天津市红桥区2019_2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)

2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（）A. 1-iB. -1-iC. 1+iD. -1+i【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则解得，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数满足，∴，∴复数的共轭复数等于，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（）A. 7，5，8B. 9，5，6C. 7，5，9D. 8，5，7【答案】B【解析】【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为，故各年龄段抽取的人数依次为，，.故选B 【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.3.已知平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),则向量在向量方向上的投影为( )A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】先根据向量垂直得到(+2),=0，化简得到=﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),∴(+2),=0，即即=﹣2∴向量在向量方向上的投影为=﹣1，故选B．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.5.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.6.设中边上的中线为，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.【详解】如下图所示：为的中点，则，，，，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据题意列出关于、方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【详解】设，其中，则.由题意得，解得，即.故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.8.已知两直线m､n，两平面α､β，且m⊥α，nβ.下面有命题中正确的个数是（）①若α//β，则有m⊥n；②若m⊥n，则有α//β；③若m//n，则有α⊥β；④若α⊥β，则有m//n.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】①由条件可知，再判断结论；②由条件判断是否成立；③由条件可知，再判断结论；④根据面面垂直的性质定理判断.【详解】①若，，则，，则，所以①正确；②若，，不能推出，所以不能推出，所以②不正确；③若，，则，又有，所以，所以③正确；④若，，则或，当，不能推出，所以④不正确.故选：C【点睛】本题考查点，线，面位置关系的判断，重点考查想象，推理能力，属于基础题型.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.9.下列各式中结果为零向量的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据向量加法和减法逐一判断选项，得到正确答案.【详解】A.，所有A正确；B.，不正确；C.，不是零向量；D.，所有D正确.故选：AD【点睛】本题考查向量加减法，属于基础题型.10.（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A中，；选项B中，；选项C中，；选项D中，.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.11.已知锐角，内角、、的对边分别为，，，若，，则边的可能取值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】CD【解析】【分析】由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得的范围，讨论，结合条件可得所求结论.【详解】在中，，，由可得，由于可得，即有若，则，即，为等边三角形成立；若可得，且，即即为，即有成立.故选：【点睛】本题考查正弦定理与三角函数有界性，考查计算能力，属于中等题型.12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下列结论正确的是（）A. AC⊥BDB. △ACD是等边三角形C. AB与平面BCD成角D. AB与CD所成的角是60°【答案】ABD【解析】【分析】首先画出几何体，由线面垂直的性质定理判断A是否正确；根据直二面角的条件计算的长度，判断是否是等边三角形；根据线面角的定义判断C；由异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，取的中点，连结，转化为求或其补角.【详解】A.取的中点，连结,由条件可知，又，所有平面，平面，所有,所以A正确；B.设正方形边长为2，则，且，所有，所以是等边三角形，所以B正确；C.由条件可知平面，所以与平面所成的角为，所以C不正确；D.取的中点，连结，则，则所成的角是或其补角，由以上说明可知，,所以是等边三角形，所以，故AB与CD所成的角是60°，所以D正确.综上可知：ABD正确.故选：ABD【点睛】本题考查线线，线面位置关系，和线面，异面直线所成的角，重点考查推理能力，空间想象能力，属于基础题型.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，则60分为成绩的第__________百分位数.【答案】30【解析】【分析】首先求前两组的频率，根据百分位数的定义直接求结果.【详解】由条件可知前两组的频率是则60分为成绩的第30百分位数.故答案为：30【点睛】本题考查频率分布直方图，重点考查基本概念，属于基础题型.14.已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值.【详解】∵与的夹角为锐角∴，即，解得，当时，与同向，∴实数的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键，属于中档题.15.事件为独立事件，若，则_____．【答案】【解析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出.详解：设,因，所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．16.如图，-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到处时测得公路北侧一山顶在北偏西的方向上，仰角为，行驶米后到达处，测得此山顶在北偏西的方向上，仰角为，若，则此山的高度________米，仰角的正切值为________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】设山的高度（米），由题可得：,,（米）, ,在中利用正弦定理可得:（米）,（米）, 在中,由可得：（米），在中，可得：，问题得解.【详解】设山的高度（米），由题可得：,,（米）,在中，可得：，利用正弦定理可得：，解得：（米）,（米）在中，由可得：（米）在中，可得：【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，还考查了空间思维能力及识图能力，考查转化能力及计算能力，属于中档题．四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且．（1）以，为基底表示向量与；（2）若，，与的夹角为，求．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】(1)由题可得：，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到；(2)先求出，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.【详解】（1）∵平行四边形中，，，，是，的中点，，∴，（2）∵，，与的夹角为，∴，∴．【点睛】本题考查了向量的加法，减法法则，考查了向量数量积的运算，属于较易题.18.某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利73周年”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后，画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）【答案】（1）0.3 （2）；71【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可．（2）求出60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘以各组的频率和为平均值．【详解】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：，频率分布直方图第四小组的纵坐标是：，则频率分布直方图如下图所示：（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为，所以，抽样学生成绩的合格率是，利用组中值估算抽样学生的平均分为：，所以估计这次考试的平均分是71.【点睛】本题考查频率分布直方图、等可能事件的概率等．在频率分布直方图中，数据的平均值等于各组的中点乘以各组的频率之和；频率等于纵坐标乘以组距；属于基础题．19.在校体育运动会中，甲乙丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每场比赛中，甲胜乙的概率为甲胜丙的概率为乙胜丙的概率为（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（2）求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若满足条件只需甲胜乙，甲胜丙，且丙胜乙，写出概率；（2）甲队至少得3分包含甲队恰得3分，和甲队得6分，根据分值判断获胜情况，求得概率.【详解】（1）若甲队获第一名且丙队获第二名，即甲胜乙，甲胜丙，且丙胜乙，即，即甲队获第一名且丙队获第二名的概率是；（2）当甲队恰得3分，即甲队胜了一场，甲胜乙且丙胜甲，或甲胜丙且乙胜甲，当甲恰得6分，即甲队胜了2场，即,那么该次比赛中甲队至少得3分的概率.【点睛】本题考查对立事件同时发生的概率，重点考查读题，抽象概括能力，属于基础题型，本题的关键是正确理解题意.20.已知的内角的对边分别是，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，由二倍角正弦公式得到，然后由正弦定理求解.（2）根据，利用余弦定理，得到，再根据的面积为，得到，两式联立求解.【详解】（1）由，得，由正弦定理，得，由于，所以.因为，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以.①又的面积为，即，即，即.②由①②得，则，得.所以的周长为.【点睛】本题主要考查等正弦定理，余弦定理的应用以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,,垂足为，是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面平面;（Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）因为PH是四棱锥P-ABCD的高．所以AC PH,又AC BD,PH,BD都在平面PHD内,且PHBD=H.所以AC平面PBD.故平面PAC平面PBD.（Ⅱ）因为ABCD为等腰梯形，AB CD,AC BD,AB=.所以HA=HB=.因为APB=ADR=600所以PA=PB=,HD=HC=1.可得PH=.等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+.所以四棱锥的体积为V=x（2+）x=考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I）较为简单，（II）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤．22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3.（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH//平面PAD；（2）求证：⊥平面PCD；（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，连结，由题意得，利用中位线证明；（2）要证明线面垂直，根据判断定理可知需垂直于平面内的两条直线，利用面面垂直的性质定理，取棱中点，连结，再证明；（3）连结，由平面，知是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）连结，由题意得，，又由，得，平面，平面，平面．（2）取棱中点，连结，依题意得，又平面平面，平面平面，平面，又平面，，又，，平面．（3）连结，由（2）中平面，知是直线与平面所成角，是等边三角形，，且为中点，，又，在中，．直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题型.2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（）A. 1-iB. -1-iC. 1+iD. -1+i【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则解得，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数满足，∴，∴复数的共轭复数等于，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（）A. 7，5，8B. 9，5，6C. 7，5，9D. 8，5，7【答案】B【解析】【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为，故各年龄段抽取的人数依次为，，.故选B【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.3.已知平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),则向量在向量方向上的投影为( )A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】先根据向量垂直得到(+2),=0，化简得到=﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),∴(+2),=0，即即=﹣2∴向量在向量方向上的投影为=﹣1，故选B．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.5.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.6.设中边上的中线为，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.【详解】如下图所示：为的中点，则，，，，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据题意列出关于、方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【详解】设，其中，则.由题意得，解得，即.故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.8.已知两直线m､n，两平面α､β，且m⊥α，nβ.下面有命题中正确的个数是（）①若α//β，则有m⊥n；②若m⊥n，则有α//β；③若m//n，则有α⊥β；④若α⊥β，则有m//n.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】①由条件可知，再判断结论；②由条件判断是否成立；③由条件可知，再判断结论；④根据面面垂直的性质定理判断.【详解】①若，，则，，则，所以①正确；②若，，不能推出，所以不能推出，所以②不正确；③若，，则，又有，所以，所以③正确；④若，，则或，当，不能推出，所以④不正确.故选：C【点睛】本题考查点，线，面位置关系的判断，重点考查想象，推理能力，属于基础题型.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.9.下列各式中结果为零向量的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据向量加法和减法逐一判断选项，得到正确答案.【详解】A.，所有A正确；B.，不正确；C.，不是零向量；D.，所有D正确.故选：AD【点睛】本题考查向量加减法，属于基础题型.10.（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A中，；选项B中，；选项C中，；选项D中，.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 11.已知锐角，内角、、的对边分别为，，，若，，则边的可能取值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】CD【解析】【分析】由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得的范围，讨论，结合条件可得所求结论.【详解】在中，，，由可得，由于可得，即有若，则，即，为等边三角形成立；若可得，且，即即为，即有成立.故选：【点睛】本题考查正弦定理与三角函数有界性，考查计算能力，属于中等题型.12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下列结论正确的是（）A. AC⊥BDB. △ACD是等边三角形C. AB与平面BCD成角D. AB与CD所成的角是60°【答案】ABD【解析】【分析】度，判断是否是等边三角形；根据线面角的定义判断C；由异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，取的中点，连结，转化为求或其补角.【详解】A.取的中点，连结,由条件可知，又，所有平面，平面，所有,所以A正确；B.设正方形边长为2，则，且，所有，所以是等边三角形，所以B正确；C.由条件可知平面，所以与平面所成的角为，所以C不正确；D.取的中点，连结，则，则所成的角是或其补角，由以上说明可知，,所以是等边三角形，所以，故AB与CD所成的角是60°，所以D正确.综上可知：ABD正确.故选：ABD【点睛】本题考查线线，线面位置关系，和线面，异面直线所成的角，重点考查推理能力，空三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，则60分为成绩的第__________百分位数.【答案】30【解析】【分析】首先求前两组的频率，根据百分位数的定义直接求结果.【详解】由条件可知前两组的频率是则60分为成绩的第30百分位数.故答案为：30【点睛】本题考查频率分布直方图，重点考查基本概念，属于基础题型.14.已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值.【详解】∵与的夹角为锐角∴，即，解得，当时，与同向，∴实数的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键，属于中档题.15.事件为独立事件，若，则_____．【答案】【解析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出.详解：设,因，所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．16.如图，-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到处时测得公路北侧一山顶在北偏西的方向上，仰角为，行驶米后到达处，测得此山顶在北偏西的方向上，仰角为，若，则此山的高度________米，仰角的正切值为________.【答案】 (1). (2).【分析】设山的高度（米），由题可得：,,（米）, ,在中利用正弦定理可得:（米）,（米）, 在中,由可得：（米），在中，可得：，问题得解.【详解】设山的高度（米），由题可得：,,（米）,在中，可得：，利用正弦定理可得：，解得：（米）,（米）在中，由可得：（米）在中，可得：【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，还考查了空间思维能力及识图能力，考查转化能力及计算能力，属于中档题．四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且．（1）以，为基底表示向量与；（2）若，，与的夹角为，求．【答案】（1），；（2）【解析】(1)由题可得：，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到；(2)先求出，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.【详解】（1）∵平行四边形中，，，，是，的中点，，∴，（2）∵，，与的夹角为，∴，∴．【点睛】本题考查了向量的加法，减法法则，考查了向量数量积的运算，属于较易题.18.某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利73周年”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后，画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）【答案】（1）0.3 （2）；71【分析】（1）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可．（2）求出60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘以各组的频率和为平均值．【详解】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：，频率分布直方图第四小组的纵坐标是：，则频率分布直方图如下图所示：（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为，所以，抽样学生成绩的合格率是，利用组中值估算抽样学生的平均分为：，所以估计这次考试的平均分是71.【点睛】本题考查频率分布直方图、等可能事件的概率等．在频率分布直方图中，数据的平均值等于各组的中点乘以各组的频率之和；频率等于纵坐标乘以组距；属于基础题．19.在校体育运动会中，甲乙丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每场比赛中，甲胜乙的概率为甲胜丙的概率为乙胜丙的概率为。

天津市红桥区2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（共 36 分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，本卷共 12 题， 每小题 3 分，共36 分．1.在复平面内表示复数(1)i i -的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】把(1)i i -展开即得. 【详解】2(1)1i i i i i -=-=+，∴复数(1)i i -对应的点的坐标为()1,1，在第一象限.故选：A .【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.2.已知i 是虚数单位，若复数()()12ai i +-是纯虚数，则实数a 等于（ ） A. 2 B.12C. 12-D. -2【答案】D 【解析】 【分析】把复数()()12ai i +-展开，由实部为0，虚部不为0，即求实数a . 【详解】复数()()()21222221ai i i ai ai a a i +-=-+-=++-为纯虚数，20,2210a a a +=⎧∴∴=-⎨-≠⎩. 故选：D .【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的分类，属于基础题. 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A. ()5,7B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.4.已知向量()()1,,, 2a m b m →→==，若//a b →→，则实数m =（ ）A. 2B.C. - 2D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示，可求m .【详解】由//a b →→，可得2120,m m ⨯-=∴=故选：B .【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题. 5.已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则 a b -等于（ ） A. -1 B. 1C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-， 1,2,1ab a b ∴==∴-=-.故选：A .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题. 6.若i 为虚数单位，则复数311i i-+的模是（ ）A. C. 5【解析】 【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈【详解】()()()()2231131331241211112i i i i i i ii i i i i -----++====+++--，31121i i i-∴=+==+故选：B .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.7.复数 z 满足() 11z z i -=+，则 z 的值是（ ）A. 1i +B. 1i -C. iD. i -【答案】D 【解析】 【分析】由() 11z z i -=+，求出复数 z ，把 z 写出() ,a bi a b R +∈的形式，即求 z . 【详解】()()()()2221112 11,1111i i i i z z i z i i i i i ++++-=+∴====--+-， z i ∴=-故选： D .【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数，属于基础题.8.已知向量(11)a =-，，(12)b =-，，则(2)a b a +⋅＝（ ） A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由向量的坐标运算表示2a b +，再由数量积的坐标运算即可得解.【详解】解：因为()1,1a =-，()1,2b =-则()()()21,01,11a b a +⋅=⋅-=； 故选C ．【点睛】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．9.已知点 ()()1236A B --，，，，则线段 AB 的中点坐标为（ ）A. ()2,1B. ()1,2-C. () 1,2D. () 2,2-【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的中点坐标公式即得.【详解】()()3,,126A B ∴∴--，，线段 AB 的中点坐标为1326,22-+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,2-. 故选：B .【点睛】本题考查线段的中点坐标公式，属于基础题.10.设向量)(),2,2a b →→==-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=（ ）A. ±1B. 0C. D. ±2【答案】C 【解析】 【分析】写出向量()(),a b a b λλ+-的坐标，由()()a b a b λλ+⊥-，得()()0a b a b λλ⋅+=-，即求λ. 【详解】()()()()3,1,2,2,23,2,32,2a b a b a b λλλλλλ→→==-∴+=+--=-+.()()()(),0a b a b a b a b λλλλ∴+⊥-⋅+=-，()()()222220,2,λλλλ∴-+-+=∴=∴=.故选：C .【点睛】本题考查向量垂直的性质，属于基础题.11.已知1a =，=(0,2)b ，且1a b ⋅=，则向量a 与b 夹角的大小为( )A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】()0,2b =可知，2b =，由向量夹角的公式求解即可【详解】()0,2b =可知，2b =，·1cos ,2·a b a b a b==，所以夹角为3π，故选C. 【点睛】本题考查向量的模的定义和向量夹角的计算公式．12.已知123cos sin ,2cos sin 26633z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12z z =（ ）A. iB. 2iC.D. 3i【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法运算的三角表示，即得答案. 【详解】1233cos sin 2cos sin 2cos sin 2663326363z z i i i ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos sin 322i i ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故选：D .【点睛】本题考查复数乘法的三角表示，属于基础题.第Ⅱ卷（共 64 分）二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分． 13.i 是虚数单位，则21i=+__________． 【答案】1i - 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即得答案. 【详解】()()()()()22121212111112i i i i i i i i ---====-++--. 故答案为：1i -.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题. 14.i 是虚数单位，则复数()1i i +的实部为__________． 【答案】1- 【解析】 【分析】把()1i i +展开，21i =-代入即得. 【详解】()211i i i i i =+=-++,∴复数()1i i +的实部为1-.故答案为：1-.【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题. 15.计算：QP NQ MN MP →→→→++-=__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则进行运算，即得答案. 【详解】由向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则可得()0QP NQ MN MP NQ QP MN MP NP PN ++-=++-=+=.故答案为：0.【点睛】本题考查向量加减法的运算法则和向量加法的交换律，属于基础题. 16.已知3,4a b ==，且向量,a b →→的夹角为120，则a b →→⋅=__________． 【答案】6- 【解析】 【分析】根据数量积的定义即求. 【详解】3,4a b ==,且向量,a b →→的夹角为120，1cos1203462a b a b →→⎛⎫∴⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：6-.【点睛】本题考查向量数量积的定义，属于基础题.17.已知()()() 12203A B C x -，、，、，，且 A B C 、、三点共线，则x =__________． 【答案】52- 【解析】 【分析】由 ,,A B C 三点共线，得 //AB BC ，根据向量共线的坐标表示求x . 【详解】 ,,A B C 三点共线， //AB BC ∴.()()()()(),,, 1,22,0,3,2,33,2AB A B BC x C x ∴=---=，()()533220,2x x ∴⨯---=∴=-.故答案为：52-. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.18.若向量||2,2,()b a b a a →→→→→-=⊥=，则 ,a b →→的夹角的度数为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】设向量 ,a b →→的夹角为()0180θθ≤≤.由()a ab →-⊥，得()0a a b →=-，再根据数量积的定义求夹角θ.【详解】设向量 ,a b →→的夹角为()0180θθ≤≤.()22,00,()a a b a b a a a b a b a →→→∴-=∴-=∴-=⊥，，又||2,2,22cos 4,cos 1,0b a θθθ→→==∴⨯=∴=∴=.故答案为：0.【点睛】本题考查向量垂直的性质和数量积的定义，属于基础题.19.已知 ,a b R ∈，i 是虚数单位．若a i -与 2bi +互为共轭复数，则()2a bi +=__________．【答案】34i + 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，求出,a b ，再把()2a bi +展开即得. 【详解】a i -与 2bi +互为共轭复数，2,1ab ∴==,()()22224434a bi i i i i ∴+=+=++=+.故答案为：34i +.【点睛】本题考查共轭复数和复数的乘法，属于基础题.20.在平行四边形 ABCD 中，若()()1,3,2,5AB AC ==，则向量 AD 的坐标为__________． 【答案】()1,2 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则可知AC AB AD =+，可求 AD 的坐标. 【详解】平行四边形 ABCD 中，AC AB AD =+.()()()()()1,3,2,5,2,51,31,2AB AC AD AC AB ==∴=-=-=.故答案为：()1,2.【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，属于基础题.三、解答题：本大题共 4 个小题，共 40 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21.已知i 是虚数单位，复数()()22563,z m m m m i m R =-++-∈．（Ⅰ）当复数z 为实数时，求 m 的值； （Ⅱ）当复数z 为虚数时，求 m 的值； （Ⅲ）当复数z 为纯虚数时，求 m 的值． 【答案】（Ⅰ）0或3；（Ⅱ） 0m ≠且 3m ≠；（Ⅲ）2. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据虚部为0，求 m ； （Ⅱ）根据虚部不为0，求m ； （Ⅲ）根据实部为0，虚部不为0，求m . 【详解】复数()()22563,z m m m m i m R =-++-∈.（Ⅰ）当复数 z 为实数时，有230,0m m m -=∴=或 3m =. （Ⅱ）当复数 z 为虚数时，有230,0m m m -≠∴≠且 3m ≠.（Ⅲ）当复数 z 为纯虚数时，有2230 560m m m m ⎧-≠⎨-+=⎩，解得 2m =. 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.22.在ABC 中，内角 ,,A B C 所对的边分别为 ,,a b c ．已知45,6,cos 5a c B ===． （Ⅰ）求b 和sinA 的值；（Ⅱ）求cos 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）b =，sin A =；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由余弦定理求b .根据平方关系式求sin B ，再根据正弦定理求sin A ；（Ⅱ）根据三角形中大边对大角，得A 为锐角.由（Ⅰ）知sin A ，根据平方关系式求cos A ，再根据两角和的余弦公式求cos 4A π⎛⎫+⎪⎝⎭. 【详解】（Ⅰ）ABC 中，已知45,6,cos 5a c B ===．由余弦定理得2222242cos 56256135b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=又3sin 5B ===． 由正弦定理sin sin a bA B=，可得35sin sin a B A b ⨯===.（Ⅱ）5,6,,,a b c b a c B A C A ===∴<<∴<<∴为锐角.由（Ⅰ）知sin cos 1313A A =∴==. cos cos cos sin sin 44422A A A πππ⎛⎫∴+=-== ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查正余弦定理、同角三角函数基本关系式和两角和的余弦公式，属于基础题.23.设 ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,4,2b c C B ===． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）23；【解析】 【分析】（Ⅰ）由正弦定理和倍角公式可求cos B ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知2cos 3B =.根据平方关系式求出sin B ，根据倍角公式求出sin 2,cos 2B B ，最后根据两角差的正弦公式求sin 23B π⎛⎫-⎪⎝⎭. 【详解】（Ⅰ） ABC 中，3,4,2b c C B ===.由正弦定理sin sin b c B C =,可得34442sin sin sin 22sin cos sin cos B C B B B B B====， 2cos 3B ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2cos ,sin 3B B =∴===， 22221sin 22sin cos 2,cos 22cos 12133939B B B B B ⎛⎫∴====-=⨯-=- ⎪⎝⎭.11sin 2sin 2cos cos 2sin 33329B B B πππ⎛⎫∴-=-=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式和两角差的正弦公式，属于中档题.24.已知,,a b c 分别为 ABC 三个内角 ,,A B C 的对边，sin cos a A a B =-． （Ⅰ）求角 B 的值；（Ⅱ）若2,b ABC =△，求,a c ．【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）2a c ==. 【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理把sin cos a A a B =-化为sin sin sin cos A B A A B =-，约去sin A ，利用辅助角公式，可求 B ；（Ⅱ）根据面积公式和余弦定理求,a c【详解】（Ⅰ）3sin cos a b A a B =-，由正弦定理可得sin sin sin cos A B A A B =-.又sin 0,cos 1A B B >-=，由辅助角公式得12sin 1,sin 662B B ππ⎛⎫⎛⎫-=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 5 0,666B B ππππ<<∴-<-<， ,663B B πππ∴-=∴=.（Ⅱ）ABC ，1sin 2ac B ∴=,43ac B π∴==. 又2b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2222424cos,83a c a c π=+-⨯∴+=， 又4,2ac a c =∴==.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式和面积公式，属于中档题.。

学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 的值为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据辅助角公式即可求值.【详解】,.故选：.【点睛】本题考查三角函数式求值，属于基础题.2. 若都是锐角，且，，则= ( )A. B.C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】由，根据两角差的余弦公式展开.结合已知条件，求出，代入即得.【详解】，...故选：.【点睛】本题考查三角恒等变换，属于中档题.3. 已知△ABC的内角的对边分别为且，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理和三角形面积公式求解.【详解】因为，即.所以，所以，又，所以即，故的面积.故选C.【点睛】本题考查运用余弦定理和面积公式解三角形，属于基础题.4. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“”在正方体中所在的面的对面上的是( )A. B.C. 快D. 乐【答案】A【解析】【分析】将展开图还原成正方体，即得答案.【详解】将展开图还原成正方体，如图所示所以“”在正方体中所在的面的对面上的是“0”.故选：.【点睛】本题考查正方体的展开图，属于基础题.5. 在中，，若三角形有两解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，要使得三角形有两解，则满足，解得，故选C.考点：三角形解的个数的判定.6. 已知△ABC中，bcosB＝ccosC，则△ABC的形状为（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰或直角三角形D. 等边三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理将已知条件转化为或或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形考点：正弦定理解三角形7. 已知集合，，若，则实数的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，由，结合数轴，可得实数的取值范围.【详解】解不等式，得， .，可得 .故选：.【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.8. 若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式，得其解集为.由不等式组的解集不是空集，故存在，使得不等式成立，只需，即求实数a的取值范围.【详解】解不等式，得.不等式组的解集不是空集，存在，使得不等式成立.即存在，使得成立，只需.又当时，函数在上单调递增，时，，.故选：.【点睛】本题考查不等式能成立问题，属于中档题.9. 已知均为正实数，若，，且，则的最小值是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由得，可得.由展开，利用基本不等式可求的最小值.【详解】,..当且仅当，即时，等号成立.的最小值为.故选：.【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查基本不等式，属于中档题.10. 已知半径为的球的两个平行截面的周长分别为和，则两平行截面间的距离是( )A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】求出两个平行截面圆的半径,由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.【详解】设两平行截面圆的半径分别为，则.球心到两个截面的距离分别为.当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为；当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为.故选：.【点睛】本题考查球的截面间的距离，属于基础题.11. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:①与是异面直线；②与平行；③与成角；④与平行. 以上四个命题中，正确命题的序号是( )A. ①②③B. ②④C. ③④D. ②③④【答案】A【解析】【分析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN，对选项逐一判断，即得答案.【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN，如图所示可得：与是异面直线，故①正确；连接，则与平行，故②正确；是异面直线与所成的角，为等边三角形，，故③正确；与是异面直线，故④错误.故选：.【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.12. 对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】当时，得任意实数均满足题意，当时，，又当且仅当取得等号，故二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 设当时，函数取得最大值，则__．【答案】【解析】利用辅助角公式化简，求出的值代入即可得到答案．【详解】；当时，函数取得最大值；，；．故答案为．【点睛】本题考查三角函数的最值，两角和的正切值，属于基础题．14. 在地平面上有一旗杆（在地面），为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m的基线，在A处测得P点的仰角为30°，在B处测得P点的仰角为45°，又测得，则旗杆的高h等于_____m．【答案】20【解析】由题意，利用直角三角形的边角关系表示出与的关系，再利用余弦定理求得即的值．【详解】由题意得，因为在B处测得P点的仰角为45°，得，又因为在A处测得P点的仰角为30°，即，在中，；中，由余弦定理可得，即，解得，∴旗杆OP的高度为20m．故答案为20．【点睛】本题主要考查了直角三角形的边角关系和余弦定理解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题．15. 已知函数，则不等式的解集为______________.【答案】【解析】【分析】利用分段函数的表达式，通过，转化为不等式组求解即可．【详解】因为，所以等价于或解可得；解可得，综上可得，所以不等式的解集为【点睛】本题考查分段函数以及解不等式，属于简单题．16. 关于函数. ①的最大值为；②最小正周期是；③在区间上是减函数；④将函数的图象向左平移个单位后，将与原函数图象重合. 其中说法正确的有__________.【答案】①②【解析】【分析】由两角和的正弦公式、两角差的余弦公式把展开，再由辅助角公式得.对选项逐一判断，即得答案.【详解】.的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确；当时，，不是减函数，故③错误；将函数的图象向左平移个单位，得，不与原函数图象重合，故④错误.故答案为：①②.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质和图象平移，属于中档题.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 函数.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）当时，求函数的值域.【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为；（Ⅱ）的值域为【解析】【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式以及辅助角公式把函数化为的形式，再由正弦函数的单调区间即可求解.（Ⅱ）根据正弦函数的单调性即可求解.【详解】（Ⅰ），令，解得，∴函数的单调递减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增.∴，，∴函数值域为.【点睛】本题主要二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的单调区间、最值，需熟记公式以及三角函数的性质，属于基础题.18. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.（1）求出线段AE的长度；（2）求出隧道CD的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知在△AEF中，由正弦定理即可解得AE的值；（2）由已知可得∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，可求BE的值，进而可求CD＝BE﹣BC﹣DE的值．【详解】（1）由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，在△AEF中，由正弦定理得：，即，解得；（2）由已知可得∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，在Rt△ABE中，，所以隧道长度．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19. 已知向量.（1）求的最小值及相应的t值；（2）若与共线，求实数t的值.【答案】（1）最小值为，；（2）.【解析】分析】（1）求出向量的坐标，求出，根据二次函数求最值，即得答案；（2）求出向量的坐标，根据向量共线定理的坐标表示，可求实数t的值.【详解】（1），，又，时，，即当时，.（2），且与共线，.【点睛】本题考查向量运算的坐标表示和向量共线的坐标表示，属于基础题.20. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积.【答案】，【解析】【分析】过点作垂直于直线，垂足为，由题意可得是等腰直角三角形. 四边形绕旋转一周所成的几何体为：一个圆台挖去一个圆锥.其中圆台的上下底面圆的半径分别为，高为；圆锥的底面圆的半径为，高为.根据圆台和圆锥的表面积、体积的计算公式可得几何体的表面积和体积.【详解】过点作垂直于直线，垂足为.如图所示是等腰直角三角形，.又..四边形绕旋转一周所成的几何体为：一个圆台挖去一个圆锥.其中圆台的上下底面圆的半径分别为，高为；圆锥的底面圆的半径为，高为.所得几何体的表面积，体积.【点睛】本题考查旋转体的表面积和体积，属于中档题.21. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，为的中点，三棱柱的体积.（1）求三棱柱的表面积；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】【分析】分析：（1）由三棱柱体积，求出高AA′=3，由此能求出三棱柱的表面积；（2）取AC中点E，连结DE、C′E，由D 为BC中点，得DE∥AB，从而∠C′DE是异面直线AB与C′D所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB与C′D所成角的余弦值．详解：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面△ABC边长为2，D为BC的中点，三棱柱体积，解得高AA′=3，∴三棱柱的表面积：= ；（2）取AC中点E，连结DE、C′E，∵D为BC中点，∴DE∥AB，∴∠C′DE是异面直线AB与C′D所成角（或所成角的补角），∵DE=AB=1，C′D=C′E===，∴cos∠C′DE===．点睛：本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；异面直线的夹角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的.．22. 已知，为常数，函数.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围；（3）对于给定的，且，，证明:关于的方程在区间内有一个实数根.【答案】（1）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，，分，，三种情况讨论，求不等式的解集；（2）当时，，其图象的对称轴为.分，，三种情况讨论，即求实数的取值范围；（3）设.由，得.对于给定的，且，，得在区间上单调，故在区间上有且只有一个零点，即方程在区间内有一个实数根.【详解】（1）当时，.当，即时，由得或，不等式解集为或.当，即时，恒成立，不等式的解集为.当，即时，由得或，不等式的解集为或.综上，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.（2）当时，，其图象的对称轴为.当，即时，在上单调递增，在上存在零点，，即得..当，即时，在上存在零点，或或或，解得或或或或.当，即时，在上单调递减，在上存在零点，，即得..综上，.实数的取值范围为.（3）设.当给定时，为定值.,.又对于给定的，且，，在区间上单调，即在区间上单调，在区间上有且只有一个零点，即方程在区间内有一个实数根.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、函数的零点和方程的根，考查分类讨论的数学思想，属于难题.学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 的值为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据辅助角公式即可求值.【详解】,.故选：.【点睛】本题考查三角函数式求值，属于基础题.2. 若都是锐角，且，，则= ( )A. B.C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】由，根据两角差的余弦公式展开.结合已知条件，求出，代入即得.【详解】，...故选：.【点睛】本题考查三角恒等变换，属于中档题.3. 已知△ABC的内角的对边分别为且，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理和三角形面积公式求解.【详解】因为，即.所以，所以，又，所以即，故的面积.故选C.【点睛】本题考查运用余弦定理和面积公式解三角形，属于基础题.4. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“”在正方体中所在的面的对面上的是( )A. B.C. 快D. 乐【答案】A【解析】【分析】将展开图还原成正方体，即得答案.【详解】将展开图还原成正方体，如图所示所以“”在正方体中所在的面的对面上的是“0”.故选：.【点睛】本题考查正方体的展开图，属于基础题.5. 在中，，若三角形有两解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】试题分析：由题意得，，要使得三角形有两解，则满足，解得，故选C.考点：三角形解的个数的判定.6. 已知△ABC中，bcosB＝ccosC，则△ABC的形状为（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰或直角三角形D. 等边三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理将已知条件转化为或或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形考点：正弦定理解三角形7. 已知集合，，若，则实数的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，由，结合数轴，可得实数的取值范围.【详解】解不等式，得， .，可得 .故选：.【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.8. 若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式，得其解集为.由不等式组的解集不是空集，故存在，使得不等式成立，只需，即求实数a的取值范围.【详解】解不等式，得.不等式组的解集不是空集，存在，使得不等式成立.即存在，使得成立，只需.又当时，函数在上单调递增，时，，.故选：.【点睛】本题考查不等式能成立问题，属于中档题.9. 已知均为正实数，若，，且，则的最小值是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由得，可得.由展开，利用基本不等式可求的最小值.【详解】,..当且仅当，即时，等号成立.的最小值为.故选：.【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查基本不等式，属于中档题.10. 已知半径为的球的两个平行截面的周长分别为和，则两平行截面间的距离是( )A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】求出两个平行截面圆的半径,由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.【详解】设两平行截面圆的半径分别为，则.球心到两个截面的距离分别为.当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为；当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为.故选：.【点睛】本题考查球的截面间的距离，属于基础题.11. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:①与是异面直线；②与平行；③与成角；④与平行. 以上四个命题中，正确命题的序号是( )A. ①②③B. ②④C. ③④D. ②③④【答案】A【解析】【分析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN，对选项逐一判断，即得答案.【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN，如图所示可得：与是异面直线，故①正确；连接，则与平行，故②正确；是异面直线与所成的角，为等边三角形，，故③正确；与是异面直线，故④错误.故选：.【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.12. 对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】当时，得任意实数均满足题意，当时，，又当且仅当取得等号，故二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 设当时，函数取得最大值，则__．【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式化简，求出的值代入即可得到答案．【详解】；当时，函数取得最大值；，；．故答案为．【点睛】本题考查三角函数的最值，两角和的正切值，属于基础题．14. 在地平面上有一旗杆（在地面），为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m的基线，在A处测得P点的仰角为30°，在B处测得P点的仰角为45°，又测得，则旗杆的高h等于_____m．【答案】20【解析】【分析】由题意，利用直角三角形的边角关系表示出与的关系，再利用余弦定理求得即的值．【详解】由题意得，因为在B处测得P点的仰角为45°，得，又因为在A处测得P点的仰角为30°，即，在中，；中，由余弦定理可得，即，解得，∴旗杆OP的高度为20m．故答案为20．【点睛】本题主要考查了直角三角形的边角关系和余弦定理解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题．15. 已知函数，则不等式的解集为______________.【答案】【解析】【分析】利用分段函数的表达式，通过，转化为不等式组求解即可．【详解】因为，所以等价于或解可得；解可得，综上可得，所以不等式的解集为【点睛】本题考查分段函数以及解不等式，属于简单题．16. 关于函数. ①的最大值为；②最小正周期是；③在区间上是减函数；④将函数的图象向左平移个单位后，将与原函数图象重合. 其中说法正确的有__________.【答案】①②【解析】【分析】由两角和的正弦公式、两角差的余弦公式把展开，再由辅助角公式得.对选项逐一判断，即得答案.【详解】.的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确；当时，，不是减函数，故③错误；将函数的图象向左平移个单位，得，不与原函数图象重合，故④错误.故答案为：①②.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质和图象平移，属于中档题.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 函数.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）当时，求函数的值域.【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为；（Ⅱ）的值域为【解析】【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式以及辅助角公式把函数化为的形式，再由正弦函数的单调区间即可求解.（Ⅱ）根据正弦函数的单调性即可求解.【详解】（Ⅰ），令，解得，∴函数的单调递减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增.∴，，∴函数值域为.【点睛】本题主要二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的单调区间、最值，需熟记公式以及三角函数的性质，属于基础题.18. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF 开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.（1）求出线段AE的长度；（2）求出隧道CD的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知在△AEF中，由正弦定理即可解得AE的值；（2）由已知可得∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，可求BE的值，进而可求CD＝BE﹣BC﹣DE的值．【详解】（1）由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，在△AEF中，由正弦定理得：，即，解得；（2）由已知可得∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，在Rt△ABE中，，所以隧道长度．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19. 已知向量.（1）求的最小值及相应的t值；（2）若与共线，求实数t的值.【答案】（1）最小值为，；（2）.【解析】分析】（1）求出向量的坐标，求出，根据二次函数求最值，即得答案；（2）求出向量的坐标，根据向量共线定理的坐标表示，可求实数t的值.【详解】（1），，又，时，，即当时，.（2），且与共线，.【点睛】本题考查向量运算的坐标表示和向量共线的坐标表示，属于基础题.20. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积.【答案】，【解析】【分析】过点作垂直于直线，垂足为，由题意可得是等腰直角三角形. 四边形绕旋转一周所成的几何体为：一个圆台挖去一个圆锥.其中圆台的上下底面圆的半径分别为，高为；圆锥的底面圆的半径为，高为.根据圆台和圆锥的表面积、体积的计算公式可得几何体的表面积和体积.【详解】过点作垂直于直线，垂足为.如图所示是等腰直角三角形，.又..四边形绕旋转一周所成的几何体为：一个圆台挖去一个圆锥.其中圆台的上下底面圆的半径分别为，高为；圆锥的底面圆的半径为，高为.所得几何体的表面积，体积.【点睛】本题考查旋转体的表面积和体积，属于中档题.21. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，为的中点，三棱柱的体积.（1）求三棱柱的表面积；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】【分析】分析：（1）由三棱柱体积，求出高AA′=3，由此能求出三棱柱的表面积；（2）取AC中点E，连结DE、C′E，由D为BC中点，得DE∥AB，从而∠C′DE是异面直线AB与C′D所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB与C′D所成角的余弦值．详解：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面△ABC边长为2，D为BC的中点，三棱柱体积，解得高AA′=3，∴三棱柱的表面积：= ；（2）取AC中点E，连结DE、C′E，∵D为BC中点，∴DE∥AB，∴∠C′DE是异面直线AB与C′D所成角（或所成角的补角），∵DE=AB=1，C′D=C′E===，∴cos∠C′DE===．点睛：本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；异面直线的夹角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的.．22. 已知，为常数，函数.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围；（3）对于给定的，且，，证明:关于的方程在区间内有一个实数根.【答案】（1）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，，分，，三种情况讨论，求不等式的解集；（2）当时，，其图象的对称轴为.分，，三种情况讨论，即求实数的取值范围；（3）设.由，得.对于给定的，且，，得在区间上单调，故在区间上有且只有一个零点，即方程在区间内有一个实数根.【详解】（1）当时，.当，即时，由得或，不等式解集为或.当，即时，恒成立，不等式的解集为.当，即时，由得或，不等式的解集为或.综上，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.（2）当时，，其图象的对称轴为.当，即时，在上单调递增，在上存在零点，，即得..当，即时，在上存在零点，或或或，解得或或或或.当，即时，在上单调递减，在上存在零点，，即得..综上，.实数的取值范围为.（3）设.当给定时，为定值.,.又对于给定的，且，，在区间上单调，即在区间上单调，在区间上有且只有一个零点，即方程在区间内有一个实数根.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、函数的零点和方程的根，考查分类讨论的数学思想，属于难题.。

高一数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部份，共100分，考试历时90分钟。

考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝列位考生考试顺利!第I卷(选择题)注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上。

2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3．本卷共8小题，每题4分，共32分。

一、选择题在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．在等比数列{a n}中，已知a1=1，a4=8，那么a6=A．16 B．16或-16 C．32 D．32或-322．在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，那么a5=A．13 B．14 C．15 D．163．如图是挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方不同离为A．84，4.84 B．84，1.6C．85，1.6 D．85，44． ABC的内角A、B、C的对边别离为a、b、c，假设a=2，b=23，A=30o，那么B等于A．60o B．60o或l20o C．30o D．30o或l50o5．学校为了解高二年级l203名学生对某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，那么分段的距离k为A．40 B．30.1 C．30 D．126．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项为3，前3项和为21，那么q等于．．A．6 B．3 C．2 D．17．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC=120o，那么A、C两地的距离为A．10 km B．3km C．105km D．107km8．阅读如图给出的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S为A．-1007 B．1007C．1008 D．-3022第Ⅱ卷(非选择题)三总分题号二1516171819得分二、填空题(本大题共6个小题，每题4分，共24分。

2019学年天津市高一下期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、选择题1. 对于任意实数，下列结论中正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．①______________________________________ B．②C．③_____________________________________ D．④2. 已知等比数列的前项和为，若，则公比为（） A． B． C．_____________________________________ D．3. 在中，若，则角为（）A． B． C．或___________________________________ D．或4. 在中，若，则最大角的余弦是（）A． B．_____________________________________ C． D．5. 若，两个等差数列与的公差分别为，则等于（）A．____________________ B．_________________________________ C．_________________________________ D．6. 在中，若，则的形状是（）A．直角三角形______________ B．等腰或直角三角形___________ C．等腰直角三角形___________ D．等腰三角形7. 在数列中，，，则（）A．______________________________ B．____________________________ C．____________________________D．8. 等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（）A．_____________________________________ B．C． D．9. 给出集合序列设为第个集合中元素之和，则（）A． B． C．___________________________________ D．10. 已知数列为等差数列，且，设，当数列的前项和最小时，则的值为（）A．_____________________________________ B．C．或___________________________________ D．或二、填空题11. 已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.12. 关于的一元二次不等式的解集是，则______.13. 在中，角所对的边分别为，若，且，则角的大小为_______.14. 不等式的解集为______.15. 在锐角中，角所对的边分别为，若，则的值是_______.16. 数列满足，记，若对任意恒成立，则正整数的最小值为_______.三、解答题17. 在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.18. 已知是正项数列的前项和，且 .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19. 已知数列的前项和为，若，且 . （1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为 .①求；②对于任意的及，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】。

2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.设复数满足，则（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】化简得到，得到模长.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，复数模，意在考查学生的计算能力.2.已知向量与向量共线，则实数的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】直接根据向量共线公式得到答案.【详解】向量与向量共线，则，故.故选：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.3.下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（）A. 某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况B. 从15种疫苗中抽取5种检测是否合格C. 某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况，D. 某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对岁的人群进行随机抽样调查【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项的合适的抽样方法得到答案.【详解】A. 中学，小学生有群体差异，宜采用分层抽样；B. 样本数量较少，宜采用简单随机抽样；C. 中专科生、本科生、研究生有群体差异，宜采用分层抽样；D. 年龄对于移动支付的了解有较大影响，宜采用分层抽样；故选：.【点睛】本题考查了抽样方法，意在考查学生对于抽样方法的掌握情况.4.在中，若，则是（）A. 正三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 有一内角为60°的直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到，，故，得到答案.【详解】根据正弦定理：，故，，即，，故，故.故选：.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.在中，角所对的边分别为．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理得到，再利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据余弦定理：，故，根据正弦定理：，即，解得.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用表示，方差分别为表示，则（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】计算，，，得到答案.【详解】，，故.；，故.故选：B.【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.7.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】考虑都没有获得扶持资金的情况，再计算对立事件概率得到答案.【详解】根据题意：.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，得到答案.【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.9.对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：）的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是（）A. 29B. 29.5C. 30D. 36【答案】B【解析】【分析】数据从小到大排列，，计算得到答案.【详解】数据从小到大排列为：，，故最大速度第一四分位数是.故选：.【点睛】本题考查了分位数，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.已知是边长为2的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算得到，，计算得到答案.【详解】根据题意：，，故.故选：.【点睛】本题考查了向量的数量积，将向量作为基向量是解题的关键.二、填空题（本大题共9小题，共50分）11.某学院的三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本．已知该学院的专业有700名学生，专业有500名学生，则在该学院的专业应抽取_____________名学生．【答案】【解析】【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】该学院的专业应抽取：.故答案为：.【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生计算能力和应用能力.12.已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则a的值为__________.【答案】2【解析】【分析】首先把复数化简为代数形式，然后根据复数分类求解．【详解】，它为纯虚数，则且，解得．故答案为：2．【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的分类，掌握复数的除法运算是解题关键．13.已知向量，满足，，若，则＝_____________．【答案】5【解析】【分析】根据即可得到，再由即可求出，从而可得出的值．【详解】∵；∴，且；∴；∴．故答案为5．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量长度的概念．14.从装有2个红球和2个白球口袋内任取2个球，是互斥事件的序号为___________．（1）至少有1个白球；都是白球；（2）至少有1个白球；至少有1个红球；（3）恰有1个白球；恰有2个白球；（4）至少有1个白球；都是红球【答案】（3）（4）【解析】【分析】根据互斥事件的概念依次判断每个选项中是否为互斥事件得到答案.【详解】（1）至少有1个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件；（2）至少有1个白球，至少有1个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件；（3）恰有1个白球，恰有2个白球，是互斥事件；（4）至少有1个白球；都是红球，是互斥事件.故答案为：（3）（4）.【点睛】本题考查了互斥事件，意在考查学生对于互斥事件的理解和掌握.15.袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是____________．【答案】【解析】【分析】分为第一次是红球和第一次是黄球两种情况，计算得到答案.【详解】第一次是红球：；第一次是黄球：.故.故答案为：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.已知点，则向量在上的投影向量的模为___________．【答案】【解析】【分析】计算，，根据投影公式得到答案.【详解】根据题意：，，向量在上的投影向量的模为.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生的计算能力和转化能力.17.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图，如图，估计这次测试中数学成绩的平均分约为______________、众数约为____________、中位数约为__________．（结果不能整除的精确到0.1）【答案】 (1). (2). (3).【解析】【分析】根据平均值，众数，中位数的概念依次计算得到答案.详解】根据频率分布直方图：平均数为：；众数约为；前三个矩形概率和为，设中位数为，则，解得.故答案为：；；.【点睛】本题考查了平均值，众数，中位数的计算，意在考查新学生的计算能力和应用能力.18.甲船在岛处南偏西50°的处，且的距离为10海里，另有乙船正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时8海里的速度航行，若甲船要用2小时追上乙船，则速度大小为__________海里．【答案】【解析】【分析】计算，根据余弦定理得到，得到速度.【详解】根据题意知：，，根据余弦定理：，故，故速度为.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.中，角所对的边分别为．已知．则角的大小为___________，若，则的值为___________．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据正弦定理得到，计算，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】，故，，故，即，即，，故.，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.设复数满足，则（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】化简得到，得到模长.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，复数模，意在考查学生的计算能力.2.已知向量与向量共线，则实数的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】直接根据向量共线公式得到答案.【详解】向量与向量共线，则，故.故选：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.3.下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（）A. 某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况B. 从15种疫苗中抽取5种检测是否合格C. 某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况，D. 某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对岁的人群进行随机抽样调查【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项的合适的抽样方法得到答案.【详解】A. 中学，小学生有群体差异，宜采用分层抽样；B. 样本数量较少，宜采用简单随机抽样；C. 中专科生、本科生、研究生有群体差异，宜采用分层抽样；D. 年龄对于移动支付的了解有较大影响，宜采用分层抽样；故选：.【点睛】本题考查了抽样方法，意在考查学生对于抽样方法的掌握情况.4.在中，若，则是（）A. 正三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 有一内角为60°的直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到，，故，得到答案.【详解】根据正弦定理：，故，，即，，故，故.故选：.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.在中，角所对的边分别为．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理得到，再利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据余弦定理：，故，根据正弦定理：，即，解得.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用表示，方差分别为表示，则（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】计算，，，得到答案.【详解】，，故.；，故.故选：B.【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.7.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】考虑都没有获得扶持资金的情况，再计算对立事件概率得到答案.【详解】根据题意：.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，得到答案.【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.9.对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：）的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是（）A. 29B. 29.5C. 30D. 36【答案】B【解析】【分析】数据从小到大排列，，计算得到答案.【详解】数据从小到大排列为：，，故最大速度第一四分位数是.故选：.【点睛】本题考查了分位数，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.已知是边长为2的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算得到，，计算得到答案.【详解】根据题意：，，故.故选：.【点睛】本题考查了向量的数量积，将向量作为基向量是解题的关键.二、填空题（本大题共9小题，共50分）11.某学院的三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本．已知该学院的专业有700名学生，专业有500名学生，则在该学院的专业应抽取_____________名学生．【答案】【解析】【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】该学院的专业应抽取：.故答案为：.【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生计算能力和应用能力.12.已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则a的值为__________.【分析】首先把复数化简为代数形式，然后根据复数分类求解．【详解】，它为纯虚数，则且，解得．故答案为：2．【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的分类，掌握复数的除法运算是解题关键．13.已知向量，满足，，若，则＝_____________．【答案】5【解析】【分析】根据即可得到，再由即可求出，从而可得出的值．【详解】∵；∴，且；∴；∴．故答案为5．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量长度的概念．14.从装有2个红球和2个白球口袋内任取2个球，是互斥事件的序号为___________．（1）至少有1个白球；都是白球；（2）至少有1个白球；至少有1个红球；（3）恰有1个白球；恰有2个白球；（4）至少有1个白球；都是红球【答案】（3）（4）根据互斥事件的概念依次判断每个选项中是否为互斥事件得到答案.【详解】（1）至少有1个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件；（2）至少有1个白球，至少有1个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件；（3）恰有1个白球，恰有2个白球，是互斥事件；（4）至少有1个白球；都是红球，是互斥事件.故答案为：（3）（4）.【点睛】本题考查了互斥事件，意在考查学生对于互斥事件的理解和掌握.15.袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是____________．【答案】【解析】【分析】分为第一次是红球和第一次是黄球两种情况，计算得到答案.【详解】第一次是红球：；第一次是黄球：.故.故答案为：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.已知点，则向量在上的投影向量的模为___________．【答案】【解析】【分析】计算，，根据投影公式得到答案.【详解】根据题意：，，向量在上的投影向量的模为.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生的计算能力和转化能力.17.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图，如图，估计这次测试中数学成绩的平均分约为______________、众数约为____________、中位数约为__________．（结果不能整除的精确到0.1）【答案】 (1). (2). (3).【解析】【分析】根据平均值，众数，中位数的概念依次计算得到答案.详解】根据频率分布直方图：平均数为：；众数约为；前三个矩形概率和为，设中位数为，则，解得.故答案为：；；.【点睛】本题考查了平均值，众数，中位数的计算，意在考查新学生的计算能力和应用能力.18.甲船在岛处南偏西50°的处，且的距离为10海里，另有乙船正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时8海里的速度航行，若甲船要用2小时追上乙船，则速度大小为__________海里．【答案】【解析】【分析】计算，根据余弦定理得到，得到速度.【详解】根据题意知：，，根据余弦定理：，故，故速度为.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.中，角所对的边分别为．已知．则角的大小为___________，若，则的值为___________．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据正弦定理得到，计算，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】，故，，故，即，即，，故.，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.。

若
用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆；
圆台的任意两条母线延长后一定交于一点；
有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥；
若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱用斜二测画法作出正三角形的直观图，则该直观图面积为原三角形面
圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，是真命题；
有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，只若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱
用斜二测画法作出正三角形的直观图，则该直观图面积为原三角形面。