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式，结合两个三角形同高可得面积之比为底边之比，联立方程组，解方程可得p，进而得到所求抛物线方程．本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：令，则，函数．由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：由于当时，，此时，对应的x值只有一个，不满足条件，故a的取值范围是，故选C．令，则，由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得a的取值范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系，属于中档题．由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．【解答】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设，，，则，，可得，，，该双曲线的离心率．故答案为：．14.【答案】216【解析】【分析】本题主要考查了利用函数的周期性求解函数的函数值，属于基础题．由，可知周期，结合已知函数代入即可求解．【解答】解：，，即周期，则，当时，，．，故答案为：216．15.【答案】【解析】解：，分别以边AB，AD所在的直线为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：，，，，，设，则，由得，，，，设，则表示斜率为的一族平行直线，在y轴上的截距为a，当截距最大时最大，当截距最小时最小，由图可看出，当直线经过点时截距最小为1，当直线经过点时截距最大为，的取值范围为．故答案为：．根据题意可分别以边AB，AD所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，从而得出，，，，设，从而根据可得出，从而得出，并设，从而根据线性规划的知识求出直线截距的最小值和最大值，即得出的最小值和最大值，从而得出的取值范围．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，利用线性规划的知识求变量最值的方法，数形结合的方法，考查了计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，所以，又因为，，由余弦定理可得：，取BC的中点O，则，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，设，因为，所以，所以，从而，故所求概率为：，故答案为：．由三角函数的余弦定理得：，由两直线垂直得：，所以，从而，由几何概型中的面积型得：，得解．本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，属中档题．17.【答案】解：Ⅰ证明：，2，3，，可得，可得，可得，则数列是首项为1，公比为2的等比数列；Ⅱ，即，可得前n项和，，相减可得，，化简可得．【解析】Ⅰ运用数列的递推式，化简变形，结合等比数列的定义，即可得证；Ⅱ，即，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：当时，平面平面ABCD，证明如下：在中，因为，所以，又，，AD，平面PAD，所以平面PAD，又平面ABCD，所以平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，因为为等边三角形，O为AD的中点，所以，O，E为AD，BC的中点，所以，又，所以，故为二面角的平面角，所以，如图，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为，，所以，0，，2，，1，．可得，，设y，为平面PBC的一个法向量，则有，即，令，可得，设AB与平面PBC所成角为，则有所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】当时，推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，推导出，，由，得，从而为二面角的平面角，进而，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．本题考查满足面面垂直的线段长的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：Ⅰ依题设，，则，．由，得：，解得，又，所以．所以椭圆C的方程为；Ⅱ椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．依题直线l的方程为．联立，得：．在椭圆内，则恒成立，设，，弦AB的中点为，则，，所以，，所以．则直线MD的方程为，令，得，则．若四边形ADBE为菱形，则，所以．，所以．所以．若点E在椭圆C上，则．即整理得，解得．所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．此时点E到y轴的距离为．【解析】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了设而不求的解题方法，此法的依据是二次方程中根与系数的关系，训练了学生的计算能力，属有一定难度题目．Ⅰ题目给出了椭圆的右焦点坐标，则知道了c的值，再由，列式求出的值，结合隐含条件求出的值，则椭圆方程可求；Ⅱ由点斜式写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B中点的坐标，然后写出MD所在的直线方程，求出D点的坐标，根据四边形ADBE是菱形，列式求出E点的坐标，把E点的坐标代入椭圆方程求出的值，则E点到y轴的距离可求．20.【答案】解：由已知频数表得：，，由，则，而，所以，则，；显然，所以有Y的取值为15，30，45，60，，，，，所以Y的分布列为：Y15 30 45 60P所以，需要的总金额为．【解析】根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而，根据原则，计算即可；列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．21.【答案】解：Ⅰ证明：当时，，则，令，则，令，得，故在时取得最小值，0'/>，在上为增函数，；Ⅱ，由，得对一切恒成立，当时，可得，所以若存在，则正整数a的值只能取1，2．下面证明当时，不等式恒成立，设，则，由Ⅰ，，当时，；当时， 0'/>，即在上是减函数，在上是增函数，，当时，不等式恒成立，所以a的最大值是2．【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．Ⅰ求出函数的导数，根据函数的单调性判断最值；Ⅱ求出函数的导数，得到，问题转化为证明当时，不等式恒成立，设，根据函数的单调性证明即可．22.【答案】解：由得，将，代入上式中，得曲线C的普通方程为：；将l的参数方程为参数代入C的方程中，整理得，因为直线l与曲线C有两个不同的交点，所以，化简得．又，所以，且，．设方程的两根为，，则，，所以，，所以．由，得，所以，从而，即的取值范围是．【解析】本题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，是中档题．由得由此能求出曲线C的普通方程将l的参数方程为参数代入C的方程，得由直线l与曲线C有两个不同的交点，得设方程的两根为，，则，，从而，，由此能求出的取值范围．23.【答案】解：，若，则，得，即时恒成立，若，则，得，即，若，则，得，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，因为，所以当时，，即，解得，结合，所以a的取值范围是．【解析】利用，通过，，，分别求解即可．要使得不等式恒成立，只需，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用．。

2020—2021学年度上学期高三12月份联考
数学答案页
姓名：
班级：
第Ⅰ卷选择题（60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1 2 3 44
5 6 7 8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分
9 10
11 12
第Ⅱ卷非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. . 14. .
15. . 16. ， .
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（本题10分）
我选择的序号是： .
A B C D
贴条形码区
考生禁填：
缺考标记违纪标记
以上标志由监考人员用2B铅笔涂写
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
18.（本题12分）
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
19.（本题12分）
A B C D A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D
A B C D A B C D。

2012-2013学年江苏省南通市如东县四校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）设集合A={x|y=log2（x﹣2）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，则A∪B=（1，+∞）．考点：并集及其运算；函数的定义域及其求法；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出集合A，集合B，然后求解它们的并集即可．解答：解：因为集合A={x|y=log2（x﹣2）}={x|x＞2}，集合B={x|x2﹣5x+4＜0}={x|1＜x＜4}，所以A∪B={x|x＞1}．故答案为：（1，+∞）．点评：本题考查集合的求法并集的基本运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z= 1+i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．解答：解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．3．（5分）已知点A（﹣1，﹣5）和向量，若，则点B的坐标为（5，7）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设B（x，y），则=（x+1，y+5），然后由==（6，12）可求x，y，即可求解B解答：解：设B（x，y），则=（x+1，y+5）∵==（6，12）∴x+1=6，y+5=12∴x=5，y=7故答案为：（5，7）；点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题4．（5分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b= 2 ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），由此即可求出a，b．解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a﹣3+4﹣a=0，解得a=﹣1．由f（x）为偶函数，得f（﹣x）=f（x），即ax2﹣（b﹣3）x+3=ax2+（b﹣3）x+3，2（b﹣3）x=0，所以b=3．所以a+b=3﹣1=2．故答案为：2．点评：偶函数的定义域关于原点对称，f（﹣x）=f（x）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．5．（5分）已知x∈R，那么的必要不充分条件（“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”“既不充分又不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意把x2＞1，解出来得x＞1或x＜﹣1，然后根据命题x＞1与命题x＞1或x＜﹣1，是否能互推，再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：∵x2＞1，∴x＞1或x＜﹣1，∴x＞1⇒x2＞1，反之不能推出，∴那么的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．点评：此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．6．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：阅读型．分析：根据函数的平移左加右减的原则，把y=cos2x的向右平移个单位得到函数的图象．解答：解：将函数函数y=cos2x的图象向右平移个单位得到函数的图象，故答案为右，点评：本题主要考查了三角函数图象的变换．属基础题．7．（5分）若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值范围是（﹣∞，5）．考点：特称命题．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数f（x）=2x2﹣ax+2，若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0，进而可得实数a的取值范围解答：解：令f（x）=2x2﹣ax+2若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0即4﹣a＞0，或10﹣2a＞0，即a＜4，或a＜5故a＜5即实数a的取值范围是（﹣∞，5）故答案为：（﹣∞，5）点评：本题考查的知识点是特称命题，其中构造函数，将存在性问题（特称命题），转化为不等式问题是解答的关键．8．（5分）（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，可知，圆锥的母线为：l；因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆柱的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．（5分）（2010•如皋市模拟）已知= ．考点：两角和与差的正弦函数．分析：观察题中角之间的关系，x+与是互补的关系，x+与是互余关系，这是解题的突破口，用诱导公式求出结论中要用的结果，题目得解．解答：解：∵，∴，∴===，故答案为：点评：在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题．10．（5分）定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f（x）=min{2x+4，x2+1，5﹣3x}，则f（x）的最大值是 2 ．考点：函数的值域．专题：新定义．分析：根据min{a，b，c}的意义，画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，可得答案．解答：解：解：画出y=2x+4，y=x2+1，y=5﹣3x的图象，观察图象可知，当x≤﹣1时，f（x）=2x+4，当﹣1≤x≤1时，f（x）=x2+1，当x＞1时，f（x）=5﹣3x，f（x）的最大值在x=±1时取得为2，故答案为：2点评：本题考查函数的图象函数的图象、函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值．11．（5分）在直角三角形ABC中，AB⊥AC，AB=AC=1，，则的值等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：先建立直角坐标系，由可求D的坐标，代入可求，，然后代入向量的数量积的坐标表示即可求解解答：解：建立如图所示的直角坐标系则A（0，0），B（0，1），C（1，0），设D（x，y）∴=（x，y﹣1），=（1﹣x，﹣y）∵∴x=，y﹣1=∴x=，y=则=（）•（，）==故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是合理的建立直角坐标系．12．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c将用”＜”连接得c＜a＜b ．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：因为=，=ln ，=，所以先比较，，的大小，然后再比较，，的大小关系．解答：解：∵=，=ln ，=，∵，，，，∴，考察对数函数y=lnx，它在（0，+∞）是增函数，∴∴．故答案为：c＜a＜b．点评：本题考查对数值的大小比较，解题时要注意对数单调性的合理运用．13．（5分）（2012•四川）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是 3 ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE ﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时△FAB的高为：EF=2．此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=±．∴AB=3．所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3×EF=×3×2=3．故答案为：3．点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．14．（5分）已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．解答：解：当x∈（，1]时，是增函数，y∈（，1]，当x∈[0，]时，f（x）=﹣x+是减函数，∴y∈[0，]，如图．∴函数的值域为[0，1]．值域是，∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴，若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，∴a的取值范围是．故答案为：．点评：本题主要考查了三角函数的最值，分段函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．二．解答题：（本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知，且，A∪B=R，（1）求A；（2）实数a+b的值．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：（1）由分式不等式的解法，解＞0可得其解集，即可得集合A；（2）根据题意，由（1）的结论，分析可得集合B，进而可得方程x2+ax+b=0的解，又由方程的根与系数的关系，可得a、b的值，将其相加即可得答案．解答：解：（1）根据题意，＞0⇒（2x﹣1）（x+2）＞0，解可得x＜﹣2或x＞，则A=（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）；（2）由（1）可得又由，A∪B=R，必有B={x|﹣2≤x≤3}，即方程x2+ax+b=0的解是x1=﹣2，x2=3于是a=﹣（x1+x2）=﹣1，b=x1x2=﹣6，∴a+b=﹣7．点评：本题考查集合的交集、并集的应用，（2）的关键是根据A、B的交集与并集，求出集合B．16．（14分）如图，斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：（1）EF∥平面BB1C1C；（2）平面CEF⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，证明FM，推出四边形EFMC1为平行四边形，然后证明EF∥平面BB1C1C；（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，证明OC A1E，得到EC A1O1，证明A1O⊥底面ABC．得到平面CEF⊥平面ABC．解答：证明：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，在△ABC中，因为F，M分别为BA、BC的中点，所以FM，因为E为A1C1的中点，AC，所以EF∥EC1，又FM∥A1C1从而四边形EFMC1为平行四边形，所以EF∥C1M，又因为C1M⊂平面BB1C1C，EF⊄平面BB1C1C，EF∥平面BB1C1C；（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，因为∠A1AC=60°，所以AO=AA1=AC，从而O为AC的中点．所以OC A1E，因而EC A1O1，因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊥AC，所以A1O⊥底面ABC．所以EC⊥底面ABC，又因为EC⊂平面EFC，所以平面CEF⊥平面ABC．点评：本小题主要考查空间线面关系，考查直线与平面平行，平面与平面垂直的证明，考查空间想像能力和推理论证能力．17．（14分）若a、b、c是△ABC三个内角A、B、C所对边，且asinAsinB+bcos2A= a （1）求；（2）当cosC=时，求cos（B﹣A）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）利用正弦定理即可求得；（2）利用余弦定理可求得c=a，从而可判断三角形△ABC为直角三角形，利用两角差的余弦即可求得答案．解答：解：（1）由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA（2分）即sinB=sinA，∴=（6分）（2）∵=，∴b=a，∴由余弦定理=得c=a（8分）∴b2=3a2=a2+2a2=a2+c2，∴B=90°（10分）∴cos（B﹣A）=sinA=cosC=．（12分）点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查两角和与差的余弦与诱导公式的应用，属于中档题． 18．（16分）如图，开发商欲对边长为1km 的正方形ABCD 地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF （点E 、F 分别在BC 、CD 上），根据规划要求△ECF 的周长为2km ．（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小； （2）欲使△EAF 的面积最小，试确定点E 、F 的位置．考点：已知三角函数模型的应用问题． 专题：综合题． 分析： （1）根据规划要求△ECF 的周长为2km ，建立等式，再利用和角的正切公式，即可求得α+β的大小；（2）先表示三角形的面积，再利用三角函数求面积的最值，从而可确定点E 、F 的位置． 解答：解：（1）设CE=x ，CF=y （0＜x≤1，0＜y≤1），则tanα=1﹣x ，tanβ=1﹣y ， 由已知得：x+y+，即2（x+y ）﹣xy=2…（4分）∴tan（α+β）===1∵0＜α+β，∴α+β=；…（8分）（2）由（1）知，S △EAF ==AE×AF====…（12分）∵，∴2α=，即α=时，△EAF 的面积最小，最小面积为﹣1．∵tan =，∴tan =﹣1，故此时BE=DF=﹣1．所以，当BE=DF=﹣1时，△EAF 的面积最小．…（15分）点评： 本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运用，考查面积的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，一条准线l ：x=2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点． ①若PQ=，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证：点P 在定圆上，并求该定圆的方程．考点： 直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）由题意可知：，解方程可求a ，c 利用b 2=a 2﹣c 2，可求b ，即可求解椭圆C 的方程（2）①先设M （2，t ），然后求出圆D 的方程及直线PQ 的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系及弦长公式及已知，可求t ，进而可求②设出P ，由①知P 满足圆D 及直线PQ 的方程，代入后消去参数t 即可判断 解答：解：（1）由题意可知：，∴a=，c=1，b 2=a 2﹣c 2=1，∴椭圆C 的方程为：（2）①由（1）知：F （1，0），设M （2，t ），则圆D的方程：，直线PQ的方程：2x+ty﹣2=0，∴，∴∴t2=4，t=±2∴圆D的方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣1）2+（y+1）2=2②证明：设P（x1，y1），由①知：，即：消去t得：=2∴点P在定圆x2+y2=2上．点评：本题综合考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与圆，与椭圆位置关系的应用，还考查了运算的能力20．（16分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题．分析：（1）求导函数，令f′（x）=0，确定函数的单调性与极值，从而可得函数的最大值，由此可求b的值；（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得恒成立，即，求出最小值，即可求得a的取值范围；（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1，则是否存在P，Q等价于方程﹣t2+F（t）（t3+t2）=0在t＞0且t≠1时是否有解．解答：解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），令f′（x）=0，得x=0或．列表如下：x 0f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘极小值↗极大值↘∵，，∴，即最大值为，∴b=0．…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立，即．令，求导得，，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴t min（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），…（10分）是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0，此方程无解；…（11分）②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt•（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则，显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查是否存在问题的探究，综合性强．三、附加题21．（10分）设函数f（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：利用导数的运算法则即可得到f′（x），再利用导数与函数单调性、极值与最值的关系即可得到f（x）的最小值．解答：解：对函数f（x）求导数：f'（x）=（xlnx）'+[（1﹣x）ln（1﹣x）]'=lnx﹣ln（1﹣x）=．令f′（x）=0，则，解得．当0＜在区间是减函数，当1＞在区间是增函数．所以时取得最小值，．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、最值是解题的关键．22．（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）求：（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）若向量a分别与向量垂直，且|a|=，求向量a的坐标．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：（1）由已知中空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），我们分别求出向量，，的坐标，进而根据它们三个的模相等，判断出三角形ABC为等边三角形，进而得到以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）根据（1）中结论，易向量分别与向量垂直，且||=，设出向量的坐标，进而构造方程组，解方程组即可求出向量的坐标．解答：解：（1）∵空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）∴=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2），=（3，﹣2，﹣1）∵||=||=||=∴△ABC为等边三角形，故以向量为一组邻边的平行四边形的面积S==7（2）设=（x，y，z），由已知中向量分别与向量垂直，且||=，∴解得x=y=z=±1=（1，1，1）或=（﹣1，﹣1，﹣1）点评：本题考查的知识点是向量模的运算及向量垂直的坐标表示，是平面向量的综合题，熟练掌握平面向量模的计算公式，及向量平行和垂直的坐标运算公式是解答本题的关键．23．（10分）（2011•日照模拟）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：充分条件；命题的真假判断与应用．分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．解答：解：（1）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3命题q：⇔⇔2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知命题q：2＜x≤3，命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，所以，所以1＜a≤2点评：本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大．24．（10分）（2012•江苏二模）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C1D1，D1P⊥平面PCE．试求：（1）线段D1P的长；（2）直线DE与平面PCE所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，利用D1P⊥平面PCE，确定P的坐标，从而可求线段D1P 的长；（2）由（1）知，平面平面PCE，利用向量的夹角公式可求直线DE与平面PEC所成角的正弦值为．解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0，0，2），E（2，1，0），C（0，2，0）．设P（x，y，2），则，，因为D1P⊥平面PCE，所以D1P⊥EP，D1P⊥EC，所以，解得（舍去）或…（4分）即P（），所以，所以．…（6分）（2）由（1）知，平面平面PCE，设DE与平面PEC所成角为θ，与所成角为α，则所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为．…（10分）点评：本题考查的知识点是用空间向量表示直线与平面所成角，建立适当的空间直角坐标系，将空间点，线，面之间的关系问题转化为向量问题是解答此类问题的关键．。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.设集合{})2(log 2-==x y x A ，{}0452<+-=x x x B ，则B A = ▲ ． 2.已知复数z 满足()12z i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z = ▲ ． 3.已知点(1,5)A --和向量(2,4)a =，若3AB a =，则点B 的坐标为 ▲．4.已知函数]4,32[,3)3()(2a a x xb ax x f --∈+-+=是偶函数,则a b += ▲ ．5.已知x R ∈，那么21x x >>是1的 ▲ 条件(“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”“既不充分又不必要”)6.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移 ▲ 个单位长度7.若存在实数[1,2]x ∈满足2220x ax -+>，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ ． 9.已知的值为，则⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 3sin 65sin 416sin 2πππ ▲ ． 10.定义{}c b a ,,m in 为c b a ,,中的最小值，设}35,1,42m in{)(2x x x x f -++=，则)(x f的最大值是 ▲ ．11.在直角三角形ABC 中，1,1,,2AB AC AB AC BD DC AD CD ⊥===⋅则的值等 于 ▲ ． 12.若55ln ,33ln ,22ln ===c b a ，则a,b,c 的大小关系是 ▲ ． 13.椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是 ▲ ．14.已知函数321,,1,12()111,0,.362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数π()sin()22(0)6g x a x a a =-+>，若存在[]12,0,1x x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二．解答题：(本大题共6个小题，共90分。

江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学三校2021届高三联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知复数z 满足(2＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 A ．209B ．45 CD2．已知13log 2a =，121log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 从小到大依次为A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．b a c << 3．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且3a b +=，则a 与b 的夹角为 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π4．《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论．已知某地区立春与惊蛰两个节气的日影长分别为9尺和7尺，现在从该地日影长小于7尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于3尺的概率为A ．47 B ．815 C ．1021 D ．355．函数()cos ln xf x x xππ-=+的图象大致为A B C D6．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，0≤ϕ＜2π)在R 上的部分图象如图所示，则(2020)f 的值为A ． BC ．0D ．7．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是奇函数，下列说法正确的是 A ．函数(3)f x -为偶函数 B ．函数(1)f x -为偶函数C ．函数()f x 是以2为周期的周期函数D ．函数()f x 是以4为周期的周期函数 8．棱长为6的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E —BCD 的体积为 A ． B ．C ．D ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列命题中正确的是A ．“1x >”是“220x x +->”的必要不充分条件B ．“1x >”是“sin x x >”的充要条件C ．“R x ∀∈，1()102x +>”是真命题D ．“R x ∃∈，210x x -+>”的否定是：“R x ∀∈，210x x -+<”10．已知双曲线的中心在原点，左焦点F1，右焦点F 2点(4，，点M(3，m )在双曲线上，则A ．双曲线方程为226x y -=B ．△F 1MF 2的面积为6C ．∠F1MF 2＜2πD ．MF 1＝11．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为BA 1的中点 A ．直线EC 1与直线AD 是异面直线B ．在直线A 1C 1上存在点F ，使EF ⊥平面A 1CDπC．直线BA1与平面A1CD所成角是6D．点B到平面A1CD第6题第11题第12题12．学校开展劳动实习课，某班将在如图的曲边梯形ABCD的场地中建矩形花圃EBFH，经建系测绘，收集到以下信息：D(0，0)，A(2，0)，B(2，8)，C(﹣2，8)，曲边CD 可近似看作是函数3y x=-图象的一段，AD⊥AB，AD∥BC，现要求矩形花圃EBFH的顶点E，F，H分别落在边AB，边BC和曲边CD上，若H点的横坐标为x且x∈(﹣2，﹣1]，花圃EBFH的面积S与x的函数关系式记为()S x．则A．()S x在x∈(﹣2，﹣1]上单调递增B．()S x在x∈(﹣2，﹣1]上先单调递增再单调递减C．()S x在x∈(﹣2，﹣1)上存在最大值D．()S x最大为21三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知随机变量X服从正态分布N(2，2σ)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝．14．数列{}n a为等比数列，其前n项的乘积为n T，若39T=．=，则T T1215．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，准线为l ，l 与x轴交于点C ，若点A 在l 上，点B 为抛物线上第一象限内一点，直线BF 与抛物线交于另一点D ，△ABF 是正三角形，且四边形ABFC 的面积是273，则p ＝ ；△ODF 的面积是 ．（本题第一空2分，第二空3分）16．如图，三棱锥P —ABC 中，BC ＝1，AC ＝2，PC ＝3，PA ＝AB ，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，点Q 在棱PB 上且BQ ＝1，则直线CQ 与平面ABC 所成的角是 ． 第16题四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足26a =，534a a -=．等比数列{}n b 各项均为正数且满足：23b a =，415b a =．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）在①B 4π=，②3c b =，③2a =这三个条件中选两个能解决问题的条件，补充在下面的问题中，并解决该问题．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足(b﹣a)(sinB＋sinA)＝csinB﹣sinC)．（1）求A的大小；（2）已知△ABC存在，且，，求△ABC的面积．19．（本小题满分12分）如图在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，BC∥AD，AB ⊥AD，E为侧棱PA上一点，且AE＝2PE，AP＝3，AB＝BC＝2，AD＝4．（1）证明：PC∥平面BDE；（2）求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而今年出现的新型冠状病毒(COVID-19)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p(01<<)．现有4例疑似病例，分别对p其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：方案一：逐个化验；方案二：四个样本混合在一起化验；方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”．（1）若按方案一且1p=，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；3（2）若1p=，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最3“优”？（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数21()e 2x f x ax =-(R a ∈)，其中e 为自然对数的底数，e 2.71828=．0()f x 是函数()f x 的极大值或极小值，则称0x 为函数()f x 的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点．（1）函数()f x 在(0，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）判断函数()f x 的极值点的个数，并说明理由；（3）当函数()f x 有两个不相等的极值点1x 和2x ln a ．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)过点1)，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点且12PF PF 1⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l ：y kx m =+(0m ≠)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，N 的半径为NO ．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学三校2021届高三联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知复数z 满足(2＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 A ．209B ．45 CD答案：C 解析：2i 24i 2i 55z ==++，z =，选C ． 2．已知13log 2a =，121log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 从小到大依次为A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．b a c << 答案：C解析：13log 2a =＜0，121log 3b =＞1，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭∈(0，1)，故a c b <<，选C ．3．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且3a b +=，则a 与b 的夹角为 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π答案：C解析：223231a b a a b b a b +=⇒+⋅+=⇒⋅=-， 则cos<a ，b >12a ba b⋅==-，所以a 与b 的夹角为23π，选C ． 4．《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论．已知某地区立春与惊蛰两个节气的日影长分别为9尺和7尺，现在从该地日影长小于7尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于3尺的概率为A ．47 B ．815 C ．1021 D ．35答案：B解析：根据题意可知该地日影长小于7尺的节气有6个，小于3尺的节气有2个，故所求概率P ＝112426815C C C =，选B ．5．函数()cos lnxf x x xππ-=+的图象大致为A B C D 答案：C解析：首先判断该函数是奇函数，排除A 、D 选项，其次发现()04f π<，选C ．6．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，0≤ϕ＜2π)在R 上的部分图象如图所示，则(2020)f 的值为A． BC ．0 D．答案：B解析：32946ππωω⋅=⇒=，222626k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+，∵0≤ϕ＜2π，∴6πϕ=，则()Asin()66f x x ππ=+，(0)A f =⇒=())66f x x ππ=+，20215(2020)66f ππ===B ． 7．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是奇函数，下列说法正确的是 A ．函数(3)f x -为偶函数 B ．函数(1)f x -为偶函数C ．函数()f x 是以2为周期的周期函数D ．函数()f x 是以4为周期的周期函数 答案：D解析：∵(1)f x +是奇函数，∴()f x 关于点(1，0)对称，又∵()f x 是偶函数，∴()f x 的周期为4，故选D ．8．棱长为6的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E —BCD 的体积为 A ． B ．C ．D ．答案：A解析：设外接球半径为R ，则正三棱锥E —BCD 的高2h R =-，BE2＝222(2436R R +-=-+根据AB2＋BE 2＝AE 2，得22364364R R +-+=，解得R ，解得2h R =-=VE —BCD ＝2163=A ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列命题中正确的是A ．“1x >”是“220x x +->”的必要不充分条件B ．“0x >”是“sin x x >”的充要条件C ．“R x ∀∈，1()102x +>”是真命题D ．“R x ∃∈，210x x -+>”的否定是：“R x ∀∈，210x x -+<”答案：BC解析：“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件，故A 错误；“R x ∃∈，210x x -+>”的否定是：“R x ∀∈，210x x -+≤”，故D 错误．选BC ．10．已知双曲线的中心在原点，左焦点F 1，右焦点F 2均在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，10-)，点M(3，m )在双曲线上，则A ．双曲线方程为226x y -=B ．△F 1MF 2的面积为6C ．∠F1MF 2＜2πD ．MF 1＝答案：ABD解析：说明该双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为22x y λ-=，由过点(4，解得6λ=，故A 正确；由M(3，m )在双曲线上，解得m ＝，从而S △F1MF2＝162⨯，故B 正确；求得12F M F M 0⋅=，故∠F 1MF 2＝2π；根据M(3，)，F 1(-0)，求得MF 1＝D 正确．选ABD ．11．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为BA 1的中点A ．直线EC 1与直线AD 是异面直线B ．在直线A 1C 1上存在点F ，使EF ⊥平面A 1CD C ．直线BA 1与平面A 1CD 所成角是6πD ．点B 到平面A 1CD 答案：BCD解析：因为AE ∥C 1D ，所以直线EC 1与直线AD 是共面的，故A 错误；若F 是A 1C 1中点时，EF ∥BC 1，由于BC 1⊥平面A 1CD ，所以此时EF ⊥平面A 1CD ，故B 正确；连BC 1，B 1C 交于点G ，连AG ，则∠BA 1G 就是直线BA 1与平面A 1CD 所成的角，求得sin ∠BA 1G ＝12，所以∠BA 1G ＝6π，所以C 正确；BG 即为点B 到平面A 1CD 的距离，求得BG ，所以D 正确．选BCD ． 12．学校开展劳动实习课，某班将在如图的曲边梯形ABCD 的场地中建矩形花圃EBFH ，经建系测绘，收集到以下信息：D(0，0)，A(2，0)，B(2，8)，C(﹣2，8)，曲边CD 可近似看作是函数3y x =-图象的一段，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，现要求矩形花圃EBFH 的顶点E ，F ，H 分别落在边AB ，边BC 和曲边CD 上，若H 点的横坐标为x 且x ∈(﹣2，﹣1]，花圃EBFH 的面积S 与x 的函数关系式记为()S x ．则A ．()S x 在x ∈(﹣2，﹣1]上单调递增B ．()S x 在x ∈(﹣2，﹣1]上先单调递增再单调递减C ．()S x 在x ∈(﹣2，﹣1)上存在最大值D ．()S x 最大为21 答案：AD解析：3()(2)(8)S x x x =-+，32()2(234)S x x x '=--+，[()]12(1)S x x x ''=--， 因为x ∈(﹣2，﹣1]，所以[()]12(1)0S x x x ''=--<，所以()S x '在(﹣2，﹣1]上单调递减，求得()(1)20S x S ''≥-=>，所以()S x 在x ∈(﹣2，﹣1]上单调递增，max ()(1)21S x S =-=． 综上所述，本题选AD ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知随机变量X 服从正态分布N(2，2σ)且P(X ＜4)＝0.9，则P(0＜X ＜2)＝ ． 答案：0.4解析：因为P(X ＜4)＝0.9，所以P(x ≥4)＝0.1，故P(0＜X ＜2)＝P(2＜X ＜4)＝0.5﹣P(x≥4)＝0.4．14．数列{}n a 为等比数列，其前n 项的乘积为n T ，若39T T =，则12T = ． 答案：1解析：6456789112132121911)1(a a a a a a a a a a T T T ⇒=⇒==⇒==．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，准线为l ，l 与x轴交于点C ，若点A 在l 上，点B 为抛物线上第一象限内一点，直线BF 与抛物线交于另一点D ，△ABF 是正三角形，且四边形ABFC ，则p ＝ ；△ODF 的面积是 ．（本题第一空2分，第二空3分）答案：3解析：四边形ABFC 是以p ，2p 为底，1(22p p +为高的直角梯形，解得p ＝3，从而F(32，0)，D(12，则S △ODF ＝2321⨯16．如图，三棱锥P —ABC 中，BC ＝1，AC ＝2，PC ＝3，PA ＝AB ，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，点Q 在棱PB 上且BQ ＝1，则直线CQ 与平面ABC 所成的角是 ．答案：6π 解析：如图，将底面补成矩形ACBD ，连PD ，易证PD ⊥底面ACBD ，作QE ∥PD 交BD 于点E ，连CE ，则∠QCE 就是直线CQ 与平面ABC 所成的角，求得QE，CQ sin ∠QCE ＝12，故∠QCE ＝6π，即直线CQ 与平面ABC 所成的角是6π．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足26a =，534a a -=．等比数列{}n b 各项均为正数且满足：23b a =，415b a =．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 解：（1）22n a n =+；12n n b +=（2）2(1)2n n C n +=+⋅345122232422(1)2n n n S n n ++=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅4523222322(1)2n n n S n n ++⋅=⋅+⋅++⋅++⋅两式相减得()33452322222(1)2n n n S n ++-=+++++-+⋅32n n S n +-=-⋅，所以32n n S n +=⋅.18．（本小题满分12分）在①B4π=，②c =，③2a =这三个条件中选两个能解决问题的条件，补充在下面的问题中，并解决该问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足(b ﹣a )(sinB ＋sinA)＝csinB ﹣sinC)．（1）求A 的大小；（2）已知△ABC 存在，且 ， ，求△ABC 的面积． 解：（1）因为()(sin sin )(3sin sin )b a B A c B C -+=-.又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()())b a b a c c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 222b c a A bc bc +-===，因为0A π<<，所以6A π=.（2）不能选①和②：若选条件①和②，在三角形中，因为c =由正弦定理得sin 1422C B π====>不成立，所以这样的锤子数学三角形不存在.只能选：②和③或①和③ 若选条件②和③，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222433b b b =+-，则24b =，所以2b =所以c == 所以ABC △的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=若选条件①和③. 由正弦定理sin sin a bA B =，得2sin sin sin 4sin 6a b B A ππ=== 76412C A B πππππ=--=--=. 71sinsin 12432πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭所以ABC △的面积11sin 21224S ab C ==⨯⨯=. 19．（本小题满分12分）如图在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，BC ∥AD ，AB ⊥AD ，E 为侧棱PA 上一点，且AE ＝2PE ，AP ＝3，AB ＝BC ＝2，AD ＝4．（1）证明：PC ∥平面BDE ；（2）求平面PCD 与平面BDE 所成锐二面角的余弦值．解：（1）证明：如图所示，连接AC 交BD 于点F ，连接EF .∵四边形ABCD 为梯形，且2AD BC =，∴::2:1AF CF AD BC ==，即2AF CF =， 在PAC △中，∵2AE PE =，2AF CF =，∴//EF PC又PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，∴//PC 平面BDE（2）如图所示，以点A 为坐标原点，以分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴和z 轴建立锤子数学空间直角坐标系，则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,2)E ，(0,0,3)P所以，(2,0,2)BE =-，(2,4,0)BD =-，(2,2,3)PC =-，(0,4,3)PD =-，设()111,,m x y z =和()222,,n x y z =分别是平面BDE 和平面PCD 的法向量，则m BD m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1111240220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令12x = 得11y =，12z =，即(2,1,2)m =，n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222222230430x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令23y =得23x =，24z =， 即(3,3,4)n =所以，cos ,||||334m nm n m n ⋅〈〉===⋅⨯ 故平面BDE 和平面PCD 所成角锐二面角的锤子数学余弦值为平面6. 20．（本小题满分12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而今年出现的新型冠状病毒(COVID-19)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p (01p <<)．现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：方案一：逐个化验；方案二：四个样本混合在一起化验；方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”．（1）若按方案一且13p =，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；（2）若13p =，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p 的取值范围．解：（1）用X 表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则1~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭由题意可知，2224118(2)C 13327P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （2）方案一：逐个检验，检验次数为4；方案二：混合在一起检测，记检测次数为X ，则随机变量X 的可能取值为1、5，4116(1)1381P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，1665(5)18181P X ==-=，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，方案二的锤子数学期望为1665341()15818181E X =⨯+⨯= 方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测吹数为1次，其概率为214139⎛⎫-= ⎪⎝⎭；若呈阳性则检测次数为3次，其概率为45199-=. 设方案三的检测次数为随机变量Y ，则Y 的可能取值为2、4、6，2416(2)981P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，124540(4)C 9981P Y ==⋅⋅=，2525(6)981P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：所以，方案三的期望为164025342()24681818181E Y =⨯+⨯+⨯=. 比较可得4()()E X E Y << 故选择方案一最“优”；（3）方案二：记检测次数为X ，则随机变量X 的锤子数学可能取值为1、5，4(1)(1)P X p ==-，4(5)1(1)P X p ==--，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为444()(1)51(1)54(1)E X p p p ⎡⎤=-+⨯--=--⎣⎦， 由于“方案二”比“方案一”更“优”，则4()54(1)4E X p =--<，可得41(1)4p ->，即21(1)2p ->，解得012p <<-，故当012p <<-时，方案二比方案一更“优”. 21．（本小题满分12分）已知函数21()e 2x f x ax =-(R a ∈)，其中e 为自然对数的底数，e 2.71828=．0()f x 是函数()f x 的极大值或极小值，则称0x 为函数()f x 的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点．（1）函数()f x 在(0，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）判断函数()f x 的极值点的个数，并说明理由；（3）当函数()f x 有两个不相等的极值点1x 和2x ln a ．解：（1）()0xf x e ax '=-≥在(0,)+∞上恒成立，xe a x≤恒成立；解得a e ≤.（2）()xf x e ax '=-，令()xg x e ax =-，则()xg x e a '=-①当0a <时，()0xg x e a '=->，()xf x e ax '=-在(,)-∞+∞上锤子数学单调递增又(0)10f '=>，1110a f e a ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，于是()xf x e ax '=-在(,)-∞+∞上有一个零点1x于是函数()f x 的有1个极值点；②当0a =时，()xf x e =单调递增，于是函数()f x 没有极值点；③当0a e <≤时，由()0xg x e a '=-=得ln x a =()0f x '≥，当且仅当ln x a =时，取“=”号，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，于是函数()f x 没有极值点； ④当a e >时，(ln )(1ln )0f a a a '=-<，(0)10f '=>又∵ln a a > ∴222()0a f a e a a a '=->-=于是，函数()f x '在(,ln )a -∞和(ln ,)a +∞上各有一个零点，分别为2x ，3x于是，函数()f x 的有2个极值点；综上：当0a <时函数()f x 的有1个极值点；当0a e <≤时函数()f x 没有极值点； 当a e >时函数()f x 的锤子数学有2个极值点. （2）当函数()f x 有两个不相等的极值点1x 和2x 时， 由（2）知a e >且121ln x a x <<<，()()120f x f x '='=令()()(2ln )F x f x f x x ='-'-，()2()x xe a F x e-'=，由()2()0x xe a F x e'-==得ln x a =()1(ln )0F x F a <=即()()112ln f x f a x '<'-即()()212ln f x f a x '<'-∵2ln x a >，12ln ln a x a ->，()f x '在(ln ,)a +∞单调递增 ∴212ln x a x <-即122ln x x a +<又12x x +>ln a <. 22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)过点1)，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点且12PF PF 1⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l ：y kx m =+(0m ≠)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，N 的半径为NO ．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值． 解：（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1(1)PF c =--，2(1)PF c =--.∵212411PF PF c ⋅=-++=-，∴c =又P 在椭圆上，故22211a b+=，又222a b =+，解得24a =，22b =， 故所求锤子数学方程为22142x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得()222214240kx kmx m +++-=，由0∆>，得2242m k <+（*）且122421km x x k -+=+，因此122221my y k +=+ 所以222,2121km m D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又(0,)N m -，所以222222||2121km m ND m k k ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()224222413||21m k k ND k++=+，因为||||NF m =，所以()()()422222222431||831||2121k k ND k NF k k +++==+++. 令283t k =+，3t ≥，故21214t k ++=， 所以222||1616111||(1)2ND t NF t t t=+=++++.令1y t t =+，所以211y t'=-当3t ≥时，0y '>，从而1y t t=+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22||134||ND NF ≤+=， 由（*）得m <<0m ≠，故||1||2NF ND ≥， 设2EDF θ∠=，则||1sin ||2NF ND θ=≥，所以θ的最小值为6π. 从而EDF ∠的最小值为3π，此时直线/的斜率为0. 综上所述：当0k =，((0,2)m ∈时，EDF ∠取得最小值为3π.。

江苏省如东中学2020年高三数学试题2020.3。

20本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上） 1．条件:12p x +>，条件:2q x >，则p ⌝是q ⌝的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若)10(0log log log 3)1(212<<>==+a x x x a a a，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．312x x x <<C ．132x x x <<D ．231x x x << 3．函数sin()y A x ωϕ=+(ω＞0,|ϕ|＜ 2π，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为 A ．4sin()84y x ππ=-- B ．4sin()84y x ππ=-+ C ．4sin()84y x ππ=- D ．4sin()84y x ππ=+4．以抛物线22x y =上点(2,2)P 为切点的切线，与其准线交点的横坐标为 A ．12-B ．54-C ．34D ．1145．已知正三棱锥S －ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且SA =23 ，则正三棱锥S －ABC 的外接球的表面积是A. 12πB. 32πC . 36πD. 48π6．设椭圆22221x y m n +=、双曲线12222=-ny m x 、抛物线x n m y )(22+=（其中0>>n m ）的离心率分别为321,,e e e ，则 A ．321e e e >B ．321e e e <C ．123e e e =D ．123e e e 与大小不确定7．将2n 个正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记)(n f 为n 阶幻方对角线上数的和，如右图就是一ABCD1A 1B 1C 1D P个3阶幻方，可知(3)15f =.已知将等差数列：3,4,5,L 前16项填入44⨯方格中,可得到一个4阶幻方,则其对角线上数的和等于A ．36B ．40C ．42D ．44 8．在长方体1111ABCD A B C D -中，P 为BD 上任意一点，则一定有 A ．1PC 与1AA 异面 B ．1PC 与1A C 垂直 C ．1PC 与平面11AB D 相交 D ．1PC 与平面11AB D 平行9．设331)(+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得(12)(11)(10)(0)(11)(12)(13)f f f f f f f -+-+-++++++L L 的值为A．3B ．C D 10．已知奇函数)(x f 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为]1,0()0,1[⋃-，则不等式1)()(->--x f x f 的解集是A ． {}011|≠≤≤-x x x 且B ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-10211|x x x 或C ． {}01|<≤-x xD ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤-12101|x x x 或第Ⅱ卷（非选择题，共计100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把正确的答案填在指定位置上） 11．若tan θ=2，则2sin 2θ-32sin2θ=___________． 12．若1)n x- (n∈N)的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第____________项． 13．在等比数列{}n a 中，公比2q =，前99项的和9930S =，则36999a a a a +++=L ______． 14．在平面直角坐标系中,点A 在圆22(1)1x y -+=上,点B 在直线10x y -+=上,则线段AB 的最小值= .15．设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A,B 两点,若△2ABF 为锐角三角形,则该椭圆离心率e 的取值范围是 .16．下面的语句是一个计算机程序的操作说明：(第10题图)（1）初始值为1,1,0,0x y z n ====； （2）1n n =+（将当前1n +的值赋予新的n ）； （3）2x x =+（将当前2x +的值赋予新的x ）； （4）2y y =（将当前2y 的值赋予新的y ）； （5）z z xy =+（将当前z xy +的值赋予新的z ）；（6）如果7000z >，则执行语句（7），否则返回语句（2）继续进行； （7）打印,n z ；（8）程序终止．由语句（7）打印出的数值为_____________，_____________ ． 三．解答题（本大题共5个小题，共70分）． 17．（本题满分12分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率； (Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.18．（本题满分14分）已知函数32()3f x x ax x =-+．（Ⅰ）若)(x f 在[1,)x ∈+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若3x =是)(x f 的极值点，求)(x f 在[1,]x a ∈上的最小值和最大值．19． （本题满分14分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点。

数学参考答案（理科）2.【解析】集合(2,1)B =-，所以{2,1,2}U A B =- （） ，有3个元素。

3.【解析】开区间上最小值一定是极小值，导数等于0，反过来不成立。

4.【解析】3927=3.14161250，355=3.141592113 ，22=3.1428577，故选B。

5.【解析】(1)1((1)1)f f +=--+，所以(1)3f -=-。

6.【解析】11=1n n k a n kn k++=+--，由k 是正数及反比例函数的单调性知50k -<且60k ->，故选D。

7.【解析】1211109895040sum =⨯⨯⨯⨯=，判断框在12,11,10,9,8i =都满足条件，7i =不满足，故选B8.【解析】(1()322f f ππ=-=-，，故选A。

9.【解析】球心是AC 的中点，25=R ，6125812534343πππ=⋅==R V ，选C10.【解析】设1910a b x x a b+=⇒+=-，于是199(10)()(101016a bx x a b a b b a -=++=++≥+=所以210+16028x x x -≤⇒≤≤，所以a b +的最小值是2（当13,22a b ==时取得）11.【解析】设点001(,)P x x ，切线l 方程为20012y x x x =-+，所以002(2,0),(0,)A x B x ，点001(,)P x x 是AB 中点，S 2AOB = ,命题（1）（2）都正确。

过原点作倾斜角等于15 和75 的2条射线与曲线的交点为,M N ,由对称性知OMN 是等边三角形,命题（3）正确。

过原点作2条夹角等于45 的射线与曲线的交点为,M N ,当直线OM 的倾斜角从90 减少到45 的过程中，OM ON 的值从+∞变化到0,在这个过程中必然存在OM ON 的时刻,此时OMN 是等腰直角三角形,命题（4）正确.12.【解析】解1：222||2132a b a b a b a b -=+-=-，由题设=()1||||1=||1a b a b c a b c a b +-≤+-+- ，所以22221||2132a b a b a b a b a b +≤+=++=+（），得212a b ≤ （），所以a b -≤≤ ，因此，||1a b -≤ ，易见等号可以取得，故选D。

如东高级中学2020届高三第一学期第三次阶段测试高 三 数 学 试 题 2020.12.25一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案填在题中横线上 1．已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =I __ ▲ . 2．设31sin (), tan(),522πααππβ=<<-=则tan(2)αβ-的值等于__ ▲ . 3．复数ii4321+-在复平面上对应的点位于第 __ ▲ 象限.4．在△ABC 中，BC=1，3π=∠B ，当△ABC 的面积等于3时，=C tan __ ▲ .5．设)(x f y =是一次函数,,1)0(=f 且)13(),4(),1(f f f 成等比数列,则++)4()2(f f …=+)2(n f __ ▲6．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如右图，则四棱锥P ABCD - 的表面积为__ ▲ 7．函数1)1(log +-=x y a (01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数n mx y +=的图象上，其中0mn >，则12m n+的最小值为__ ▲ ．8．设O 是△ABC 内部一点，且AOC AOB OB OC OA ∆∆-=+与则,2的面积之比为__ ▲ 9．若函数)(x f 是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为__ ▲10．（理）若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，并且M 、N 关于直线0=+y x 对称，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示的平面区域的面积是__ ▲（文）不等式组100y x y x y ≤+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域的面积是__ ▲11．已知函数)(x f 的导数a x x f a x x a x f =-+='在若)(),)(1()(处取到极大值，则a 的取值范围是 __ ▲12．若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点1M 、2M 与点1N 、2N ，则三角形面积之比为：21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆. 若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点1P 、2P 与点1Q 、2Q 和1R 、2R ，则类似的结论为：__ ▲13．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖__ ▲ 块． 14．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即 {}x m =. 在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]； ②函数)(x f y =的图像关于直线2kx =(k ∈Z)对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④ 函数()y f x =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数； 则其中真命题是__ ▲二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程 15．(本小题满分14分) 已知向量m =（sin B ，1－cos B )，且与向量n =u r（2，0）所成角为3π，其中A, B, C 是⊿ABC 的内角． （1）求角Ｂ的大小； （2）求sinA+sinC 的取值范围．16．(本小题满分14分) 已知数列}{n a 满足.2112,*,1,51111nn n n a a a a n n a -+=∈>=--有时且当N （Ⅰ）求证：数列}1{na 为等差数列； （Ⅱ）试问21a a 是否是数列}{n a 中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由17．(本小题满分15分) 设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=． （Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率． （Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．18．(本小题满分15分)已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；(Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积 A11AE C19．(本小题满分16分) （理科做）已知⊙),1,2(1:22A y x O 和定点=+由⊙O 外一点P （a,b ）向⊙O引切线PQ ，切点为Q ，且满足.||||PA PQ =（1）求实数a,b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值； （3）若以P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点，试求半径最小值时⊙P 的方程。

江苏省宿迁市如东中学2020-2021学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=( )A．22 B．23 C．24 D．25参考答案：A考点：等差数列的性质．分析：根据等差数列的性质，我们可将a k=a1+a2+a3+…+a7，转化为a k=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得a k=7a4=21d，进而求出k值．解答：解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将a k=a1+a2+a3+…+a7，化为a k=7a4，是解答本题的关键．2. 设变量满足约束条件,则目标函数z=3x-2y的最小值为( )A.－5B.－4C.－2D.3参考答案：B3. 集合，，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．参考答案：D4. 函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：C5. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是（）A．B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．参考答案：B【考点】圆的标准方程．【分析】设圆心，然后圆心到直线的距离等于半径可解本题．【解答】解：设圆心为（a，1），由已知得，∴．故选B．6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．30参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．故选：C．7.（A）（B）（C）（D）参考答案：A8. 已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S6=4S3，则a10=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵S6=4S3，d=1．∴×1=4×，解得a1=．则a10==．故选：B．9. 根据如下样本数据：( )得到的回归方程为=x+，则．A ．a ＞0，b ＞0B ．a＜0，b＜0C ．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0参考答案：D考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：利用公式求出b，a，即可得出结论．解答：解：样本平均数=5.5，=0.25，∴=23.75，=17.5，∴b≈1.4＞0，∴a=0.25﹣1.4?5.5＜0，故选：D．点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．10. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是 A． B．C． D．参考答案： B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在等比数列中，a 2＝2，且，则的值为_______．参考答案：5【知识点】等比数列【试题解析】在等比数列中，由 得：解得：或所以故答案为： 12.中，角所对的边成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则__________.参考答案：略13. 如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值参考答案：14.已知函数，的零点依次为则的大小关系是（用“<”连接）＿＿＿＿＿＿＿＿ 参考答案：略15. 函数（a>0，且a≠1）的图像过一个定点，则这个定点坐标是_________．参考答案：略16. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点坐标为，则 ．参考答案：由三角函数定义得，所以17. 不等式的解集为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

绝密★启用前江苏省如皋中学、如东中学2020届高三毕业班下学期阶段性联合调研考试数学试题(解析版)注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{}02A x x =<<，集合{}1B x x =>，则A B =______. 【答案】{}0x x >【解析】【分析】根据并集的定义，即可求解. 【详解】{}{}02,1A x x B x x =<<=>，{}0A B x x ∴⋃=>.故答案为：{}0x x >.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.已知i 为虚数单位,若复数3i ()12i a z a -=∈+R 为纯虚数,则a =___________. 【答案】2-【解析】【分析】根据复数的除法法则首先计算出221i 55a a z +-=+,根据纯虚数的概念列出方程,解出即可.【详解】i (i)(12i)221i 12i (12i)(12i)55a a a a z --++-===+--+, 由题可得20210a a +=⎧⎨-≠⎩,解得2a =-. 故答案为：2-.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,已知复数的类型求参数的值,属于基础题.3.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.【答案】53. 【解析】【分析】由题意首先求得平均数,然后求解方差即可.【详解】由题意,该组数据的平均数为678891086+++++=, 所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=. 【点睛】本题主要考查方差的计算公式,属于基础题.4.运行如图所示的伪代码,则输出的I 的值为_______.【答案】6【解析】。

数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，则U C A __________．2．设复数i z a b =+（a ，b ∈R ，i 是虚数单位），若()2i i z -=，则a b +的值为__________． 3．函数y =__________．4．棱长均为1的正四棱锥的体积为__________．5．已知实数x ，y 满足不等式组0,,40,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =-的最大值为__________．6．若“x ∃∈R ，220x x a ++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是__________． 7．将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象至少向右平移__________个单位，所得图象恰关于坐标原点对称．8．已知等差数列{}n c 的首项为11c =．若{}23n c +为等比数列，则2017c =__________．9．在平面直角坐标系xOy ，设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c （0c >）．当a ，b 任意变化时，a bc+的最大值是__________． 10．已知()tan 2αβ+=，()tan 3αβ-=，则sin 2cos 2αβ的值为__________．11．已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件的数组(),a b 为__________．12．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C ：222x y +=，直线20x by +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且3OA OB OA OB +≥-，则b 的取值范围为__________． 13．已知函数()31log 1x f x x +=-，平行四边形ABCD 四个顶点都在函数()f x 图像上，且()2,1A ，5,24B ⎛⎫⎪⎝⎭，则平行四边形ABCD 的面积为__________． 14．已知数列{}n x 各项为正整数，满足1, 21,nn n nn x x x x x +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数，为奇数，*n ∈N ．若343x x +=，则1x 所有可能取值的集合为__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知3b =，2c =． （1）若2cos 3a C =，求a 的值； （2）若cos 1cos c Cb B=+，求cos C 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AD BD =，90ABC ∠=︒，点E ，F 分别为棱AB ，AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面EFG P 平面BCD ．求证：（1）2BC EF =；（2）平面EFD ⊥平面ABC ． 17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设2AB x =，BC y =．（1）写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； （2）求当x 取何值时，凹槽的强度最大． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，点A ，B 分别为椭圆C 的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆C 于D 、E 两点，交AB 于M 点，其中点E 在第一象限，设直线DE 的斜率为k ．（1）当12k =时，证明直线DE 平分线段AB ； （2）已知点()0,1A ，则： ①若6ADM AEM S S ∆∆=，求k ； ②求四边形ADBE 面积的最大值． 19．（本小题满分16分） 已知数列{}n a 满足10a =，218a =，且对任意m ，*n ∈N 都有()221211324m n m n a a a m n --+-+=+-． （1）求3a ，5a ；（2）设2121n n n b a a +-=-（*n ∈N ）．①求数列{}n b 的通项公式；②设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ，是否存在正整数p ，q ，且1p q <<，使得1S ，p S ，q S 成等比数列？若存在，求出p ，q 的值，若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分） 已知()ln f x ax x =-（a R ∈）． （1）当2a =时，求()f x 的单调区间； （2）函数()f x 有两个零点1x ，2x ，且12x x < ①求a 的取值范围；②实数m 满足12ln ln x x m +>，求m 的最大值．2017届高三“四校联考”试卷数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知凸四边形ABCD 的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心O 在AB 上，且与四边形ABCD 的其余三边相切．点E 在边AB 上，且AE AD =． 求证：O ，E ，C ，D 四点共圆．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，设点(),5P x 在矩阵 1 23 4M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点()2,Q y y -，求1x M y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知极坐标系中的曲线2cos sin ρθθ=与曲线πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭交于A ，B 两点，求线段AB 的长． D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，0y >，求证：22x y x y+≥+． 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中xOy 中，已知定点()0,8A -，M ，N 分别是x 轴、y 轴上的点，点P 在直线MN 上，满足：0NM NP +=，0AM MN =．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设F 为P 点轨迹的一个焦点，C 、D 为轨迹在第一象限内的任意两点，直线FC ，FD 的斜率分别为1k ，2k ，且满足120k k +=，求证：直线CD 过定点． 23．（本小题满分10分）已知函数()()0sin axf x e bx c =+，设()n f x 为()1n f x -的导数，*n N ∈．（1）求()1f x ，()2f x ，()3f x ；（2）求()n f x 的表达式，并证明你的结论．2017届高三“四校联考” 数学学科参考答案及评分建议一、填空题1.{}2,52.15 3.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭4.65.86.()1,+∞7.π128.15711.()1,4 12.15,11,33⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦13.112 14.{}1,2,3,4,8 二、解答题15.（本题满分14分）【解】（1）由余弦定理，222232a b c aab+-=，……………………………………………………3分 将3b =，2c =代入，解得：2a =．………………………………………………………………6分 （2）由正弦定理，sin cos sin 1cos C CB B=+，由正弦定理可得，sin sin 2sin cos b c bB C C C==， 将3b =，2c =代入解得3cos 4C =．………………………………………………………………14分16.（本题满分14分）证明：（1）因为平面EFG P 平面BCD ， 平面ABD平面EFG EG =，平面ABD平面BCD BD =，所以EG BD P ，………………………………………………………………………………………4分 又G 为AD 的中点， 故E 为AB 的中点，同理可得，F 为AC 的中点，所以2BC EF =．……………………………………………………………………………………7分 （2）因为AD BD =， 由（1）知，E 为AB 的中点， 所以AB DE ⊥，又90ABC ∠=︒，即AB BC ⊥，由（1）知，EF BC P ，所以AB EF ⊥， 又DEEF E =，DE ，EF ⊂平面EFD ，所以AB ⊥平面EFD ，………………………………………………………………………………12分 又AB ⊂平面ABC ，故平面EFD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………14分17.（本小题满分14分）【解】（Ⅰ）易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为x π． 所以422x y x π=++，得()422xy π-+=……………………………………………………………………………………2分依题意知：0x y << 得404x π<<+ 所以，()422x y π-+=（404x π<<+）．………………………………………………………6分（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为T ，横截面的面积为S ，则有21222T AB S x xy x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭()23843x x π=-+()2163430T x x π'=-+=，0x =，16912x π=+………………………………………………9分因为16409124ππ<<++， 所以，当160912x π<<+时，0T '>，当1649124x ππ<<++时，0T '<， 所以当16912x π=+，凹槽的强度最大．……………………………………………………………13分答：所以当16912x π=+，凹槽的强度最大．………………………………………………………14分18.（本小题满分16分）【解】（1）点()0,1A ∴椭圆C 的方程为2214x y += 设()11,E x y ，()00,M x y ，则()11,D x y --，AB 的直线方程为：12xy +=（2）①设点A 到直线DE 的距离为d ，6ADM AEM S S ∆∆=，则11622DM d ME d =⨯ 6DM ME ∴=…………………………………………………………………………………………6分()01106x x DM ME x x --==-，即0175x x = 由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1x =12y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得0221x k =+………………………8分 2721k ∴=+2242560k k -+= 23k ∴=或38k =．………………………10分 ②点E 到直线AB 的距离1d =点D 到直线AB的距离2d =()111222115225ADBEx y S AB d d ⎛+-=+= ⎝…………………………………12分()1111111222222x y x y x y =+-+++=+…………………………………………………………14分=≤==当且仅当112x y =时取等号所以四边形ADBE 面积的最大值为16分19.（本小题满分16分）【解】（1）由题意，令2m =，1n =，则()231232214a a a +=+-，解得31a =．…………2分 令3m =，1n =，则()251332314a a a +=+-，解得55a =．…………………………………4分 （2）①以2n +代替m ，得23212123n n n a a a +-++=+．…………………………………………5分 则()()()21212112113n n n n a a a a +-+++-⎡⎤---=⎣⎦，即13n n b b +-=．所以数列{}n b 是以3为公差的等差数列．1311b a a =-=，()11332n b n n ∴=+-⨯=-．…………………………………………………8分②因为()()111111323133231n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭． 所以11111111113447323133131n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．…………11分则114S =，31p p S p =+，31q q S q =+．因为1S ，p S ，q S 成等比数列，2131431p q p q ⎛⎫∴= ⎪++⎝⎭，即26134p q p q ++=． 所以1p q <<，34433q q q +∴=+>．2613p p +∴>．p <<．……………………………………………………………………14分 又1p <，且*p ∈N ，2p ∴=，则16q =．所以存在正整数2p =，16q =，使得1S ，p S ，q S 成等比数列．……………………………16分 20.（本小题满分16分）【解】（1）当2a =时，()2ln f x x x =-()1212x f x x x-'∴=-=()f x ∴的单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………………2分（2）①()1f x a x'=-（0x >）当0a ≤时，()0f x '≤，()f x ∴在()0,+∞上至多只有一个零点，与条件矛盾（舍） 当0a >时，令()0f x '=，得1x a= 列表 x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x ' - 0 + ()f x ↓ 极小值 ↑()1ln f x a ∴=+极小值()f x 有两个不同的零点 1ln 0a ∴+<即10a e -<<……………………………………6分当10a e -<<时，10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10f a =>，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减且图像是不间断的此时1e a >，()f x ∴在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点 10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，21112ln f a aa ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 令()10,a μ=∈+∞，则设2ln t μμ=-，e μ>210t μ'∴=->，t ∴在(),e +∞上单调递增20t e ∴>->，210f a ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭ 又()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增且图像是不间断的()f x ∴在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点综上，10a e<<……………………………………………………………………………………9分 ②有条件知1122ln ln ax x ax x =⎧⎨=⎩将两式分别相加，相减得()1212ln ln x x a x x +=+，()1212ln ln x x a x x -=-()11221121211222lnln ln ln ln 11x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-∴+=+=+ ⎪-⎝⎭-设()120,1x t x =∈ 由题意得()ln 11t t m t +>-对于任意()0,1t ∈成立整理即得1ln 01t t mt --<+在()0,1t ∈成立 令()1ln 1t g t t m t -=-+，()0,1t ∈()()()()2222211211t m t mg t t t t t +-+'=-=++ 当2m ≤时，()()()2212242011t mm t g t t t ++--'=>≥++………………………………………………12分()g t 在()0,1上单调递增，则()()10g t g <=，满足条件当2m >时，令()0g t '=，()12210,12m t m -==-=211t m =->（舍）当()1,1t t ∈时，()0g t '<，()g t 在()1,1t 上单调递减()()10g t g ∴>=与条件矛盾综上，max 2m =……………………………………………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】 A ．（几何证明选讲） 证明：因为AD AE =， 所以()11802AED A ∠=︒-∠， 因为四边形ABCD 的顶点在一个圆周上， 所以180A BCD ︒-∠=∠， 从而AED DCO ∠=∠， 所以O ，E ，C ，D 四点共圆．B ．（矩阵与变换） 【解】依题意，1 223 45 x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即102,320,x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得4,8,x y =-⎧⎨=⎩…………………4分由逆矩阵公式知，矩阵 1 23 4M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1 2 131 22M --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，…………………………8分 所以1 2 14 1631 810 22x M y --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．…………………………………………………10分 C ．选修4—4：极坐标与参数方程【解】曲线2cos sin ρθθ=化为2x y =；………………………………………………………4分πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2x y +=，……………………………………………………8分联立方程组，解得()1,1A ，()2,4B -， 所以AB ==所以3222a a -=（0a >），解得2a =（负值已舍）．…………………………………………10分 D ．（不等式选讲）证明：因为x ，0y >，且()20x y -≥，（当且仅当x y =时“=”成立）所以222x y x yx y ++≥+， ①…………………………………………4分又2x y+≥（当且仅当x y =时“=”成立）②………………………………………8分 由①②得22x y x y+≥+x y =时“=”成立）．………………………………10分 【必做题】22.【解】（1）设P 点坐标(),x y ，M 点坐标(),0a ，N 点坐标()0,b ． 由0NM NP +=，0AM MN =，得2280x a y b a b ⎧=-⎪=⎨⎪-+=⎩消去a ，b 得24x y =所以P 点轨迹方程为24x y =．………………………………………………………………3分 （2）设C ，D 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则2114x y =，2224x y = 相减：()2212124x x y y -=-所以1212124CD y y x x k x x -+==-…………………………………………………………………5分1111y k x -=，2221y k x -=，由120k k +=得122112x y x y x x +=+ 所以2221121244x x x x x x +=+，得124x x = 直线CD ：()121112y y y y x x x x --=--，即()12114x xy y x x +-=-………………………7分令0x =，得22112111212141444x x x y x x x x xy y +--=-==-=- 所以直线CD 过定点()0,1-．………………………………………………………………10分23.（本小题满分10分）【解】（1）()()()()10sin cos axaxf x f x ae bx c be bx c '==+++()()sin ax e a bx c bx c ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦()sin ax bx c ϕ=++()()1222sin a bbx c ϕ=+++，其中sin ϕ=，cos ϕ=()()()()21sin cos ax axf x f x ae bx c be bx c ϕϕ'⎤==+++++⎦()()sin cos ax a bx c b bx c ϕϕ=+++++⎡⎤⎣⎦()()22sin 2ax a b e bx c ϕ=+++()()()()()2232sin 2cos 2ax ax f x f x a b ae bx c be bx c ϕϕ'⎡⎤==++++++⎣⎦()()3222sin 3ax a be bx c ϕ=+++……………………………………………………………3分（2）猜想()()()222sin n ax n f x a be bx c n ϕ=+++，*n N ∈①当1n =时，()()()12221sin f x a bbx c ϕ=+++成立②假设n k =时，猜想成立 即()()()222sin k ax k f x a be bx c k ϕ=+++…………………………………………………5分当1n k =+时，()()1k k f x f x +'=()()()222sin cos k ax ax a bae bx c k be bx c k ϕϕ⎡⎤=++++++⎣⎦()()()1222n ax a be bx c k bx c k ϕϕ+⎡⎤=+++++⎥⎦()()()1222sin 1k ax a be bx c k k ϕ+=++++∴当1n k =+时，猜想成立由①②()()()222sin n ax n f x a be bx c n ϕ=+++对*n N ∈成立………………………………10分。

江苏省如东中学2020年高三数学试题2020.3。

20本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上） 1．条件:12p x +>，条件:2q x >，则p ⌝是q ⌝的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若)10(0log log log 3)1(212<<>==+a x x x a a a，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．312x x x <<C ．132x x x <<D ．231x x x << 3．函数sin()y A x ωϕ=+(ω＞0,|ϕ|＜ 2π，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为 A ．4sin()84y x ππ=-- B ．4sin()84y x ππ=-+ C ．4sin()84y x ππ=- D ．4sin()84y x ππ=+4．以抛物线22x y =上点(2,2)P 为切点的切线，与其准线交点的横坐标为 A ．12-B ．54-C ．34D ．1145．已知正三棱锥S －ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且SA =23 ，则正三棱锥S －ABC 的外接球的表面积是A. 12πB. 32πC . 36πD. 48π6．设椭圆22221x y m n +=、双曲线12222=-ny m x 、抛物线x n m y )(22+=（其中0>>n m ）的离心率分别为321,,e e e ，则 A ．321e e e >B ．321e e e <C ．123e e e =D ．123e e e 与大小不确定7．将2n 个正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记)(n f 为n 阶幻方对角线上数的和，如右图就是一ABCD1A 1B 1C 1D P个3阶幻方，可知(3)15f =.已知将等差数列：3,4,5,L 前16项填入44⨯方格中,可得到一个4阶幻方,则其对角线上数的和等于A ．36B ．40C ．42D ．44 8．在长方体1111ABCD A B C D -中，P 为BD 上任意一点，则一定有 A ．1PC 与1AA 异面 B ．1PC 与1A C 垂直 C ．1PC 与平面11AB D 相交 D ．1PC 与平面11AB D 平行9．设331)(+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得(12)(11)(10)(0)(11)(12)(13)f f f f f f f -+-+-++++++L L 的值为A．3B ．C D 10．已知奇函数)(x f 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为]1,0()0,1[⋃-，则不等式1)()(->--x f x f 的解集是A ． {}011|≠≤≤-x x x 且B ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-10211|x x x 或C ． {}01|<≤-x xD ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤-12101|x x x 或第Ⅱ卷（非选择题，共计100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把正确的答案填在指定位置上） 11．若tan θ=2，则2sin 2θ-32sin2θ=___________． 12．若1)n x- (n∈N)的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第____________项． 13．在等比数列{}n a 中，公比2q =，前99项的和9930S =，则36999a a a a +++=L ______． 14．在平面直角坐标系中,点A 在圆22(1)1x y -+=上,点B 在直线10x y -+=上,则线段AB 的最小值= .15．设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A,B 两点,若△2ABF 为锐角三角形,则该椭圆离心率e 的取值范围是 .16．下面的语句是一个计算机程序的操作说明：(第10题图)（1）初始值为1,1,0,0x y z n ====； （2）1n n =+（将当前1n +的值赋予新的n ）； （3）2x x =+（将当前2x +的值赋予新的x ）； （4）2y y =（将当前2y 的值赋予新的y ）； （5）z z xy =+（将当前z xy +的值赋予新的z ）；（6）如果7000z >，则执行语句（7），否则返回语句（2）继续进行； （7）打印,n z ；（8）程序终止．由语句（7）打印出的数值为_____________，_____________ ． 三．解答题（本大题共5个小题，共70分）． 17．（本题满分12分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率； (Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.18．（本题满分14分）已知函数32()3f x x ax x =-+．（Ⅰ）若)(x f 在[1,)x ∈+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若3x =是)(x f 的极值点，求)(x f 在[1,]x a ∈上的最小值和最大值．19． （本题满分14分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点。

绝密★启用前江苏省如东高级中学2020-2021学年第一学期高一12月阶段测试（二） 数学试题学校：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1．已知3sin()35x π-=，则7cos()6x π+等于( ) A ．35B ．45C ．35D ．45-2．幂函数)(x f 满足)2(3)4(f f =,则)21(f 等于( )A.31B.3C.31-D.3- 3．设x R ∈，则“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知定义在[]1,2a a -上的偶函数()f x ，且当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（）A ．2(0,)3B ．15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12(,]33D ．25(,36]5．若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩且满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[)4,8B ．()4,8C ．(]1,8D ．()1,86．设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A ．MNB ．M NC ．MND ．M N ⋂=∅7．设2312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1223b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2ln sin2019c =，则（）A. c b a <<B. b a c <<C. a b c <<D. c a b <<8．函数()cos()f x A x ωϕ=+的部分图像如下图所示，其中0A >，0>ω，||2ϕπ<，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A. -1B. 1C. 3-3二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．若实数,0m n >，满足21m n +=，以下选项中正确的有（） A ．mn 的最大值为18B ．11m n+的最小值为42C ．2912m n +++的最小值为5 D ．224m n +的最小值为1210．若函数()f x 同时满足：（1）对于定义域内的任意x ，有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域内的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，有()()()1212[]0x x f x f x --<，则称函数()f x 为“理想函数”.给出下列四个函数是“理想函数”的是（） A ．()2f x x =B ．()3f x x =-C ．()1f x x x=-D ．()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩11．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）。