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二、问题 政策制定者的目标： 最大化 ( , )et dt 0 满足 (0) 0
T
(T ) 0 (T给定) 和 三、解路径 被积函数为： F ( , )e t
j 1 2 t F 2( ) e 2 2 j j 2 t 1 2 t F e 二阶导数： F 2( )e 2 2 j j 1 2 t Ft 2 ( ) e 2 j2 j
( n1) 设y x1, y x2 ,, y xn1
那么高阶导数泛函可以转化为多个状态变量的泛函:
dt V y, x1 ,, xn1 T 0 F [t , y , x1 ,, xn 1 , xn 1 ]
第三节 通货膨胀和失业之间的折衷
一、社会损失函数 2 2 社会损失函数为： (Y f Y ) p ( 0) (2.39) 其中， Y 为实际收入，Y f 为理想实际收入，p为实际 通货膨胀率。 Y f Y与 p 的关系用附加预期的菲利普斯曲线来表示： p (Y f Y ) ( 0) (2.40) 其中， 表示预期通货膨胀率。 预期通胀率 的形成被假定为自适应的： (2.41) ( d dt) j( p ) (0 j 1) 由（2.40)式和(2.41)式，得： j (Y f Y ) 重新整理，得： (Y f Y ) j (2.42) （2.42)式代入(2.40)式，得： p ( j ) (2.43) （2.42)和(2.43)式代入(2.39) 式，得社会损失函数： 2 ( , ) ( j ) ( j ) (2.44)
t b
t a
vdu vu t a udv
t a
Байду номын сангаас
t b
t b
（2.15）
令 v Fy 和 u p(t ) 。于是我们得到：
dFy du dv dt p(t )dt dv dt dt 和 du dt dt dt
把这些表达式代入（2.15），其中a=0，b=T。我们得到： T d T T d T p(t ) Fydt F p ( t ) dt F p ( t ) p ( t ) F dt y y y 0 0 0 0 dt dt
T
0
d p(t ) Fy Fy dt 0 dt
（2.17)
步骤3 由于p(t ) 是任意的，因此可以得到： d Fy Fy 0 对于所有 t [0, T ] (2.18) dt 欧拉方程 d 或 Fy Fy 对于所有 t [0, T ] (2.18) dt
T T dV d Fy p(t )dt p(t ) Fydt 0 0 0 d dt
T T dV d 以上推导得到： Fy p(t )dt p(t ) Fydt 0 0 0 d dt dV 对推导得到的 进行整理： d T T dV d Fy p(t )dt p(t ) Fydt 0 0 d dt
垄断企业的动态需求函数： Qd D( P, P)
Qs D( P, P) 垄断企业的总收益函数：R PQ R( P, P) 垄断企业的总成本函数：C C (Q) C[ D( P, P)] Qs Qd
垄断企业的总利润函数：
R C R( P, P) C[ D( P, P)] ( P, P)
第二节 欧拉方程的推广
一、多个状态变量的情况
当给定问题中具有 n 1 个状态变量时，泛函变为：
dt V y1,, yn T 0 F [t , y1 ,, yn , y1 ,, yn ]
并且对于每个状态变量都有一对初始条件和终结条件。
n 个变量的欧拉方程组为： d Fyj Fyj 0 对于所有 t [0, T ] dt
( j 1,2,, n)
*
(2.27)
*
这几个方程与边界条件一起,可以确定解 y1 (t ), , yn (t )
二、高阶导数的情况
考虑一个含有 y (t ) 的高阶导数的泛函，即：
(n) V y T F [ t , y , y , y , , y ]dt 0
( n 1) 并且 y, y , y ,, y 都有一对初始条件和终结条件,即 共有 2 n 个边界条件。 可以转化为含有 n 个状态变量及其一阶导数的一个等 价函数：
具有边界条件：y(0) 1, yT 10, 并且T是自由的
Fy t 2 y Fy 0 d d Fy ，可得： Fy 0 根据欧拉方程 Fy dt dt Fy 常数 t 2 y 常数 1 y t c1 2 1 2 * 根据直接积分，得 y 4 t c1t c2
2 F ty y
由于y(0) 1, 所以c2 1,
y
根据水平终结线的横 截条件： [ F yFy ]t T 0
10
1 2 y (t ) t c2t c1 4
*
F ty
t 2 y 和Fy t 2 y 代入水平终结线横截条件。
加总T期的总利润函数，得到目标泛函：
T
0
( P, P)dt
如果收益函数或成本函数随时间变化，目标泛函：
T
0
(t , P, P)dt
第一节 欧拉方程
一、欧拉方程的推导
变分法的基本问题
最大化或最小化 V ( y )
T 0
F [t , y (t ), y(t )]dt ( A给定) (T , Z给定)
t y(t )
y(t )
（3）弧的前进方向
y(t ) dy / dt
存在某个函数F，将弧值赋予弧，即从无限小的弧( 曲线)到弧值(实数)的影射，表示为： F[t , y(t ), y' (t )]
目标泛函就是弧值之和：V [ y]
t
T
0
F[t , y(t ), y' (t )]dt
例：垄断企业的利润函数
变为：
T 0
V ( ) F[t , y* (t ) p(t ), y* ' (t ) p(t )]dt
y(t ) y(t )
T
t
一、欧拉方程的推导
对于函数 I ( x)
F (t, x)dt a b I ( x) 莱布尼兹法则： Fx (t , x )dt a dx
2
V ( y) (ty y2 )dt
0
T
F ty y
由于y(0) y(1) 1, 所以c1 1 4 和c2 1,
1 2 1 因此，极值曲线为：y t t 1 4 4
*
例2 求下列泛函的极值曲线。
V ( y)
T
0
2 (ty y )dt
s.t.
y (0) A y (T ) Z
p(0) p(T ) 0
y
y(t ) y* (t ) p(t )
* y (t ) y ' (t ) p(t )
y(t ) y* (t ) p(t )
Z
A
y * (t ) p(t )
0
dt V ( y ) T 0 F [t , y (t ), y (t )]
1 0
ty y2 y(t 2 y) 0 （在t=T处） y 2 0 y 0 1 1 2 * * y ' t c1 通解为 y t c1t 1 2 4 1 1 * y ' (T ) T c1 0 c1 T 2 2 T 6 1 2 水平终结线 yT 10, 即yT T c1T c2 10 4 c1 3
第一章 动态最优化的性质
第二章变分法的基本问题
允许的路径集合 （曲线）
路径值集合 （实线）
泛函的概念
通常函数：从实数到实数的映射。 泛函：从路径（曲线）到实数的映射。
目标泛函的概念
无限小的 一条弧
连续时间路径上识别一条弧，需要三样信息： (t ) y （1）开始时间
（2）开始状态
第三章 可变端点横截条件
预备知识：对定积分的求导
（1）莱布尼兹法则——对定积分的求导
对于函数 I ( x )
b
a
F (t, x )dt
（2.6)
b dI Fx (t , x )dt dx a
T 0
* *
b
y y(t ) y* (t ) p(t )
步骤1 首先用 来表示V，并求导：
y* (t ) p(t )
T
V ( ) F[t , y (t ) p(t ), y ' (t ) p(t )]dt
t
y(t ) y(t ) T F T F dy dV F dy dt ( )dt 0 0 d y d y d T Fy p(t ) Fy p(t ) dt
d Fy 0 ，得： 把它代入(2.18)式，即 Fy dt
Fy [Fty Fyy y(t ) Fyy y(t )] 0 Fyy y(t ) Fyy y(t ) Fty Fy 0
(2.19)
欧拉方程 的另一种 形式
例1 求下列泛函的极值曲线。
具有边界条件：y (0) y (1) 1
Fy t 2 y Fy 0 d d Fy ，可得： Fy 0 根据欧拉方程 Fy dt dt Fy 常数 t 2 y 常数 1 y t c1 2 1 2 * 根据直接积分，得 y 4 t c1t c2
