中考数学专题：坐标系中的几何问题

专题十经典模型模型53 “胡不归”模型模型故事从前,有个小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即启程赶路.由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径AB,但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素.当他赶到家时,老人刚刚咽气.邻居告诉说,老头弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不?.…”而如果先沿着驿道AC走一段,再走砂砾地,会不会更早些到家?在这个问题中,由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后,再走砂砾地带?虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了,请问如何确定这个点呢?模型展现基础模型怎么用?1．找模型直线上一定点A ,一动点P，B为直线外一点,求kAP+BP的最小值2.用模型构造直角三角形,利用三角函数将含系数的线段进行转换,再根据垂线段最短化折为直,从而得到线段和最小值,最后运用锐角三角函数求解即可 模型分析如图,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解，该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下: 一找:找带有系数k 的线段kAP ;二构:在点B 异侧,构造以线段AP 为斜边的直角三角形; ①以定点A 为顶点作①CAP ,使得sin ①P AC =h ; ①过动点P 作垂线构造Rt ①P AC ; 三转化:化折为直,将kAP 转化为PC ;四求解:使得hAP +BP =PC +BP ,利用“垂线段最短”转化为求BD 的长度.拓展延伸熟记特殊角的锐角三角函数值，kAP +BP 中系数k 发生变化时,所构造的直角三角形也会发生变化,同学们需要牢记特殊角度的正弦值：01sin 30 =2，0sin 60，0sin 45 =2，03sin 375，04sin 53 5例1如图， 在①ABC 中，AC =6，①A =30°，点D 是AB 边上一动点，（点拨：两定点A 、C ，动点D ，含特殊角30°）则12AD CD 的最小值为_________（点拨：线段数量关系的最小值,考虑“胡不归”）考什么?直角三角形的性质,30°,60°角的锐角三角函数值,垂线段最短.思路点拨哪条线段带有系数,就以它为斜边构造直角三角形,使得其中一锐角的正弦值恰好与系数相等.例2如图, 在平行四边形ABCD中,①DAB=45°，（点拨：特殊角）AB=6，BC=2，P为CD边上的一动点，则22PB PD（点拨：线段数量关系出现，且0＜k＜1，模型出现）的最小值为_____________考什么?平行四边形的性质,直角三角形的性质,45°角的锐角三角函数值,垂线段最短。

专题四几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。

几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。

【解题攻略】最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB 的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．【解题类型及其思路】解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

【典例指引】类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】【典例指引1】（2018·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．（I）证明：EO=EB；（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN 最小，请直接写出这个最小值．【举一反三】（2020·云南初三）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．类型二 【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】【典例指引2】（2020·重庆初三期末）如图，抛物线2y ax bx =+（0a >）与双曲线k y x=相交于点A 、B ，已知点A 坐标()1,4，点B 在第三象限内，且AOB ∆的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a 、b 、k 的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P 使得POB ∆为等腰三角形？若存在请求出所有的P 点的坐标，若不存在请说明理由.（3）在坐标系内有一个点M ，恰使得MA MB MO ==，现要求在y 轴上找出点Q 使得BQM ∆的周长最小，请求出M 的坐标和BQM ∆周长的最小值.【举一反三】（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．类型三 【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】【典例指引3】（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【举一反三】（2019·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．B C M N为顶点（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以,,,的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【新题训练】1．如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x ＋c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．2．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.3．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为212时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．4.（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t=13秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．5.（2020·江苏初三期末）已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y轴交于点C ，点P 是直线AC 上方的抛物线上的动点.(1)求直线AC 的解析式.(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ∆面积.(3)在P 点运动过程中，求APC ∆面积的最大值.6．（2020·江苏初三期末）如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.7.（2019·石家庄市第四十一中学初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x （x ﹣b ）﹣与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P．（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h 有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．8.（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．9．（2020·山东初三期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q （2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．10．（2020·盘锦市双台子区第一中学初三月考）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB 的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.11．（2020·四川初三）如图，一次函数122y x=-+的图像与坐标轴交于A、B两点，点C 的坐标为(1,0)-，二次函数2y ax bx c =++的图像经过A 、B 、C 三点．（1）求二次函数的解析式（2）如图1，已知点(1,)D n 在抛物线上，作射线BD ，点Q 为线段AB 上一点，过点Q 作QM y ⊥轴于点M ，作QN BD ⊥于点N ，过Q 作//QP y 轴交抛物线于点P ，当QM 与QN 的积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AP ，若点E 为抛物线上一点，且满足APE ABO ∠=∠，求点E 的坐标．12．（2019·广东初三）如图，已知抛物线y ＝﹣3x 2+bx +c 与x 轴交于原点O 和点A （6，0），抛物线的顶点为B ．（1）求该抛物线的解析式和顶点B 的坐标；（2）若动点P 从原点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB 运动，设点P 运动的时间为t （s ）．问当t 为何值时，△OPA 是直角三角形？（3）若同时有一动点M 从点A 出发，以2个长度单位的速度沿线段AO 运动，当P 、M 其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t （s ），连接MP ，当t 为何值时，四边形ABPM 的面积最小？并求此最小值．13．（2019·山东初三期中）如图，已知抛物线经过两点A （﹣3，0），B （0，3），且其对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q 是对称轴上一动点，当OQ +BQ 最小时，求点Q 的坐标．（3）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A ，点B ），求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．14.（2019·四川中考真题）如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2019·天津中考真题）已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数，0b >）经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点． （Ⅰ）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值； （Ⅲ）点1(,)2Q Q b y +在抛物线上，当22AM QM +的最小值为332时，求b 的值． 16.（2019·湖南中考真题）如图，抛物线y ＝ax 2+bx （a ＞0）过点E （8，0），矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左侧），点C 、D 在抛物线上，∠BAD 的平分线AM 交BC 于点M ，点N 是CD 的中点，已知OA ＝2，且OA ：AD ＝1：3.（1）求抛物线的解析式；（2）F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接M 、N 、G 、F 构成四边形MNGF ，求四边形MNGF 周长的最小值；（3）在x 轴下方且在抛物线上是否存在点P ，使△ODP 中OD 610求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K 、L ，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.17.（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点D （﹣2，﹣3）和点E （3，2），点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点F （0，1），连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN ＝22，动点Q 从点P 出发，沿P →M →N →A 的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．18.（2019·湖南中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，=3OC ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标； (4)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．专题四 几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1)当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3)确定动点轨迹的方法(重点)②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化(常用中位线、矩形对角线、全等、相似)为其他已知轨迹的线段求最值。

专题 几何专题题型一考察概念基础知识点型例1如图1,等腰△ABC 的周长为21,底边BC ＝ 5,AB 的垂直平分线是DE ,则△BEC 的周长为 ; 例2 如图2,菱形ABCD 中,60A ∠=°,E 、F 是AB 、AD 的中点,若2EF=,菱形边长是______．图1 图2 图3 例3 已知AB 是⊙O 的直径,PB 是⊙O 的切线,AB ＝3cm,PB ＝4cm,则BC ＝ ． 题型二折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系,然后利用勾股定理即可求解; 沿DE 折叠,若48CDE ∠=°,则APD ∠等例4 D E ，分别为AC ,BC 边的中点,于 ;例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4,AD =2．将矩形纸片沿 EF 折叠, 使点A 与点C 重合,折叠后在其一面着色图,则着色部分的面积为A ． 8B ．112C ． 4D ．52EDBC A P图4图5 图6题型三涉及计算题型：常见的有应用勾股定理求线段长度,求弧长,扇形面积及圆锥体积,侧面积,三角函数计算等;例6如图3,P 为⊙O 外一点,PA 切⊙O 于A,AB 是⊙O 的直径,PB 交⊙O 于C,PA ＝2cm,PC ＝1cm,则图中阴影部分的面积S 是A.2235cm π- B 2435cm π- C 24235cm π- D 2232cm π- 图3 题型四证明题型： 第二轮复习之几何一——三角形全等判定方法1：SAS例1如图,AC 是菱形ABCD 的对角线,点E 、F 分别在边AB 、AD 上,且 AE=AF; 求证：△ACE ≌△ACF例2 在正方形ABCD 中,AC 为对角线,E 为AC 上一点,连接EB 、ED ． 1求证：△BEC ≌△DEC ；2延长BE 交AD 于F ,当∠BED =120°时,求∠EFD 的度数．BD GFF ADFEBCDCBA EFG判定方法2：AASASA例3 如图,ABCD 是正方形,点G 是BC 上的任意一点,DE AG ⊥于 E ,BF DE ∥,交 AG 于F ,求证：AFBF EF =+．例4如图,在□ABCD 中,分别延长BA,DC 到点E,使得AE=AB, CH=CD 连接EH,分别交AD,BC 于点F,G;求证：△AEF ≌△CHG.判定方法3：HL 专用于直角三角形例5在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90o,F 为AB 延长线上一点,点E在BC上, 且AE=CF. 1求证:Rt △AB E ≌Rt △CBF; 2若∠CAE=30o,求∠ACF 度数.对应练习1.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 中点,AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F.1证明：∠DFA = ∠FAB； 2证明: △ABE≌△FCE.2.如图,点E 是正方形ABCD 内一点,CDE ∆是等边三角形,连接EB 、EA ,延长BE 交边AD 于点F . 1求证:BCE ADE ∆≅∆；5分2求AFB ∠的度数.5分3．如图,已知∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,BE ⊥CE 于E ,AD ⊥CE 于D ,CE 与AB 相交于F ．1求证：△CEB ≌△ADC ；2若AD ＝9cm,DE ＝6cm,求BE 及EF 的长．第二轮复习之几何二——三角形相似Ⅰ.三角形相似的判定例1如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 作AE ⊥BC,垂足为E,连接DE,F 为线段DE 上一点,且∠AFE ＝∠B. 1求证：△ADF ∽△DEC2若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长. 例2如图9,点P 是正方形ABCD 边AB 上一点不与点A ．B重合,连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE, PE 交边BC 于点F ．连接BE 、DF;E B D A CF AF DEB CABCEFABCDF EF ED CBA 1求证：∠ADP=∠EPB ； 2求∠CBE 的度数； 3当APAB的值等于多少时．△PFD ∽△BFP 并说明理由．2.相似与圆结合,注意求证线段乘积,一般是转化证它所在的三角形相似;将乘积式转化为比例式→比例式边长定位到哪个三角形→找条件证明所在的三角形相似 例3 如图,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交AC 与E,交BC 与D ．求证：1D 是BC 的中点；2△BEC∽△ADC； 3BC 2=2AB CE ．3.相似与三角函数结合,①若题目给出三角函数值一般会将给出的三角函数值用等角进行转化,然后求线段的长度②求某个角的三角函数值,一般会先将这个角用等角转化,间接求三角函数值例4如图,点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点,⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE,点F 落在AD 上.1求证：⊿ABE∽⊿DFE ;2若sin∠DFE=31,求tan∠EBC 的值. 练习一、选择题1、如图1,将非等腰ABC △的纸片沿DE 折叠后,使点A 落在BC 边上的点F 处．若点D 为AB 边的中点,则下列结论：①BDF △是等腰三角形；②DFE CFE ∠=∠；③DE 是ABC △的中位线,成立的有 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③图1 图22.如图,等边△ABC 中,BD=CE,AD 与BE 相交于点P,则∠APE 的度数是A ．45° B．55° C．60° D．75° 3.如图3,在ABC △中,13AB AC ==,10BC =,点D 为BC 的中点,DE DE AB ⊥,垂足为点E ,则DE等于A ．1013 B ．1513 C ．6013 D ．7513MEDCBA图3 图4 图5GFE CBADAO BCXY4.如图4,⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形,点B,C,D 在一条直线上,点M 是AE 的中点,下列结论：①tan∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个5.如图5,等边三角形ABC 中,D 、E 分别为AB 、BC 边上的两个动点,且总使AD=BE ,AE 与CD 交于点F ,AG ⊥CD 于点G,则FGAF= ． 6.如图6,已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上,AD ∥BC ,AC 平分∠BCD ,∠ADC = 120°,四边形ABCD 的周长为10cm ．图中阴影部分的面积为 A. 32B.3C. 23D. 43图6 图7对折,使点A 落在点1A 处;已知7.如图7,在直角坐标系中,将矩形OABC 沿OB3=OA ,1=AB ,则点1A 的坐标是 ; A 、23,23 B 、23,3 C 、23,23 D 、21,23 三、解答题1如图,矩形ABCD 中,点E 是BC 上一点,AE ＝AD,DF⊥AE 于F,连结DE.求证：DF ＝DC ．2.如图,四边形ABCD 是矩形,△PBC 和△QCD 都是等边三角形,且点P 在矩形上方,点Q 在矩形内．求证：1∠PBA =∠PCQ =30°；2PA =PQ ．3.如图9,已知点D 为等腰直角△ABC 内一点,∠CAD ＝∠CBD ＝15°,E 为AD 延长线上的一点,且CE ＝CA ．1求证：DE 平分∠BDC ；2若点M 在DE 上,且DC=DM ,求证： ME=BD ． 4.如图5AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,CD 是⊙O 的切线,C 为切点,AD ⊥CD 于点D ．求证：1∠AOC =2∠ACD ； 2AC 2＝AB ·AD ． 、5．把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠,使点A 与点E 重合,点C 与点F 重合E 、F 两点均在BD 上,折痕分别为BH 、DG;1求证：△BHE ≌△DGF ；2若AB ＝6cm,BC ＝8cm,求线段FG 的长;6．如图8,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合, 连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系,并证明你的猜想．ABCDEAC B DPQABCDEF 第二轮复习之几何三——四边形例1 如图,分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD、等 边△ABE;已知∠BAC=30o,EF⊥AB,垂足为F,连结DF;1试说明AC=EF ；2求证：四边形ADFE 是平行四边形;例2如图,AD ∥FE,点B 、C 在AD 上,∠1＝∠2,BF ＝BC⑴求证：四边形BCEF 是菱形⑵若AB ＝BC ＝CD,求证：△ACF ≌△BDE例3如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,点G 是BC 延长线上一 点,连结AG,点E 、F 分别在AG 上,连接BE 、DF,∠1=∠2 ,∠3=∠4.1证明：△ABE≌△DAF； 2若∠AGB=30°,求EF 的长.例4如图,在等腰梯形ABCD 中,已知AD BC ∥,AB DC =,2AD =, 4BC =延长BC 到E ,使CE AD =．1证明：BAD DCE △≌△；2如果AC BD ⊥,求等腰梯形ABCD 的高DF 的值．对应练习1.如图,在菱形ABCD 中,∠A=60°,点P 、Q 分别在边AB 、BC 上,且AP=BQ ． 1求证：△BDQ ≌△ADP ；2已知AD=3,AP=2,求cos ∠BPQ 的值结果保留根号．2、如图,E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点,AF CE DF BE DFBE ==，，∥． 求证：1AFD CEB △≌△．2四边形ABCD 是平行四边形．3． 如罔7,在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点,连接EB 、ED,1求证：△BEC ≌△DEC ：2延长BE 交AD 于点F,若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．4.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,延长CB 到点E ,使BE =AD ,连接DE 交AB 于点M .1求证：△AMD ≌△BM E ；2若N 是CD 的中点,且M N=5,BE =2,求BC 的长.第二轮复习之几何四——圆Ⅰ、证线段相等例1：如图,AB 是⊙O 的直径,C 是的中点,CE ⊥AB 于 E ,BD 交CE 于点F ．1求证：CF=BF ；2若CD =6, AC =8,则⊙O 的半径为 ___ ,CE 的长是 ___ ．ABDEFCDAB EC F ACBDEFO2、证角度相等例2如图,AB 是⊙O 的直径,C 为圆周上一点,30ABC ∠=︒,过点B 的切线与CO 的延长线交于点D ．:求证：1CAB BOD ∠=∠；2ABC ∆≌ODB ∆． 3、证切线点拨：证明切线的方法——连半径,证垂直;根据：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线例3如图,四边形ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 的直径, AE⊥CD 于点E,DA 平分∠BDE;1求证：AE 是⊙O 的切线;2若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD 的长;例4如图,点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上,OC⊥AB,∠ADC=30°． 1求∠BOC 的度数；2求证：四边形AOBC 是菱形． 对应练习1．如图,已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直,垂足为点E . ⊙O 的切线BF 与弦AD的延长线相交于点F ,且AD =3,cos ∠BCD= . 1求证：CD ∥BF ； 2求⊙O 的半径； 3求弦CD 的长.2.如图,点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点,点B 在⊙O 上,且AB ＝AD ＝AO ．1求证：BD 是⊙O 的切线．2若点E 是劣弧BC 上一点,AE 与BC 相交于点F,且△BEF 的面积为8,cos∠BFA＝32,求△ACF 的面积．1.一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是A ．75B ．60C ．65D ．55图1 图22．如图2,在边长为4的等边三角形ABC 中,AD 是BC 边上的高,点E 、F 是AD 上的两点,则图中阴影部分的面积是A ．43B ．33C ．23D ．33.如图3,△ABC 中,∠C =90°,AC =3,∠B =30°,点P 是BC 边上的动点,则AP 长不可能是DCBOADOBCA E 例7图43DOEC O图 8OFE BCADCB A O P D图3 图4 A B C D74. 如图4,直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将ABC △如图那样折叠,使点A 与点B 重合,折痕为DE ,则tan CBE ∠的值是 A ．247B ．73C ．724D ．135.如图5,ABC △是等腰直角三角形,BC 是斜边,将ABP △绕点A 逆时针旋转后,能与ACP '△重合,如果3AP =,那么PP '的长等于 A ．32B ．23C ．42 D ．336. 图6,已知等边△ABC 中,点D,E 分别在边AB,BC 上,把△BDE 沿直线DE 翻折,使点B 落在点B ˊ处,DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F,G,若∠ADF=80o ,则∠EGC 的度数为 图5 图67．如图,已知：在平行四边形ABCD 中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC 的平分线交AD•于点E,交CD 的延长线于点F,则DF=______cm ．8．如图,矩形ABCD 中,AB ＝2,BC ＝3,对角线AC 的垂直平分线分别交AD,BC 于点E 、F,连接CE,则CE 的长________.9.如图,BD 是⊙O 的直径,OA ⊥OB,M 是劣弧错误!上一点,过点M 作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点,MD 与OA 交于点N; 1求证：PM=PN ； 2若BD=4,PA=32AO,过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 的长． 10．如图,在△ABC 中,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P,PD ⊥AC 于点D,且PD 与⊙O 相切．1求证：AB ＝AC ；2若BC ＝6,AB ＝4,求CD 的值．11．一副直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,AB ∥CF,∠F=∠ACB=90°, ∠ E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD 的长．12．如图,四边形ABCD 是边长为a 的正方形,点G ,E 分别是边AB ,BC 的中点,∠AEF =90o,且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． 1证明：∠BAE =∠FEC ； 2证明：△AGE ≌△ECF ； 3求△AEF 的面积．13．如图,矩形ABCD 中,53AB AD ==，．点E 是CD 上的动点,以AE 为直径的O ⊙与AB 交于点F ,过点F 作FG BE ⊥于点G ．1当E 是CD 的中点时：①tan EAB ∠的值为______________； ② 证明：FG 是O ⊙的68CEABD切线；2试探究：BE 能否与O ⊙相切 若能,求出此时DE 的长；若不能,请说明理由．几何之——解直角三角形1在△ABC 中,∠C＝90°,sinA＝45,则tanB ＝A ．43B ．34C ．35D ．452、在 ABC 中,若｜sinA-22 |+23-cosB 2=0, ∠A.∠B 都是锐角,则∠C 的度数是A. 750B. 9003、如下左图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sinA 的值是A 、513B 、1213 C 、512D 、1354如上右图,在四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,若EF=2, BC=5,CD=3,则tanC 等于A 、34B 、43C 、35D 、455、如,在矩形ABCD 中,DE⊥AC 于E,设∠ADE=α,且53cos =α, AB = 4, 则AD 的长为 ． A3 B316 C 320 D 516 6在锐角△ABC 中,∠BAC=60°,BD、CE 为高,F 为BC 的中点,连接DE 、DF 、EF,则结论：①DF=EF；②AD：AB=AE ：AC ；③△DEF 是等边三角形；④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时,BE=√2DE 中,一定正确的有A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个7.084sin 45(3)4-︒+-π+-=为528.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离米,则这 个破面的坡度为 . 9.如图,已知直线1l∥2l ∥3l ∥4l ,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,则sin α= ． 直角三角形常见模型1 张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°,旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE=9米,旗杆台阶高1米,试求旗杆AB 的高度;2．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东DE OCBG FAABC DαAABCDEADBE图6i =1:3C60°方向,2小时后船行驶到C 处,发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B 到C 处的距离; 3某年入夏以来,松花江哈尔滨段水位不断下降,一条船在松花江某段自西向东沿直线航行,在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上;前进100m 到达B 处,又测得航标C 在北偏东45°方向上如图,在以航标C 为圆心,120m 为半径的圆形区域内有浅滩,如果这条船继续前进,是否有被浅滩阻碍的危险4如图6,梯形ABCD 是拦水坝的横断面图,图中3:1=i 是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比,∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD 的面积．结果保留三位有效数字.参考数据：3≈,2≈3 1.73≈。

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题09阿氏圆问题A 、B ，则所有符合＝k （k ＞0且k ≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．模型解读：如图1所示，⊙O 的半径为 r ，点 A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r ＝k ·OB ．连接 P A 、PB ，则当“P A ＋k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP 、OB ； 2：计算连接线段OP 、OB 长度；3：计算两线段长度的比值OP OB =k ；4：在OB 上截取一点C ，使得OC OP =OP OB 构建母子型相似：5：连接AC ，与圆0交点为P ，即AC 线段长为P A ＋KPB 的最小值．本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图 2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC ＝k ·r ，则可说明⊙BPO 与⊙PCO 相似，即 k ·PB ＝PC ．⊙本题求“P A ＋k ·PB ”的最小值转化为求“P A ＋PC ”的最小值，即 A 、P 、C 三点共线时最小（如图 3），时AC 线段长即所求最小值．1，在RT ⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求：BP，⊙AP+12⊙2AP+BP，AP+BP，⊙13⊙AP+3BP的最小值．【例2】（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点，与y．轴交于点C，其中点A的坐标为(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=32(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点QBQ+FQ的最小值．为⊙C上的一个动点，求√24【例3】（2019秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．【例4】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，点E在OA上，且点E也在格点上．（I）的值为；（Ⅱ）是以点O为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°）连接E'A，E'B，当E'A+E'B 的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E′，并简要说明点E'的位置是如何找到的（不要求证明）．一．填空题（共13小题）1．（2022•南召县开学）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为．2．（2021秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则P A+PB 的最小值为．3．（2022春•长顺县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E 分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+ PB的最小值为．。

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题25函数与正方形存在性问题【例1】（2022•崂山区一模）如图，正方形ABCD，AB＝4cm，点P在线段BC的延长线上．点P从点C出发，沿BC方向运动，速度为2cm/s；点Q从点A同时出发，沿AB方向运动，速度为1cm/s．连接PQ，PQ分别与BD，CD相交于点E，F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）线段CF长为多少时，点F为线段PQ中点？（2）当t为何值时，点E在对角线BD中点上？（3）当PQ中点在∠DCP平分线上时，求t的值；（4）设四边形BCFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．【分析】（1）可得出C点是BP的中点，从而求得t＝2；（2）证明DEF≌△BEQ，从而得出DF＝BQ＝4﹣t，进而CF＝CD﹣DF＝t，证明△PCF∽△PBQ，从而得出，进而求得t；（3）作OG⊥BP于G，可根据OG＝CG，进一步求得结果；（4）根据△PCF∽△PBQ，△DOF∽△BOG，分别列出比例式表示出CF，DF及EH，进一步求得结果．【解答】解：由题意得，CP＝2t，AQ＝t，BQ＝4﹣t，（1）四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴＝1，∴PC＝BC＝4，∴t＝＝2s；（2）∵AB∥CD，∴∠QBE＝∠EDF，∠BQE＝∠DFE，△PCF∽△PBQ，∴，∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，∴△DEF≌△BEQ（AAS），∴DF＝BQ＝4﹣t，∴CF＝CD﹣DF＝t，∴t1＝1，t2＝0（舍去），（3）如图1，点O是PQ的中点，CO平分∠DCP，作OG⊥BP于G，同理得：OG＝，PG＝，∴CG＝PC﹣PG＝2t﹣（2+t）＝t﹣2，∵∠COG＝∠OCG＝＝45°，∴OG＝CG，∴，∴t＝；（4）如图2，过点E作GH∥BC，交AB于G，交CD于H，∵CF∥EG∥AB，∴△PCF∽△PBQ，△DEF∽△BEG，∴，＝，∴，＝，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣＝，∴＝，∴EH＝，∴S＝S△BCD﹣S△DEF＝﹣＝8﹣．【例2】（2022春•孟村县期末）如图，在平面直角坐标系中．直线l：y＝﹣2x+10（k≠0）经过点C（3，4），与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（8，4），连接OD，交直线l于点M，连接OC，CD，AD．（1）填空：点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（4，2）；（2）求证：四边形OADC是菱形；（3）直线AP：y＝﹣x+5与y轴交于点P．①连接MP，则MP的长为5；②已知点E在直线AP上，在平面直角坐标系中是否存在一点F，使以O，A，E，F为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A的坐标，又点D的坐标，利用待定系数法可求出直线OD的解析式，再联立两函数解析式，可求出交点M的坐标；（2）过点C作CQ⊥x轴于点Q，利用勾股定理可得出OC＝5，又点C，D的坐标可得出CD＝5，CD ∥x轴，结合点A的坐标，可得出CD＝OA，进而可得出四边形OADC为平行四边形，再结合OC＝OA，即可证出四边形OADC是菱形；（3）①过点M作MN⊥y轴于点N，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标，结合点M。

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题09阿氏圆问题A 、B ，则所有符合＝k （k ＞0且k ≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．模型解读：如图1所示，⊙O 的半径为 r ，点 A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r ＝k ·OB ．连接 P A 、PB ，则当“P A ＋k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP 、OB ； 2：计算连接线段OP 、OB 长度；3：计算两线段长度的比值OP OB =k ；4：在OB 上截取一点C ，使得OC OP =OP OB 构建母子型相似：5：连接AC ，与圆0交点为P ，即AC 线段长为P A ＋KPB 的最小值．本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图 2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC ＝k ·r ，则可说明⊙BPO 与⊙PCO 相似，即 k ·PB ＝PC ．⊙本题求“P A ＋k ·PB ”的最小值转化为求“P A ＋PC ”的最小值，即 A 、P 、C 三点共线时最小（如图 3），时AC 线段长即所求最小值．1，在RT ⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求：BP，⊙AP+12⊙2AP+BP，AP+BP，⊙13⊙AP+3BP的最小值．⊙CD=1，CP=2，CB=4，⊙CE=2【例】（广东惠州一模）如图，抛物线y=ax轴交于点C，其中点A的坐标为(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=3．2(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点QBQ+FQ的最小值．为⊙C上的一个动点，求√24【答案】(1)y=x2−3x−4(2)P(1,6)或(3,4)(3)√37．待定系数法求二次函【分析】（1）根据点A的坐标为(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=32数解析式即可，（2）先求得直线BC解析式，设P(m,m2−3m−4)，则Q(m,m−4)，过点P作PQ轴交直线BC 于点Q，根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BCP等于16建立方程，解一元二次方程即可求得m的值，然后求得P的坐标，，过点E作EG⊥OC，构造△CQE∽△CBQ，则当F,Q,E三点共线时，（3）在CB上取CE=√22取得最小值，最小值为FE，勾股定理解直角三形即可．(1)解：⊙抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=3，2。

专题11 最值模型-阿氏圆问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。

故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。

如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。

例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP ＋BP 的最小值为（ ）A ．7B ．C．4D．例2．（2020·广西中考真题）如图，在Rt 中，AB ＝AC ＝4，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 是扇形AEF 的上任意一点，连接BP ，CP ，则BP +CP 的最小值是_____．ABC V »EF12．【分析】在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT ．证明，推出＝＝，推出PT ＝PB ，推出PB +CP ＝CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT即可解决问题．【详解】解：在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A，CT ．∵P A ＝2．AT ＝1，AB ＝4，∴P A 2＝AT •AB ，∴＝， ∵∠P AT＝∠P AB ，∴，∴＝＝，∴PT ＝PB ，∴PB +CP＝CP +PT ，∵PC +PT ≥TC ，在Rt 中，∵∠CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4， ∴CT PB +PC ，∴PB +PC ．故答．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．例3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC −的最大值为_______．PAT BAP V V ∽PT PB AP AB 1212124=PA ATABPA PAT BAP V V ∽PT PB AP AB 121212ACT V 1212例4．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP +的最小值为（ ）A BC D【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相例5．（2022·广东·广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A (2，0)，B (0，2)，C (4，0)，D (5，3)，点P 是第一象限内一动点，且135APB ∠=︒，则4PD +2PC 的最小值为_______．例6．（2021·浙江金华·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有13== CD CP CP CB又∵∠PCD＝∠△∽△∴13=PDBP∴PD＝13BP∴AP+13BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则1AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)2(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是»CD上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．例7．（2022·广东·二模）（1）初步研究：如图1，在△P AB中，已知P A=2，AB=4，Q为AB 上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．（3）如图，在AB 上取一点，使得AQ =1，连接AP ，PQ ，P ′，过点C 作CH 垂直AB 的延长线于点H ．易得AP =2，AB 由（1）得PB =2PQ ，∴2=2PC −2PQ =2(PC −PQ ) ，∵PC −PQ ≤QC ，∴当点P 交⊙A 的点P ′时，PC −PQ 的值最大．例8．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点AB 、，则所有符合0(PAk k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点()(),0,0,C m D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OPk OD=，求PC kPD +的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==， 又,POD MOP POMDOP ∠=∠∴.任务：()1将以上解答过程补充完整.()2如图2，在Rt ABC V 中，90,4,3,ACB AC BC D ∠=︒==为ABC V 内一动点，满足2CD =，利用()1中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值.课后专项训练1．（2022·福建南平九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BP的最小值为（）B．C．D．A．【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．2．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接P A，PB，则3P A+PB的最小值为___．3．（2022·陕西·三模）如图，在四边形ABCD中，AB=，，设•=∠=∠=︒260AC BAC ACD=，则k的最小值为___________．AD k BD1##1−在Rt ACJ V 中，260AC CAJ =∠=︒，，∴∴AB CD ∥，∵BM CD CJ AB ⊥⊥，，∴四边形BJCM4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点A, B ，所有满足PA PB=k ( k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB = 4 ，AB= 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．5．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E 分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+PB 的最小值为．【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴P A+PB＝P A+PF，∵P A+PF≥AF，AF＝＝＝，∴P A+PB≥，∴P A+PB的最小值为，故答案为．6．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG +12CG 的最小值为 _____．7．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在ABC V 中，90,2B AB CB ∠=︒==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA PC 的最小值是___________．8．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，PC的最大值为_____．点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣129．（2022·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上A＋PB的最小值为________．OP＝r＝12BC＝2，OB＝∵222OPOI==，OBOP=∴22PI OIPB OP==，∴PI10．（2022·山东·九年级专题练习）如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接,2,1A A P P P P B B +最小值__________．13BP AP +最小值__________．11．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋23PC的最小值为__，PD﹣23PC的最大值为__．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋12PC的最小值为__，PD﹣12PC的最大值为__．如图3中，在BC 上取一点6342PB BG ==Q，BC PB PBG CBP ∴V :V ，∴221PB BG ==Q，422BC PB ==，PBG CBP ∴V :V ，PG BG PC PB ∴=PD PG DG +≥Q （当且仅当G 12．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC 中，AB =12，⊙C 半径为6，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP +12BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =3，则有CD CP =CP CB=12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP =12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +12BP的最小值为．（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，1 3AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是»CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．13．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +4PC +的最小值，12PD PC −的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +的最小值，23PD PC −的最大值，PC 的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ∠︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC −的最大值．PC 的最小值PB BC2414．（2022·山东聊城·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++经过点()4,4A −−，()0,4B ，直线AC 的解析式为162y x =−−，且与y 轴相交于点C ，若点E 是直线AB 上的一个动点，过点E 作EF x ⊥轴交AC 于点F ．（1）求抛物线2y x bx c =−++的解析式；（2）点H 是y 轴上一动点，连结EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，四边形EAFH 是矩形?求出此时点E ，H 的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E e 上以动点，求12AM CM +的最小值．15．（2022·江苏泰州·一模）如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，E 是AB 上的一点，5BE =，点D 是线段BC 上的一个动点，沿AD 折叠ACD ∆，点C 与C '重合，连接BC '．(1)求证：AEC AC B ''∆∆∽；(2)若点F 是BC 上的一点，且BF =，①若BC F '∆与BC E '∆2）中作出折叠后的AC D '∆（保留作图痕迹，不写作法）；②求32BC FC ''+的最小值．②如图，由（1）知：△AEC′∽△AC′B，∴AE ACAC AB'='=6293=，∴EC′=23BC′，∵BC′+32FC′=32(23BC′+FC′)=32(EC′+FC′），当E、C′、F三点共线时，EC′+FC′最短，即EC′+∴BC′+32FC′的最小值为32EF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=22AB AC−过点E作EG⊥CB于G，∴∠C=∠EGB=90°，∴ACBC AB AC16．（2022·广东·九年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF AE，CF．(1)求证：△ABE ≌△CBF ．(2)如图2，连接DE ，当DE ＝BE 时，求S △BCF 的值．（S △BCF 表示△BCF 的面积）(3)如图3，当Rt △BEF 旋转到正方形ABCD 外部，且线段AE 与线段CF 存在交点G 时，若M 是CD 的中点，P 是线段DG+PG 的值最小时，求MP 的值． 【答案】(1)见解析(2)2或【分析】（1）由“SAS ”可证△ABE ≌△CBF ；（2）由“SSS ”可证△ADE ≌△ABE ，可得∠DAE ＝∠BAE ＝45°，可证AH ＝EH ，由勾股定理可求BE 的长，即可求解；（3）先确定点P 的位置，过点B 作BQ ⊥CF 于Q ，由勾股定理可求CE 的长，由平行线分线段成比例可求解．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∵∠EBF ＝90°＝∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBF ， 又∵BE ＝BF ，AB ＝BC ，在△ABE 和△CBF 中，AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ）； (2)解：如图2，过点E 作EH ⊥AB 于H ，∵△ABE ≌△CBF ，∴S △ABE ＝S △CBF ，∵AD ＝AB ，AE ＝AE ，DE ＝BE ，∴△ADE ≌△ABE （SSS ）， ∴∠DAE ＝∠BAE ＝45°，∵EH ⊥AB ，∴∠EAB ＝∠AEH ＝45°，∴AH ＝EH ，17．（2022·河北·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①12AP BP+，②2AP BP+，③13AP BP+，④3AP BP+的最小值．【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．。

平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1. 探求定值； 2. 给出证明.【例题与求解】【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点. 求证：PA PC PB为定值. 解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.P AB CD【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A . 到CD 的距离保持不变 B . 位置不变C . 等分DB⌒ D . 随C 点的移动而移动 （济南市中考试题）解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.A【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足. 求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.（加拿大数学奥林匹克试题）解题思路：不管ST 滑到什么位置，∠SOT 的度数是定值. 从探寻∠SPM 与∠SOT 的关系入手.B【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°. 点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E . 连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值. （广州市中考试题）解题思路：延长OG 交CD 于N ，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON 转化成线段CH 的倍分关系，再以Rt △OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.BOACE HGD 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点. 若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P . 动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. （深圳市中考试题）解题思路：对于（3）从动点F 达到的特殊位置时入手探求定值.【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点. 求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.解题思路：当点P 与C 点重合时，P A 2+PB 2+PC 2=2BC 2为定值，就一般情形证明.A【能力训练】A 级1. 如图，点A ，B 是双曲线xy 3=上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段. 若S 阴影=1，则=+21S S _______.（牡丹江市中考试题）AABCDEF（第3题图） （第4题图）2. 从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.（全国初中数学联赛试题）3. 如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）A . 30°B . 40°C . 50°D . 60°（武汉市竞赛试题）5. 如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP . 连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ）A ．在平分AB 的某直线上移动 B . 在垂直AB 的某直线上移动C . 在弧AMB 上移动D . 保持固定不移动AB'B（第5题图） （第6题图）6. 如图，A ，B 是函数xky图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形. 若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ） A . 3 B . 6 C . 9 D . 12（海南省竞赛试题））7. （1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况. 在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来. 请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.⑥⑤④③②①)P (B )PB（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.（济南市中考试题）8. 在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转. 旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.（济宁市中考试题）9. 如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB . 在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等. 指出这两条相等的线段，并予证明.（江苏省竞赛试题）（第9题图） （第10题图） （第11题图）10. 如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O的半径为R . 求证：（1）2222DK CK BK AK +++是定值；（2）2222DA CD BC AB +++是定值.PD CB A A11. 如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.（克罗地亚数学奥林匹克试题）B 级1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心. 当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2. 已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数xy 16=（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.（福州市中考试题） 折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝α，则下列结论一定正确的是（ ）A . ∠1＋∠2＝900°－2αB . ∠1＋∠2＝1080°－2αC . ∠1＋∠2＝720°－αD . ∠1＋∠2＝360°－21α （武汉市竞赛试题）（第3题图） （第4题图）4. 如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在AB 上滚动，切点为T ，⊙O 交AO ，BO 于M ，N ，则12GF ED CHBAA . 在0°到30°变化B . 在30°到60°变化C . 保持30°不变D . 保持60°不变5. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8. 若MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A ，B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则∣h 1-h 2∣等于（ ）A . 5B . 6C . 7D . 8（黄石市中考试题）（第5题图）6. 如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（用m 表示） （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F . 试证明：FC （AC +EC ）为定值.（株洲市中考试题）7. 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M . 设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N . 证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.（湖北省选拔赛试题）（第7题图） （第8题图）B NKMB AC HCBA距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.（全国初中数学联赛试题）9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B . 过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC . 现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动. 点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动. 线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F . 设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； （4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程. （黄冈市中考试题）（第9题图） （第10题图）10. 已知抛物线C 1：12121+-=x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BFAF . （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点 Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QFPF 是否成立？请说明理由.11. 已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG . 求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变.（四川省竞赛试题）平面几何的定值问题例 1 延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故2PA PC CE PC PEPB PB PB++=== 例2 B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为APB 的中点． 例3 ∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝12∠SOT 为定角． 例4 (1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四边形． (2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 . DG ＝13DE ＝13×3＝1． (3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 于N ，则CN＝DN ＝12 x ，229CE x =- ， 2214DN x = . ∴22394ON x =-，而ON ＝32CH ，∴22143CH x =-．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－13x 2)＝x 2＋12－x 2为定值． 例5 ⑴C (0，4) ⑵先求得AM＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得OG AO MN AN =，O G ＝32，38OG OM OC OB ==，又∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP＝163．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求OF PF的值．当F 与点A 重合时，2316523OF AO PF AP ===-；当点F 与点B 重合时，8316583OF OB PF PB ===+；当点F 不与点A ，B 重合时，连接OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即FM MPOM FM=，又∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，35OF MO PF MF ==，故OF PF 的比值不变，比值为35． 例6 ∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •PA ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴PA ＝PB ＋PC ，从而PA 2＋PB 2＋PC 2＝(PB ＋PC )2＋PB 2＋PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×23＝6．故PA 2＋PB 2＋PC 2为定值．A 级 1．4 提示：∵S 1＋S 阴＝ S 2＋S 阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2＝2xy －2S 阴＝6－2＝4．2．273提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高． 3．r 2 提示：先考查OB 与OA 垂直的情形．4．D 提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A ′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处． 6．B 提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝A A x y k =＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝xB •y B k =＝6． 7．⑴略⑵当点P 在⊙O 内时，过P 作直径CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值22OP r -．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值． 8．⑴2π⑵22. 5° ⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△OCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90 ⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ． 10．⑴作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2＝()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又AK •CK ＝BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值． ⑵作直径DE ，连接AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值． 11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有CP •a ＝AP •a ＋BP 2a ，DP •a ＝BP •a ＋AP 2a ，两式相加并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a 2a )，从而21AP BPCP DP++为定值．B 级1．1 提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，H 为垂心，由AB ＝AC 知∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故R t △CHD ∽R t △ACD ．∴AD DC DC HD =，即AD •HD ＝DC 2＝14BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝2111224BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1．当∠A ≥90°时，结论成立．2．13π－26 提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝16x(x ＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是2221111112211122222444424242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝5π－10＋8π－16＝13π－26． 3．B 提示：如图，设FA 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α． 4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延长交EB 于G ．由垂径定理，得OD 2254-＝3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△F G E ．∴12OD FO GE FG ==．∴E G ＝2OD＝6，∴12h h AF BE -=-＝E G ＝6． 6．⑴A (3－m ，0) ⑵y ＝x 2－2x ＋1⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q 作QN ⊥BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴QM PM EC PC =，即()2112x x EC --=，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴QN BN FC BC =，即()24134x x FC ---=，得FC ＝41x +．又AC ＝4，∴FC (AC ＋EC )＝ ()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+＝8为定值． 7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关． 8．提示：S △ABC •S △HBC ＝116BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △HBC 保持不变． 9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－989) ⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA ，故只要QC ＝PA 即可，而PA ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝185． ⑶设点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4. 5．说明P 在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t ===．同理QC ∥AF ，故14QC CE AF EA ==，即14t AF =，∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝PA ＋AF ＝PA ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △PQF ＝12•PF •d ＝12×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90． ⑷由前面知道，P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4. 5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝24425．∵2≤t ＋2≤6. 5，∴t ＋224441425=．∴t ＝ 4142． ②若QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4. 5的t 满足． ③若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴(5t －8)2＝22422415，又0≤5t ≤22. 5，∴－8≤5t －8≤14. 5，14. 52＝22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭＜224．故没有t (0≤t ≤4. 5)满足此方程．综上所述，当t ＝4142时，△PQ R 为等腰三角形． 10．⑴C 1的顶点坐标为(1，12). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，∴y P ＝12x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易证△PMF ∽△QNF ，则PM QN PF QF =，∴11Q P y y PF QF --=，即11PF QF PF QF --=，∴11PF QF+＝2． 11．先从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB 的距离为12AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过C ，E ，G 分别作直线AB的垂线CH，EM，G N，垂足分别是H，M，N．容易证明△AEM≌△ACH，△B G N≌△BCH．从而有AM＝CH＝BN，EM＝AH，G N＝BH．这样，线段AB的中点O也是线段MN的中点，连接OP，则OP是梯形EMN G的中位线，从而OP⊥AB，OP＝12(EM＋G N)＝12(AH＋BH)＝12AB．∴无论点C在AB同一侧的位置如何，E G中点P的位置不变．。

回归教材重难点07 几何最值问题几何最值问题是初中几何章节的重点内容，考查的范围比较广，把几何图形性质与平移、翻折等图形变换结合起来。

在中考数学中，主要是以压轴题形式出现。

通过熟练的几何模型的应用，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。

本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。

1.将军饮马模型；2.瓜豆模型；3.隐圆模型1．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝23AD＝2点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________【答案】42【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．△四边形ABCD 是矩形，△△RAT ＝90°，△AR ＝DR 2AT ＝2AB ＝3△RT 2222(2)(43)52AR AT ++△A ，A′关于DP 对称，△AA′△DP ，△△AMD ＝90°， △AR ＝RD ，△RM ＝12AD 2△MT ≥RT −RM ，△MT 2， △MT 的最小值为2△QA ＋QM ＝QT ＋QM ≥MT ，△QA ＋Q M 2，△QA ＋QM 的最小值为2．故答案为：2【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT 的最小值，属于中考常考题型．2．（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为'B ，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B 上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．【答案】 1 5【分析】第一步：设EF 与AA’交于点O ，连接AF ，易证明△AOE △ADC ，利用对应边成比例可得到OA =2OE ，由勾股定理可求出OE 35从而求得OA 及OC ；由AD △BC ，易得△AOE △△COF ，由对应边成比例可得AE 、FC 的关系式，设BF =x ，则FC =8-x ，由关系式可求得x 的值；第二步：连接NE ，NF ，根据折叠的性质，得到NF =NE ，设B’N =m ，分别在Rt △NB F '和Rt △ EA N '中，利用勾股定理及NF =NE 建立方程，可求得m ，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF ，设EF 与AA’交于点O ，由折叠的性质得到AA’△EF ， 3A E AE '==△四边形ABCD 是矩形△△ADC =90°，CD =AB =4 ，AD △BC△△AOE =△ADC ，△OAE =△DAC △△AOE △ADC ，△12OE CD OA AD == ，△OA =2OE ， 在直角△AOE 中，由勾股定理得：2249OE OE += ，△OE 35，△OA 65， 在Rt △ADC 中，由勾股定理得到：AC 224845+=，△OC =6514545 令BF =x ，则FC =8-x ，△AD △BC ，△△AOE △△COF ，△37OA AE OC FC == ，即7AE =3FC △3(8-x )=7×3解得：1x =,△BF 的长为1． 连接NE ，NF ，如图，根据折叠性质得：BF =B’F =1，MN △EF ，NF =NE ，设B’N =m ，则22222213(4)NF m NE m =+==+- ，解得：m =3，则NF 10，△EF 222425+=△MF 5△MN 5故答案为：15【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．3．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接,CF DF ，且ADF =DCF ∠∠，点E 是AD 边上一动点，连接,EB EF ，则EB EF +长度的最小值为___________．【答案】3133【分析】根据正方形的性质得到△ADC ＝90°，推出△DFC ＝90°，点F 在以DC 为直径的半圆上移动，，如图，设CD 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形APGD ，则点B 的对应点是P ，连接PO 交AD 于E ，交半圆O 于F ，则线段FP 的长即为BE ＋FE 的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，△△ADC ＝90°，△△ADF ＋△CDF ＝90°，△ADF =DCF ∠∠，△△DCF ＋△CDF ＝90°，△△DFC ＝90°，△点F 在以DC 为直径的半圆上移动，如图，设CD 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形APGD ，则点B 的对应点是P ， 连接PO 交AD 于E ，交半圆O 于F ，则线段FP 的长即为BE ＋FE 的长度最小值，OF ＝3，△△G ＝90°，PG ＝DG ＝AB ＝6，△OG ＝9，△OP 222269313PG OG +=＋△FP ＝3133， △BE ＋FE 的长度最小值为3133，故答案为：3133．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．4．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，B ，D 两点坐标分别为B （﹣4，6），D （0，4），线段EF 在边OA 上移动，保持EF ＝3，当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标为__________．【答案】()0.4,0-【分析】先得出D 点关于x 轴的对称点坐标为H （0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF 的周长的最小值转化为求FG +BF 的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F 、G 、B 三点共线时FG +BF 的值最小，用待定系数法求出直线BG 的解析式后，令y =0，即可求出点F 的坐标，最后得到点E 的坐标．【详解】解：如图所示，△D （0，4），△D 点关于x 轴的对称点坐标为H （0，-4），△ED =EH ，将点H 向左平移3个单位，得到点G （-3，-4），△EF =HG ，EF △HG ，△四边形EFGH 是平行四边形，△EH =FG ，△FG =ED ，△B （-4，6），△BD ()()224064=25--+-又△EF ＝3，△四边形BDEF 的周长=BD +DE +EF +BF =25FG +3+BF ,要使四边形BDEF 的周长最小，则应使FG +BF 的值最小，而当F 、G 、B 三点共线时FG +BF 的值最小， 设直线BG 的解析式为：()0y kx b k =+≠△B （-4，6），G （-3，-4），△4634k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩，△1034k b =-⎧⎨=-⎩，△1034y x =--， 当y =0时， 3.4x =-，△()3.4,0F -，△()0.4,0E -，故答案为：()0.4,0-．【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．5．（2021·广东·中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____． 52-【分析】由已知45ADB ∠=︒，2AB =，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO OD -．【详解】如图： 以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =，1AN BN ==，22112AO ∴=+112ON OM AB ===,3BC =，221(31)5OC ∴=+-=52CO OD ∴-=CD 长度的最小值为52-52-【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．6．（2021·河南周口·三模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在BC ，AB 上移动，AF ＝BE ，AE 和DF 交于点P ，点M 为边AB 上一动点，点N 为平面上一动点，CN ＝1，则NM +MP 的最小值是 ___．【答案】133【分析】首先证明△APD =90°，推出点P 在以AD 为直径的圆上运动，设圆心为T ，作点T 关于AB 的对称点R ，以R 为圆心，AR 为半径作△R ，则点P 关于AB 的对称点L ，在△R 上，连接CR ，R L ，ML ．根据RL +ML +MN +NC ≥CR ，MP =ML ，求出CR ，可得结论．【详解】解：如图，△四边形ABCD 是正方形，△△B =△DAF =90°，AD =AB ，在△AB E 和△DAF 中，AB DA B DAF BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△DAF （SAS ），△△BAE =△ADF ，△△BAE +△DAP =90°，△△ADP +△DAE =90°，△△APD =90°，△点P 在以AD 为直径的圆上运动，设圆心为T ，作点T 关于AB 的对称点R ，以R 为圆心，AR 为半径作△R ，则点P 关于AB 的对称点L ，在△R 上，连接CR ，RL ，ML ．△CN =1，△点N 在以C 为圆心，半径为1的△C 上运动，在Rt △CD R 中，CR 22DR CD +2264+13△RL +ML +MN +NC ≥CR ，MP =ML ，△PM +MN 132-1，△PM +MN 133，△PM +MN 的最小值为133．【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．7．（2021·河南郑州·一模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），连接PD ，过点B 作BM △PD 交DP 的延长线于点M ，连接AM ，过点A 作AN △AM 交PD 于点N ，连接BN ，CN ，则△BNC 面积的最小值为________．【答案】1242-【分析】点N 在正方形内部，所以S △AND +S △BNC ＝12S 正方形ABCD ＝14482⨯⨯=，由BM △PD 可得点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，先证明△AMB 与△ADN 全等，然后求△ABM 最大面积即可求出△BNC 的最小面积．【详解】解：△四边形ABCD 为正方形， △AD ＝AB ，△BAD ＝△BAN +△NAD ＝90°，△△MAB +△BAN ＝△MAN ＝90°，△△MAB ＝△NAD ，△△BMP +△BPM +△MBP ＝△P AD +△PDA +△APD ＝180°，△MPB ＝△APD ，△BMP ＝△DAP ＝90°，△△MBP ＝△ADP ， 在△AMB 和△AND 中，MAB NAD MBA NDA AB AD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝，△△AMB △△AND （ASA ）．△S △AMB ＝S △AND ， △S △AND +S △BNC ＝12S 正方形ABCD ＝14482⨯⨯=，△当S △AMB 面积最大时，S △BNC 面积最小， △△BMD ＝90°，△点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，当△ABM面积最大时，OM △AB ，如图，△点O 为BD 中点，OM △AD ，△OK ＝12AD ＝2，△BD 2＝42△OM ＝12BD ＝22△MK ＝OM ﹣OK ＝222，△S △AMB ＝12AB •MK ＝424， △S △BNC ＝8﹣S △AMB ＝8﹣（424）＝1242-故答案为：1242-【点睛】本题考查正方形的性质、三角形面积计算、全等三角形的判定、圆周角定理等知识点，将求△BNC 的最小面积转化为求△ABM 最大面积并找出M 点运动轨迹是解题关键．8．（2021·河南·三模）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，点E ，F 分别为边AB ，AD 上的动点，且EF ＝6，点G ，M 分别为边BC ，CD 的中点，连接BM ，DG 交于点O ．将△EF A 沿EF 折叠得到△EF A '，点H 是边EF 上一动点，连接A 'H ，HO ，OA '．当A 'H +HO 的值最小时，OA '的长为 __________________．16216- 【分析】连接AH 、AO ，由折叠的性质，点A 与点A '关于直线EF 对称，则可得当A 、H 、O 三点共线时，A 'H +HO 的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO △BC 于点N ，可知四边形AF A 'E 是正方形，△ACB ＝45°，设CN ＝x ，则ON ＝CN ＝x ，BN ＝8﹣x ，可证明△BON △△BMC ，可求出CN ＝83，CO ＝823，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝2A 'O ＝AC ﹣AA '﹣OC 162． 【详解】解：连接AH 、AO ，如图，由折叠的性质，点A 与点A '关于直线EF 对称，AH A H '∴= A H HO AH HO AO '∴+=+≥A H O ∴、、三点共线时，A H HO '+的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO △BC 于点N ，如图2，∴四边形AFA E '是正方形，6AA EF '∴==，A O C 、、三点共线，45ACB ∴∠=︒M 是DC 中点，4MC ∴=设CN ＝x ，则ON ＝CN ＝x ，BN ＝8﹣x ，BNO BCM ∠=∠，BON BMC ∴~，ON MC BN BC ∴=即488x x =-，83x ∴=，83CN ∴= 822CO CN ∴==在Rt ABC 中，由勾股定理得，2282AC AB BC =+=8216282616A O AC AA OC ''∴=--== 16216-． 【点睛】本题考查相似的判定与性质、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．9．（2021·四川绵阳·一模）等边△ABC 的边长为6，P 是AB 上一点，AP ＝2，把AP 绕点A 旋转一周，P 点的对应点为P ′，连接BP ′，BP ′的中点为Q ，连接CQ ．则CQ 长度的最小值是_____．【答案】331【分析】取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，利用等边三角形求出CD＝33根据三角形中位线定理得到DQ＝1，利用三角形三边关系得出结果．【详解】解：如图，取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，△AP＝2，把AP绕点A旋转一周，△AP'＝2，△等边△ABC的边长为6，点D是AB中点，△BD＝AD＝3，CD△AB，△CD22226333BC BD--△点Q是BP'是中点，△BQ＝QP'，又△AD＝BD，△DQ＝12AP'＝1，在△CDQ中，CQ≥DC﹣DQ，△CQ的最小值为31，故答案为331．【点睛】本题考查最短路径、中位线、等边三角形等知识，解决问题的关键是已知中点的常见思路：等腰三角形中构造三线合一，一般三角形中构造中位线．10．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数ykx=（k＞0）的图象与半径为5的△O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是______．【答案】2【详解】设点M（a，b），N（c，d），先求出a2+b2＝c2+d2＝25，再求出ac()227k c a-=，同理：bd()227k b d-=，即可得出ac﹣bc＝0，最后用两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：如图，设点M（a，b），N（c，d），△ab＝k，cd＝k，△点M，N在△O上，△a2+b2＝c2+d2＝25，作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），△MN'即为PM+PN的最小值△S△OMN12=k12+（b+d）（a﹣c）12-k＝3.5，△ad﹣bc＝7，△kc kaa c-=7，△ac()227k c a-=，同理：bd()227k b d-=，△ac﹣bc()()2222777k c a k b d k--=-=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，△M（a，b），N'（c，﹣d），△MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，△MN'＝2故答案为：2【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质、圆的性质、两点间的距离公式，判断出ac-bd=0是解本题的关键．11．（2021·广东·雷州市第八中学一模）如图，把矩形ABCD沿EF对折，使B与D重合，折痕EF交BD于G，连AG，若tan△AGE7BF＝8，P为DG上一个动点，则PF+PC的最小值为_____．【答案】10【分析】如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．首先证明△EGD△△FGB（ASA），推出BF=DE=8，EG=FG，再证明PF=PE，推出PF+PC=PE+PC≥EC，想办法求出EC即可解决问题．【详解】解：如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．由题意，EF 垂直平分线段BD ，△EB =ED ，BG =GD ，△四边形ABCD 是矩形，△AD △BC ，△△EDG =△FBG ，△△EGD =△FGB ，△△EGD △△FGB （ASA ），△BF =DE =8，EG =FG ，△DB △EF ，△PE =PF ，△PF +PC =PE +PC ≥EC ，△△BAE =△BGE =90°，OB =OE ，△OA =OB =OE =OG ，△A ，B ，G ，E 四点共圆，△△ABE =△AGE ，△tan△ABE =tan△AGE 7AE AB ， 设AE 7，AB =3k ，△AB 2+AE 2=BE 2，BE =DE =8，△7k ）2+（3k ）2=82，△k =2，△AB =CD =6，△△EDC =90°，△EC 222268CD DE ++，△PF +PC ≥10，△PF +PC 的最小值为10．故答案为：10．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，四点共圆等知识，本题综合性比较强． 12．（2022·上海·一模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC 22BC =ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到DEC ，连接AD ，BE ，直线AD ，BE 相交于点F ，连接CF ，在旋转过程中，线段CF 的最大值为__________．10【分析】取AB 的中点H ，连接CH 、FH ，设EC ，DF 交于点G ，在△ABC 中，由勾股定理得到AB 10由旋转可知：△DCE △△ACB ，从而△DCA =△BCE ，△ADC =△BEC ，由△DGC =△EGF ，可得△AFB =90º，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH=12AB10△FCH中，当F、C、H在一条直线上时，CF10【详解】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，△ACB=90º，△AC2，BC2△AB2210AC BC+由旋转可知：△DCE△△ACB，△△DCE=△ACB，DC=AC，CE=CB，△△DCA=△BCE，△△ADC=12(180º-△ACD) ，△BEC=12(180º-△BCE)，△△ADC=△BEC，△△DGC=△EGF，△△DCG=△EFG=90º，△△AFB=90º，△H是AB的中点，△FH=12AB，△△ACB=90º，△CH=12AB，△FH=CH=12AB10在△FCH中，FH+CH>CF，当F、C、H在一条直线上时，CF 101010=△线段CF10.10【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质.13．（2022·重庆·一模）如图，已知ABC ，外心为O ，18BC =，60BAC ∠=︒，分别以AB ，AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 的最小值是______．【答案】933-【分析】由ABD △与ACE 是等腰直角三角形，得到90BAD CAE ∠=∠=︒，DAC BAE ∠=∠，根据全等三角形的性质得到ADC ABE ∠=∠，求得在以BC 为直径的圆上，由ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，得到120BOC ∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：ABD 与ACE 是等腰直角三角形，90BAD CAE ∴∠=∠=︒，DAC BAE ∴∠=∠，在DAC △与BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAC ∴△()BAE SAS ，ADC ABE ∴∠=∠，90PDB PBD ∴∠+∠=︒， 90DPB ∴∠=︒，P ∴在以BC 为直径的圆上，ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，120BOC ∴∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，18BC =，9BH CH ∴==，12OH OB =，223BH OB OH OH ∴- 33OH ∴=9PH =，933OP ∴=-OP 的最小值是933-，故答案为：933-【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题13 几何中的最值与定值问题【类型综述】线段和差的最值问题,常见的有两类：第一类问题是“两点之间,线段最短”．两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是“两点之间,线段最短”结合“垂线段最短”．【方法揭秘】两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3,P A与PB的差的最大值就是AB,此时点P在AB的延长线上,即P′．解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题．图1 图2 图3如图4,正方形ABCD的边长为4,AE平分∠BAC交BC于E．点P在AE上,点Q在AB上,那么△BPQ周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题,AE是河流,但是点Q不确定啊．第一步,应用“两点之间,线段最短”．如图5,设点B关于“河流AE”的对称点为F,那么此刻PF＋PQ的最小值是线段FQ．第二步,应用“垂线段最短”．如图6,在点Q运动过程中,FQ的最小值是垂线段FH．这样,因为点B和河流是确定的,所以点F是确定的,于是垂线段FH也是确定的．图4 图5 图6【典例分析】【例1】如图1,△ABC是边长为8的等边三角形,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E.（1）求证：AE＝3EB（2）若点F是AD的中点,点P是BC边上的动点,连接PE,PF,如图2所示,求PE＋PF的最小值及此时BP 的长；（3）在（2）的条件下,连接EF,当PE＋PF取最小值时,△PEF的面积是______.【例2】问题探究()1请在图①的正方形ABCD的对角线BD上作一点P,使PA PC+最小；()2如图②,点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点,AB2=,BC3=点E为BC边的中点,请作一点+最小,并求这个最小值；P,使PE PC问题解决()3如图③,李师傅有一块边长为1000米的菱形采摘园ABCD,AC1200=米,BD为小路,BC的中点E为一水池,李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P,为了节省土地,使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短,那么是否存在符合条件的点P？若存在,请作出点P的位置,并求出这个最短距离；若不存在,请说明理由．【例3】在平面直角坐标系中,点A （0,4）,B （m ,0）在坐标轴上,点C ,O 关于直线AB 对称,点D 在线段AB 上．（1）如图1,若m ＝8,求AB 的长；（2）如图2,若m ＝4,连接OD ,在y 轴上取一点E ,使OD ＝DE ,求证：CE ＝2DE ；（3）如图3,若m ＝43,在射线AO 上裁取AF ,使AF ＝BD ,当CD +CF 的值最小时,请在图中画出点D 的位置,并直接写出这个最小值．【例4】如图,一次函数122y x =-+的图像与坐标轴交于A 、B 两点,点C 的坐标为(1,0)-,二次函数2y ax bx c =++的图像经过A 、B 、C 三点．（1）求二次函数的解析式（2）如图1,已知点(1,)D n 在抛物线上,作射线BD ,点Q 为线段AB 上一点,过点Q 作QM y ⊥轴于点M ,作QN BD ⊥于点N ,过Q 作//QP y 轴交抛物线于点P ,当QM 与QN 的积最大时,求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下,连接AP ,若点E 为抛物线上一点,且满足APE ABO ∠=∠,求点E 的坐标．【例5】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝﹣235333x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）,与y 轴交于点C ．（1）求出△ABC 的周长．（2）在直线BC 上方有一点Q ,连接QC 、QB ,当△QBC 面积最大时,一动点P 从Q 出发,沿适当路径到达y 轴上的M 点,再沿与对称轴垂直的方向到达对称轴上的N 点,连接BN ,求QM +MN +BN 的最小值．（3）在直线BC 上找点G ,K 是平面内一点,在平面内是否存在点G ,使以O 、C 、G 、K 为顶点的四边形是菱形？若存在,求出K 的坐标；若不存在,请说明理由．【例6】在平面直角坐标系中,抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B ,C ,已知A （﹣1,0）,C （0,3）．【变式训练】一、单选题1．如图,APB △中,4,3AP BP ==,在AB 的同侧作正ABD △、正APE V 和正BPC △,则四边形PCDE 面积的最大值是（ ）A ．12B ．15C ．20D ．252．如图,在Rt ABC ∆中, 90BAC =︒∠,45ACB ∠=︒,22AB =,点P 为BC 上任意一点,连结PA ,以PA ,PC 为邻边作平行四边形PAQC ,连结PQ ,则PQ 的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．43．如图,矩形ABCD 中,3AB =,8BC =,点P 为矩形内一动点,且满足PBC PCD ∠=∠,则线段PD 的最小值为（ ）A ．5B ．1C ．2D ．34．已知：AB 是O e 的直径,AD ,BC 是O e 的切线,P 是O e 上一动点,若10AD =,4OA =,16BC =,则PCD ∆的面积的最小值是（ ）A ．36B ．32C ．24D ．10.45．⊙O 是半径为1的圆,点O 到直线L 的距离为3,过直线L 上的任一点P 作⊙O 的切线,切点为Q ；若以PQ 为边作正方形PQRS,则正方形PQRS 的面积最小为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．在△ABC 中,AB=BC,点D 在AC 上,BD=6cm,E ,F 分别是AB ,BC 边上的动点,△DEF 周长的最小值为6 cm,则ABC ∠=( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°7．如图,已知点(1,3)A -,(5,1)B -,点(,0)P m 是x 轴上一动点,点Q 是y 轴上一动点,要使四边形ABPQ 的周长最小,m 的值为（ ）A ．3.5B ．4C ．7D ．2.58．如图,四边形ABCD 中,∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,在BC 、CD 上分别找一点M 、N,使三角形AMN 周长最小时,则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．130°二、填空题9．如图,ABC ∆是等边三角形,13AD AB =,点E 、F 分别为边AC 、BC 上的动点,当DEF ∆的周长最小时,FDE ∠的度数是______________.10．如图,△ABC 中,AB=8,AC=5,BC=7,点D 在AB 上一动点,线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE,AE 的最小值为________11．在Rt △ABC 中,∠BAC =90,AB =AC ,AD ⊥BC 于点D ,P 是线段AD 上的一个动点,以点P 为直角的顶点,向上作等腰直角三角形PBE ,连接DE ,若在点P 的运动过程中,DE 的最小值为3,则AD 的长为____．12．如图示,在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,3AC =,3BC =,点P 在Rt ABC ∆内部,且PAB PBC ∠=∠,连接CP ,则CP 的最小值等于______.13．如图,在半径为2的⊙O 中,弦AB ⊥直径CD ,垂足为E ,∠ACD ＝30°,点P 为⊙O 上一动点,CF ⊥AP 于点F ． ①弦AB 的长度为_____；②点P 在⊙O 上运动的过程中,线段OF 长度的最小值为_____．14．如图,矩形ABCD 中,6AB =,8BC =,M 是AD 边上的一点,且2AM =,点P 在矩形ABCD 所在的平面中,且90BPD ∠=︒,则PM 的最大值是_________．三、解答题15．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的两边OA OC 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上,8,4OA OC ==.点P 从点O 出发,沿x 轴以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动,当点P 到达点A 时停止运动,设点P 运动的时间是t 秒.将线段CP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转90o ,得点D ,点D 随点P 的运动而运动,连接DP DA 、.(1)请用含t 的代数式表示出点D 的坐标. (2)求t 为何值时,DPA ∆的面积最大,最大为多少?(3)在点P 从O 向A 运动的过程中,DPA ∆能否成为直角三角形?若能,求t 的值:若不能,请说明理由. (4)请直接写出整个运动过程中,点D 所经过的长度.16．已知矩形纸片OBCD 的边OB 在x 轴上,OD 在y 轴上,点C 在第一象限,且86OB OD ==，.现将纸片折叠,折痕为EF （点E,F 是折痕与矩形的边的交点）,点P 为点D 的对应点,再将纸片还原。

中考数学专题复习《一次函数几何分类专题（平移问题）》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．将直线22y x =-向上平移3个单位长度 所得直线经过点()6,a - 则a 的值为（ ） A ．11- B ．8- C ．7 D ．132．在平面直角坐标系中 已知()0,2A ()0,4B 若把直线2y x =-向上平移k 个单位长度后与线段AB 有交点 则k 的取值范围是（ ）A ．46k ≤≤B ．46k <≤C ．35k ≤≤D ．13k ≤≤3．将直线y ＝3x ﹣1向上平移2个单位长度 平移后的直线所对应的函数解析式为（ ） A ．y ＝3x +5 B ．y ＝3x ﹣3 C ．y ＝3x +1 D ．y ＝3x +34．如图 直线13y x =-与双曲线(0,0)k y k x x =<<交于点A 将直线13y x =-向上平移2个单位长度后 与y 轴交于点C 与双曲线交于点B 若3OA BC = 则k 的值为（ ）A ．274-B ．7-C ．658-D ．2716- 5．在平面直角坐标系中 将函数21y x =-的图象向左平移1个单位长度 则平移后的图象与y 轴的交点坐标为（ ）A ．()0,2B ．()0,2-C ．()0,1D ．()0,1-6．在平面直角坐标系中 将函数1y x =-的图象向下平移4个单位 平移后的图象与函数2y x b =-+的图象的交点恰好在第四象限 则b 的最大整数值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 7．如图 直线122y x =-与x 轴交于点A 以OA 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形OAB 将直线沿x 轴向左平移 当点B 落在平移后的直线上时 则直线平移的距离是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38．在平面直角坐标系中 将直线1l ：22y x =--平移后得到直线2l ：24y x =-+ 则下列平移作法正确的是（ ）A ．将1l 向左平移3个单位长度B ．将1l 向右平移6个单位长度C ．将1l 向上平移2个单位长度D ．将1l 向上平移6个单位长度二 填空题9．如果将一次函数y x r =- 的图象沿y 轴向上平移1个单位 那么平移后所得图象的函数解析式为 ．10．把函数21y x =+的图象沿y 轴向下平移5个单位后所得图象与y 轴的交点坐标是 ． 11．一次函数21y x =+向下平移2个单位长度 得到新的一次函数表达式是 一次函数21y x =+经过平移过程 (填向上或向下平移几个单位长度)得到一个正比例函数． 12．在平面直角坐标系中 ABCO 的边OC 落在x 轴的正半轴上 且点()()5,0,8,4C B 直线21y x =+以每秒1个单位的速度向下平移 经过 秒 该直线平分ABCO 的面积．13．如图 点()2,2A 在双曲线(0)k y x x=>上 将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B 交双曲线于点C ．若2BC = 则点C 的坐标是 ．三解答题14．在平面直角坐标系xOy中已知点C（m+2 3m﹣1）直线l经过点A（2 2）B（1 3）．(1)求直线l的解析式(2)若A B C三点共线求m的值(3)若将直线l先沿y轴向上平移2个单位再沿x轴向右平移3个单位后经过点C求点C 的坐标．15．如图将直线AO向上平移1个单位得到一个一次函数的图象1l．l的表达式(1)求直线1(2)求直线1l 与x 轴 y 轴的交点的坐标．16．已知正比例函数的图像如图所示．(1)求此正比例函数的解析式(2)若一次函数图像是由（1）中的正比例函数的图像平移得到的 且经过点()1,2 求此一次函数的解析式．17．已知直线12:l y kx +＝经过点A 将直线1l 向右平移4个单位后 得到的直线2l 与y 轴相交于点B 且经过点()23C ，点P 为x 轴正半轴上的一个动点．(1)请求出直线1l 与2l 的函数表达式(2)当四边形ABCP 的周长最小时 求四边形ABCP 的面积(3)在直线l 2上是否存在一点Q 使得以A C P Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在 若不存在 请说明理由．18．如图 在平面直角坐标系中 直线1l ：32y x m =+与直线2l 交于点()2,3A - 直线2l 与x 轴交于点()4,0C 与y 轴交于点B 将直线2l 向下平移5个单位长度得到直线3l 3l 与y 轴交于点D 与1l 交于点E 连接AD ．(1)求直线2l 的解析式(2)求△ADE 的面积参考答案：1．A2．A3．C4．D5．C6．B7．A8．D9．1y x r =-+10．()0,4-11． 21y x =- 向下平移一个单位 12．713． 14．(1)直线l 的解析式为4y x =-+ (2)34m =(3)()4,515．(1)21y x =+(2)直线1l 与x 轴 y 轴的交点分别为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ ()0,116．(1)正比例函数的解析式为：2y x =-(2)一次函数的解析式为：24y x =-+．17．(1)直线1l 函数表达式为122y x =-+ 2l 函数表达式为142y x =-+ (2)225(3)存在 Q 的坐标为(2),5-或((10,1)-或(6,1)18．(1)122y x =-+ (2)454。

人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】中考数学专题：代数几何综合问题一、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的 C点的坐标为______________．2.如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是______．二，选择题3.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A． B．B． D．C．D． 4. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）E．?F．G．三、解答题H． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作I．PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．J．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；K．（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？L．（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．M．N．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）O．（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？P．（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？Q．R．7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．S．T．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．U．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．V．模型应用：W．（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；X．（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；Y．（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值．Z．8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．9.（1）求N点、M点的坐标；10.（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；11.（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；12.②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S 是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．13.14.9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. （2018?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a ＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y 轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．?【答案与解析】一、填空题1.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）2.【答案】（2×3n﹣1，0）.【解析】∵点B1、B2、B3、…、Bn在直线y=2x的图象上，∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，∴An Bn=4×3n﹣1（n为正整数）．∵OAn =AnBn，∴点An的坐标为（2×3n﹣1，0）．故答案为：（2×3n﹣1，0）．二、选择题3.【答案】A.【解析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作OG⊥AB于G，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AG=BG=OG=AB=2cm，∴S=AP?OG=×t×2=t（cm2），②当t≥4时，作OG⊥AB于G，如图2所示：S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．4.【答案】A.三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD==，∵PE∥BC，解得PE=，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=，∴?∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=，∴解得t=（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在 Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，?∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，?∴ t=（秒）．综上所述，当 t=秒或t=秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当?时，，?，．∵?，，∴，即?（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵?，∴，．即?，．?，?．?，∴．即?（）．由?，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36 解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则?，解得?，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S最大=﹣．9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE =k1x+b1，则，解得：，∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知xD ﹣xP=xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=yD +yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。

2023年中考数学高频考点训练——反比例函数-动态几何问题一、综合题1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与反比例函数(0)ky x x =>的图象交于点A (1，3)和点B (3，n)，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．（1）求反比例函数的表达式及n 的值；（2）将△OCD 沿直线AB 翻折，点O 落在第一象限内的点E 处，EC 与反比例函数的图象交于点F ．①请求出点F 的坐标；②在x 轴上是否存在点P ，使得△DPF 是以DF 为斜边的直角三角形?若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，一次函数y ＝﹣x +4的图象与反比例ky x =（k 为常数，且k ≠0）的图象交于A (1，a )，B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）①在x 轴上找一点P ，使P A +PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标；②在x 轴上找一点M ，使|MA ﹣MB |的值为最大，直接写出M 点的坐标．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx ﹣1（k≠0）与函数y mx =（x ＞0）的图象交于点A （3，2）．（1）求k ，m 的值；（2）将直线l 沿y 轴向上平移t 个单位后，与y 轴交于点C ，与函数y mx =（x ＞0）的图象交于点D ．①当t ＝2时，求线段CD 的长；②若≤CD≤2，结合函数图象，直接写出t 的取值范围．4．如图，在矩形ABCD 中，已知点A （2，1），且AB ＝4，AD ＝3，把矩形ABCD 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y ＝kx （x ＞0）的图象为曲线L ．（1）若曲线L 过AB 的中点．①求k 的值．②求该曲线L 下方（包括边界）的靓点坐标．（2）若分布在曲线L 上方与下方的靓点个数相同，求k 的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky k x =≠的图象过点(23)A ，．（1）求k 的值；（2）过点(0)(0)P m m ≠，作x 轴的垂线，分别交反比例函数(0)ky k x =≠，4y x=-的图象于点M ，N ．①当2m =-时，求MN 的长；②若5MN ≥，直接写出m 的取值范围．6．如图，已知直线OA 与反比例函数(0)my m x =≠的图像在第一象限交于点A ．若4OA =，直线OA 与x 轴的夹角为60°．（1）求点A 的坐标；（2）求反比例函数的解析式；（3）若点P 是坐标轴上的一点，当AOP 是直角三角形时，直接写出点P 的坐标．7．（1）探究新知：如图1，已知ABC 与ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：如图2，点M ，N 在反比例函数(0)ky k x =>的图象上，过点M作ME y ⊥轴，过点N 作NF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ．试证明：//MN EF ．（3）拓展延伸：若（2）中的其他条件不变，只改变点M ，N 在反比例函数(0)ky k x =>图象上的位置，如图3所示，MN 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，若3BM =，请求AN 的长．8．如图，在第一象限内有一点A （4，1），过点A 作AB ⊥x 轴于B 点，作AC ⊥y 轴于C 点，点N 为线段AB 上的一动点，过点N 的反比例函数y ＝nx 交线段AC 于M 点，连接OM ，ON ，MN ．（1）若点N 为AB 的中点，则n 的值为；（2）求线段AN 的长（用含n 的代数式表示）；（3）求△AMN 的面积等于14时n 的值．9．如图，直线26y x =+与反比例函数()0ky k x =>的图象交于点()1A m ，，与x 轴交于点B ．平行于x 轴的直线()08y n n =<<交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM ．（1）求m 的值和反比例函数的表达式；（2）当n 为何值时，BMN 的面积最大？10．已知正比例函数y 1＝ax 的图象与反比例函数y 2＝6ax -的图象交于A ，B 两点，且A 点的横坐标为﹣1．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．（2）根据图象回答，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值．（3）点M （m ，n ）是反比例函数图象上一动点，其中0＜n ＜3，过点M 作MD ∥y 轴交x 轴于点D ，过点B 作BC ∥x 轴交y 轴于点C ，交直线MD 于点E ，当四边形OMEB 面积为3时，请判断DM 与EM 大小关系并给予证明．11．如图，将一张Rt ABC 纸板的直角顶点放在(2,1)C 处，两直角边BC ，AC 分别与x ，y 轴平行(BC AC >)，纸板的另两个定点A ，B 恰好是直线15y kx =+与双曲线2m y x =(0)m >的交点．（1）求m 和k 的值；（2）将此Rt ABC 纸板向下平移，当双曲线2my x =(0)m >与Rt ABC 纸板的斜边所在直线只有一个公共点时，求Rt ABC 纸板向下平移的距离．12．在矩形AOBC 中，分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．A 点坐标为(03)，，B 点坐标为(40)，，F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数0)y x=>的图象与AC 边交于点E ，连接OE OF ，，作直线EF ．（1）若2CF =，求反比例函数解新式；（2）在（1）的条件下求出EOF 的面积；（3）在点F 的运动过程中，试说明ECFC 是定值．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y 1＝kx 与直线y 2＝mx ＋n 交于点A ，E ，AE 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，AB x ⊥轴于点B ，C 为OB 中点．若D 点坐标为（0，﹣2），且S △AOD ＝4（1）求双曲线与直线AE 的解析式；（2）写出E 点的坐标；（3）观察图象，直接写出y 1≥y 2时x 的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)my x x =>的图像经过点342A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点B 在y 轴的负半轴上，AB 交x 轴于点C ，C 为线段AB 的中点．（1）m =，点C 的坐标为；（2）若点D 为线段AB 上的一个动点，过点D 作//DE y 轴，交反比例函数图象于点E ，求ODE 面积的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12y x =-+与反比例函数2(0)k y x x =<相交于点B ，与x 轴相交于点A ，点B 的横坐标为-2.（1）求k 的值；（2）直接写出当0x <且12y y <时，x 的取值范围；（3）设点M 是直线AB 上的一点，过点M 作//MN x 轴，交反比例函数2(0)ky x x =<的图象于点N .若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.16．如图1，已知点A （a ,0），B （0,b ），且a 、b 满足0，平行四边形ABCD 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线ky x =经过C 、D 两点．（1）a=，b=；（2）求D 点的坐标；（3）点P 在双曲线ky x =上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q 的坐标；17．如图，已知直线y=-2x 与双曲线y=kx （k<0）上交于A 、B 两点，且点A 的纵坐标为-2（1）求k 的值；（2）若双曲线y=kx （k<0）上一点C 的纵坐标为12，求△BOC 的面积；（3）若A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点P 的反比例函数解析式。

2023年中考数学高频考点专题强化-一次函数几何问题1．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考期中）如图，已知一次函数y ＝kx -3图像经过点M （-2，1），且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求k 的值．(2)求A 、B 两点的坐标； (3)求△MOB 的面积．2．（2022秋·山东淄博·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过原点O 和点()2,1A ，经过点A 的另一条直线交x 轴于点()4,0B ．(1)求直线l 的函数解析式； (2)求AOB 的面积；(3)在直线l 上求一点P ，使12AOB ABP S S =△△，求点P 坐标．3．（2022秋·北京·九年级北京工业大学附属中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系xOy 中的两个图形M ，N ，图形M 上的任意一点与图形N 上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形M 与图形N 的距离．若图形M 与图形N 的距离小于等于1，称这两个图形互为“近邻图形”．(1)已知点()2,4A ，点()5,4B ．①如图1，在点()11,2P ，()23,3P ，394,2P ⎛⎫⎪⎝⎭中，与线段AB 互为“近邻图形”的是______； ②如图2，将线段AB 向下平移2个单位，得到线段DC ，连接AD ，BC ，若直线y x b =+与四边形ABCD 互为“近邻图形”，求b 的取值范围；(2)如图3，在正方形EFGH 中，已知点(),0E m ，点()1,0F m +，若点(),2Q n n -+与正方形EFGH 互为“近邻图形”，直接写出m 的取值范围．4．（2022秋·山东东营·九年级东营市实验中学校考期末）如图，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，点()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q ，使ACQ 的周长最小，求点Q 的坐标；(3)P 是第四象限内抛物线上的动点，求BPC △面积S 的最大值及此时P 点的坐标．5．（2022春·北京·八年级北京八十中校考期中）在平面直角坐标系xOy 中，若P ，Q 为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x 轴，y 轴平行，则称该菱形为点P ，Q 的“相关菱形”．图1为点P ，Q 的“相关菱形”的一个示意图．已知点A 的坐标为()4,1，点B 的坐标为()0,b ，(1)若3b =，则()0,1D -，()4,5E ，()6,4F ，()8,3G 中能够成为点A ，B 的“相关菱形”顶点的是_________； (2)若点A ，B 的“相关菱形”为正方形，求b 的值；(3)若点A ，B 的“相关菱形”有一条对角线与y 轴重合，当直线12y x b =+与点A ，B 的“相关菱形”有且仅有两个公共点时，直接写出b 的取值范围．6．（2022秋·安徽滁州·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数443y x =-的图象与y 轴相交于点A ，与反比例函数ky x=(k ≠0)在第一象限内的图象相交于点B （m ，4），过点B 作BC y ⊥轴于点C ．(1)求k 的值． (2)求△ABC 的面积．7．（2022秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图像经过点()2,9A -，且与x 轴相交于点B ，与y 轴交于点D ，与正比例函数3y x =的图像相交于点C ，点C 的横坐标为1．(1)求一次函数的函数解析式；(2)不等式30kx b x +-<的解集是______；(3)M 为直线AB 上一点，过点M 作y 轴的平行线交3y x =于点N ，当2MN OD =时，求点M 的坐标．（补充图形）8．（2022秋·八年级课时练习）如图，直线24y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)x 轴上有一点P ，且2OP OA =，求ABP 的面积．9．（2022·全国·九年级专题练习）已知一次函数y ＝kx ＋3（k ≠0）的图象经过A （4，0），与y 轴交于点B ．(1)求y 关于x 的函数解析式，并在图中画出该函数的图象；(2)已知点C ，E 分别是线段AB ，OB 的中点，若四边形OCEF 是平行四边形．请判断四边形OCEF 是否能为菱形？并说明理由．10．（2022秋·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝43-x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点D （0，﹣6）在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，直线CD 交AB 于点E ．(1)求点A 、B 、C 的坐标； (2)求△ADE 的面积；(3)y 轴上是否存在一点P ，使得PAD S ∆＝12ADE S ∆，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022秋·广东揭阳·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过点A (0，2)、B (﹣3，0)．(1)求直线l 所对应的函数表达式． (2)若点M (3，m )在直线l 上，求m 的值．(3)若y x n =-+过点B ，交y 轴于点C ，求ABC 的面积．12．（2022春·河南南阳·八年级统考期中）如图，直线1:5l y x =+交y 轴，x 轴于A ，B 两点，直线21:12l y x =--交y 轴，x 轴于C ，D 两点，直线12,l l 相交于P 点．(1)方程组5112y x y x =+⎧⎪⎨=--⎪⎩的解是___________； (2)求直线12,l l 与x 轴围成的三角形面积；(3)过P 点的直线把PAC △面积两等分，直接写出这条直线的解析式．13．（2022春·湖南衡阳·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx b =+的图象交x 轴与y 轴分别于点A ，B ，且2OB =，与直线2y ax =交于(2,1)P ．(1)求函数2y 的表达式；(2)求1y 的表达式及A 点的坐标；(3)点D 为直线1y kx b =+上一点，其横坐标为(2)m m <，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交2y ax =交于点E ，且2DF FE =，求点D 的坐标．14．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2143y x bx =-++的对称轴是直线2x =，与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求b 的值及B ，C 两点坐标；(2)M 为第一象限内抛物线上的一个点，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，交BC 于点D ． ①当线段MD 的长取最大值时，求点M 的坐标； ②连接CM ，当线段CM CD =时，求点M 的坐标．15．（2022春·黑龙江大庆·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线1l 的解析式为y x =，直线2l 的解析式为132y x =-+，与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，直线1l 与2l 交于点C ．(1)求出点A 、点B 的坐标； (2)求COB △的面积；(3)在x 轴上是否存在一点P ，使得POC △为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 坐标，若不存在，请说明理由．16．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，对于M ，N 两点，若在y 轴上存在点T ，使得90MTN ∠=︒，且MT NT =，则称M ，N 两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点．已知A 点的坐标是()2,0．(1)如图①，在点()2,2B -，()0,1C ，()2,0D -中，点A 的等垂点是_____；（选填“B ”，“C ”或“D ”） (2)如图②，若一次函数21y x =-的图像上存在点A 的等垂点'A ，求'A 点的坐标；(3)若一次函数()0y kx b k =+≠的图像上存在无数个点A 的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式： ______．17．（2022秋·福建漳州·八年级统考期中）如图，将一个长方形OABC 纸片放在平面直角坐标系中，O 为原点，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，5OA =，4OC =，将长方形折叠后，点B 恰好落在OA 边上的点E 处，折痕所在直线经过点C 且与AB 边交于点D ，与x 轴的正半轴交于点F ．(1)求点D 的坐标及直线CD 的解析式；(2)点P 是线段CF 上的一个动点，若OP 将△COF 的面积分为1：2两部分，求点P 的坐标．18．（2022秋·江苏·八年级期末）如图1，直线y ＝2x +b 过点A （﹣1，﹣4）和B （m ，8），它与y 轴交于点G ，点P 是线段AB 上的一个动点．（1）求出b 的值，并直接写出m ＝ ，点G 的坐标为 ； （2）点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y ＝﹣12x ﹣52上，求点P 的坐标； （3）过点P 作y 轴的平行线PE ，过点G 作x 轴的平行线GE ，它们相交于点E ． ①如图2，将△PGE 沿直线PG 翻折，当点E 的对应点E ′落在x 轴上时，求点P 的坐标； ②在点P 从A 运动到点B 的过程中，点E ′也随之运动，直接写出点E ′的运动路径长为 ．参考答案：1．(1)2k =-(2)点A 的坐标为（32-，0），点B 的坐标为（0，-3） (3)32．(1)12y x =；(2)2； (3)33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭．3．(1)①2P ，3P ；②32b -≤≤(2)2m ≤≤4．(1)2=23y x x --(2)()1,2Q - (3)278，315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．(1)D 、E 、G(2)3b =-或5(3)13b -<<且1b ≠6．(1)k =24(2)247．(1)25y x =-+(2)1x >(3)（3，1-）或()17，-8．(1)()2,0A ，()0,4B(2)ABP 的面积为4或129．(1)y ＝－34x ＋3 (2)四边形OCEF 不能为菱形10．(1)点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），点C 的坐标为（8，0）(2)9(3)y 轴上存在一点P （0，﹣3）或（0，﹣9），使得PAD S ∆＝12ADE S ∆11．(1)223y x =+ (2)4m = (3)15212．(1)41x y =-⎧⎨=⎩(2)32(3)124y x =+ 13．(1)212y x = (2)1122y x =-+，()4,0A (3)44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或()4,4-14．(1)43b =，(60)B ，，4(0)C ， (2)①(35)M ，；②16(2)3M ，15．(1)点A的坐标为(6,0)，点B的坐标为(0,3) (2)3(3)-16．(1)D(2)（3，5）或（13-，53-）(3)y=x+2或y=-x-217．(1)D（5，32）；142y x=-+．(2)16433⎛⎫⎪⎝⎭，或8833⎛⎫⎪⎝⎭，18．（1）b=-2，m=5，G（0，-2）；（2）1833⎛⎫- ⎪⎝⎭，-或()34，；（3）①5,32⎛⎫⎪⎝⎭；②6．。