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知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
Y
M
特别注意:
F2 X
F1
0
当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆; 当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.
当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2;
小结：
1.知识小结：
（1） 学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离 心率等概念及其几何意义。
（2） 研究了椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系 2.数学思想方法：
（1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。
（2）分类讨论的数学思想
练习6.已知椭圆方程为 6x y 6 则
2
2
2
再变形为
a xc
2
c = a
.
这个方程的几何意义如何？
新知探究
y
2
l
（x-c）+ y a xc
2
2
c = a
M
O F
H
x
椭圆上的点M(x，y) 到焦点 F(c ， 0) 的距 2 a 离与它到直线 x = 的距离之比等于离 c 心率.
a x= c
2
新知探究 若点F是定直线l外一定点，动点M到点 F的距离与它到直线l的距离之比等于 常数e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.
c 3 0.6 离心率 e a 5
焦点坐标分别是 F ,0), F2 (3,0) 1 (3
四个顶点坐标是
A 1 (5,0), A 2 (5,0), B 1 (0,4), B2 (0,4)
练习1：
(1)求椭圆4x2 + y2 =1的长轴和短轴的长、离心 率、焦点和顶点坐标.
(2)已知椭圆x2 + (m+3)y2 =m(m>0)的离心率为 23
x
1) e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁;
2) e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆;
3) 特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭圆方 程变为（？）
小结一：基本元素
{1}基本量：a、b、c、e、（共四个量） {2}基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） {3}基本线：对称轴（共两条线） y
l
O
m
分析：若设P(x,y)是椭圆上到 直线l距离最近的点，利用点到 直线的距离公式可以求出最小 值吗？请同学们试一试。
x
很显然这种方法很难求解。请同学 们想想还有其它解法吗？
通过直线的平移，使直线m与椭圆首先相交，此时 的交点就是所求的点，两条平行线间的距离就是最 小距离。
解：因为直线l与椭圆不相交，把直线l平移到m与椭圆相 交，则可设直线m：4x-5y+c=0 y m 4x - 5y c 0 2 由方程组 x y2 l P 1 O 25 9 x 2 2 得：25x +8cx+c -225=0 则⊿64c2-4×25(c2-225)=0 解之得：c1=25， c2=-25 由图可知： ①当c=25时直线m与椭圆的交点P到直线l的距离最近， 由25x2+8×25x+252-225=0解得：x=4(舍去)，x=-4 ∴y=9/5 ∴P(-4,9/5) 40 25 15 41 直线l到椭圆的最近距离为： d 2 2 41 4 5
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上 标准方程 焦点在y轴上
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
y
F2
图 形 F1 O F2
P x
x
O F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
它的长轴长是：短轴长是：2源自22 6;
;
2
2 5
30 6
(0, 5)
焦距是：
离心率等于： 焦点坐标是：
;
;
＿＿＿ (0, － 5);
(1, 0)(－ 1, 0) ; 顶点坐标是：(0, 6) (0,－ 6) ＿＿＿＿＿＿＿
外切矩形的面积等于：
4 6
。
y x 2 2 2 1. 椭圆 2 2 1 a b 0, a b c a b
b x b,a y a
关于x轴，y轴，原点对称
A a,0, A (a,0), B 0,b, B 0, b A1 0,a, A2 (0, a), B1 b,0, B2 b,0
1 2 1 2
c e (0 e 1) a
c e (0 e 1) a
练习2：
(1)求与椭圆4x2 +9y2 =36共焦点，且过 点(３,-２)的椭圆的标准方程。
(2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点
(-2,-4),求椭圆的标准方程。
题型三：求椭圆的离心率
例3.椭圆中焦距与短轴长相等，求e.
练习3：
(1)椭圆中长轴长是短轴长的2倍，求e.
(2)椭圆的短半轴长为4,短轴的一个端点到一个焦 点的距离为5,求e.
题型一：椭圆方程的基本计算问题
例1.求椭圆16x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标.
2 y 解：把已知方程化成标准方程 x 1 25 16 a 5, b 4, c 25 16 3 2
因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a 10,2b 8
从图： 坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中心 椭圆关于（x）轴对称； 椭圆关于（y）轴对称； 椭圆关于(原点)点对称；
y
2 2
o
x
中心：椭圆的对称中心 叫做椭圆的中心
4.离心率
c e 椭圆的焦距与长轴长的比： a
o
y
(1)离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以0<e <1 (2)离心率对椭圆形状的影响：
令 x=0，得 y=？椭圆与 y轴的交点（ 0 ， ±b） 令 y=0，得 x=？椭圆与 x轴的交点（±a ，0 ）
a x a b y b
从图：椭圆位于直线
X=±a和y=±b所围成 的矩形之中。
2.顶点
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
︱
y
B1(0,b)
F1 0,- c ，F2 0,c
a 2 = b2 + c 2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
二.椭圆的简单几何性质
y
观图，你看 到了什么？
o
x
1.范围
x y 2 1(a b 0) 2 a b
2 2
y
B1(0,b)
A1(-a,0)
o
B2(0,-b)
A2(a,0)
x
5 ∴满足条件的 k 4 或 k ． 4
0 ,其长轴长是短轴长 例2 椭圆的一个顶点为 A2， 的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
a 0 为长轴端点时， 解：（1）当 A2，
2 ，b 1，
2 2 x y 椭圆的标准方程为： 1 ； 4 1 A2， 0 为短轴端点时， b 2 , a 4 ， （2）当 x2 y2 1； 椭圆的标准方程为： 4 16 2 2 x2 y2 x y 1 或 1 综上所述，椭圆的标准方程是 4 1 4 16
课堂小结
2.一个椭圆有两条准线，并与两 个焦点相对应，两条准线在椭圆外部， 且与长轴垂直，关于短轴对称.
课堂小结
3.椭圆焦半径公式的两种形式与焦点 位置有关，可以记忆为“左加右减， 下加上减”.
解：当椭圆的焦点在
2
思考：
x 轴上时，
2 2 c k 1． b 9 ，得 a k 8 ， 1 由 e ，得： k 4 2
