集团高二数学下学期期中试题文无答案苏教版

一、单选题1．满足关系式的正整数组成的集合为（ ） 32n n 2C A ≤n A ． B ． C ． D ．{}2,3,4{}3,4,5{}2,3,4,5{}1,2,3,4,5【答案】B【分析】根据组合数以及排列数的计算公式即可由不等式求解.【详解】由题意可知且，根据组合数以及排列数的计算公式可得3n ≥N n ∈，解得,所以可取3,4,5,()()()12216n n n n n --£-5n ≤n 故选：B2．已知四组不同数据的两变量的线性相关系数如下：数据组①的相关系数；数据组②的相r 10r =关系数；数据组③的相关系数；数据组④的相关系数.则下列说法正确20.95r =-30.89r =40.75r =的是（ ）A ．数据组①对应的数据点都在同一直线上B ．数据组②中的两变量线性相关性最强C ．数据组③中的两变量线性相关性最强D ．数据组④中的两变量线性相关性最弱 【答案】B【分析】根据线性相关系数的性质逐个判断即可【详解】对A ，数据组①的相关系数，故数据组①对应的数据点无线性关系，故A 错误； 10r =对BC ，数据组②的相关系数为4组中绝对值的最大值，故数据组②中的两变量线性相关20.95r =性最强，故B 正确，C 错误；对D ，数据组①的相关系数为4组中绝对值最小，故数据组①中的两变量线性相关性最弱，10r =故D 错误 故选：B3．已知正方体，点E 是的中点，点F 是AE 的三等分点，且，则ABCD A B C D -''''A C ''12AF EF =等于（ ） AFA ．B ．111322AA AB AD '++111222AA AB AD '++C ．D ．111366AA AB AD '+-111366AA AB AD '++【答案】D【分析】根据空间向量的分解，线性表示方法可求解. 【详解】因为1122AE AA A E AA A C AA AC ''''''=+=+=+, ()111222AA AB AD AA AB AD ''=++=++ 所以. 11113366AF AE AA AB AD '==++故选:D.4．已知函数，若，则（ ）()ln mf x x x =+0(12)(1)lim2x f x f x∆→+∆-=-∆m =A ． B ．C ．D ．1-2-3-5-【答案】B【分析】求出，再利用导数的定义可得，进而代入求解即可()11m f x mx x -'=+()11f '=-()f x '【详解】因为，则，所以()ln m f x x x =+()11m f x mx x-'=+，故，故，解得()()()()()00121121lim2lim 2122x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-+∆-'===-∆∆()11f '=-11+=-m2m =-故选：B.5．已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作220x y +-=S (0,T -m S C D T 的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（ ）SC SD M M A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．双曲线一支【答案】B【分析】确定圆心和半径，计算得到，则MT MD =MT MS SD -==到答案.【详解】，即圆，故，220x y +-=(2212x y +-=(0,S r =因为平行与，，所以，故 SC TM SD SC =MT MD =MT MS SD -==故点的轨迹为双曲线.M故选：B6．若，则（ ） ()()()()828012823111x a a x a x a x +=+++++++ 02468a a a a a ++++=A ．6562 B ．3281 C ．3280 D ．6560【答案】B【分析】分别令和再联立求解即可0x =2x =-【详解】令有，令有，故0x =8012836561a a a a =++++= 2x =-01281a a a a =-+-+ 02468a a a a a ++++=6561132812+=故选：B7．设F 为双曲线C ：（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆22221x y a b-=x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，PQ x A PQ x ⊥又，为以为直径的圆的半径，||PQ OF c == ||,2cPA PA ∴=∴OF 为圆心． A ∴||2c OA =，又点在圆上，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭P 222x y a +=，即． 22244c c a ∴+=22222,22c c a e a=∴==，故选A ．e ∴=【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．8．已知有限数列项数为16，满足：，，，，则符合此{}n a 11a =1610a =-11k k a a +-=()1,2,,15k = 条件的数列有（ ） {}n a A ．100 B ．105 C ．106 D ．117【答案】B【分析】确定或，15组数里面共有13个，2个，共有种数列满足11k k a a +-=11k k a a +-=-1-1215C 条件，计算即可.【详解】，则或，11k k a a +-=11k k a a +-=11k k a a +-=-，()()()161161515142111a a a a a a a a -=-+-++-=- 故15组数里面共有13个，2个，共有种数列满足条件.1-1215C 105=故选：B二、多选题9．设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空{},,a b c →→→x a b →→→=+y b c →→→=+z c a →→→=+间的基底的是（ ） A ． B ．C ．D ．{},,a b x →→→{},,x y z →→→{},,b c z →→→{},,x y a b c →→→→→++【答案】BCD【分析】根据空间向量共面基本定理，逐项判断每组向量是否共面，即可得出结论.【详解】，共面，故不能作空间基底，故A 错误；x a b →→→=+ ∴,,a b x →→→{},,a b x →→→假设共面，则存在，使得，,,x y z →→→,R λμ∈z x y λμ=+ ，()()()c a a b b c a b c λμλλμμ+=+++=+++所以，方程组无解，所以假设不成立，即不共面，101λλμμ=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,,x y z →→→所以可以作为空间向量的一组基底，故B 正确；{},,x y z →→→同理可得，均可作为空间向量的一组基底，故CD 正确. {},,b c z →→→{},,x y a b c →→→→→++故选：BCD.10．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，则下列()3,N nn n *≥∈说法正确的有（ ）A ．展开式的各项系数和为128B ．展开式中存在常数项C ．展开式中存在有理项D ．展开式中项的系数最大值为 214【答案】CD【分析】根据二项式的通项公式，结合等差数列的性质逐一判断即可. 【详解】因为第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，所以有，或舍去， 213(1)(1)(2)2C C C 2726n n n n n n n n n n ---=+⇒⋅=+⇒=2n =在中令，得，71x =7711122218-⎛⎫-== ⎪⎝⎭展开式的各项系数和为，所以选项A 不正确； 1218二项式的通项公式为：7， 143741771C C 2rrr rrrr T x --+⎛⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅- ⎪ ⎝⎭⎝令，所以没有常数项，因此选项B 不正确； 143140N 43r r -=⇒=∉当时，，所以展开式中存在有理项，因此选项C 正确； 2r =14324r-=要想展开式中项的系数有最大值，必有，0,2,4,6r =当时，，0r =0071C 12⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭当时，，2r =227121C 24⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭当时，，4r =447135C 216⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭当时，，6r =66717C 264⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭所以存在展开式中项的系数最大值为，因此本选项正确， 214故选：CD11．下列说法中，正确的命题是（ ） A ．已知随机变量服从正态分布，若，则X ()26,N σ()100.8P X <=()260.3P X <<=B ．，()()2323E X E X +=+()()2323D X D X +=+C ．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 r D ．已知随机变量满足，，若，则随着的增大而减小 ξ()0P x ξ==()11P x ξ==-102x <<()E ξx 【答案】AD【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断A 选项；利用期望和方差的性质可判断B 选项；利用相关系数与线性相关性的关系可判断C 选项；利用求出，利用一次函数的单调性可判断D 选()E ξ项.【详解】对于选项A ，因为随机变量，所以正态密度曲线的对称轴是，()26,X N σ:6x =因为，所以，()100.8P X <=()100.2P X >=所以，，所以选项A 正确；()20.2P X <=()260.3P X <<=对于选项B ，，，故选项B 不正确；()()2323E X E X +=+()()234D X D X +=对于选项C ，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于，反之，线性相r 1关性越弱，故C 错误；对于选项D ，由题意可知，，当时，随着的增大而减小，D 对. ()1E x ξ=-102x <<()E ξx 故选：AD.12．对于函数，下列选项正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．函数极小值为，极大值为()f x 1e -1e B ．函数单调递减区间为，单调递增区为 ()f x (][),e e,-∞-⋃+∞[)(],e,0e 0-⋃C ．函数最小值为为，最大值 ()f x e -e D ．函数存在两个零点1和 ()f x 1-【答案】AD【分析】先求得的奇偶性，当时，利用导数求得的单调区间和极值，即可判断A 、()f x 0x >()f x B 、C 的正误；令，可得零点，即可判断D 的正误，即可得答案. ()0f x =【详解】的定义域为，()ln x f x x=(,0)(0,)-∞+∞ 所以， ln ln ()()x x f x f x x x --==-=--所以为奇函数，()ln xf x x=当时，，，0x >()ln x f x x =21ln ()xf x x -'=令，解得，()0f x '=e x =当时，，则为单调递增函数， (0,e)x ∈()0f x '>()f x 当时，，则为单调递减函数， (e,+)x ∈∞()0f x '<()f x 因为为奇函数，图象关于原点对称，()f x 所以在上单调递减，在是单调递增， ()f x (,e)-∞-(e,0)-所以的极小值为，极大值为，故A 正确； ()f x ln e1(e)e e f --==--ln e 1(e)e ef ==的单调递减区间为，单调递增区为，故B 错误； ()f x (][),e ,e,-∞-+∞[)(]e e ,0,0,-在无最值，故C 错误；()f x (,0)(0,)-∞+∞ 令，解得，结合的单调性可得，存在两个零点1和，故D 正确. ()0f x =1x =±()f x ()f x 1-故选：AD三、填空题13．的展开式中常数项是______.（用数字作答）431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】4-【分析】根据的展开式的通项公式可求出结果.431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】的展开式的通项为， 431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()43141C kkk k T x x -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭()4441C kk k x-=-⋅⋅令，得，440k -=1k =所以的展开式中常数项是.431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭14C 4-=-故答案为：.4-14．在等比数列中，已知，，则______. {}n a 134a a =9256a =8a =【答案】或128-128【分析】根据等比数列的公式直接计算得到答案.【详解】设等比数列的公比为，在等比数列中，，，q {}n a 134a a =9256a =，解得，或，， 211814256a a q a q ⎧=⎨=⎩11a =2q =11a =2q =-则或.781128a a q ==781128a a q ==-故答案为：或128-12815．2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往,,A B C A B小区的概率为____． 【答案】512【分析】根据分组分配利用排列组合计算个数，结合条件概率的计算公式即可求解. 【详解】记事件为“甲派往小区”，事件为“乙派往小区”，则M A N B 若A 小区分配甲一个人，则有，若A 小区分配甲以及另一个人一起，则有,故事件1132C C =61232C A =6包含的基本事件个数为，M 11113232C C C A =12+在甲派往小区的条件下，乙派往小区的情况为：①只有甲派往小区，只有乙派往小区，另A B A B 外两个人去C 小区，则有1种情况，②从丙丁中选一个人连同甲一起派往小区，只有乙派往A B 小区，剩下一个人去C 小区，则有种情况，③从丙丁中选一个人连同乙一起派往小区，只有12C B 甲派往小区，剩下一个人去C 小区，则有种情况，A 12C ,()11221+C +C 51212P N M ==故答案为：51216．若，则的最小值为______. 11212e 21133x x x y y +-==()()221212x x y y -+-【答案】/1.6/85315【分析】由题意知表示曲线上的点与直线上的点的()()221212x x y y -+-()e 2xf x x =+330x y --=距离的平方，将问题转化为上切线与直线距离最小值问题解决.()e 2xf x x =+330x y --=【详解】，， 11121112e 211e 233x x x x y x y y +-==⇒=+2233y x =-则表示曲线上的点与直线上的点的距离的平方，()()221212x x y y -+-()e 2xf x x =+330x y --=令得，所以曲线在的切线方程为，()e 23xf x '=+=0x =()f x ()()0,0f 310x y -+=所以曲线上的点与直线上的点的距离的最小值即为直线与()e 2xf x x =+330x y --=310x y -+=之间的距离，330x y --=即. d 285d =故答案为：85四、解答题17．已知等差数列满足，，，成等比数列；数列满足，{}n a 11a =21a +31a +5a {}n b 11b =．1n n n b b a +=+（1）求数列，的通项公式．{}n a {}n b （2）数列的前n 项和为，证明．11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 12n T <【答案】（1）；；（2）证明见解析．21n a n =-()222n b n n n N +=-+∈【分析】（1）由等比数列的性质求得等差数列的公差，进而可得通项公式，由，利d n a 1n n n b b a +=+用累加法可求得通项公式；n b （2）用裂项相消法求得和后可证得不等式成立．n T 【详解】（1）由条件易知，即，解得：()()232511a a a +=+()()()222124d d d +=++2d =，1(1)221n a n n ∴=+-=-由，知，当时，1n n n b b a +=+121n n n b b a n +==--2n ≥()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+⋯+-+1211n n a a a b --=++⋯++1135(23)n =++++⋯+-，222n n =-+当时，也适合上式，故．1n =()222n b n n n N +=-+∈（2）由（1）知：， 111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列的通项公式，考查累加法求通项公式及等比数列的性质，裂项相消法求和，求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法； +（3）（数列为等差数列）：裂项相消法； 11n n n b a a +={}n a （4）等差等比数列：错位相减法.⨯18．每年春天，婺源的油菜花海吸引数十万游客纷至沓来，油菜花成为“中国最美乡村”的特色景观，三月，婺源篁岭油菜花海进入最佳观赏期.现统计了近七年每年(2015年用x =1表示，2016年用x =2表示)来篁岭旅游的人次y (单位：万人次)相关数据，如下表所示：x 1 2 34 5 67旅游人次(单位：万人次)y29 33 3644 48 5259若关于具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测2022年篁岭y x y x y bxa =+ 的旅游的人次；（2）为维持旅游秩序，今需､､､四位公务员去各景区值班，已知､､去篁岭值班的概A B C D A B C 率均为，去篁岭值班的概率为，且每位公务员是否去篁岭值班不受影响，用表示此4人中23D 13X 去篁岭值班人数，求的分布列与数学期望．X 参考公式：，.参考数据：，.()()()121niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ˆay bx =-71301i i y ==∑()()71140i ii x x y y =--=∑【答案】（1），万人次；（2）分布列见详解，． 523y x =+63()73E X =【分析】（1）根据表中数据结合参考公式即可求解回归方程，再代入求解2022年篁岭的旅8x =游的人次；（2）列出的可能取值，依题意求得各情况的概率，写出分布列进而求得数学期望． X 【详解】（1）由表知：，()1123456747x =++++++=()129333644485259437y =++++++=则()()()7712114059410149iii i i x x y y bx x==--===++++++-∑∑ 30154237ˆˆay bx =-=-⨯=所以523y x =+因为2015年用x =1表示，所以2022年是时，得(万人次)； 8x =582363y =⨯+=（2）的可能取值是0，1，2，3，4 X 则()303222013381P x C ⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭()231033222221311113333381P x C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()22213322222230211133333381P x C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()32323322222283113333381P x C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯-⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()333228413381P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则的分布列为 X X 01 2 3 4P 281 1381 3081 2881 881故数学期望为 ()2133028870123481818181813E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 19．三棱柱中，，，线段的中点为，且111ABC A B C -112AB AB AA AC ====120BAC ∠= 11A B M .BC AM ⊥(1)求与所成角的余弦值；1AA BC (2)若线段的中点为，求二面角的余弦值. 11B C P 11P AB A --【答案】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量法求异面直线所成角即可， （2）由（1）建立的空间直角坐标系利用法向量求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）在线段上取一点，使，BC N 13CN BC =在三棱柱中，，111ABC A B C -11AB A B ∥在中，因为，是的中点， 11AB A △11AB AA =M 11A B所以， 11,AM A B AM ⊥==所以，AM AB ⊥因为平面， ,,,AM BC BC AB B BC AB ⊥⋂=⊂ABC 所以平面. AM ⊥ABC 在中，由余弦定理得：ABN :， 22242cos303AN AB BN AB BN =+-⨯⨯= 所以，所以，222AB AN BN +=AB AN ⊥以为原点，所在直线分别为轴，轴， A ,,AB AN AM x y 建立如图所示的空间直角坐标系，O xyz -，设，()()((()110,0,0,2,0,0,,,A B B A C --(1,C x y因为()()(1111,,0BC B C x y C =⇒-=-⇒-所以，(()1,AA BC =-=-设直线与所成的角为，1AA BC π,0,2θθ⎛⎤∈ ⎝⎦所以111cos cos<,AA BC AA BC AA BC θ>⋅=== （2）因为线段的中点为，11B C P 所以12P ⎛- ⎝设平面的一个法向量，1PAB ()1111,,n x y z =因为，(1,12AP AB ⎛=-= ⎝ 所以，11111111111100200n AP n AP x y n AB n AB x ⎧⎧⎧⊥⋅=-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎪⎩⎩=⎩ 令，则，11z=113x y ==-所以.()13,1n =-由（1）平面，平面， AM ⊥ABC AM ⊂11A AB 所以平面平面， 11A AB ⊥ABC 又平面平面11A AB ABC AB =又，平面，平面， AB AN ⊥AN ⊂ABC AN ⊄11A AB 所以平面，AN ⊥11A AB 所以为平面的一个法向量， AN11A AB 而在轴上，ANy 所以取平面的一个法向量，11A AB ()0,1,0AN =u u u r设二面角的平面角为，11P AB A --α121212cos cos ,n n n n n n α⋅===由图可知：为锐角，所以αcos α=所以二面角11P AB A --20．在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．(1)请完成下列2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关． 上课转笔 上课不转笔 合计优秀 25 合格 40 合计100(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k 的概率为 ，当取最大值时，求k 的值．()P k ()P k 附：，其中．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()2P K k ≥ 0.050 0.010 0.001k3.841 6.63510.828【答案】(1)填表见解析；能(2)分布列见解析；期望为 72(3) 9k =【分析】（1）根据题目条件完成列联表，根据的公式计算便可得出结论 2K （2）由题意可得可以取，然后分别计算对应的概率，再计算期望即可X 2,3,4,5（3）由题意可知，要使最大，则 列出不等式组计算即可 (20,0.45)k B :()P k ()(1)()(1)P k P k P k P k ≥+⎧⎨≥-⎩k 【详解】（1） 上课转笔 上课不转笔 合计优秀 5 25 30 合格 40 30 70 合计45551002100(5302540)=13.901 6.63545557030K ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯答：能在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关 （2）个人中优秀的人数为，100(0.01250.0025)2010030+⨯⨯=则合格的人数为人，由分层抽样可知：人中有人优秀，人合格； 701037由题意可以取X 2,3,4,5 ，2373510C C 1(2)C 12P X ===2373510C C 5(3)C 12P X === ，4173510C C 5(4)C 12P X ===5073510C C 1(5)C 12P X ===则的分布列为： XX 2 3 4 5P 112 512 512 11215517()2345121212122E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=答：的期望为X 72（3）由题意可知(20,0.45)k B :则2020()C 0.450.55k k kP k -= 20111920202011212020C 0.450.55C 0.450.55C 0.450.55C 0.450.55k k k k k k k k k k k k -++-----⎧≥⎨≥⎩解得，又 8.459.45k ≤≤N k ∈故9k =答：当时，取最大值时9k =()P k 21．设椭圆：，的左、右焦点分别为，.下顶点为，已知椭圆的短C 22221x y a b+=()0a b >>1F 2F AC 轴长为且离心率.12e =(1)求椭圆的的方程；C (2)若直线与椭圆交于异于点的、两点.且直线与的斜率之和等于2，证明：直线l C A P Q AP AQ l 经过定点.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据短轴长得到，得到椭圆方程.b =24a =（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，设直线方程，联立得到根与系数的关系，根据斜率之和为得到，代入直线方程得到定点.2t 【详解】（1）由题意可得，又离心率，可得，2b=b =12c e a ===24a =故椭圆的方程为：；22143x y +=（2），当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为，(0,A y kx t =+设，，联立， ()11,P x y ()22Q x y ,223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩整理可得：，()2223484120kykty t +++-=，即，()()2222644344120k t k t ∆=-+->2234t k <+且，，122834kt y y k -+=+212241234t y y k -=+则，2AP AQ k k +=+==整理可得：，即， ()(()121222k x x t x x -=+()(2224128223434t ktk t k k---⋅=⋅++整理可得：，整理可得：， 230t kt k-+=()0t t=解得或，t =t =因为直线不过点，所以A (0,t ≠当时，则直线l 的方程为， t =(y kx k x ==+显然直线恒等定点；当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，l x m =()2,2m ∈-将直线l 的方程代入椭圆的方程可得，可得 22314m y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y=设，， P m ⎛ ⎝,Q m ⎛⎝则，可得2AP AQ k k +===m 所以直线的方程为，l x =综上所述：可证得直线恒过定点；【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，椭圆中的定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，利用韦达定理可以简化运算，是解题的关键.22．已知函数.()()2e xf x x =-(1)求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,(2)设，记函数在上的最大值为，证明：()()ln 2g x f x x x =+-+()y g x =1,12⎛⎫⎪⎝⎭()()g a a R ∈.()1g a <-【答案】(1) 22e 2e 0x y --=(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）利用导数判断出在上单调递增，在上单调递减，得到.()g x 01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭()0,1x ()max g x 00232x x =--令，，求出，即可证明.()232G x x x =--1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11G x G <=-【详解】（1）由题意可得，所以.()()1e xf x x '=-()()22221e e f '=-=又知，所以曲线在点处的切线方程为，()20f =()y f x =()()22f ,()20e 2y x -=-即.22e 2e 0x y --=（2）由题意，()()()ln 22e ln 2xg x f x x x x x x =+-+=--++则. ()()()()111e 2e 11e 11e x xx x g x x x x x x x ⎛⎫'=+--+=--+=-- ⎪⎝⎭当时，. 112x <<10x -<令，则，所以在上单调递增.()1e xh x x =-()21e 0xh x x'=+>()h x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，，121e 202h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()1e 10h =->所以存在，使得，即，即，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =001e x x =00ln x x =-故当时，，又，故此时； 01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x <10x -<()0g x '>当时，，又，故此时. ()0,1x x ∈()0h x >10x -<()0g x '<即在上单调递增，在上单调递减，()g x 01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭()0,1x 则. ()()()()00000max 2e ln 2xg x g a g x x x x ===--++()000000122232x x x x x x =-⋅--+=--令，，则， ()232G x x x =--1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()22221220x G x x x-=-=>'所以在上单调递增，则，()G x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭()()11G x G <=-所以.()1g a <-【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)利用导数证明不等式．。

江苏省江阴市二中、要塞中学等四校2019-2020学年高二数学下学期期中试题一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.复数的实部和虚部之和为A. 1B.C. 3D.2.若，则的值为A. 6B. 7C. 35D. 203.已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：回归方程是，其中，则当时，y的预测值为A. B. C. D.4.已知函数，则曲线在处的切线斜率为A. B. C. 1 D. 25.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案A. 81种B. 72种C. 24种D. 36种6.函数在区间上的最小值是A. B. C. D.7.已知曲线，则过点的切线方程是A. 或B.C. D.8.当复数z满足时，则的最小值是A. B. C. D.9.若对任意，有，就称A是具有“伙伴关系”的集合，集合0，，，1，2，3，的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为A. 15B. 16C.D.10.定义在R上的函数满足：，，是的导函数，则不等式其中e为自然对数的底数的解集为A. B.C. D.二、多项选择题（本大题共2小题，共10.0分.漏选得3分，错选得0分.）11.已知复数，则下列命题中正确的为A. B.C. z的虚部为iD. z在复平面上对应点在第一象限12.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是A. B. C. 15 D. 90三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下：则a等于______________．14.函数的单调减区间为_______ ．15.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______．16.已知函数，若在区间上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本题满分10分）已知i是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足．求复数的模；若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．18.（本题满分10分）已知的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的．求n的值；求的展开式中系数．．最大的项．19.（本题满分10分）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．Ⅰ求甲三次都取得白球的概率；Ⅱ求甲总得分的分布列和数学期望．20.（本题满分12分）已知函数在与处取得极值．求实数a，b的值及函数的单调区间．若对，不等式恒成立，求c的取值范围．21.（本题满分14分）某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为60cm的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是xcm的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为30cm、xcm的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．求包装盒的容积关于x的函数表达式，并求函数的定义域；当x为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？22.（本题满分14分）已知函数时，求函数的极值；时，讨论函数的单调区间：若对任意的，当，时恒有成立，求实数m的取值范围．2019-2020学年第二学期高二期中考试数学答案命题人：审核人：一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）23.复数的实部和虚部之和为A. 1B.C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的基本概念，属基础题化简已知复数是解决问题的关键．【解答】解：，复数z的实部与虚部之和为．故选B．24.若，则的值为A. 6B. 7C. 35D. 20【答案】C【解析】【分析】本题考查组合数的公式，属于基础题．根据公式计算出n，再利用阶乘的定义计算出结果．【解答】解：，，解得或舍去，，故选C．25.已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：回归方程是，其中，则当时，y的预测值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于基础题．线性回归方程，必过样本中心点，首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程求出a 即可得到回归直线的方程，代入，可得y的预测值．【解答】解：由题意可知：，，由，，当，，的预测值为，故选C．26.已知函数，则曲线在处的切线斜率为A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的几何意义及导数的运算，属于基础题．对函数求导，根据导数的几何意义可知曲线在处的切线斜率为，由此可解．【解答】解：，所以，所以，即曲线在处的切线斜率为．故选B．27.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案A. 81种B. 72种C. 24种D. 36种【答案】D【解析】【分析】本题为排列、组合的综合应用问题，题目基础．将四位老师分成三组，再分到三个班，列式，求解即可．【解答】解：由题意种，所以共有分配方案36种．故选D．28.函数在区间上的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数求最值，属于基础题．由已知函数，对其求导数，令导数等于0求出函数的极值点，将极值点代入原函数，求出函数的极值，与函数的端点值进行比较，即可得到答案．【解答】解：，，由，得，或，，，，，函数在区间上的最小值是：．故选B．29.已知曲线，则过点的切线方程是A. 或B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义，运用导数求曲线的切线方程，考查了学生的运用能力，属于中档题．先设切点为，再求出曲线的导数，表示出切线方程，再根据切线过点，建立方程，求出进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程即可．【解答】解：设切点为，即有，，易知，则在处切线的斜率为，则切线方程为，又切线过，，整理得：，，由联立得：，解得：或，切线的斜率或，切线方程为或，整理得过点的切线方程为：或，故选A．30.当复数z满足时，则的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的几何意义，两点间距离公式，属于中档题．解题关键在于对复数的几何意义的灵活运用．【解答】解：设，则，则，则点可看作以为圆心，1为半径的圆上的点，则求的最小值等价于求圆上点到点距离的最小值，故的最小值为．故选B．31.若对任意，有，就称A是具有“伙伴关系”的集合，集合0，，，1，2，3，的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为A. 15B. 16C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用组合知识求子集个数问题，难度一般．先找出具有伙伴关系的元素组，再根据分类加法计数原理即可求解．【解答】解：具有“伙伴关系”的元素组有；，，3，共四组．它们中任一组、二组、三组、四组均可组成具有“伙伴关系”的集合，所以具有“伙伴关系”的集合的个数为．故选A．32.定义在R上的函数满足：，，是的导函数，则不等式其中e为自然对数的底数的解集为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数单调性的应用，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属中档题．令，从而求导，从而利用函数的单调性求解不等式．【解答】解：令，则，故F是R上的单调增函数，而，故不等式其中e为自然对数的底数的解集为．故选：A．二、多项选择题（本大题共2小题，共10.0分.漏选得3分，错选得0分.）33.已知复数，则下列命题中正确的为A. B.C. z的虚部为iD. z在复平面上对应点在第一象限【答案】ABD【解析】【分析】本题考查复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系，属于基础题．利用复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系即可判断出正误．【解答】解：复数，则，故A正确；又，故B正确；因为z的虚部为1，故C错误；因为z在复平面上对应点的坐标为，在第一象限，故D正确．故选ABD．34.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是A. B. C. 15 D. 90【答案】AD【解析】【分析】本题考查分步计数原理与组合问题的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，先从6本书中取出2本给甲，再从剩下的4本书中取出2本给乙，最后把剩下的2本书给丙，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理，可得结论；【解答】解：把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，先从6本书中取出2本给甲，有种取法，再从剩下的4本书中取出2本给乙，有种取法，最后把剩下的2本书给丙，有1种情况，则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有种分法．故选AD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下：则a等于______________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查随机变量的分布列，以及概率的性质的应用．根据分布列的性质，有，解之即可．【解答】解：由分布列的性质，有，解得．36.函数的单调减区间为_______ ．【答案】【解析】【分析】本题考查利用导数求解函数的单调区间，属于基础题．求出导函数，由可以求出答案．【解答】解：函数，其定义域为，，由，得，函数的单调递减区间为．故答案为．37.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______．【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，则，，，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：，由此能求出结果．【解答】解：设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，则，，，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：．故答案为．38.已知函数，若在区间上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查恒成立的问题，属于简单题．将函数进行求导，在区间上恒成立，之后再构造新函数最小值大于等于0即可．【解答】解：，因为函数在区间上是单调递增函数，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，记，，则，，，，故在递增，故，解得：，故实数a的范围是故答案为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）39.（本题满分10分）已知i是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足．求复数的模；若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【答案】解：设复数，则，于是，即，所以，解得，即．…………………………………………3分故．………………………………5分由得，……7分由于复数在复平面内对应的点在第一象限，所以，……………………………………9分解得所以m的取值范围为．………………………………10分40.（本题满分10分）已知的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的．求n的值；求的展开式中系数．．最大的项．【答案】解：根据题意，设该项为第项，则有……2分即亦即………………………………………4分解得．………………………………………………………5分设第项系数最大，则有…………………6分即亦即………………………………8分解得，…………………………………………………9分，二项式展开式中系数最大的项为．……………10分41.（本题满分10分）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．Ⅰ求甲三次都取得白球的概率；Ⅱ求甲总得分的分布列和数学期望．【答案】解：Ⅰ记事件A表示甲一次取球时取得白球，则，所以甲三次都取得白球的概率．……………………………4分Ⅱ甲总得分情况有6分、7分、8分、9分4种可能，记为甲总得分．，，，．的分布列为6 7 8 9………………………………………………………………8分甲总得分的数学期望．……10分【解析】本题考查古典概型的计算与应用、随机变量的概率分布和数学期望，考查考生应用意识、运算求解的能力及等价转化思想．Ⅰ利用古典概型、相互独立事件的概率公式求解；Ⅱ利用二项分布的概率公式建立分布列，再由数学期望公式求解数学期望．42.（本题满分12分）已知函数在与处取得极值．求实数a，b的值及函数的单调区间．若对，不等式恒成立，求c的取值范围．【答案】解：，由题意解得………………………………………………………2分，，令，解得；令，解得或，的减区间为；增区间为，………………5分由知，在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．时，的最大值即为与中的较大者．；，当时，取得最大值．要使，只需，…………………………8分解得：或，的取值范围为．…………………………12分43.（本题满分14分）某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为60cm的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是xcm的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为30cm、xcm的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．求包装盒的容积关于x的函数表达式，并求函数的定义域；当x为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？【答案】解：因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为，所以铁皮箱的体积，…5分函数的定义域为；………………………………………………6分由得，，令，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以函数在处取得极大值，…………………………………12分这个极大值就是函数的最大值．……………………13分答：切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是…14分44.（本题满分14分）已知函数时，求函数的极值；时，讨论函数的单调区间：若对任意的，当，时恒有成立，求实数m的取值范围．【答案】解：时，，定义域为，，令得，……………………2分x，，的变化如下表：所以只有极大值，无极小值；……………………4分由，令得，，………………………………5分当时，，所以解得；解得或；此时的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时．恒成立，此时的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，，所以解得，解得或，此时的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，，所以解得；解得，此时的单调递增区间是，单调递减区间是．综上可知：时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；时，的单调递增区间是，无单调递减区间；时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；时，的单调递增区间是，单调递减区间是．……………9分由中的知，对任意的，在上单调递增，所以在区间上，，…………………………………………………………………11分所以，…………………12分所以，由于，所以，又当时，，所以．所以实数m的取值范围为．…………………………………14分赠送：高二政治下学期第二次月考（期中）试题第一部分 ( 选择题共 50 分 )一、选择题（共 25 小题，每小题 2 分，计 50 分。

高二数学理科期中试卷（答题卷）（答题时间:120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．1．,sin 1x x ∃∈≤-R 2．_____-1_____ 3．_3240x y ++= 4．_2_____5．___60 ______ 6．__5(,)66ππ_____7．______1_______ 8．_____-1____9．______1 ______ 10．_____②③___ 11．__[1,1){2}-_ 12．______23_____13．______38a _____14．__1732-__________二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本题满分14分)16. （本题满分14分）解：（1）展开式中二项式系数最大的项是第4项＝33633540C y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （7分） （2）431240234(4,)(1)a a a a mf y a y y y y y=++++=+（8分）， 3334322a C m m ==⇒=，（11分）442(1)811ii a ==+=∑； （14分） 17．(本题满分14分)（1）取1A B 中点N ，连接,NE NM ，则MN 12BC ,EF 12BC ,所以MN FE ，所以四边形MNEF 为平行四边形，所以FM ∥EN ，……4分 又因为11,FM A EB EN A EB ⊄⊂平面平面，所以直线//FM 平面1A EB ． ……………………………………………7分 （2）因为E ，F 分别AB 和AC 的中点，所以1A F FC =，所以1FM AC ⊥…9分 同理，1EN A B ⊥,由（1）知，FM ∥EN ，所以1FM A B ⊥又因为111A CA B A =, 所以1FM A BC ⊥平面, ……………………………12分又因为1FM A FC ⊂平面所以平面1A FC ⊥平面1A BC ． ………………………………………14分 18．（本题满分16分）ＢＣＥＦ Ｍ 1A 图②ＡＢＣＥ Ｆ图①19．（本题满分16分）【解】（1）由离心率63e =，得2263a b a -=，即223a b =. ① ………………2分又点(13)B --，在椭圆2222:1y x C a b =+上，即2222(3)(1)1a b--=+.② ………………4分解 ①②得22124a b ==，，故所求椭圆方程为221124y x +=. …………………6分由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………8分 （2）曲线2222440x mx y y m -+++-=，即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径22r =，表示圆心在直线 2y =-上，半径为22的动圆. ………………… 10分由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形. 设G 与直线l 相切于点T ，则由|22|222a +-=，得4m =±，………………… 12分当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得(24)T --，. ………………… 14分因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，所以切点T D ∉，由图可知当G 过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=， 解得min 71m =--. ………………… 16分 （说明：若不说理由，直接由圆过点B 时，求得m 的最小值，扣4分）20．(本题满分16分)解：（1）当230n m +=时，22()3ln f x x mx m x =+-．则222323(23)()()2m x mx m x m x m f x x m x x x +-+-'=+-==． 令()0f x '=，得32mx =-（舍），x m =．…………………3分①当m >1时，x1 (1,)mm(,)m +∞()f x '- 0 + ()f x1m +↘2223ln m m m -↗∴当x m =时, 2223ln ()min m x m f m -=．令2223ln 0m m m -=，得23m =e ． ……………………………5分 ②当01m <≤时，()f x '≥0在[1,)x ∈+∞上恒成立，()f x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，当1x =时, min ()1f x m =+．令10m +=，得1m =-（舍）．综上所述，所求m 为23e m =． ……………………………7分 (2) ∵对于任意的实数[1,2]a ∈，1b a -=，()f x 在区间(,)a b 上总是减函数，则对于x ∈(1,3)，22()2n x mx nf x x m x x++'=++=＜0，∴()0≤f x '在区间[1,3]上恒成立． ……………………9分 设g (x )=22x mx n ++，∵0x >，∴g (x )≤0在区间[1,3]上恒成立．由g (x )二次项系数为正，得(1)(3)g g ⎧⎨⎩≤0,≤0, 即2318m n m n ++⎧⎨++⎩≤0,≤0, 亦即23n m nm -⎧⎪⎨⎪⎩≤-,≤-.-6 ………12分 ∵ (2)n --(6)3n ---=224(6)33n n -=--，∴ 当n ＜6时，m ≤3n--6， 当n ≥6时，m ≤2n --， ……………………………14分∴ 当n ＜6时，h (n )= 63n--，当n ≥6时，h (n )= 2n --， 即 6.6,6,()32,n n h n n n ⎧--<⎪=⎨⎪--⎩≥ ……………………………16分。

2022-2023学年江苏省苏州市五区四市高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．设函数f（x）＝1﹣x2，则f（x）在x＝1处的瞬时变化率为（）A．﹣2B．0C．1D．22．已知C n2=28（n∈N，且n≥2），则A n2的值为（）A．30B．42C．56D．723．设f′（x0）为函数f（x）在x0处的导数，则满足f′（1）＜f′（2）＜f′（3）的函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．4．在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为（）A．156B．180C．194D．6725．在某项测验中，假设利验数据服从正态分布N（75，16）．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测验数据从大到小分为A，B，C，D四个等级，则等级为A的测验数据的最小值可能是（）【附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826．P（μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ≤ξ＜μ+3σ）＝0.9974】A．75B．79C．83D．916．∀x1，x2∈[1，e]，当x1＜x2时，都有ln x1x2＜a(x1−x2)，则实数a的最大值为（）A．1e2B．1eC．√eeD．17．讲台上有左、右两盒粉笔，左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔，右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔．某位老师从这两盒中取粉笔，取自左盒的概率为40%，取自右盒的概率为60%．若这位老师从这两盒粉笔中任取一支，则取到黄色粉笔的概率为（）A．0.275B．0.28C．0.32D．0.68．设a ＝1.41.7，b ＝1.71.4，c ＝e （e 为自然对数的底数），则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9．已知f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数f （x ）的说法正确的是（ ）A ．在（﹣∞，1）上单调递减B ．在（1，3）上单调递增C ．在x ＝1处取得极小值D ．在x ＝4处取得极大值10．在(√x −12x )9的展开式中（ ） A ．常数项为212B ．x 3项的系数为−92C ．系数最大项为第3项D ．有理项共有5项11．甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球．记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A ，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B ，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C ，则（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与C 独立C ．P(C|A)=12D ．P(C)=4912．设函数f(x)=e x (2x+1)x，则（ ） A ．f ′（1）＝2eB ．函数f （x ）的图象过点(−1，1e)的切线方程为y =1eC ．函数f （x ）既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值D ．方程f （x ）＝k 有两个不等实根，则实数的取值范围为(0，1e )∪(4√e ，+∞) 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的四位数，在组成的四位数中，能被5整除的有 个．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f （x ）＝ ．①定义域为R ．函数值不恒为0，且图象是条连续不断的曲线；②∀x ∈R ，f （﹣x ）+f （x ）＝0；③f ′（x ）为函数f （x ）的导函数，∀x ∈R ，f ′（x ）≥0．15．在图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：自左向右，第n 行第i +1个数记为C n i（n ，i ∈N 且i ≤n ）．若C 15k =C 152k−3（n ，k ∈N 且k ≤n ），则k 的值为 ．C 41+C 52+⋯+C n m−3+⋯+C 1512（n ∈N 且6≤n ≤14）的值为 ．16．已知函数f(x)=lnx ，g(x)=12x 2+m ．若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）有公切线，则实数m 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛： （1）至少选到1名女生的方法有多少种？（2）设随机变量X 表示所选2人中女生的人数，求X 的分布列及期望、方差．18．（12分）在①只有第6项的二项式系数最大；②第5项与第7项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数之和为512；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答， 已知(2x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，且满足 _____． （1）求a 12+a 222+⋯+a n 2n的值；（2）求a 1+2a 2+⋯+na n 的值．19．（12分）将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒．（1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积V 表示为盒底边长x 的函数； （2）x 多大时，盒子的容积V 最大？20．（12分）近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．从全国所有观众中随机抽取4名，（1）求恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率；（2）记其中评价为五星的观众人数为X ，求X 的分布列与数学期望．21．（12分）已知函数f(x)=x 2+x−1e x．（1）求f （x ）的极值；（2）设曲线f （x ）在点T （t ，f （t ））处的切线为l ，记l 在y 轴上的截距为b ＝g （t ），当l 的斜率为非负数时，求e t •b 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣aln （x +2）． （1）当a ＝2时，求函数f （x ）的单调区间；（2）当a ＝1时，求证：函数f （x ）存在极小值点x 0，且f(x 0)＞16．2022-2023学年江苏省苏州市五区四市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．设函数f（x）＝1﹣x2，则f（x）在x＝1处的瞬时变化率为（）A．﹣2B．0C．1D．2解：∵f（x）＝1﹣x2，∴f′（x）＝﹣2x，∴f′（1）＝﹣2．故选：A．2．已知C n2=28（n∈N，且n≥2），则A n2的值为（）A．30B．42C．56D．72解：因为C n2=n(n−1)2=28，所以A n2=n（n﹣1）＝56．故选：C．3．设f′（x0）为函数f（x）在x0处的导数，则满足f′（1）＜f′（2）＜f′（3）的函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．解：f′（x0）表示函数在x＝x0处切线的斜率，因为f′（1）＜f′（2）＜f′（3），所以f（x）在x＝1，2，3处切线的斜率越来越大，故选：D．4．在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为（）A．156B．180C．194D．672解：从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，则所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为C104−C64−C44=194．故选：C ．5．在某项测验中，假设利验数据服从正态分布N （75，16）．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测验数据从大到小分为A ，B ，C ，D 四个等级，则等级为A 的测验数据的最小值可能是（ ） 【附：随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826．P （μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P （μ﹣3σ≤ξ＜μ+3σ）＝0.9974】 A ．75B ．79C ．83D ．91解：由已知得P （X ＞μ+σ）=12[1﹣P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）]≈0.16， 由已知得μ＝75，σ＝4，所以A 等级分数线约为75+4＝79． 故选：B ．6．∀x 1，x 2∈[1，e ]，当x 1＜x 2时，都有lnx 1x 2＜a(x 1−x 2)，则实数a 的最大值为（ ） A ．1e 2 B ．1e C ．√eeD ．1解：因为∀x 1，x 2∈[1，e ]，当x 1＜x 2时，都有ln x1x 2＜a(x 1−x 2)，所以∀x 1，x 2∈[1，e ]，当x 1＜x 2时，都有lnx 1﹣lnx 2＜ax 1﹣ax 2， 所以∀x 1，x 2∈[1，e ]，当x 1＜x 2时，都有lnx 1﹣ax 1＜lnx 2﹣ax 2， 令F （x ）＝lnx ﹣ax ，x ∈[1，e ]，所以∀x 1，x 2∈[1，e ]，当x 1＜x 2时，都有F （x 1）＜F （x 2）， 所以F （x ）在[1，e ]上单调递增， 所以任意x ∈[1，e ]，F ′（x ）≥0， 所以任意x ∈[1，e ]，1x −a ≥0，所以任意x ∈[1，e ]，a ≤（1x）min ，又x ∈[1，e ]，（1x）min =1e，所以a ≤1e，所以a 的最大值为1e ，故选：B ．7．讲台上有左、右两盒粉笔，左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔，右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔．某位老师从这两盒中取粉笔，取自左盒的概率为40%，取自右盒的概率为60%．若这位老师从这两盒粉笔中任取一支，则取到黄色粉笔的概率为（ ） A ．0.275B ．0.28C ．0.32D ．0.6解：老师从这两盒中取粉笔，设事件A 表示“取自左盒”，事件B 表示“取自右盒”，事件C 表示“取到黄色粉笔”，则P （A ）＝0.4，P （B ）＝0.6，P （C |A ）=525=0.2，P （C |B ）=615=0.4， 所以P （C ）＝P （A ）P （C |A ）+P （B ）P （C |B ）＝0.4×0.2+0.6×0.4＝0.32． 故选：C ．8．设a ＝1.41.7，b ＝1.71.4，c ＝e （e 为自然对数的底数），则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解：因为a ＝1.41.7，b ＝1.71.4，c ＝e ，可设f （x ）=lnxx （x ＞0）， 则f ′（x ）=1x ⋅x−lnx x 2=1−lnxx 2， 当x ∈（0，e ）时，1﹣lnx ＞0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ∈（e ，+∞）时，1﹣lnx ＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 所以1.4＜1.7＜e 时，f （1.4）＜f （1.7）＜f （e ），即ln1.41.4＜ln1.71.7＜lne e，所以1.7ln 1.4＜1.4ln 1.7，即ln 1.41.7＜ln 1.71.4，即1.41.7＜1.71.4，所以a ＜b ； （1.71.4）2＜（1.71.5）2＝1.73＜e 2，则1.71.4＜e ，即b ＜c ． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9．已知f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数f （x ）的说法正确的是（ ）A ．在（﹣∞，1）上单调递减B ．在（1，3）上单调递增C ．在x ＝1处取得极小值D ．在x ＝4处取得极大值解：由f ′（x ）的图象可知在（﹣∞，1），（1，3）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以x ＝1处没有取得极小值，由f ′（x ）的图象可知在（1，4）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，在（4，+∞）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （x ）在x ＝4处取得极大值， 故选：BD ．10．在(√x −12x )9的展开式中（ ） A ．常数项为212B ．x 3项的系数为−92C ．系数最大项为第3项D ．有理项共有5项解：在(√x −12x )9的展开式中，通项公式为T r +1=C 9r•(−12)r •x9−3r 2，令9−3r 2=0，求得r ＝3，可得展开式中常数项为T 4=C 93•（−18）=−212，故A 错误； 令9−3r 2=3，求得r ＝1，可得展开式中x 3项的系数为−92，故B 正确；要使第r +1项的系数C 9r•(−12)r 最大，需r 为偶数，检验可得， 当r ＝2时，系数C 9r •(−12)r 最大，即系数最大项为第3项，故C 正确；令9−3r 2为整数，求得r ＝1，3，5，7，9，共计5项，故D 正确．故选：BCD ．11．甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球．记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A ，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B ，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C ，则（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与C 独立C ．P(C|A)=12D ．P(C)=49解：A ，∵事件A 与事件B 不能同时发生，∴A 与B 互斥，∴正确， B ，∵P （A ）=46=23，P （AC ）=46×36=13，P （C ）=46×36+26×26=49， ∴P （AC ）≠P （A ）•P （C ），∴A 与C 不相互独立，∴错误， C ，∵P （C |A ）=P(AC)P(A)=13×32=12，∴正确， D ，∵P （C ）=46×36+26×26=49，∴正确． 故选：ACD ． 12．设函数f(x)=e x (2x+1)x ，则（ ） A ．f ′（1）＝2eB ．函数f （x ）的图象过点(−1，1e )的切线方程为y =1eC ．函数f （x ）既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值D ．方程f （x ）＝k 有两个不等实根，则实数的取值范围为(0，1e)∪(4√e ，+∞)解：f ′（x ）=[e x (2x+1)]′⋅x−e x (2x+1)x 2=e x (2x 2+x−1)x 2（x ≠0），对于A ：f ′（1）＝2e ，故A 正确；对于B ：设切点为（x 0，e x 0（2+1x 0）），k ＝f ′（x 0）=e x 0x 02（2x 0﹣1）（x 0+1），切线方程为y −e x 0（2+1x 0）=e x 0x 02（2x 0﹣1）（x 0+1）（x ﹣x 0）， 代入点（﹣1，1e ），得1e−e x 0（2+1x 0）=e x 0x 0（2x 0﹣1）（x 0+1）（﹣1﹣x 0），化简得e x 0（2x 03+x 02−x 0﹣1）+1ex 02=0，令h （x 0）=e x 0（2x 03+x 02−x 0﹣1）+1e x 02，h （﹣1）＝0，所以函数f （x ）在（﹣1，1e）的切线方程为y =1e ，因为h （12）=−√e +14e ＜0，h （1）＝e +1e ＞0，函数h （x 0）图象连续不断，所以存在x 0∈（12，1）使得h （x 0）＝0，所以过点（﹣1，1e ）的直线与函数f （x ）在（12，1）之间存在切点，所以过点（﹣1，1e）的切线不止一条，故B 错误； 对于C ：令f ′（x ）＝0得x =12或x ＝﹣1，所以在（﹣∞，﹣1），（12，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，在（﹣1，0），（0，12）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，在x =12处取得极小值， 又f （﹣1）=e −1(−2+1)−1=1e，f （12）=e 12(2×12+1)12=4√e ，所以f （﹣1）＜f （12），所以极大值小于极小值，故C 错误； 对于D ：作出f （x ）的大致图像，如下：若方程f（x）＝k有两个不等实根，则y＝f（x）与y＝k有两个交点，所以0＜k＜1e或k＞4√e，故D正确，故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的四位数，在组成的四位数中，能被5整除的有108个．解：本题需要分类来解，当末位是数字0，可以组成A53=60个，当末位是数字5，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有C41A42=48种结果，根据分类计数原理知共有60+48＝108种结果，故答案为：108．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）＝x3．①定义域为R．函数值不恒为0，且图象是条连续不断的曲线；②∀x∈R，f（﹣x）+f（x）＝0；③f′（x）为函数f（x）的导函数，∀x∈R，f′（x）≥0．解：根据②∀x∈R，f（﹣x）+f（x）＝0知f（x）是奇函数，可得出满足条件的函数f（x）＝x3，f′（x）＝3x2≥0．故答案为：x3．15．在图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：自左向右，第n行第i+1个数记为C n i（n，i∈N且i≤n）．若C15k=C152k−3（n，k∈N且k≤n），则k的值为3或6．C41+C52+⋯+C n m−3+⋯+C1512（n∈N且6≤n≤14）的值为104．解：若C 15k =C 152k−3（n ，k ∈N 且k ≤n ），则k ＝2k ﹣3或k +2k ﹣3＝15， 所以k ＝3或k ＝6；因为C 41+C 52+⋯+C n m−3+⋯+C 1512=C 40+C 41+C 52+⋯+C n m−3+⋯+C 1512− 1=C 51+C 52+⋯+C 1512−1=C 62+C 63⋯+C 1512−1=C 1513−1＝104．故答案为：3或6；104．16．已知函数f(x)=lnx ，g(x)=12x 2+m ．若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）有公切线，则实数m 的取值范围为 [−12，+∞） ．解：设两曲线的公切线为l ，切点分别为A （x 1，lnx 1），B （x 2，12x 22+m ），则12x 22+m−lnx 1x 2−x 1=1x 1=x 2，化简消去x 1得，m =12x 22−lnx 2−1，曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）有公切线，则方程m =12x 22−lnx 2−1有根，令h （x ）=12x 2−lnx −1，则h ′（x ）＝x −1x =x 2−1x （x ＞0），当x ∈（0，1）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，当x ∈（1，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，∴ℎ(x)min =ℎ(1)=−12，∴曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）有公切线，则m ≥−12． 故答案为：[−12，+∞）．四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛： （1）至少选到1名女生的方法有多少种？（2）设随机变量X 表示所选2人中女生的人数，求X 的分布列及期望、方差．解：（1）从4名男生和2名女生中任选2人有C 62种方法，不含女生的方法C 42种，所以至少选到1名女生的方法有N =C 62−C 42=15−6=9种；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 42C 62=615， P(X =1)=C 41C 21C 62=4×215=815，P(X =2)=C 22C 62=115， 故X 的分布列为：所以E(X)=0×615+1×815+2×115=23，D(X)=(0−23)2×615+(1−23)2×815+(2−23)2×115=1645．18．（12分）在①只有第6项的二项式系数最大；②第5项与第7项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数之和为512；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答， 已知(2x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，且满足 _____． （1）求a 12+a 222+⋯+a n 2n的值；（2）求a 1+2a 2+⋯+na n 的值．解：（1）选①只有第6项的二项式系数最大；所以n ＝10； 由于(2x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ， 故(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x 10， 当x ＝0时，解得a 0＝1； 当x =12时，(2×12−1)10=a 0+a 12+a 222+⋯+a 10210=0， 故a 12+a 222+⋯+a 10210=−1．（2）由于(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10， 两边取导数得：2×10(2x −1)9=a 1+2a 2x+...+10a 10x 9， 令x ＝1得：a 1+2a 2+...+10a 10＝20．选②第5项与第7项的二项式系数相等；所以C n 4=C n 6=C n n−6，解得n ＝10；由于(2x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ， 故(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x 10， 当x ＝0时，解得a 0＝1；当x =12时，(2×12−1)10=a 0+a 12+a 222+⋯+a 10210=0， 故a 12+a 222+⋯+a 10210=−1．（2）由于(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10， 两边取导数得：2×10(2x −1)9=a 1+2a 2x+...+10a 10x 9， 令x ＝1得：a 1+2a 2+...+10a 10＝20．③奇数项的二项式系数之和为512；所以2n ﹣1＝512＝29，解得n ＝10；由于(2x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ， 故(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x 10， 当x ＝0时，解得a 0＝1； 当x =12时，(2×12−1)10=a 0+a 12+a 222+⋯+a 10210=0， 故a 12+a 222+⋯+a 10210=−1．（2）由于(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10， 两边取导数得：2×10(2x −1)9=a 1+2a 2x+...+10a 10x 9， 令x ＝1得：a 1+2a 2+...+10a 10＝20．19．（12分）将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒．（1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积V 表示为盒底边长x 的函数； （2）x 多大时，盒子的容积V 最大？解：（1）正六棱柱铁皮盒的底面边长为x （0＜x ＜1）， 则正六棱柱铁皮盒的高为√32（1﹣x ）， ∴正六棱柱铁皮盒的容积为V （x ）＝6×12x •√32x •√32（1﹣x ）=94（﹣x 3+x 2）（0＜x ＜1），（2）由（1）知，V （x ）=94（﹣x 3+x 2）（0＜x ＜1）， 则V ′（x ）=−274x 2+92x ， 令V '（x ）＝0，解得x =23，当0＜x ＜23时，V '（x ）＞0，V （x ）单调递增， 当x ＞23时，V '（x ）＜0，则V （x ）单调递减， ∴当x =23时，容积V （x ）取得极大值，即最大值， 故底面边长x 为23时，正六棱柱铁皮盒的容积最大．20．（12分）近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．从全国所有观众中随机抽取4名，（1）求恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率；（2）记其中评价为五星的观众人数为X ，求X 的分布列与数学期望．解：（1）依题意样本中抽取1人，评价为五星的频率为P 5=75100=34，评价为四星的频率为P 4=10100=110， 所以从全国所有观众中随机抽取4名，恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率P =C 43(34)3×110=27160； （2）依题意X 的可能取值为0、1、2、3、4，且X ～B(4，34)，所以P(X =0)=C 40(1−34)4=1256，P(X =1)=C 41(1−34)3×34=12256， P(X =2)=C 42(1−34)2×(34)2=54256，P(X =3)=C 43(1−34)1×(34)3=108256， P(X =4)=C 44×(34)4=81256，所以随机变量X 的分布列为：所以E(X)=4×34=3． 21．（12分）已知函数f(x)=x 2+x−1e x． （1）求f （x ）的极值；（2）设曲线f （x ）在点T （t ，f （t ））处的切线为l ，记l 在y 轴上的截距为b ＝g （t ），当l 的斜率为非负数时，求e t •b 的取值范围． 解：（1）函数f(x)=x 2+x−1e x，定义域为R ， 则f '（x ）=(2x+1)e x −(x 2+x−1)e x(e x )2=−x 2+x+2e x， 令f '（x ）＝0，得x 1＝﹣1，x 2＝2，所以f '（x ），f （x ）的变化情况，如下表所示：所以当x ＝﹣1时，f （x ）取得极小值f （﹣1）＝﹣e ，当x ＝2时，f （x ）取得极大值f （2）=5e 2； （2）因为f （t ）=t 2+t−1e t ，f '（t ）=−t 2+t+2e t，所以曲线f （x ）在点（t ，f （t ））处的切线方程为l ：y −t 2+t−1e t =−t 2+t+2e t （x ﹣t ），令x ＝0可得l 在y 轴上的截距为b ＝g （t ）=t 2+t−1e t +−t 2+t+2e t （﹣t ）=t 3−t−1e t ，因为直线l 的斜率为非负数，即f '（t ）=−t 2+t+2e t ≥0，即﹣t 2+t +2≥0，解得﹣1≤t ≤2， 所以e t⋅b =e t⋅t 3−t−1e t=t 3﹣t ﹣1（﹣1≤t ≤2），令h （t ）＝t 3﹣t ﹣1，t ∈[﹣1，2]，则h '（t ）＝3t 2﹣1＝3（t −√33）（t +√33）， 所以当﹣1＜t ＜−√33或√33＜t ＜2时，h '（t ）＞0，当−√33＜t ＜√33时，h '（t ）＜0， 所以h （t ）在（﹣1，−√33），（√33，2）上单调递增，在（−√33，√33）上单调递减，所以当t =−√33时，h （t ）有极大值h （−√33）=2√39−1，当t =√33时，h （t ）有极小值h （√33）=−2√39−1，又h （﹣1）＝﹣1＞−2√39−1，h （2）＝5＞2√39−1，所以h （t ）的取值范围为[−2√39−1，5]，即e t •b 的取值范围为[−2√39−1，5]．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣aln（x+2）．（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，求证：函数f（x）存在极小值点x0，且f(x0)＞16．解：（1）当a＝2时，f（x）＝e x﹣2ln（x+2），定义域为（﹣2，+∞），f′（x）＝e x−2x+2，f″（x）＝e x+2(x+2)2＞0，所以f′（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，又f′（0）＝0，所以当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）的单调递减区间为（﹣2，0），单调递增区间为（0，+∞）．（2）证明：当a＝1时，f（x）＝e x﹣ln（x+2）定义域为（﹣2，+∞），f′（x）＝e x−1x+2，f″（x）＝e x+1(x+2)2＞0，所以f′（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，又f′（−12）=e−12−1−12+2=√e23=√e3√e0，f′（0）＝e0−10+2=1−12=12＞0，由零点的存在定理可得f′（x）存在唯一零点，记为x0，则x0∈（−12，0）且e x0=1x0+2，所以当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）存在极小值点x0，又由于e x0=1x0+2，所以f（x0）=e x0−ln（x0+2）=1x0+2+x0，x0∈（−12，0），设h（x）=1x+2+x（x≥−12），则h′（x）＝1−1(x+2)2＞0，所以h（x）在（−12，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（−12）=1(−12)+2+（−12）=16，又x0＞−12，所以f（x0）＝h（x0）＞h（−12）=16．。

高二下数学期中试卷（苏教版）1．复数在复平面上对应的点的坐标是_________．2．点P在曲线y=+x﹣1上移动，设在点x=1处的切线的倾斜角为α，则α=_________．3．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤m2﹣3m对x∈R恒成立．求实数m的取值范围．4．若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是，则双曲线的方程是_________．5．右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i＞_________．6．函数f（x）=alnx+x在x=1处取得极值，则a的值为_________．7．设函数f（x）=x m+ax的导数为f′（x）=2x+1，则数列的前n项和为_________．8．函数f（x）=xe﹣x的单调增区间是_________．9．设z1是复数，z2=z1﹣i1，（其中1表示z1的共轭复数），已知z2的实部是﹣1，则z2的虚部为________．10．（2011•盐城一模）观察下列几个三角恒等式：①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1；②tan5°tan100°+tan100°tan（﹣15°）+tan（﹣15°）tan5°=1；③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1．一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为_________．11．在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论：_________．12．观察下列各式：①（x3）′=3x2；②（sinx）′=cosx；③（2x﹣2﹣x）′=2x+2﹣x；④（xcosx）′=cosx﹣xsinx根据其中函数f（x）及其导函数f′（x）的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是：_________．13．（5分）如图，已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为_________．14．（5分）设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a 的取值范围为_________．15．（14分）已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．16．（14分）已知z=1﹣i，a，b∈R．（1）（为z的共轭复数），求|w|；（2）如果，求实数a，b的值．17．右图为求某数列{a n}前若干项和的程序框图，（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）S的值为数列{a n}的前多少项和？（3）S的输出值为多少？18．已知：tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1，tan15°tan25°+tan25°tan50°+tan50°tan15°=1，tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°=1，…，（1）分析上面各式的特点，写出一个能反映此特点的等式（你认为正确的就可以）；（2）写出能反映此特点的一般的等式，并加以证明．19．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e）其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，f（x）的单调性、极值；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．20．椭圆的离心率e=，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，当直线l的斜率为1时，坐标原点O到直线l的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C上是否存在点P，使得当直线l绕点F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程；若不存在，请说明理由．。

2021年高二数学下学期期中试题文苏教版一、填空题：1、已知集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则▲ .2、函数f(x)＝的定义域为▲ .3、若“”是“”成立的必要条件，则a的最大值是▲ .4、已知函数，则= ▲ .5、已知是奇函数，则a= ▲ .6、若命题p：，是真命题，则实数a的取值范围是▲ .7、若，，，则，，的大小关系为▲ .8、函数的最大值为▲ .9、曲线在点（2，4）处的切线方程为▲ .10、若函数在处取得极值，则▲ .11、函数的单调增区间为▲ .12、已知函数，若函数有3个不同零点，则实数的取值范围▲ .13、已知函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是▲ .14、已知函数．若存在实数，，使得的解集恰为，则的取值范围是▲ .二、解答题：15、已知全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B=（1）求集合A；（2）若，求a的取值范围。

16、（1）已知命题p：，命题q：函数是增函数，若“p且q”为真命题，求a的取值范围。

（2）已知p：，q：，若p是q成立的充分不必要条件，求m的取值范围。

17、设函数，（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设，求函数f（x）的最小值；18、某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210（吨）（1）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（2）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本。

19、已知（1）求函数f(x)的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；20、已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。

（１）当时，解不等式；（２）若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围；（３）当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。

高二数学（文科）期中试卷参考答案及评分标准1、｛3，4｝2、3、-14、 05、06、7、8、09、10、1 11、或 12、（0，1） 13、（2，3] 14、15、解析：（1）由题得A=｛x|｝ （7分）（2）因为，画数轴可知 （14分）16、解析：（1）p 真， （3分）q 真， （3分）则p 且q 为真时，（7分）（2）化简p ：（9分）q ： （11分）p 是q 成立的充分不必要条件，（14分）17、解析：（1）恒成立，a =0，（6分）（2），（或f （x ）单调递增）（9分），，（或f （x ）先减后增）（12分）综上：（14分）18、解析：（1）设年获得总利润为R （x ）万元,则R （x ）=40x-y=800088580004854022-+-=-+-x x x x x （4分） x=210时，R （x ）有最大值为1660 （8分）（2）每吨平均成本为32488000524880005=-⋅≥-+=xx x x x y 当且仅当x=200时取等号，平均成本最低为32万元 （16分） 注：利用导数求解也可以。

江苏省苏州市2021-2022高二数学下学期期中试题注意事项：1.答卷前，请将自己的姓名、调研序列号等填写在答题卡指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本调研卷上无效。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数11i i-+(其中i 是虛数单位)的实部是 A.1 B.－1 C.－2 D.0 2.如果一质点的运动方程为s ＝2t 3(位移单位：米；时间单位：秒)，则该质点在t ＝3秒时的瞬时速度为( )米/秒。

A.6B.18C.54D.813.(x －1x)10的展开式中x 4的系数是 A.－210 B.－120 C.120 D.2104.导数公式“()()()2f x g x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦”中分子应为 A.f(x)g'(x)－f'(x)g(x) B.f'(x)g(x)－f(x)g'(x)C.f(x)g(x)－f"(x)g'(x)D.f'(x)g'(x)－f(x)g(x)5.平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是A.100πB.3C.20πD.5003π 6.5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有 种。

A.24B.36C.48D.727.已知282828x x C C -=，则x 的值为A.6B.8C.12D.8或128.若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系为 A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>a>c二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

高二下学期期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知双曲线：是一条渐近线与轴正半轴所成夹角为，则的离心率为C 22221(0,0)x y a b a b -=>>x 3πC （ ）A. 2B. 3C.D.【答案】A 【解析】【分析】首先表示出双曲线的渐近线，依题意可得，再根据离心率公式计算可得； tan 3b a π=【详解】解：双曲线：的渐近线为，C 22221(0,0)x y a b a b -=>>b y x a=±依题意，tan 3b a π==所以双曲线的离心率；2c e a =====故选：A2. 已知，那么函数在处的瞬时变化率为（ ）()sin 2f x x =2x π=A. 1 B. 0C.D.2-1-【答案】C 【解析】【分析】根据简单复合函数的导函数计算规则求出函数的导函数，再代入计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以， ()sin 2f x x =()2cos 2f x x '=2cos 2222f ππ⎛⎫⎛⎫'=⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数在处的瞬时变化率为，2x π=2-故选：C3. 用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（ ） A. 125种 B. 100种C. 64种D. 60种【答案】B 【解析】【分析】首先确定百位数字，再根据允许有重复数字，即可确定十位与个位的数字，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：首先排百位数字，只能是1，2，3，4中的一个，故有4种排法， 因为允许有重复数字，故十位与个位均有5种排法，故一共有种； 455100⨯⨯=故选：B4. 函数的大致图像为（ ） 22()f x x x=+A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】利用导数求出的单调性即可选出答案.()f x 【详解】由可得， 22()f x x x =+()322212()2x f x x x x-'=-=所以由可得，由可得且， ()0f x '>1x >()0f x '<1x <0x ≠所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x ()(),0,0,1-∞()1,+∞故选：D5. 满足条件的自然数有（）23n n A C >n A. 7个 B. 6个C. 5个D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据排列数和组合数公式化简可得，再根据，且可得答案. 8n <3n ≥*n N ∈【详解】由得，即，23n n A C >(1)(2)(1)321n n n n n --->⨯⨯8n <又，且，所以. 3n ≥*n N ∈3,4,5,6,7n =故选：C.【点睛】本题考查了排列数与组合数公式，属于基础题.6. 过点作圆的切线，则切线的方程为（ ） (3,5)A 22(2)(3)1x y -+-=A. x =3或3x +4y －29=0 B. y =3或3x +4y －29=0 C. x =3或3x －4y +11=0 D. y =3或3x －4y +11=0【答案】C 【解析】【分析】设切线的斜率为k ，则切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径求得值得350kx y k --+=k 切线方程，同时检验斜率不存在的直线是否为切线即可得． 【详解】由圆的方程可得圆心坐标为，半径为1，(2,3)当过点的切线斜率存在时，设切线的斜率为k ，则切线方程为，(3,5)A 350kx y k --+=，解得，1=34k =所以切线方程为，34110x y -+=当过点的切线斜率不存在时，切线方程为， (3,5)A 3x =所以过点的圆的切线方程为或， (3,5)A 3x =34110x y -+=故选：C ．7. 若点，分别是函数与图象上的动点（其中是自然对数的底数），则的A B 4e x y x =-33y x =-e AB 最小值为（ ）B.D. 174910【答案】A 【解析】【分析】设，，设与平行且与相切的直线与切于()4e x f x x =-()33g x x =-()g x ()f x ()f x ，由导数的几何意义可求出点的坐标，则的最小值为点到直线的距离()000,4e x P x x -P AB P 33y x =-【详解】设，，()4e x f x x =-()33g x x =-()14e x f x =-'令且当时，，； ()02ln 2f x x =⇒=-'2ln 2x <-()0f x '>()f x A 当时，，2ln 2x >-()0f x '<()f x A 设与平行且与相切的直线与切于()g x ()f x ()f x ()000,4e xP x x -． ∴()00014e 30x f x x =-=-⇒='∴(0,4)P -则到直线的距离为 P ()g x d ==min ()AB =故选：A ．8. 已知，，（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系为（ ）321e 2a =e b =432e 3c =e a b c A. B. C. D.a b c >>b c a >>b a c <<b c a <<【答案】B 【解析】【分析】构造函数，则，，，然后()()2e xf x x =-+32321e 2f a ==⎛⎫ ⎪⎝⎭()e 1b f ==43432e 3f c ==⎛⎫⎪⎝⎭利用的单调性可比较出答案.()f x 【详解】构造函数，则，，，()()2e xf x x =-+32321e 2f a ==⎛⎫ ⎪⎝⎭()e 1b f ==43432e 3f c ==⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，所以当时，，单调递减， ()()1e xf x x '=-+[)1+x ∈∞，()0f x '≤()f x 因为，所以， 43132<<b c a >>故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9. 已知函数在区间上单调递增，则符合条件的实数的取值可以是3213()ln 32f x x x a x =--()0,+∞a （ ） A. 1 B.C.D.2-4-5-【答案】CD 【解析】【分析】由条件可得在区间上恒成立，然后可得，然后利用2()30af x x x x'=--≥()0,+∞323a x x ≤-导数求出右边的最小值即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 3213()ln 32f x x x a x =--()0,+∞所以在区间上恒成立， 2()30af x x x x'=--≥()0,+∞由可得， 230ax x x--≥323a x x ≤-令，则，()323g x x x =-()236g x x x '=-由可得，由可得， ()0g x '>2x >()0g x '<02x <<所以在上单调递减，在上单调递增，所以()g x ()02,()2,+∞()()min 24g x g ==-所以 4a ≤-故选：CD10. 3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（ ） A. 共有60种不同的坐法 B. 空位不相邻的坐法有72种 C. 空位相邻的坐法有24种 D. 两端不是空位的坐法有18种 【答案】ACD 【解析】【分析】按照题目给定的条件排列即可.【详解】对于A ， ，故A 正确；3554360A =⨯⨯=对于B ，相当于先排好这3个人有 种排法，然后把2个空位插在3个人中间，33A 故有 种插法， ，故B 错误； 24C 234336C A =对于C ，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中， ，134324C A =故C 正确；对于D ，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端， 第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有 种， 123318C A =故D 正确； 故选：ACD.11. 弦经过抛物线：的焦点，设，，下列说法正确的是AB C ()220y px p =>F ()11,A x y ()22,B x y （ ） A. B. 的最小值为1AF x p =+AB 2p C. D. 以弦为直径的圆与准线相切212y y p =-AB 【答案】BCD 【解析】【分析】首先得出焦点坐标和准线方程，然后由抛物线的定义可判断A ，设弦所在的直线方程为AB ，然后联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，2p x my =+21212,2y y pm y y p +==-，然后可判断BCD.()212122x x m y y p pm p +=++=+【详解】焦点为，准线为，，故A 错误，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭2p x =-12p AF x =+设弦所在的直线方程为，由可得， AB 2p x my =+222p x p y y m x⎧=+⎪⎨⎪⎩=2220y pmy p --=所以，，故C 正确，21212,2y y pm y y p +==-()212122x x m y y p pm p +=++=+所以，所以当时最小，最小值为，故B 正确，12222p A p p x m B x =+=++0m =AB 2p 的中点的横坐标为， AB 21222x x ppm +=+所以以弦为直径的圆的圆心到准线的距离为， AB 221212222x x p p pm pm p AB +=++=+=所以以弦为直径的圆与准线相切，故D 正确， AB 故选：BCD12. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下[]1,5-()f x ()f x '()f x 列关于函数的结论正确的是（ ）()f xx 1-0 2 4 5 ()f x 13132A. 函数的极大值点的个数为2()f x B. 函数的单调递增区间为()f x ()()1,02,4-⋃C. 当时，若的最小值为1，则t 的最大值为2[]1,x t ∈-()f x D. 若方程有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ()f x a =()1,2【答案】AD 【解析】【分析】由导函数图象得原函数的单调性可判断AB ；由单调性结合函数值表可判断CD.【详解】由图知函数在区间[-1,0]上单调递增，在区间[0,2]上单调递减，在区间[2,4]上单调递增，在()f x 区间[4,5]上单调递减，所以在处有极大值，故A 正确；单调区间不能写成并集，故B 错误；0,4x x ==因为函数，且在区间[2,4]上单调递增，所以存在使得，易()()21,43f f ==()f x []02,4x ∈()02f x =知，当时，在区间的最小值为1，故C 不正确；由函数值表结合单调性作出函数草图0t x =()f x []1,t -可知D 正确. 故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 2022年北京冬奥会期间，小明收藏了4个冰墩墩和5个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物赠送友人，其中至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有__________种． 【答案】 70【解析】【分析】分选1个冰墩墩和2个雪容融与选2个冰墩墩和1个雪容融两种情况讨论，按照分类加法与分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：若选1个冰墩墩和2个雪容融，则有种； 1245C C =40若选2个冰墩墩和1个雪容融，则有种； 2145C C =30综上可得一共有种； 403070+=故答案为：7014. 做一个无盖的圆柱形水桶，其体积是，则当圆柱底面圆半径__________时，用料最省． 27πr =【答案】 3【解析】【分析】设圆柱的高为，半径为则由圆柱的体积公式可得，要使用料最省即求全面积的最小h r 227h r=值，而，令，结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数取得最小值22S r rh ππ=+全面积()S f r =()f r 时的半径【详解】解：设圆柱的高为，半径为，则由圆柱的体积公式可得 h r (0)r >227r h ππ=所以 227h r=所以 2222275422S r rh r r r r rππππππ=+=+⋅=+全面积令，，则，()S f r =(0)r >322542(27)()2r f r r r r πππ-'=-=令解得，令可得，()0f r '>3r >()0f r <<03r <<在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值即最小值，()f r ∴(0,3)[3,)+∞()f r 3r =即当时，圆柱的表面积（不包含上底面）最小，即用料最省； 3r =故答案为：315. 若函数f （x ）=lnx-ax 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】函数有两个不同的零点，转化为函数与函数有两个不同的交点，()ln f x x ax =-ln y x =y ax =根据图像求解临界情况，得出结果．【详解】解：函数有两个不同的零点， ()ln f x x ax =-即有两个不同的解，ln 0x ax -=等价于函数与函数的图像有两个不同的交点，ln y x =y ax =当直线与曲线相切时，只有一个交点，此时为临界情况，y ax =ln y x =设切点为，则可得，解得，00(,)x y 00000ln 1y x y ax ax ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩0011x e y a e ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩根据图像可以得到，当时，直线与曲线有两个交点， 10a e<<y ax =ln y x =故答案是． 10a e<<【点睛】本题考查了函数的零点问题，函数的零点问题可以转化为两个函数的交点问题，然后通过对临界情况的分析，得出参数的取值范围．16. 如图，过原点的直线与圆有一个交点，已知，为圆上相异两点且满足O L O ()3,4A B C O ，则直线的方程为__________．85BC OA =BC【答案】 453y x =±【解析】【分析】由条件可得，圆的半径为5，然后求出圆心到直线的距离，然后可求4,83BC k BC ==O O BC 出答案.【详解】因为，所以，即圆的半径为5， ()3,4A 4,53OA k OA ==O 因为，所以，85BC OA = 4,83BC k BC ==设直线的方程为，即，BC 43y x m =+4330x y m -+=因为，圆的半径为5，所以圆心到直线， 8BC =O O BC 3=，解得，即直线的方程为， 3=5m =±BC 453y x =±故答案为： 453y x =±四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知，且在处取得极值. ()2exx af x -=()f x 4x =（1）求的解析式；()f x （2）求在上的最小值.()f x []4,5x ∈-【答案】（1） ()28exx f x -=（2） 24e -【解析】【分析】（1）利用求得，由此求得的解析式.()'40f =a ()f x （2）利用导数求得在区间上的最小值.()f x []4,5-【小问1详解】，， ()2'2e x x x a f x -+=()2'4244408e a f a ⨯-+==⇒=此时， ()()()()22'24e 8e 8,2e x xx x f x x x x f x x -+--+==-=所以在区间递减； ()f x ()()()()',2,4,,0,fx f x -∞-+∞<在区间递增，()()()'2,4,0,f x f x ->所以在处取得极值符合题意. ()f x 4x =所以. ()28ex x f x -=【小问2详解】由（1）知在区间递减；在区间递增，()f x ()()()4,2,4,5,f x --()()2,4,f x -， ()()251724e ,5ef f -=-=所以在区间上的最小值为.()f x []4,5-24e -18. 已知圆C ：x 2+y 2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】x-y-4=0或x-y+1="0. "【解析】【详解】试题分析：假设存在，并设出直线方程y ＝x ＋b ，然后代入圆的方程得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得到根的关系，最后利用OA ⊥OB 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，得到参数b 的方程求解即可．试题解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋b ①圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0．②联立①②消去y ，得2x 2＋2（b ＋1）x ＋b 2＋4b －4＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有③因为以AB 为直径的圆经过原点，所以OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝（x 1＋b ）（x 2＋b ）＝x 1x 2＋b （x 1＋x 2）＋b 2，所以2x 1x 2＋b （x 1＋x 2）＋b 2＝0，把③代入：b 2＋4b －4－b （b ＋1）＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0， 解得b ＝1或b ＝－4，故直线l 存在，方程是x －y ＋1＝0，或x －y －4＝0．考点：存在性问题．【方法点睛】存在性问题，首先应假设存在，然后去求解．对本题来说具体是：设出直线方程y ＝x ＋b ，然后分析几何性质得到OA ⊥OB 即得到关于参数b 的方程求解即可．解该类问题最容易出错的的地方是，忽视对参数范围的考虑，即直线方程与圆的方程联立求解后应得到，即求出的b 值必须满足b 的范围，否则无解．19. 在①第5项的系数与第3项的系数之比是，②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，③14:3这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答． 221C C 10n n n-+-=问题：已知在的展开式中，__________． 1n x ⎫⎪⎭（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含的项．2x 【答案】（1）； 256252T x -=（2）.2345T x =【解析】【分析】（1）不管选哪个条件，都可以求出，然后可求出答案；10n =（2）写出展开式的通项，然后可得答案.【小问1详解】若选①，第5项的系数与第3项的系数之比是，14:3则，求得，42:14:3n n C C =10n =当二项式系数 最大时，，即第六项的二项式系数最大， r n C =5r此项为． 525556101·252T C x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，则， 212(1)5522n n n n n n n C C n --++=+==，当二项式系数 最大时，，即第六项的二项式系数最大，10n ∴=r n C =5r此项为． 525556101·252T C x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭若选③，，， 221(1)·(1)1022n n nn n n n C C -++--==-10n ∴=当二项式系数 最大时，，即第六项的二项式系数最大，r n C =5r此项为． 525556101·252T C x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭【小问2详解】该二项式的通项公式为， 10113520101·r r r r r T C x x C --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令，求得，故展开式中含的项为． 3522r -=2r =2x 2345T x =20. 如图，在几何体中，平面，平面，，，又SABCD AD ⊥SCD BC ⊥SCD 2AD CD ==1BC =，．2SD =120SDC ︒∠=（1）求 与平面所成角的正弦值；SC SAB （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.SAD SAB【答案】（1（2 【解析】【详解】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用公式即可；sin cos ,SC n θ= （2）利用坐标，求两个半平面所在平面的法向量，根据公式求解即可. cos ,n m n m n m⋅=⨯ 试题解析：(1)如图，过点 作的垂线交于，以为原点，D DC SCE D 分别以为轴建立空间直角坐标系.,,DC DE DA ,,x y z ∵，0120ADC ∠=∴，030ADE ∠=又，则点到轴的距离为1，到2SD =S y x 则有，，，，.()0,0,0D ()S -()0,0,2A ()2,0,0C ()2,0,1B （1）设平面的法向量为， SAB (),,n x y z =∵， ()2,0,1AB =- ()2AS=-- 则有，取， 2020x z x z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩x =得，又，n = ()3,SC = 设与平面所成角为，SC SAB θ则，sin cos ,SC n θ=== 故与平面所成角的. SC SAB （2）设平面的法向量为， SAD (),,m x y z =∵，，()0,0,-2AD = ()2AS =--则有，取，得， 2020z x z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩x =)m = ∴cos ,n m n m n m ⋅===⨯故平面与平面SAD SAB点睛：本题考查线面角的求法，以及二面角的余弦的求法，属于中档题.对于能够建立空间直角坐标系的问题，要优先考虑坐标法来处理，对于第一问，要先求面的一个法向量，然后利用两个向量的夹角公式处理，利用求得的法向量来求二面角的余弦值后，要注意角是锐角还是钝角.21. 已知，函数． a ∈R ()ln 1a f x x x=+-（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程．1a =()y f x =(2,(2))f （Ⅱ）求在区间上的最小值．()f x (0,e]【答案】（）．（）见解析.144ln 240x y -+-=2【解析】【详解】试题分析：（1）求出f'（x ），得切线的斜率，又曲线的切点为（2，f （2）），由点斜式可()2f '写出切线方程；（2）借助于导数，将函数的最值问题转化为导函数进行研究．分，，()ln 1a f x x x=+-0a ≤0e a <<三种情况讨论函数的最值情况. e a ≥试题解析：（）当时，，， 11a =()1ln 1f x x x =+-()0,x ∈+∞∴，， ()22111x f x x x x -=-+='()0,x ∈+∞∴，即曲线在点处的切线斜率为． ()124f '=()y f x =()()2,2f 14又∵， ()1222f ln =-∴曲线在点处的切线方程为， ()y f x =()()2,2f ()11ln2224y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭即．44ln240x y -+-=（）∵，∴． 2()ln 1a f x x x =+-()221a x a f x x x x-=-+='令，得．()0f x '=x a =①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．0a ≤()0f x '>()f x (0,e]()f x ②若，当时，，函数在区间上单调递减，0e a <<()0,x a ∈()0f x '<()f x ()0,a 当时，，函数在区间上单调递增，(,e]x a ∈()0f x '>()f x (,e]a 所以当时，函数取得最小值．x a =()f x ln a ③当，则当时，，函数在区间上单调递减，e a ≥(0,e]x ∈()0f x '≤()f x (0,e]所以当时，函数取得最小值． e x =()f x ea 综上所述，当时，函数在区间上无最小值．0a ≤()f x (0,e]当时，函数在区间上的最小值为．0e a <<()f x (0,e]ln a 当时，函数在区间上的最小值为． e a ≥()f x (0,e]e a 22. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：的离心率为，且过点． ()222210x y a b a b+=>>12()2,3（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ ()3,0R 分别交直线于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，163x =1k 2k 12k k 求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1） 2211612x y +=（2）是定值，定值为 127-【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆方程.,a b （2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得两点的坐标，由此计算出l ,M N 为定值. 12127k k =-【小问1详解】由题意知，22222124491c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪=⎧⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为：. 2211612x y +=【小问2详解】设直线l 的方程为，，，，3x my =+()11,P x y ()22,Q x y ()4,0A -， ()22223334483448x my my y x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩∴，， ()223418210m y my ++-=1212221821,3434m y y y y m m --+=⋅=++直线AP 方程为：， ()1144y y x x =++令得， 163x =()112834y y x =+∴，同理，()112816,334y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭()222816,334y N x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭∴ ()()()()()()121212121212122828161633347374477y y y y y y k k x x y x x my my =⋅⋅==++++++()2221212222116213421187497493434m m m y y m y y m m m m -⋅-+==--+++⋅+⋅+++。

2022-2023学年高二数学下学期期中模拟卷01一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知2251818C C x x +-=，则2A x =（）A ．30B ．42C ．56D ．72【答案】B【解析】因为2251818C C x x +-=，故225x x +=-，或22518x x -=++，故7x =，则27A 7642=⨯=．故选B ．2．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱11C D ，1BB 的中点，记AB a = ，AD b =，1AA c = ，则EF等于（）A ．12a b c++ B ．3322a b c++ C ．1122a b c--D ．1122a b c--+【答案】C3．已知离散型随机变量X 的分布列(1,2,3,4,5)5k P X ak k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则13105P X ⎛⎫<<=⎪⎝⎭（）A ．1B ．23C ．15D ．13【答案】C4．已知()()311nx x -+的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含有3x 的项的系数为（）A ．20B ．30C ．45D ．60【答案】A【解析】令1x =，则2264n ⋅=，解得：5n =；则()1nx +展开式的通项为：55r rC x -，令52r -=，解得：3r =，则5333553330r rxC xC x x -==；令53r -=，解得：2r =，则2335110C x x -⋅=-；∴展开式中含有3x 的项的系数为301020-=．故选A ．5．若(2x －3)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5，则a 0＋a 2＋a 4等于()A ．244B ．1C ．－120D ．－121【答案】D6．若单位向量(),,0OA m n = 与向量()1,1,1OB = 的夹角等于π4，则mn =（）A ．14B ．14-C ．34D ．34-【答案】A【解析】由已知可得，n OB OA m ⋅+=，1OA = ，OB = 又OA 、OB 的夹角为π4，则πcos 4O A OB OB A O ⋅=⋅ ，即62m n +=．又1OA ==uu r ，所以221+=m n ．所以()()222212122m n m n mn ⎛⎫+-+==-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以14mn =．故选A ．7．一名刚入伍的士兵带着一把步枪到练习场地打靶，已知此步枪每次只装3发子弹，若命中目标或子弹打完，则停止练习．新兵第一枪命中靶标的概率为0．7，第二枪命中靶标的概率为0．4，第三枪命中靶标的概率为0．3，则在已知靶标被击中的条件下，士兵开第二枪命中的概率为（）A ．60437B ．200437C ．15107D ．60473【答案】A【解析】记事件A 为“士兵第一次击中靶标”，B 为“士兵第二次击中靶标”，C 为“士兵第三次击中靶标”，D 为“靶标被击中”，则()()()()()0.70.0.8730.40.30340.6.P D P A B C P A P B P C =++=++=+⨯+⨯⨯=，()0.30.40.12P B =⨯=，所以()()0.1260(|)()()0.874437P BD P B P B D P D P D ====．故选：A ．8．如图所示，A ，B 两点共有5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2．现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则()8P ξ≥的值为（）A ．35B ．34C ．23D ．45【答案】D【解析】由已知得，ξ的可能取值为7,8,9,10，故()8P ξ≥与()7P ξ=是对立事件，所以P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝212235C C 1C -＝45．故选D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知空间中三点A （0，1，0），B （1，2，0），C （－1，3，1），则正确的有（）A ．AB 与AC是共线向量B ．平面ABC 的一个法向量是（1，－1，3）C ．AB 与BC 夹角的余弦值是36-D ．与AB方向相同的单位向量是（1，1，0）【答案】BC【解析】对A ，(1,1,0)AB = ，(1,2,1)AC =- ，因为1112≠-，显然AB 与AC 不共线，A 错误；对B ，设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =，则020AB n x y AC n x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-++=⎩，令1x =，得(1,1,3)n =-，B 正确；对C ，()2,1,1BC =- ，1(2)113cos ,611411AB BC AB BC AB BC⋅==-+⨯++，C 正确；对D ，AB 方向相同的单位向量110110110++++++，即22,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D 错误．故选BC ．10．设随机变量X 的可能取值为1,2,,n ⋅⋅⋅，并且取1,2,,n ⋅⋅⋅是等可能的．若()30.4P X <=，则下列结论正确的是（）A ．5n =B ．()10.1P X ==C ．()3E X =D ．()3D X =【答案】AC【解析】由题意1(),1,2,,P X k k n n=== ，2(3)(1)(2)0.4P X P X P X n <==+===，5n =，A 正确；1(1)0.25P X ===，B 错误；1()(12345)35E X =++++⨯=，C 错误；222221()[(13)(23)(33)(43)(53)]25D X =-+-+-+-+-=．D 错误．故选AC ．11．已知2nx⎛⎝的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A ．二项展开式中无常数项B ．二项展开式中第3项为3240xC ．二项展开式中各项系数之和为63D ．二项展开式中二项式系数最大的项为2160x 【答案】BC【解析】因为2nx⎛⎝的二项展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式的通项公式62x⎛⎝为36662166(2)2rr r r r r r T C x C x---+==⋅⋅，对于A ，令3602r -=，则4r =，所以二项式展开式的第5项为常数项，所以A 错误，对于B ，令2r =时，4233362240TCxx=⋅⋅=，所以B 正确，对于C ，令1x =，则二项展开式中各项系数之和为()66213+=，所以C 正确，对于D ，因为二项式展开式中共有7项，所以第4项的二项式的系数最大为33633322462160TCxx-⨯=⋅⋅=，所以D 错误．故选BC ．12．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n 关要抛掷骰子n 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n n +，则算闯过第n 关，1,2,3,4n =．假定每次闯关互不影响，则（）A ．直接挑战第2关并过关的概率为712B ．连续挑战前两关并过关的概率为524C ．若直接挑战第3关，设A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则()113P A B =D ．若直接挑战第4关，则过关的概率是351296【答案】ACD【解析】对于A ，直接挑战第2关，则22226n n +=+=，所以投掷两次点数之和应大于6，故直接挑战第2关并过关的概率为112345676612P +++++==⨯，故选项A 正确；对于B ，闯第1关时，2213n n +=+=，所以挑战第1关通过的概率为212P =，则连续挑战前两关并过关的概率为1217721224P PP ==⨯=，故选项B 错误；对于C ，由题意可知，抛掷3次的基本事件有36216=个，抛掷3次至少出现一个5点的基本事件共有336521612591-=-=个，故91()216P B =，而事件AB 包括：含5，5，5的1个，含4，5，6的有6个，一共有7个，故7()216P AB =，所以()72161(|)()2169113P AB P A B P B ==⨯=，故选C 正确；对于D ，当4n =时，422420n n +=+=，基本事件共有46个，“4次点数之和大于20”包含以下情况：含5，5，5，6的有4个，含5，5，6，6的有6个，含6，6，6，6的有1个，含4，6，6，6的有4个，含5，6，6，6的有4个，含4，5，6，6的有12个，含3，6，6，6的有4个，所以共有4614412435++++++=个，所以直接挑战第4关，则过关的概率是4353566661296P ==⨯⨯⨯，故选项D 正确．故选ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．4(2)(3)y x --的展开式中含3x y 项的系数▲．【答案】12-．【解析】444(2)(3)(3)(3)2x x y y x -----=，4(3)y x -的展开式中3x y 项为：()3334C 312y x x y ⋅⋅-=-，4)2(3x --的展开式中没有3x y 项，故4(2)(3)y x --的展开式中含3x y 项的系数为12-．故答案为：12-．14．若1015A 151413m =⨯⨯⨯⨯L ，则正整数m =▲．【答案】6【解析】∵101515!A 15141365!==⨯⨯⨯⨯L ，所以6m =．故答案为：6．15．2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者．将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种．（用数字作答）【答案】36【解析】将4名同学按2,1,1分成3组有24C 种方法．再将这3组分配到3个比赛场馆，共有33A 种．则所有分配方案共有234336C A ⋅=种．故答案为36．16．如图，正三棱柱111ABC A B C -为的底面边长为2，侧棱长为2，则1AC 与BC 所成的角的正弦值为▲．【答案】144【解析】正三棱柱111ABC A B C -为的底面边长为2，侧棱长为2，则2AC BC ==，1AC ==，11,CC AC CC AB ⊥⊥，又11AC AC CC =+ ，BC AC AB=-，()()221111122222AC BC AC CC AC AB AC AC AB CC AC CC AB ⋅=+⋅-=-⋅+⋅-⋅=-⨯⨯=，1112cos ,4AC BC AC BC AC BC ⋅∴==，则1AC 与BC 所成的角的正弦值为4=．故答案为4．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）有编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子和四个不同的小球，现把四个小球都逐个随机放入盒子里．（用数字作答）（1）求恰有一个盒子没放球的概率；（2）若四个盒子都有球，且编号为1的小球不能放入编号为1的盒子中，有多少种不同的放法？【解析】（1）每个球都有4种放法，故有4444256⨯⨯⨯=种不同的放法，选出一个盒子为空，再从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，则共有123443144C C A =种不同的放法，故所求概率为144925616=；…………5分（2）先放1号球，有3种放法，其余三个球在三个位置全排列，133318C A =；……10分18．（12分）请从下列三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．①第2项与第3项的二项式系数之比是25；②第2项与第3项的系数之比的绝对值为45；③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大．已知在(2x －1x)n (n ∈N *)的展开式中，．(1)求展开式中的常数项，并指出是第几项：(2)求展开式中的所有有理项．(注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．)【解析】选择①：（1）因为1222(1)152n nC n n n C n ===--，所以n =6．（2分）展开式的通项为36662166(2)((1)2r r rr r r rr T C x C x ---+==-，令3602r -=得r =4．（4分）所以3464644256(1)260T C x⨯--=-=，所以展开式中的常数项是第5项，并且为60．（6分）（2）根据（1）展开式中的通项得，当r =0,2,4,6时，展开式中对应的项为有理项．（8分）当r =0时，606616264T C x x ==，同理33240T x =，560T =，37T x -=．（10分）所以展开式中的有理项为第1,3,5,7项，分别为664x ，3240x ，60，3x -．（12分）选择②：（1）展开式的通项为321(1)2r n rn rr r nT C x--+=-，所以第2项与第3项的系数分别112n n C --，222n n C -．所以11222244(1)2152n n n nC n n n C n --===--，所以n =6．（2分）以下同选择①．选择③：因为展开式中有且只有第四项的二项式系数最大，即有且只有3n C 最大，所以n =6．（2分）以下同选择①．19．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 是斜边PA的长为的等腰直角三角形，E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，M 是棱BC上一点．（1）求证：平面DFM ⊥平面PBC ；（2）若直线MF 与平面ABCD 所成角的正切值为，求锐二面角E ﹣DM ﹣F 的余弦值．【解析】证明：（1）依题意可得：PD ⊥DA ，DP ＝DA ＝DC ＝2，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，且PD ⊥AD ，∴PD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又∵BC ⊥DC ，PD ∩DC ＝D ，DC 、PD ⊂平面PDC ，∴BC ⊥平面PDC ，又DF ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DF ，又在Rt △PDC 中，F 是PC 中点，则有DF ⊥PC ，∵DF ⊥BC ，DF ⊥PC ，PC ∩BC ＝C ，且BC 、PC ⊂平面PBC ，∴DF ⊥平面PBC ，又∵DF ⊂平面DFM ，∴平面DFM ⊥平面PBC ；（2）取CD 的中点N ，连接FN 、MN ，以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，∵FN ⊥平面ABCD ，∴直线MF 与平面ABCD 所成角为∠FMN ，∵直线MF 与平面ABCD 所成角的正切值为，∴，则MN ＝，∴CM ＝＝，可得M 是BC 靠近C 的三等分点，则，∴＝（﹣1，0，﹣1），＝（，2，0），设平面EDM 的法向量为＝（x ，y ，z ），则⇒，令x ＝﹣3，则平面EDM 的法向量为＝（﹣3，1，3），同理平面DMF 的法向量，∴，所以锐二面角E ﹣DM ﹣F 的余弦值是．20．（12分）如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC =，点E 为AD 的中点，设OA a,OB b,OC c === .（1）试用向量,,a b c表示向量OE；（2）若4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠====== ，求OE AC ⋅的值.【解析】（1）因为点E 为AD 的中点，所以111()222OE OA OD OA OD =+=+，因为2BD DC =，所以13BD BC = ，所以1121()3333OD OB BC OB OC OB OB OC =+=+-=+ ，所以11211111112233236236OE OA OB OC OA OB OC a b c ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭；（2）由（1）得111236OE a b c =++，因为4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠======，AC OC OA c a =-=-，所以()111236OE AC a b c c a⎛⎫⋅=++⋅- ⎪⎝⎭ 22111111223366a c a b c a b c a c =⋅-+⋅-⋅+-⋅221111132336a c abc a b c =⋅-+⋅-⋅+ 221111144cos 60434cos 6034cos 60432336=⨯⨯︒-⨯+⨯⨯︒-⨯⨯︒+⨯11144816326=⨯⨯⨯-+⨯83=-.21．（12分）小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．表1购买实物商品(元)(0,100)[100,500)[500,1000)积分246概率141214表2购买虚拟商品(元)(0,20)[20,50)[50,100)[100,200)积分1234概率13141416(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；(2)求小张一个月积分不低于8分的概率；(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X 的分布列与均值．【解析】(1)小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为12＋14＝34，购买虚拟商品不低于100元的概率为16，因此所求概率为34×16＝18.(2)根据条件，积分不低于8分有两种情况：①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2,3,4分；②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，故小张一个月积分不低于8分的概率为14×＋12×16＝14.(3)由条件可知X 的可能取值为3,4,5.P (X ＝3)＝1313＋14＋14＝25，P (X ＝4)＝P (X ＝5)＝1413＋14＋14＝310，即X 的分布列如下：X 345P25310310E (X )＝3×25＋4×310＋5×310＝3910.22．（12分）在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．条件①：“展开式中所有项的系数之和是所有二项式系数之和的256倍”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为37”．问题：已知二项式()13nx +，若______(填写条件前的序号)，m 、n 为正整数．（1）求()()5131nx x +-展开式中含2x 项的系数；（2）求()13nx +展开式中系数最大的项；（3）写出()13m x +展开式中系数最大项是第几项？(不要求推导过程)．【解析】（1）选①，则42562nn =，解得8n =；选②，则012C C C 37n n n ++=，解得8n =；∴()()5131nx x +-＝()()85131x x +-中2x 项的系数为：22111225858C (1)C 3C (1)C 310120252142-+⋅⋅-+⋅-+＝＝；（2）()813x +展开式的通项为18C 3r r rr T x +=，设第1r +项系数最大，则11881188C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，解得232744r ≤≤，∵r ∈*N ，∴6r =，∴()813x +展开式中系数最大的项为666678C 320412T x x =⨯⋅=⋅；（3）()13mx +展开式的通项为1C 3km k k k T x +=，设第1k +项系数最大，则1111C 3C 3C 3C 3k k k k m m k k k k m m --++⎧≥⎨≥⎩，则311131k m k m k k ⎧⎪⎪-+⎨⎪⎪-+⎩ ，解得313344m m k -+≤≤，即33331144m m k ++≤+≤+，定义y ＝[x ]为取整函数，n ∈Z ，当n ≤x ＜n ＋1时，[x ]＝n ，则当334m +为整数时，()13mx +展开式中系数最大项为第334m +项或3314m ++项；当334m +不为整数时，为第3314m +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦项。