2019数学同步人教B必修2刷题首选卷(知识对点练+课时综合练) (55)

2023-2024学年全国高中数学同步练习考试总分：46 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1. 已知，则( )A.B.C.D.2. 已知点，，是函数的图象和函数图象的连续三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是( )A.B.C.D.3. 已知，，则（ ）A.B.C.cos α=14sin(−2α)=π218−1878−78A B C y =sin(ωx +)(ω>0)2–√π3y =sin(ωx −)(ω>0)2–√π6△ABC ω(,+∞)π2(,+∞)π4(0,)π2(0,)π4x ∈(0,)π8sin x x −cos x x =cos 3sin 318tan 4x =3–√3–√23–√3D.二、 多选题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）4. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A.函数在区间上为增函数B.直线是函数图像的一条对称轴C.函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到D.函数的图像关于点对称5. 下列式子的运算结果为的是( )A.B.C.D.6. 函数，，)的部分图象如图所示，已知函数在区间有且仅有个极大值点，则下列说法正确的是( )A.函数的最小正周期为B.点为函数的一个对称中心C.函数的图象向左平移个单位后得到的图象D.函数在区间上是增函数1f (x)=2cos x (sin x −cos x)y =f (x)(0,)π8x =3π8y =f (x)y =f (x)y =sin 2x π8y =f (x)(,0)π83–√2(sin cos −cos sin )35∘25∘35∘25∘2(cos cos +sin sin )35∘5∘35∘5∘1+tan 15∘1−tan 15∘tan π61−tan 2π6f(x)=A cos(ωx +φ)(A >0ω>0−<φ<0π2f (x)[0,m]3|f (x)|2(−,0)94f (x)f (x)32y =A sin(ωx +φ)f (x)[−m,0]325=sin C A +B7. 在中，已知，给出以下四个论断，其中正确的是( )A.B.为直角三角形C.D.8. 在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是( )A.B.若，则C.若，则D.若，则是直角三角形9. 下列最小正周期为的函数有( )A. B.C.D.10. 在中，，，分别为角，，所对的边，下列关于三角形的形状的判断中，正确的是A.若，则一定是等腰三角形B.若，则的形状为直角三角形C.若，则的形状为等腰三角形或直角三角形D.若，则的形状是正三角形卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）11. 已知，则________.△ABC tan=sin C A +B 2=1tan A tan B △ABC 1<sin A +sin B ≤2–√A +B =A +Bsin 2sin 2cos 2cos 2△ABC A B C a b c a ∶b =sin A ∶sin B=b sin B c cos C ∠C =π3(a +b +c)(a +b −c)=3ab∠C =π3b cos C +c cos B =a sin A △ABC πy =cos 2x 2y =|sin x|y =cos |2x|y =tan(2x −)π4△ABC a b c A B C ()a =2b cos C △ABC b cos C +c cos B =a sin A △ABC a cos A =b cos B △ABC ++=2ab sin C a 2b 2c 23–√△ABC sin θ+cos θ=23–√3sin 2θ=12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按顺时针方向旋转后经过点，则________.四、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计10分 ）13.(10分) 在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．求角的大小；求的取值范围．αx απ6(−1,)3–√cos α=△ABC A B C a b c =(sin B +sin C ，sin A +sin B)m →=(sin B −sin C,sin A)n →⊥m →n →(1)C (2)sin A +sin B参考答案与试题解析2023-2024学年全国高中数学同步练习一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1.【答案】D【考点】二倍角的余弦公式诱导公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴.故选.2.【答案】A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换函数y=Asin （ωx+φ）的性质正弦函数的图象【解析】作出两个函数的图象，结合锐角三角形的等价条件，进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可．【解答】cosα=14sin(−2α)=cos2α=2α−1π2cos 2=2×(−1=−14)278D解：作出两个函数的图象如图，则根据对称性知，即为等腰三角形，三角函数的周期，且，取的中点，连接，则，要使是锐角三角形，只需要即可，即即可，即．由，得，，解得，因此，即点纵坐标为，则，由得，即，解得，即，得，即的取值范围为.故选.3.【答案】C【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式【解析】AB =BC △ABC T =2πωAC =T AC M BM BM ⊥AC △ABC ∠ABM <45∘tan ∠ABM =<1AM BM AM ＜BM sin(ωx +)=sin(ωx −)2–√π32–√π6sin(ωx +)=sin(ωx −)π3π6ωx +=π−(ωx −)=−ωx π3π67π6ωx =5π12y =sin(ωx +)2–√π3=sin(+)=sin =12–√5π12π32–√3π4A 1BM =2AM ＜BM AC <BM 12T <212T <4<42πωω>π2ω(,+∞)π2A【解答】解：原式可化为 .故选 .二、 多选题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）4.【答案】A,B【考点】正弦函数的对称性正弦函数的单调性函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换两角和与差的正弦公式二倍角的余弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：，对于选项，当时，，函数为增函数，正确；令，得 ，当时，，所以直线是函数图像的一条对称轴，正确；函数的图像向右平移个单位得到函数图象，错误；sin 2x −121+cos 2x 2sin 2x =121−cos 2x 218⇒sin 4x =⇒4x 12=π6⇒tan 4x =3–√3C f (x)=2sin x cos x −2x cos 2=sin 2x −1−cos 2x=sin(2x −)−12–√π4A x ∈(0,)π82x −∈(−,0)π4π4y =f (x)A 2x −=+kπ,k ∈Z π4π2x =+3π8kπ2k ∈Z k =0x =3π8x =3π8y =f (x)B y =sin 2x π8y =sin[2(x −)]=sin(2x −)π8π4C ,−1)π函数关于对称，选项错误．故选．5.【答案】B,C【考点】两角和与差的余弦公式两角和与差的正弦公式两角和与差的正切公式【解析】此题暂无解析【解答】解：对于， ，不合题意；对于， ，符合题意；对于，，符合题意；对于， ，不符合题意.故选.6.【答案】B,C,D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式余弦函数的周期性余弦函数的对称性余弦函数的单调性【解析】y =f (x)(,−1)π8D AB A 2(sin cos −cos sin )35∘25∘35∘25∘=2sin(−)=2sin ≠35∘25∘10∘3–√B 2(cos cos +sin sin )35∘5∘35∘5∘=2cos(−)=2cos 35∘5∘30∘=2×=3–√23–√C =1+tan 15∘1−tan 15∘tan +tan 45∘15∘1−tan tan 45∘15∘=tan(+)=tan =45∘15∘60∘3–√D ==tan π61−tan 2π63√31−()3√323√323=3–√2BC ,−1)5由题意可求，利用周期公式可求， ，将代入中，结合范围，可求的值，进而利用余弦函数的图象和性质即可求解．【解答】解：由题意可知，函数过， ，所以，可得，解得.因为的最小值为，所以.将代入中，可得，所以，.因为，所以当时符合题意，此时，所以.，易知的最小正周期为，故错误；，将代入函数解析式可得，故点为函数的一个对称中心，故正确；，将函数的图象向左平移个单位，即，故正确；，因为在区间有且仅有个极大值点，所以，所以，又的增区间为，，所以，故正确．故选．7.【答案】B,C,D T ω=T A =1(,−1)54f(x)=cos(πx +φ)−<φ<0π2φf (x)(,0)34(,−1)54=−=T 4543412T ==22πωω=πf (x)−1A =1(,−1)54f (x)=cos(πx +φ)cos(π+φ)=−154π+φ=2kπ+π54k ∈Z −<φ<0π2k =0φ=−π4f (x)=cos(πx −)π4A |f (x)|=1T 2A B x =−94f (−)=cos(−π−)=cos 9494π4(−)=05π2(−,0)94f (x)B C f (x)32f (x +)=cos[π(x +)−]3232π4=cos[π+(πx −)]32π4=sin(πx −)π4C D f (x)[0,m]3m ∈[,)174254−m ∈(−,−]3253451100f (x)[2k −,2k +]3414k ∈Z [−m,0]⊂[−,]3253414D BCD【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式诱导公式三角形的形状判断【解析】（1）根据题目所给信息进行解题即可.【解答】解：因为，所以，整理得，所以，所以三角形为直角三角形.所以不一定为.又易得.因为 ，又，所以，即.综上可知正确的选项有.故选.8.【答案】A,C,D【考点】两角和与差的正弦公式解三角形余弦定理正弦定理【解析】tan =sin C A +B 2=2sin cos sin A +B 2cos A +B 2A +B 2A +B 2cos(A +B)=0A +B =π2ABC =A tan A tan B tan 21A +B =A +B sin 2sin 2cos 2cos 2sin A +sin B =sin A +cos A =sin(A +)2–√45∘<A +<45∘45∘135∘<sin(A +)≤12–√245∘1<sin A +sin B ≤2–√BCD BCD【解答】解：已知在中，角，，的对边分别是，，，则，选项正确；若，由正弦定理可得，即，解得，选项错误；若，即，由余弦定理可得，解得，因为，则，选项正确；若，由正弦定理可得，因为，解得，选项正确.故选.9.【答案】B,C【考点】三角函数的周期性及其求法二倍角的余弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：， ，它的最小正周期为：，不符合题意；，函数的图象是把的图象中横轴下方的部分以横轴为对称轴翻折上去，而 的最小正周期是，所以 的最小正周期为 ，符合题意；，函数 的图象与的图象一样，而 的最小正周期为，故 的最小正周期也是，符合题意；，的最小正周期为：，不符合题意．故选.10.【答案】A,B,C,D【考点】二倍角的正弦公式两角和与差的正弦公式△ABC A B C a b c a :b =sin A :sin B A =b sin B c cos C =b sin B c sin C sin C =cos C ∠C =π4B (a +b +c)(a +b −c)=+−+2ab =3ab a 2b 2c 2ab =+−a 2b 2c 22ab cos C =+−a 2b 2c 2cos C =120<C <π∠C =π3C b cos C +c cos B =a sin A sin B cos C +sin C cos B =sin A =A sin 20<A <πA =π2D ACD A y ==cos 2x 21+cos x 2=2π2π|1|B y =sin x y =sin x y =sin x 2πy =sin x πC y =cos |2x|y =cos(2x)y =cos(2x)=π2π|2|y =cos |2x|πD y =tan(2x −)π4=π|2|π2BC两角和与差的余弦公式基本不等式余弦定理正弦定理【解析】利用正弦定理，余弦定理，三角恒等变换将各个选项进行逐一分析求解即．【解答】解：由可得，，即，一定是等腰三角形，正确；由可得，即，即，由，，，为直角三角形，正确；由可得，即，或，或，为等腰三角形或直角三角形，正确；由可得结合余弦定理可得，即，当且仅当时取等号，故，又，，，，又，为等边三角形，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）11.【答案】【考点】a =2b cos C a =2b ×+−a 2b 2c 22ab ∴=+−a 2a 2b 2c 2b =c ∴△ABC A b cos C +c cos B =a sin A sin B cos C +sin C cos B =A sin 2sin(B +C)=A sin 2A =sin Asin 2sin A ≠0∴sin A =1A =π2∴△ABC B a cos A =b cos B sin A cos A =sin B cos B sin 2A =sin 2B ∴2A =2B 2A +2B=π∴A =B A +B =π2∴△ABC C ++=2ab sin C a 2b 2c 23–√+=ab(cos C +sin C)a 2b 23–√cos(C −)=≥=1π3+a 2b 22ab 2ab 2ab a =b cos(C −)=1π3C ∈(0,π)∴C −∈(−,)π3π32π3∴C −=0π3C =π3a =b ∴△ABC D ABCD 13二倍角的正弦公式同角三角函数基本关系的运用【解析】根据平方关系和二倍角的正弦公式求解．【解答】解：由平方得，即，所以．故答案为：．12.【答案】【考点】任意角的三角函数两角和与差的余弦公式【解析】利用定义及两角和与差的的公式直接计算即可．【解答】解：由题意得顺时针旋转后角度为．．过点．，．．．故答案为：.四、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计10分 ）13.sin θ+cos θ=23–√31+2sin θcos θ=431+sin 2θ=43sin 2θ=1313−3–√2β∴β=α−π6∵(−1,)3–√∴sin β=3–√2cos β=−12∴cos α=cos(β+)=cos βcos −sin βsin π6π6π6=−×−×123–√23–√212=−3–√2−3–√2【答案】解：∵，∴，∴，∴，∴.又，∴．,∵，∴，∴，∴的取值范围是.【考点】正弦定理平面向量数量积的运算余弦定理正弦函数的定义域和值域两角和与差的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∴，∴，∴.又，∴．(1)⊥m →n →⋅=0m →n →B −C +(sin A +sin B)sin A =0sin 2sin 2=++ab c 2a 2b 2cos C =−12C ∈(0,π)C =2π3(2)sin A +sin B =sin A +sin(−A)π3=sin A +cos A −sin A 3–√212=sin A +cos A123–√2=sin(A +)π3A ∈(0,)π3A +∈(,π)π3π323sin(A +)∈(,1]π33–√2sin A +sin B (,1]3–√2(1)⊥m →n →⋅=0m →n →B −C +(sin A +sin B)sin A =0sin 2sin 2=++ab c 2a 2b 2cos C =−12C ∈(0,π)C =2π3(2)sin A +sin B =sin A +sin(−A)π3=sin A +cos A −sin A3–√212sin A +cos A –√,∵，∴，∴，∴的取值范围是.=sin A +cos A 123–√2=sin(A +)π3A ∈(0,)π3A +∈(,π)π3π323sin(A +)∈(,1]π33–√2sin A +sin B (,1]3–√2。

第 1 页 共 9 页必修2综合测试题一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．21 B ．23 C ．22 D ．223 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是( )． A ．2x ―y ―1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋21y －1＝0 4．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程是( )． A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y ＋1＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝05．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )．A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台（4（3（1（2第 2 页 共 9 页6．直线3x ＋4y －5＝0与圆2x 2＋2y 2―4x ―2y ＋1＝0的位置关系( )． A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心7．过点P (a ，5)作圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝4的切线，切线长为32，则a 等于( )． A ．－1B ．－2C ．－3D ．08．圆A : x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0与圆B : x 2＋y 2―2x ―6y ＋1＝0的位置关系是( )． A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含9．已知点A (2，3，5)，B (－2，1，3)，则|AB |＝( )． A ．6B ．26C ．2D ．2210．如果一个正四面体的体积为9 dm 3，则其表面积S 的值为( )． A ．183dm 2B ．18 dm 2C ．123dm 2D ．12 dm 211．正六棱锥底面边长为a ，体积为23a 3，则侧棱与底面所成的角为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°12．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的23，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为(5＋2)( )． A ．2B ．32 ＋4 C ．32 ＋5 D ．37二、填空题13．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是______．14．若圆B : x 2＋y 2＋b ＝0与圆C : x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，则b 的取值范围是________________．15．已知△P 1P 2P 3的三顶点坐标分别为P 1(1，2)，P 2(4，3)和P 3(3，－1)，则这个三第 3 页 共 9 页角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________．16．已知三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为___________．三、解答题 17．求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．18.已知三角形三顶点A(4,0), B(8,10), C(0,6),求：(1)AC 边上的高所在的直线方程；(2)过A 点且平行与BC 的直线方程；19.如图，1111ABCD A B C D 是正四棱柱。

高中数学必修2全册同步练习题目录1-1-1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1-1-2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征1-2-1、2 中心投影与平行投影空间几何体的三视图1-2-3 空间几何体的直观图1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积1-3-2 球的体积和表面积高中数学第一章综合素能检测2-1-1 平面2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系2-1-3、4 空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系2-2-1 直线与平面平行的判定2-2-2 平面与平面平行的判定2-2-3 直线与平面平行的性质2-2-4 平面与平面平行的性质2-3-1 直线与平面垂直的判定2-3-2 平面与平面垂直的判定2-3-3 直线与平面垂直的性质2-3-4 平面与平面垂直的性质高中数学第二章综合素能检测3-1-1 倾斜角与斜率3-1-2 两条直线平行与垂直的判定3-2-1 直线的点斜式方程3-2-2 直线的两点式方程3-2-3 直线方程的一般式3-3-1 两条直线的交点坐标3-3-2 两点间的距离公式3-3-3、4 点到直线的距离两条平行直线间的距离高中数学第三章综合检测4-1-1 圆的标准方程4-1-2 圆的一般方程4-2-1 直线与圆的位置关系4-2-2 圆与圆的位置关系4-2-3 直线与圆的方程的应用4-3-1、2 空间直角坐标系空间两点间的距离公式高中数学第四章综合检测一、选择题1．在棱柱中()A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行[答案] D2．下列几何体中，不属于多面体的是()A．立方体B．三棱柱C．长方体D．球[答案] D3．如图所示的几何体是()A．五棱锥B．五棱台C．五棱柱D．五面体[答案] C4．下列命题中，正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形[答案] D5．棱锥侧面是有公共顶点的三角形，若围成一个棱锥侧面的三角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个．() A．3B．4C．5D．6[答案] C[解析]由于顶角之和小于360°，故选C.6．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为()A．三棱锥有四个面是三角形B．棱锥都是有两个面是互相平行的多边形C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱交于一点[答案] B7．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是()[答案] B8．(2012－2013·嘉兴高一检测)如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案] B[解析]在图(2)、(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)、(3)完全一样，而(1)、(4)则不同[解题提示]让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断．二、填空题9．图(1)中的几何体叫做________，AA1、BB1等叫它的________，A、B、C1等叫它的________．[答案]棱柱侧棱顶点10．图(2)中的几何体叫做________，P A、PB叫它的________，平面PBC、PCD叫做它的________，平面ABCD叫它的________．[答案]棱锥侧棱侧面底面11．图(3)中的几何体叫做________，它是由棱锥________被平行于底面ABCD的平面________截得的．AA′，BB′叫它的__________，平面BCC′B′、平面DAA′D′叫它的________．[答案]棱台O－ABCD A′B′C′D′侧棱侧面12．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③水面EFGH始终为矩形．其中正确的命题序号是________．[答案]①③[解析]根据棱柱的定义及结构特征来判断．在棱柱中因为有水的部分和无水的部分始终有两个面平行，而其余各面易证是平行四边形，故①正确；而随着倾斜程度的不同，水面EFGH的面积是会改变的，但仍为矩形故②错误；③正确．三、解答题13．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．[解析](1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．14．如右图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解析]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的正八面体．有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，图(1)中截去的是什么几何体？图(2)中截去一部分，其中HG∥AD∥EF，剩下的几何体是什么？若再用一个完全相同的正方体放在第一个正方体的左边，它们变成了一个什么几何体？[解析]三棱锥五棱柱A1B1BEH－D1C1CFG长方体16．一个几何体的表面展开平面图如图．(1)该几何体是哪种几何体；(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？[解析](1)该几何体是四棱台；(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．一、选择题1．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[答案] C[解析]由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥[答案] D3．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心[答案] D[解析]圆锥的母线长与底面直径的大小不确定，则A项不正确；圆柱的母线与轴平行，则B项不正确；圆台的母线与轴相交，则C项不正确；很明显D项正确．4．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[答案] B[解析]圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.5．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为()A．10 B．20C．40 D．15[答案] B[解析]圆柱的轴截面是矩形，其一边为圆柱的母线，另一边为圆柱的底面圆的直径．因而，轴截面的面积为5×4＝20.6．在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合是()A．球B．正方体C．圆D．球面[答案] D7．(2012－2013·南京模拟)经过旋转可以得到图1中几何体的是图2中的()[答案] A[解析]观察图中几何体的形状，掌握其结构特征，其上部为一个圆锥，下部是一个与圆锥同底的圆台，圆锥可由一直角三角形以过一直角边的直线为轴旋转一周得到，圆台可由一直角梯形绕过垂直于两底的腰的直线为轴旋转而成，通过上述判断再对选项中的平面图形适当分割，只有A适合．故正确答案为A.8．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．(1)(2)B．(1)(3)C．(1)(4)D．(1)(5)[答案] D[解析]圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形．二、填空题9．图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．[答案]球球心半径直径10．图②中的几何体叫________，AB、CD都是它的________，⊙O和⊙O′及其内部是它的________．[答案] 圆柱 母线 底面11．图③中的几何体叫做________，SB 为叫它的________． [答案] 圆锥 母线12．图④中的几何体叫做________，AA ′叫它的________，⊙O ′及其内部叫它的________，⊙O 及其内部叫它的________，它还可以看作直角梯形OAA ′O ′绕它的________________旋转一周后，其他各边所形成的面所围成的旋转体．[答案] 圆台 母线 上底面 下底面 垂直于两底的腰OO ′ 三、解答题13．说出下列7种几何体的名称．[解析]a是圆柱，b是圆锥，c是球，d、e是棱柱，f是圆台，g 是棱锥．14．说出如图所示几何体的主要结构特征．[解析](1)是一个六棱柱中挖去一个圆柱；(2)是一个圆台与一个圆柱的组合体；(3)是两个四棱锥构成的组合体．15．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．[解析]先出画几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：16．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AA′＝3 cm.求在长方体表面上连接A、C′两点的诸曲线的长度的最小值．[解析]将长方体的表面展开为平面图，这就将原问题转化为平面问题．本题所求必在下图所示的三个图中，从而，连接AC′的诸曲线中长度最小的为41 cm(如图乙所示)．一、选择题1．一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为()A．棱锥B．棱柱C．圆锥D．圆柱[答案] C2．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为()A．圆台B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台[答案] D3．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案] D4．(2012－2013·安徽淮南高三模拟)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④[答案] D[解析]①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．[点评]熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基本的要求．下图是最基本的常见几何体的三视图.[答案] C[解析]结合俯视图的定义，仔细观察，易得答案C.6．一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为()A．圆柱与圆台B．四棱柱与四棱台C．圆柱与四棱台D．四棱柱与圆台[答案] B[解析]该几何体形状如图．上部是一个四棱柱，下部是一个四棱台．7．如图所示几何体的正视图和侧视图都正确的是()[答案] B8．(2011·新课标全国高考)在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为()[答案] D[解析]此几何体为一个半圆锥和一个半三棱锥的组合体，只有D项符合题意．二、填空题9．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是________．[答案]②④⑤[解析]三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．10．由若干个小正方体组成的几何体的三视图如下图，则组成这个组合体的小正方体的个数是________．[答案] 5[解析]由三视图可作出直观图，由直观图易知共有5个小正方体．11．(2012～2013·烟台高一检测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有________．[答案]①②③④12．(2012－2013·湖南高三“十二校联考”)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．[答案] 3[解析]该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等于4，如图(1)所示的四棱锥A－A1B1C1D1，如图(2)所示，三个相同的四棱锥A－A1B1C1D1，A－BB1C1C，A －DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体．三、解答题13．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图．[解析]所给四棱锥的三视图如下图．[点评](1)画三视图时，务必做到正视图与侧视图的高度一致(即所谓的高平齐)、正视图与俯视图的长度一致(即所谓的“长对正”)、侧视图与俯视图的宽度一致(即所谓的“宽相等”)．(2)习惯上将侧视图放在正视图的右侧，将俯视图放在正视图的下方．[拓展提高]1．三视图中各种数据的对应关系：(1)正视图中AB的长对应原四棱锥底面多边形的左右方向的长度，AC、BC的长则不对应侧棱的长，它们对应四棱锥的顶点到底面左、右两边的距离．(2)侧视图中，EF的长度对应原四棱锥底面的前后长度，GE、GF的长度则是四棱锥顶点与底面前后两边的距离．(3)俯视图中HIJK的大小与四棱锥底面的大小形状完全一致，而OK，OI，OJ，OH的大小，则为四棱锥的顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离．2．误区警示：正视图、侧视图中三角形的腰长有的学生会误认为是棱锥的侧棱长，实则不然．弄清一些数据的对应关系，是后面进行相关计算的前提．14．依所给实物图的形状，画出所给组合体的三视图．[解析]图中所给几何体是一个圆柱和一个正六棱柱的组合体，在中心以中心轴为轴线挖去一个小圆柱，故其三视图如下：15．说出下列三视图表示的几何体：[解析]16．根据下列图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．[答案]所对应的空间几何体的图形为：一、选择题1．如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这两条线段()A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等[答案] A2．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是()①角的水平放置的直观图一定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．3．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上说法正确的是()A．①B．①②C．③④D．①②③④[答案] B[解析]根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．4．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是()[答案] A[解析]由几何体直观图画法及立体图形中虚线的使用可知A正确．5．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ADC．BC D．AC[答案] D[解析]△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，则AC＞AB，AC ＞AD，AC＞BC.6．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm[答案] C[解析]由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.7．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的()[答案] C[解析]由直观图一边在x′轴上，一边与y′轴平行，知原图为直角梯形．8．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )[答案] C[解析] C 中前者画成斜二测直观图时，底AB 不变，原来高h 变为h 2，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB 变为原来的12.二、填空题9．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M (4,4)在直观图中的对应点是M ′，则点M ′的坐标为________，点M ′的找法是________．[答案] M ′(4,2) 在坐标系x ′O ′y ′中，过点(4,0)和y ′轴平行的直线与过点(0,2)和x ′轴平行的直线的交点即是点M ′.[解析] 在x ′轴的正方向上取点M 1，使O 1M 1＝4，在y ′轴上取点M 2，使O ′M 2＝2，过M 1和M 2分别作平行于y ′轴和x ′轴的直线，则交点就是M ′.10．如右图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是________．[答案] 10[解析] 由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB ＝AC 2＋BC 2＝10.11．如图，是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．[答案] 16[解析] 由图易知△AOB 中，底边OB ＝4， 又∵底边OB 的高为8， ∴面积S ＝12×4×8＝16.12．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________？[答案]8[解析]原图形为OABC为平行四边形，OA＝1，AB＝OA2＋OB2＝3，∴四边形OABC周长为8.三、解答题13．用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)．[解析]14．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．[解析] 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D ′的面积为12×(1＋2)×24＝328.15．已知几何体的三视图如下，用斜二测画法，画出它的直观图(直接画出图形，尺寸不作要求)．[解析]如图．16．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图．[分析]该几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接成的简单组合体．[解析]直观图如图a所示，三视图如图b所示．一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍 C.2倍 D ．2倍[答案] D[解析] 由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr ＝2，故选D.2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于( )A ．27B ．4 3C ．6D ．3[答案] C[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ， 则c ＝1，ab ＝2，a 2＋b 2·c ＝5， ∴a ＝2，b ＝1，故S 侧＝2(ac ＋bc )＝6.3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π[答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h ＝2πr ，∴S 全＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2(1＋2π)又S 侧＝h 2＝4π2r 2，∴S 全S 侧＝1＋2π2π.[点评] 圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．4．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 2[答案] B[解析] 原来正方体表面积为S 1＝6a 2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为13a ，其表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＝23a 2，总表面积S 2＝27×23a 2＝18a 2，∴增加了S 2－S 1＝12a 2.5．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为( )A ．81πB ．100πC ．14πD ．169π[答案] B[解析] 圆台的轴截面如图，设上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r .因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，有102＝(4r )2＋(4r －r )2.解得r ＝2.所以S 圆台侧＝π(r ＋4r )·10＝100π，故选B.6．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为( )A.3π2 B ．2π C ．πD ．4π[答案] A[解析] 由三视图可知，该几何体是底半径为12，高为1的圆柱，故其全面积S ＝2π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2π×12×1＝3π2.7．(2012－2013·安徽合肥一模)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π[答案] B[解析] 该几何体是两底面半径分别为1、2，母线长为4的圆台，则其侧面积是π(1＋2)×4＝12π.8．(2011·海南、宁夏高考)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积(单位：cm 2)为( )A ．48＋12 2B ．48＋24 2C ．36＋12 2D ．36＋24 2[答案] A[解析] 由三视图可得：底面为等腰直角三角形，腰长为6，面积为18；垂直于底面的面为等腰三角形，面积为12×62×4＝122；其余两个面为全等的三角形，每个三角形的面积都为12×6×5＝15.所以全面积为48＋12 2.二、填空题9．已知圆柱OO ′的母线l ＝4 cm ，全面积为42π cm 2，则圆柱OO ′的底面半径r ＝ ________cm.[答案] 3[解析] 圆柱OO ′的侧面积为2πrl ＝8πr (cm 2)，两底面积为2×πr 2＝2πr 2(cm 2)，∴2πr 2＋8πr ＝42π， 解得r ＝3或r ＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为3 cm.10．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．[答案] 24＋2 3[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(12×2×3)＋3×(4×2)＝24＋2 3.11．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．[答案] (410＋28)π[解析] 挖去的圆锥的母线长为62＋22＝210，则圆锥的侧面积等于410π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为410π＋24π＋4π＝(410＋28)π.12．下图中，有两个相同的直三棱柱，高为2a ，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a (a >0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是________．[答案] 0<a <153[解析] 底面积为6a 2，侧面面积分别为6、8、10，拼成三棱柱时，有三种情况：S 1＝2×6a 2＋2(10＋8＋6)＝12a 2＋48， S 2＝24a 2＋2(10＋8)＝24a 2＋36， S 3＝24a 2＋2(10＋6)＝24a 2＋32. 拼成四棱柱时只有一种情况：表面积为(8＋6)×2＋4×6a 2＝24a 2＋28.由题意得24a 2＋28<12a 2＋48，解得0<a <153. 三、解答题13．已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S －ABCD ，如图所示，求它的表面积．[分析] 求各侧面的面积→ 求侧面积→求底面积→求表面积[解析] ∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5， 各侧面都是全等的正三角形， 设E 为AB 的中点， 则SE ⊥AB ，∴S 侧＝4S △SAB ＝4×12×5×532＝253， S 底＝52＝25，∴S 表面积＝S 侧＋S 底＝253＋25＝25(3＋1)． 14．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b )．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．[解析] (1)如图，设O 1、O 分别为上、下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高．由题意知∠C 1CO ＝45°，CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22(b －a )， 在Rt △C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝22(b －a )， 又EF ＝CE ·sin45°＝12(b －a )， ∴C 1F ＝C 1E 2＋EF 2 ＝[22(b －a )]2＋[12(b －a )]2＝32(b －a )．∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2)． (2)由S 侧＝a 2＋b 2，∴12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2， ∴h 斜＝a 2＋b 22(a ＋b ).又EF ＝b －a 2，∴h ＝h 2斜－EF 2＝aba ＋b.15．(2012－2013·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．[解析] 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，∴r ＝1S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. ∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.16．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)[解析] 几何体的直观图如图．这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜高h ′＝22，其表面积S ＝42＋4×4×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×22×4＝48＋16 2 cm 2.一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( ) A ．6 3 B ．3 6 C ．11 D ．12[答案] A[解析] 设长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，则ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3.2．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为( )A ．32 3B ．28 3C ．24 3D ．20 3 [答案] B[解析] 上底面积S 1＝6×34×22＝63， 下底面积S 2＝6×34×42＝243， 体积V ＝13(S 1＋S 2＋S 1S 2)·h＝13(63＋243＋63·243)×2＝28 3.3．(2012～2013学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )。

第三章排列、组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.1基本计数原理基础过关练题组一分类加法计数原理1.(2023辽宁葫芦岛协作校考试)某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习,某位学生任选1门课程学习,则不同的选法共有()A.40种B.20种C.15种D.11种2.(2021天津宝坻一中期末)用1,3,5,7中的任意一个数作分子,2,4,8,9中的任意一个数作分母,可构成真分数的个数为()A.8B.9C.10D.113.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有()A.4种B.5种C.6种D.7种4.如图,一只蚂蚁从正四面体ABCD的顶点A出发,沿着正四面体ABCD的棱爬行,每秒爬一条棱,每次爬行的方向是随机的,则蚂蚁第1秒后到点B,第4秒后又回到点A的不同爬行路线有()A.6条B.7条C.8条D.9条5.(2022江苏连云港二模)2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有10支,冬奥会冰壶混双比赛的赛程安排如下,先进行循环赛,循环赛规则规定每支队伍都要和其余9支队伍轮流交手一次,循环赛结束后按照比赛排名决出前4名进行半决赛,胜者决冠军,负者争铜牌,则整个冰壶混双比赛的场数是()A.48B.49C.93D.94题组二分步乘法计数原理6.(2023湖北鄂东南三校联考)“谁知盘中餐,粒粒皆辛苦”,节约粮食是我国的传统美德.已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜,小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭,并全部吃完,则不同的选取方法有()A.13种B.22种C.30种D.60种7.(2021江苏南京第十三中学期末)用数字0,1,2,3组成没有重复数字的三位数,其中比200大的有()A.24个B.12个C.18个D.6个8.(2022重庆广益中学月考)某市汽车牌照号码(由五个字符构成)可以上网自编,且从左到右第二个字符只能从字母B,C,D中选择,其他四个字符可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复).第一个字符(从左到右)车主只想在3,5,6,8,9中选择,剩下的三个字符只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A.180种B.360种C.720种D.960种9.(2022辽宁丹东期末)汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后,需要紧固轮胎的五个螺栓,记为A,B,C,D,E(在正五边形的顶点上),紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓,但不能连续固定相邻的两个,则不同的固定螺栓顺序的种数为()A.20B.15C.10D.510.(2022广东顺德德胜学校期中)给图中的A,B,C,D四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,且相邻的区域所涂颜色不同,若有5种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方案的种数为()A.180B.360C.64D.25题组三基本计数原理的应用11.(2022湖南张家界月考)有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有()A.21种B.315种C.153种D.143种12.(2022广东东莞期中)由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的三位偶数,则共有()A.20个B.32个C.40个D.52个13.(2021河南信阳模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种生肖(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学每个吉祥物都喜欢,如果让三位同学对选取的礼物都满意,那么不同的选法有()A.30种B.50种C.60种D.90种14.(2022江苏苏州中学期中)某校文创社团近期设计了两款明信片文创作品,借此展示学校的文化底蕴和春天美景,一经推出,广受欢迎.为了支持慈善事业,校志愿者社团派出李明和张伟等5人帮助文创社团公益售卖这两款明信片,5人分为两组,每组售卖同一款明信片.若李明和张伟必须售卖同一款明信片,且每款明信片至少由2名志愿者售卖,则不同的售卖方案种数为()A.8B.10C.12D.1415.(2022北京东城期末)算盘是中国古代的一项重要发明,迄今已有2 600多年的历史.现有一算盘,取其两档(如图1),自右向左分别表示十进制数的个位和十位,中间一道横梁把算珠分为上、下两部分,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下四珠,上拨一珠记作数字1(如图2中的算盘表示整数51).若拨动图1的两枚算珠,则可以表示不同整数的个数为()图1图2C.10D.1516.(2022北京人大附中期末)现有甲、乙、丙三种树苗可供选择,分别种在一排的五个坑中,至少种两种树苗,要求相同的树苗不能相邻,第一个和第五个坑只能种甲种树苗,则有种不同的种法.17.(2021浙江宁波期末)对“田”字形的四个格子进行染色,若每个格子均可从红、黄、蓝三种颜色中选一种,每个格子只染一种颜色,且相邻的格子不能都染成红色,则满足要求的染法有种.能力提升练题组基本计数原理的应用1.(2022北京第五十五中学期中)中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如:26可表示为“”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1~9这9个数字表示两位数的个数为()A.13B.14C.15D.162.(2022湖南师大附中期末)某单位有4位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,1,2,5,为遵守所在城市某月15日至18日这4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),四人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天,则不同的用车方案种数是()A.4B.123.(2022山东省实验中学期末)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两个端点异色,若有4种颜色可供使用,则不同的染色方法有()A.48种B.72种C.96种D.108种4.(2022山东潍坊月考)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到A,B,C三个路口协助交警值勤,他们申请值勤路口的意向如表所示:交通路口A B C志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁已知这四名志愿者的申请被批准,且值勤安排符合他们的意向,若要求A,B,C三个路口都有志愿者值勤,则不同的安排方法有()A.14种B.11种C.8种D.5种5.(多选)(2021福建泉州一中期中)某校实行选课走班制度,张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科,且生物在B层,该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示,张毅选择的三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则下列说法正确的是()第1节第2节第3节第4节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层生物B层物理B层物理A层2班1班1班4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A.此人有4种选课方式B.此人有5种选课方式C.自习不可能安排在第2节D.自习可安排在4节课中的任一节6.(2022陕西西安八校联考)将摆放在编号为1,2,3,4,5五个位置上的五件不同商品重新摆放,则恰有一件商品的位置不变的摆放方法有种.(用数字作答)7.(2022上海建平中学期末)从7张分别印有数字0,1,2,3,4,5,6的卡片中取出4张(数字6的卡片可以倒过来当9用),可以组成个无重复数字且能被4整除的四位数.答案与分层梯度式解析基础过关练1.D2.D3.A4.B5.B6.D7.B8.D9.C 10.A 11.D 12.D 13.B 14.A 15.B1.D2.D 分四种情况:(1)当分子为1时,有12,14,18,19,共4个真分数;(2)当分子为3时,有34,38,39=13,共3个真分数;(3)当分子为5时,有58,59,共2个真分数;(4)当分子为7时,有78,79,共2个真分数.由分类加法计数原理知,可构成真分数的个数为4+3+2+2=11.故选D.3.A 当三堆中最多的一堆为5个时,其他两堆总和为5,有2种分法,即1和4,2和3;当三堆中最多的一堆为4个时,其他两堆总和为6,有2种分法,即2和4,3和3.所以不同的分法共有2+2=4(种).故选A.4.B 由题意可画图如下,则不同的爬行路线有7条.故选B.5.B ∵循环赛共有9×102=45(场),决出前4名后,分两组进行半决赛,半决赛举行2场,胜者决冠军举行1场,负者争铜牌举行1场,∴整个冰壶混双比赛的场数为45+2+1+1=49.6.D7.B 由题意可知,百位上的数字为2或3,十位上的数字可在剩余3个数字中选择1个,个位上的数字再在剩下的2个数字中选择1个.由分步乘法计数原理可知,比200大的三位数的个数为2×3×2=12.故选B.8.D 从左到右,第一个字符在3,5,6,8,9中选择,共有5种选法;第二个字符在字母B,C,D中选择,共有3种选法;剩下的三个字符在1,3,6,9中选择,每个字符有4种选法.所以共有5×3×4×4×4=960种选法.9.C 如图,先在A,B,C,D,E这五个螺栓中任选一个,有5种选法;假设选中A,则再在C,D中任选一个,有2种选法;剩下的三个螺栓只有1种固定顺序.故共有5×2=10种不同的固定顺序.故选C.10.A 第一步涂A,有5种涂法;第二步涂B,和A不同色,有4种涂法;第三步涂C,和A,B不同色,有3种涂法;第四步涂D,和B,C不同色,有3种涂法.由分步乘法计数原理可知,共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案,故选A.11.D 由题意,选1本语文书和1本数学书有9×7=63种选法,选1本数学书和1本英语书有7×5=35种选法,选1本语文书和1本英语书有9×5=45种选法,∴共有63+35+45=143种不同的选法.故选D. 12.D 若个位上的数字是2或4,则0不能在百位,十位上的数字在余下4个数字中选择,共有2×4×4=32(个);若个位上的数字是0,则百位、十位上的数字在余下5个数字中选择2个,共有5×4=20(个).所以可以组成32+20=52个没有重复数字的三位偶数.故选D.13.B ①若甲同学选择牛,则乙同学有2种选择,丙同学有10种选择,不同的选法种数为2×10=20;②若甲同学选择马,则乙同学有3种选择,丙同学有10种选择,不同的选法种数为3×10=30.综上,共有20+30=50种不同的选法.故选B.14.A 若李明和张伟两人组成一组,则有1种分组方法;若李明、张伟和其他1人组成一组,则有3种分组方法.所以共有1+3=4种分组方法.将分好的两组安排售卖这两款明信片,不同的售卖方案种数为4×2=8.故选A.15.B 拨动两枚算珠可分为以下三类:(1)在个位上拨动两枚,可表示2个不同整数;(2)在十位上拨动两枚,可表示2个不同整数;(3)在个位、十位上分别拨动一枚,可表示2×2=4个不同整数.根据分类加法计数原理,一共可表示2+2+4=8个不同整数.故选B. 16.答案 6解析由题意得,只有中间三个坑需要选择树苗.①当中间的坑种甲种树苗时,第二个和第四个坑都有2种种法,共有4种种法;②当中间的坑种乙种树苗时,第二个和第四个坑都种丙种树苗;③当中间的坑种丙种树苗时,第二个和第四个坑都种乙种树苗.所以共有4+1+1=6种不同的种法.17.答案56解析若4个格子中没有染红色,则每格都染成黄色或蓝色,有24=16种不同染法;若4个格子中恰有1格染成红色,则有3格染成黄色或蓝色,有4×23=32种不同染法;若4个格子中恰有2格染成红色,则有2格染成黄色或蓝色,有2×22=8种不同染法.所以满足要求的染法共有16+32+8=56(种).能力提升练1.D2.B3.B4.B5.BD1.D 6根算筹可以表示的数字组合为(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,3),(3,7),(7,7),数字组合(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,7)中,每组可以表示2个两位数,则可以表示2×7=14个两位数;数字组合(3,3),(7,7)中,每组可以表示1个两位数,则可以表示2×1=2个两位数.故一共可以表示14+2=16个两位数,故选D.2.B 第一步,安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有22=4(种).第二步,安排偶数日出行,分两类:第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种;第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共有2+1=3(种).根据分步乘法计数原理知,不同的用车方案共有4×3=12(种),故选B.3.B 记四棱锥为P-ABCD.当A,C颜色相同时,先染P,有4种染色方法,再染A,C,有3种染色方法,然后染B,有2种染色方法,最后染D,有2种染色方法,所以有4×3×2×2=48种染色方法.当A,C颜色不同时,先染P,有4种染色方法,再染A,有3种染色方法,然后染C,有2种染色方法,最后染B,D,都有1种染色方法,所以有4×3×2×1×1=24种染色方法.综上,共有48+24=72种不同的染色方法.故选B.4.B ①C路口安排丙和丁执勤,则A,B路口安排甲或乙分别执勤,有2种安排方法;②C路口安排丙执勤,则丁只能被安排在A路口执勤,甲、乙均被安排在B路口执勤或甲、乙中一人被安排在A路口执勤,另一人被安排在B路口执勤,有3种安排方法;③C路口安排丁执勤,则丙被安排在A路口或B路口执勤,若丙被安排在A路口执勤,则甲、乙均被安排在B路口执勤或甲、乙中一人被安排在A路口执勤,另一人被安排在B路口执勤,有3种安排方法,同理,若丙被安排在B路口执勤,则有3种安排方法.综上,不同的安排方法有2+3+3+3=11(种).故选B.5.BD 由于生物在B层,只有第2,3节有,故分两类:若生物选第2节,则地理可选第1节或第3节,有2种选法,其他两节政治、自习任意选即可,故有2×2=4种选法(此种情况自习可安排在第1,3,4节中的某节);若生物选第3节,则地理只能选第1节,政治只能选第4节,自习只能选第2节,故有1种选法.由分类加法计数原理可得,选课方式有4+1=5(种).综上,自习可安排在4节课中的任一节.6.答案45解析根据题意,分2步进行分析:①从五件不同商品中选出一件,放到原来的位置上,有5种情况,假设编号为5的商品位置不变;②剩下的四件都不在原来的位置,即编号为1,2,3,4的四件商品都不在原来的位置,则编号为1的商品有3种放法,假设其放在了编号为2的商品原来的位置,则编号为2的商品有3种放法,剩下编号为3,4的两件商品只有1种放法,故剩下的四件商品有3×3×1=9种放法.故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有5×9=45(种).7.答案276解析①后两位为04,20,40,60,对于04,20,40需要考虑是否取到数字6,共有(20+8)×3+20=104(个);②后两位为12,24,32,52,注意0不在首位,共有(5+12+6)×4=92(个);③后两位为16,36,56,64,92,注意0不在首位,共有(4+12)×5=80(个).∴可以组成104+92+80=276个无重复数字且能被4整除的四位数.。

人教B版高中数学必修第二册全册学案第四章指数函数、对数函数与幂函数................................................................................ - 2 -4.1指数与指数函数..................................................................................................... - 2 -4.1.1实数指数幂及其运算.................................................................................. - 2 -4.1.2指数函数的性质与图像.............................................................................. - 7 -第1课时指数函数的性质与图像.............................................................. - 7 -第2课时指数函数的性质与图像的应用................................................ - 13 -4.2对数与对数函数................................................................................................... - 19 -4.2.1对数运算 ................................................................................................... - 19 -4.2.2对数运算法则........................................................................................ - 23 -4.2.3对数函数的性质与图像............................................................................ - 28 -第1课时对数函数的性质与图像............................................................ - 28 -第2课时对数函数的性质与图像的应用................................................ - 33 -4.3指数函数与对数函数的关系............................................................................... - 39 -4.4幂函数 .................................................................................................................. - 44 -4.5增长速度的比较................................................................................................... - 49 -4.6函数的应用(二) .................................................................................................... - 54 - 第五章统计与概率.............................................................................................................. - 59 -5.1统计 ...................................................................................................................... - 59 -5.1.1数据的收集................................................................................................ - 59 -第1课时总体与样本、简单随机抽样.................................................... - 59 -第2课时分层抽样.................................................................................... - 65 -5.1.2数据的数字特征........................................................................................ - 70 -5.1.3数据的直观表示........................................................................................ - 78 -5.1.4用样本估计总体........................................................................................ - 86 -5.3概率 ...................................................................................................................... - 92 -5.3.1样本空间与事件........................................................................................ - 92 -5.3.2事件之间的关系与运算............................................................................ - 96 -5.3.3古典概型 ................................................................................................. - 102 -5.3.4频率与概率.............................................................................................. - 107 -5.3.5随机事件的独立性.................................................................................. - 110 -5.4统计与概率的应用............................................................................................. - 116 - 第六章平面向量初步........................................................................................................ - 121 -6.1平面向量及其线性运算..................................................................................... - 121 -6.1.1向量的概念.............................................................................................. - 121 -6.1.2向量的加法.............................................................................................. - 126 -6.1.3向量的减法.............................................................................................. - 132 -6.1.4数乘向量 ................................................................................................. - 137 -6.1.5向量的线性运算...................................................................................... - 141 -6.2向量基本定理与向量的坐标............................................................................. - 146 -6.2.1向量基本定理.......................................................................................... - 146 -6.2.2直线上向量的坐标及其运算.................................................................. - 151 -6.2.3平面向量的坐标及其运算...................................................................... - 154 -6.3平面向量线性运算的应用................................................................................. - 161 - 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．必备知识·探新知知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．(2)表示：n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0 x＝__n a__x＝__±n a__0不存在思考：对于式子n a中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．知识点根式(1)当na 有意义时，na 称为根式，n 称为__根指数__，a 称为被开方数． (2)性质：①(na )n＝__a __；②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __，n 为奇数，__|a |__，n 为偶数.思考：(n a )n 与na n 中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n 中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n 中，a ∈R ．分数指数幂的意义 知识点正分数 指数幂 n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n＝__na __ 正分数m n，a m n ＝__(n a )m __＝na m负分数 指数幂s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1as __思考：分数指数幂中的mn有什么规定？提示：mn 为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数．知识点无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t 是一个确定的__实数__． 思考：当a ＞0时，式子a x 中的x 的范围是什么？ 提示：x ∈R ． 知识点实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R )(1)a r a s ＝__a r ＋s __． (2)(a r )s ＝__a rs __． (3)(ab )r ＝__a r b r __．关键能力·攻重难题型探究题型n 次方根的概念及相关问题典例剖析典例1 (1)求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围；(2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号．[解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于n a ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要na 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号． 对点训练1．(1)若4a －2＋(a －3)0有意义，则a 的 取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__； (2)已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6(x －2)6＝__1__．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －3≠0，得a ≥2，且a ≠3．(2)∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0，∴(4x －1)4＋6(x －2)6＝x －1＋|x －2|＝x －1－(x －2)＝1．题型根式与分数指数幂的互化典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15；a 34；a －23； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a 2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解． [解析] (1)a 15＝5a ；a 34＝4a 3；a －23＝1a 23＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63＝a 2；13a 2＝1a 23＝a －23．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．对点训练2．(1)用根式表示下列各式：x 35；x －13； (2)用分数指数幂表示下列各式： ①b 3a 2·a 2b 6(a ＞0，b ＞0)； ②a －4b 23ab 2(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)x 35＝5x 3；x －13＝13x． (2)①b 3a 2·a 2b6＝b 3a 2·a b 3＝a －12． ②a－4b 23ab 2＝a －4b 2·(ab 2)13 ＝a－4b 2a 13 b 23 ＝a－113b 83＝a－116b 43．题型有理(实数)指数幂的运算法则的应用典例剖析典例3 化简：(1)(5x －23y 12)·⎝⎛⎭⎫－14x －1y 12 ·⎝⎛⎭⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)； (2)0.064－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75； (3)32＋3×27－33； (4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎡⎦⎤5×(－14)×(－56)·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ． (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 ＝52－1＋116＋18＝2716． (3)32＋3×27－33＝32＋3×(33)－33＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12]12＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12＋(2)1－3＋1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2 ＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14]＋2 ＝(2)14＋2＝2＋218．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．对点训练 3．化简与求值(1)⎝⎛⎭⎫－338 －23 ＋(0.002)－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3a 32·a －3·(a －5)－12 ·(a －12 )13． [解析] (1)原式＝(－1) －23⎝⎛⎭⎫338－23 ＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫278－23 ＋(500) 12 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679． (2)原式＝(a 32·a －23 )13·[(a －5)－12·(a －12)13] 12＝(a 0) 13·(a 52·a －23)12＝(a －4) 12＝a －2．易错警示典例剖析典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1． [正解] ∵(－a ) 12存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14＝(－a )14．4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时 指数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．2．掌握指数函数的性质与图像． 3．初步学会运用指数函数来解决问题．1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养．2．通过利用计算机软件作指数函数的图像，发展直观想象素养．3．通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养．必备知识·探新知知识点指数函数函数__y ＝a x __称为指数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1． 思考：(1)为什么指数函数的底数a ＞0，且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a ＝0，当x ＞0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义． ②如果a ＜0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义．③如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．(2)①a ＞0，且a ≠1，②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1． 指数函数的图像和性质知识点0＜a ＜1a ＞1图像定义域 实数集R 值域 __(0，＋∞)__ 性质过定点__(0,1)__是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，…，为什么一定过点(0,1)? (2)对于指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，在下表中，？处y 的范围是什么？底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 ？ x ＜0 ？ 0＜a ＜1x ＞0 ？ x ＜0？提示：(1)当x ＝0时，a 0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)． (2)底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 y ＞1 x ＜0 0＜y ＜1 0＜a ＜1x ＞0 0＜y ＜1 x ＜0y ＞1关键能力·攻重难题型探究题型指数函数的概念典例剖析典例1 (1)函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为__2__． (2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝__1e __．[分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解． (2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f (－π)． [解析] (1)由题意得a 2－3a ＋3＝1， 即(a －2)(a －1)＝0， 解得a ＝2或a ＝1(舍)．(2)设指数函数为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则e ＝a π，所以f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e ．规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a ＞0，且a ≠1； ②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y ＝13x ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)． (2)利用已知条件求底数A ． (3)写出指数函数的解析式． 对点训练1．(1)函数f (x )＝(2a －3)a x 是指数函数，则f (1)＝( D ) A ．8 B ．32C ．4D ．2(2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，那么f (4)·f (2)＝__64__． [解析] (1)因为f (x )＝(2a －3)a x 为指数函数，所以2a －3＝1，解得a ＝2，所以f (1)＝21＝2．(2)设指数函数的解析式为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 因为函数的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，所以 14＝a －2，所以a ＝2， 所以指数函数的解析式为y ＝2x ， 所以f (4)·f (2)＝24×22＝26＝64． 题型指数函数的图像问题典例剖析典例2 (1)函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y ＝23－x 的图像，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像( A ) A ．向右平移3个单位 B ．向左平移3个单位 C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论，分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论判断． (2)先对解析式变形，再进行判断． [解析] (1)函数y ＝x ＋a 单调递增． 由题意知a ＞0且a ≠1．当0＜a ＜1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于0且小于1； 当a ＞1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D ． (2)因为y ＝23－x ＝⎝⎛⎭⎫12 x －3，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝⎛⎭⎫12x －3 ， 即y ＝23－x 的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图像所过的定点．对点训练2．(1)图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系是( D )A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ．b ＜a ＜1＜c ＜dD ．b ＜a ＜1＜d ＜c(2)若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图像经过第一、三和第四象限，则( B ) A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析] (1)过点(1,0)作直线x ＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1＜d ＜c ，b ＜a ＜1，故b ＜a ＜1＜d ＜C ．(2)y ＝a x (a ＞0)的图像在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图像经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B ．题型指数函数的定义域、值域问题典例剖析典例3 (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值域为(1，＋∞)，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－2，－1)∪(1，2)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)函数y ＝52x －1的定义域为__⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x ≥12__． [分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得． (2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析] (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则底数a 2－1＞1，a 2＞2，所以|a |＞2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．(2)要使函数y ＝52x －1有意义，则2x －1≥0，所以x ≥12.所以函数y ＝ 52x －1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥12．规律方法：函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 对点训练3．(1)已知集合A ＝{x |y ＝21x -4}，B ＝{0,2,4}，A ∩B ＝____________；(2)求函数y ＝312x -4的定义域和值域．[解析] (1)要使y ＝21x -4有意义需x －4≠0，则x ≠4，即A ＝{x |x ≠4，x ∈R }，所以A ∩B ＝{0,2}．(2)要使函数y ＝312x -4有意义，只需2x －4＞0，解得x ＞2；令t ＝12x -4，则t ＞0，由于函数y ＝3t在t ∈(0，＋∞)上是增函数，故3t＞1.故函数y ＝312x -4的定义域为{x |x ＞2}，值域为{y |y ＞1}．误区警示：此题易忽略2x －4≠0，而误认为2x －4≥0从而造成错误．易错警示典例剖析典例4 若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[错解] ∵函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，∴a ＝3．故实数a 的值为3．[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论．[正解] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝0a 2－1＝2，解得a ＝ 3.当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝3．第2课时 指数函数的性质与图像的应用素养目标·定方向课程标准学法解读1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝⎛⎭⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1． 知识点 解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解；(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x(a＞0且a≠1)的__单调性__求解；(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝b x(b＞0且b≠1)的图像求解．知识点与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝a f(x)(a＞0且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有__相同__的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相同__的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相反__的单调性．思考：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性取决于哪个量？(2)如何判断形如y＝f(a x)(a＞0且a≠1)的函数的单调性？提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1比较下列各组数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；(4)55，33，2．[分析]底数相同的幂值a b与a c比较大小，一般用y＝a x的单调性；指数相同的幂值a c 与b c比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝a x与y＝b x的图像考察x＝c时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y ＝0.8x ，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y ＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数． ∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得 1．70.3＞1.70＝1， 0.93.1＜0.90＝1， ∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝212＝(23) 16 ＝816，33＝313 ＝(32) 16 ＝916 而8＜9.∴816 ＜916，即2＜33， 又2＝212＝(25) 110 ＝32110，55＝515＝(52) 110，而25＜32，∴55＜2．总之，55＜2＜33．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．对点训练1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x 与0.3x ＋1； (2)⎝⎛⎭⎫12－2与212 ．[解析] (1)∵y ＝0.3x 为减函数， 又x ＜x ＋1，∴0.3x ＞0.3x ＋1．(2)化同底为：(12)－2＝22，与212 ，∵函数y ＝2x 为增函数，2＞12．∴22＞212，即(12)－2＞212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域典例剖析典例2 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域． [分析] 利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解 [解析] 令t ＝－x 2＋x ＋2， 则y ＝⎝⎛⎭⎫12t ，因为t ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上是减函数， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞； 又t ≤94，所以⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫1294， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎡⎭⎫⎝⎛⎭⎫1294，＋∞． 规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域． 对点训练2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的单调递减区间是__[1，＋∞)__，值域是__⎝⎛⎦⎤－∞，32__． [解析] 令t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，利用二次函数的性质可得函数t 的增区间为[1，＋∞)，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的减区间是[1，＋∞)；因为t ≥－1，所以f (x )≤32，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32． 题型指数函数性质的综合应用典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( B )A ．(4,8)B ．[4,8)C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围． [解析] (1)因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2)①因为f (x )为R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1， 因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )， 即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3， 由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤x 0，g (x )，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小． 对点训练3．(1)若将本例(1)中的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，其他条件不变，试求a 的范围；(2)已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，总存在 x 2∈[－2,2]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数m 的取值范围是__m ≥－5__．[解析] (1)因为函数f (x )满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，所以函数f (x )在定义域上是增函数， 则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＞1，a ≥32.得32≤a ＜2． (2)因为f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数， 所以f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]， 则当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－3,3]， 若对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]， 使得g (x 2)≥f (x 1)， 则等价为g (x )max ≥3，因为g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， x ∈[－2,2]，所以g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ， 则满足8＋m ≥3解得m ≥－5．易错警示典例剖析典例4 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34， 所以函数的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．[辨析] 在换元时，令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，所以⎝⎛⎭⎫12x ＞0，在误解中忽略了这一点． [正解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34． 因为t ＞0，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数， 所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数的概念．2．知道自然对数和常用对数．3．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数的概念(1)定义：在代数式a b ＝N (a ＞0且a ≠1)，N ∈(0，＋∞)中，幂指数b 称为以a 为底N 的对数．(2)记法：b ＝__log a N __，a 称为对数的__底数__，N 称为对数的__真数__． (3)范围：N ＞0，即__负数和零没有对数__． 思考：(1)为什么负数和零没有对数？ (2)对数式log a N 是不是log a 与N 的乘积？提示：(1)因为b ＝log a N 的充要条件是a b ＝N ，当a ＞0且a ≠1时，由指数函数的值域可知N ＞0，故负数和零没有对数．(2)不是，log a N 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数． 知识点对数恒等式(1)a log a N ＝N ． (2)log a a b ＝B ． 知识点常用对数与自然对数(1)常用对数：log 10N ，简写为lg N ．(2)自然对数：log e N ，简写为ln N ，e ＝2.718 28…．关键能力·攻重难题型探究题型对数的概念典例剖析典例1 若a 2 020＝b (a ＞0，且a ≠1)，则( A ) A ．log a b ＝2 020 B ．log b a ＝2 020 C ．log 2 020a ＝bD ．log 2 020b ＝a(2)对数式log (a －2)(5－a )中实数a 的取值范围是( C ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2,3)∪(3,5)D ．(2，＋∞)(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．log 39＝2与912＝3 C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[分析] (1)根据对数的定义转化．(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0． (3)根据对数式的定义判断．[解析] (1)若a 2020＝b (a ＞0，且a ≠1)则log a b ＝2 020．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，解得2＜a ＜3或3＜a ＜5．(3)由指、对数式的互化可知，A 、C 、D 正确；对于B 选项log 39＝2可化为32＝9，所以B 选项错误．规律方法：指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 对点训练1．(1)如果a 5＝b (a ＞0且a ≠1，b ＞0)，则( A ) A ．log a b ＝5 B ．log a 5＝b C ．log 5a ＝bD ．log 5b ＝a(2)若对数式log (t －2)3有意义，则实数t 的取值范围是( B ) A ．[2，＋∞) B ．(2,3)∪(3，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)[解析] (1)如果a 5＝b (a ＞0，且a ≠1，b ＞0)则化为对数式为log a b ＝5．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧t －2＞0t －2≠1，解得t ＞2且t ≠3．所以t 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞) 题型利用指数式与对数式关系求值角度1 利用指数式与对数式的互化求值 典例剖析典例2 求下列各式的值： (1)log 381； (2)log 4116；(3)log 128；(4)lg 0.1．[解析] (1)因为34＝81，所以log 381＝4． (2)因为4－2＝116，所以log 4116＝－2．(3)因为⎝⎛⎭⎫12－3＝8，所以log 128＝－3．(4)因为10－1＝0.1，所以lg 0.1＝－1． 角度2 两个特殊对数值的应用 典例3 已知log 2[log 3(log 4x )]＝ log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值． [解析] 因为log 2[log 3(log 4x )]＝0， 所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64，同理求得y ＝16，所以x ＋y ＝80． 规律方法：对数性质在求值中的应用1．对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0．2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．对点训练2．(1)log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12等于( C ) A ．36 B ．39C ．24D ．23(2)log 3127＝__－3__；log 5 625＝__4__．[解析] (1)因为log 5[log 3(log 2x )]＝0， 所以log 3(log 2x )＝1，所以log 2x ＝3，所以x ＝23＝8，所以x －12＝8－12＝18＝24． (2)因为3－3＝127，所以log 3127＝－3；因为54＝625， 所以log 5 625＝4． 题型对数恒等式的应用典例剖析 典例4 计算： (1)71－log 75； (2)412(log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)．[解析] (1)原式＝77log 75＝75．(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95．(3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝C ．规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数．对点训练3．求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋(19)log 34的值．[解析] 原式＝3·3log 36－24·2log 23＋(10lg3)3＋(3log 34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4716．易错警示典例剖析典例5 求满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值． [错解] ∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，∴x 2＋3x ＝x ＋3， 即x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1.故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值为－3和1． [辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．[正解] 由对数性质，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＞0x ＋3＞0x ＋3≠1x 2＋3x ＝x ＋3，解得x ＝1．故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1的x 的值为1．4.2.2 对数运算法则素养目标·定方向2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．值，进一步提升数学抽象与数学运算素养．必备知识·探新知知识点 积、商、幂的对数若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有 (1)积的对数：__log a (MN )＝log a M ＋log a N __． (2)商的对数：__log a MN ＝log a M －log a N __．(3)幂的对数：__log a M n ＝n log a M __．思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a (MNQ )是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，log a (MNQ )＝log a M ＋log a N ＋log a Q ，积的对数运算性质可以推广到n 项的乘积．知识点 换底公式若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0，则有__log a b ＝log c blog c a __．思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ (2)你能用换底公式推导出结论log Nn M m ＝mn log N M 吗？提示：(1)log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a．(2)log Nn M m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM ．关键能力·攻重难题型探究题型利用对数的运算法则求值典例剖析 典例1 计算：(1)log a 2＋log a 12(a ＞0且a ≠1)；(2)log 318－log 32；(3)2log 510＋log 50.25； (4)2log 525＋3log 264； (5)log 2(log 216)； (6)62log 63－20log 71＋log 4116． [解析] (1)log a 2＋log a 12＝log a (2×12)＝log a 1＝0．(2)log 318－log 32＝log 3(18÷2)＝log 39＝2． (3)2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2．(4)2log 525＋3log 264＝2log 552＋3log 226＝4＋18＝22． (5)log 2(log 216)＝log 24＝2．(6)原式＝6log 69－20×0＋log 44－2＝9－2＝7． 规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)． 对点训练1．计算log 535＋2log 22－log 5150－log 514的值． [解析] log 535＋2log 22－log 5150－log 514＝log 535＋2×12＋log 550－log 514＝log 535×5014＋1＝3＋1＝4．题型利用对数的运算法则化简典例剖析典例2 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg (xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z ；(4)lg xy 2z ．[解析] (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ． (2)lg xy 2z ＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ．(3)lg xy 3z ＝lg (xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z ．(4)lg x y 2z ＝lg x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z ．规律方法：关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．对点训练2．lg 2＝a ，lg 3＝b ，试用a 、b 表示lg 108，lg 1825．[解析] lg 108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg 33＋lg 22＝3lg 3＋2lg 2＝2a ＋3B ．lg 1825＝lg 18－lg 25＝lg (2×32)－lg 10222＝lg 2＋lg 32－lg 102＋lg 22＝lg 2＋2lg 3－2＋2lg 2＝3a ＋2b －2．题型换底公式及其应用典例剖析典例3 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645的值； (2)设3x ＝4y ＝6z ＞1，求证：1z －1x ＝12y．[分析] 在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x ，y ，z ，并结合换底公式与对数的运算性质证明．[解析] (1)由18b ＝5，得log 185＝b ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝b ＋a 1＋1－log 189＝a ＋b 2－a．(2)设3x ＝4y ＝6z ＝t ，∵3x ＝4y ＝6z ＞1， ∴t ＞1，∴x ＝lg t lg 3，y ＝lg t lg 4，z ＝lg tlg 6，∴1z －1x ＝lg 6lg t －lg 3lg t ＝lg 2lg t ＝lg 42lg t ＝12y ． ∴1z －1x ＝12y． 规律方法：换底公式的应用(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值． (2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式1log a b ＝log b A ．对点训练3．(1)若3a ＝7b ＝21，求1a ＋1b的值；(2)设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．[解析] (1)∵3a ＝7b ＝21， ∴a ＝log 321，b ＝log 721， ∴1a ＋1b ＝1log 321＋1log 721 ＝1lg 21lg 3＋1lg 21lg 7＝lg 3＋lg 7lg 21＝lg 2112lg 21＝2．(2)∵4a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 4m ，b ＝log 5m ， 又1a ＋2b ＝1，∴1log 4m ＋2log 5m ＝1， 即log m 4＋2log m 5＝1， ∴log m 100＝1，∴m ＝100．易错警示典例剖析典例4 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 2xy的值．[错解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵xy ＝1或4， ∴log2xy＝log 21＝0或log 2xy＝log 24＝4． [辨析] 误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．[正解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，∴x ＝y 应舍去． ∴xy＝4，∴log 2xy＝log 24＝4．4.2.3对数函数的性质与图像第1课时对数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数函数的概念．2．初步掌握对数函数的性质与图像．理解对数函数的概念及对数函数的性质与图像，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数函数函数y＝__log a x__称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？(2)对数函数的解析式有何特征？提示：(1)定义域为x＞0，因为负数和零没有对数．(2)①a＞0，且a≠1；②log a x的系数为1；③自变量x的系数为1．对数函数的性质与图像知识点0＜a＜1a＞1 图像定义域__(0，＋∞)__值域__R__性质过__定点(1,0)____是减函数____是增函数__思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x，…，为什么一定过点(1,0)?(2)对于对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞1？0＜x＜1？0＜a＜1x＞1？0＜x＜1？提示：(1)当x＝1时，log a1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞1y＞0 0＜x＜1y＜00＜a＜1x＞1y＜0 0＜x＜1y＞0关键能力·攻重难题型探究题型对数函数的概念典例剖析典例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；(3)y＝log x2；(4)y＝log2x＋1．[解析](1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．(2)是对数函数．(3)自变量在底数位置，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1．(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x．对点训练1．(1)下列函数是对数函数的是(D)A．y＝log a(2x) B．y＝lg 10x。

阶段检测(二)对应学生用书P37(范围：1．2)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列图形一定是平面图形的是()A．有一个角是直角的四边形B．有两个角是直角的四边形C．有三个角是直角的四边形D．四个角都是直角的四边形【答案】 D【解析】结合空间四边形可知，选项A，B，C不一定是平面图形，四个角都是直角的四边形是矩形，是平面图形．2．若a与b是两条异面直线，那么在经过b的所有平面中()A．只有一个平面与a平行B．有无数个平面与a平行C．没有平面与a平行D．有且只有二个平面与a平行【答案】 A【解析】在直线b上任取一点P，过点P作直线a′∥a，则a′与b确定一个平面α，显然a⊄α，故经过b与a平行的平面只有一个．3．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是()A．若m∥α，n⊂α，则m∥nB．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n【答案】 D【解析】若m∥α，n⊂α则m∥n或m与n异面，故A错误；若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α或n⊂α，或n与α相交，故B错误；若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n异面或m与n相交，故C错误．4．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所在直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交【答案】 B【解析】依题意，设直线l∩α＝A(如图)．α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线，故选B．5．若直线a∥b∥c，则经过a的所有平面中()A．必有一个平面同时经过b和cB．必有一个平面经过b且不经过cC．必有一个平面经过b但不一定经过cD．不存在同时经过b和c的平面【答案】 C【解析】若a∥b∥c，且三条直线共面，则经过a的所有平面中必有一个平面同时经过b和c，选项B，D不正确；若a∥b∥c，且三条直线不共面，则经过a的所有平面中必有一个平面经过b且不经过c，选项A不正确．6．已知直线l与平面α，β，若l∥α，l⊂β，α∩β＝a，则l与a的位置关系是()A．不共面B．相交C．平行D．不确定【答案】 C【解析】直线与平面平行的性质定理．7．若a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是() A．a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α B．a⊥b，b∥αC．a∩b＝A，b⊂α，a⊥b D．a∥b，b⊥α【答案】 D【解析】当b∥c时，选项A不正确；选项B中直线a与平面α的位置不确定；选项C中直线a与平面α可能斜交．故选D．8．已知平面α⊥β，α∩β＝l，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l斜交，则() A．a与b不能垂直，但可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b可能垂直，但不能平行D．a与b不能垂直，也不能平行【答案】 D【解析】解法一：假设a∥b，由于a在β外，b在β内，∴a∥β，而α过a与β交于l，∴a∥l，这与已知矛盾，∴a不平行b．假设a⊥b，在β内作直线m⊥l，∵α⊥β，∴m⊥α，∴a⊥m．又由于b和m共面且相交(若m∥b则b⊥l，与已知矛盾)，∴a⊥β，∴a⊥l与已知矛盾，∴a和b不能垂直．综上所述，应选D．解法二：如图，在l 上任取一点P ，过P 分别在α，β内作a ′∥a ，b ′∥b ，在a ′上任取一点A ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，则AC ⊥β，过C 作CB ⊥b ′交b ′于B ，连接AB ，可知AB ⊥b ′，∴△APB 为直角三角形，故∠APB 为锐角，即a 与b 不垂直也不平行．9．一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，M ，N 分别为A 1B ，B 1C 1的中点．下列结论中正确的个数有( )①直线MN 与A 1C 相交；②MN ⊥BC ；③MN ∥平面ACC 1A 1；④三棱锥N －A 1BC 的体积为VN －A 1BC ＝16a 3．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】 B【解析】 ∵点M 在平面A 1BC 内，点M ∉A 1C ，点N 不在平面A 1BC 内，∴MN与A1C为异面直线，①错误；取BC的中点D，连接MD，ND，∵M为A1B的中点，∴MD∥A1C，∵N为B1C1中点，D为BC的中点，∴DN∥CC1，∵MD∩ND＝D，A1C∩CC1＝C，∴面MDN∥面ACC1A1，∴MN∥面ACC1A1，③正确；∵BC⊥面ACC1A1，面MDN∥面ACC1A1，∴BC⊥面MDN，∴BC⊥MN，②正确；VN－A1BC＝V A1－BB1C＝13×12a2×a＝16a3，④正确．10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1D1【答案】 B【解析】连接AC，BD，易证BD⊥平面CAA1C1，CE⊂平面CAA1C1，则BD⊥CE．11．空间四边形ABCD的一组对边BC，AD的长分别为6，4，BC⊥AD，则连接对角线AC，BD中点的线段长为()A．7 B．7 C．13 D．13【答案】 D【解析】如右图，取CD中点E，BD中点F，AC中点G，连接EF，EG，FG，在△BCD中，F为BD中点，∴EF∥BC，且EF＝12BC＝3．同理GE∥AD，且GE＝12AD＝2，又因为AD⊥BC，所以GE⊥EF．在Rt△GEF中，FG＝32＋22＝13．12．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为()A．①②B．③④C．②③D．①③【答案】 D【解析】把正方体平面展开图还原为正方体，如图所示，则有AB⊥EF，EF与MN 是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD．故只有①③正确．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．给出以下结论，其中正确的是________．①在空间中，若四点中任何三点不共线，则此四点不共面．②如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则l ⊂α．③已知三个平面α，β，γ两两相交，并且它们的交线交于一点，那么平面α，β，γ可将空间分成八部分．【答案】②③【解析】①错误，平行四边形ABCD四个顶点中，任意三点不共线，但这四点共面；②直线l即直线MN，∵M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，∴M∈α，N∈α，∴l⊂α正确．③正确，如墙角．14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M 满足________时，有MN∥平面BDD1B1．【答案】M∈FH【解析】如图，取B1C1的中点P，连接NP，NH，MN，HF，PF，则可证明平面NPFH∥平面BDD1B1，若MN⊂平面NPFH，则MN∥平面BDD1B1．15．在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD、侧面PCD与底面ABCD都垂直，底面是边长为3的正方形，PD＝4，则四棱锥P－ABCD的全面积为________．【答案】 36【解析】 可证得三个两两垂直的平面的交线两两垂直，根据题意，PD ⊥平面ABCD ，易知△PDA ，△PDC ，△PCB ，△PAB 均为直角三角形，所以S 全＝12×4×3＋12×4×3＋12×5×3＋12×5×3＋3×3＝36．16．如图PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE ⊥PB ，AF ⊥PC ，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AE ⊥BC ；④平面AEF ⊥平面PBC ；⑤△AEF 是直角三角形．其中正确的命题的序号是________． 【答案】 ①②④⑤【解析】 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC ．∵PA ⊥⊙O ，∴PA ⊥BC ，又∵PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥面PAC ，∵AF ⊂面PAC ，∴BC ⊥AF ， 又∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥面PBC ， ∴AF ⊥PB ，①正确； ∵AF ⊂面AEF ，∴面AEF ⊥面PBC ，④正确； ∵EF ⊂面PBC ，∴AF ⊥EF ， ∴△AEF 是直角三角形，⑤正确； ∵AE ⊥PB ，AF ⊥PB ，∴PB ⊥面AEF ，∴PB⊥EF，②正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知：空间四点A，B，C，D不同在任何一个平面内．求证：AB和CD是异面直线．证明用反证法．假设AB和CD不是异面直线，则它们平行或相交，则AB和CD可确定一个平面α，则AB⊂α，CD⊂α，故A∈α，B∈α，C∈α，D∈α．这与四点A，B，C，D不同在任何一个平面内矛盾．所以假设不成立，即AB和CD既不平行也不相交，即AB和CD是异面直线．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E是CD的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD．证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，又PA ⊂平面PAD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD．(以上五条，每缺一条就扣一分)(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE．所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD．又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD．19．(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱AB，BC，BB1上，且BE＝BF＝BG，求证：(1)平面EFG∥平面A1DC1；(2)直线BD1⊥平面EFG．证明(1)∵BE＝BF，∴EF∥AC．又AC∥A1C1，∴EF∥A1C1．又BG＝BF，∴FG∥B1C．又B1C∥A1D，∴FG∥A1D．又FG∩EF＝F，A1C1∩A1D＝A1，∴平面EFG∥平面A1DC1．(2)∵D1D⊥平面ABCD，∴D1D⊥EF．∵AC⊥BD，AC∥EF，∴EF⊥BD．∴EF⊥平面D1DB．又D1B⊂平面D1DB，∴EF⊥BD1，同理FG⊥BD1．∴BD1⊥平面EFG．20．(本小题满分12分)如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D．(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长；(3)若点P 在α与β之间，试在(2)的条件下求CD 的长．解 (1)证明：∵PB ∩PD ＝P ，∴直线PB 和PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD ．又α∥β，∴AC ∥BD ．(2)由(1)得AC ∥BD ，∴PA AB ＝PC CD ．∴45＝3CD ．∴CD ＝154．∴PD ＝PC ＋CD ＝274(cm)．(3)由(1)得AC ∥BD ，∴△PAC ∽△PBD ．∴PA PB ＝PC PD ，即PA AB －PA＝PC PD ． ∴45－4＝3PD，∴PD ＝34． ∴CD ＝PC ＋PD ＝3＋34＝154(cm)．21．(本小题满分12分)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．证明(1)因为DEF－ABC是三棱台，且AB＝2DE，所以BC＝2EF，AC＝2DF．因为点G，H分别是AC，BC的中点，所以GH∥AB．因为AB⊄平面FGH，GH⊂平面FGH，所以AB∥平面FGH．因为EF∥BH且EF＝BH，所以四边形BHFE是平行四边形，所以BE∥HF．因为BE⊄平面FGH，HF⊂平面FGH，所以BE∥平面FGH；又因为AB∩BE＝B，所以平面ABE∥平面FGH，因为BD⊂平面ABE，所以BD∥平面FGH．(2)连接HE，CD，因为H是BC的中点，所以HC＝12BC＝EF，又HC∥EF，所以四边形HCFE是平行四边形，所以HE∥CF．因为CF⊥BC，所以HE⊥BC．因为GH∥AB，AB⊥BC，所以GH⊥BC．因为GH∩HE＝H，所以BC⊥平面EGH．又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，BC＝2，E为BC的中点．(1)求证：ED⊥平面PAC．(2)在PD上是否存在一点M，使得EM∥平面PAB？若存在，试确定点M 的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．解(1)证明：在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E为BC的中点，∴EC＝22，tan∠CDE＝CECD＝22，tan∠CAD＝CDAD＝22，∴∠CDE＝∠CAD，∴∠CAD＋∠ADE＝90°，∴ED⊥AC．∵PA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴PA⊥ED．∵PA∩AC＝A，∴ED⊥平面PAC．(2)在PD上存在一点M，使得EM∥平面PAB，PD的中点M即为所求．∵取AD的中点F，连接EF，MF．∵MF是△PAD的中位线，∴MF∥PA．又MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MF∥平面PAB．又EF是矩形ABCD的中位线，∴AB∥EF．∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．∵MF∩EF＝F，∴平面MFE∥平面PAB．又EM⊂平面MFE，∴EM∥平面PAB．。

间的位置关系(1)点A在平面α外，点B在平面α内，直线l经过点A，B；(2)平面α和β的交线是a，直线b经过α内不在直线a上的点P且经过β内不在直线a上的点Q．解(1)A∉α，B∈α，A∈l，B∈l．图形如图1．(2)α∩β＝a，P∉a，Q∉a，P∈α，Q∈β，P∈b，Q∈b．图形如图2．共线问题2．如图所示，在三棱锥A －BCD 中作截面PQR ，若PQ ，CB 的延长线交于点M ，RQ ，DB 的延长线交于点N ，RP ，DC 的延长线交于点K ．求证：M ，N ，K 三点共线．证明 因为M ＝PQ ∩CB ，所以M ∈直线PQ ．因为PQ ⊂平面PQR ，所以M ∈平面PQR ．又因为M ∈直线CB ，而CB ⊂平面BCD ，所以M ∈平面BCD ，从而M 是平面PQR 与平面BCD 的一个公共点，即M 在平面PQR 与平面BCD 的交线(设为l)上．同理可证，K ，N 也在l 上，所以M ，N ，K 三点共线．共面问题直线，求证：这四条直线在同一平面内．证明∵点P 在直线a 外，∴过直线a 及点P 作一平面α．∵A ，B ，C ，D 均在a 上，∴A ，B ，C ，D 均在α内．∵直线PA ，PB ，PC ，PD 上各有两点在α内，∴由基本性质1可知，直线PA ，PB ，PC ，PD 均在平面α内，即这四条直线在同一平面内．线共点问题如果EF 与HG 交于点M ，则( )A ．M 一定在直线AC 上B ．M 一定在直线BD 上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上答案 A解析因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M是平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．一、选择题1．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合答案 C解析若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α．2．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()答案 C解析A中PQ∥RS，B中PQ∥RS，D中PQ与RS相交，故选C．3．给出以下三个命题：①若四点不共面，则它们中的任意三个点一定不共线；②若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；③若三条直线两两相交，则这三条直线共面．其中正确的命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案 C解析①正确，否则，若四点中有三点共线，则四点一定共面；②正确；③错误，可借助三棱锥的三条侧棱理解，故①②正确．4．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行答案 C解析如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1，AD相交，与BC异面．5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么，正方体的过P，Q，R的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案 D解析由立体几何公理2得出其截面图如图，取C1D1的中点S，BB1中点M，DD1中点为N，易证PQ∥MN∥RS且共面．故选D．二、填空题6．若A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的关系是________，依据为________．答案相交基本性质3解析∵A∈α，∴面ABC与α一定相交，依据是若两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线，即基本性质3．7．不共面的四个定点到平面的距离相等，这样的平面共有________个．答案7解析以三棱锥S－ABC的顶点为例：第一类是平面两侧为一个点与三个点，即三棱锥的中截面A1B1C1所在的平面，有4个；第二类是平面两侧都是两个点，每个位置都是空间四边形相邻两边中点所在的平面EFGH，有3个．所以满足题意的平面共有4＋3＝7个．8．下列命题：①四条边相等的四边形能够确定一个平面；②四边形的对角线相交于一点；③梯形的对角线交于一点；④正方体各面所在的平面分空间成27部分．其中所有正确命题的序号为________．答案③④解析四条边相等的四边形可能是空间四边形，故①不正确；空间四边形的对角线是异面直线，故②不正确；梯形是平面图形，对角线交于一点，故③正确；分上、中、下三部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分，故④正确．三、解答题9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为A 1A 的中点．求证：(1)E ，F ，D 1，C 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点． 证明 (1)分别连接EF ，A 1B ，D 1C ． ∵E ，F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B ．又A 1D 1綊B 1C 1綊BC ， ∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1．∴EF 与CD 1确定一个平面，∴E ，F ，D 1，C 四点共面．(2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交． 设D 1F ∩CE ＝P ，如图． ∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ， ∴P ∈平面AA 1D 1D ．又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ， ∴P ∈平面ABCD ．∴P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点． 又平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点．10．已知：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M ，N ，P 分别是AB ，A 1D 1，BB 1的中点．(1)画出过M ，N ，P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线以及与平面BB 1C 1C 的交线；(2)设过M ，N ，P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长．解 (1)如图，设M ，N ，P 三点确定的平面为α，则α与平面AB 1交于MP ． 设MP ∩A 1B 1＝R ，则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线． 设RN ∩B 1C 1＝Q ，则PQ 是α与平面BB 1C 1C 的交线．(2)∵正方体的棱长为8 cm ．M ，P 分别为AB ，BB 1的中点，∴B 1R ＝BM ＝4 cm ．在△RA 1N 中，B 1Q A 1N ＝RB 1RA 1，∴B 1Q ＝412×4＝43(cm)．在Rt △PB 1Q 中，∵PB 1＝4 cm ，B 1Q ＝43 cm ， ∴PQ ＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝4103(cm)．►1．2．2 空间中的平行关系第1课时 平行直线平行直线高为2a ，M ，N 分别是CD 和AD 的中点．(1)判断四边形MNA ′C ′的形状； (2)求四边形MNA ′C ′的面积．解 (1)连接AC ．因为M ，N 分别是CD 和AD 的中点，所以MN 綊12AC ．因为ABCD －A ′B ′C ′D ′为长方体，所以四边形ACC ′A ′为矩形．所以A ′C ′綊AC ，所以MN 綊12A ′C ′，所以四边形MNA ′C ′是梯形．在△A ′AN 和△C ′CM 中，因为∠A ′AN ＝∠C ′CM ＝90°，A ′A ＝C ′C ＝2a ，AN ＝CM ＝12a ，所以△A ′AN ≌△C ′CM ．所以A ′N ＝C ′M ．所以四边形MNA ′C ′是等腰梯形．(2)由A ′C ′＝2a ，MN ＝22a ，A ′N ＝C ′M ＝172a ，得梯形高h ＝664a ，所以S ＝3338a 2．故四边形MNA′C′的面积为3338a2．等角定理2．如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F 为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF 的中点．求证：∠A′B′C′＝∠C′D′E′．证明∵A′，B′分别是AD，DB的中点，∴A′B′∥a，同理C′D′∥a，B′C′∥b，D′E′∥b，∴A′B′∥C′D′，B′C′∥D′E′．又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同，∴∠A′B′C′＝∠C′D′E′．3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1及DD1的中点，证明：∠BGC＝∠FD1E．证明∵E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，∴CE綊GD1，BF綊GD1．∴四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．∴GC綊D1E，GB綊D1F．又∠BGC 与∠FD 1E 对应两边的方向相同， ∴∠BGC ＝∠FD 1E ．空间四边形4．如图，空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23．若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH 与FG 间的距离为________．答案 8 cm解析 FG ＝23BD ＝4 cm ，EH ＝12BD ＝3 cm ，EH ∥FG ，故EFGH 为梯形，S梯形EFGH ＝12(EH ＋FG)·h ＝28 cm 2，即72h ＝28 cm 2⇒h ＝8 cm ． 5．已知空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)若∠HEF ＝60°，AC ＝6，BD ＝8，求四边形EFGH 的面积； (3)若AC ＝BD ，则四边形EFGH 是什么图形？解 (1)证明：在△ABD 中，E ，H 分别为AB ，AD 的中点，∴EH 綊12BD ，同理FG 綊12BD ，∴EH 綊FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．(2)∵BD＝8，∴EH＝4，同理由AC＝6，得EF＝3，＝EF·EH·sin∠HEF＝3×4×sin60°＝63．∴四边形EFGH的面积∴S▱EFGH为63．(3)∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形．一、选择题1．设AA′是长方体的一条棱，这个长方体中与AA′平行的棱共有() A．1条B．2条C．3条D．4条答案 C解析AA′∥BB′∥CC′∥DD′．2．下列命题中，结论正确的有()(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；(3)如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．0个B．1个C．2个D．3个答案 C解析如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故(1)错误；(2)正确；(3)正确．故选C．3．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C解析若c∥b，又∵c∥a，由基本性质4可知a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，∴b与c不可能是平行直线．4．异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l()A．与直线a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．与a，b中的一条相交，另一条平行答案 B解析若l与a，b都不相交．∵l与a都在α内，∴a∥l，l与b都在β内，∴b∥l．由基本性质4可知，a∥b与条件矛盾．5．空间四边形ABCD中，给出下列说法：①直线AB与CD异面；②对角线AC与BD相交；③四条边不能都相等；④四条边的中点组成一个平行四边形．其中说法正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析本题主要考查空间四边形，关键要理解空间四边形的概念．由定义知①正确；②错误，否则A，B，C，D四点共面；③不正确，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；④正确，由平行四边形的判定定理可证．二、填空题6．已知E，F，G，H为空间中的四个点，且E，F，G，H不共面，则直线EF和GH的位置关系是________．答案异面解析假设共面，则E，F，G，H共面，不正确．7．三条直线两两平行且不共面，它们可以确定________个平面．答案 3解析 任意两条平行线确定一个平面，一共可以确定3个平面．8．已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)． 答案 ①②④解析 利用正投影的定义，可能是①②④．三、解答题9．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别为BC 和AD 的中点，将平面CDFE 沿EF 翻折起来，使CD 与C ′D ′中的位置重合，G ，H 分别为AD ′和BC ′的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明 如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∴EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD)，又∵C ′D ′∥EF ，∴C ′D ′∥AB ，∵G ，H 分别为AD ′，BC ′的中点，∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)＝12(AB ＋CD)，∴GH 綊EF ，∴四边形EFGH 为平行四边形．10．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AE ＝A 1E 1，AF ＝A 1F 1，P ∈E 1F 1．(1)过P作一条直线与棱CD平行，说明怎样作；(2)求证：EF∥E1F1．解(1)如图所示，在平面A1B1C1D1内过P作直线l∥C1D1．∵C1D1∥CD，∴l∥CD．即l为所要求作的直线．(2)证明：连接E1E，FF1，∵AE綊A1E1，∴四边形AEE1A1为平行四边形．∴A1A綊EE1，同理A1A綊F1F．∴E1E綊F1F，∴四边形EFF1E1是平行四边形，∴EF綊E1F1．。

2023-2024学年全国高中数学同步练习考试总分：60 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1. 用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间上，当时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过（ ）A.B.C.D.2. 设为定义在上的函数，对任意的实数有（为自然对数的底数），当时， ，则方程的解有（ ）A.个B.个C.个D.个3. 已知集合，，则集合的元素个数有( )A.个B.个C.个D.个二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）[,]a n b n |−|<εa n b n +a n b n 2εε122εε14f (x)R x f (x)⋅f (x +1)=e e 0≤x <1f (x)=e x f (x)=x log 24567A ={x||x|<3，x ∈Z}B ={x|−2x >0}x 2A ∩B 1234(x)=x4. 已知函数，．如果对于都存在，使得，则区间可以是（ ）A.B.C.D.5. 设，关于的方程，给出下列四个叙述，其中正确的是( )A.存在实数，使得方程恰有个实根B.任意实数，方程至少有个实根C.存在实数，使得方程恰有个不同的实根D.存在实数，使得方程恰有个不同的实根6. 已知函数 则下列说法正确的是( )A.在上单调递增B.的值域是C.若关于的方程有两个不等实根，则D.若关于的方程恰有两个不等实根，，且，则的最小值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）7. 已知函数有唯一零点，则________．8. 已知函数＝有且仅有个不同的零点，，且，则＝________．9. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：定义在区间上的函数：f (x)=x |x|+1g(x)=|ln x|−1∀a ∈R,b ∈[m,n]f (a)=g(b)[m,n][,e]e −1[,1]e −2[1,e][,]e −2e 2f (x)=|−1|e x x −a ⋅f (x)+1=0[f (x)]2a >01a >01a >03a >04f (x)={ln x ，x >0，2x ，x ≤0，f (x)R f (x)Rx f (x)−m =0m ≤0x f (x)−m =0x 1x 2<x 1x 2−x 2x 1(1+ln 2)12f(x)=−2x +a(+)x 2e x−1e −x+1a =f(x)4ax −cos 2x −πa(a ∈R)3x 1x 2x 3<<x 1x 2x 3[0,1](x)= =,(p,q 都是正整数,为既约真分数)1若函数是定义在上的奇函数．且对任意都有 ，当时， ，则________.10. 已知函数 若方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围为________．四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 10 分 ，共计30分 ） 11. 定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界；若，则称函数为有界函数；若函数有上界或有下界，则称函数具有有界性．判断下列函数是否具有有界性：①；②；③；已知函数定义域为），若为函数的上界，求的取值范围；若函数定义域为，是函数的下界，求的最大值．12. 已知时，函数有极值．求实数，的值；若方程恰有个实数根，求实数的取值范围．13. 已知函数若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围；若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．R(x)= x =,(p,q 都是正整数,为既约真分数)1p q p q p 0x =0,1或无理数,f (x)R x f (2−x)+f (x)=0x ∈[0,1]f (x)=R (x)f ()+f ()=1752log 123√f(x)={−+1，x ≤0,2−x f(x −1),x >0,f(x)=(x +2)(0<a <1)log a a f (x)D m M x ∈D f (x)≤M f (x)M f (x)f (x)≥m f (x)m f (x)m ≤f (x)≤M f (x)f (x)f (x)(1)y =−+2x x 2y =2x y =tan x (2)f (x)=log 24x x −1[2,+∞M f (x)M (3)g(x)=(a >0)+2a 4x 2x [2,4]m g(x)m x =1f (x)=a +bx x 3−2(1)a b (2)f (x)=k 1k f (x)=ln x −m.(1)g(x)=f (x)+ex (,1)1em (2)x f (+1)=e x x 2m参考答案与试题解析2023-2024学年全国高中数学同步练习一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1.【答案】B【考点】二分法求方程的近似解【解析】根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当时，区间的中点就是函数的近似零点，由此即可得到结论．【解答】解：根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当时，区间的中点就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过．故选．2.【答案】A【考点】根的存在性及根的个数判断函数的零点与方程根的关系【解析】由题意可得出函数是周期为的函数，由此可作出在实数集上的图象，又方程的实数根的个数即两函数与的图象的交点个数，由此将方程根的个数问题转化为两函数图象交点个数的问题，作图即可得出答案【解答】解：∵为定义在上的函数，|−|<εa n b n [,]a n b n =(+)x n 12a nb n |−|<εa n b n [,]a n b n =(+)x n 12a n b n ε12B 2f (x)f (x)−x =0log 2y =f (x)y =x log 2f (x)R f (x)f (x +1)=e对任意的实数有，∴，故，故函数周期是，方程的实数根的个数即两函数与的图象的交点个数，如图，由图知，两函数有四个交点，即方程的实数根的个数为，故选．3.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】先求出集合、集合，从而求出集合，由此能求出集合中元素的个数．【解答】解：∵集合，集合，∴集合．∴集合中元素的个数为．故选.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）4.【答案】B,D【考点】函数恒成立问题函数单调性的判断与证明x f (x)f (x +1)=e f (x +1)f (x +2)=e f (x)=f (x +2)2f(x)=x log 2y =f (x)y =x log 2f (x)=x log 24A A B A ∩B A ∩B A ={−2，−1，0，1，2}B ={x |−2x >0}=x 2{x |x >2或x <0}A ∩B ={−2，−1}A ∩B 2B函数的单调性及单调区间【解析】本题考查函数的性质.【解答】解： ， ，，∴在上是奇函数，当时，在上为增函数， ，根据奇函数的性质可知的值域为.对于都存在，使得，设 ，的值域为，则有，画出的图象如下：结合选项可得满足的条件的区间为，.故选.5.【答案】A,C【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】无【解答】解： 的图象如图所示：f (x)=x |x|+1f (−x)=−x |−x|+1∴f (x)=−f(−x)f(x)R x ≥0f(x)==1−x x +11x +1[0,+∞)∴f (x)∈[0,1)f(x)(−1,1)∀a ∈R,b ∈[m,n]f (a)=g(b)M =(−1,1)g(x)N M ⊆N g(x)[,1]e −2[,]e −2e 2BD f(x)=|−1|e x令，则，其中，当时，，，即，由图可知，有一解，故正确；当时，方程无解，故错误；当时，，又，，不妨设，于是，，由图可知，时有两解，时有一解，共有三解，故正确，错误．故选．6.【答案】B,C,D【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性命题的真假判断与应用根的存在性及根的个数判断函数的值域及其求法【解析】解：画出函数，的图象（图略），可知错误，，正确；令，解得，令，解得，所以，令 ，即求的最小值，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则．故正确．故选：，，.【解答】t =f (x)−a ⋅t +1=0t 2Δ=−4a 2a =2Δ=0==1t 1t 2f (x)=1A 0<a <2Δ<0B a >2Δ>0+=a >0t 1t 2=1t 1t 2<t 1t 20<<1t 1>1t 20<f (x)<1f (x)>1C D AC f(x)={ln x ，x >0，2x ，x ≤0A B C ln =m x 2=x 2e m 2=m x 1=x 1m 2−=−x 2x 1e m m 2g(m)=−(m ，0)e m m 2g(m)(m)=−g ′e m 12(m)=0g ′m =−ln 2g(m)(−∞,−ln 2)(−ln 2，0)g =(1+ln 2)(m)min 12D B C D (x)={ln x ，x >0，解：画出函数的图象，可知错误，，正确；令，解得，令，解得，所以.令，即求的最小值．，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则，故正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）7.【答案】【考点】函数零点的判定定理【解析】通过转化可知问题等价于函数的图象与的图象只有一个交点求的值．分、、三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．【解答】解：因为，所以函数有唯一零点等价于方程有唯一解，f(x)={ln x ，x >0，2x ，x ≤0A B C ln =m x 2=x 2e m 2=m x 1=x 1m 2−=−x 2x 1e m m 2g(m)=−(m ≤0)e m m 2g(m)(m)=−g ′e m 12(m)=0g ′m =−ln 2g(m)(−∞,−ln 2)(−ln 2,0]g =g(−ln 2)=(1+ln 2)(m)min 12D BCD 12y =1−(x −1)2y =a(+)e x−1e −x+1a a =0a <0a >0f(x)=−2x +a(+)x 2e x−1e −x+1=−1+(x −1+a(+)=0)2e x−1e −x+1f(x)1−(x −1=a(+))2e x−1e −x+1y =1−(x −1)2y =a(+)x−1−x+1等价于函数的图象与的图象只有一个交点．①当时，，此时有两个零点，矛盾；②当时，由于在上递增，在上递减，且在上递增，在上递减，所以函数的图象的最高点为，的图象的最高点为，由于，此时函数的图象与的图象有两个交点，矛盾；③当时，由于在上递增，在上递减，且在上递减，在上递增，所以函数的图象的最高点为，的图象的最低点为，由题可知点与点重合时满足条件，即，即，符合条件.综上所述，.故答案为：.8.【答案】【考点】函数零点的判定定理函数的零点与方程根的关系【解析】将问题转化为则＝与＝的图象有且仅有个不同的公共点，根据函数与函数的图象均关于点对称且对称也是一个公共点，从而得到，，的关系，代入计算即可得到答案．【解答】因为函数＝有且仅有个不同的零点，，且，所以＝有且仅有个不同的实数根，即＝有且仅有个不同的实数根，令＝，＝，因为且，所以＝，又因为的图象关于点对称，所以，且，所以＝．9.y =1−(x −1)2y =a(+)e x−1e −x+1a =0f(x)=−2x ≥−1x 2a <0y =1−(x −1)2(−∞,1)(1,+∞)y =a(+)e x−1e −x+1(−∞,1)(1,+∞)y =1−(x −1)2A(1,1)y =a(+)e x−1e −x+1B(1,2a)2a <0<1y =1−(x −1)2y =a(+)e x−1e −x+1a >0y =1−(x −1)2(−∞,1)(1,+∞)y =a(+)e x−1e −x+1(−∞,1)(1,+∞)y =1−(x −1)2A(1,1)y =a(+)e x−1e −x+1B(1,2a)A B 2a =1a =12a =1212g(x)cos 2x h(x)4ax −πa 3g(x)h(x)x 1x 2x 3f(x)4ax −cos 2x −πa(a ∈R)7x 1x 2x 4<<x 1x 2x 5f(x)03cos 7x 4ax −πa 3g(x)cos 7x h(x)4ax −πa x g(x)【答案】【考点】函数的周期性分段函数的应用函数奇偶性的性质函数的求值【解析】根据条件可得出，即得出的周期为，并且当时，，即可解答.【解答】解：是定义在上的奇函数，且对任意都有，∴，，即的周期为，当时，，∴.故答案为：.10.【答案】【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】作出与的函数图象，根据交点个数判断函数值的大小关系，列出不等式组解出．【解答】−15|f (x +2)=f (x)|f (x)2x ∈[0,1]f (x)=R (x)∵f (x)R x f (2−x)+f (x)=0f (2−x)=f (−x)∵f (x +2)=f (x)f (x)2x ∈[0,1]f (x)=R (x)f ()+f ()1752log 123√=f (−4)+f ()1752−log 23√=−f ()+f ()=−+0=−3513–√1515−15[,)1312f(x)y =(x +2)log a f(x)=f(x −1)解：∵当时，，∴在上是周期为的函数，做出与的函数图象，则两函数图象有个交点，∴解得．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 10 分 ，共计30分 ）11.【答案】解：因为对任意，恒成立，所以函数①是有上界函数；因为对任意，恒成立，所以函数②是有下界函数；因为函数值域为，不存在使得恒成立，也不存在使得恒成立，所以函数③不具有有界性．设，因为，所以，则恒成立，即，所以．设，则，设，因为，所以，①当即时，，此时；②当即时，任取且，则，，．所以函数单调递增，则，则；③当即时，可证函数单调递减，x >0f(x)=f(x −1)f(x)(0,+∞)1y =f(x)y =(x +2)log a 2{2>−1,log a 3≤−1,log a ≤a <1312[，)1312(1)x ∈R y =−+2x =−+1≤1x 2(x −1)2x ∈R y =>02x y =tan x R m tan x ≥m M tan x ≤M (2)t ==4+4x x −14x −1x ∈[2,+∞)t ∈(4,8]t ≤3log 2f (x)=≤3log 24x x −1M >3(3)k =2x g(x)=(a >0)+2a k 2k h (k)==k ++2a k 2k 2a k x ∈[2,4]k ∈[4,16]4<<162a −−√8<a <128h (k)=k +≥22a k 2a −−√=2m max 2a −−√≤42a −−√0<a ≤8,∈[4,16]k 1k 2<k 1k 2>16k 1k 22a ≤16h ()−h ()=−+k 1k 2k 1k 22a (−)k 2k 1k 1k 2=(−)⋅<0k 1k 2−2a k 1k 2k 1k 2h (k)=k +2a k h (k)≥4+a 2=4+m max a 2≥162a −−√a ≥128h (k)=k +2a k(k)≥16+a 16+a则，则，综上所述， 【考点】函数最值的应用函数的值域及其求法函数单调性的性质【解析】【解答】解：因为对任意，恒成立，所以函数①是有上界函数；因为对任意，恒成立，所以函数②是有下界函数；因为函数值域为，不存在使得恒成立，也不存在使得恒成立，所以函数③不具有有界性．设，因为，所以，则恒成立，即，所以设，则，设，因为，所以，①当即时，，此时；②当即时，任取且，则，，．所以函数单调递增，则，则；③当即时，可证函数单调递减，h (k)≥16+a 8=16+m max a 8=m max 4+,0<a ≤8,a 22,8<a <128,2a −−√16+,a ≤128.a 8(1)x ∈R y =−+2x =−+1≤1x 2(x −1)2x ∈R y =>02x y =tan x R m tan x ≥m M tan x ≤M (2)t ==4+4x x −14x −1x ∈[2,+∞)t ∈(4,8]t ≤3log 2f (x)=≤3log 24x x −1M >3(3)k =2x g(x)=(a >0)+2a k 2k h (k)==k ++2a k 2k 2a k x ∈[2,4]k ∈[4,16]4<<162a −−√8<a <128h (k)=k +≥22a k 2a −−√=2m max 2a −−√≤42a −−√0<a ≤8,∈[4,16]k 1k 2<k 1k 2>16k 1k 22a ≤16h ()−h ()=−+k 1k 2k 1k 22a (−)k 2k 1k 1k 2=(−)⋅<0k 1k 2−2a k 1k 2k 1k 2h (k)=k +2a k h (k)≥4+a 2=4+m max a 2≥162a −−√a ≥128h (k)=k +2a k (k)≥16+a 16+a则，则，综上所述， 12.【答案】解：因为，所以．又当时， 的极值为，所以解得，．由可得，则.令，解得，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得极大值为，当时，取得极小值为，大致图象如图所示，要使方程恰有个解，只需或．故实数的取值范围为．【考点】利用导数研究函数的极值函数的零点根的存在性及根的个数判断【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以．又当时， 的极值为，kh (k)≥16+a 8=16+m max a 8=m max 4+,0<a ≤8,a 22,8<a <128,2a −−√16+,a ≤128.a 8(1)f (x)=a +bx x 3(x)=3a +b f ′x 2x =1f (x)−2{a +b =−2,3a +b =0,a =1b =−3(2)(1)f (x)=−3x x 3(x)=3−3=3(x +1)(x −1)f ′x 2(x)=0f ′x =±1x <−1x >1(x)>0f ′f (x)−1<x <1(x)<0f ′f (x)x =−1f (x)f (−1)=2x =1f (x)f (1)=−2f (x)=k 1k >2k <−2k (−∞,−2)∪(2,+∞)(1)f (x)=a +bx x 3(x)=3a +b f ′x 2x =1f (x)−2所以解得，．由可得，则.令，解得，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得极大值为，当时，取得极小值为，大致图象如图所示，要使方程恰有个解，只需或．故实数的取值范围为．13.【答案】解：因为函数与在都是增函数，所以函数在也是增函数，又函数在区间内存在零点，所以解得，所以实数的取值范围为．由题意，得关于的方程有实数根，即关于的方程有实数根，所以存在实数，使成立．因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是．{a +b =−2,3a +b =0,a =1b =−3(2)(1)f (x)=−3x x 3(x)=3−3=3(x +1)(x −1)f ′x 2(x)=0f ′x =±1x <−1x >1(x)>0f ′f (x)−1<x <1(x)<0f ′f (x)x =−1f (x)f (−1)=2x =1f (x)f (1)=−2f (x)=k 1k >2k <−2k (−∞,−2)∪(2,+∞)(1)f (x)=ln x −m y =ex (,1)1e g(x)=f (x)+ex =ln x +ex −m(,1)1eg(x)(,1)1e ln +1−m <0，1e e −m >0,0<m <e m (0,e)(2)x f (+1)=e x x 2x 2m =2ln(+1)−x e x x 2m =ln(+1−ln e x )2e x=ln (+1e x )2e x =ln(++2)e x 1e x +≥2=2e x 1e x ⋅e x 1e x −−−−−−√=e x 1e x x =0ln(++2)≥ln 4=2ln 2e x 1e x 2m ≥2ln 2m ≥ln 2m [ln 2,+∞)【考点】函数的零点函数零点的判定定理根的存在性及根的个数判断【解析】（1）因为函数与在都是增函数，所以函数在也是增函数，因为函数在区间内存在零点，所以 ，解得，所以实数的取值范围为．（2）关于的方程有实数根等价于关于，的方程有实数根，所以存在实数使成立．因为（当且仅当时取等号），所以，所以实数的取值范围是．【解答】解：因为函数与在都是增函数，所以函数在也是增函数，因为函数在区间内存在零点，所以解得，所以实数的取值范围为．由题意，得关于的方程有实数根，即关于的方程有实数根，所以存在实数，使成立．因为，当且仅当，即时，等号成立，f (x)=ln x −m y =ex (,1)1e g(x)=f (x)+ex =ln x +ex −m (,1)1e F (x)(,1)1e ln +1−m <1e ln x −m >0,0<m <e m (0,4)x f (+1)=e x x 22m =2ln(+1)−x e x x 2m =ln(+1−ln =ln =ln(+−2)e x )2e x (+1e x)2e x e x 1e x +≥2=2e x 1e x ⋅e x 1e x −−−−−−√=,x =0e x 1e x ln(++2)≥ln 1=2ln 2e x 1e x m [ln 2,+∞)(1)f (x)=ln x −m y =ex (,1)1e g(x)=f (x)+ex =ln x +ex −m (,1)1e g(x)(,1)1e ln +1−m<0，1e e −m >0,0<m <e m (0,e)(2)x f (+1)=e x x 2x 2m =2ln(+1)−x e x x 2m =ln(+1−ln e x )2e x =ln (+1e x )2e x =ln(++2)e x 1e x+≥2=2e x 1e x ⋅e x 1e x −−−−−−√=e x 1e x x =0(++2)≥ln 4=2ln 21所以，即，解得，所以实数的取值范围是．ln(++2)≥ln 4=2ln 2e x 1e x2m ≥2ln 2m ≥ln 2m [ln 2,+∞)。

►1．2．3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直线面垂直的概念(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．()(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．()(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．()(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．()(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√解析(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系有两种：①平行，②异面，∴该命题应打“×”．(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不能说明面内这无数条线的位置关系，∴该命题应打“×”．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面唯一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”．(5)三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O，∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c确定一平面，设为α，则a⊥α，同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面．∴该命题应打“√”．2．若直线l不垂直于平面α，那么平面α内()A．不存在与l垂直的直线B．只存在一条与l垂直的直线C．存在无数条直线与l垂直D．以上都不对答案 C解析直线与平面不垂直也可以垂直于平面内的无数条直线，不过它们都是平行直线，不能是相交直线．线面垂直的判定3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC．证明如图所示，连接AB1，CB1，B1D1，PB1，PO．设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ，在正方形中，AC ⊥平面DBB 1D 1，B 1O ⊂平面DBB 1D 1，所以B 1O ⊥AC ．因为B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a)2＝94a 2． OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2， 所以B 1O 2＋OP 2＝PB 21，所以B 1O ⊥OP ．又PO ∩AC ＝O ，所以B 1O ⊥平面PAC ．线面垂直的性质BC 和AC ，则直线l ，m 的位置关系是( )A ．平行B ．异面C ．相交D ．垂直答案 A解析 因为直线l 垂直于△ABC 的边AB 和AC ，所以l 垂直于平面ABC ，同理可证，m 垂直于平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得l ∥m ．5．已知点P 是△ABC 所在平面外一点，点P 与AB ，AC ，BC 的距离相等，且点P 在△ABC 上的正投影O 在△ABC 内，则点O 一定是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心答案 A解析如图所示，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，分别交AB，AC，BC 于点D，E，F．点O是点P在平面ABC内的正投影，连接OD，OE，OF．因为点P到AB，AC，BC的距离相等，且PO⊥平面ABC，所以PD＝PE＝PF，PO＝PO＝PO，∠POD＝∠POE＝∠POF＝90°，所以△POD≌△POE≌△POF，所以OD＝OE＝OF．因为PO⊥AB，PD⊥AB且PD∩PO＝P，所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD．同理可得OF⊥BC，OE⊥AC．又因为OD＝OE＝OF，所以点O到三角形三边的距离相等，故点O为三角形ABC的内心．一、选择题1．三条直线两两垂直，下列四个命题：①这三条直线必共点；②其中必有两条直线不同在任一平面内；③三条直线不可能在同一平面内；④其中必有两条直线在同一平面内．其中真命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B解析三条直线两两垂直的情况共有三种：(1)三条直线都不相交，此时任意两条都不在同一平面内；(2)三条直线中只有两条相交，此时这两条在同一平面内；(3)三条直线过同一点，此时这三条直线中任意两条都在同一平面内，但这三条直线不在同一平面内．只有命题③是真命题．故正确答案是B．2．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折起，使点G1，G2，G3重合，重合后的点记为G，那么下列结论成立的是()A．SD⊥平面EFG B．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF答案 B解析折起后，SG⊥GE，SG⊥GF，而GF∩GE＝G，∴SG⊥平面EFG．3．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④答案 C解析由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1CB ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连线的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连线的线段答案 A解析 由BD 1⊥AC ，BD 1⊥AB 1，得BD 1⊥平面AB 1C ，又AP ⊥BD 1，得P ∈面AB 1C ∩面BB 1C 1C ＝B 1C ．5．P 为△ABC 所在平面外的一点，且PA ，PB ，PC 两两垂直，则下列命题，其中正确的个数是( )①PA ⊥BC ；②AB ⊥BC ；③P 在平面ABC 上的射影为△ABC 的垂心；④P 在平面ABC 上的射影为△ABC 的内心．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 PA ⊥PB ，PA ⊥PC ⇒PA ⊥平面PBC ，∴PA ⊥BC ，即①为真；同理PC ⊥AB ，若AB ⊥BC ，则AB ⊥平面PBC ，PA ∥AB ，矛盾，即②为假命题；设P 在平面ABC 上的射影为H ，易证AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，CH ⊥AB ，即③为真，④为假．二、填空题6．如图，PC ⊥平面ABC ，PC ＝12，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则P 到直线AB 的距离是________．答案 12295解析 过C 作CD ⊥AB 于D ，连接PD ．∵PC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AB ，又PC ∩CD ＝C ，∴AB ⊥平面PCD ，∵PD ⊂平面PCD ，∴PD ⊥AB ．∴PD 的长即为P 到直线AB 的距离．在Rt △PCD 中，CD ＝6×862＋82＝245， ∴PD ＝PC 2＋CD 2＝ 122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2452＝12295． 7．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．答案 2解析 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥QD ，又∵PQ ⊥QD ，∴QD ⊥平面PAQ ．∴AQ ⊥QD ，即Q 在以AD 为直径的圆上，当圆与BC 相切时，点Q 只有一个， 故BC ＝2AB ＝2．8．如图所示，已知PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上异于A ，B 的点，则△PAB ，△PAC ，△PBC ，△ABC 中，直角三角形的个数是________．答案 4解析∵PA⊥⊙O所在的平面，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，∴△PAB，△PAC为直角三角形．又AB为圆的直径，C在圆周上，∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形．∵PA⊥BC，AC⊥BC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC为直角三角形．三、解答题9．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC．证明∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC．又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC．∵AD⊂平面SAC，∴BC⊥AD．又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC．10．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝a．(1)求证：A1D⊥B1C1；(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．解(1)证明：∵点D是正三角形ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC．又∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC．于是BC⊥平面A1AD，从而A1D⊥BC．由BC∥B1C1，得A1D⊥B1C1．(2)直线A1B∥平面ADC1．证明如下：如图，设A1C交AC1于点F，则F为A1C的中点．连接DF．∵D是BC的中点，∴DF∥A1B．又∵DF⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．。

第二章 单元质量测评对应学生用书P53 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．如图所示，图中点、线、面的位置关系用符号语言可表示为( )A ．α∩β＝m ，n ⊂α，m ∩n ＝AB ．α∩β＝m ，n ∈α，m ∩n ＝AC ．α∩β＝m ，n ⊂α，A ⊂m ，A ⊂nD ．α∩β＝m ，n ∈α，A ∈m ，A ∈n答案 A解析 点、线、面的位置关系，点与线和面的关系用∈，∉，线与平面的关系用⊂，⊄，所以题图中点、线、面的位置关系表示为“α∩β＝m ，n ⊂α，m ∩n ＝A ”，故选A ．2．E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 四条边的中点，则EG 与FH 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．重合答案 C解析 如图所示，连接BD ，EF ，FG ，GH ，HE ，EG ，HF ，由E ，F ，G ，H 是空间四边形ABCD 四边的中点，有EH 綊12BD ，FG 綊12BD ，∴EH綊FG，∴四边形EFGH是平行四边形，EG与FH是对角线，故选C．3．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案 B解析如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在的直线，当BC与l平行时，直线AC，AB都满足条件．故选B．4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 D解析如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a，则A1M＝32a，ME＝54a，A1E＝414a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°．5．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面D．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线答案 C解析垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故D错误；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故C正确．6．从平面α外一点P引平面α的垂线PO和斜线PA，PB，已知PA＝8，PB ＝5，且OA∶OB＝4∶3，则点P到平面α的距离是()A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析设OA＝4k，则OB＝3k．在Rt△POA中，PO2＝PA2－OA2＝64－16k2．在Rt△POB中，PO2＝PB2－OB2＝25－3k2．所以64－16k2＝25－3k2，所以k2＝3，所以PO2＝16，PO＝4．7．在直三棱柱(侧棱垂直底面)ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC ＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析本题可借助正方体模型求解，如图，BA1与AC1所成的角即为BA1与BD1所成的角．在△A1BD1中，A1B＝A1D1＝BD1，所以BA1与BD1所成的角为60°．8．设三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，AA1＝2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是() A．4π B．8π C．16π D．12π答案D解析由题意知，三棱柱的底面所在的截面圆的直径2r＝22，则球的半径R＝(2)2＋12＝3，球的表面积S＝4πR2＝12π，故选D．9．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为()A．12B．13C．33D．23答案 C解析如图，取AC的中点E，CD的中点F，连接EF，BF，BE．∵AC＝2，其余各棱长都为1，∴BF⊥CD，AD⊥CD，∴EF⊥CD．∴∠BFE是二面角A－CD－B的平面角．∵EF＝12，BE＝22，BF＝32，∴EF2＋BE2＝BF2．∴∠BEF＝90°，∴cos∠BFE＝EFBF＝33．10．已知正四棱柱(底面为正方形侧棱垂直底面)ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A ．1010B ．15C ．31010D ．35答案 C解析 如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接A 1B ，过E 作EF ⊥A 1B ，交A 1B 于F ．∵A 1D 1綊AD 綊BC ，∴A 1D 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1为平行四边形，∴A 1B ∥CD 1，∴∠A 1BE 是异面直线BE 与CD 1所成的角或其补角．设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，则AE ＝A 1E ＝a ，∴BE ＝2a ，A 1B ＝5a ，在Rt △A 1AB 中，sin ∠AA 1B ＝AB A 1B ＝a 5a＝55， 在Rt △A 1EF 中，sin ∠AA 1B ＝EF A 1E ， ∴EF ＝a·55＝55a ．∴在Rt △BFE 中，cos ∠A 1BE ＝BF BE ＝(2a )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫55a 22a ＝31010． 11．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )答案 A解析解法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ．同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ．故选A．解法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，故选A．12．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB＝BC＝CA＝CF＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是() A．设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线C1E与l相交B．在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N－ADF的体积为3 7C．设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADFD．在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF答案 C解析连接CE交AD于点O，则O为△ABC的重心，连接OF．由已知得OF∥EC1，则EC1∥l，故A错误；若在A1C1上存在点N，则V N－ADF＝V D－AFN，当N与C1重合时，V D－AFN取最小值为36，故B错误；当BM＝1时，可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF．又∵AD⊥平面CB1，CM⊂平面CB1，∴AD⊥CM．∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF．∵CM⊂平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确．过C1作C1G∥FA交AA1于点G．若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G．又∵C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G．∵A1C1⊂平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D错误．综合选C．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．答案CD∥EF解析因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD．同理可证AB∥EF，所以CD∥EF．14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是________．(填“平行”“相交”或“异面”)答案相交解析连接A1D，PQ，B1C，∵点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，∴PQ∥B1C．在正方体中，易知B1C∥A1D，∴PQ∥A1D，∴A1，D，Q，P共面．又∵PQ≠A1D，∴四边形A1DQP是梯形，A1P与DQ相交．15．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析∵α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，若①m⊥n，③n⊥β，则m∥β．又∵④m⊥α，∴②α⊥β．即①③④⇒②．若②α⊥β，③n⊥β，则n∥α，又∵④m⊥α，∴①m⊥n．即②③④⇒①．16．在如图所示的棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是________；截得的平面图形中，面积最大的值是________．答案233 3解析截得的三角形中，面积最大的是三角形A1C1B，面积为34×(22)2＝23．截得的平面图形中，面积最大的是正六边形，如图，面积为6×34×(2)2＝33．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在AD1上移动，点N在BD上移动，D1M＝DN＝a(0<a<2)，连接MN．(1)证明：对任意a∈(0，2)，总有MN∥平面DCC1D1；(2)当a为何值时，MN的长度最小？解(1)证明：如图，作MP∥AD，交DD1于点P，作NQ∥BC，交DC于点Q，连接PQ．由题意得MP∥NQ，且MP＝NQ，则四边形MNQP为平行四边形．∴MN∥PQ．又∵PQ⊂平面DCC1D1，MN⊄平面DCC1D1，∴MN∥平面DCC1D1．(2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形，∴MN＝PQ．∵DD1＝AD＝DC＝BC＝1，∴AD1＝BD＝2．∵D1M＝DN＝a，∴D1P1＝a2，DQ1＝a2．即D1P＝DQ＝a2，∴MN＝PQ＝(1－D1P)2＋DQ2＝1－a22＋a22＝a－222＋12(0<a<2)．故当a＝22时，MN的长度有最小值，为22．即当M，N分别移动到AD1，BD的中点时，MN的长度最小，此时MN的长度为22．18．(本小题满分12分)如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°．(1)求三棱锥P－ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PMMC的值．解(1)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，过点B作BN垂直AC于点N，则BN＝AB·sin∠BAC＝1×sin60°＝3 2，∴S△ABC ＝12AC·BN＝12×2×32＝32．又∵PA⊥平面ABC，∴PA是三棱锥P－ABC的高．∴V P－ABC＝13×1×32＝36．(2)证明：过N作NM∥PA交PC于点M，连接BM．∵PA⊥平面ABC，∴MN⊥平面ABC．∵AC⊂平面ABC，∴MN⊥AC．又MN∩BN＝N，∴AC⊥平面BMN．∵BM⊂平面BMN，∴AC⊥BM．此时M即为所找的点．在△ABN中，易知AN＝12AB＝1 2，∴PMMC＝ANCN＝13．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为22的正方形，其他四个侧面都是腰长为5的等腰三角形，过棱PD的中点E作截面EFGH，使截面EFGH∥平面PBC，且截面EFGH分别交棱PA，AB，CD 于点F，G，H．(1)证明：EF∥GH；(2)求三棱锥F－ABD的体积．解(1)证明：∵平面EFGH∥平面PBC，平面EFGH∩平面PCD＝EH，平面PBC∩平面PCD＝PC，∴EH∥PC．又E是PD的中点，∴H是CD的中点．同理可证F，G分别是PA，AB的中点，∴EF∥AD，GH∥AD，∴EF∥GH．(2)如图，连接AC ，设AC ∩BD ＝O ，连接PO ．∵底面ABCD 是边长为22的正方形，∴AC ⊥BD ，且AC ＝BD ＝4． ∵侧面为全等的等腰三角形，∴PO ⊥AC ，PO ⊥BD ．又AC ∩BD ＝O ，∴PO ⊥平面ABCD ．在Rt △POA 中，PO ＝ (5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝1． 又F 为PA 的中点，∴V F －ABD ＝12V P －ABD ．又V P －ABD ＝13S △ABD ·PO ＝13×12×(22)2×1＝43，∴V F －ABD ＝23．20．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点．(1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ； (2)求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．解 (1)证明：如图，设E 为BC 的中点，连接A 1E ，AE ．由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE ．因为AB＝AC，所以AE⊥BC．所以AE⊥平面A1BC．连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥BB1，且DE＝BB1，从而DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四边形AA1DE是平行四边形，所以A1D∥AE．因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．(2)如图，作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF．因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E．因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE．所以BC⊥A1F，所以平面AA1DE⊥BB1C1C，所以A1F⊥平面BB1C1C．所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成角的平面角．由AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，得EA＝EB＝2．又A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14．由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72．所以sin∠A1BF＝78．21．(本小题满分12分)△BCD内接于直角梯形A1A2A3D，若A1D＝5，A1A2＝4，沿△BCD三边分别将△A1BD，△A2BC，△A3CD翻折上去，恰使A1，A2，A3重合，重合后记为A．(1)求证：AB⊥CD；(2)求平面BCD与平面ACD所成二面角的正切值．解在题图中，由A1，A2，A3三点可重合知A1B＝A2B＝2，A1D＝A3D＝5，A2C＝A3C．作DF⊥A2A3于点F，则FA3＝3⇒A3C＝A2C＝4．(1)证明：折叠后的图形如图所示，∵AB⊥AD，AB⊥AC，AD∩AC＝A，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD．(2)作AE⊥CD于点E，连接BE．∵AB⊥CD ，AB∩AE＝A，∴CD⊥平面ABE，∴CD⊥BE，则∠AEB为平面BCD与平面ACD所成二面角的平面角．在△ACD中，AE＝DF·ACCD ＝161717，∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥AE，∴tan∠AEB＝ABAE＝178．22．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC＝2AB，且BC1⊥A1C．(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)点D 在边A 1C 1上且C 1D ＝13C 1A 1，证明在线段BB 1上存在点E ，使DE ∥平面ABC 1，并求此时BE BB 1的值． 解 (1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴四边形ACC 1A 1是矩形．∵AA 1＝AC ，∴AC 1⊥A 1C ． 又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面ABC 1．∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1．(2)当BE BB 1＝13时，DE ∥平面ABC 1， 在A 1A 上取点F ，使AF AA 1＝13， 连接EF ，FD ．∵C 1D C 1A 1＝AF AA 1＝BE BB 1＝13， ∴EF ∥AB ，DF ∥AC 1．∵AB ∩AC 1＝A ，EF ∩DF ＝F ， ∴平面EFD ∥平面ABC 1，∵DE ⊂平面DEF ，∴ED ∥平面ABC 1．。