2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则习题新人教A版选修

1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成□01x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作□02y ＝f [g (x )]． 在复合函数中，内层函数u ＝g (x )的值域必须是外层函数y ＝f (u )的定义域的子集．2．复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即y x ′＝□03y u ′·u x ′，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导．使用复合函数求导法则的注意事项(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin2x )′＝2cos2x ，不能得出(sin2x )′＝cos2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x(x ＋1)．( ) (3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)若f (x )＝2x ＋3，则f ′(x )＝________.(2)函数f (x )＝2sin x －cos x ，则f ′(x )＝________. (3)函数f (x )＝－2x ＋1，则f ′(x )＝________.答案 (1)2 (2)2cos x ＋sin x (3)2x ＋12探究1 简单复合函数求导问题 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln (6x ＋4)； (3)y ＝sin(2x ＋1)；(4)y ＝3x ＋5.[解] (1)∵y ＝(3x －2)2由函数y ＝u 2和u ＝3x －2复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝6u ＝18x －12.(2)∵y ＝ln (6x ＋4)由函数y ＝ln u 和u ＝6x ＋4复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(6x ＋4)′＝6u ＝66x ＋4＝33x ＋2.(3)函数y ＝sin(2x ＋1)可以看作函数y ＝sin u 和u ＝2x ＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(2x ＋1)′＝2cos u ＝2cos(2x ＋1)．(4)函数y ＝3x ＋5可以看作函数y ＝u 和u ＝3x ＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(u )′·(3x ＋5)′＝32u ＝323x ＋5.拓展提升复合函数求导的步骤【跟踪训练1】 求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝esin x；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．解 (1)设y ＝u12 ，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12 )′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u － 12 ·(－4x )＝12(1－2x 2) － 12 (－4x )＝－2x 1－2x 2 . (2)设y ＝e u，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u·cos x ＝e sin xcos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )u ′(2x ＋1)x ′＝10u ln 2＝102x ＋1ln 2.探究2 复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2 求下列函数的导数． (1)y ＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＞0)； (2)y ＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.[解] (1)y ′＝[x (x ＋1)(x ＋2)]′＝x ′(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋1)′(x ＋2)＋x (x ＋1)(x ＋2)′＝(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋2)＋x (x ＋1)＝3x 2＋6x ＋2.(2)设y ＝u 2，u ＝sin ν，ν＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u ν′·νx ′＝2u ·cos ν·2＝4sin νcos ν＝2sin2ν＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.[解法探究] 此题有没有其他解法呢？[解] (1)因为y ＝x (x ＋1)(x ＋2)＝(x 2＋x )(x ＋2)＝x 3＋3x 2＋2x ，所以y ′＝(x 3＋3x 2＋2x )′＝3x 2＋6x ＋2.(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·[ sin ( 2x ＋π3 ) ]′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.拓展提升求复合函数的导数需处理好的几个环节(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量；(2)中间变量的选择应是基本函数结构； (3)关键是正确分析函数的复合层次；(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导； (5)善于把一部分表达式作为一个整体； (6)最后要把中间变量换成自变量的函数． 【跟踪训练2】 求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x2；(2)y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.解 (1)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x2＝错误!.(2)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－sin2x )cos2x ＝－12x sin4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin4x ′＝－12sin4x －x 2cos4x ·4＝－12sin4x －2x cos4x .探究3 导数的综合应用例3 设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解] (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12.①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.拓展提升根据切线方程求出切点及斜率，代入解方程组即可．利用f (x )上任意一点的切线方程求出三角形三顶点坐标即可求三角形面积．高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合：如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解．【跟踪训练3】 已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．解 因为直线l 过原点，所以直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)，由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，所以y 0x 0＝x 20－3x 0＋2.又y ′＝3x 2－6x ＋2，所以k ＝y ′| x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2.又k ＝y 0x 0，所以3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，整理得2x 20－3x 0＝0.因为x 0≠0，所以x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14.因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－38.1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不具备求导法则条件的式子，可适当地进行等价变形，以达到化异求同，化繁为简的目的.2.在可能的情况下，求导时应尽量避免使用积商的求导法则，因此在求导前应利用代数、三角恒等变形对函数式进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，同时提高正确率.1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A ．2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x )C ．e x－e －xD ．e x＋e－x答案 A 解析y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12e x ＋e－x′＝12[(e x )′＋(e －x)′]＝12(e x －e －x)． 3．函数f (x )＝π2x 2的导数是( ) A ．f ′(x )＝4πx B ．f ′(x )＝2πxC ．f ′(x )＝2π2xD ．f ′(x )＝2πx 2＋2π2x答案 C解析 由f (x )＝π2x 2得f ′(x )＝2π2x ，故选C ．4．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________.答案 18解析 f ′(x )＝4x3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝－13，f ′－1＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13⇒a ＋b ＝5＋13＝18.5．设f (x )＝ln (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝ln (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意知32＋a ＝32，故a ＝0.。

1．2.1 常数函数与幂函数的导数1．2.2 导数公式表及数学软件的应用明目标、知重点 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．几个常用函数的导数原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x2.原函数导函数y ＝c y ′＝0 y ＝x n (n ∈N ＋)y ′＝nx n －1 y ＝x μ(x >0，μ≠0且μ∈Q )y ′＝μx μ－1 y ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos x y ′＝－sin_x y ＝a x (a >0，a ≠1)y ′＝a x ln_a y ＝e xy ′＝e x y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)y ′＝1x ln ay ＝ln xy ′＝1x[情境导学]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题． 探究点一 几个常用函数的导数思考1 类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义法求函数y ＝f (x )的导函数？利用定义求下列常用函数的导数： ①y ＝c ，②y ＝x ，③y ＝x 2，④y ＝1x，⑤y ＝x .答 (1)计算ΔyΔx，并化简； (2)观察当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值； (3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导函数． ①y ′＝0，②y ′＝1，③y ′＝2x ，④y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝ lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x x ＋Δx ＝－1x2(其它类同)，⑤y ′＝12x.思考2 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数．(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？答 函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象如图所示，导数分别为y ′＝2，y ′＝3，y ′＝4.(1)从图象上看，函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的导数分别表示这三条直线的斜率． (2)在这三个函数中，y ＝4x 增加得最快，y ＝2x 增加得最慢．(3)函数y ＝kx (k >0)增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢．函数y ＝kx (k <0)减少的快慢与|k |有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k |越大，函数减少得越快，|k |越小，函数减少得越慢．思考3 画出函数y ＝1x的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程．答 函数y ＝1x 的图象如图所示，结合函数图象及其导数y ′＝－1x2发现，当x <0时，随着x 的增加，函数y ＝1x减少得越来越快；当x >0时，随着x 的增加，函数减少得越来越慢．点(1,1)处切线的斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y ＝－x ＋2. 探究点二 基本初等函数的导数公式思考 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度． 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x)′＝5xln 5；(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝(4x 3)′＝(34x )′＝1434x -＝344x；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 反思与感悟 对于教材中出现的基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，然后利用公式求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝(12)x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝1232x ；(4)y ′＝1x ln13＝－1x ln 3. 例2 判断下列计算是否正确．求y ＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：y ′|x ＝π3＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π3′＝－sin π3＝－32. 解 错误．应为y ′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.反思与感悟 函数f (x )在点x 0处的导数等于f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x 0代入导函数求解，不能先代入后求导．跟踪训练2 求函数f (x )＝ln x 在x ＝1处的导数． 解 f ′(x )＝(ln x )′＝1x，∴f ′(1)＝1，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为1. 探究点三 导数公式的综合应用例3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧¼AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大． 解 设P (x 0，y 0)为切点，过点P 与AB 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2， ∴x 0＝1，y 0 ＝1. 故可得P (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧¼AOB上的点，使△ABP的面积最大．反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程．解由题意知：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时，y′取最小值为3，即最小的斜率为3.此时切点坐标为(－1，－14)．∴斜率最小的切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.1．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若y＝1x2，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3. 其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；②y＝3x＝13x，则y′＝13·23x ≠133x；③y＝1x2＝x－2，则y′＝－2x－3；④由f(x)＝3x，知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴①③④正确．2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ， ∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴αl ∈[0，π4]∪[3π4，π)． 4．曲线y ＝e x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.[呈重点、现规律]1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．。

第1讲 导数及其应用（知识点串讲）知识整合考点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆. (2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0()()f x x f x x+∆-∆为f (x )的导函数． 例1、(2018·山东东营期中)曲线f (x )＝x 2－3x ＋2ln x 在x ＝1处的切线方程为____________.【答案】x －y －3＝0 [f ′(x )＝2x －3＋2x ，f (1)＝－2，f ′(1)＝1，故切线方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.][跟踪训练]1、(2019·山东济南联考)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2【答案】B [设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )． 又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )， 所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.]考点2．基本初等函数的导数公式考点3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)()()()()()()()2'''f x f xg x f x g xg x g x⎡⎤-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦(g(x)≠0)．考点4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积．例2、(2019·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝f′(1)x2＋2x＋2f(1)，则f′(2)的值为()A．－2B．0C．－4D．－6【答案】D[由题意f(1)＝f′(1)＋2＋2f(1)，化简得f(1)＝－f′(1)－2，而f′(x)＝2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，f(x)＝－2·x2＋2x＋2f(1)．所以f′(x)＝－4·x＋2.所以f′(2)＝－4×2＋2＝－6.] [跟踪训练]2、(2019·山东临沂期中)设函数f(x)在(0，＋∞)可导，其导函数为f′(x)，若f(ln x)＝x2－ln x，则f′(1)＝________.【答案】2e2－1[设ln x＝t，则x＝e t，∵f(ln x)＝x2－ln x，∴f(t)＝e2t－t，∴f(x)＝e2x－x，∴f′(x)＝2e2x －1，∴f′(1)＝2e2－1.]考点5.与导数相关的重要结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．(3)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．考点6．函数的单调性(1)在(a ，b )内函数f (x )可导，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f ′(x ) ≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数. f ′(x ) ≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数.(2)在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(3)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x ) ≥0(f ′(x ) ≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．例3、(2019·山东青岛模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)【答案】B[f (x )＝x 2＋a x 在x ∈[2，＋∞)上单调递增，则f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2 ≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 则a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 所以a ≤16.][跟踪训练]3、(2019·山东临沂阶段检测)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )＜f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是( )A ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)B ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＞e 2f (0)C ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＞e 2f (0)D ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＜e 2f (0)【答案】A [令()()xf xg x e =，则()()()2''x x x e f x e f x g x e -=＝()()'x f x f x e -.∵f ′(x )＜f (x )，∴g ′(x )＜0，∴g (x )是减函数，则有g (ln 2)＜g (0)，g (2)＜g (0)，即()ln 2ln 2f e ＜()00f e，()()2020f f e e <，所以f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)．]考点7．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(3)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 例4、(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3 C ．5e －3D ．1【答案】A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0，所以a ＝－1. 所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1＞0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x ＜－2时，f ′(x )＞0； －2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；x ＞1时，f ′(x )＞0. 所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.] [跟踪训练]4、(2019·山东淄博模拟)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 【答案】D [因为f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，f ′(x )值有正有负，所以f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不同的根，Δ＝(4c )2－12＞0，解得c ＜－32或c ＞32.]考点8．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．例5、已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.【答案】－13 [f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，根据已知2a3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1，1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1，1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13.]。