2015-2016年江西省抚州市南城一中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)

南城一中2016——2017学年度上学期十月月考高二理科数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）.1、已知集合{}12<<-=x x A ，且{}022≤-=x x x B ，则=⋂B A （ ）A.{}10<<x xB.{}10<≤x x C.{}11≤<-x x D.{}12≤<-x x 2、函数12)(-=x ax f （0>a 且1≠a ）过定点（ ）A. )0,21( B. )0,1( C. )1,1( D. )1,21( 3、函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=π25cos x x f 的图像关于（ ） A. 原点对称 B. y 轴对称 C. 直线π25=x 对称 D. 直线π25-=x 4、已知)1,2(-=，)3,(-=k ，)2,1(=，若⊥-)2(（ ） A. 10 B. 53 C. 23 D. 525、分别在区间[]6,1和[]4,1内任意取一个实数，依次记为m 和n ，则n m >的概率为（ ）A. 53B.52 C. 103 D. 107 6、若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ，则y x Z +=2的最大值为（ ）A. 0B. 3C. 4D. 2 7、若0,0>>y x ，且22=+y x ，则yx 11+的最小值是（ ）A. 3B. 23+C.223+ D. 23 8、某公司为确定明年某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：30 40 p50 70 m24568经测算，年广告支出m 与年销售额满足线性回归方程5.175.6ˆ+=m t ，则p 的值为（ ）A.60B.55C.50D.45 9、已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比10<<q ，设7593,2a a Q a a P =+=，则3a ，9a ，P 与Q 的大小关系是（ ）A. 93a a Q P >>>B. 93a Q P a >>>C. Q a P a >>>39D. 93a P Q a >>> 10、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）正(主)视图11俯视图侧(左)视图21A ．225+B ．45+C ．5D ．25+ 11.右面的程序框图，若输入a ＝0，则输出的结果为( ） A ．1022B ．2046C ．1024D ．204812、已知函数)(x f y =的定义域为R ，当0<x 时，()1>x f ，且对任意的实数R y x ∈,，等式()()()y x f y f x f +=⋅成立，若数列{}n a 满足())(,1111++∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=N n a f a f n n ，且)0(1f a =，则下列结论成立的是（ ）A. )()(20162013a f a f >B. )()(20162014a f a f <C. )()(20152014a f a f >D. )()(20152016a f a f <第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13、将高中某班参加社会实践编号为：1,2,3，...，48的48名学生采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号在样本中，则样本中还有一名学生的编号是_________. 14、已知2log 2log 332=+aa ，则=a _________. 15、函数3)2sin 32cos 3(2cos 2)(--⋅=x x x x f 的最小正周期是_________. 16、已知函数)(x f 为定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，有)()1(x f x f -=+，且当[)1,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，给出下列命题： ① 直线x y =与函数)(x f 的图像有两个交点； ② 函数)(x f 的值域为()1,1-；③ 函数)(x f 在定义域上是周期为2的函数； ④ 0)2017()2016(=-+f f . 其中正确的有_________.三、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程.)17. (本小题满分10分) 某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000 名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组70,80)，……，第八组：，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分． ⑴求第七组的频率，并完成频率分布直方图； ⑵估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(可用 中值代替各组数据平均值)；⑶若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机 抽取2名，求他们的分差小于10分的概率．18、(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知312cos -=A ，3=c ， C A sin 6sin =⑴求a 的值；⑵若角A 为锐角，求b 的值及ABC ∆的面积。

2015-2016学年江西省抚州市南城一中高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1．已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1} C．[0，1] D．2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n3．某中学从甲、乙两个艺术班中各选出7名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A．6 B．8 C．9 D．114．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞06．执行如图所示的程序框图，若输出S=15，则框图中①处可以填入（）A．n≥4？B．n≥8？C．n≥16？D．n＜16？7．已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A．20 B．18 C．16 D．98．已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．29．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm310．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C． D．11．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．912．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：1=++，1=+++，1=++++，…依此类推可得：1=++++++++++++，其中m≤n，m，n∈N*．设1≤x≤m，1≤y≤n，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知O为△ABC内一点，满足，•=2，且，则△OBC的面积为．14．．已知x∈（0，+∞），不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，可推广为x+≥n+1，则a 等于．15．已知抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于．16．对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数②y=f（x）的图象关于（0，q）对称③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根④方程f（x）=0至多有两个实数根其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17．一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球．（1）求事件A=“取出球的号码之和不小于6”的概率；（2）设第一次取出的球号码为x，第二次取出的球号码为y，求事件B=“点（x，y）落在直线 y=x+1左上方”的概率．18．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*都有S n=2a n﹣n，（1）求数列{a n}的前三项a1，a2，a3；（2）猜想数列{a n}的通项公式a n，并用数学归纳法证明；（3）求证：对任意n∈N*都有．21．已知函数f（x）=|x﹣m|，函数g（x）=xf（x）+m2﹣7m．（1）若m=1求不等式g（x）≥0的解集；（2）求函数g（x）在[3，+∞）上的最小值；（3）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．22．如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江西省抚州市南城一中高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1．已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1} C．[0，1] D．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出M中y的范围确定出M，求出B中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2≥0，得到M=[0，+∞），由N中x2+y2=2，得到﹣≤x≤，即N=[﹣，]，则M∩N=[0，]，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．某中学从甲、乙两个艺术班中各选出7名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A．6 B．8 C．9 D．11【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是80，80+x，85，因为甲班学生成绩众数是85，所以85出现的次数最多，可知x=5．由茎叶图可知，乙班学生成绩为76，81，81，80+y，91，91，96，由乙班学生成绩的中位数是83，可知y=3．由此计算所求．【解答】解：由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是80，80+x，85，因为甲班学生成绩众数是85，所以85出现的次数最多，可知x=5．由茎叶图可知，乙班学生成绩为76，81，81，80+y，91，91，96，由乙班学生成绩的中位数是83，可知y=3．所以x+y=8．故选：B．【点评】本题主要考查统计中的众数与中位数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到x+y的值．4．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．5．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．6．执行如图所示的程序框图，若输出S=15，则框图中①处可以填入（）A．n≥4？B．n≥8？C．n≥16？D．n＜16？【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=3，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=7，n=8，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=15，n=16，满足退出循环的条件；故判断框中的条件应为n≥16？，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A．20 B．18 C．16 D．9【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由已知得=bccos∠BAC=2⇒bc=4，故S△ABC=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2）=18，故选B．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．8．已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．10．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．11．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．12．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：1=++，1=+++，1=++++，…依此类推可得：1=++++++++++++，其中m≤n，m，n∈N*．设1≤x≤m，1≤y≤n，则的最小值为（）A．B．C．D．【考点】归纳推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】由题意，m=13，n=4×5=20，则=1+，可得y=1，x=13时，取得最小值．【解答】解：由题意，m=13，n=4×5=20，则=1+，∵1≤x≤m，1≤y≤n，∴y=1，x=13时，的最小值为，故选：C．【点评】本题考查归纳推理，考查学生的计算能力，取得m，n的值是关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知O为△ABC内一点，满足，•=2，且，则△OBC的面积为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由已知得O为三角形的重心，从而△OBC的面积为△ABC面积的，由•=2，且，得||||=4，由此求出△ABC面积，从而得到△OBC的面积．【解答】解：∵O为△ABC内一点，满足，∴，∴O为三角形的重心，∴△OBC的面积为△ABC面积的，∵•=2，且，∴||||cos∠BAC=||||×=2，∴||||=4，∴△ABC面积为||||sin∠BAC==，∴△OBC的面积为：，故答案为：．【点评】本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形重心性质的合理运用．14．．已知x∈（0，+∞），不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，可推广为x+≥n+1，则a 等于n n．【考点】归纳推理．【专题】推理和证明．【分析】由已知x∈（0，+∞），不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，可得不等式左边第项的分子为n n，进而得到答案．【解答】解：由已知中，x∈（0，+∞）时，不等式：x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，不等式左边第项的分子为n n，即a=n n，故答案为：n n【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．15．已知抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于 3 ．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合x1x2=，求出A、B的坐标，然后求其比值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2，|AB|=x1+x2+p==p，即有x1+x2=p，由直线l倾斜角为60°，则直线l的方程为：y﹣0=（x﹣），即y=x﹣p，联立抛物线方程，消去y并整理，得12x2﹣20px+3p2=0，则x1x2=，可得x1=p，x2=p，则==3，故答案为：3．【点评】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．16．对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数②y=f（x）的图象关于（0，q）对称③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根④方程f（x）=0至多有两个实数根其中正确命题的序号为①②③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用．【分析】①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数；②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，再利用图象变换可得结论；③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=；④q=0，p=1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根．【解答】解：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数，所以①正确．②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q 图象，即得f（x）的图象关于点（0，q）对称，所以②正确．③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=﹣（舍去正根），故③正确．④q=0，p=﹣1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根，故④不正确．故答案为：①②③【点评】本题考查命题的真假判断和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17．一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球．（1）求事件A=“取出球的号码之和不小于6”的概率；（2）设第一次取出的球号码为x，第二次取出的球号码为y，求事件B=“点（x，y）落在直线 y=x+1左上方”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）列表求出基本事件共25个，事件A共包括15个基本事件，由此能求出取出球的号码之和不小于6的概率．（2）基本事件共25个，求出事件B=“点（x，y）落在直线 y=x+1左上方”包含的基本事件个子数，由此能求出点（x，y）落在直线 y=x+1左上方的概率．【解答】解：（1）列表如下：次数 1 2 3 4 51 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）由上表可知基本事件共25个，事件A=“取出球的号码之和不小于6”，事件A共包括15个基本事件，故所求事件A的概率为P（A）==．（2）由上表可知基本事件共25个，事件B=“点（x，y）落在直线 y=x+1左上方”，事件B共包括有（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5）（3，5）共6个基本事件，故所求的概率为P（B）=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．18．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用平面SCD的法向量即可证明AM∥平面SCD；（Ⅱ）分别求出平面SCD与平面SAB的法向量，利用法向量的夹角即可得出；（Ⅲ）利用线面角的夹角公式即可得出表达式，进而利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，1）．则，，．设平面SCD的法向量是，则，即令z=1，则x=2，y=﹣1．于是．∵，∴．又∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为．设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，则==，即．∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为．（Ⅲ）设N（x，2x﹣2，0），则．∴===．当，即时，．【点评】熟练掌握建立空间直角坐标系利用平面SCD的法向量即可证明AM∥平面SCD、平面SCD与平面SAB的法向量的夹角求出二面角、线面角的夹角公式、二次函数的单调性是解题的关键．20．设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*都有S n=2a n﹣n，（1）求数列{a n}的前三项a1，a2，a3；（2）猜想数列{a n}的通项公式a n，并用数学归纳法证明；（3）求证：对任意n∈N*都有．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式；数学归纳法．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）分别将n=1，2，3代入S n=2a n﹣n中便可求出数列{a n}的前三项a1，a2，a3的值；（2）先根据（1）中的答案猜想an的通项公式，然后分别讨论n=1和n≥2时an的表达式满足猜想即可证明；（3）根据（2）中求得的an的通项公式然后写出的表达式即可证明对任意n∈N*都有．【解答】解：（1）令n=1得，S1=2a1﹣1=a1，故a1=1；令n=2得，S2=2a2﹣2=a1+a2=1+a2，故a2=3；令n=3得，S3=2a3﹣3=a1+a2+a3=1+3+a3，故a3=7；（2）由（1）可以猜想a n=2n﹣1，下面用数学归纳法进行证明：①当n=1时，结论显然成立；②假设当n=k时结论成立，即a k=2k﹣1，从而由已知S n=2a n﹣n可得：S k=2a k﹣k=2（2k﹣1）﹣k=2k+1﹣k﹣2．故S k+1=2k+2﹣k﹣3．∴a k+1=S k+1﹣S k=（2k+2﹣k﹣3）﹣（2k+1﹣k﹣2）=2k+1﹣1．即，当n=k+1时结论成立．综合①②可知，猜想a n=2n﹣1成立．即，数列{a n}的通项为a n=2n﹣1．（3）∵a n=2n﹣1，∴a n+1﹣a n=（2n+1﹣1）﹣（2n﹣1）=2n，∴，∴对任意n∈N*都有．【点评】本题考查了数列的递推公式以及数列与不等式的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列、函数的综合掌握，解题时注意归纳法和转化思想的运用，属于中档题．21．已知函数f（x）=|x﹣m|，函数g（x）=xf（x）+m2﹣7m．（1）若m=1求不等式g（x）≥0的解集；（2）求函数g（x）在[3，+∞）上的最小值；（3）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合；二次函数的性质；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）m=1时，g（x）=x|x﹣1|﹣6，原不等式即x|x﹣1|﹣6≥0，分情况去绝对值并结合一元二次不等式的解法，可得解集；（2）去绝对值将g（x）化成分段函数的形式，结合二次函数的图象得到当m＞0、当m＜0和当m=0时3种情况下g（x）的单调性，根据这个单调性再结合m与3的大小关系，则不难得到g（x）的最小值的情况；（3）由题意，f（x）在（﹣∞，4]上的最小值大于g（x）在[3，+∞）上的最小值，由此讨论函数f（x）的单调性，得到f（x）在（﹣∞，4]上的最小值，再结合（2）中所得结论，分3种情况建立不等式并解之，最后综合即可得到实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=1时，g（x）=xf（x）+m2﹣7m=x|x﹣1|﹣6．不等式g（x）≥0，即x|x﹣1|﹣6≥0，①当x≥1时，不等式转化为x2﹣x﹣6≥0，解之得x≥3或x≤﹣2因为x≤﹣2不满足x≥1，所以此时x≥3②当x＜1时，不等式转化为﹣x2+x﹣6≥0，不等式的解集是空集综上所述，不等式g（x）≥0的解集为[3，+∞）；（2）g（x）=xf（x）+m2﹣7m=∴当m＞0时，g（x）在区间（﹣∞，）和（m，+∞）上是增函数；（，m）上是减函数；当m＜0时，g（x）在区间（﹣∞，m）和（，+∞）上是增函数；（m，）上是减函数；当m=0时，g（x）在区间（﹣∞，+∞）上是增函数．∵定义域为x∈[3，+∞），∴①当m≤3时，g（x）在区间[3，+∞）上是增函数，得g（x）的最小值为g（3）=m2﹣10m+9；②当m＞3时，因为g（0）=g（m）=m2﹣7m，结合函数g（x）的单调性，得g（3）＞g（m）∴g（x）的最小值为g（m）=m2﹣7m．综上所述，得g（x）的最小值为；（3）f（x）=，因为x∈（﹣∞，4]，所以当m＜4时，f（x）的最小值为f（m）=0；当m≥4时，f（x）的最小值为f（4）=m﹣4．由题意，f（x）在（﹣∞，4]上的最小值大于g（x）在[3，+∞）上的最小值，结合（2）得①当m≤3时，由0＞m2﹣10m+9，得1＜m＜9，故1＜m≤3；②当3＜m＜4时，由0＞m2﹣7m，得1＜m＜7，故3＜m＜4；③当m≥4时，由m﹣4＞m2﹣7m，得4﹣2＜m＜4+2，故4≤m＜4+2．综上所述，实数m的取值范围是（1，4+2）【点评】本题以含有绝对值的函数和二次函数为载体，讨论了函数的性质并解关于x的不等式，着重考查了绝对值不等式的解法、二次函数的图象与性质和函数奇偶性与单调性的综合等知识，属于难题．22．如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为2及离心率是，计算即得结论；（Ⅱ）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有即可．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2，∴点（，1）在椭圆E上，又∵离心率是，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为： +=1；（Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．理由如下：当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有==1，即|QC|=|QD|．∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）．当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，则M、N的坐标分别为（0，）、（0，﹣），又∵=，∴ =，解得y0=1或y0=2．∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．下面证明：对任意直线l，均有．当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴+==2k，已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2），又k AQ===k﹣，k QB′===﹣k+=k﹣，∴k AQ=k QB′，即Q、A、B′三点共线，∴===．故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．。

2015-2016学年江西省抚州市南城一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（）A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点2．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定4．（5分）从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全是正品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品不全是次品}，则下列结论不正确的是（）A．A与B互斥且为对立事件B．B与C为对立事件C．A与C存在着包含关系D．A与C不是互斥事件5．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面7．（5分）若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）执行如图所示的程序框图，输出．那么判断框内应填（）A．k≤2015 B．k≤2016 C．k≥2015 D．k≥20169．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．B．C．D．10．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2 C．4 D．211．（5分）某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（）A．πB．C．πD．π12．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为．14．（5分）在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=．15．（5分）设，，为单位向量，且=+k，（k＞0），若以向量，为两边的三角形的面积为，则k的值为．16．（5分）有下列五个命题：①在平面内，F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是椭圆；②“在△ABC中，∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件；③“x=0”是“x≥0”的充分不必要条件；④已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底；⑤直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是．其中真命题的序号是．三、解答题：本大题共70分，其中17题为10分，18-22题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？19．（12分）已知，=（cosx，2sin（x+）），且函数f（x）=•+1（1）求方程f（x）﹣1=0在（0，π）内有两个零点x1，x2，并求f（x1+x2）的值；（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）图象，求函数g（x）的单调增区间．20．（12分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．21．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，观察程序框图，若k=1，k=2时，分别有．（1）试求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），O为坐标原点，点在椭圆上，过点F的直线l交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．2015-2016学年江西省抚州市南城一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（）A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点【解答】解：∵a∥平面α，b⊂α，∴直线a与直线b的位置关系是：a∥b或a 与b异面，∴选项A、B、C错误，D正确．故选：D．2．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．3．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选：C．4．（5分）从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全是正品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品不全是次品}，则下列结论不正确的是（）A．A与B互斥且为对立事件B．B与C为对立事件C．A与C存在着包含关系D．A与C不是互斥事件【解答】解：A为{三件产品全不是次品}，指的是三件产品都是正品，B为{三件产品全是次品}，C为{三件产品不全是次品}，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．故选：A．5．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D．6．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面【解答】解：连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角形B1AC中EF∥AC，并且EF=AC，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以EF与BB1垂直；又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．故选：D．7．（5分）若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a，b，c，d依次成等差数列，则a+d=b+c，即必要性成立，若a=2，d=2，b=1，c=3，满足+d=b+c，但a，b，c，d依次成等差数列错误，即充分性不成立，即“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）执行如图所示的程序框图，输出．那么判断框内应填（）A．k≤2015 B．k≤2016 C．k≥2015 D．k≥2016【解答】解：本程序的功能是计算S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，由1﹣=，得=，即k+1=2016，即k=2015，即k=2016不成立，k=2015成立，故断框内可填入的条件k≤2015，故选：A．9．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h，∵=，∴，∴，解得h=，故选：B．10．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2 C．4 D．2【解答】解：∵lg2x+lg8y=lg2，∴lg（2x•8y）=lg2，∴2x+3y=2，∴x+3y=1．∵x＞0，y＞0，∴==2+=4，当且仅当x=3y=时取等号．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（）A．πB．C．πD．π【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的半圆锥，且圆锥的底面半径为1，母线长为3，∴圆锥的高为=2；∴该几何体的体积为V半圆锥=×π×12×2=π．故选：A．12．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．【解答】解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．14．（5分）在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=3．【解答】解：如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．故答案为：3．15．（5分）设，，为单位向量，且=+k，（k＞0），若以向量，为两边的三角形的面积为，则k的值为．【解答】解：设，夹角为θ，则sinθ=，∴sinθ=1，θ=．∴=0．∵=+k，∴2=2+k22+k=1，∴=1，又k＞0，解得k=．故答案为：．16．（5分）有下列五个命题：①在平面内，F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是椭圆；②“在△ABC中，∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件；③“x=0”是“x≥0”的充分不必要条件；④已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底；⑤直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是．其中真命题的序号是③④．【解答】解：①已知F1，F2为两个定点，|F1F2|=4，动点M满足|MF1|+|MF2|=4，则动点M的轨迹是线段F1F2，不正确；②在△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角成等差数列时，可知2∠B=∠A+∠C，由内角和可知“∠B=60°，反之不一定成立，故命题不正确；③“x=0”是“x≥0”的必要不充分条件，不正确；④已知向量是空间的一个基底，即向量不共面，则也不共面，所以向量也是空间的一个基底，正确；⑤已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0．则l1⊥l2的充要条件为，若两直线垂直时，两直线斜率存在时，斜率乘积为，当a=0，b=0时，此时两直线垂直，但不满足，故不正确．故答案为：③④．三、解答题：本大题共70分，其中17题为10分，18-22题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1，2]，∴a≤1 ①；若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a≥1或a≤﹣2 ②，对①②求交集，可得{a|a≤﹣2或a=1}，综上所求实数a的取值范围为a≤﹣2或a=1．18．（12分）某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？【解答】解：（Ⅰ）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．…（3分）（Ⅱ）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5…（6分）（Ⅲ）由直方图，得：第3组人数为0.3×100=30，第4组人数为0.2×100=20人，第5组人数为0.1×100=10人．所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：=1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．…（9分）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：（A1，A2），（A1，A3），（B1，B2），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．…（13分）所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为…（14分）19．（12分）已知，=（cosx，2sin（x+）），且函数f（x）=•+1（1）求方程f（x）﹣1=0在（0，π）内有两个零点x1，x2，并求f（x1+x2）的值；（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）图象，求函数g（x）的单调增区间．【解答】解：（1）f（x）=﹣2sinxcosx+2sin（x+）cosx+1=2cos2x﹣sin2x+1=cos2x ﹣sin2x+2=cos（2x+）+2．∵f（x）﹣1=0，∴cos（2x+）=﹣，∵x∈（0，π），∴x1=，x2=，∴f（x1+x2）=f（）=cos+2=3．（2）g（x）=cos（[2（x+）+]+2+2=cos（2x+）+4．则g（x）的单调递增区间：令﹣π+2kπ≤2x+≤2kπ，解得kπ﹣≤x≤kπ﹣，∴函数g（x）的单调增区间是[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z．20．（12分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，（a≠2），BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF的法向量为，则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．21．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，观察程序框图，若k=1，k=2时，分别有．（1）试求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由循环结构可得：==，，解得：或（舍去），则a n=1+（n﹣1）2=2n﹣1．（2），，则，∴．22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），O为坐标原点，点在椭圆上，过点F的直线l交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）由题意有a2﹣b2=1，且，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．…（4分）（2）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则，当x1=x2时，M点的坐标为（﹣1，0）．当x1≠x2时，∵，，两式相减得，∴．又AB过F点，于是AB的斜率为，∴=，整理得x2+2y2+x=0．∵（﹣1，0）也满足上式，∴M的轨迹方程为x2+2y2+x=0．…（12分）。

南城一中2017届高二下学期5月月考理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1.复数22i z i-=+（i 为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 （ ）A ．第二象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第三象限2.若点(2,4)P 在直线1,:3x t l y at=+⎧⎨=-⎩（t 为参数)上，则a 的值为( ） A.—1 B 。

2 C.1 D. 33. 已知0sin a xdx π=⎰，若从[0，10］中任取一个数x ，则使1x a -≤的概率为A. 15B. 25C.310 D 。

454.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一排陈列,要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式的种数是( ）A 。

2880 B. 5760 C. 8640 D 。

9640 5。

下列说法正确的是⑴设随机变量X 服从二项分布（6，21)则P （X=3）=165⑵已知随机变量X 服从正态分布N （2,2σ），若 P （X ＜4)＝0.9，则P （0＜X ＜2）＝0.4 ⑶4π==⎰⎰⑷E （23+ξ）＝2E （ξ）＋3,D （23+ξ）＝2D （ξ）＋3A. ⑵⑶⑷B.⑴⑵⑶ C 。

⑵⑶ D 。

⑴⑶ 6。

已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，若()()3xf xg x +=,则下列结论正确的是A 。

()813f = B. ()1013g =C. 若a>b ，则()()g a g b > D 。

若a>b ，则()()f a f b >7。

如右图，在等腰梯形ABCD 中，8,4,4AB BC CD ===.点P 在线段AD 上运动，则||PA PB +的取值范围是A.[6,443]+B.[42,8]C.[6,12]D. [43,8] 8。

江西省抚州市南城县第一中学2015-2016学年高二3月月考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知R a ∈，若复数iia z +-=12为纯虚数，则=+ai 1（ ） A ．10 B ．10 C ．5 D ．5【答案】D 【解析】 试题分析：()()()()()212221112a i i a a ia i z i i i ----+-===++-2a ∴=11ai ∴+=+ 考点：复数运算2.在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足643a b c ==，则sin 2sin sin AB C=+（ ） A ．1114-B ．127C ．1124-D ．712-【答案】A 【解析】试题分析：643a b c ==∴设2222sin 22sin cos 1126,4,3sin sin sin sin 14b c a aA A A bc a b cBC BC b c +-===∴===-+++ 考点：正余弦定理解三角形3.设集合}|,sin cos ||{22R ∈-==x x x y y M ，{||1N x =<，i 为虚数单位，}R ∈x ，则M ∩N 为（ ） A ．（0，1） B ．（0，1] C ．[0，1） D ．[0，1]【答案】C 【解析】试题分析：{}{}22{||cos sin |,}|cos 2|01M y y x x x y y x y y ==-∈===≤≤R ，解不等式|1<得223411x x x x+∴+≤∴-≤≤{}[)|110,1N x x M N∴=-≤≤∴=考点：三角函数性质；复数运算4.方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，则k的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，1] C．（0，）D．（，1]【答案】D【解析】()12k x=-+有两个不等实根，即函数y=y=k（x-1）+2有2个交点．而函数y=1的上半圆（位于x轴及x轴上方的部分），直线y=k（x-1）+2，即kx-y+2-k=0 的斜率为k，且经过点M（1，2），，求得34k=．当直线经过点A（-1，0）时，由0=k（-1-2）+3求得k=1．数形结合可得k的范围为3,14⎛⎤⎥⎝⎦考点：根的存在性及根的个数判断5.使函数sin(2))y x xϕϕ=++为奇函数，且在[0,]4π上是减函数的ϕ的一个值是（）A．6πB．3πC．23πD．53π【答案】C【解析】试题分析：sin(2))2sin23y x x xπϕϕϕ⎛⎫=+++=++⎪⎝⎭∵函数f （x ）为奇函数，∴3k πϕπ+=，k ∈Z ，即3k πϕπ=-∵在[0,]4π上是减函数， ∴3k πϕπ=-（k 为奇数），∴23π为θ的一个值考点：三角函数性质6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201620170,0S S ><，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为（ ）A ．1006B ．1007C ．1008D ．1009 【答案】D 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵满足()()1201610081009201620162016022a a a a S ++==>，()12017201710092017201702a a S a +==<，10081009100810090,0,0,0a a a a d +>><<，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k=1009考点：等差数列的前n 项和 7.已知⎰+=111dx x M ，⎰=20cos πxdx N ，由程序框图输出S 的值为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．2ln【答案】D 【解析】 试题分析：()11001ln 1|ln 21M dx x x ==+=+⎰，2200cos sin |1N xdx x ππ===⎰，由程序框图可知ln 2S =考点：定积分及程序框图8.用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为（ ） A ．18 B ．108C ．216D ．432【答案】D9.设()x f 和()x g 是定义在同一个区间[]b ,a 上的两个函数，若函数()()x g x f y -=在[]b ,a x ∈上有两个不同的零点，则称()x f 和()x g 在[]b ,a 上是“关联函数”，区间[]b ,a 称为“关联区间”．若()432+-=x x x f 与()m x x g +=2在[]30,上是“关联函数”，则m 的取值范围是（ ）A ．]2,49(-- B ．[]01,- C ．(]2-∞-, D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,49【答案】A 【解析】试题分析：：∵()432+-=x x x f 与()m x x g +=2在[0，3]上是“关联函数”， 故函数y=h （x ）=f （x ）-g （x ）=2x -5x+4-m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有 ()()0030502h h h ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩即402025254042m m m ⎧⎪-≥⎪--≥⎨⎪⎪-+-<⎩，解得924m -<≤- 考点：函数零点的判定定理10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的离心率为2，且双曲线与抛物线y x 342-=的准线交于B A ,，3=∆OAB S ，则双曲线的实轴长（ ）A ．22B ．24C ．2D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：设A （x ，y ）．依题意知抛物线y x 342-=的准线y =．3=∆OAB S ，xy =，解得x=1，A （1）．代入双曲线22221y x a b -=得22311a b-=，…①，双曲线22221y x a b -=（a ＞0，b ＞0）的离心率=，…②，解①②可得a =．2a =，双曲线的实轴长 考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质11.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：根据题意可知PD=DC ，则点D 符合“M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ” 设AB 的中点为N ，根据题目条件可知△PAN ≌△CBN∴PN=CN ，点N 也符合“M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ” 故动点M 的轨迹肯定过点D 和点N而到点P 与到点N 的距离相等的点为线段PC 的垂直平分面线段PC 的垂直平分面与平面AC 的交线是一直线考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系12.面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若31241234a a a a k ====，则12342234Sh h h h k+++=．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则1234234H H H H +++等于（ ）A ．2V K B ．3V K C ．2V K D ．3VK【答案】B 【解析】试题分析：根据三棱锥的体积公式13V Sh =得：1122334411113333S H S H S H S H V +++=， 即112233443S H S H S H S H V +++=，∴12343234VH H H H K+++=考点：类比推理第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.（2x ﹣）6展开式中常数项为 （用数字作答）．【答案】60 【解析】试题分析：通项公式为()()36662166212rr rr rr r r T C x C x ---+⎛==- ⎝，令36042r r -=∴=，所以常数项为()44261260C -=考点：二项式定理14.设不等式组00x y x y y π+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域为M ，函数[]sin ,0,y x x π=∈的图像与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内概率为 ．【答案】28π【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：为△AOB ，则B （π，0），由0x y x y π+=⎧⎨-=⎩得2x y π==即,22A ππ⎛⎫⎪⎝⎭,则△AOB 的面积21224S πππ=⨯=由积分的几何意义可知区域N 的面积为00sin cos |2xdx x ππ=-=⎰根据几何概型的概率公式可知所求的概率22284P ππ==考点：几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域15.过抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在y 轴左侧），则= ．【答案】3 【解析】 试题分析：如图，作1AA ⊥x 轴，1BB ⊥x 轴．则1AA ∥OF ∥1BB ，11B AFB OB x AFOA x ∴==，又已知0,0A B x x <>B A FB x AFx ∴=-，∵直线AB 方程为y=xtan30°+2p即2p y =+，与22x py =联立得220x px p -=2,A B A B x x p x x p ∴+==-()222324A B A B A B x x p x x x x ∴=-=-++ ∴2233100A B A B x x x x ++=，两边同除以2A x 得231030B B A A x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭3,B A x x ∴=-或13-．0A B A B x x p x x +=>∴>13B B A A FB x x x AF x ∴<-∴=-= 考点：抛物线的简单性质 16.给出命题： ①函数3cos()22y x π=+是奇函数； ②若αβ、是第一象限角且α<β，则tan α<βtan ；③32sin2y x =在区间[,]32ππ-上的最小值是－2④8x π=是函数5sin(2)4y x =+π的一条对称轴。

江西省抚州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知为等差数列的前项和，，则为（）A .B .C .D .2. （2分）在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，且，则等于（）A .B .C .D .3. （2分）数列满足，且对任意的都有，则等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·南宁期中) 如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（）A .B . 4C . 9D . 185. （2分）若，且，则下列不等式恒成立的是（）A .B .C .D .6. （2分）三边长分别是，则它的最大锐角的平分线分三角形的面积比是（）A . 1:1B . 1:2C . 1:4D . 4:37. （2分）设x,y满足约束条件则目标函数的最大值是（）A . 3B . 4C . 6D . 88. （2分）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则此人（）A . 不能作出这样的三角形B . 能作出一个锐角三角形C . 能作出一个直角三角形D . 能作出一个钝角三角形9. （2分）设Sn为等差数列{an}的前n项的和，a1=﹣2013，﹣ =2，则S2013的值为（）A . ﹣2012B . ﹣2013C . 2012D . 201310. （2分） (2018高二上·济源月考) 在中，，，，则（）A . 4B .C .D .11. （2分）函数的零点所在区间为（）A . （-1，0）B . （0，1）C . （1，2）D . （2，3）12. （2分）设函数，对于给定的正数K，定义函数若对于函数定义域内的任意x，恒有，则（）A . K的最大值为B . K的最小值为C . K的最大值为1D . K的最小值为1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若数列{an}满足a1=1，a2=2，an= （n≥3且n∈N*），则a2013=________．14. （1分） (2016高一下·南汇期末) 在△ABC中，已知a=13，b=14，c=15，则S△ABC=________．15. （1分） (2019高一上·丰台期中) 不等式的解集为________．16. （1分）(2017·资阳模拟) 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为________日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2017·诸暨模拟) 已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且 =（1）求A（2）求cosB+cosC的取值范围．18. （5分） (2016高二下·龙海期中) 在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？19. （10分） (2018·广元模拟) 已知数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .20. （10分） (2016高二上·福州期中) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（1）求角C的值；（2）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．21. （10分） (2016高二上·桂林开学考) 已知公差d＞0的等差数列{an}中，a1=10，且a1 ， 2a2+2，5a3成等比数列．（1）求公差d及通项an；（2）设Sn= + +…+ ，求证：Sn＜．22. （10分） (2017高二下·新乡期末) 设实数x、y满足2x+y=9．（1）若|8﹣y|≤x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥ ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

江西省抚州市2015～2016学年度高二上学期期末数学试卷（理科)一、选择题1．设命题p：∃n∈N，n2＞2n,则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N,n2≤2n C．∀n∈N,n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n2．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查,若抽到编号之和为48,则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）42 3 5销售额y（万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63。

6万元B．65。

5万元C．67。

7万元D．72。

0万元5．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6,那么输出的p的值是(）A．15 B．105 C．120 D．7206．下列命题中，真命题是(）A．∃x0∈R，使得B．sin2x+≥3（x≠kπ，k∈Z)C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件7．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1｜=2|PF2｜，则cos∠F1PF2=（)A．B．C．D．8．椭圆上有n个不同的点P1，P2，P3，…,P n，椭圆的右焦点F，数列{｜P n F|｝是公差大于的等差数列，则n的最大值为(）A．198 B．199 C．200 D．2019．“函数y=f（x）在区间(a,b）上有零点”是“f（a）•f（b)＜0"的(）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要 D．非充分非必要10．设x1、x2∈R，常数a＞0,定义运算“*”：x1*x2=（x1+x2）2﹣（x1﹣x2）2，若x≥0,则动点P(x，）的轨迹是（）A．圆B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分11．已知F2，F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，｜OF1｜为半径的圆内，则双曲线的离心率e为（）A．(,3）B．（3，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）12．如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α,CB⊥α，AD=4,AB=6，BC=8,在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P﹣ABCD体积的最大值是(）A．B．16 C．48 D．144二。

2016-2017学年江西省抚州市南城一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“x＞0”是“＞0”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件 D．充要条件2．已知五个数3，5，7，4，6，则该样本标准差为（）A．1 B．C．D．23．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜04．若P（A+B）=1，则事件A与B的关系是（）A．A、B是互斥事件B．A、B是对立事件C．A、B不是互斥事件D．以上都不对5．与圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=8相切，且在x、y轴上截距相等的直线有（）A．4条B．3条C．2条D．1条6．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β7．若=（2x，1，3），=（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（）A．x=1，y=1 B．x=，y=﹣ C．x=，y=﹣ D．x=﹣，y=8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是B1B，B1C1，CD的中点，则MN与D1P所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．如图，G是△ABC的重心，，则=（）A．B．C．D．10．如图是计算+++…+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）A．i＜10 B．i＞10 C．i＜20 D．i＞2011．现有五个球分别记为A，B，C，D，E，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则C或E在盒中的概率是（）A．B．C．D．12．有以下命题：①如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么，的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；③已知向量，，是空间的一个基底，则向量+，﹣，也是空间的一个基底；④△ABC中，A＞B的充要条件是sinA＞sinB．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=．14．设函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈，那么任取一点x0，使f（x0）≤0的概率为．15．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为．16．①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．③是的充要条件；④“am2＜bm2”是“a＜b”的充分必要条件．以上说法中，判断错误的有．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p：|m+1|≤2 成立．命题q：方程x2﹣2mx+1=0有实数根．若￢P 为假命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数﹒图中三角形阴影部分的三个顶点为（0，0）、（4，0）和（0，4）．（1）若点P（a，b）落在如图阴影所表示的平面区域（包括边界）的事件记为A，求事件A的概率；（2）若点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上，且使此事件的概率P最大，求m和P的值﹒19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16．（1）若a=4，b=5，求cosC的值；（2）若sinA+sinB=3sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b的值．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E 为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2PF=FA．（1）求证：BE⊥平面PAC；（2）求证：CM∥平面BEF；（3）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．21．（12分）已知圆，圆．（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）直线ι过点（4，﹣4）与圆C1相交于A，B两点，且，求直线ι的方程．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4（1﹣S n）（n∈N*），T n=++…+，求使T n≥成+1立的最小的正整数n的值．2016-2017学年江西省抚州市南城一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2010•广东）“x＞0”是“＞0”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件 D．充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】当x＞0时，x2＞0，则＞0，显然成立，＞0，x2＞0，时x＞0不一定成立，结合充要条件的定义，我们可得“x＞0”是“＞0”成立的充分非必要条件．【解答】解：当x＞0时，x2＞0，则＞0∴“x＞0”是“＞0”成立的充分条件；但＞0，x2＞0，时x＞0不一定成立∴“x＞0”不是“＞0”成立的必要条件；故“x＞0”是“＞0”成立的充分不必要条件；故选A【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p ⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q 的关系．2．（2015秋•凯里市校级期末）已知五个数3，5，7，4，6，则该样本标准差为（）A．1 B．C．D．2【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；概率与统计．【分析】先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差．【解答】解：数据3，5，7，4，6的平均数为=（3+5+7+4+6）=5方差为S2==2∴标准差为故答案为【点评】计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：（1）计算数据的平均数；（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；（3）计算偏差的平方和；（4）偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．3．（2012•辽宁）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．【点评】本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律．4．（2016秋•南城县校级期中）若P（A+B）=1，则事件A与B的关系是（）A．A、B是互斥事件B．A、B是对立事件C．A、B不是互斥事件D．以上都不对【考点】互斥事件与对立事件．【专题】计算题；转化思想；分类法；概率与统计．【分析】由P（A+B）=1，得到A与B是互斥事件或对立事件或不是互斥事件．【解答】解：∵P（A+B）=1，∴当A，B是互斥事件或对立事件时，P（A+B）=P（A）+P（B）=1；当A，B不是互斥事件时，P（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（AB）=1．∴选项A，B，C都不一定正确．故选：D．【点评】本题考查互斥事件、对立事件、不是互斥事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．5．（2012秋•顺德区期末）与圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=8相切，且在x、y轴上截距相等的直线有（）A．4条B．3条C．2条D．1条【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】与圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=8相切，且在两坐标轴上截距相等的直线，必有过原点的2条直线，还有斜率为﹣1 的两条直线．【解答】解：由圆的方程（x﹣3）2+（y﹣3）2=8，可得圆心坐标为C（3，3），半径是r=2，由|OC|==3＞r，故原点在圆外．当所求直线的方程的截距为0时，直线过原点，显然有两条直线满足题意．当截距不为0时，设所求直线的方程为：x+y=a（a≠0）则圆心到直线的距离d==e=2，由此求得a=2，或a=10，由于满足题意a的值有2个，所以满足题意的直线有2条．综上可得，与圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=8 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线中，过原点的切线有两条，斜率为﹣1的切线也有两条；共4条，故选A．【点评】本题考查圆的切线方程，截距相等问题，学生容易疏忽过原点的直线．容易出错，属于中档题．6．（2016•河西区模拟）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】阅读型；空间位置关系与距离．【分析】由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断A；由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理，即可判断B；由面面垂直的性质和线面的位置关系，即可判断C；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质，即可判断D．【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，面面垂直的判定和性质，考查空间想象能力，属于中档题和易错题．7．（2012秋•顺德区期末）若=（2x，1，3），=（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（）A．x=1，y=1 B．x=，y=﹣ C．x=，y=﹣ D．x=﹣，y=【考点】共线向量与共面向量．【专题】计算题．【分析】利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．【解答】解：∵=（2x，1，3）与=（1，﹣2y，9）共线，故有==．∴x=，y=﹣．故选C．【点评】本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．8．（2012秋•顺德区期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是B1B，B1C1，CD的中点，则MN与D1P所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得到异面直线所成的角的余弦值．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长AB=2．则D（0，0，0），P（0，1，0），D1（0，0，2），M（2，2，1），N（1，2，2）．∴，．∴===﹣．∴MN与D1P所成角的余弦值为．故选B．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系利用异面直线的方向向量的夹角得到异面直线所成的角的余弦值的方法是解题的关键．9．（2012秋•顺德区期末）如图，G是△ABC的重心，，则=（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由题意推出，使得它用，，，来表示，从而求出系数，得到正确选项．【解答】解：∵，====，则向量用基底{，，}可以表示为故选D．【点评】本题考查空间向量的加减法，以及向量用不共线的基底进行表示，是基础题．10．（2016•肇庆三模）如图是计算+++…+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）A．i＜10 B．i＞10 C．i＜20 D．i＞20【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据算法的功能是计算+++…+的值，确定终止程序运行的i=11，由此可得判断框中应填入的条件．【解答】解：根据算法的功能是计算+++…+的值，∴终止程序运行的i=11，∴判断框中应填入的条件是：i＞10或i≥11．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程确定终止程序运行的i值是关键．11．（2016秋•南城县校级期中）现有五个球分别记为A，B，C，D，E，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则C或E在盒中的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】利用排列求出所有的基本事件的个数，再求出C、E都不在盒中的放法，利用古典概型概率公式及对立事件的概率公式求出C或E在盒中的概率【解答】解：将5个不同的球随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，所有的放法有A53=60，C、E都不在盒中的放法有A33=6，设“C或E在盒中”为事件A，则P（A）=1﹣=．故选：D．【点评】本题考查利用排列求事件的个数、古典概型的概率公式、对立事件的概率公式．12．（2016秋•南城县校级期中）有以下命题：①如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么，的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；③已知向量，，是空间的一个基底，则向量+，﹣，也是空间的一个基底；④△ABC中，A＞B的充要条件是sinA＞sinB．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；分析法；简易逻辑．【分析】①空间向量的一组基底，必须满足两两不共线；②向量，，不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；③不共线向量，，⇒向量+，﹣，也一定不共线；④△ABC中，A＞B⇔sinA＞sinB．【解答】解：对于①，如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么，的关系是共线，所以不正确．对于②，O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．对于③，已知向量，，是空间的一个基底，所以因为三个向量非零不共线，则向量+，﹣，也不共线，也是空间的一个基底，这是正确的．对于④，△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔2RsinA＞2RsinB⇔sinA＞sinB，所以正确．故选：C．【点评】本题考查共线向量与共面向量及三角形边角关系，考查分析问题解决问题的能力，是基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（2012秋•顺德区期末）若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【分析】利用斜率都不等于0的直线垂直时，斜率之积等于﹣1，建立方程，解方程求出a 的值．【解答】解：∵直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，∴×=﹣1，∴a=﹣，故答案为﹣．【点评】本题考查两直线垂直的性质，斜率都不等于0的直线垂直时，斜率之积等于﹣1．14．（2016秋•南城县校级期中）设函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈，那么任取一点x0，使f（x0）≤0的概率为．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】本题是几何概型的考查，只要明确事件对应的区间长度，利用长度比求概率．【解答】解：由题意，本题符合几何概型，区间长度为10，使f（x0）≤0即x2﹣x﹣2≤0的区间为，长度为3，由几何概型公式得到，使f（x0）≤0的概率为；故答案为：．【点评】本题考查了几何概型概率求法；关键是明确事件集合测度，本题是区间长度的比为概率．15．（2016•南通模拟）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为32．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题．【分析】由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数．【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，则有：，解得：x=0.2，∴中间一组的频数=160×0.2=32．故填：32．【点评】本题是对频率、频数灵活运用的考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系：频率=．16．（2012秋•寿县校级期末）①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．③是的充要条件；④“am2＜bm2”是“a＜b”的充分必要条件．以上说法中，判断错误的有③④．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；四种命题的真假关系．【专题】探究型．【分析】根据题意，依次分析4个命题：对于①，由一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，而互为逆否命题的两个命题同真同假，结合题意可得①正确，对于②，由∠B=60°，易得∠A+∠C=2∠B，可得∠A，∠B，∠C三个角成等差数列；反之由∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，可得∠A+∠C=2∠B，又由∠A+∠B+∠C=180°，则∠B=60°，综合可得②正确；对于③举出反例，x=，y=，可得是的不必要条件，即可得③错误；对于④，举出反例，m=0，易得“am2＜bm2”是“a＜b”的不必要条件，可得④错误；综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：①、一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，则若其逆命题为真，其否命题也一定为真，①正确；②、若∠B=60°，则∠A+∠C=120°，有∠A+∠C=2∠B，则∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，反之若∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，有∠A+∠C=2∠B，又由∠A+∠B+∠C=180°，则∠B=60°，故在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件，②正确；③、当x=，y=，则满足，而不满足，则是的不必要条件，③错误；④、若a＜b，当m=0时，有am2=bm2，则“am2＜bm2”是“a＜b”的不必要条件，④错误；故答案为③④．【点评】本题考查命题正误的判断，一般涉及知识点较多；注意合理运用反例，来判断命题的错误．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2015春•兴平市期末）已知命题p：|m+1|≤2 成立．命题q：方程x2﹣2mx+1=0有实数根．若￢P为假命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】不等式的解法及应用．【分析】若“¬p”为假，则p为真，“p∧q”为假命题得q为假，由此关系求实数m的取值范围即可．【解答】解：因为“¬p”为假，所以命题p是真命题．（2分）又由“p∧q”为假命题，所以命题q是假命题．（4分）当p为真命题时，则得﹣3≤m≤1；当q为假命题时，则△=4m2﹣4＜0，得：﹣1＜m＜1（8分）当p是真命题且q是假命题时，得﹣1＜m＜1．（12分）【点评】本题考查命题的真假判断与运用，解答本题的关键是根据“¬p”为假，“p∧q”为假命题判断出p为真q为假，熟练掌握复合命题真假的判断方法很重要．18．（12分）（2016秋•南城县校级期中）将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数﹒图中三角形阴影部分的三个顶点为（0，0）、（4，0）和（0，4）．（1）若点P（a，b）落在如图阴影所表示的平面区域（包括边界）的事件记为A，求事件A的概率；（2）若点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上，且使此事件的概率P最大，求m和P的值﹒【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计．【分析】（1）由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数为6×6，画出图形，满足条件的事件A可以列举出有6个整点，根据古典概型概率公式得到结果．（2）点P（a，b）落在x+y=m（m为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，只需基本事件最多，由x，y∈，画出图形，直线x+y=m过（1，6）时适合，求得x+y=7，此时有6个整点，得到结果．【解答】解：（1）基本事件总数为6×6=36﹒…（2分）当a=1时，b=1，2，3；当a=2时，b=1，2；当a=3时，b=1﹒共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）6个点落在条件区域内，∴P（A）═﹒…（6分）（2）当m=7时，…（9分）（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共有6种，此时P==最大﹒…（12分）【点评】本题考查古典概型，在解题时要利用图形判断出满足条件的事件数，本题利用数形结合的知识，是一个综合题．19．（12分）（2016秋•南城县校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16．（1）若a=4，b=5，求cosC的值；（2）若sinA+sinB=3sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）求出c，根据余弦定理求出C的余弦值即可；（2）根据倍角公式以及三角形的面积公式得到关于a，b的方程组，解出即可．【解答】解：（1）由题意可知c=16﹣（a+b）=7…（2分）由余弦定理得…（6分）（2）由，可得，化简得sinA+sinAcosB+sinB+sinB•cosA=4sinC即sinA+sinB+sin（A+B）=4sinC，sinA+sinB=3sinC即a+b=3c…（8分）又a+b+c=16∴a+b=12，由于…（10分）∴，即a=b=6…（12分）【点评】本题考查了正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角恒等变换，是一道中档题．20．（12分）（2012秋•顺德区期末）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2PF=FA．（1）求证：BE⊥平面PAC；（2）求证：CM∥平面BEF；（3）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】空间角；空间向量及应用．【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得BE⊥PC．再利用线面垂直的判定和性质即可证明BE⊥平面PAC；（2）取AF得中点Q，连接CQ，MQ．利用已知及三角形的中位线定理可得EF∥CQ，BF ∥MQ，即可得到面面平行：平面BEF∥平面CMQ，进而得到线面平行；（3）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量即可得出．【解答】证明：（1）∵BP=BC，EP=EC，∴BE⊥PC．∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC，又AC⊥BC，PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC，∴AC⊥BE．又PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC．（2）取AF得中点Q，连接CQ，MQ．∵2PF=FA，∴点F为PQ的中点，由三角形的中位线定理可得EF∥CQ，BF∥MQ，又CQ∩MQ=Q，∴平面BEF∥平面CMQ，∴CM∥平面BEF．（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），P（0，0，2），C（2，0，0），A（2，2，0），E（1，0，1），F．，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则z=﹣1，y=1．∴=（1，1，﹣1）．取平面ABC的法向量．则===﹣．∴平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值为．【点评】本题综合考查了线面平行与垂直、面面平行的判定与性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量得出二面角的方法、三角形的中位线定理等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．21．（12分）（2012秋•顺德区期末）已知圆，圆．（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）直线ι过点（4，﹣4）与圆C1相交于A，B两点，且，求直线ι的方程．【考点】相交弦所在直线的方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）利用圆系方程直接求出两圆公共弦所在直线的方程即可．（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理求出直线的斜率，即可得到直线方程．【解答】解：（1）因为圆，圆．作差得，两圆公共弦所在直线的方程为：2x﹣y+4=0．（2）设过点（4，﹣4）的直线斜率为k，所以所求直线方程为：y+4=k（x﹣4），即kx﹣y ﹣4k﹣4=0．圆，的圆心（2，1），半径为：，因为圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，所以弦心距为：=2；所以，k=﹣，令一条直线斜率不存在，直线方程为：x=4或21x+20y+4=0所求直线方程为：x=4或21x+20y+4=0．【点评】本题考查两个圆的位置关系，公共弦所在直线方程的求法，直线与圆的位置关系，考查计算能力．22．（12分）（2016•漳州二模）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4（1﹣S n+1）（n∈N*），T n=++…+，求使T n≥成立的最小的正整数n的值．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）n=1时，易求a1=，当n≥2时，S n+a n=1①，S n﹣1+a n﹣1=1②，①﹣②可得数列递推式，由此可判断{a n}是等比数列，从而可求a n．（Ⅱ）由（1）可求得b n，利用裂项相消法可求得T n，然后可解得不等式T n≥得到答案；【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，由S1+a1=1⇒a1=，当n≥2时，S n+a n=1①，S n﹣1+a n﹣1=1②，①﹣②，得=0，即a n=a n﹣1，∴{a n}是以为首项，为公比的等比数列．故a n==3（n∈N*）；（Ⅱ）由（1）知1﹣S n+1==，b n=log4（1﹣S n+1）==﹣（n+1），=，T n=++…+=（）+（）+…+（）=，≥⇒n≥2014，故使T n≥成立的最小的正整数n的值n=2014．【点评】本题考查由数列递推式求通项、数列求和、等比数列的概念及不等式，考查学生综合运用知识解决问题的能力，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．。

南城一中2015—2016学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线a//平面α,直线b⊂平面α，则（）A．a//b B．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点2。

四张卡片上分别写有数字1，2,3,4,从这四张卡片中随机抽取2张,则取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是( ）A．13B．12C．23D．343．在ABC∆中，若222sin sin sinA B C+<，则ABC∆的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定4。

从一批产品中取出三件产品，设{A=三件产品全是正品}，{B=三件产品全是次品}，{C=三件产品不全是次品}，则下列结论不正确．．．的是（）A．A与B互斥且为对立事件B．B与C为对立事件C．A与C存在着包含关系D．A与C不是互斥事件5．抛物线y＝2x2的准线方程是（)A。

x＝－12B。

x＝12C。

y＝－18D.y＝186. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中成立．．的是（)A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与11AC 异面7。

若R d c b a ∈,,,，则”“c b d a +=+是“d ,c ,,b a 依次成等差数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件那8。

执行如图所示的程序框图,输出20152016s =。

么判断框内应 填（ ） A ．2015≤k B ．2016≤k C ．2015≥k D ．2016≥k9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若1,21==AA AB ，则点A 到平面BC A 1的距离为（ )A ．43B ．23 C ．433 D ．310．已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y xy x ，则yx 311+的最小值是( ）A. 34 B 。

2015-2016学年江西省抚州市临川二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知p：＜0．q：x2﹣x﹣2＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．613．（5分）单位向量与的夹角为，则=（）A．B．1 C．D．24．（5分）等差数列{a n}中，a1+a7=10，S9=63，则数列{a n}的公差为（）A．4 B．3 C．2 D．15．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．607．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，28．（5分）设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．29．（5分）分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m ＞n的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）如图，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积是（）A．56πcm2B．77πcm2C． D．11．（5分）已知△ABC，若对任意t∈R，||≥||恒成立，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形12．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，若对任意的实数x，都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2且f（﹣1）=0，则f（2015）的值是（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置）13．（5分）某班有学生50人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是．14．（5分）已知平面α和β的法向量分别是（1，3，4）和（x，1，﹣2）．若α⊥β，则x=．15．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为2，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为．16．（5分）如图，在△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=，则cosC=．三、解答题：（本大题有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p：不等式m2+2m﹣1≤x+对任意x＞0恒成立，命题q：指数函数y=（5﹣m2）x是增函数．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．18．（12分）某地为了建立幸福指标体系，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．（1）求研究小组的总人数；（2）若从研究小组的公务员和教师中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人来自公务员的概率．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2S n=（n+1）a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n=++…+，求T n．20．（12分）如图，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直线AM与直线PC所成的角为45°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°．（1）求证：AC⊥BM；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．22．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣2x，g（x）=﹣，（a，b ∈R）（Ⅰ）当b=0时，若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对（a，b）：当a是整数时，存在x0，使得f （x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值．2015-2016学年江西省抚州市临川二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知p：＜0．q：x2﹣x﹣2＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由＜0得0＜x＜2，即p：0＜x＜2，由x2﹣x﹣2＜0得﹣1＜x＜2，即q：﹣1＜x＜2，则p是q的充分不必要条件，故选：A．2．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．61【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．3．（5分）单位向量与的夹角为，则=（）A．B．1 C．D．2【解答】解：∵向量与为单位向量，且向量与的夹角为，∴，，∴===1﹣1+1=1∴=1故选：B．4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a7=10，S9=63，则数列{a n}的公差为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a7=10，S9=63，∴，解得d=2，a1=﹣1．则数列{a n}的公差为2．故选：C．5．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42=6种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），∴要求的概率是=．故选：B．6．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．7．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选：A．8．（5分）设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．2【解答】解：过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程得到A（3，﹣1），半径r=2，则|PQ|=|AQ|﹣r=6﹣2=4．故选：B．9．（5分）分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m ＞n的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，则在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则（m，n）表示的图形面积为3×5=15其中满足m＞n，即在直线m=n右侧的点表示的图形面积为：，故m＞n的概率P=，故选：A．10．（5分）如图，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积是（）A．56πcm2B．77πcm2C． D．【解答】解：三视图复原的几何体是长方体的一个角，三度为：6、5、4；把它扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，所以长方体的对角线长为：所以球的半径为：．这个几何体的外接球的表面积是：4=77π（cm2）故选：B．11．（5分）已知△ABC，若对任意t∈R，||≥||恒成立，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：令=t﹣，则根据向量的减法的几何意义可得M在BC上，由对任意t∈R，||≥||恒成立可得：||≥||，∴AC⊥BC，则△ABC为直角三角形．故选：A．12．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，若对任意的实数x，都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2且f（﹣1）=0，则f（2015）的值是（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【解答】解：∵f（x+4）≥f（x+2）+2，f（x+2）≥f（x）+2；∴f（x+4）≥f（x）+4；又∵f（x+4）≤f（x）+4；∴f（x+4）=f（x）+4；即f（x+4）﹣f（x）=4；故f（2015）=f（2011）+4=f（2007）+8=…=f（﹣1）+2016=2016；故选：C．二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置）13．（5分）某班有学生50人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是18．【解答】解：50人中抽取样本容量为4的样本，先剔除2人，则样本组距为48÷4=12，则6+12=18，故另外一个同学的学号为18，故答案为：1814．（5分）已知平面α和β的法向量分别是（1，3，4）和（x，1，﹣2）．若α⊥β，则x=5．【解答】解：∵平面α和β的法向量分别是（1，3，4）和（x，1，﹣2），α⊥β，∴（1，3，4）•（x，1，﹣2）=x+3﹣8=0，解得x=5．故答案为：5．15．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为2，则BC 1与侧面ACC1A1所成角的大小为30°．【解答】解：取AC的中点E，连接BE，C1E，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴BE⊥面ACC1A1，∴∠BC1E就是BC1与侧面ACC1A1所成的角，BC1=，BE==，∴sin∠BC1E===，∴∠BC1E=30°．∴BC1与侧面ACC1A1所成角为30°．故答案为：30°．16．（5分）如图，在△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=，则cosC=．【解答】解：因为sin=，所以cos∠ABC=1﹣2sin2=1﹣2×（）2=1﹣2×=，在△ABC中，设BC=a，AC=3b，由余弦定理可得：①在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：，，因为cos∠ADB=﹣cos∠BDC，所以有=，所以3b2﹣a2=﹣6 ②由①②可得a=3，b=1，即BC=3，AC=3．则cosC==，故答案为：三、解答题：（本大题有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p：不等式m2+2m﹣1≤x+对任意x＞0恒成立，命题q：指数函数y=（5﹣m2）x是增函数．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【解答】解：∵对任意x＞0，x+≥2，∴若不等式m2+2m﹣1≤x+对任意x＞0恒成立，则不等式m2+2m﹣1≤2即可，即m2+2m﹣3≤0，解得﹣3≤m≤1，即p：﹣3≤若指数函数y=（5﹣m2）x是增函数，则5﹣m2＞1，即m2＜4，解得，﹣2＜m＜2，即q：﹣2＜m＜2，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假，若p真，q假，则，解得﹣3≤m≤﹣2．若p假，q真，则，解得1＜m＜2．综上：﹣3≤m≤﹣2或1＜m＜2．18．（12分）某地为了建立幸福指标体系，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．（1）求研究小组的总人数；（2）若从研究小组的公务员和教师中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人来自公务员的概率．【解答】解：（1）依题意，（2分），解得y=3，x=2（4分），研究小组的总人数为2+3+4=9（人）（6分）．（或（4分），=9（6分）（2）设研究小组中公务员为a1、a2，教师为b1、b2、b3，从中随机选2人，不同的选取结果有：a1a2、a1b1、a1b2、a1b3、a2b1、a2b2、a2b3、b1b2、b1b3、b2b3（8分），共10种（9分），其中恰好有1人来自公务员的结果有：a1b1、a1b2、a1b3、a2b1、a2b2、a2b3（10共6种（11分），所以恰好有1人来自公务员的概率为（12分）．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2S n=（n+1）a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n=++…+，求T n．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2S n=（n+1）a n，①∴n≥2时，2S n=na n﹣1，②﹣1①﹣②，得2a n=（n+1）a n﹣na n﹣1，n≥2，整理，得，n≥2，∴=1×=n，n=1时，上式成立，∴a n=n．（Ⅱ）∵==，∴T n=++…+=1﹣=1﹣=．20．（12分）如图，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直线AM与直线PC所成的角为45°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°．（1）求证：AC⊥BM；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）∵平面PCMB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面PCMB又∵BM⊂平面PMBC∴AC⊥BM；方法一：（2）取BC中点N，则CN=1，连结AN、MN，∵平面PCMB⊥平面ABC，平面PCBM∩平面ABC=BC，PC⊥BC∴PC⊥平面ABC∵PM∥CN，PM=CN，∴MN∥PC，∴MN⊥平面ABC作NH⊥AB于H，连结MH，则由三垂线定理知，AB⊥MH从而∠MHN为二面角M﹣AB﹣C的平面角，∵直线AM与直线PC所成的角为60°∴∠AMN=60°在△ACN 中，由勾股定理得AN=，在Rt△AMN 中，MN=AN•cot∠AMN=•=，在Rt△BNH 中，NH=sin∠ABC=BN•=1×=，在Rt△MNH 中，tan∠MHN===，故二面角M﹣AB﹣C的大小为arctan；（2）方法二：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz，设P（0，0，z0 ）（z0 ＞0），有B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，z0 ）=（﹣1，1，z0 ），=（0，0，z0 ）由直线AM与直线PC所成的角为60°，得•=丨丨•丨丨cos60°，即=•z0，解得：z0=，∴=（﹣1，1，），=（﹣1，2，0），设平面MAB 的一个法向量为=（x1，y1，z1），则，取z1=，解得：=（4，2，），取平面ABC的一个法向量为=（0，0，1），则cos＜，＞===，故二面角M﹣AB﹣C 的大小为arctan．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=4，又∵△ABC的面积等于，∴，∴ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，，，，，求得此时当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，．所以△ABC的面积综上知△ABC的面积22．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣2x，g（x）=﹣，（a，b ∈R）（Ⅰ）当b=0时，若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对（a，b）：当a是整数时，存在x0，使得f （x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当b=0时，f（x）=ax2﹣4x，若a=0，f（x）=﹣4x，则f（x）在[2，+∞）上单调递减，不符题意，故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，必须满足，∴a≥1．（Ⅱ）若a=0，，则f（x）无最大值，故a≠0，∴f（x）为二次函数，要使f （x ）有最大值，必须满足，即a ＜0且，此时，时，f （x ）有最大值．又g （x ）取最小值时，x=x 0=a ， 依题意，有， 则，∵a ＜0且，∴，得a=﹣1，此时b=﹣1或b=3．∴满足条件的实数对（a ，b ）是（﹣1，﹣1），（﹣1，3）．。