2016年秋季新版苏科版八年级数学上学期3.1、勾股定理导学案1

8 6 4 2
2 4
6 8
（每一个小正方形的边长记作“1”）
R
Q
P
度量
4
3
结论
1
2B
C A
新苏科版八年级数学上册3.1勾股定理（1）学习案
一、学习目标：
1、能说出勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法。

2、经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合思想
3．能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题
二、我的收获：
一、观察图形，我们分别以直角三角形ABC的三边为边向形外作三个正方形，如果每一个小方格的边长记作“1”，请你求出图中三个正方形的面积．你是如何得到的？如何计算S R
正方形P的面积是正方形Q的面积是正方形R的面积是
二、通过以上的实验、操作、计算，我们发现以直角三角形的各边为边所作的正方形的面积之间有什么关系呢？同学们自己总结结论。

（1）求下列直角三角形中未知边的长：
R
Q
P
A
C
B R
Q
P
A
C
B
(图5)
12
5
x x
8
1716
x
20
（2）求下列图中未知数x 、y 、z 的值：
x 144
81y 144169
z 576
625
我的困惑：
1、 2、
年级检查人： 检查日期： 年 月 日 周次： 周 检查情况反馈：。

（股）b勾股定理知识点一:勾股定理1.我国古代把直角三角形中的较短直角边称为“勾”，把较长的直角边称为“股”，把斜边称为“弦”.“勾三股四弦五”实际上就是勾股定理的具体应用之一.如图①所示：① ②2.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图②，在Rt△ABC 中，如果∠C=90°，BC=，AC=，AB=，则有.a b c 222c b a =+例1：如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A 、B 都是格点，则线段AB 长度的平方为（ ）.A. 5B. 6C. 7D. 25知识点二：勾股定理的验证1.我国古代数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，证明了勾股定理.这个图形称为“弦图”或“勾股圆方图”.若设直角三角形的较短直角边长为，较长直角边为，斜边长为，则围成的a b c 大正方形的面积为，四个直角三角形的面积之和为，中间围成的小正方2c ab 2形的面积为，而，由此得到.2)(a b -222)(2b a a b ab +=-+222c b a =+2.如图，用四个全等的直角三角形，可得到一个以为边长的小正方形和一个以为c )(b a +边长的大正方形.因为大正方形边长为，所以其面积为.又大正方形还可以)(b a +2)(b a +看成由4个全等的直角边分别为的直角三角形和一个边长为的正方形组成，所以其b a ,c 面积为：，即：2214c ab +⨯⨯2222222,214)(c ab ab b a c ab b a +=+++⨯=+所以，其中，为直角三角形的直角边，为斜边.222c b a =+a b c 例2：如图，以为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角b a ,c 形拼在一起，使A ，E ，B 这三点在一条直线上.请利用这个图形证明勾股定理.拓展例题拓展点一：计算求值问题例1：一个零件形状如图所示，已知AC⊥AB，BC⊥BD，AC=3cm ，AB=4cm ，BD=12cm ，求CD 的长.拓展点二：实际应用问题例2：如图，这是一个底面周长为12m ，高为5m 的圆柱形储油罐，现准备从点A 开始，环绕储油罐建造一架梯子，使其正好到点A 正上方的B 点，那么梯子最短应造多长呢？拓展点三：证明问题例3：已知直角三角形纸片的两条直角边分别为和，过锐角顶点m n )(n m <把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都是等腰三角形，则（ ）.A. B.0222=++n mn m 0222=+-n mn m C. D.0222=-+n mn m 0222=--n mn m 拓展点四：折叠问题例4：如图，在长方形纸片ABCD 中，AB=12，BC=5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A′处，则AE 的长为 .基础巩固1.下列说法正确的是（ ）.A.已知是三角形的三边，则.c b a ,,222c b a =+B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方.C.在Rt△ABC 中，∠C=90°，所以.222c b a =+D.在Rt△ABC 中，∠B=90°，所以.222c b a =+2.已知直角三角形的两直角边为6和8，那么斜边上的高为（ ）.A. 6B. 8C. 4.8D. 2.43.图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（ ）. A. B. C. D.4.一直角三角形的三边分别为2、3、，那么以为边长的正方形的面积为（ ）.x x A. 13 B. 5 C. 13或5 D. 45.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 mm.6.如图，已知在△ABC 中，CD⊥AB 于D ，AC=20，BC=15，DB=9.（1）求DC 的长；（2）求AB 的长.7.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH 等于（ ）.A. 8B. 6C. 4D. 58.如图，A ，B 是直线同侧的两点。

苏科版数学八年级上册3.1《勾股定理》教学设计1一. 教材分析《勾股定理》是苏科版数学八年级上册第三章的第一节，本节课的主要内容是让学生掌握勾股定理的内容、证明及应用。

教材通过生活中的实例引入勾股定理，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用意识。

同时，本节课还引导学生通过探究、合作、交流的方式，感受数学的探究过程，培养学生的数学思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、勾股数等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和数学探究能力。

但部分学生对勾股定理的理解可能仍停留在死记硬背的层面，对勾股定理的应用和证明过程可能还不够清晰。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导学生深入理解勾股定理，提高学生的数学思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握勾股定理的内容、证明及应用。

2.过程与方法：通过探究、合作、交流的方式，让学生体验数学的探究过程，培养学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受数学的趣味性与魅力，培养学生的数学应用意识。

四. 教学重难点1.重点：勾股定理的内容、证明及应用。

2.难点：勾股定理的证明过程，以及如何将实际问题转化为数学问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入勾股定理，让学生感受数学与生活的紧密联系。

2.探究教学法：引导学生通过自主探究、合作交流的方式，探索勾股定理的证明过程。

3.启发式教学法：教师提问引导学生思考，激发学生的数学思维。

六. 教学准备1.教学课件：制作勾股定理的相关课件，包括生活中的实例、证明过程、应用实例等。

2.教学素材：准备一些与勾股定理相关的实际问题，用于课堂练习和拓展。

3.板书设计：设计简洁清晰的板书，突出勾股定理的关键信息。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的实例，如直角三角形的家具尺寸、建筑物的设计等，引导学生感受数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣。

勾股定 理学习目标：1.让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程．并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力2.经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合思想3.能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题4．经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值学习重点：勾股定理的探索过程．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对数形结合的思想认识.学习难点：通过拼图验证勾股定理的过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法与经验． 学习过程： 一、预习·质疑1．同学们，我们已经学过三角形的一些基本知识，如果一个三角形的两条边分别长6和8，你知道第三边的长吗？你知道第三边长的范围吗？2．如果又已知这两边的夹角是90度，那么第三边的长确定吗？ 二、展示·探究1. 如图，把火柴盒放倒，在这个过程中，我们可以探索得出c b a 、、 之间的数量关系2.通过以上计算我们可以发现：在直角△ABC 中 ，若∠C =90°，则 3.例题1. 求下列直角三角形中未知边的长① ② ③a ab bccAD E CB问题1：△ABD 是什么三角形2：你有几种方法求梯形ACED的面积？（用含有a 、b 、c 的代数式表示）4.例题2. 求下列图中未知数x 、y 、z 的值（阴影部分为正方形）① ② ③5.思考：如图：一块长约80 m 、宽约60 m 的长方形草坪，被几个不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”，这种情况在生活中时有发生．请问同学们： （1）这几位同学为什么不走正路，走斜“路”？ （2）走斜“路”比正路少走几步呢？ （3）他们这样做，值得吗？三、检测·反馈:《同步练习》第47页随堂练习（第1—6题） 四、课后作业:1.《同步练习》第48页至49页随堂练习2.拓展题：（1）如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点，求证：①△ACE ≌△BCD ；②AD 2+DB 2=DE 2．（2）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′ 处，点A 落在点A ′处；①求证：B ′ E =BF ；②设AE =a ，AB =b ，BF =c ，试猜想a，b ，c 之间的一种关系，并给予证明．。

课题：3.1勾股定理 第 1 课时【学习目标】1．知识目标：能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用2．能力目标：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.3．情感态度价值观：通过对勾股定理历史的了解，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.【学习重难点】 重点：探索勾股定理难点：利用数形结合的方法验证勾股定理 【学习过程】一、预习导学环节动手操作：剪4个全等的直角三角形，你能不能用它们围成一个正方形呢？观察你拼的图思考:（1）大正方形面积怎么求？（2）如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，大正方形面积又如何求？ （3）你有什么发现？二、课堂助学环节 1. 导入：1.归纳：勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．那么．公式变形：练习1.求下列图形中未知正方形的面积a b c 222c b a =+弦股勾100DCB A2．求下列直角三角形中未知边的长度：3、一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为 ( )A.3 米B.4 米C.5米D.6米2. 整体感知：例1、 如图，在四边形ABCD 中，∠︒=90BAD∠︒=90DBC 12,4,3===BC AB AD ，求CD .3.合作探究：例2. 受台风影响，一棵9米高的树断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断后离地面有多高?4.质疑解疑：如图，设小方格的面积是1，画出图中以格点为端点 且长度为5的线段。

512178_x_9 _ 10三、当堂检测： 1、判断题(1)若a 、b 、c 是三角形的三边，则222a b c +=. （ ） (2)直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方. （ ）2、填空: 在Rt ΔABC 中,∠C=900. ①若a=6,c=10 ,则b=____; ②若a:b=3:4,c=10,则a=____,b=____; ③若a=6,b=8,则斜边c 上的高h=______.3、选择：若直角三角形的三边为6、8、x ，则x 的长为 （ ）A.6B.8C.10D.以上答案均不对4、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少?四、课后作业1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25B 、14C 、7D 、7或252.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2B 、36cm 2C 、48cm 2D 、60cm 23.一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里B 、30海里C 、35海里D 、40海里4.在Rt △ABC 中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。

八年级数学“学讲课堂”教学案
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4
2
2
4
6
8
（每一个小正方形的边长记作“1”）
R
Q
P
度量4
3结论
12B
C
A
教师活动内容
学生活动内容
4．肯定学生的研究成果，进而让学生打开书回顾课本上的提示．从小明、小丽的方法中你能得到什么启发
5．再给出直角边为5和3的直角三角形（图9），让学生计算分别以三边作为边所作的正方形面积
6．通过以上的实验、操作、计算，我们发现以直角三角形的各边为边所作的正方形的面积之间有什么关系呢？同学们自己总结结论。

直角三角形三边的等量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方．
R
Q
P
A
C
B
R
Q
P
A
C
B
(图5)
R
Q
P
A
C
B
R
Q
P
A
C
B。

新苏科版八年级数学上册： 3.1 勾股定理（1） 学案【学习目标】 基本目标：1．探索直角三角形三边的关系，并能依据勾股定理求直角三角形中未知边的长.2．能利用度量与计算的方法验证勾股定理的正确性，在史料的介绍中感受勾股定理的悠久历史.提高目标：探索直角三角形的三边关系会用面积法推导勾股定理 【重点难点】重点：勾股定理的探索过程．难点：将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积．【预习导航】1.观察右图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到： 正方形P 的面积S P ＝________________平方厘米； 正方形Q 的面积S Q ＝________________平方厘米. 正方形R 的面积S R ＝________________平方厘米.（请写出求正方形R 面积的过程，如需要辅助线请在图上用红笔画出） 问题：如何求S R 的面积，说说你的想法；我们发现，正方形S P 、S Q 、S R 的面积之间的关系是______ ________； AB 2、AC 2、BC 2的关系是 。

2. 求下列直角三角形中未知边的长.x x817【课堂导学】活动一：⑴1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的图案 是根据一个著名的数学定理设计的．观察这枚邮票上的图 案和图案中小方格的个数， 你有哪些发现？⑵分别以图中的直角三角形三边为边向形外作 正方形，分别求这三个正方形的面积？⑶这三个正方形面积之间是否存在什么样的数量关系，如果存在，那么它们的关系是什么？ ⑷取方格纸片，在上面先设计任意格点直角三角形，再以它们的每一边分别向三角形 外作正方形，如图，设网格正方形的边长为1，直角三角形的直角边分别为a 、b ， 斜边为c ，观察并计算每个正方形的面积，以四人小组为单位填写下表：结论：. 勾股定理：______________________________________. 我们把这个关系称为符号语言：（如右图）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴ 或强调：式子a2＋b2＝c2成立的条件是： . 例题例1 在直角三角形ABC 中，∠C=90° （1）若a=3，b=4，则c= ; （2）已知c ＝17，b ＝15，求a= ；a bcAC（3）若c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。

《3.1 勾股定理(1)》教学设计【教学目标】1．让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程．并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力．2．让学生经历拼图实验、计算面积的过程，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯；让各类型的学生在这些过程中发挥自己特长，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定理的文化价值．3．能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题．【教学重点】勾股定理的探索过程．【教学难点】将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积．【教学过程】（一）创设情境1.相传，毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人宫殿般的餐厅铺着由等腰直角三角形构成的美丽大理石地砖.由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言，唯有这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖.毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和“数”之间的关系.于是他拿起画笔蹲在地板上，圈出了9块等腰直角三角形.2.这是1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的图案就是根据著名的勾股定理设计的.观察这枚邮票上的图案和图案中各正方形内小方格的个数，你有什么发现？3.以任何一个直角三角形的各边为一边的3个正方形的面积之间都有这种数量关系吗？（二）探索活动活动一：1.在方格纸上,画一个顶点都在格点上的直角三角形.2.分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形.3.设小方格的边长为1，计算正方形P、Q、R的面积.“割”的方法“补”的方法活动三：1.根据计算出的正方形面积，猜想直角三角形的两条直角边a、b与斜边c 之间有怎样的关系？2.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.活动四：试一试：1.如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为______米.2.受今年23号台风“菲特”影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前的高为______米.3.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.已知，a:b=3:4,c=15,求a、b.注：利用勾股定理可以构建方程.（三）课堂练习1.已知，如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=x，BC=4，AC=8-x,求AB.(第1题) （第2题）2.如图,以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积有什么关系?请你说明理由.3.课本80页第3题.RQPACB RQPACB（四）当堂检测1.求下列直角三角形中未知边的长2、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AC=4，BC=3，求线段CD的长.（五）课堂小结通过本节课的学习,我们学到了哪些知识？（六）课后作业：1.完成本节《补充习题》2.预习3.1勾股定理（2）。