【三维设计】高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)第二章 变化率与导数、导数的计算教学案

解答題増分TT系列讲座〔六〕QJJ I EDATI ZENC I FEN XILIE IIANCIZUO“概率与统计〞类题目的审题技巧与解题标准［审题技巧］宙图表’明目标［技法概述］在高考的实际综合应用问题中，题目中的图表、数据包含着问题的根本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向，在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，为问题解决提供有助的方法.［适用题型］在高考中以下几种题型常用到此审题方法：(1) 概率与统计局部；(2) 回归分析与统计案例；(3) 算法与程序框图•［解题标准］［典例］(2021湖•南高考)(此题总分值12分)某人在如下图的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物•根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近〞作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近〞是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近〞的概率;⑵从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.［解题步步标准1［解题流程］第一步由图表确定总株 数及内部株数， 边界株数. 第二步 计算事件根本数 及所求事件数.第三步解：1所种作物总株数N = 1 + 2+ 3 ? +4 + 5= 15,其中三角形地块内部的作 物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别 随机选取一株的不同结果有c 3C i2 = 36种, ?选取的两株作物恰好“相近〞的不同结 果有3 + 3 + 2 = 8种.［失分警示］ ——结合图形准 确计算“相近〞 的结果易无视某 一类导致结果计 算出错求円戶51)数晨m1的值h^J期卑第2问求概率.第四步故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株 作物，它们恰好“相近〞的概率为36=9.2先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量丫的分布列.因为 P Y = 51 = P X = 1 , P Y = 48 = PP Y = 45 = P X = 3 , P Y = 42 = P•转化变量间关系如 P Y = 51 = PX = 1 是关键.对Y 的每个取值相对 应的概率求法易失误量Y 取值：所以只需求出PX = k k = 1 , 2, 3, 4即可. 记九为其“相近〞作物恰有k 株的作物株数 k = 1, 2, 3, 4，那么 n 1 = 2,匕=4,出=6,加=3.得 PX = 1 = £4 6 2 31PX =2 = 15，PX = 3 = 15= 5，PX =4 = 15= 5. 9分的概率.■故所求的分布列为1 34+ 64+9°+ 化 46. 12分第五步井析泊FI 峙踪 论，佛紀所求-4#. M 相.程两•嗽值诵宜隧机戏啟用 所样町噩収慎・ 值的 戦抓条门弋KM ： 査醱.朮肾"bi 町能〔M 对川的W 〔卓话哉如辿韦I乏 H 伯廿斎列.利用 井布网豹性朋世订 检验是杳准射1. 〔2021武昌模拟〕某市准备从7名报名者〔其中男4人，女3人〕中选3人参加三个副局 长职务竞选.为女副局长的概率.解：〔1〕依题意，X 可取0,1,2,3 ,故X 的分布列为3X 5 1⑵记D = “A 局是男副局长〞，E = “B 局是女副局长〞，贝U P 〔E|D 〕 = 6X5 = 2-第五步写出Y 的分布列.？第六步 求期望.〔7分〕所求的数学期望为E Y = 51 X 15 + 48 X 15 + 45 X | +42 15 15 5•计算期望 法由于不细 心、易算错， 导致丢2分模板形成［解答题观范专练］ 概率与统计 第二加利用匚他和H<瓷进点、闔钿点〔1〕设所选3人中女副局长人数为 X , 求X 的分布列;〔2〕假设选派三个副局长依次到 A , B , C 三个局上任，求 A 局是男副局长的情况下,P (X =0)=C 7= 35, P (X = 1)=曲_ 18 C 7= 35，C® 12P (x =2) = CCT = 32, C 3丄 P (x =3)=C 7= 35，2•某单位举行一次全体职工的象棋比赛〔实行三局两胜制〕，甲、乙两人进入决赛.甲、乙两人平时进行过屡次对弈，其中记录了30局的对弈结果如右表:根据表中的信息，预测在以下条件下的比赛结果:〔1〕在比赛时由掷硬币的方式决定谁先，试求甲在第一局获胜的概率;⑵假设第一局由乙先，以后每局由负者先.①求甲以二比一获胜的概率；②假设胜一局得2分，负一局得0分，用E表示甲在这场比赛中所得的分数，试求布列与数学期望E〔8.解：根据题中表格的信息可知，假设甲先，那么甲获胜的概率是2 12，乙获胜的概率是1假设乙3 2先，那么甲获胜的概率是？乙获胜的概率是~.5 51 2 1 3 19〔1〕甲在第一局获胜的概率是P1 =尹3 +寸5 =五.⑵①假设甲以二比一获胜，那么甲胜第一局和第三局，或甲胜第二局和第三局.所以，甲以二比一获胜的概率是P2= 3x 2x 2+ 2x 2x 3=色P2 5 5 3^ 5 3 5 25.②由题意知，E的所有可能取值为0,2,4，那么2「2 P(E=0)=5X1= 15；P(三=2) = 2x 打-x-P(' 2) 5 5 3十5 3x5=玮；P&4) = 3X 3+血=立P(' 4) 5 5 25 25.所以E的分布列为2 14 17 232E(8=0 x-+2X 74+4x27=石.3 . 〔2021成都模拟〕某校高三〔1〕班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见局部如下：试根据图表中的信息解答以下问题:〔1〕求全班的学生人数及分数在［70,80〕之间的频数；〔2〕为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于［70,80〕，［80,90〕和［90,100］分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中成绩位于［70,80〕分数段的人数X的分布列和数学期望.解：〔1〕由茎叶图可知，分数在［50,60〕上的频数为4,频率为0.008X 10= 0.08，故全班的4学生人数为0-4〕8= 50.分数在［70,80〕之间的频数等于50 —〔4 + 14+ 8 + 4〕= 20.〔2〕按分层抽样原理，三个分数段抽样数之比等于相应人数之比.又［70,80〕, ［80,90〕和［90,100］分数段人数之比等于5 ：2 ：1，由此可得抽出的样本中分数在［70,80〕之间的有5人，分数在［80,90〕之间的有2人，分数在［90,100］之间的有1人.从中任取3人，共有C8= 56种不同的结果.被抽中的成绩位于［70,80〕分数段的学生人数X的所有取值为0,1,2,3.它们的概率分别是：C3 1 C s C3 15 c5c3 30 15 C3 10 5 P〔x =0〕=56= 56, P〔x=1〕=w=56，P〔x=2〕=石=辰=28, P〔X=3〕=56=56=云•••X的分布列为X0123P1r 1515:5 56562828卑叶=<3668~013334J5077889了L334454T1 15 15 5 105 15 •••x 的数学期望为E〔x〕= o x 56+仆15+2X云+3X28=105= 8。

数学三维设计一轮复习资料数学三维设计是高考数学难度较大的一项，要求考生在三维几何空间中进行计算和分析，并能够进行图形的设计与实现。

由于数学三维设计的考察范围涉及的知识点较多且难度较大，因此对于考生来说复习备考不可掉以轻心。

在这篇文章中，我将会为大家整理一些数学三维设计的复习资料，以帮助大家更好地备考。

一、知识点整理要备考数学三维设计，首先需要掌握相关的知识点和概念。

数学三维设计的考察范围包括了三维几何空间的基本概念、向量的应用、直线和平面的方程、球面的方程、圆锥曲线的方程和参数方程等等。

在备考的过程中，我们需要将这些内容进行分类整理，进行深入的理解和掌握。

二、例题练习例题练习是备考数学三维设计时必不可少的环节。

通过高质量的例题练习，我们能够切实提高自己的解题能力和应试经验。

在备考过程中，我们可以通过参考历年高考数学试题中的数学三维设计部分来进行例题练习。

同时，我们也可以通过参考教辅材料中的例题进行深入的训练。

三、模拟测试模拟测试是检测备考成果的重要环节，有效的模拟测试练习可以帮助我们全面地了解自己的备考成果和复习情况，并及时发现和解决存在的问题。

在备考过程中，我们可以通过模拟考试来检测自己的备考水平并提高应试能力。

此外，备考时还可以参加各类模拟考试，学习不同的解题方法和策略。

四、思维拓展数学三维设计不仅考验了考生的计算能力和操作水平，同时也考察了考生的思维能力和逻辑思维能力。

因此，在备考过程中，我们需要注意深入理解和扩展思维。

从历史的数学思想到现代的科技应用，我们需要通过多方面的学习和了解来扩展自己的思维。

五、课程辅导针对某些难点和需要进一步澄清的知识，我们可以参加数学相关的培训或课程辅导。

这些课程辅导不仅可以为我们解答疑惑，更可以帮助我们系统性地学习和掌握数学三维设计的相关内容。

以上就是关于数学三维设计一轮复习资料的整理总结。

备考数学三维设计需要我们掌握基本的知识点和概念，通过例题练习和模拟测试来巩固和提高应试经验，同时还需要拓展思维，吸收多方面的思考和理解。

《三维设计》高三数学 第二单元 基本初等函数（I ）和导数13.函数的应用课时限时检测(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p %纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p %纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p %为( )A ．10%B ．12%C ．25%D ．40%解析：利润300万元，纳税300·p %万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为200－1000×2%＝180(万元)，纳税180·p %万元，共纳税300·p %＋180·p %＝120(万元)，p %＝14＝25%.答案：C2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件 解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值． 答案：B3．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H 与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是( )解析：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取12t 时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可知选B. 答案：B4．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x (千米)与时间t (小时)之间的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t ，0≤t ≤2.5150－5t ，x ＞3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5＜t ≤3.5，150－50t －3.5，3.5＜t ≤6.5解析：到达B 地需要15060＝2.5小时， 所以当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ；当2.5＜t ≤3.5时，x ＝150； 当3.5＜t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)．答案：D5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )解析：画出曲线的切线，其切线的斜率的意义为速度．由图中切线斜率的变化规律可知选A.答案：A6．在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A 的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B 的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A 的数量是B 的数量的两倍，需要的时间为( )A ．5 hB ．10 hC ．15 hD ．30 h 解析：假设一开始两种细菌数量均为m ，则依题意经过x 小时后，细菌A 的数量是f (x )＝m ·22x ，细菌B 的数量是g (x )＝m ·54x ，令m ·22x ＝2·m ·54x ，解得x ＝10. 答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为______________．(围墙厚度不计)解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4m ， 则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )． 当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2.[来源:学科网ZXXK]答案：2 500 m 28．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (x )＝1.06×(0.50×[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是大于或等于m 的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m ∈________.解析：∵10.6＝1.06(0.50×[m ]＋1)，∴0.5[m ]＝9，∴[m ]＝18，∴m ∈(17,18]．答案：(17,18]9．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接收方通过解密得到明文“3”，若接收方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析：依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x－2，解得x ＝4.答案：4三、解答题(共3小题，满分35分)10．现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次．即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(精确到小时)(参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100； 2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2 ＝94×100； 3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2 ＝278×100； 4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2 ＝8116×100； …可见，细胞总数y 与时间x (小时)之间的函数关系为：y ＝100×(32)x ，x ∈N.由100×(32)x >1010， 得(32)x >108， 两边取以10为底的对数，得x lg 32>8， ∴x >8lg3－lg2， ∵8lg3－lg2≈80.477－0.301≈45.45. 故经过46小时，细胞总数超过1010个．11．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为y x (万元)． 则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2 x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号． ∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000 ＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)． ∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．12．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －18t 3－34t 2＋36t －6294，6≤t ＜9，t 8＋554，9≤t ≤10，－3t 2＋66t －345，10＜t ≤12.求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．解：(1)当6≤t ＜9时，y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t 2＋4t －96)＝－38(t ＋12)(t －8)． 令y ′＝0，得t ＝－12或t ＝8.∴当t ＝8时，y 有最大值． y max ＝18.75(分钟)．(2)当9≤t ≤10时，y ＝18t ＋554是增函数， ∴当t ＝10时，y max ＝15(分钟)．(3)当10＜t≤12时，y＝－3(t－11)2＋18，∴当t＝11时，y max＝18(分钟)．综上所述，上午8时，通过该路段用时最多，为18.75分钟．。

课时跟踪检测(十三) 变化率与导数、导数的计算第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·泰州期末)曲线y ＝2ln x 在点(e,2)处的切线(e 是自然对数的底)与y 轴交点的坐标为________．2．曲线y ＝x3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则实数a ＝________.3．(2014·常州模拟)已知点A(1,1)和B(－1，－3)在曲线C ：y ＝ax3＋bx2＋d(a ，b ，d 均为常数)上．若曲线C 在点A ，B 处的切线互相平行，则a3＋b2＋d ＝________.4．(2013·南通一模)曲线f(x)＝e ·ex－f(0)x ＋12x2在点(1，f(1))处的切线方程为____________．5．(2013·南京、盐城三模)设点P 是曲线y ＝x2上的一个动点，曲线y ＝x2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y ＝x2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为________．6．(2013·广东高考)若曲线y ＝ax2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，则a ＝________.7．已知函数f(x)＝ln x －f′(－1)x2＋3x －4，则f′(1)＝________.8．已知f1(x)＝sin x ＋cos x ，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn －1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________. 9．(2014·南京摸底)已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x ＋aln x(a 为常数)．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f(x)在x ＝1处切线的方程；(2)当a>0时，讨论函数y ＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．10．(2013·苏北四市三调)设函数f(x)＝x2－aln x 与g(x)＝1ax －x 的图像分别交直线x ＝1于点A ，B ，且曲线y ＝f(x)在点A 处的切线与曲线y ＝g(x)在点B 处的切线斜率相等．(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)当a>1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值；(3)当a<1时，不等式f(x)≥m·g(x)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上恒成立，求实数m 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题(2014·苏州调研)已知函数f(x)＝aln x －bx2图像上一点P(2，f(2))处的切线方程为y ＝－3x ＋2ln 2＋2.(1)求a ，b 的值；(2)若方程f(x)＋m ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内有两个不等实根，求实数m 的取值范围(其中e 为自然对数的底，e≈2.7)；(3)令g(x)＝f(x)－nx ，如果g(x)图像与x 轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1<x2，线段AB 的中点为C(x0,0)，求证：g′(x0)≠0.答 案第Ⅰ卷：全员必做题1．解析：由曲线y ＝2ln x 得y′＝2x ，所以k ＝2e ，所以点(e,2)处的切线方程为y －2＝2e(x －e)，令x ＝0得y ＝0，所以曲线y ＝2ln x 在点(e,2)处的切线与y 轴交点的坐标为(0,0)． 答案：(0,0)2．解析：由题知y′＝3x2＋a ，设切点为(x0，x30＋ax0＋1)，则切线方程为y －(x30＋ax0＋1)＝(3x20＋a)(x －x0)，即y ＝(3x20＋a)x ＋(－2x30＋1)．又切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x20＋a ＝2，－2x30＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝0，a ＝2.答案：23．解析：由题意得y′＝3ax2＋2bx ，因为k1＝k2，所以3a ＋2b ＝3a －2b ，即b ＝0.又a ＋d ＝1，d －a ＝－3，所以d ＝－1，a ＝2，即a3＋b2＋d ＝7.答案：74．解析：因为f′(x)＝e ·ex －f(0)＋x ，故有⎩⎪⎨⎪⎧ ＝e ，＝－＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ ＝1，＝e ，原函数表达式可化为f(x)＝ex －x ＋12x2，从而f(1)＝e －12，所以所求切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12＝e(x －1)， 即y ＝ex －12. 答案：y ＝ex －125．解析：设P(x0，x20)，又y′＝2x ，则直线PQ 的方程为y ＝－x 2x0＋12＋x20.代入y ＝x2得x2＋x 2x0－12－x20＝0， 即(x －x0)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x0＋12x0＝0，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－x0－12x0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x0＋12x02.从而PQ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋12x02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x202，令t ＝4x20，则PQ2＝f(t)＝t ＋3t ＋1t2＋3(t>0)，则f′(t)＝＋－t3，即f(t)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故当t ＝2时，PQ 有最小值332. 答案：3326．解析：因为y′＝2ax －1x， 依题意得y′|x＝1＝2a －1＝0，所以a ＝12. 答案：127．解析：∵f′(x)＝1x－2f′(－1)x ＋3， f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x －sin x ，f3(x)＝(cos x －sin x)′＝－sin x －cos x ，f4(x)＝－cos x ＋sin x ，f5(x)＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出fn(x)＝fn ＋4(x)，又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝503f1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. 答案：09．解：(1)当a ＝－1时，f(x)＝x2＋x －ln x ，则f′(x)＝2x ＋1－1x， 所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.所以曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x.(2)由题意得f′(x)＝2x －(1＋2a)＋a x ＝2x2－＋＋a x ＝－－x (x>0)．由f′(x)＝0，得x1＝12，x2＝a. ①当0<a<12时，由f′(x)>0且x>0，得0<x<a 或12<x<1； 由f′(x)<0且x>0，得a<x<12. 所以函数f(x)的单调递增区间是(0，a)和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12； ②当a ＝12时，f′(x)＝－2x ≥0，当且仅当x ＝12时， f′(x)＝0.所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数；③当12<a<1时，由f′(x)>0且x>0， 得0<x<12或a<x<1； 由f′(x)<0且x>0，得12<x<a. 所以函数f(x)的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(a,1)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a ； ④当a≥1时，由f′(x)>0且x>0，得0<x<12； 由f′(x)<0且x>0，得12<x<1. 所以函数f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 10．解：(1)由f(x)＝x2－aln x ，得f′(x)＝2x2－a x. 由g(x)＝1a x －x ，得g′(x)＝2x －a 2a x. 又由题意可得f′(1)＝g′(1)，即2－a ＝2－a 2a ，故a ＝2或a ＝12. 所以当a ＝2时，f(x)＝x2－2ln x ，g(x)＝12x －x ； 当a ＝12时，f(x)＝x2－12ln x ， g(x)＝2x －x.(2)当a>1时，h(x)＝f(x)－g(x) ＝x2－2ln x －12x ＋x ，所以h′(x)＝2x －2x －12＋12x ＝－＋x －x －12x＝(x－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋x ＋x ＋－x 2x . 由x>0，得x ＋x ＋x ＋－x 2x >0.故当x ∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以函数h(x)的最小值为h(1)＝1－2ln 1－12＋1＝32. (3)当a ＝12时，f(x)＝x2－12ln x ， g(x)＝2x －x. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时， f′(x)＝2x －12x ＝4x2－12x<0， f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为减函数， f(x)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋12ln 2>0. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，g′(x)＝2－12x ＝4x －12x>0，g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为增函数， g(x)≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－22， 且g(x)≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝0. 要使不等式f(x)≥m·g(x)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上恒成立， 当x ＝14时，m 为任意实数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12时，m≤.而⎣⎢⎡⎦⎥⎤min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋24ln(4e)， 所以m≤2＋24ln(4e)． 实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2＋24ln 4e第Ⅱ组：重点选做题解：(1)由题知，f′(x)＝a x －2bx ，则f′(2)＝a 2－4b ，f(2)＝aln 2－4b ，所以a 2－4b ＝－3，且aln 2－4b ＝－6＋2ln 2＋2.解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2ln x －x2.令h(x)＝f(x)＋m ＝2ln x －x2＋m ，则h′(x)＝2x －2x ＝－x .令h′(x)＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，h′(x)>0，所以h(x)是增函数；当x ∈(1，e]时，h′(x)<0，所以h(x)是减函数．则方程h(x)＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内有两个不等实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤0，，，解得1<m≤1e2＋2.所以实数m 的取值范围是(1，1e2＋2]．(3)证明：由题知g(x)＝2ln x －x2－nx ，g′(x)＝2x －2x －n.假设g′(x0)＝0，则有错误!①－②得2ln x1x2－(x21－x22)－n(x1－x2)＝0，所以n ＝2ln x1x2x1－x2－2x0.由④得n ＝2x0－2x0，所以ln x1x2x1－x2＝1x0，即ln x1x2x1－x2＝2x1＋x2，即ln x1x2＝2x1x2－2x1x2＋1. ⑤令t ＝x1x2，u(t)＝ln t －2t －2t ＋1(0<t<1)． 则u′(t)＝－＋>0， 所以u(t)在0<t<1上是增函数．u(t)<u(1)＝0，所以⑤式不成立，与假设矛盾．故g′(x0)≠0.。

第2章 函数、导数及其应用第8节 函数与方程1. (2014山东，5分)已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx ，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k<1.答案：B2. (2014天津，5分)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：画出函数f (x )＝|x 2＋3x |的大致图象，如图，令g (x )＝a |x－1|，则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有且仅有4个不同的交点，显然a >0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a 1－x消去y ，得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，由Δ>0，解得a <1或a >9；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a 1－x消去y ，得x2＋(3＋a )x －a ＝0，由Δ>0，解得a >－1或a <－9.综上，实数a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)．3. (2014江苏，5分)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x∈[－3,4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，124. (2014新课标全国卷Ⅰ，5分)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1有两个零点，不符合题意，故a ≠0.f ′(x )＝3ax2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a，由题意得a <0且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，解得a <－2，选B.答案：B5．(2013安徽，5分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：本题主要考查函数与导数以及函数与方程的基础知识，意在考查考生的数形结合思想、推理论证能力以及创新意识．因为函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，可知关于导函数的方程f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0有两个不等的实根x 1，x 2.则方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有两个不等的实根，即f (x )＝x 1或f (x )＝x 2，原方程根的个数就是这两个方程f (x )＝x 1和f (x )＝x 2的不等实根的个数之和．由上述可知函数f (x )在区间(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是单调递增的，在区间(x 1，x 2)上是单调递减的，又f (x 1)＝x 1<x 2，如图所示，由数形结合可知，f (x )＝x 1时，有两个不同实根，f (x )＝x 2时有一个实根，所以不同实根的个数为3.答案：A6．(2013天津，5分)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：本题考查函数零点，意在考查考生的数形结合能力．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝12图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝12x的图象，易知有2个交点．答案：B7．(2013湖南，5分)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )A．3 B．2C．1 D．0解析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图象及性质，考查对数值的取值范围的探究及数形结合思想．由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．答案：B8．(2013重庆，5分)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b) 和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a) 和(c，＋∞)内解析：本题考查函数的零点，意在考查考生数形结合的能力．由已知易得f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，故函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．答案：A9．(2013福建，5分)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13C．12 D．10解析：本题考查集合、方程的根、计数原理等基础知识，意在考查考生的综合能力．因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当a＝0时，b可能为－1或1或0或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法，当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法，当a＝2时，b 可能为－1或0，即b有2种不同的选法．根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有4＋4＋3＋2＝13.答案：B10．（2012辽宁，5分）设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由题意知函数f (x )是偶函数，且周期是2.作出g (x )，f (x )的函数图像，如图．由图可知函数y ＝g (x )，y ＝f (x )在[－12，32]图像有6个交点，故h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点有6个．答案：B11．（2012天津，5分）函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：法一：函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y ＝2x，y ＝2－x 3在区间(0,1)内的图像的交点个数，作出图像即可知两个函数图像在区间(0,1)内有1个交点，故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.法二：由题意知f (x )为单调增函数且f (0)＝－1<0，f (1)＝1>0， 所以在区间(0,1)内有且只有一个零点． 答案：B12．（2012湖北，5分）函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：令x cos x 2＝0，则x ＝0，或x 2＝k π＋π2，又x ∈[0,4]，因此x k ＝k π＋π2(k ＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．答案：C13．（2011新课标全国，5分）函数y ＝11－x 的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：如图，两个函数图像都关于点(1,0)成中心对称，两个图像在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.答案：D。

2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数2.2.1 导数的概念2.2.2 导数的几何意义学案（含解析）北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数2.2.1 导数的概念2.2.2 导数的几何意义学案（含解析）北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.2。

1 导数的概念2.2。

2 导数的几何意义1.理解导数的概念及导数的几何意义。

(重点、难点)2.会求导函数及理解导数的实际意义。

(重点）3.掌握利用导数求切线方程的方法.(难点）[基础·初探］教材整理1 函数f（x）在x＝x0处的导数阅读教材P32“例1”以上部分,完成下列问题。

函数y＝f（x）在x0点的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′（x0)表示,记作f′(x0）＝错误!错误!＝错误!_错误!.设函数y＝f（x)可导，则错误!错误!等于（）A.f′(1) B。

3f′(1)C.错误!f′(1）D.以上都不对【解析】由f（x)在x＝1处的导数的定义知，应选A。

【答案】A教材整理2 导数的几何意义阅读教材P34～P36，完成下列问题.函数y＝f（x）在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。

函数y ＝f（x）在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.抛物线y＝x2＋4在点(－2，8）处的切线方程为________________.【解析】因为y′＝错误!错误!＝错误! (2x＋Δx）＝2x,所以k＝－4，故所求切线方程为4x＋y＝0。

课时跟踪检测(十四) 变化率与导数、导数的计算1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.1343．(2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2D ．25．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 36．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 8．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．9．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.10．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．11．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．2122．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n∈N *，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 012⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.3．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .[答 题 栏]答 案课时跟踪检测(十四)A 级1．C 2.D 3.B 4.A5．选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)． ∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2. 6．选C 由f ′(x )＝g ′(x )， 得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0， 所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)． 7．解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：88．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π6＝1.所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z .故tan x 0＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：－ 310．解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x .(2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)·[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a . 所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)， 得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)． 得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线．12．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.B 级1．选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.2．解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 012⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝503f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. 答案：03．解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)， 故其斜率可表示为y 0－－x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)． 解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎪⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.。

抛_物_线[知识能否忆起]1．抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝－12y B ．x 2＝12y C ．y 2＝－12xD ．y 2＝12x解析：选A ∵p2＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y .2．(教材习题改编)抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析：选B 抛物线的标准方程为x 2＝1ay .则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－18.3．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16解析：选D 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则依题意得焦点F (0，1)，准线方程是y ＝－1，直线l ：y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消去x 得y 2－14y ＋1＝0，y 1＋y 2＝14，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝(y 1＋y 2)＋2＝16.4．(2012·郑州模拟)已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：依题意得，|OF |＝a 4，又直线l 的斜率为2，可知|AO |＝2|OF |＝a2，△AOF 的面积等于12·|AO |·|OF |＝a 216＝4，则a 2＝64.又a ＞0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2＝8x .答案：y 2＝8x5．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．解析：其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，则P 点横坐标x P ＝4，由定义知|PF |＝x P ＋p2＝6.答案：61.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助．2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用．3．由y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)求焦点坐标时，只需将x 或y 的系数除以4，再确定焦点位置即可．典题导入[例1] (1)(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74(2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)[自主解答] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.(2)由题知点A 在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1,2)．[答案] (1)C (2)B由题悟法涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．以题试法1．(2012·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．又⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2， ∴|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32典题导入[例2] (1)(2012·山东高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y(2)(2012·四川高考)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5[自主解答] (1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .(2)依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝2 3.[答案] (1)D (2)B由题悟法1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p 但要注意判断标准方程的形式． 2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．以题试法2．(2012·南京模拟)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________.( )解析：过N 作准线的垂线，垂足为H ，则|NF |＝|NH |＝32|MN |，如图．∴cos ∠MNH ＝32， ∴∠MNH ＝π6，∴∠NMF ＝π6.答案：π6典题导入[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．[自主解答] (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP ·MQ ＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP ·MQ ＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．由题悟法1．设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x 得到关于y 的方程my 2＋ny ＋q ＝0.(1)若m ≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．(2)若m ＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据)(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)S △AOB ＝p 22sin θ(θ为AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (5)以AB 为直径的圆与准线相切． (6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． (7)∠CFD ＝90°.以题试法3．(2012·泉州模拟)如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F .(1)若点O 到直线l 的距离为12，求直线l 的方程；(2)设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．点B 是以点F 为圆心，|FA |为半径的圆与x 轴的交点，试判断AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明．解：(1)抛物线的焦点F (1,0)，当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1不符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以，|－k |1＋k 2＝12，解得k ＝±33.故直线l 的方程为：y ＝±33(x －1)，即x ±3y －1＝0. (2)直线AB 与抛物线相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得：x ＝2x 0yy 0－x 0①把方程①代入y 2＝4x 得：y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0， Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0， 所以直线AB 与抛物线相切．1．(2012·济南模拟)抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )A ．x 2＝－45y B ．y 2＝－45x C ．x 2＝－413yD ．y 2＝－413x解析：选A 由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝ 5.∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .2．(2012·东北三校联考)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为( )A ．2B ．18C ．2或18D ．4或16解析：选C 设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 2＝2px 0，∴36＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫10－p 2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18.3．(2013·大同模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选A 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪⎪⎪p2＋3＝4.又p ＞0，因此有p2＋3＝4，解得p ＝2. 4．(2012·郑州模拟)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2解析：选B 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得6sin 2θ＝12，所以sin θ＝22，所以θ＝π4或3π4. 5．(2012·唐山模拟)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．2x －y －1＝0解析：选C ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0) 设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2) 得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2，∴k BC ＝－2. 又∵x 1＋x 2＋13＝1，∴x 1＋x 2＝2，∴BC 中点为(1，－1)，则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.6．(2013·湖北模拟)已知直线y ＝k (x －m )与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于D .若动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，则m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 设点D (a ，b )，则由OD ⊥AB 于D ，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1k ，b ＝k a －m ，则b ＝－km1＋k2，a ＝－bk ；又动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，即a 2＋b 2－4a ＝0，将a ＝－bk 代入上式，得b 2k 2＋b 2＋4bk ＝0，即bk 2＋b ＋4k ＝0，－k 3m 1＋k 2－km 1＋k2＋4k ＝0，又k ≠0，则(1＋k 2)(4－m )＝0，因此m ＝4.7．(2012·乌鲁木齐模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一点B 满足OB ,＝OA ,＋OF , (O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是________．解析：由题可知F (1,0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知k 存在)，则A (0，－k )，∴B (1，－k )，由点B 在抛物线上，得k 2＝4，k ＝±2，即B (1，±2)，S △BOF ＝12·|OF |·|y B |＝12×1×2＝1.答案：18．(2012·渭南模拟)已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为________．解析：由题意得l 的方程为y ＝12x ＋1，即x ＝2(y －1)．代入抛物线方程得y ＝(y －1)2，即y 2－3y ＋1＝0.设线段端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段长度为y 1＋y 2＋p ＝5.答案：59．(2012·广州模拟)已知直线y ＝k (x －2)(k ＞0)与抛物线y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 的值为________．解析：直线y ＝k (x －2)恰好经过抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x －可得ky 2－8y －16k ＝0，因为|FA |＝2|FB |，所以y A ＝－2y B ，则y A ＋y B ＝－2y B ＋y B ＝8k，所以y B＝－8k，y A ·y B ＝－16，所以－2y 2B ＝－16，即y B ＝±22，又k ＞0，故k ＝2 2.答案：2 210．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 1)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA ＋λOB ，求λ的值． 解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)， 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.11.如图，过抛物线y 2＝4px (p ＞0)上一定点M (x 0，y 0)(y 0＞0)作两条直线，分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求该抛物线上纵坐标为4p 的点到点(p,0)的距离； (2)当MA 与MB 的斜率都存在，且y 1＋y 2y 0＝－2时，求MA 与MB 的斜率之和； (3)证明：直线AB 不可能平行于x 轴．解：(1)当y ＝4p 时，x ＝4p ，抛物线的准线方程为x ＝－p ，焦点为(p,0)，抛物线上纵坐标为4p 的点到点(p,0)的距离，就是该点到焦点的距离，由抛物线的定义得，所求距离为4p －(－p )＝5p .(2)设直线MA 的斜率为k MA ，MB 的斜率为k MB ， 由y 21＝4px 1，y 20＝4px 0，得k MA ＝y 1－y 0x 1－x 0＝4py 1＋y 0， 同理k MB ＝4py 2＋y 0，又y 1＋y 2y0＝－2，所以y 1＋y 2＝－2y 0，因为k MA ＋k MB ＝4p y 1＋y 0＋4p y 2＋y 0＝4p y 1＋y 2＋2y 0y 1＋y 0y 2＋y 0＝0，所以k MA ＋k MB ＝0，故MA 与MB 的斜率之和为0.(3)证明：设直线AB 的斜率为k AB ，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224p －y 214p＝4py 1＋y 2，由(2)知y 1＋y 2＝－2y 0，所以k AB ＝－2p y 0，由于M (x 0，y 0)为定点，所以－2p y 0为定值且－2py 0≠0，故直线AB 不可能平行于x 轴．12．(2012·安徽模拟)已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的离心率为32，抛物线C 2：x2＝2py (p ＞0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆C 1的长半轴长a ＝2，半焦距c ＝4－b 2.由e ＝c a ＝4－b 22＝32得b 2＝1，∴椭圆C 1的上顶点为(0,1)，即抛物线C 2的焦点为(0,1)，故抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由已知可得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2.当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1x 2＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x＋x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(4k )2－4×(－4k )＞0，解得k ＜－1或k ＞0.①且x 1x 2＝－4k ＝－4，即k ＝1，满足①式，∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.1．(2013·郑州模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：选C 过点B 作准线的垂线，垂足为B 1，记准线与x 轴的交点为F 1，则依题意得|BB 1||FF 1|＝|BC ||CF |＝23，所以|BB 1|＝23|FF 1|＝2p3，由抛物线的定义得|BF |＝|BB 1|＝2p3.过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，由△BEF ∽△ADF 得23p 3＝p －2p 33－p ，解得p ＝32.所以此抛物线的方程是y 2＝3x .2．(2012·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2解析：选C 由题意，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为l ：x ＝－1，可得A 点的横坐标为2，代入y 2＝4x 得y 2＝8，不妨设A (2，22)，则直线AB 的方程为y＝22(x－1)，与y 2＝4x 联立得2x 2－5x ＋2＝0，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，所以S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12×1×|y A－y B |＝322.3．(2012·浙江高考)如图，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值． 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2， 故k ·2m ＝1，所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m .从而|AB |＝ 1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m 2，设△ABP 的面积为S ， 则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2.由Δ＝4m －4m 2>0，得0<m <1.令u ＝m －m 2，0<u ≤12，则S ＝u －2u 3，S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0，得u ＝66∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， 所以S (u )max ＝S ⎝⎛⎭⎪⎫66＝69. 故△ABP 面积的最大值为69.1．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋ 163＋162＝23(y B ＜0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3.答案： 32．(2012·东城模拟)已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，A 点到抛物线焦点的距离为1. (1)求该抛物线的方程；(2)设M (x 0，y 0)为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条相互垂直的弦MP ，MQ ，求证：PQ 恒过定点(x 0＋2，－y 0)；(3)直线x ＋my ＋1＝0与抛物线交于E ，F 两点，问在抛物线上是否存在点N ，使得△NEF 为以EF 为斜边的直角三角形？若有，求出该点存在时需满足的条件；若无，请说明理由．解：(1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则由抛物线的定义可得p 2＋12＝1，即p ＝1，所以该抛物线的方程为y 2＝2x .(2)由题意知直线PQ 与x 轴不平行，设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，代入y 2＝2x 得y 2－2my －2n ＝0.所以y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2n ，其中y 1，y 2分别是P ，Q 的纵坐标，x 1，x 2分别是P ，Q 的横坐标．因为MP ⊥MQ ，所以k MP ·k MQ ＝－1.即y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1， 又由x 1＝y 212，x 2＝y 222，x 0＝y 202，代入上式得2y 1＋y 0·2y 2＋y 0＝－1，所以(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－4. 即y 1y 2＋(y 1＋y 2)y 0＋y 20＋4＝0，所以(－2n )＋2my 0＋2x 0＋4＝0，即n ＝my 0＋x 0＋2. 所以直线PQ 的方程为x ＝my ＋my 0＋x 0＋2， 所以直线PQ 恒过定点(x 0＋2，－y 0)．(3)假设存在点N (x 0，y 0)，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＋my ＋1＝0，消去x 得y2＋2my ＋2＝0，则y 1＋y 2＝－2m ，y 1y 2＝2，且(2m )2－8＞0，即m 2＞2.由于NE ⊥NF ，所以y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1，又点E ，F ，N 在抛物线上，所以x 1＝y 212，x 2＝y 222，x 0＝y 202，代入y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1，得2y 1＋y 0·2y 2＋y 0＝－1，即(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－4，即y 1y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＋4＝0，将y 1＋y 2＝－2m ，y 1y 2＝2代入并整理得y 20－2my 0＋6＝0，只要4m2－24＞0，即m 2＞6，该方程即有实数解．所以只要m 2＞6就存在满足条件的点N ，当m 2≤6时不存在满足条件的点N .。

第二章基本初等函数、导数及其应用第们讲变化率与导数、导数的计算教材回顾▼夯实基础知识梳理r1. 导数的概念⑴函数丿=/（兀）在X=Xo 处的导数称函数丿=/（兀）在x=x 0处的瞬时变化率处的导数，记作f3o)或y f\x = x^即/(xo) = Km = f (xo+Ax) —f Oo )Ax课本温故追根求源f (x 0+Ax) —f (x 0) limAx —>0Ax詈为函数 y=f(x)^x=xo（2）导数的几何意义函数/*（兀）在点可处的导数/（xo）的几何意义是在曲线J =/（x）上点P（x0,必）处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数啲对时间t的导数）.相应地，切线方程为丿一丿0=几切）（兀一兀0）___________________________________ •（3）函数/（兀）的导函数f &+ Ax）—f O）称函数x —为/u）的导函数.2.基本初等函数的导数公式3.导数的运算法则f(x)± g f(x)⑴［f(X)±g(X)V = _____________________________f(x)g(x)+f(x)g f(x)⑵［f(x)-g(x)r= _________________________f (兀)g (x) —/ (x) g' (x)(3Or_= ______________ 国(兀)F(g(x)H0) •汁要点整會多1.辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特别注意不要将幕函数的求导公式(xy=nx n-1与指数函数的求导公式(a x y=a x\na混淆.(2)求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.2.导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数；(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数.但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导•双基自测,1.（选修1-1P85练习T2⑷改编）函数j=xcosx数为（A. xsin xC • xcos x解析：y f =x r cos x+x(cos 兀)'—(sin x)r=cos x x=—xsin x.—sinx的导xsinx xcosx xsin x—cos2. （2016-豫东、豫北十所名校联考）已知几r）=2e"sin x,贝||曲线加:）在点（0, /（0））处的切线方程为（B）A・ j=0 B・y=2xC. y=xD. y=—2x解析：因为/(x)= 2e v sin x,所以/(0)=0, f (x)=2e x• (sinx+ cos x),所以f(0)=2,所以曲线ZU)在点(0, /(0))处的切线方程为y=2x.(2015•高考天津卷)已知函数f(x)=axinx9 xG (0, +°°),其中"为实数，f(劝为/(兀)的导函数.若7(1)=3,则"的值为__.由于f(l)=“(l+ln 1)=偽又/(1)=3,所以a=3.解析：f (x) = x+x^J=«(l+ln x).In x4. (2016•长春质量检测)若函数心)=—,贝!| 7(2)= 1-11124解析：由f(x)=1 —In x.口 a2―得/'(2)= X5. (2014•高考江西卷)若曲线尸上点P处的切线平行于直线2x+j+l=0,则点P的坐标是f彳，2)解析：设旳)，因为所以—“x, 所以点P处的切线斜率为^=-e-x0=-2, 所以一x0=ln2,所以x0=—In 2,所以Jo=e ln2 = 2,所以点F的坐标为(-In 2, 2).典例剖析▼考点突破］名师导悟以例说法考点一导数的计算靈0求下列函数的导数：(l)j=(3x2—4x)(2x+1)； (2)j=x2sin x；In x(3)y=3V_2+；(4)J=-2—；X十1［解］⑴因为J = (3x2-4x)(2r+1)所以y f=lSx2—10x—4.(2)j f=(x2) r sin x+x2(sin x)r=2rsin x+x2cos x.(3)p=(3 Vy—(2)+e'= (3x)r e x+3x(e x)r-(2x)r =3Vln3+3V-2x ln2 = (ln3+l)-(3e)x-2x ln 2.(lnx) f (x2+l) —11 (4)y'=(x2+l)丄(x2+1) —2xlnxx(x2+l) 2 x2+l—2x2ln x x (x2+1) 2(x2+l)'导数计算的原则和方法求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简, 然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错・［跟踪训练］1•求下列函数的导数:cos X⑵尸石;(3)j=e x ln x.q f n— 1 x I n x解：(l)j —nx e +x e=x,z_1e A (n+x).—sin2x— cos2x 1 (2)y，= ~ = TIT •sin x sm x (3)j r=e v ln x+e x• -=e x("+lnx考点二导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小, 属中低档题.高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度:(1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标;(3)已知切线方程求参数值.(1)(2015•高考全国卷I )已知函数f(x)=ax +x+l 的图象在点(1,几1))处的切线过点(2, 7),则°=_____ (2)(2015•高考陕西卷)设曲线j=e x在点(0, 1)处的切线与曲线J=i(x>0)±点P处的切线垂直，则P的坐标为“ X［解析］(1)因为/(X)=3«X2+1,所以/(1)=3« + 1.X/(l)=«+2,所以切线方程为(«+2)=(3«+l)(x—1).因为切线过点(2, 7),所以7—@+2)=%+1,解得。