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o 不等式知识结构及知识点总结一．知识结构二．知识点1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）a b b a >⇔>,a b b c a c >>⇒>a b a c b c>⇔+>+（同向可加性） （异向可减性）d b c a d c b a +>+⇒>>,db c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性） bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性） （异向正数可除性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>0,0a b a b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则） ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且0,1)a b n N n >>⇒>∈>且⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式①,（当且仅当时取号）.变形公式：()222a b ab a b R +≥∈，a b =""=o 22.2a b ab +≤②（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）.2a b+≥()a b R +∈，a b =变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当3a b c ++()a b c R +∈、、时取到等号）.a b c ==④（当且仅当时取到等号）.()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，a b c ==⑤（当且仅当时取到等号）.3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>a b c ==⑥（当仅当a=b 时取等号）（当仅当a=b 0,2b aab a b>+≥若则0,2b aab a b<+-若则时取等号）⑦其中规律：小于1同加则变大，大于ban b n a m a m b a b <++<<++<1(000)a b m n >>>>，，1同加则变小.⑧ 220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<<⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：,（当且1122a b a b --+≤≤+()a b R +∈，仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.a b =""=≤≤≤ 变形公式： 222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥++++≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式当且仅当22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈时，等号成立.ad bc =⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++o r21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使,αβ ,αβαβ⋅≤ βk 时，等号成立.k αβ=⑧排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤12,,...,n c c c 12,,...,n b b b 则（反序和乱序和12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++≤顺序和）≤当且仅当或时，反序和等于顺序和.12...n a a a ===12...n b b b ===⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任()f x 意两点有则称f(x)为凸（或1212,(),x x x x ≠12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131((;242a a ++>+②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <-211,(1)k k k >+==<等.*,1)k N k >∈>5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩（时同理）<≤“或”规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当时,⑵当时,1a >()()()()f x g x aa f x g x >⇔>01a <<()()()()f xg x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当时, ⑵当时,1a >()0log ()log ()()0()()a af x f xg x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩01a <<()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩22()()()().f xg x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有：①②(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③④()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥()()()()()()(()0)f xg x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标20ax bx c ++>准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.a ∆14、恒成立问题⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时20ax bx c ++>0a =②当时 ⑵不等式的解集是全0,0;b c ⇒=>0a ≠00.a >⎧⇒⎨∆<⎩20ax bx c ++<体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时0a =0,0;b c ⇒=<0a ≠00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶恒成立恒成立()f x a <max ();f x a ⇔<()f x a ≤max ();f x a ⇔≤⑷恒成立恒成立()f x a >min ();f x a ⇔>()f x a ≥min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入0Ax By C ++=后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取Ax By C ++一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或00(,)x y 00Ax By C ++0Ax By C ++>(表示直线哪一侧的平面区域.0)<即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(0)<B 或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同0Ax By C ++>(0)<号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域： 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数为常数）的最值：z Ax By =+(,A B 法一：角点法：如果目标函数 （即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，z Ax By =+x y 、则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值z z z 法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直0:0l Ax By +=线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，0l 0l (,)x y 将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .(,)x y z Ax By =+第二步中最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.z A z y x B B =-+zB①若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最0,B >z Ax By =+z 大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；z ②若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最0,B <z Ax By =+z 小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.z ⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型： ②“斜率”型：或;z Ax By =+yz x =;y b z x a-=-③“距离”型：或 或22z x y =+z =22()()z x a y b =-+-z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.16. 利用均值不等式：()a b ab a b R a b ab ab a b 222222+≥∈+≥≤+⎛⎝ ⎫⎭⎪+，；；求最值时，你是否注值？（一正、意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定a b R ab a b ∈++()()二定、三相等）注意如下结论：()a b a b ab aba ba b R 22222+≥+≥≥+∈+， 当且仅当时等号成立。
高中不等式全套知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式定义不等式是指两个数量在大小上的关系，包含大于、小于、大于等于、小于等于四种关系。
一般用符号“>”表示大于，“<”表示小于，“≥”表示大于等于，“≤”表示小于等于。
2. 不等式的解不等式的解是指满足不等式关系的所有实数集合，解集可以是一个区间、一个集合或者一个无穷集合。
3. 不等式的性质（1）两个不等式如果左右两边分别相等，那么其关系也相等；（2）两个不等式如果相互交换左右两边，那么关系会相反；（3）不等式两边同时加或减同一个数，不等式关系不变；（4）不等式两边同时乘或除同一个正数，不等式关系不变；（5）不等式两边同时乘或除同一个负数，不等式关系反转。
二、一元一次不等式1. 线性不等式线性不等式的一般形式为 ax+b>c 或者ax+b≥c，其中a≠0。
2. 一次不等式的解法（1）基本不等式直接解法：按照不等式的性质逐步解题；（2）图像法：将不等式转化为直线或者直线段的图像，然后通过图像解题；（3）分情况讨论法：根据不等式的取值范围分情况进行讨论，再分别求解。
3. 一次不等式的应用（1）生活中常见的线性不等式问题，比如买苹果不超过20元；（2）工程建设中的线性不等式问题，比如某公式里的参数要求取值范围。
三、一元二次不等式1. 二次不等式定义二次不等式的一般形式为 ax²+bx+c>0 或者ax²+bx+c≥0，其中a≠0。
2. 一元二次不等式解法（1）解法一：配方法、图像法；（2）解法二：利用一元二次不等式的图像特点；3. 一元二次不等式的应用（1）生活中常见的二次不等式问题，比如某项业务的收入和支出之间的关系；（2）工程建设中的二次不等式问题，比如求最大值、最小值。
四、多项式不等式1. 多项式不等式的定义多项式不等式是指由多项式构成的不等式，一般形式为 f(x)>0 或者f(x)≥0。
2. 多项式不等式的解法（1）概念法：直接按照多项式不等式的定义和性质进行解题；（2）函数法：将多项式在坐标系中的图像出发，进行解题。
不等式知识点大全一、不等式的基本概念：1.不等式的定义：不等式是一个包含不等号（>，<，≥，≤）的数学语句。
2.不等式的解集：解集是满足不等式的所有实数的集合。
3.不等式的求解方法：解不等式的方法主要有代入法、分析法、图像法和区间法等。
二、一元一次不等式：1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数与一个实数的大小关系。
2.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用一个开区间或闭区间表示。
三、二次不等式：1.二次不等式的定义：二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个实数的大小关系。
2.二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
四、绝对值不等式：1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
2.绝对值不等式的解集：绝对值不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
五、分式不等式：1.分式不等式的定义：分式不等式是指含有一个未知数的分式与一个实数的大小关系。
2.分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
六、三角不等式：1.三角不等式的定义：三角不等式是指三角函数与一个实数之间的大小关系。
2.三角不等式的解集：三角不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
七、复合不等式：1.复合不等式的定义：复合不等式是由两个或多个不等式通过与或或连接构成的不等式。
2.复合不等式的解集：复合不等式的解集是满足所有不等式的实数的交集或并集。
八、常用的不等式：1.平均不等式：包括算术平均不等式、几何平均不等式、加权平均不等式等。
2.布尔不等式：包括与或非不等式和限制条件不等式等。
3.等价不等式：等式两边取绝对值后变为不等式。
4.单调性不等式：利用函数单调性性质证明不等式。
5.导数不等式：利用函数的导数性质证明不等式。
6.积分不等式：利用积分性质及定积分的性质来推导不等式。
初中数学不等式知识点大全一、不等式的基本概念1.不等式的定义：不等式是数学中表示两个数的大小关系的一种数学符号表示法。
2.不等式符号的意义："<"表示小于、">"表示大于、"<="表示小于等于、">="表示大于等于。
3.一元一次不等式、二元一次不等式和多变量不等式的定义和性质。
4.不等式的解集：表示满足不等式的全部解的集合，可以用数轴表示。
二、不等式的性质1.不等式的传递性：如果a<b，b<c，则a<c。
2.不等式两边加减同一个数，不影响不等关系的大小。
3.不等式两边乘除同一个正数，不影响不等关系的大小。
4.不等式两边乘除同一个负数，不等关系会发生改变。
5.不等式两边取倒数时，要注意变号问题。
6.乘以不等式时，要考虑所乘以的数的正负情况。
三、不等式的解法1.第一类不等式（一元一次不等式）的解法：根据不等式的性质，将不等式中的未知数移到一边，得到关于未知数的集合表示的解，进而求解交集、并集或全集。
2.第二类不等式（一元二次不等式）的解法：将不等式变形为一元二次函数的图像问题，通过观察函数图像，确定不等式的解集。
3.系统不等式的解法：将多个不等式作为一个整体进行考虑，得到多个不等式的交集或并集形式，再求解。
四、一些常见的数学不等式1.加减法不等式：例如2x+3>7，根据性质将未知数移到一边，得到解集x>22.乘除法不等式：例如3x/5>=6，根据性质将未知数移到一边，得到解集x>=10。
3.绝对值不等式：例如，3x+5，<7，根据绝对值的性质进行分段讨论，得到解集-4<x<24.开方不等式：例如√(x-1)>3，根据开方的定义和性质进行讨论，得到解集x>10。
5.取整不等式：例如[x]>2，根据整数函数的定义和性质进行讨论，得到解集x>3五、不等式的应用1.不等式在图像问题中的应用：例如求一元一次不等式的解集时，可以将不等式表示的区间在数轴上进行标注，直观地表示解集。
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
不等式知识点汇总不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的优化问题中都有着广泛的应用。
下面我们来对不等式的相关知识点进行一个汇总。
一、不等式的定义用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子，叫做不等式。
例如：3 ＜ 5，x ＋ 2 ＞ 5，y 1 ≤ 3 等都是不等式。
二、不等式的基本性质1、对称性：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a 。
2、传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c 。
3、加法性质：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
4、乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且c ＜ 0，那么 ac ＜ bc 。
这些基本性质是解决不等式问题的基础，需要牢记并能够熟练运用。
三、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（其中a ≠ 0）的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（如果有分母）。
2、去括号。
3、移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项。
5、系数化为 1：根据不等式的性质，将未知数的系数化为 1。
例如，解不等式 2x ＋ 5 ＞ 9 ，首先移项得到 2x ＞ 9 5 ，即 2x ＞4 ，然后系数化为 1 ，得到 x ＞ 2 。
四、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0（其中a ≠ 0）的不等式叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式通常需要先求出对应的一元二次方程的根，然后根据二次函数的图象来确定不等式的解集。
例如，对于不等式 x² 3x ＋ 2 ＜ 0 ，先解方程 x² 3x ＋ 2 ＝ 0 ，因式分解为（x 1)（x 2) ＝ 0 ，解得 x ＝ 1 或 x ＝ 2 。
然后根据二次函数 y ＝ x² 3x ＋ 2 的图象，开口向上，与 x 轴的交点为 1 和 2 ，所以不等式的解集为 1 ＜ x ＜ 2 。
不等式知识点总结一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。
2. 不等式的解与解集。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。
- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。
3. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。
例如5>3，那么3 < 5。
2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如7>5，5>3，那么7>3。
3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。
例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。
- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。
例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。
4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。
例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。
不等式知识点总结不等式是数学中重要的概念，经常在解决实际问题和证明不等式性质时使用。
下面我将对不等式的定义、性质以及解不等式的方法进行总结。
1. 不等式的定义不等式是数学中用不等号表示的关系式。
不等式包括大于等于、小于等于、大于、小于四种形式。
例如：a≥b表示a大于等于b；c<b表示c小于b。
2. 不等式的性质（1）传递性：如果a≥b，b≥c，那么a≥c。
如果a<b，b<c，那么a<c。
（2）对称性：如果a≥b，那么b≤a；如果a<b，那么b>a。
（3）加法性：如果a≥b，那么a+c≥b+c；如果a<b，那么a+c<b+c。
（4）乘法性：如果a≥b，且c>0，那么ac≥bc；如果a≥b，且c<0，那么ac≤bc。
3. 不等式的解法（1）加减法解法：对于形如ax+b≥0或ax+b<0的一元一次不等式，可以通过加减法解法进行求解。
例如：5x+3>2x+7，首先将等式化简得到3x>-4，然后除以系数3得到x>-4/3。
（2）乘法解法：对于形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的二次不等式，可以通过乘法解法进行求解。
例如：x²+2x-4>0，首先求出二次方程x²+2x-4=0的根，然后根据二次曲线的凹凸性判断不等式的解集。
（3）分段解法：对于形如|x-a|<b的不等式，可以通过分段解法求解。
例如：|x-3|<5，可以将不等式分为两个部分，x-3<5和x-3>-5，然后求解这两个部分的解集，并取其交集作为原不等式的解集。
4. 不等式的应用（1）代数不等式的应用：代数不等式常常应用于经济学、物理学、生物学等实际问题分析中。
例如：求最大值、最小值、稳定性等。
（2）几何不等式的应用：几何不等式常常应用于解决关于图形的问题，如边长关系、面积关系等。
初中数学不等式知识点大全知识点1：不等式不等式是用不等号（。
≥、<、≤、≠）表示不等关系的式子。
常用的表示不等关系的语言及符号有：1.大于、比……大、超过。
2.小于、比……小、低于。
<；3.不大于、不超过、至多：≥；4.不小于、不低于、至少。
≤；5.正数。
6.负数：<；7.非负数：≥；8.非正数：≤。
例1中是不等式的有-1>2，3x≥-1，3x-4<2y，3x-5=2x+2，a^2+2≥0，a^2+b^2≠c^2.例2中不能用不等式表示的是m+n等于。
练1中是不等式的有5>x，3a+4b>y，2a+3≤7，x^2+1≥8.练2中(1)的含义是x^2大于等于0，(2)的含义是-x小于等于0.知识点2：不等式的基本性质不等式有以下基本性质：1.不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
即如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。
2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
即如果a>b，c>0，那么ac>bc，a/b>b/b。
3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
即如果a>b，c<0，那么ac<bc，a/b<b/a。
4.如果a>b，那么b<a。
5.如果a>b，b>c，那么a>c。
例1中由a-3<b+1可得到的结论是a<b+4.例2中如果a>b，那么下列变形错误的是2-2a>2-2b。
例3中正确的判断是若a<b，则a^2<b^2.例4中若a1，a+b<ab。
例1】解下列不等式组，结果正确的是（）B．不等式组x7的解集是x 1解析：用数轴法解不等式组，先求出每一个不等式的解集，再找出它们的公共部分。
对于不等式组x7的解集是x 1x 1其解集为x7，x1，即x7.结果正确的是B.练1】嘉年华小区计划新建50个停车位，已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.7万元，新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.6万元。
不等式一、不等式的性质1、对称性：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >。
2、传递性：如果b a >，c b > 那么c a >。
3、加法单调性：如果b a >，那么c b c a +>+。
推论1：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+。
（相加法则） 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->-。
（相减法则）4、乘法单调性：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac <。
推论1：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >。
（相乘法则）如果0>>b a 且d c <<0，那么db c a >。
（相除法则）推论2：如果0>>b a , 那么n n b a >)1(>∈n N n 且。
5、性质5：如果0>>b a ，那么nn b a >)1(>∈n N n 且。
二、算术平均数与几何平均数1、如果123,,,,n a a a a R +∈L ，2,n n N ≥∈，则： 12na a a n+++L 叫做这n 个正数的算术平均数；n 个正数的几何平均数。
2、基本不等式：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）； 如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）； 如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）； 如果+∈R c b a ,,，那么33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）。
三、极值定理已知y x ,都是正数，则：1、如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2；2、如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值241s 。
《不等式》知识点归纳一.(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.(2)解分式不等式()()()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回）；(3)含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是分类讨论、平方转化或换元转化)；(4)解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集.二、 利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2()2a b ab +≤等求函数的最值时，务必注意a ，b +∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件是积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值(一正二定三等四同时).三、.2211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）四、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：3333a b c abc ++≥（0a b c ++>等式即可成立，时取等或0=++==c b a c b a ）；3a b c ++ ⇒3()3a b c abc ++≤3333a b c ++≤ 五、最值定理（积定和最小）①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值，则当x y =时和x y +有最小值（和定积最大）②,0,x y x y >+≥由若和()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值214s . 【推广】：③已知,,,,+∈R y x b a 若1=+by ax ，则有则y x 11+的最小值为：21111()()by ax ax by a b a b x y x y x y +=++=+++++=+≥④等式到不等式的转化：已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．4)2()2(82)2(822y x y x y x y x xy +≤+-=⋅⇒+-=即0)42)(82(08)2(4)2(2≥-+++⇒≥-+++y x y x y x y x 解得4282≥+-≤+y x y x （舍）或故x ＋2y 的最小值是4 如果求xy 的最大值，则xy xy y x y x xy 22282)2(82≥-=+⇒+-=， 然后解关于xy 的一元二次不等式，求xy 的范围，进而得到xy 的最大值六、比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法(注意：对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径， “配方、函数单调性等”对放缩的影响).七、含绝对值不等式的性质：a b 、同号或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；a b 、异号或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.八、不等式中的函数思想不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、函数法（1）一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 （2）一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ; 2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a（3）不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例1．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
二、最值法：将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：（1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔（2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔例2．已知两个函数2()816f x x x k =+-，32()254g x x x x =++，其中k 为实数. (1)若对任意的[]33，-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围； (2)若对任意的[]3321，、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围. (3)若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值范围. 解：(1) 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23,问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可(2)由题意可知当[]33，-∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤. （3）于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集，三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。
一般地有：1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔例3：已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈n m n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.解：题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f (x )是定义在[-1,1]上的增函数,故 f (x )在[-1,1]上的最大值为f (1)=1,则12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立⇔1212+-≤at t 对于所有的]1,1[-∈a 恒成立，即022≤-t ta 对于所有的]1,1[-∈a 恒成立，令22)(t ta a g -=，只要⎩⎨⎧≤≤-0)1(0)1(g g ，022=≥-≤∴t t t 或或．四、变换主元法理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4：，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。
分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。
解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。
当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。
当2≠x 时，应有⎩⎨⎧>->0)1(0)1(f f 解之得31><x x 或。
故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞Y 。
五、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。
函数图象和不等式有着密切的联系：1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方；2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方.例5.设函数x x a x f 4)(2+-+-=,a ax x g +=)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,试求实数a 的取值范围.解：由题意得)()(x g x f ≤a ax x x 242+≤+-⇔, 令x x y 421+-=①,a ax y 22+=②.①可化为)0,40(4)2(1212≥≤≤=+-y x y x ，它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的上半圆；②表示经过定点(-2,0)，以a 为斜率的直线，要使)()(x g x f ≤恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了(如图所示)．当直线与半圆相切时就有21|22|2=++a a a ，即33±=a ，由图可知，要使)()(x g x f ≤恒成立，实数a 的取值范围是33≥a ． 六、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
例6：[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。
解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。
（1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73a ∴≤又4a >所以a 不存在； （2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤（3） 当22a -> 即：4a <-时，()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又4a <-74a ∴-≤<- 综上所得：72a -≤≤例7：已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．解析：由函数()f x 的解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数，还是二次函数，因而需就0a =和0a ≠两类情况进行讨论。
