2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 2.1 实际问题中导数的意义 Word版含解析

活页作业(十四)　最大值、最小值问题1．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为，则a 等于( )154A ．－　B ．　3212C ．－　D ．或－121232解析：对y 求导得y ′＝－2x －2.令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减少的，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝，154解得a ＝－或a ＝－(舍去)．1232答案：C2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：对y 求导得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．令f ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0；当0<x ≤1时，f ′(x )<0.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.答案：C3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( )A ． cmB ． cm331033C ． cmD ． cm16332033解析：设圆锥的高为x cm ，则底面半径为cm ，202－x 2其体积为V ＝πx (202－x 2)(0<x <20)，13V ′＝π(400－3x 2)，令V ′＝0，13解得x 1＝，x 2＝－(舍去)．20332033当0<x <时，V ′>0；2033当<x <20时，V ′<0.2033∴当x ＝时，V 取最大值．2033答案：D4．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )13A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9.∴x ∈(0,9)时，y ′>0；x ∈(9，＋∞)时，y ′<0.∴x ＝9时函数取得最大值．答案：C 5．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )A ．2 m 3B ．3 m 3C ．4 m 3D ．5 m 3解析：设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝(4.5－3x )m .(0<x <32)∴长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝9x 2－6x 3.(0<x <32)∴V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)．当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <时，V ′(x )<0.32∴在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．∴最大体积V max ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．答案：B6．f (x )＝x 3－12x ＋8在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－12.由f ′(x )>0，得x >2或x <－2；由f ′(x )<0，得－2<x <2.∴f (x )在[－3，－2]上是增加的，在[－2,2]上是减少的，在[2,3]上是增加的．又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，∴最大值M ＝24，最小值m ＝－8.∴M －m ＝24－(－8)＝32.答案：327．在半径为r 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时，它的面积最大．解析：如右图，设∠OBC ＝θ，则0<θ<，OD ＝r sin θ，BD ＝r cos θ.π2∴S △ABC ＝r cos θ(r ＋r sin θ)＝r 2cos θ＋r 2sin θcos θ.令S ′△ABC ＝－r 2sin θ＋r 2(cos 2θ－sin 2θ)＝0，得cos 2θ＝sin θ.又0<θ<，π2∴θ＝.即当θ＝时，△ABC 的面积最大．π6π6∴高为OA ＋OD ＝r ＋＝时面积最大．r23r2答案：3r 28．函数y ＝x ＋2cos x 在区间上的最大值是________．[0，π2]解析：对f (x )求导得f ′(x )＝1－2sin x .由f ′(x )＝0，得x ＝.π6∴在上，f ′(x )＞0，(0，π6)在上，f ′(x )＜0.(π6，π2)∴在x ＝处f (x )取到极大值也是最大值f ＝＋.π6(π6)π63答案：＋π639．已知函数f (x )＝x 2－ln x －ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )>x ，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－ln x －x ，f ′(x )＝.(2x ＋1)(x －1)x当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的最小值为f (1)＝0.(2)由f (x )>x ，得f (x )－x ＝x 2－ln x －(a ＋1)x >0.∵x >0，∴f (x )>x 等价于x －>a ＋1.ln xx 令g (x )＝x －，则g ′(x )＝.ln xx x 2－1＋ln xx 2当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴g (x )有最小值g (1)＝1.∴a ＋1<1，即a 的取值范围是(－∞，0)．10．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000 m 2，该中心每块球场的建设面积为1 000 m 2，球场每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800来刻(1＋15ln x )画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几块球场？解：设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为＝元．128×1041 000x1 280x ∵每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800来表示，(1＋15ln x )∴每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋＝800＋160ln x ＋(x >0)，1 280x 1 280x ∴g ′(x )＝(x >0)．160(x －8)x 2令g ′(x )＝0，则x ＝8.当0<x <8时，g ′(x )<0；当x >8时，g ′(x )>0.∴当x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值．故当建成8块球场时，每平方米的综合费用最省．11．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (t)与每吨产品的价格P (元/t)之间的关系式为P ＝24 200－x 2，且生产x t 的成本为C ＝50 000＋200x (元)，则月产量为多少t 时，15利润达到最大值？( )A ．100B ．160C ．200D ．240解析：根据题意，列出函数关系式，求导求解．每月生产x t 时的利润为f (x )＝x －(50 000＋200x )＝(24 200－15x 2)－x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．15令f ′(x )＝－x 2＋24 000＝0，35解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．∵f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，∴它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．15∴每月生产200 t 产品时利润达到最大，最大利润为315万元．答案：C12．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时用料最省．解析：设方底无盖水箱的底面边长为a ，高为h ，则V ＝a 2h ＝256，即h ＝.256a 2用料最省，即表面积最小，由题意列式如下：S 表＝S 底＋S 侧＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ＝a 2＋256a 2 1 024aS ′＝2a －.1 024a 2令S ′＝0，即2a －＝0，解得a ＝8.1 024a 2当0<a <8时，S ′<0；当a >8时，S ′>0.∴当a ＝8时，S 表取得极小值，也是最小值．∴h ＝＝4.25664答案：413．函数f (x )＝5－36x ＋3x 2＋4x 3在区间[－2，＋∞)上的最大值为________，最小值为________．解析：∵f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝.32当x >时，f (x )是增加的；32当－2≤x ≤时，f (x )是减少的．32∴在[－2，＋∞)上无最大值．又f ＝－28，(32)34∴最小值为－28.34答案：不存在　－283414．函数f (x )＝，当－6≤x ≤8时的最大值为________，最小值为________．100－x 2解析：f ′(x )＝－，令f ′(x )＝0，得x ＝0.x100－x 2又f (－6)＝8，f (0)＝10，f (8)＝6.∴f (x )min ＝6，f (x )max ＝10.答案：10　615．已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每销售1千件的收入为R (x )万元，且R (x )＝Error!(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数关系式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？解：(1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －－10；x 330当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－－2.7x .1 0003x ∴W ＝Error!(2)当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－＝0，得x ＝9.x 210且x ∈(0,9)时，W ′>0；x ∈(9,10)时，W ′<0.∴当x ＝9时，W 取极大值，也是最大值，且W max ＝8.1×9－×93－10＝38.6；130当x >10时，令W ′＝－2.7＝0，得x ＝.1 0003x 21009当x ∈时，W ′>0；(10，1009)当x ∈时，W ′<0.(1009，＋∞)∴当x ＝时，W 取极大值，也是最大值，1009且W max ＝98－－2.7×＝38.10003×10091003综上可知，x ＝9时，W 有最大值38.6，即年产量为9千件时，该公司所获年利润最大．16．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．解：(1)由(1，c )为公共切点，f (x )＝ax 2＋1(a >0)，则f ′(x )＝2ax ，k 1＝2a ，g (x )＝x 3＋bx ，g ′(x )＝3x 2＋b ，k 2＝3＋b .∴2a ＝3＋b .①又f (1)＝a ＋1，g (1)＝1＋b ，∴a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式可得Error!(2)∵a 2＝4b ，∴设h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 2x ＋1.14∴h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 2.14令h ′(x )＝0，解得x 1＝－，x 2＝－.a2a6∵a >0，∴－<－.a2a 6∴原函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递(－∞，－a2)(－a 2，－a 6)(－a 6，＋∞)增．①当－1≤－，即a ≤2时，最大值为h (－1)＝a －.a 2a 24②当－<－1<－，即2<a <6时，最大值为h＝1.a2a6(－a2)③当－1≥－，即a ≥6时，最大值为h＝1.a6(－a2)综上所述：当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为ha 24＝1.(－a2)。

阶段质量评估(二) 变化率与导数(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若lim Δx →f (x 0)－f (x 0＋Δx )Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．32B ．23C ．1D ．－1解析：原等式即－lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝－f ′(x 0)，也就是f ′(x 0)＝－1.答案：D2．若对于任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝3，则此函数的解析式为( ) A ．f (x )＝x 4－1 B ． f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋2解析：∵f ′(x )＝4x 3，∴f (x )＝x 4＋k . 又f (1)＝3，∴k ＝2.∴f (x )＝x 4＋2. 答案：D3．f (x )＝3－x ，则f ′(0)＝( )A ．1B ．log 3eC ．ln 3D ．－ln 3解析：∵f ′(x )＝(3－x )′＝3－x ln 3·(－x )′＝－3－x ln 3， ∴f ′(0)＝－30ln 3＝－ln 3. 答案：D4．函数f (x )＝e x cos x 的图像在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B ．π4C ．1D ．π2解析：∵f ′(x )＝(e x cos x )′ ＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′ ＝e x cos x －e x sin x ，∴k ＝f ′(0)＝e 0cos 0－e 0sin 0＝1. ∴倾斜角为π4.答案：B5．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上点(1,2)处的切线与其平行线bx ＋y ＋c ＝0间的距离为( ) A ．24B ．22C ．322D ． 2解析：由抛物线过点(1,2)，得b ＋c ＝1，又f ′(1)＝2＋b ，即2＋b ＝－b ，∴b ＝－1. ∴c ＝2.∴所求切线方程为x －y ＋1＝0.∴两平行直线x －y －2＝0和x －y ＋1＝0之间的距离为d ＝|－2－1|12＋12＝32＝322.答案：C6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(3)＝( ) A ．23B ．2ln 3C ．23ln 3D ．25ln 3解析：f ′(x )＝[log 3(2x －1)]′＝(2x －1)′(2x －1)ln 3＝2(2x －1)ln 3，∴f ′(3)＝25ln 3.答案：D7．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：∵y ′＝12x ，∴在点Q 处的切线斜率k ＝12×2＝1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x－y －1＝0.答案：A8．函数f (x )＝x 3－2x ＋3的图像在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝8的位置关系是( ) A ．相切B ．相交且过圆心C ．相交但不过圆心D ．相离解析：切线方程为x －y ＋1＝0，圆心到直线的距离为12＝22＜22，所以直线与圆相交但不过圆心．答案：C9．曲线y ＝e －x －e x 的切线的斜率的最大值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－4解析：y ′＝k ＝－e －x －e x ＝－(e －x ＋e x )＝－⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ≤－21e x·e x ＝－2， 当且仅当1e x ＝e x ，即x ＝0时，等号成立．答案：C10．下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )A ．－13B ．13C ．73D ．－13或73解析：∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1. ∴函数f ′(x )的图像开口向上． ∵a ≠0，∴其图像为第③个图． 由图像特征可知f ′(0)＝0，且－a ＞0， ∴a ＝－1.∴f (x )＝13x 3－x 2＋1.∴f (－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：A11．(2015·重庆七校联考卷)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．3D ．－2 解析：由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8两边求导得，f ′(x )＝2f ′(2－x )×(－1)－2x ＋8. 令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)×(－1)－2＋8⇒f ′(1)＝2，∴k ＝2. 答案：A12．已知函数f (x )＝x 2的图像在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是( )A ．⎝⎛⎭⎫－32，3 B ．(0，－4)C ．(2,3)D ．⎝⎛⎭⎫1，－14 解析：由题意知，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)， f ′(x )＝2x ，则过A ，B 两点的切线斜率k 1＝2x 1，k 2＝2x 2.又切线互相垂直，∴k 1k 2＝－1，即x 1x 2＝－14.两条切线方程分别为l 1：y ＝2x 1x －x 21，l 2：y ＝2x 2x －x 22，联立得(x 1－x 2)[ 2x －(x 1＋x 2)]＝0， ∵x 1≠x 2，∴x ＝x 1＋x 22.代入l 1，解得y ＝x 1x 2＝－14.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知曲线y 1＝2－1x 与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0的值为__________．解析：由题知y 1′＝1x 2，y 2′＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20＝3，所以x 0＝1.答案：114．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则函数y ＝f (x )的解析式为________．解析：设f (x )＝a (x －m )2(a ≠0)， 则f ′(x )＝2a (x －m )＝2ax －2am ＝2x ＋2. ∴a ＝1，m ＝－1.∴f (x )＝(x ＋1)2＝x 2＋2x ＋1. 答案：f (x )＝x 2＋2x ＋1 15．函数f (x )＝mx 2m＋n的导数为f ′(x )＝4x 3，则m ＋n ＝________.解析：∵f ′(x )＝m (2m ＋n )x 2m ＋n －1＝4x 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m (2m ＋n )＝4，2m ＋n －1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.∴m ＋n ＝3. 答案：316．(2015·陕西高考卷)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k ＝y ′＝e x |x ＝0＝1；由y ＝1x ，可得y ′＝－1x 2.因为曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线与曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，故－1x 2P＝－1，解得x P ＝1.由y ＝1x，得y P ＝1，故所求点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，且点P 处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．解：∵k ＝tan α＝y ′＝3x 2－3≥－3， ∴tan α≥－ 3.又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 18．(12分)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x .解：f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′ ＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋ (cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x － (cx ＋d )sin x＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x ＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x .∴a ＝d ＝1，b ＝c ＝0. 19．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．若函数f (x )的图像在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝x －ax(x ＞0)，f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，斜率为1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln 2＝2＋b ，2－a 2＝1.解得a ＝2，b ＝－2ln 2.20．(12分)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解：由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12.①f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74.②由①②得⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，故切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，故切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为 12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.21．(12分)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图像为曲线C ．(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1.即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．22．(12分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )，若x ∈[0,1]，f (x )图像上任意一点处切线的斜率为k ，当|k |≤1时，求a 的取值范围．解：∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， ∴k ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax .由|k |≤1知|－3x 2＋2ax |≤1(0≤x ≤1)，即⎪⎪⎪⎪－3⎝⎛⎭⎫x －a 32＋a23≤1在x ∈[0,1]上恒成立．又f ′(0)＝0， ∴①当a3＜0，即a ＜0时，－3＋2a ≥－1，即a ≥1.故无解；②当0≤a3≤1，即0≤a ≤3时，⎩⎪⎨⎪⎧a 23≤1，－3＋2a ≥－1，解得1≤a ≤3； ③当a3＞1，即a ＞3时，－3＋2a ≤1得a ≤2，此时无解．综上知1≤a ≤ 3.∴a 的取值范围为[1， 3 ]．。

活页作业(十)　导数与函数的单调性(第一课时)1．当x >0时，f (x )＝x ＋，则f (x )的递减区间是( )2x A ．(2，＋∞) B ．(0,2)C ．(，＋∞)D ．(0，)22解析：由已知得f ′(x )＝1－.2x 2令f ′(x )＝1－<0，得－<x <且x ≠0.2x 222又x >0，∴0<x <.2∴函数f (x )的递减区间为(0，)．2答案：D2．下列函数中，在(0，＋∞)内递增的是( )A ．sin 2x B ．x e xC ．x 3－xD ．－x ＋ln(1＋x )解析：选项B 中，y ＝x e x ，在区间(0，＋∞)上，y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )>0.∴函数y ＝x e x 在(0，＋∞)内递增．答案：B3．已知f (x )，g (x )均为(a ，b )上的可导函数，在[a ，b ]上没有间断点，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则x ∈(a ，b )时有( )A ．f (x )>g (x )B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．大小关系不能确定解析：∵f ′(x )>g ′(x )，∴f ′(x )－g ′(x )>0.即[f (x )－g (x )]′>0，∴f (x )－g (x )在(a ，b )上是增加的．∴f (x )－g (x )>f (a )－g (a )．∴f (x )－g (x )>0.∴f (x )>g (x )．答案：A4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能为( )解析：函数f (x )在(－∞，0)上是增加的，则f ′(x )在(－∞，0)上恒大于0，排除A ，C ；函数f (x )在(0，＋∞)上先增加，再减少，最后又增加，则f ′(x )在(0，＋∞)上先为正，再为负，最后又为正．答案：D5．函数f (x )＝x ln x 的递增区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．D ．(0，1e )(1e ，＋∞)解析：由导数公式表和求导法则，得f ′(x )＝lnx ＋1.当x ∈时，f ′(x )>0，所(1e ，＋∞)以函数f (x )在区间上是增加的．(1e ，＋∞)答案：D6．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的递减区间为__________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．令f ′(x )<0，得－1<x <11，故递减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)7．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________．解析：由已知得f ′(x )＝.2x －1x 2－x －2令f ′(x )<0得x <－1或<x <2.又∵函数定义域为(－∞，－ 1)∪(2，＋∞)，∴递减区12间为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)8．函数y ＝－x 3＋12x 的递减区间为__________．解析：由已知得y ′＝－3x 2＋12.令y ′<0，得x <－2或x >2.∴递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(2，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解：(1)∵f (x )的图像经过点P (0,2)，∴d ＝2.∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .∵在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，∴－6－f (－1)＋7＝0.∴f (－1)＝1.又f ′(－1)＝6，∴Error!即Error!解得b ＝c ＝－3.∴所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)由已知得f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )＝0，即x 2－2x －1＝0，解得x 1＝1－，x 2＝1＋.22当x <1－或x >1＋时，f ′(x )>0；22当1－<x <1＋时，f ′(x )<0.22∴f (x )的递增区间为(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，递减区间为(1－，1＋)．222210．已知x >0，证明：ln(1＋x )>x －x 2.12证明：设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2(x >0)，12则f ′(x )＝－1＋x ＝.1x ＋1x 21＋x 当x >0时，f ′(x )>0.∴f (x )在(0，＋∞)内是增加的．∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0.∴当x >0时，ln(1＋x )>x －x 2.1211．下列区间中，是函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( )A ． B ．(π，2π)(π2，32π)C ．D ．(2π，3π)(32π，52π)解析：由已知得y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .∴当x ∈时，y ′＝x cos x >0.(32π，52π)答案：C12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的递减区间为________．解析：由于切线的斜率就是其该点的导数值，所以由题意知f ′(x )＝(x －2)(x ＋1)2<0.解得x <2.故减区间为(－∞，2)．答案：(－∞，2)13．函数y ＝f (x )在定义域内可导，其图像如下图所示．记y ＝f (x )的导函数为(－32，3)y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．解析：∵f ′(x )≤0对应函数f (x )的递减区间，即f (x )的减区间为，(2,3)，(－13，1)∴f ′(x )≤0的解集为∪[2,3)．[－13，1]答案：∪[2,3)[－13，1]14．在区间(a ，b )内，f ′(x )>0是f (x )在(a ，b )内单调递增的___________条件．解析：若f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )内单调递增．反之不成立．例如y ＝x 3.在R 上递增，但y ′＝3x 2≥0.答案：充分不必要15．求证：方程x －sin x ＝0只有一个根x ＝0.12证明：设f (x )＝x －sin x ，x ∈，12(－∞，＋∞)则f ′(x )＝1－cos x >0.12∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．当x ＝0时，f (x )＝0，∴方程x －sin x ＝0有唯一根x ＝0.1216．已知m 、n ∈N ＋，且1<m <n ，求证：(1＋m )n >(1＋n )m .证明：∵1<m <n ，m ，n ∈N ＋，∴2≤m <n ，(1＋m )n >(1＋n )m ⇔>.ln (1＋m )mln (1＋n )n∴构造函数f (x )＝(x ≥2)，ln (1＋x )x得f ′(x )＝.x 1＋x－ln (1＋x )x 2由x ≥2，得0<<1，ln(1＋x )≥ln 3>1.x1＋x ∴f ′(x )<0，f (x )为单调递减函数．又2≤m <n ，∴>.ln (1＋m )mln (1＋n )n∴(1＋m )n >(1＋n )m .。

第一章 本章整合提升一、选择题1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有( ) A ．50个 B ．45个 C ．36个D ．35个解析：当个位数为2时，十位数只能取1；当个位数为3时，十位数有2种取法；当个位数取4时，十位数有3种取法；…；当个位数为9时，十位数有8种取法．依分类加法计数原理知，共有1＋2＋…＋8＝36个符合条件的两位数．答案：C2．(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40， x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80， 所以x 3y 3的系数为80－40＝40． 答案：C3．将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( )A ．12种B ．16种C ．18种D ．36种解析：可先分组再排列，所以有12C 24A 33＝18种放法． 答案：C4．(2015·湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，即C 3n ＝C 7n ，n ＝3＋7＝10.所以(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为210－1＝29．答案：A5．将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”(可以不相邻)，这样的排列有( )A ．12种B ．20种C．40种D．60种解析：选(消序法)五个元素没有限制全排列数为A55，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A33，可得符合要求的排列有A55A33×2＝40种．答案：C6．已知(1－2x)n的展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n(1＋x)的展开式中含x2项的系数为()A．71 B．70C．21 D．49解析：因为奇数项的二项式系数之和为2n－1，所以2n－1＝64，即n＝7.因此(1－2x)n(1＋x)的展开式中含x2项的系数为C27(－2)2＋C17(－2)＝70.故选B．答案：B二、填空题7．(2016·北京卷)在(1－2x)6的展开式中x2的系数为________．(用数字作答)解析：二项展开式的通项公式为T r＋1＝C r6(－2x)r＝C r6(－2)r x r，令r＝2，则x2的系数为C26(－2)2＝60．答案：608．(2015·上海卷)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________．(结果用数值表示) 解析：从9人中选出5人总选法为C59，选出的5人全是女教师的选法有C56，所以男、女教师都有的选法有C59－C56＝120种．答案：1209．(2015·全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．解析：由已知得(1＋x)4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋x4，故(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax,4ax3，x,6x3，x5，其系数之和为4a＋4a＋1＋6＋1＝32，解得a＝3．答案：3三、解答题10．已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止．(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？解：(1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回地逐个抽取测试，第2次测到第一件次品有4种方法；第8次测到最后一件次品有3种方法；第3至第7次抽取测到另外两件次品共有A25种方法；剩余4次抽到的是正品．共有A24A25A46＝86 400种抽法．(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A44种，检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4A34A16种；检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4A35A26＋A66种．由分类计数原理，知满足条件的不同测试方法的种数为A44＋4A34A16＋4A35A26＋A66＝8 520．11．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10．(1)求a2；(2)求a1＋a2＋…＋a10；(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2．解：(1)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，a2是展开式中x2的系数，∴a2＝C55(－1)5C35(－2)3＋C45(－1)4·C45(－2)4＋C35(－1)3·C55(－2)5＝800．(2)令x＝1，代入已知式可得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32．(3)令x＝－1可得(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，把这两个等式相乘可得(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0．。

第三章 §2 2.11．某人拉动一个物体前进，他所做的功W 是时间t 的函数W ＝W (t )，则W ′(t 0)表示( )A ．t ＝t 0时做的功B ．t ＝t 0时的速度C ．t ＝t 0时的位移D ．t ＝t 0时的功率解析：功率＝做功时间答案：D2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(s 的单位是m ，t 的单位是s)，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．4 m/s 解析：s ′＝－1＋2t ，s ′|t ＝3＝－1＋2×3＝5.答案：C3．设球的半径为时间t 的函数R (t )．若球的体积以均匀速度C 增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )A ．成正比，比例系数为CB ．成正比，比例系数为2CC ．成反比，比例系数为CD ．成反比，比例系数为2C解析：根据题意，V ＝43πR 3(t )，S ＝4πR 2(t )， 球的体积增长速度为V ′＝4πR 2(t )·R ′(t )，球的表面积增长速度S ′＝2·4πR (t )·R ′(t )， 又∵球的体积以均匀速度C 增长，∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C ．答案：D4．人体血液中药物的质量浓度c ＝f (t )(单位：mg/mL)随时间t (单位：min)变化，且f ′(2)＝0.3，则f ′(2)表示__________.答案：服药后2 min 时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL 的速度增加5．物体做自由落体运动，其方程为s (t )＝12gt 2.(其中位移单位：m ，时间单位：s ，g ＝9.8 m/s 2)(1)计算当t 从2 s 变到4 s 时，位移s 关于时间t 的平均变化率，并解释它的意义；(2)求当t ＝2 s 时的瞬时速度，并解释它的意义．解：(1)当t 从2 s 变到4 s 时，位移s 从s (2)变到s (4)，此时，位移s 关于时间t 的平均变化率为s (4)－s (2)4－2＝12g ×42－12g ×224－2＝9.8×3＝29.4(m/s)． 它表示物体从2 s 到4 s 这段时间平均每秒下落29.4 m.(2)∵s ′(t )＝gt ，∴s ′(2)＝2g ＝19.6(m/s)．它表示物体在t ＝2 s 时的速度为19.6 m/s.。

第三章 §1 1.21．函数f (x )＝1＋3x －x 3有( ) A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3解析：f ′(x )＝－3x 2＋3， 令f ′(x )＝0，即－3x 2＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的； 当－1<x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增加的； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的．∴函数的极小值为f (－1)＝1－3＋1＝－1，函数的极大值为f (1)＝1＋3－1＝3. 答案：D2．函数y ＝x 3＋1的极大值是( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．不存在解析：y ′＝3x 2≥0，所以函数y ＝x 3＋1在R 上单调递增，故无极大值． 答案：D3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由f (x )在x ＝－3处取得极值，知f ′(－3)＝0，解得a ＝5. 答案：D4．在下列四个函数中，存在极值的是________． ①y ＝1x②y ＝x 2＋1 ③y ＝2 ④y ＝x 3解析：∵y ′＝－1x 2<0，∴y ＝1x 在定义域内不存在极值．同理，③④也不存在极值．②中，y ′＝2x ，令y ′＝0，得x ＝0.∴当x >0时，y ′>0；当x <0时，y ′<0.故函数y ＝x 2＋1在x ＝0处取极小值．答案：②5．设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx (x ∈R )，已知g (x )＝f (x )－f ′(x )是奇函数． (1)求b ，c 的值；(2)求g (x )的极值．解：(1)∵f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.又g(x)是R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)．∴(－x)3＋(b－3)x2－(c－2b)x－c＝－x3－(b－3)x2－(c－2b)x＋c.化简，得(b－3)x2－c＝0.∴b＝3，c＝0.(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，∴g′(x)＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)．当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)g′(x)＋0－0＋g (x)极大值极小值由表可知g(x)的递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，递减区间为(－2，2)，且g (x)在x＝－2处取得极大值为g(－2)＝(－2)3－6×(－2)＝42，在x＝2处取得极小值为g(2)＝(2)3－62＝－4 2.。

活页作业(十一) 导数与函数的单调性(第二课时)1．函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则a 值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，依题意得f ′(2)＝24＋4a ＝0，∴a ＝－6. 答案：C2．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫43，3B ． ⎝⎛⎭⎫43，103 C ．⎝⎛⎦⎤43，3D ．(－∞，3]解析：∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，∴f ′(x )＝x 2＋2x －a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∴a ≤x 2＋2x ，x ∈(1，＋∞)恒成立． ∵当x >1时，x 2＋2x >3， ∴a ≤3.①∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，∴f (1)<0，f (2)>0. ∴43<a <103.② 由①②得，43<a ≤3.答案：C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，x 3－(a －1)x ＋a 2－3a －4(x <0) 在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1,1] C ．(－∞，1)D ．[－1,4]解析：若原函数在R 上为增函数，则当x <0时，f ′(x )＝3x 2－(a －1)≥0恒成立．因此有a ≤1.还需注意函数在分段点处函数值的大小，应有a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4.综上－1≤a ≤1.答案：B4．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 0.50.25·f (log 0.50.25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >c >b解析：构造函数h (x )＝xf (x )，由函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，函数y ＝x 是R 上的奇函数，可得h (x )＝xf (x )是R 上的奇函数．又当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0. ∴函数h (x )在x ∈(－∞，0)上为单调递减函数． ∴h (x )在x ∈(0，＋∞)上为单调递减函数． ∵2>20.2>1,0<ln 2<1，log 0.50.25＝2， ∴log 0.50.25>20.2>ln 2.∴b >a >c . 答案：C5．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的________条件．( )A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要解析：对于p ，由题意知f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立，即Δ≤0. ∴4－3m ≤0.∴m ≥43.又当m ＝43时，f (x )＝x 3＋2x 2＋43x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋233＋1927在R 上单调递增，∴m ≥43.∴p 是q 的充要条件．答案：A6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的递减区间为[－1， 2]，则b ＝________，c ＝________. 解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0在[－1,2]上恒成立，所以－1,2为方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－67．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，f (x )有三个单调区间， ∴方程3ax 2＋1＝0有两个不等实根． ∴Δ＝0－4×3a ×1>0.解得a <0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是________． 解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，因此a ≤3.故a 的最大值为3.答案：39．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求F (x )的单调区间；(2)若以y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．∵a >0，由F ′(x )>0得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增加的． 由F ′(x )<0得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减少的．∴F (x )的递减区间为(0，a )，递增区间为(a ，＋∞)． (2)∵F ′(x )＝x －ax2(0<x ≤3)，∴k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立．即a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max . 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12.∴a min ＝12.10．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 函数有单调递增区间，即在⎝⎛⎭⎫23，＋∞内，导函数大于0有解，令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间．11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：设g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12<0.∴g (x )在R 上是减函数．∵g (1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴g (x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}．答案：D12．已知函数f (x )＝2e x －mx (其中e ≈2.718…)在区间[－1,0]上单调递减，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意得f ′(x )＝2e x －m ≤0在[－1,0]上恒成立，即m ≥2e x 恒成立，可得m ≥2. 答案：[2，＋∞)13．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数，f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，则a 的取值范围是________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－6ax －b ≤0对∀x ∈[－1，2]恒成立， ∵b ＝9a ，∴x 2－2ax －3a ≤0.∵2x ＋3>0. ∴a ≥x 22x ＋3对x ∈[－1,2]恒成立．解得a ≥1. 答案：[1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为_________．解析：由已知a >1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln xx ，∴g ′(x )＝－ln xx2<0(x >1)．∴g (x )＝1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内递减．∴g (x )<g (1)． ∵g (1)＝1，∴1＋ln xx<1在区间(1，＋∞)内恒成立．∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)15．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 3(a 为常数)．(1)若a ＝－3，判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性； (2)函数f (x )在[1，e]上单调递减，求实数a 的取值范围；(3)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－3时f ′(x )＝3x 2－3x ＝3(x 3－1)x. 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)由已知得f ′(x )＝a x ＋3x 2＝3x 3＋a x .∵f (x )在[1，e]上单调递减，∴f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立．即a ≤－3x 3在[1，e]上恒成立． ∵(－3x 3)min ＝－3e 3，∴a ≤－3e 3. (3)不等式f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 可化为 a (x －ln x )≤x 2－2x .∵x ∈[1，e]，∴ln x ≤1≤x ，且不能同时取等号． ∴ln x <x ，即x －ln x >0. ∴a ≤x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])．令g (x )＝x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])，则g ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2.当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(仅当x ＝1时取等号)， ∴g (x )在[1，e]上为增函数． ∴g (x )的最小值为g (1)＝－1. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．设函数f (x )＝1＋x 1－xe －ax .(1)试写出定义域及f ′(x )的解析式； (2)设a >0，讨论函数y ＝f (x )的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，f ′(x )＝ax 2＋2－a (1－x )2e －ax，其中x ≠1.(2)①当0<a ≤2时，f ′(x )≥0且仅在有限个点处取等号，∴f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．②当a >2时，由f ′(x )>0得ax 2＋2－a >0，解得x >a －2a或x <－a －2a；由f ′(x )<0得ax 2＋2－a <0，解得－a －2a<x < a －2a. 综上所述，当0<a ≤2时，函数y ＝f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增；当a >2时，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a ，1，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a －2a ， a －2a 上单调递减．。

北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案模块综合测评( ： 120 分分： 150 分)一、 (本 共 12 小 ，每小5 分，共 60 分 )1． 复数 z ＝ 1＋2－)(其中 i 虚数 位 )， z 2＋ 3 z 的虚部 (iA ． 2iB ． 0C ．－ 10D ． 2解析：∵ z ＝ 1＋ 2 ＝1－ 2 2 ＝－ － 2－ i 2i ，∴ z ＝ (1－ 2i) 3－ 4i ， z ＝1＋ 2i.∴ z ＋ 3 z ＝－ 3－ 4i ＋ 3(1＋2i) ＝ 2i.∴虚部 2.答案： D2． 察一列数的特点： 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，⋯， 第 100 是 ()A ． 10B ． 13C ．14D ． 100解析： ∵ 1＋ 13 × 13＝ 91，2∴从第 92 开始 14，共有 14 ．∴第 10014.答案： C1－i2 014＋ 2i 的共 复数－－＝ ()3．已知 i 是虚数 位，且 z ＝ 1＋ i z ， z ·z A ． 5 B ． 1 C ． 5D ． 9解析： z ＝ 1－ i 2 0142i ＝ (－ i) 2 014－＝( －1＋ 2i)( － 1－ 2i) ＝5.1＋ i＋＋ 2i ＝－ 1＋ 2i ，故 z ·z答案： A4．数列 { a n } 中， a 1＝ 1，当 n ≥ 2， a n ＝ a n － 1＋ 2n － 1，依次 算 a 2 ，a 3， a 4 后，猜想a n 的表达式是 ()A ． 3n － 2B ． n 2 n －1D ． 4n －3C ．3解析： 算出 a 2＝ 4， a 3＝ 9， a 4＝16，猜想 a n ＝n 2.答案： B5． 确保信息安全，信息需加密 ， 送方由明文→密文(加密 )，接受方由密文→明文 (解密 )，已知加密 ：明文a ，b ，c ，d 密文a ＋2b ，2b ＋c ，2c ＋ 3d,4d ，例如，明文 1,2,3,4 密文 5,7,18,16.当接受方收到密文14,9,23,28 ，解密得到的明文()A ． 4,6,1,7B ． 7,6,1,4C ．6,4,1,7D ． 1,6,4,7a ＋ 2b ＝ 14，a ＝ 6，2b ＋ c ＝ 9， 得b ＝ 4，解析： 由故选 C ．2c ＋ 3d ＝23， c ＝ 1，4d ＝ 28，d ＝ 7.答案： C6． (2017 北·京卷 )若复数 (1－i)( a ＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 ()A ． (－∞， 1)B ． (－∞，－ 1)C ．(1，＋∞ )D ． (－ 1，＋∞ )解析： (1－i)( a ＋ i) ＝ a ＋ i － ai － i 2＝ a ＋ 1＋ (1－a)i. 由复数 (1－i)( a ＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，a ＋ 1＜ 0，得解得 a ＜－ 1.1－ a ＞ 0.答案： Bπ7π7．由直线 x ＝－ 6， x ＝ 6 ，y ＝ 0 与曲线 y ＝ sin x 所围成的封闭图形的面积为()A ． 2－ 3B ． 4－ 3C ．2＋ 3D ． 4＋ 3解析： 如下图，封闭图形的面积为πS ＝－sinxdx ＋ 0 sinxdx －sinxdxπ＝－ 2sinxdx ＋ 0 sinxdx＝－ 2( －cosx)＋ (－ cosx)|0π＝ 2 cos 0－ cos － π－ (cos π－ cos 0)6 3－ (－ 1－1)＝ 4－ 3.答案： B8．已知α，β是三次函数f(x)＝1312＋ 2bx(a，b∈R )的两个极值点，且α∈ (0,1)，β3x＋ ax2∈(1,2) ，则b－3的取值范围是 () a－ 2A ．－∞，2B．2，1 55C．(1，＋∞ )D．－∞，2∪ (1，＋∞ ) 5解析：因为函数有两个极值，所以f′ (x)＝0有两个不同的根，即>0又.f′ (x)＝ x2＋f′ 0 >0，2b>0，b－ 3的几何意义是动ax＋ 2b，α∈ (0,1)，β∈ (1， 2)，所以f′ 1 <0，即1＋ a＋2b<0，f′ 2 >0，4＋ 2a＋ 2b>0.a－ 2点 P(a，b)到定点 A(2,3)两点连线的斜率．作出可行域如图，由图像可知当直线经过AB 时斜率最小，此时斜率为 k＝1－3＝2；当直线经过AD 时斜率最大，此时斜率为k＝0－ 3＝－ 3－ 2 5－1－22 b－ 31.故5<a－2<1.答案： B9．定义在R上的函数y＝ f(x)满足 f(4 －x)＝f(x)，(x－ 2)f′ (x)<0 ，若 x1<x2，且 x1＋ x2>4，则()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝ f(x2)D． f(x1)与 f(x2)的大小不确定解析：由 f(4－ x)＝ f( x)，得函数 f(x)的图像关于直线x＝ 2 对称．由 (x－2)f′ (x)<0，得函数f(x)在 (－∞，2)上是增加的，在 (2，＋∞) 上是减少的．故当 x2>x1>2 时，f(x1)>f( x2)；当 x2>2> x1时，由 x1＋ x2>4，得 x2>4－ x1>2.故 f(4－ x1)＝ f(x1)>f(x2)．综上， f(x1)>f(x2)．答案： B范围是 ()1A ． a ≤ 0B ． a ≥－ 8 1C ．a<－ 8D ． a ≥ 0解析： 由题意，得1f ′ (x)＝2ax ＋(x>0) ，且直线 x ＋ y ＋m ＝ 0(m ∈ R )的斜率为－ 1.x由对任意实数 m 直线 x ＋ y ＋ m ＝ 0 都不是曲线 y ＝f(x)的切线，得曲线 y ＝ f(x)的切线的斜1率不可能为－ 1，即 2ax ＋ ＝－ 1 无正实数根．1 1分离 a ，得 a ＝－ 2x 2 － 2x ①，也就是当 x>0 时，①不能成立． 令 y ＝－ 11 1 1＋ 1 2 12x 2－ 2x ＝－ 2 x 2 ＋ 8 ，设 t ＝1x ，由 x>0，得 t>0.则 y ＝－ 1 t ＋ 1 2＋ 1<0.228 故 a ≥0.答案： D11．如果函数 f(x)＝a x (a x － 3a 2－1)( a>0 且 a ≠ 1)在区间 [0，＋∞ )上是增函数，那么实数a 的取值范围是 ()23， 1A ． 0， 3B ．3 C ．(1， 3]3，＋∞D ． 2 解析： 由已知得 f ′ (x)＝ 2a 2x ln a － (3a 2＋ 1)a x ·ln a ＝ a x ln a(2a x － 3a 2－ 1)≥ 0. ①当 a>1 时， ln a>0 ，a x >0，∴ 2a x － 3a 2－ 1≥0 恒成立．当 x ∈ [0，＋ ∞ )时，a x ≥ 1，故只需 2－ 3a 2－ 1≥0，∴ 3a 2≤ 1.∴ a2≤ 13与 a>1 矛盾．②当 0<a<1 时， ln a<0， a x >0，∴ 2a x － 3a 2－ 1<0 恒成立．当 x ∈ [0，＋ ∞ )时， a x ≤ 1，223故只需 2－ 3a － 1≤0，∴ 3a ≥ 1.∴ ≤ a<1.12．已知 f(x)在点 x 处可导，那么 limf x ＋x －f x － x ＝ ()x →x A ． 0B ． f ′ (x)1C ．2f ′ (x)D ． 2f ′ (x)解析： lim f x ＋ x － f x － xx →0 x＝lim f x ＋ x －f x ＋ lim f x － f x － xx →xx →x＝ f ′ (x)＋ limf x － x － f xx →－ x＝ f ′ (x)＋ f ′( x)＝ 2f ′ (x)．答案： D二、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 )13．设 P 是△ ABC 内一点，△ ABC 三边上的高分别为h A ，h B ，h C ， P 到三边的距离依l al bl c次为 l a ，l b ，l c ，则有 h A ＋ h B ＋ h C ＝ ________；类比到空间，设 P 是四面体 ABCD 内一点，四 顶点到对面的距离分别是 h A ， h B ， h C ， h D ， P 到这四个面的距离依次是l a ， l b ， l c ， l d ，则有____________．解析： 用等面积法可得 l a ＋ l b ＋ l c ＝1.h A h B h C 类比到空间有 l a ＋ l b ＋ l c ＋ l d＝ 1.h A h B h C h D答案： 1l a ＋ l b ＋ l c ＋ l d ＝ 1h A h B h C h D2在 x ＝ 1 处的切线方程为 14．曲线 y ＝ 2ln x ＋ x － 2x解析： 当 x ＝ 1 时， y ＝－ 1.又 y ′＝ 2＋ 2x －2，于是 x__________ ．k ＝ y ′ |x ＝ 1＝ 2.故切线方程为 y ＋ 1＝2(x － 1)，即 2x － y －3＝ 0.答案： 2x － y － 3＝015．已知二次函数 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c 的导数为 f ′ (x)， f ′ (0)>0 ，且 f(x)的值域为 [0，＋∞ ) ，则 f 1的最小值为 ________． f ′解析： ∵ f ′(x)＝2ax ＋ b ，∴ f ′ (0) ＝ b>0.又函数 f(x)的值域为 [0，＋ ∞ )，∴ a>0 ，且 ＝ b 2－ 4ac ＝ 0，即 4ac ＝ b 2.∴ c>0.∵ f(1) ＝ a＋ b＋ c，∴f 1＝a＋ b＋ c＝1＋ a＋ c≥1＋ 2ac＝ 1＋4ac＝ 1＋1＝ 2，当且仅f′ 0b b b4ac当 a＝ c 时等号成立．∴ f 1的最小值为 2.f′ 0答案： 216．定义两个实数间的一种新运算“ *：”x* y＝ lg(10 x＋ 10y)， x， y∈R .对任意实数 a， b，c，给出下列结论：① (a*b)* c＝a*( b* c)；② a* b＝ b*a ；③ (a* b) ＋ c＝( a＋ c)*( b＋ c)．其中正确的是 ________(填序号 )．解析：∵ a* b＝lg(10 a＋ 10b)，∴(a* b)* c＝lg(10lg(10 a＋ 10b)＋ 10c)＝lg(10 a＋ 10b＋ 10c)．同理 a*( b* c)＝ lg(10 a＋ 10b＋10c)．∴a*( b*c)＝( a* b)* c.故①正确．同理可验证②正确．∵a* b＝ lg(10 a＋ 10b)，a bb* a＝lg(10 ＋ 10)，∴a* b＝ b* a.又∵ (a＋ c)*( b＋ c)＝ lg(10 a＋c＋ 10b＋c)＝lg[10 c(10a＋ 10b)]＝lg(10 a＋ 10b)＋ c，(a* b)＋ c＝ lg(10 a＋ 10b)＋ c，∴(a* b)＋ c＝(a＋c)*( b＋ c)．故③正确．答案：①②③三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分)17． (10 分)求证： ac＋ bd≤a2＋b2· c2＋ d2.证明：若 ac＋ bd≤ 0，则不等式显然成立．若 ac＋bd>0 ，要证原不等式成立，22222只要证 (ac＋bd)≤ (a＋b)(c＋ d )，即要证 a2c2＋ 2abcd＋ b2d2≤ a2c2＋ a2d2＋ b2c2＋ b2d2，只要证 (ad－ bc)2≥ 0.此式显然成立，所以原不等式成立．－18．(12 分 )设复数 z 满足 4z＋2 z ＝ 3 3＋ i ，ω＝sin θ－ icos θ(θ∈R)．求 z 的值和 |z－ω| 的取值范围．－解：设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 z ＝ a－ bi.－代入 4z ＋2 z ＝ 33＋ i ，得 4(a ＋ bi) ＋ 2(a － bi) ＝ 3 3＋ i ，即 6a ＋ 2bi ＝ 3 3＋ i.6a ＝3 3，3，a ＝ 23 ＋1i.∴解得∴ z ＝ 2b ＝1.12 2b ＝ 2.∴ |z － ω|＝3 12＋ i － sin θ－ icos θ2＝3－ sin θ2＋ 12＋ cos θ22＝ 2－ 3sin θ＋ cos θ＝2－2sinθ－ π .6π∵－ 1≤ sin θ－ 6 ≤ 1，π∴ 0≤ 2－ 2sin θ－ 6 ≤ 4.∴ 0≤ |z －ω|≤2.故 |z － w|的取 范 是 [0,2] ．19． (12 分)已知复数 z ＝ (2x ＋ a)＋ (2－x ＋ a)i ， x ， a ∈ R ，当 x 在 (－∞，＋∞ )内 化 ，求 |z|的最小g(a)．解： |z|2＝ (2x ＋a) 2＋ (2 － x＋ a) 2＝ 22x ＋2 － 2x－ x＋ 2a(2x ＋2 )＋ 2a 2.令 t ＝ 2x ＋ 2－ x ， t ≥ 2,22x ＋ 2－2x ＝ t 2－ 2.从而 |z|2＝ t 2＋ 2at ＋ 2a 2－ 2＝ (t ＋ a)2＋ a 2－ 2.当－ a ≥ 2，即 a ≤ － 2 ， g(a)＝a 2－ 2；当－ a<2 ，即 a>－ 2 ，g(a)＝ a ＋ 2 2＋ a 2－ 2＝ 2|a ＋ 1|.20． (12 分)用数学 法 明不等式：2＋ 1× 4＋ 1×⋯× 2n ＋ 124 2n > n ＋ 1.明： ①当 n ＝1 ，左式＝ 3，右式＝2，2左式 >右式，所以不等式成立．②假 n ＝ k(k ≥ 1， k ∈ N ＋ ) 不等式成立，2＋ 1 4＋ 1 2k ＋ 1即2×4×⋯×2k >k ＋ 1，当 n ＝ k ＋ 1 ，2＋ 1×4＋ 1×⋯× 2k ＋ 1× 2k ＋32k ＋ 3 ＝ 2k ＋ 3 .2 42k 2 k ＋1 > k ＋1×2 k ＋ 12 k ＋ 1 要 当 n ＝ k ＋ 1 不等式成立，只需2k ＋3≥k ＋ 2，2 k ＋ 1即2k ＋ 3≥ k ＋1 k ＋ 2 .2由基本不等式 2k ＋ 3＝ k ＋ 1 ＋ k ＋ 2 ≥k ＋ 1 k ＋ 2 成立，故2k ＋ 3≥ k ＋ 2成立．222 k ＋ 1所以，当 n ＝ k ＋1 ，不等式成立．由①②可知， n ∈ N2＋1 4＋ 12n ＋ 1，不等式2 ×4×⋯×2n> n ＋ 1成立．＋21． (12 分 )已知函数 f(x) ＝x 3 ＋2bx 2＋ cx － 2 的 像在与x 交点 的切 方程是y ＝ 5x－10.(1)求函数 f(x)的解析式．(2) 函数 g(x)＝ f(x)＋1mx ，若 g( x)的极 存在， 求 数 m 的取 范 以及函数 g(x)取得3极 的自 量 x 的 ．解： (1)由已知得切点(2,0)，故有 f(2) ＝ 0，即 4b ＋ c ＋ 3＝0.①又 f ′ (x)＝ 3x 2＋ 4bx ＋ c ，由已知 f ′(2) ＝ 12＋ 8b ＋ c ＝5，得 8b ＋ c ＋ 7＝ 0.②立①②，解得b ＝－ 1，c ＝ 1.所以函数的解析式f(x) ＝x 3 －2x 2＋ x － 2.(2)g( x)＝ x 3－ 2x 2＋ x －2＋ 1mx ，3 21令 g ′ (x)＝ 3x －4x ＋1＋ m ＝ 0.3当函数有极 ，方程3x 2－ 4x ＋ 1＋ 1m ＝ 0 有 数解，即 Δ≥ 0.3由 ＝ 4(1－ m)≥ 0，得 m ≤ 1.①当 m ＝1 ， g ′ (x)＝ 0 有 数根 x ＝ 2，在 x ＝2左右两 均有g ′ (x)>0 ，故函数 g(x)33无极 ．②当 m<1 ， g ′ (x)＝ 0 有两个 数根x 1 ＝1 (2－ 1－ m)， x 2＝ 1(2＋ 1－ m)．33当 x 化 ， g ′( x)， g(x)的情况如下表：x (－∞， x 1) x 1(x 1，x 2) x 2( x 2，＋∞ )g′ (x)＋0－0＋g(x)极大值极小值所以当 m∈ (－∞， 1)时，函数g(x)有极值，1当x＝3(2 － 1－m)时， g(x)有极大值；当x＝13(2 ＋ 1－m)时， g(x)有极小值．22．(12 分 )(2014 浙·江高考 )已知函数 f(x)＝ x3＋ 3|x－ a|(a>0)，将 f(x)在 [－ 1,1] 上的最小值记为 g(a)．(1)求 g(a)．(2)证明：当x∈ [ － 1,1] 时，恒有f(x)≤ g(a)＋ 4.(1)解：因为 a>0 ，－ 1≤ x≤ 1，所以①当 0<a<1 时，若x∈ [－ 1， a]，则 f(x)＝x3－ 3x＋ 3a，f′ (x)＝3x2－3<0.故 f(x) 在(－ 1， a)上是减函数．若x∈ [a,1]，则 f(x)＝ x3＋ 3x－3a，f′ (x)＝3x2＋3>0.故f(x) 在(a,1)上是增函数．所以 g(a)＝ f(a)＝ a3.②当 a≥ 1 时，有 x≤ a，则f(x) ＝x3－ 3x＋ 3a， f′ (x)＝ 3x2－ 3<0.故f(x) 在(－ 1,1)上是减函数，所以 g(a)＝ f(1)＝－ 2＋ 3a.a3 0<a<1 ，综上， g(a)＝－2＋ 3a a≥ 1 .(2)证明：令 h( x)＝ f(x)－ g(a)．①当 0<a<1 时， g( a) ＝ a3 .若x∈ [a,1]，则 h(x)＝x3＋3x－ 3a－a3，h′ (x)＝ 3x2＋ 3，在 (a,1)上是增函数．所以 h(x)在 [a,1]上的最大值是 h(1) ＝ 4－ 3a－ a3 .因为 0< a<1，所以 h(1)≤4.故f(x) ≤g( a)＋4.若x∈ [－ 1， a]，则 h(x)＝ x3－ 3x＋ 3a－ a3，h′ (x)＝ 3x2－ 3，在 ( －1， a)上是减函数．所以 h(x)在 [ － 1，a] 上的最大值是h(－ 1)＝ 2＋3a－ a3.9北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案知t(a) 在(0,1)上是增函数，所以 t(a)<t(1)＝ 4，即 h(－ 1)<4.故f(x) ≤g( a)＋4.②当 a≥ 1 时， g(a)＝－ 2＋ 3a，故h(x)＝ x3－ 3x＋ 2，得 h′ (x)＝ 3x2－ 3.此时 h(x)在 (－ 1,1)上是减函数．因此 h(x)在 [ － 1,1] 上的最大值是h(－ 1)＝ 4.故f(x) ≤g( a)＋4.综上，当 x∈ [ － 1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.10。

阶段质量评估(五)　数系的扩充与复数的引入(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为( )A ．2cos B ．－2cos α2α2C ．2sinD ．－2sin α2α2解析：|z |＝＝＝＝2.(1＋cos α)2＋sin2α2＋2cos α4cos2α2|c osα2|∵π<α<2π，∴<<π.∴cos <0.π2α2α2∴2＝－2cos .|c osα2|α2答案：B2．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )A ．－1或6B ．－1或4C ．－1D ．4解析：由M ∩N ＝{3}，知m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3.∴Error!解得m ＝－1.答案：C3．若θ∈，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )(34π，54π)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：cos θ＋sin θ＝sin ，sin θ－cos θ＝sin .2(θ＋π4)2(θ－π4)∵θ∈，(34π，54π)∴θ＋∈，θ－∈.π4(π，32π)π4(π2，π)∴sin<0，sin >0.2(θ＋π4)2(θ－π4)∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴复数在平面内对应的点在第二象限．答案：B4．一元二次方程x 2－(5＋i)x ＋4－i ＝0有一个实根x 0，则( )A ．x 0＝4B ．x 0＝1C ．x 0＝4或x 0＝1D ．x 0不存在解析：由已知可得x －(5＋i)x 0＋4－i ＝0，20∴Error!该方程组无解．答案：D5．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量和，其中O 为坐标原点，则|OA→ OB → |等于( )AB→ A ．B ．22C ．D ．410解析：由题意得＝－，则对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i.故|A |＝2.AB → OB → OA → AB → B→ 答案：B6．已知复数z ＝，是z 的共轭复数，则z ·等于( )3＋i(1－3i )2z － z－ A ．B ．1412C ．1D ．2解析：∵z ＝＝＝，3＋i(1－3i )23＋i－2－23i －3＋i 4∴|z |2＝2＋2＝.(－34)(14)14∴z ·＝|z |2＝.z－ 14答案：A7．在复平面内，复数－1＋i,0,3＋2i 所对应的点分别是A ，B ，C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为( )A ．5B ．13C ．D ．1517解析：由已知得对应的复数为－1＋i ，对应的复数为3＋2i.因为＝＋，BA → BC → BD→ BA → BC → 所以对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.BD→ 故BD 的长为.13答案：B8．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z 为( )5A ．－＋2i B ．－－2i 55C ．＋2iD ．－2i55解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝－.5由|z |＝3，得(－)2＋y 2＝9，即y 2＝4.∴y ＝±2.5∵复数z 对应的点在第二象限，∴y ＝2.∴z ＝－＋2i.5答案：A9．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 005i 2 004的值是( )A ．－1 000－1 000i B ．－1 002－1 002i C ．1 003－1 002i D ．1 005－1 000i 解析：1＋2i ＋3i 2＋4i 3＝1＋2i －3－4i ＝－2－2i,5i 4＋6i 5＋7i 6＋8i 7＝5＋6i －7－8i ＝－2－2i ，故原式＝501×(－2－2i)＋2 005i 2 004＝－1 002－1 002i ＋2 005＝1 003－1 002i.答案：C10．设复数z 满足＝i ，则|1＋z |等于( )1－z1＋z A ．0B ．1C ．D ．22解析：由＝i ，得z ＝＝－i.1－z1＋z 1－i1＋i 故|1＋z |＝|1－i|＝.2答案：C11．有下列四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时，其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定互为共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有表明x ，y 是否为实数；④当a ＝0时，没有纯虚数和它对应．答案：A12．若集合M ＝，则集合M 等于( ){z |z ＝1－(1－i1＋i )4n ，n ∈N }A ．∅B ．{0}C ．{0,2}D ．{2}解析：∵4n ＝(－i)4n ＝[(－i)4]n ＝1，(1－i1＋i )∴z ＝0.∴M ＝{0}．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．解析：(z 1－z 2)i ＝(4＋29i －6－9i)·i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，故实部为－20.答案：－2014．已知(a －i)2＝2i ，其中i 是虚数单位，那么实数a ＝__________________.解析：∵(a －i)2＝a 2－1－2a i ＝2i ，∴Error!解得a ＝－1.答案：－115．使关于x 的方程x 2＋2i x －4tan θ＋4i ＝0有实数根的锐角θ的值是________．解析：设m 是方程的实根，代入方程，整理得(m 2－4tan θ)＋(2m ＋4)i ＝0，由复数相等的条件，得Error!解得Error!由θ为锐角，得θ＝.π4答案：π416．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *的最小值为________．z－ 解析：根据题意，得z *＝＝|z |＝＝z － |z |＋|z － |2a 2＋b 2a 2＋(3－a )2＝ ＝.2a 2－6a ＋92(a －32)2＋92因此当a ＝时，z *有最小值，且最小值为.32z－ 322答案：322三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知复数z 的共轭复数是，且满足z ·＋2i z ＝9＋2i.求z .z － z－ 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则＝a －b i.z－ ∵z ·＋2i z ＝9＋2i ，z－ ∴(a ＋b i)(a －b i)＋2i(a ＋b i)＝9＋2i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝9＋2i.∴Error!由②得a ＝1.代入①得b 2－2b －8＝0.解得b ＝－2或b ＝4.∴z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.18．(12分)已知复数z 满足|z |＝，z 2的虚部是2.2(1)求复数z .(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i.由题意得Error!解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1.故z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i.则A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)．所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i.则A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)．故S △ABC ＝1.19．(12分)已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为，求的最大值．3yx解：由|x －2＋y i|＝，3得(x －2)2＋y 2＝3.故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜3yx 率．如图所示，由平面几何知识，易知的最大值为.yx 320．(12分)已知ω＝z ＋i(z ∈C )，是纯虚数，且|ω＋1|2＋|ω－1|2＝16，求ω.z －2z ＋2解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则＝＝.z －2z ＋2(a －2)＋b i (a ＋2)＋b i (a 2＋b 2－4)＋4b i (a ＋2)2＋b 2∵为纯虚数，z －2z ＋2∴Error!∴|ω＋1|2＋|ω－1|2＝|(a ＋1)＋(b ＋1)i|2＋|(a －1)＋(b ＋1)i|2＝(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(a －1)2＋(b ＋1)2＝2(a 2＋b 2)＋4b ＋4＝8＋4b ＋4＝12＋4b .∴12＋4b ＝16.∴b ＝1.把b ＝1代入a 2＋b 2＝4，解得a ＝±.3∴z ＝±＋i.∴ω＝±＋2i.3321．(12分)已知复数z ＝且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，复数0，z ，(1＋i )3(a ＋b i )1－i对应的点是正三角形的三个顶点．求实数a ，b 的值．z－解：z ＝(a ＋b i)＝2i·i·(a ＋b i)＝－2a －2b i.(1＋i )2(1＋i )1－i∵|z |＝4，∴＝4，即a 2＋b 2＝4.(－2a )2＋(－2b )2∵复数0，z ，对应的点是正三角形的三个顶点，z－ ∴|z |＝|z －|.z－ 把z ＝－2a －2b i 代入，化简得b ＝±1.又∵点Z 在第一象限，∴a <0，b <0.∴a ＝－，b ＝－1.322．(12分)已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值．解法一：设ω＝z －3＋4i ，则z ＝ω＋3－4i.∴z ＋1－i ＝ω＋4－5i.又|z ＋1－i|＝1，∴|ω＋4－5i|＝1.则ω对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心、1为半径的圆，如图 (1)所示．∴|ω|max ＝＋1，|ω|min ＝－1.4141解法二：由已知条件知复数z 对应的点的轨迹是以(－1，1)为圆心、1为半径的圆，|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示复数z 对应的点到点(3，－4)的距离．在圆上，与(3，－4)距离最大的点为A ，距离最小的点为B ，如图(2)所示．故|z －3＋4i|max ＝＋1，41|z －3＋4i|min ＝－1.41。