2018年高考数学一轮复习专题13导数的概念及其运算教学案文!

*第十三章导数●网络体系总览●考点目标定位1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数.2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.4.理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大（小）值.●复习方略指南在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.13.1 导数的概念与运算●知识梳理1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy ； （2）求平均变化率xy ∆∆. （3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim→∆x xy ∆∆. 2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. 物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处的瞬时速度.3.求导公式(c )'=0，(x n )'=n ·x n －1（n ∈N *）. 4.运算法则 如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'= c f '（x ）.●点击双基1.若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则xy ∆∆等于A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx 2解析：Δy =2（1+Δx ）2－1－1=2Δx 2+4Δx ，xy∆∆=4+2Δx . 答案：C2.对任意x ，有f '（x ）=4x 3，f （1）=－1，则此函数为A.f （x ）=x 4－2 B.f （x ）=x 4+2C.f （x ）=x 3D.f （x ）=－x 4解析：筛选法. 答案：A3.如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为A.6B.18C.54D.81解析：∵s ′=6t 2，∴s ′|t =3=54. 答案：C4.若抛物线y =x 2－x +c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.解析：∵y ′=2x －1，∴y ′|x =－2=－5.又P （－2，6+c ），∴26-+c=－5.∴c =4. 答案：45.设函数f （x ）=（x －a ）（x －b ）（x －c ）（a 、b 、c 是两两不等的常数），则)(a f a '+)(b f b '+)(c f c'=________. 解析：∵f （x ）=x 3－（a +b +c ）x 2+（ab +bc +ca ）x －abc ，∴f '（x ）=3x 2－2（a +b +c ）x +ab +bc +ca . 又f '（a ）=（a －b ）（a －c ），同理f '（b ）=（b －a ）（b －c ）， f '（c ）=（c －a ）（c －b ）. 代入原式中得值为0. 答案：0 ●典例剖析【例1】 （1）设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为 A.［0，a 1］ B.［0，a21］ C.［0，|ab2|］ D.［0，|ab 21-|］ （2）（2004年全国，3）曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为A.y =3x －4B.y =－3x +2C.y =－4x +3D.y =4x －5 （3）（2004年重庆，15）已知曲线y =31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是______.（4）（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.解析：（1）∵过P （x 0，f （x 0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，4π］， ∴P 到曲线y =f （x ）对称轴x =－a b 2的距离d =x 0－（－a b 2）=x 0+ab 2. 又∵f '（x 0）=2ax 0+b ∈［0，1］，∴x 0∈［a b 2-，a b 21-］.∴d =x 0+a b 2∈［0，a21］. （2）∵点（1，－1）在曲线上，y ′=3x 2－6x ，∴切线斜率为3×12－6×1=－3.∴所求切线方程为y +1=－3（x －1）. （3）∵P （2，4）在y =31x 3+34上，又y ′=x 2，∴斜率k =22=4.∴所求直线方程为y －4=4（x －2），4x －y －4=0. （4）y ′=6x －4，∴切线斜率为6×1－4=2. ∴所求直线方程为y －2=2（x +1），即2x －y +4=0. 答案：（1）B （2）B （3）4x －y －4=0 （4）2x －y +4=0评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用. 思考讨论导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.【例2】 曲线y =x 3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y =27x －54，此直线与x 轴、y 轴交点分别为（2，0）和（0，－54），∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S =21×2×54=54. 评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.【例3】 已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ，直线l ：y =kx ，且直线l 与曲线C 相切于点（x 0，y 0）（x 0≠0），求直线l 的方程及切点坐标.剖析：切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.解：∵直线过原点，则k =00x y（x 0≠1）.由点（x 0，y 0）在曲线C 上，则y 0=x 03－3x 02+2x 0， ∴00x y =x 02－3x 0+2. 又y ′=3x 2－6x +2，∴在（x 0，y 0）处曲线C 的切线斜率应为k =f '（x 0）=3x 02－6x 0+2. ∴x 02－3x 0+2=3x 02－6x 0+2.整理得2x 02－3x 0=0. 解得x 0=23（∵x 0≠0）. 这时，y 0=－83，k =－41.因此，直线l 的方程为y =－41x ，切点坐标是（23，－83）. 评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.【例4】 证明：过抛物线y =a （x －x 1）·（x －x 2）（a ≠0，x 1<x 2）上两点A （x 1，0）、B （x 2，0）的切线，与x 轴所成的锐角相等.剖析：利用与x 轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可. 解：y ′=2ax －a （x 1+x 2），y ′|1x x ==a （x 1－x 2），即k A =a （x 1－x 2），y ′|2x x ==a （x 2－x 1），即k B =a （x 2－x 1）.设两条切线与x 轴所成的锐角为α、β，则tan α=|k A |=|a （x 1－x 2）|， tan β=|k B |=|a （x 2－x 1）|，故tan α=tan β. 又α、β是锐角，则α=β.评述：由tan α=tan β不能直接得α=β，还必须有α、β为锐角时（或在同一单调区间上时）才能得α=β.●闯关训练 夯实基础1.函数f （x ）=（x +1）（x 2－x +1）的导数是A.x 2－x +1 B.（x +1）（2x －1）C.3x 2D.3x 2+1解析：∵f （x ）=x 3+1，∴f '（x ）=3x 2.答案：C2.曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为3x +y +3=0，则 A. f '（x 0）>0 B. f '（x 0）<0 C. f '（x 0）=0 D. f '（x 0）不存在 解析：由题知f '（x 0）=－3.答案：B3.函数f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f '（－1）=4，则a 的值等于________. 解析： f '（x ）=3ax 2+6x ，从而使3a －6=4，∴a =310. 答案：310 4.曲线y =2x 2+1在P （－1，3）处的切线方程是________________. 解析：点P （－1，3）在曲线上，k =f '（－1）=－4，y －3=－4（x +1），4x +y +1=0. 答案：4x +y +1=05.已知曲线y =x 2－1与y =3－x 3在x =x 0处的切线互相垂直，求x 0.解：在x =x 0处曲线y =x 2－1的切线斜率为2x 0，曲线y =3－x 3的切线斜率为－3x 02.∵2x 0·（－3x 02）=－1，∴x 0=361.答案： 3616.点P 在曲线y =x 3－x +32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围. 解：∵tan α=3x 2－1， ∴tan α∈［－1，+∞）.当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2π）； 当tan α∈［－1，0）时，α∈［43π，π）. ∴α∈［0，2π）∪［43π，π）. 培养能力 7.曲线y =－x 2+4x 上有两点A （4，0）、B （2，4）.求： （1）割线AB 的斜率k AB 及AB 所在直线的方程；（2）在曲线AB 上是否存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）k AB =4204--=－2， ∴y =－2（x －4）.∴所求割线AB 所在直线方程为2x +y －8=0.（2）y '=－2x +4，－2x +4=－2，得x =3，y =－32+3×4=3. ∴C 点坐标为（3，3），所求切线方程为2x +y －9=0. 8.有点难度哟！若直线y =3x +1是曲线y =x 3－a 的一条切线，求实数a 的值.解：设切点为P （x 0，y 0），对y =x 3－a 求导数是y '=3x 2，∴3x 02=3.∴x 0=±1.（1）当x =1时，∵P （x 0，y 0）在y =3x +1上， ∴y =3×1+1=4，即P （1，4）.又P （1，4）也在y =x 3－a 上，∴4=13－a .∴a =－3. （2）当x =－1时，∵P （x 0，y 0）在y =3x +1上，∴y =3×（－1）+1=－2，即P （－1，－2）.又P （－1，－2）也在y =x 3－a 上，∴－2=（－1）3－a .∴a =1.综上可知，实数a 的值为－3或1.9.确定抛物线方程y =x 2+bx +c 中的常数b 和c ，使得抛物线与直线y =2x 在x =2处相切. 解：y '=2x +b ，k =y ′|x =2=4+b =2，∴b =－2.又当x =2时，y =22+（－2）×2+c =c ， 代入y =2x ，得c =4. 探究创新10.有点难度哟！曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线中，求斜率最小的切线方程.解：y '=3x 2+6x +6=3（x +1）2+3，∴x =－1时，切线最小斜率为3，此时，y =（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14. ∴切线方程为y +14=3（x +1），即3x －y －11=0. ●思悟小结1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键.2.非多项式函数要化成多项式函数求导.3.要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法. ●教师下载中心 教学点睛 1.f '（x 0）=0lim→x x x f x x ∆-∆+)()(00的几种等价形式：f '（x 0）=0limx x →00)()(x x x f x f -- =0lim →h h x f h x f )()(00-+=0lim→h hh x f x f )()(00--2.曲线C ：y =f （x ）在其上一点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为 y －f （x 0）=f '（x 0）（x －x 0）.3.若质点的运动规律为s =s （t ），则质点在t =t 0时的瞬时速度为v =s '（t 0）.这就是导数的物理意义.4.直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由解析几何知，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，即切点.拓展题例【例题】 曲线y =x 2+1上过点P 的切线与曲线y =－2x 2－1相切，求点P 的坐标.解：设P （x 0，y 0），由题意知曲线y =x 2+1在P 点的切线斜率为k =2x 0，切线方程为y =2x 0x +1－x 02，而此直线与曲线y =－2x 2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x 2+2x 0x +2－x 02=0的判别式Δ=4x 02－2×4×（2－x 02）=0.解得x 0=±332，y 0=37. ∴P 点的坐标为（332，37）或（－323，37）.。

专题13 导数的概念与其运算1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(＋b)的复合函数)的导数．1．函数f(x)在点x0处的导数(1)定义函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率＝l，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即＝f′(x0)．(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．2．函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或y′x、y′)．3．基本初等函数的导数公式4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．高频考点一导数的运算例1、分别求下列函数的导数：(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x－；(4)y＝.【方法技巧】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导.【变式探究】求下列函数的导数：(1)y＝x2 x；(2)y＝)；(3)y＝；(4)y＝(2x－5).则y′＝( u)′u′＝·2＝，即y′＝.高频考点二导数的几何意义例2、(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是. (2)已知函数f(x)＝x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为( )＋y－1＝0 －y－1＝0＋y＋1＝0 －y＋1＝0【解析】(1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝－1＋x.解得x0＝1，y0＝0.∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.【答案】(1)2x－y＝0 (2)B【方法规律】(1)求切线方程的方法：①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【变式探究】(1)已知直线y＝x＋1与曲线y＝(x＋a)相切，则a的值为( )A.1B.2C.－1D.－2(2)若函数f(x)＝x2－＋x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.【解析】(1)设切点为(x0，y0)，y′＝，所以有解得(2)∵f(x)＝x2－＋x，∴f′(x)＝x－a＋.∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(x>0).【答案】(1)B (2)[2，＋∞)【举一反三】(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋x在点(1，1)处的切线与曲线y＝2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝.【答案】8高频考点三、导数与函数图象的关系例3、如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作的垂线l.记△在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )【答案】D【解析】函数的定义域为[0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．【感悟提升】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由错误!求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．【变式探究】(1)已知函数f(x)＝3x＋2x＋2x，a＝f′()，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为( ) A．3x－y－2＝0B．4x－3y＋1＝0C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0(2)若直线y＝2x＋m是曲线y＝的切线，则实数m的值为．【答案】(1)C (2)－e∵P(a，b)在曲线y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.∴1－＝3(1－x0)，∴2－3＋1＝0，∴2－2－＋1＝0，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴切点为，∴此时的切线方程为y＋＝，综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0，故选C.(2)设切点为(x0，x00)，由y′＝()′＝＋x·＝＋1，得切线的斜率k＝0＋1，故切线方程为y－x00＝(0＋1)(x－x0)，整理得y＝(0＋1)x－x0，与y＝2x＋m比较得错误!解得x0＝e，故m＝－e.【2016高考山东理数】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【2015高考福建，理10】若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，，选项无法判断，故选C．【2014·安徽卷】设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．在内单调递增．(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，①当a≥4时，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a<4时，x2<1.由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，所以f(x)在x＝x2＝处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值．【2014·安徽卷】设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋；(2)数列{}满足a1＞，＋1＝＋，证明：＞＋1＞.(2)方法一：先用数学归纳法证明>.①当n＝1时，由题设知a1>成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式>成立．由＋1＝＋易知>0，n∈N*.当n＝k＋1时，＝＋＝1＋)－1)).由>>0得－1<－<)－1))<0.由(1)中的结论得＝)－1))))>1＋p· )－1))＝).因此>c，即＋1>，所以当n＝k＋1时，不等式>也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式>均成立．再由＝1＋)－1))可得<1，即＋1<.综上所述，>＋1>，n∈N*.方法二：设f(x)＝x＋x1－p，x≥，则≥c，所以f′(x)＝＋(1－p)x－p＝>0.所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式>＋1>均成立．【2014·福建卷】已知函数f(x)＝－(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值与函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<.【解析】解：方法一：(1)由f(x)＝－，得f ′(x)＝－a.又f ′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝－2x，f ′(x)＝－2.令f ′(x)＝0，得x＝2.当x< 2时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x> 2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝2时，f(x)取得极小值，且极小值为f( 2)＝2－2 2＝2－4，f(x)无极大值．(2)证明：令g(x)＝－x2，则g′(x)＝－2x.由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f( 2)＝2－4>0，故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<.(3)证明：①若c≥1，则≤.又由(2)知，当x>0时，x2<.故当x>0时，x2<.取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<.②若0<c<1，令k＝>1，要使不等式x2<成立，只要>2成立．综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<.方法二：(1)同方法一．(2)同方法一．(3)对任意给定的正数c，取x0＝，由(2)知，当x>0时，>x2，所以＝·>·，当x>x0时，>>＝x2，因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<.方法三：(1)同方法一．(2)同方法一．(3)首先证明当x∈(0，＋∞)时，恒有x3<.证明如下：令h(x)＝x3－，则h′(x)＝x2－.由(2)知，当x>0时，x2<，从而h′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h(x)<h(0)＝－1<0，即x3<.取x0＝，当x>x0时，有x2<x3<.因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<.【2014·广东卷】曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为．【答案】y＝－5x＋3 【解析】本题考查导数的几何意义以与切线方程的求解方法．因为y′＝－5e－5x，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x ＋3.【2014·江西卷】若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是．【答案】(－2，2) 【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝－e－x.又切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－2，此时y＝2，所以点P的坐标为(－2，2)．【2014·江西卷】已知函数f(x)＝(x2＋＋b)(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围．【2014·全国卷】曲线y＝－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A．2e B．eC．2 D．1【答案】C 【解析】因为y′＝(－1)′＝－1＋－1，所以y＝－1在点(1，1)处的导数是y′＝1＝e1－1＋e1－1＝2，故曲线y＝－1在点(1，1)处的切线斜率是2.【2014·新课标全国卷Ⅱ】设曲线y＝－(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D 【解析】y′＝a－，根据已知得，当x＝0时，y′＝2，代入解得a＝3.【2014·陕西卷】设函数f(x)＝(1＋x)，g(x)＝′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，＋1(x)＝g((x))，n∈N＋，求(x)的表达式；(2)若f(x)≥(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．那么，当n＝k＋1时，＋1(x)＝g((x))＝＝＝，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．(2)已知f(x)≥(x)恒成立，即(1＋x)≥恒成立．设φ(x)＝(1＋x)－(x≥0)，则φ′(x)＝－＝，当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立)．当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)<φ(0)＝0.即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知(1＋x)≥不恒成立．综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－(n＋1)．证明如下：即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．方法二：上述不等式等价于＋＋…＋<(n＋1)，在(2)中取a＝1，可得(1＋x)>，x>0.令x＝，n∈N＋，则>.故有2－1>，3－2>，……(n＋1)－n>，上述各式相加可得(n＋1)>＋＋…＋，结论得证．方法三：如图，是由曲线y＝，x＝n与x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋＋…＋是图中所示各矩形的面积和，∴＋＋…＋>＝＝n－(n＋1)，结论得证．【2014·四川卷】设等差数列{}的公差为d，点(，)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{}的前n项和；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－2)，求数列的前n项和.由题意有a2－2)＝2－2)，解得a2＝2.所以d＝a2－a1＝1.所以，＝.1.设曲线y＝－(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( )A.0B.1C.2D.3【解析】∵y＝－(x＋1)，∴y′＝－，∴当x＝0时，y′＝a －1.∵曲线y＝－(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D.【答案】D2.若f(x)＝2′(1)＋x2，则f′(0)等于( )A.2B.0C.－2D.－4【解析】∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.【答案】D3.曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( )A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，3)和(－1，3)D.(1，－3)【解析】f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.【答案】C4.已知曲线y＝x的切线过原点，则此切线的斜率为( )B.－eD.－【答案】C5.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－，∵g(x)＝(x)，∴g′(x)＝f(x)＋′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.【答案】B6.已知f1(x)＝x＋x，＋1(x)是(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，＋1(x)＝′(x)，n∈N＋，则f2 017(x)等于( )A.－x－x x－xC.－x＋x x＋x【解析】∵f1(x)＝x＋x，∴f2(x)＝f1′(x)＝x－x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－x－x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－x＋x，∴f5(x)＝f4′(x)＝x＋x，∴(x)是以4为周期的函数，∴f2 017(x)＝f1(x)＝x＋x，故选D.【答案】D7.已知函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )A.4B.－C.2D.－【解析】f′(x)＝g′(x)＋2x.∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为4.【答案】A8.已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围.9.已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.解(1)∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′＝2＝4.∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点＋43))，则切线的斜率为y′＝x0＝.∴切线方程为y－＋43))＝(x－x0)，即y＝·x－＋.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2－＋，即－3＋4＝0，∴＋－4＋4＝0，∴(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y －4＝0.10.设函数f(x)＝－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.。

高考复习—-导数复习目标1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2熟记基本导数公式,掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。

能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数.4．了解复合函数的概念。

会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。

三、基础知识梳理：导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微)；（2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3)应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

4．瞬时速度物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 5．导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据． 对导数的定义,我们应注意以下三点：（1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)．（2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，xy∆∆有极限，那么函数y=f （x ）在点0x 处可导或可微，才能得到f （x)在点0x 处的导数．（3)如果函数y=f （x)在点0x 处可导，那么函数y=f （x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x ｜在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法,必须严格按以下三个步骤进行：（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆; （2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； （3)取极限，得导数x y x f x ∆∆=→∆00lim )('。

高中数学导数的概念教案
一、教学目标：
1. 理解导数的定义及其物理意义；
2. 掌握导数计算的方法和规则；
3. 能够应用导数解决实际问题；
4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。

二、教学重点和难点：
1. 理解导数的定义及其物理意义；
2. 导数计算的方法和规则；
3. 实际问题应用。

三、教学内容与安排：
第一课时：导数的基本概念
1. 定义：导数是函数在某一点处的瞬时变化率；
2. 物理意义：导数表示了函数的变化速率，可以用来解释速度、加速度等物理现象；
3. 讨论导数存在的必备条件。

第二课时：导数的计算方法
1. 导数的计算法则：和、差、积、商、复合函数的导数；
2. 高阶导数的计算方法；
3. 计算导数的基本技巧。

第三课时：导数的应用
1. 利用导数求函数的极值；
2. 利用导数解决优化问题；
3. 利用导数解决曲线的切线问题。

四、教学方法：
1. 讲授相结合，引导学生主动探究；
2. 注重示范和实例讲解，提高学生的问题解决能力；
3. 课堂小组讨论，促进学生之间的合作与交流。

五、教学评价：
1. 课堂练习与作业；
2. 实际问题解决能力的考核；
3. 学生的课堂表现和参与度。

六、教学反思：
1. 根据学生的理解情况调整教学内容和节奏；
2. 激发学生的学习兴趣，增强学生的主动学习意识；
3. 关注学生的学习过程，及时给予反馈和帮助。

导数概念及其运算、定积分教学目标知识与技能：1.了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．过程与方法：能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．情感与价值观：主要通过导数的运算及导数的几何意义考查逻辑推理和数学运算能力.第一课时【课题】导数概念及其运算、定积分【授课时间】年月日班级：【教学重点】了解导数概念的实际背景【教学难点】能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数【课型】复习课【教学用具】班班通【教学方法】引导法，练习法，探究法【教学过程】初次备课二次备课二、预习检测：1．什么是导数？三、新课引入：1．函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数 f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin xf ′(x )＝cos_x f (x )＝cos xf ′(x )＝－sin_x f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x f (x )＝log a x(a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a 3.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．定积分(1)定积分的概念在⎠⎛a bf (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(2)定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a b f (x )d x (k 为常数)； ②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x ；③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )．1．若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝________.答案：2e2．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝01．(2020·珠海调考)下列求导运算正确的是( )。

3.1 导数的概念及运算巩固·夯实基础一、自主梳理1、 导数及有关概念:函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ， 因此，导数的定义式可写成000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义： 导数0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '. 4.可导:如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导.5.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.()3取极限，得导数y '=()f x '=xy x ∆∆→∆0lim 7.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；1(ln )x x'=； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ；()ln x x a a a '=8.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭9.复合函数的导数：设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'10.复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.11.复合函数求导的基本步骤：分解——求导——相乘——回代12.导数的几何意义：是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率，即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A必为切点，前者未必是切点.链接·提示f (x )在x =x 0处的导数f ′(x 0)的实质是“增量之比的极限”，但在计算中取它的应用含义:f ′(x 0)是函数f (x )的导函数f ′(x )当x =x 0时的函数值.二、点击双基1.质点运动方程为s =61t 3-21t 2+1,那么当质点在t =2时的速度为( ) A.0 B.1 C.2 D.32.设函数f (x )在x =x 0处可导,则0lim →h hx f h x f )()(00-+( ) A.与x 0、h 都有关 B.仅与x 0有关而与h 无关C.仅与h 有关而与x 0无关D.与x 0、h 均无关3.函数y =x 2的曲线上点A 处的切线与直线3x -y +1=0的夹角为45°,则点A 的坐标为_ __________________________.4.0lim→x x x θθsin )sin(-+=___________________________.诱思·实例点拨『例1』 若f (x )在R 上可导，(1)求f (-x )在x =a 处的导数与f (x )在x =-a 处的导数的关系；(2)证明若f (x )为偶函数，则f ′(x )为奇函数.链接·拓展(2)中若f (x )为奇函数，f ′(x )的奇偶性如何？『例2』已知函数f (x )=ln x ,g (x )=21x 2+a (a 为常数),直线l 与函数f (x )、g (x )的图象都相切,且l与函数f (x )图象的切点的横坐标为1.求直线l 的方程及a 的值.剖析:由直线l 与函数f (x )切点的横坐标为1,可利用导数求出函数f (x )在该点切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程;因为直线l 与函数g (x )的图象相切,所以l 与g (x )有且只有一个公共点,此时可将直线代入g (x ),通过Δ=0,求出a 的值.『例3』 求下列函数的导数:(1)y =x 2sin x ；(2)y =ln(x +21x +)；(3)y =11-+x x e e ； (4)y =xx x x sin cos ++.链接·聚焦函数f (x )在点x 0处是否可导与是否连续有什么关系？答案二、点击双基1.『解析』s ′=21t 2-t ,∴s ′(2)=0. 『答案』A2.『答案』B3.『解析』设点A 的坐标为(x 0,y 0),则y ′0|x x ==2x 0|x x ==2x 0=k 1.又直线3x -y +1=0的斜率k 2=3,∴tan 45°=1=|1|||1212k k k k +-=|006123x x +-|. 解得x 0=41或x 0=-1. ∴y 0=161或y 0=1, 即A 点坐标为(41，161)或(-1，1). 『答案』(41，161)或(-1，1) 4. 『解析』0lim →x xx θθsin )sin(-+=sin′θ=cos θ. 『答案』cos θ『例1』剖析:(1)需求f (-x )在x =a 处的导数与f (x )在x =-a 处的导数；(2)求f ′(x )，然后判断其奇偶性.(1)解:设f (-x )=g (x ),则g ′(a )=0lim →∆x xa g x a g ∆-∆+)()( =0lim →∆x xa f x a f ∆--∆--)()( =-0lim →∆x x a f x a f ∆---∆--)()( =-f ′(-a ).∴f (-x )在x =a 处的导数与f (x )在x =-a 处的导数互为相反数.(2)证明:f ′(-x )=0lim →∆x xx f x x f ∆--∆+-)()( =0lim →∆x xx f x x f ∆-∆-)()( =-0lim →∆x x x f x x f ∆--∆-)()( =-f ′(x ).∴f ′(x )为奇函数.讲评:用导数的定义求导数时，要注意Δy 中自变量的变化量应与Δx 一致.『例2』解:由f ′(x )|x =1=1,知k l =1,切点为(1,f (1)),即(1,0),所以直线l 的方程为y =x -1.直线l 与y =g (x )的图象相切,等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=-=a x y x y 221,1只有一解,即方程21x 2-x +(1+a )=0有两个相等的实根, ∴Δ=1-4×21(1+a )=0. ∴a =-21. 讲评:本题通过利用导数来求函数的切线、利用方程的思想判断函数图象与直线的交点问题,考查了学生的应用能力及分析问题、解决问题的能力. 『例3』解:(1)y ′=(x 2)′sin x +x 2(sin x )′=2x sin x +x 2cos x .(2)y ′=211x x ++·(x +21x +)′ =211x x ++(1+21x x+)=211x +.(3)y ′=2)1()'1)(1()1()'1(--+--+x x x x x e e e e e =2)1(2--x xe e . (4)y ′=2)sin ()'sin )(cos ()sin ()'cos (x x x x x x x x x x +++-++ =2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+- =2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x +--+--。