2016届高考数学文一轮复习学案64排列与组合

排列与组合【教学目标】1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.【考查方向】以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空为主，难度为中档.【知识点击】1．排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m(2)C m n＝A m nA m m ＝n n－1n－2n－m＋1m！＝n！m n－m【知识点击1】排列问题【典型例题1】1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( )A．96个 B．78个 C．72个 D．64个2．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)【对点演练1】3．6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．【知识点击2】组合问题【典型例题2】男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．【对点演练 2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【知识点击3】排列与组合的综合问题【典型例题3】1.（相邻问题） 3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( )A．2 B．9 C．72 D．362.（相间问题）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A．72 B．120 C．144 D．1683.（特殊元素位置问题）大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A．18种B．24种C．36种D．48种【对点演练3】1.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有____种．2.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法．(用数字作答)【基础训练】1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( )(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( )(5)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．( )(6)k C k n＝n C k－1n－1.( )2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144 B．120 C．72 D．243．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )A．8 B．24 C．48 D．1204．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种 B．216种 C．240种 D．288种5．为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为( )A．180 B．240 C．540 D．6306．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种．(用数字作答)7．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( )A．120 B．240 C．360 D．4808．设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？9．用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是( )A．20 B．24 C．36 D．4010．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6,7}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋…＋|x7|≤4”的元素个数为( )A．938 B．900 C．1 200 D．1 300【目标评价】1．“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( ) A．360种 B．480种 C．600种 D．720种2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( )A．240种 B．192种 C．96种 D．48种3．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )A．16 B．18 C．24 D．324．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种 B．18种 C．24种 D．36种5．互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( )A．A55种B．A22种C．A24A22种D．C12C12A22A22种6．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48 C．60 D．727．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．(用数字作答)8．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)9．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)10．用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个．11．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法．12．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)。

高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案一、填空题1.市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是________.[解析] 由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共322=12种;如果是第二种偶奇奇的情况，个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0,1种情况)，共321=6种，因此总共12+6=18种情况.[答案] 182.若从1,2,3，，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种.[解析] 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C=5(种);二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有CC=60(种);三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的`取法共有5+60+1=66(种).[答案] 663.(2014福州调研)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为伞数.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中伞数有________个.[解析] 分类讨论：若十位数为6时，有A=20(个);若十位数为5时，有A=12(个);若十位数为4时，有A=6(个);若十位数为3时，有A=2(个).因此一共有40个.[答案] 404.一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为________.[解析] 从8个点中任选3个点有选法C种，因为有4点共圆所以减去C种再加1种，共有圆C-C+1=53个.[答案] 535.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种.[解析] 分两种情况：选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C=6(种)方法;选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C=4(种)方法，不同的赠送方法共有6+4=10(种).[答案] 106.用数字1,2,3,4,5,6六个数字组成一个六位数，要求数字1,2都不与数字3相邻，且该数字能被5整除，则这样的五位数有________个.[解析] 由题可知，数字5一定在个位上，先排数字4和6，排法有2种，再往排好的数字4和6形成的3个空位中插入数字1和3，插法有6种，最后再插入数字2，插法有3种，根据分步乘法计数原理，可得这样的六位数有263=36个.[答案] 367.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法有________种.[解析] 第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC=264(种);第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C-3C=220-12=208(种).由分类计数原理知不同的取法有264+208=472(种).[答案] 4728.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有________个.[解析] 在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，符合条件的三位数共有CCA=36(个).[答案] 36二、解答题9.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是多少?(用数字作答).[解] 分三类：选1名骨科医生，则有C(CC+CC+CC)=360(种);选2名骨科医生，则有C(CC+CC)=210(种);选3名骨科医生，则有CCC=20(种).骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360+210+20=590种.10.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法?(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?[解] (1)每个盒子放一球，共有A=24(种)不同的放法;(2)法一先选后排，分三步完成.第一步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法;第二步：选两球为一个元素，有C种选法;第三步：三个元素放入三个盒中，有A种放法.故共有4CA=144(种)放法.法二先分组后排列，看作分配问题.第一步：在四个盒子中选三个，有C种选法;第二步：将四个球分成2,1,1三组，有C种放法;第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A种放法.故共有CCA=144种放法.。

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第讲排列、组合的综合问题一、教学目标1.掌握分类计数原理及分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题．2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它解决一些简单的问题．．学会应用数学思想和方法解决排列组合问题．二、基础知识回顾与梳理、一般地，从个不同的元素中取出（≤）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。

概念说明：（）元素不能重复；（）“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键；、般地，从个不同元素中取出个不同元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个不同元素的一个组合。

概念说明：组合是与位置无关。

、排列数组合数：．排列数和组合数之间的关系：＝【分析与点评】、排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序”排列，而组合只要取出元素并成一组即可，与顺序无关。

、区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题。

、有关排列、组合的混合问题，解题应遵循先选后排的原则。

、解决有限制条件的排列问题最基本的方法是特殊（元素）优先法、捆绑法、插空法等等。

三、诊断练习、教学处理：课前由学生自主完成道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．教学时，要要求学生说出解题方法和过程，特别对错解的同学，要充分暴露他们的错解过程，师生交流讨论中有针对性地点评．、诊断练习点评题：某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购书方案有种．【分析与点评】首先要弄清这是一个简单的分类问题．至少买一本有三种情况，即．本题也可以引导学生从“对立事件”知识进行思考，即三本书一本都不买为，则所求为．题：用数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为【分析与点评】问题：特殊位置是什么？特殊元素是什么？问题：数字改为，，，，，又如何解决？题：一天的课表有六节，其中上午节，下午节，要安排语文、数学、英语、微机、体育、地理节课，要求上午第一节不安排体育课，数学课必须安排在上午，微机必须安排在下午，有种不同的排课方法？【分析与点评】本小题是典型的排列、组合综合题，一定要审清题意，仔细分析，周密考虑．可以考虑分两种情况讨论，第一种情况，上午第一节安排数学，微机安排在下午共有种排法；第二种情况，上午第一节课不安排数学，也不能安排体育和微机，则这节课只有种排法，数学只能安排在上午，，节课，微机安排在下午，故共有种排法．所以一共有种排法．题４：位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是．【分析与点评】记三名男生为甲、乙、丙，三名女生为、、，先排男生，若甲在男生两端有种排法，然后位女生去插空，排法如甲□丙乙)共有种，若男生甲排在中间，有两种排法，然后女生去插空，排法如乙□甲丙)共有种排法．根据分类计数原理共有＋＝种不同排法．、要点归纳（）我们通过对这题的分析和讨论，总结了分配问题，分离排列问题的解法，以及排列、组合综合题的解法；（）解排列、组合综合题，一般应遵循：先组后排的原则；（）题中，遇到重复和遗漏的问题，一般进行分类讨论，注意分类标准要清晰，所分类型要全面．四、范例导析例１、本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（）分给甲、乙、丙三人，每人本；（）分为三份，每份本；（）分为三份，一份本，一份本，一份本；（）分给甲、乙、丙三人，一人本，一人本，一人本；（）分给甲、乙、丙三人，每人至少本。

学案64排列与组合导学目标：1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题．自主梳理1．排列的定义：__________________________________________________，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．排列数的定义：_____________________________________________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．2．排列数公式的两种形式：(1)A m n＝n(n－1)…(n－m＋1)，(2)A m n＝n！(n－m)！，其中公式(1)(不带阶乘的)主要用于计算；公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程．说明：①n！＝________________________，叫做n的阶乘；②规定0！＝______；③当m＝n时的排列叫做全排列，全排列数A n n＝______.3．组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做_____________．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的________，用________表示．4．组合数公式的两种形式：(1)C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m(m－1)·…·3·2·1；(2)C m n＝n！m！(n－m)！，其中公式(1)主要用于计算，尤其适用于上标是具体数且m≤n2的情况，公式(2)适用于化简、证明、解方程等．5．C m n＝C k n⇔______________，m、k∈N，n∈N*.6．组合数的两个性质：(1)C m n＝__________，(2)C m n＋1＝____________________.自我检测1．(2010·北京)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为() A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C272．(2011·广州期末七区联考)2010年上海世博会某国展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品的不同方案有()A．24种B．48种C．72种D．96种3．从4台甲型与5台乙型电视机中任选3台，其中至少要有甲、乙型电视机各一台，则不同的取法共有()A．140种B．84种C．70种D．35种4．(2011·烟台期末)2008年9月25日晚上4点30分，“神舟七号”载人飞船发射升空，某校全体师生集体观看了电视实况转播，观看后组织全体学生进行关于“神舟七号”的论文评选，若三年级文科共4个班，每班评出2名优秀论文(其中男女生各1名)依次排成一列进行展览，若规定男女生所写论文分别放在一起，则不同的展览顺序有() A．576种B．1 152种C．720种D．1 440种5．(2010·全国Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有()A．12种B．18种C．36种D．54种6．(2010·重庆)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有()A ．30种B ．36种C ．42种D ．48种探究点一 含排列数、组合数的方程或不等式例1 (1)求等式C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝345中的n 值；(2)求不等式1C 3n －1C 4n <2C 5n中n 的解集．变式迁移1 (1)解方程：A 42x ＋1＝140A 3x ；(2)解不等式：A x 9>6A x －26.探究点二 排列应用题 例2 (2011·莆田模拟)六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰间隔两人； (5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站右端．变式迁移2 用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，求这样的六位数的种数．探究点三组合应用题例3男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．变式迁移312名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法总数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A251．解排列、组合应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步．2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．3．关于排列组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2009·湖南)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56 C．49 D．282．(2010·全国Ⅰ)某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种 3．(2010·重庆)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排一人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A ．504种B ．960种C ．1 008种D ．1 108种 4．(2011·济宁月考)6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有( )A ．13种B ．14种C ．15种D ．16种5．五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是( ) A ．24 B ．36 C ．48 D ．60 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有____________个．(用数字作答)7．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐3、4名，则大师赛共有________场比赛．8．(2011·马鞍山调研)参加海地地震救援的中国救援队一小组共有8人，其中男同志5人，女同志3人．现从这8人中选出3人参加灾后防疫工作，要求在选出的3人中男、女同志都有，则不同的选法共有________种(用数字作答)．三、解答题(共38分) 9．(12分)(1)计算C 98100＋C199200；(2)求C 28－n 3n ＋C 2n21－n 的值；(3)求证：C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝nn －m C m n －1.10．(12分)有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数．(1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任语文课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．11．(14分)从1,3,5,7,9五个数字中选2个，0,2,4,6,8五个数字中选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？学案64排列与组合自主梳理1．从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有不同排列的个数 2.①n·(n－1)·…·2·1②1③n！ 3.从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数C m n 5.m＝k或m＋k＝n 6.(1)C n－mn (2)C m n＋C m－1n自我检测1．A[不相邻问题用插空法，先排学生有A88种排法，老师插空有A29种方法，所以共有A88A29种排法．]2．A[2件书法作品看作一个元素和标志性建筑设计进行排列有A22种不同排法，让两件绘画作品插空有A23种插法，两件书法作品之间的顺序也可交换，因此共有2A22A23＝24(种)．] 3．C[从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，有C24C15＋C14C25＝70(种)选法．]4．B[女生论文有A44种展览顺序，男生论文也有A44种展览顺序，男生与女生论文可以交换顺序，有A22种方法，故总的展览顺序有A44A44A22＝1 152(种)．]5．B[先将1,2捆绑后放入信封中，有C13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，所以共有C13C24C22＝18(种)方法．]6．C[若甲在16日值班，在除乙外的4人中任选1人在16日值班有C14种选法，然后14日、15日有C24C22种安排方法，共有C14C24C22＝24(种)安排方法；若甲在15日值班，乙在14日值班，余下的4人有C14C13C22种安排方法，共有12(种)；若甲、乙都在15日值班，则共有C24C22＝6(种)安排方法．所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．]课堂活动区例1解题导引(1)在解有关A m n、C m n的方程或不等式时要注意运用n≥m且m、n∈N*的条件；(2)凡遇到解排列、组合的方程式、不等式问题时，应首先应用性质和排列、组合的意义化简，然后再根据公式进行计算．注意最后结果都需要检验．解(1)原方程可变形为C5n－1 C3n－3＋1＝195，C5n－1＝145C3n－3，即(n－1)(n－2)(n－3)(n－4)(n－5)5！＝145·(n －3)(n －4)(n －5)3！， 化简整理得n 2－3n －54＝0，解得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)， ∴n ＝9.(2)由6n (n －1)(n －2)－24n (n －1)(n －2)(n －3)<240n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)， 可得n 2－11n －12<0，解得－1<n <12. 又n ∈N *且n ≥5，∴n ∈{5,6,7,8,9,10,11}．变式迁移1 解 (1)根据原方程，x (x ∈N *)应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，解得x ≥3.根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2) ＝140x ·(x －1)·(x －2)，因为x ≥3，两边同除以4x (x －1)， 得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)， 即4x 2－35x ＋69＝0，解得x ＝3或x ＝234(x ∈N *，应舍去)．所以原方程的解为x ＝3.(2)根据原不等式，x (x ∈N *)应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x －2≤6，x >0，x －2>0，故2<x ≤8.又由A x 9>6A x －26，得9！(9－x )！>6×6！(8－x )！，所以849－x >1， 所以－75<x <9.故2<x ≤8，所以x ∈{3,4,5,6,7,8}．例2 解题导引 (1)求排列应用题最基本的方法有直接法：把符合条件的从正面考虑解决，直接列式计算；间接法：根据正难则反的解题原则，如果问题从正面考虑情况比较多，容易重或漏，那么从整体中去掉不符合题意的情况，就得到满足题意的排列种数．(2)相邻问题，一般用捆绑处理的方法．(3)不相邻问题，一般用插空处理的方法．(4)分排问题，一般用直排处理的方法．(5)“小集团”排列问题中，先整体后局部的处理方法．解 (1)方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A 14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有A 55种站法，根据分步乘法计数原理，共有A 14·A 55＝480(种)站法．方法二 若对甲没有限制条件共有A 66种站法，甲在两端共有2A 55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有A 66－2A 55＝480(种)站法．(2)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A 55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A 22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A 55·A 22＝240(种)站法．(3)因为甲、乙不相邻，所以可用“插空法”．第一步，先让甲、乙以外的4个人站队，有A 44种站法；第二步，再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A 25种站法，故共有A 44·A 25＝480(种)站法．(4)先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A 24种；然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列，有A 33种站法；最后对甲、乙进行排列，有A 22种站法，故共有A 24·A 33·A 22＝144(种)站法．(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A 22种站法，再让其他4人在中间位置作全排列，有A 44种站法，根据分步乘法计数原理，共有A 22·A 44＝48(种)站法．(6)甲在左端的站法有A 55种站法，乙在右端的站法有A 55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A 44种站法，共有A 66－2A 55＋A 44＝504(种)站法．变式迁移2 解 依题意先排列除1和2外的剩余4个元素有2A 22·A 22＝8(种)方案，再向这排好的4个元素中选1空位插入1和2捆绑的整体，有A 15种插法，∴不同的安排方案共有2A 22·A 22·A 15＝40(种)．例3 解题导引 (1)区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题．(2)解组合问题时，常遇到“至多”、“至少”问题，解决的方法常常用间接法比较简单，计算量也较小；用直接法也可以解决，但分类要恰当，特别对限制条件比较多的问题．解 (1)第一步：选3名男运动员，有C 36种选法． 第二步：选2名女运动员，有C 24种选法．共有C 36·C 24＝120(种)选法．(2)“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有C 510种选法，其中全是男运动员的选法有C 56种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C 510－C 56＝246(种)． (3)从10人中任选5人，有C 510种选法． 其中不选队长的方法有C 58种．所以“至少1名队长”的选法有C 510－C 58＝196(种)． (4)当有女队长时，其他人选法任意，共有C 49种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C 48种选法．其中不含女运动员的选法有C 45种，所以不选女队长时共有C 48－C 45种选法．故既要有队长，又要有女运动员的选法有C 49＋C 48－C 45＝191(种)．变式迁移3 C [从后排8人中选2人有C 28种，这2人插入前排4人中且前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空位插一人有5种；余下的一人则要插入前排5人的空档有6种，故为A 26.∴所求总数为C 28A 26.]课后练习区1．C [丙不入选的选法有C 39＝9×8×73×2×1＝84(种)， 甲乙丙都不入选的选法有C 37＝7×6×53×2×1＝35(种)． 所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84－35＝49(种)．]2．A [方法一 可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30(种)选法．方法二 总共有C 37＝35(种)选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．]3．C [不考虑丙、丁的情况共有A 22A 66＝1 440(种)排法．在甲、乙相邻的条件下，丙排10月1日有A 22A 55＝240(种)排法，同理，丁排10月7日也有240种排法．丙排10月1日，丁排10月7日也有A 22A 44＝48(种)排法，则满足条件的排法有A 22A 66－2A 22A 55＋A 22A 44＝1 008(种)．]4．C [当选用信息量为4的网线时有C 25种；当选用信息量为3的网线时有C 12C 12＋1种，共C 25＋C 12C 12＋1＝15(种)．]5．B [五人中不排甲、乙、丙，另2人排列有A 22种方法，这两人中有3个空，按甲在两头和中间分为两类，当甲在两头中的一头时，乙有2种插空法，乙插入后有3个空供丙插，因此有A 22·C 12·C 12·C 13＝24(种)，当甲在中间时，乙有2种插法，乙插入后也有3个空供丙插，所以共有A 22·C 12·C 13＝12(种)，由分类加法计数原理得：共有24＋12＝36(种)．]6．14解析 数字2,3至少都出现一次，包括以下情况： “2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C 14＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C 24＝6(个)四位数． “2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C 34＝4(个)四位数． 综上所述，共可组成14个这样的四位数． 7．16解析 每组有C 24场比赛，两组共有2C 24场，每组的第一名与另一组的第二名比赛有2场，决出冠军和第3名各1场，所以共有2C 24＋2＋1＋1＝16(场)．8．45解析 从3名女同志和5名男同志中选出3人，分别参加灾后防疫工作，若这3人中男、女同志都有，则从全部方案中减去只选派女同志的方案数C 33，再减去只选派男同志的方案数C 35，合理的选派方案共有C 38－C 33－C 35＝45(种)．9．(1)解 C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200 ＝100×992＋200＝4 950＋200＝5 150.(4分)(2)解 ⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤28－n ≤3n ，0≤2n ≤21－n ，即⎩⎪⎨⎪⎧7≤n ≤28，0≤n ≤7， 又n ∈N *，∴n ＝7，∴C 28－n 3n ＋C 2n21－n ＝2.(8分)(3)证明 ∵m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n ；(10分) n n －m C m n －1＝nn －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！ ＝n ！m ！(n －m )！＝C m n ，(11分) ∴C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝nn －m C m n －1.(12分) 10．解 (1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C 35C 23＋C 45C 13种，后排有A 55种，共有(C 35C 23＋C 45C 13)·A 55＝5 400(种)．(3分) (2)除去该女生后，先取后排C 47·A 44＝840(种)．(6分) (3)先取后排，但先安排该男生，有C 47·C 14·A 44＝3 360(种)．(9分)(4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C 36种，再安排该男生有C 13种，其余3人全排有A 33种，共有C 36·C 13·A 33＝360(种)．(12分) 11．解 从1,3,5,7,9五个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中再选出3个，排成五位数，有C 25C 34A 55＝10×4×120＝4 800个．(6分)从5个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中再选出2个，将选出的4个数再选一个做万位数．余下的3个数加上0排在后4个数位上，有C 25C 24C 14A 44＝10×6×4×24＝5 760个．(12分) 由分类计数原理可知这样的五位数共有 C 25C 34A 55＋C 25C 24C 14A 44＝10 560个. (14分)。

课题：排列与组合考纲要求：1.理解排列、组合的概念；2.会利用计数原理推导排列数公式、组合数公式； 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质并能用它们解决一些简单的应用问题.3.能解决简单的实际问题. 教材复习1.排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．2.排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mnA 表示 3.排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =--⋅⋅⋅-+!()!n n m =-（,,m n N m n *∈≤）4.阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．5.组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.6.组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 7.组合数公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==!!()!n m n m =-),,(n m N m n ≤∈*且.8.组合数的性质:()1m n n m n C C -=．规定：10=n C ； ()2 m n C 1+＝m n C +1-m nC 9.附有限制条件的排列:①优先特殊元素（或位置）②相邻问题：“捆绑法””③不相邻问题：“插空法 ④复杂问题：“排除法”⑤机会均等法；10.组合问题常见解题方法：()1注意“至少”、“最多”、“含”等词； ()2区分“分配”与“分组”：“分组问题”的特征是组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，即指把物件分成组，是无顺序可言的；而“分配”问题即使元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的，或者是指把物件分给不同的人（或团体），是有顺序的，解分配问题必须先分组后排列，若平均分m 组，则分法=取法/!m位置分析法 元素分析法 插入法捆绑法 直接法：间接法()3隔板分组法：常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题. ()4分排问题直排处理；()5“小集团”排列问题中先集体后局部处理；()6定序问题除法处理：即先不考虑顺序限制，排列后在除以定序元素的全排列.典例分析：考点一 排列数与组合数的有关计算问题1． ()1填空：①已知272m n A =，136mn C =，则m = n = ；②已知771n n C C -+8n C =，则n = ；③已知321616-=k k C C ，则k =()2计算：①333345610C C C C +++⋅⋅⋅+； ②12323n n n n n C C C nC +++⋅⋅⋅+考点二 排列的应用问题2．()1（07北京）记者要为5名志愿者和他们帮助的2为老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有.A 1440种.B 960种.C 720种.D 480种()2（06全国Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有 种。

第二节排列与组合［考纲传真］（教师用书独具）1.理解排列与组合的概念2理解排列数公式、组合数公式3能利用公式解决一些简单的实际问题.（对应学生用书第170页）［基础知识填充］1. 排列、组合的定义排列的定义从n个不冋兀素中取出m *n）个兀素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组2.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数疋义从n个不冋兀素中取出n）个兀素的所有排列的个数从n个不冋兀素中取出m j mc n）个兀素的所有组合的个数公式A n'= n( n —1)( n -2) •••( n - m+ 1)= n!(n- ' !m An(n- 1)( n- 2)…(n-' 1)G=AT m性质A n= n!,0!= 1m n- mG= G ,C n 十C n = 1［基本能力自测］1. （思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.（）（2）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. （）（3）若组合式C x= C,则x = m成立.（）（4）k C n= nd】1.（）［答案］⑴X （2）V （3）X ⑷V2. （教材改编）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言（）A. 1 560 条B . 780 条 C. 1 600 条 D. 800 条A ［由题意，得毕业留言共A4G= 1 560条.］3. （2017 •全国卷H ）安排双基自主测评I 梳理自测巩匮3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A. 12 种B. 18 种C. 24 种D. 36 种D [由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安4X3排方式为C3 •C 2•A 1= 36（种），或列式为C3 •C 4 •C 2= 3X —2—X 2= 36（种）.故选D.]4. 某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A. 85B. 56C. 49D. 28C [法一（直接法）：甲、乙两人均入选，有CC2种方法，甲、乙两人只有1人入选，有C2C2种方法，由分类加法计数原理，共有dC7+ CC7= 49种选法.3法二（间接法）：从9人中选3人有C9种方法，其中甲、乙均不入选有C7种方法，所以满足条件的选排方法有C S-0= 84- 35= 49种.]5. ______________________ A, B, C, D, E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A, B可以不相邻），那么不同的排法共有种.60 [5人的全排列，B站在A的右边与A站在B的右边各占一半，所以满足条件的不同排法共1A I= 60种.](3) 法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A6种排列方法，共有5XA 6=3 600(种).法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A6种排法，其他有A种排法，共有A A U 3 600(种).(4) (捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A4种方法，再将女生全排列，有A；种方法，共有A4・A4= 576(种).(5) (插空法)先排女生，有A4种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A5种方法，共有A4 1 440(种).［跟踪训练］(1)在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问试验顺序的编排方法共有( )A. 34 种B. 48 种C. 96 种D. 144 种(2) (2017 •北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________ 种.(1) C (2) 36 ［(1)程序A的顺序有A2= 2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有A A4= 48种结果，由分步乘法计数原理，试验编排共有2X48= 96种方法.(2) 记其余两种产品为D, E, A B相邻视为一个元素，先与D, E排列，有A A；种方法•再将C插入，仅有3个空位可选，共有A2A；C3= 2X 6X 3= 36种不同的摆法.］■川某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1) 只有一名女生当选；(2) 两队长当选；(3) 至少有一名队长当选；(4) 至多有两名女生当选.［解］(1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选•故共有(C• C4= 350 种.(2) 两队长当选，共有c2・C i= 165种.(3) 至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选.故共有CL C1+ cT Cu 825种.(或采用排除法：理一C?1= 825(种)).(4) 至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选.故选法共有C・C+ c5 •Cs + C8= 966种.［规律方法］组合问题的常见类型与处理方法1 '‘含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取2 "至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解•［跟踪训练］~~(1)(2018 •银川质检)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生选考方法种数共有()【导学号：79140342】A. 6B. 12C. 18D. 24(2)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A. 60 种B. 63 种C. 65 种D. 66 种(1) C (2)D ［(1)法一：所有选考方法可分两类：第一类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选一科有C3种不同的选法，第二步，考生从政治、历史、地理三科中任选二科有C3种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C3C3种不同的选法；第二类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选二科有C3种不同的选法，第二步，从政治、历史、地理三科中任选一科有C种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法•根据分类加法计数原理，考生共有CC + C3d= 18种不同的选考方法，故选 c.法二：依题意，考生共有C6- 2C3= 18种不同的选考方法，故选 c.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，所以不同的取法共有c5+ c4+ C5C4= 66种.]'■■'I(1)从0,123,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A. 300B. 216C. 180D. 162(2)(2017 •江南名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有()A. 240 种B. 180 种C. 150 种D. 540 种(1) C (2)C [(1)分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5 中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C3CA4= 72个没有重复数字的四位数；第2类，取0,此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C2d(A4 —A3) = 108个没有重复数字的四位数.根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72 + 108= 180(个).(2) 5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式.当5名学生分成2,2,1时，共有1C l C3A3= 90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有C3A3=60种方法.由分类加法计数原理知共有90 + 60= 150种保送方法.][ 跟踪训练] (1)( 东北三省四市模拟(一)) 哈市某公司有五个不同部门，现有4 名在校大学生来该公司实习．要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为( )【导学号：79140343 】A．40 B．60 C．120 D．240(2)(2017 •浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，畐U队长1人，普通队员2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 __________________ 种不同的选法．( 用数字作答)2(1) B (2) 660 [从五个不同部门选取两个部门有C2种选法，将4名大学生分别安排在这两个部门有C4C2种方法，所以不同的安排方案有&丘&= 60种，故选B.(2) 法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C2种方法；再选3名男生，有C3种方法；然后排队长、副队长位置，有A2种方法•由分步乘法计数原理，知共有Q C6A4= 480( 种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C2种方法；然后排队长、畐U队长位置，有A2种方法.由分步乘法计数原理，知共有C6A4= 180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知共有480+ 180 = 660(种)不同的选法.法二：不考虑限制条件，共有A^C l种不同的选法，而没有女生的选法有AC2种，故至少有1名女生的选法有A8C2- A6C4= 840- 180 = 660(种).]（对应学生用书第171页）排列问题■-* 1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻.[解]（1）从7人中选5人排列，有A7= 7X 6X 5X 4X 3= 2 520（种）.（2）分两步完成，先选3人站前排，有A7种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A ・A：= 5 040（种）.。