222向量数乘运算及其几何意义学案.doc

2. 2.3向量数乘运算及其几何意义【教学目标】1、知识与技能掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量的积的几何意义；掌握实数与向量的积得运算律；理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。

2、过程与方法通过本节的教学，培养学生数形结合和分类讨论思想，同时渗透类比和化归思想方法。

3、情感、态度与价，通过对向量共线的充要条件的分析理解，培养学生严谨的学习习惯。

【教学重点】实数与向量积的定义、运算律，向量共线的充要条件。

【教学难点】向量共线定理的理解。

【教学方法】讲练结合法。

【教学过程】K创设情境导入新课》_ _【导语】在物理学科中我们学习过如下的公式：F = ma,S = vt等，这些公式都是实数与向量的乘积的具体体现，并且从这些公式可以看出，实数可以与向量相乘，并且一个实数乘以一个向量的结果还是一个向量。

因此，在数学中我们就从这些公式出发，抽象出一般的实数与向量的乘积的定义以及它们的一些运算律和性质。

在小学我们由几个相同的有理数相加导出了数的乘法的运算法则，现在我们已经学过了向量的加法运算，那么由几个相同的向量相加，我们又能否得出类似的实数与向量的乘法运算呢？已知向量G ,求向量d+Q + d和(-+ + ,并思考和向量与向量G的关系。

【总结】(1 )由于向量a + a + a是由三个向量方相加得到的，因此为了简单起见，我们将a + a + a记作：3：,因此3：是一个向量，又因为a + a + a的方向与向量方的方向相同，模长为向量方的模长的3倍，所以3。

的方向与向量a的方向相同，模长为向量。

的模长的3倍。

即：向量3a与向量a同向且3a = 3 a。

(2 )类似地，由于(-可+ (-可+(-可是由三个向量(-可相加得到的，因此为了简单起见，我们将(-a) + (-a) +(-a)记作:3(-a),因此，3(-a)也是一个向量,又因为(-a) + (-a) + (-a)的方向与与向量 a + a + a 互为相反向量，因此( - a)+又由于d + a + a 可记作：3« ,对于任意向量二乙以及任意实数2、“ “2，恒有：=如式嗨向量。

SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计(人教 A 版必修4第二章)•'•I 入（pa ）I=I （入 2）I1223向量数乘运算及其几何意义(教学设计)一、知识与能力：1理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。

2、 理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。

3、 通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能 力。

二、 过程与方法：1. 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2 •体会数形结合的数学思想方法 . 三、 情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题. 教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件. 教学难点：向量共线的充要条件. 一、复习回顾，新课导入探究：已知非零向量a ,作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a),并说明它类似数的乘法，把 a+a+a 记作3a ,显然3a 的方向与a 的方向 倍，即即 |3a|=3|a|.同样，(-a)+( -a)+( -a)=3( -a)，显然3(-a)的方向与a 的方向相反, 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。

、师生互动，新课讲解 1.定义：实数 与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作a ，它的长度与方向规定如下: (1) I a|=||| a| ;(2) 当>0时，a 的方向与向量a 的方向相同；当 <0时，a 的方向与a 的方向相反. 2. 特别地，当 =0或a=0时，a=0 ;当=-1时，(-1) a=-a ，就是a 的相反向量. 3.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么 (1)( a)=( ) a ;(结合律)(2) ( + )a= a+ a ;(第一分配律) (3)(a+b)= a+ b.(第二分配律)结合律证明：如果入=0,尸0, a =0至少有一个成立，则①式成立 们的几何意义•相同，3a 的长度是a 的33(-a)的长度是a 的3倍，这样3(-a)=-3a.如果入0，卩0, a 0有：|入(旧)1=1入II旧1=1入II川a I1(入2 a|=入训a I=I入II训a I解：(1)原式=(-3 4) a=-12a;2解：(1)原式=(-3 4) a=-12a;3如果入、卩同号，则①式两端向量的方向都与 a 同向； 如果入、卩异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。

1 2.2.3向量数乘运算及其几何意义一.教学目标1.知识与技能: 通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。

熟练 运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线 平行等问题。

2.过程与方法:理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是 否共线。

3.态度情感与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能 力，合作释疑过程中合作交流的能力。

激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶 学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。

二.教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。

难点：向量共线定理的探究及其应用。

三.教学过程（一）复习回顾问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的运算法则？（二）新课讲解1.向量数量积的定义【探究1】 已知非零向量a ，作出a a a ++和()()()a a a -+-+-，你能说出他们的几何意义 吗？问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2：这些变化与哪些因素有关？练一练：P 90 第1题，第2题.22.向量数乘的运算律【探究2】 问题一：求作向量)2(3a 和a 6(a 为非零向量)，并进行比较。

问题二：已知向量a 、b ，求作向量)(2b a +和b a 22+，并进行比较。

类比实数乘法的运算律得向量数乘的运算律：对于任意向量a 、b 及任意实数λ、μ,恒有b a b a 2121)(λμλμμμλ±=±. 例5：计算(口答) (1) a 4)3(⨯-(2) a b a b a ---+)(2)(3(3) )23()32(c b a c b a +---+练一练：P 90 第5题.3、向量共线定理 【探究3】问题1：如果 a b λ=(0≠a ), 那么，向量a 与b 是否共线？问题2: b 与非零向量a 共线， 那么，a b λ= ？思考：1. a 为什么要是非零向量？ 2. b 可以是零向量吗？例6.已知任意两非零向量a 、b ，试作b a OA +=, b a OB 2+=，b a OC 3+=。

向量数乘运算及其几何意义教案教学目标：1. 理解向量数乘的概念及其运算规则。

2. 掌握向量数乘的几何意义。

3. 能够运用向量数乘解决实际问题。

教学重点：1. 向量数乘的概念及其运算规则。

2. 向量数乘的几何意义。

教学难点：1. 向量数乘的运算规则。

2. 向量数乘的几何意义的理解。

教学准备：1. 向量知识的基础。

2. 数乘知识的基础。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入向量的概念，复习向量的基本运算。

2. 引入数乘的概念，复习数乘的基本运算。

二、向量数乘的概念及其运算规则（10分钟）1. 介绍向量数乘的概念：将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。

2. 讲解向量数乘的运算规则：对于两个向量a和b，以及一个实数c，有ca = (ca1, ca2)，其中a1和a2分别是向量a的两个分量。

三、向量数乘的几何意义（10分钟）1. 介绍向量数乘的几何意义：将一个向量进行数乘，相当于将这个向量按比例放大或缩小。

2. 讲解向量数乘的几何意义：如果将一个向量进行正数数乘，这个向量的大小会放大，方向不变；如果将一个向量进行负数数乘，这个向量的大小会缩小，方向不变。

四、向量数乘的运算性质（10分钟）1. 介绍向量数乘的运算性质：向量数乘满足交换律、结合律和分配律。

2. 讲解向量数乘的运算性质：交换律：ca = ac；结合律：(ca)b = ca(b)；分配律：c(a + b) = ca + cb。

五、向量数乘的应用（10分钟）1. 介绍向量数乘在实际问题中的应用：如在物理学中，力的大小和方向可以通过向量数乘来表示；在工程学中，向量数乘可以用来计算物体的位移等。

2. 讲解向量数乘在实际问题中的应用：通过举例，说明如何运用向量数乘解决实际问题。

教学反思：本节课通过讲解和实例演示，使学生掌握了向量数乘的概念及其运算规则，理解了向量数乘的几何意义，并能运用向量数乘解决实际问题。

在教学过程中，注意引导学生主动参与，通过讲解和实际例子的结合，使学生更好地理解和掌握向量数乘的知识。

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3 向量数乘运算及其几何意义1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义，会作向量m a＋n b。

2．熟练掌握和运用向量数乘的运算律，会化简向量关系式,并能用已知向量表示未知向量．3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线．1．向量的数乘①实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个向量，不是实数;但实数与向量不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是错误的．②对任意非零向量a，则向量a|a｜是与向量a同向的单位向量．③λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ｜倍．【做一做1】已知非零向量a，b满足a＝4b，则( )A．｜a｜＝｜b| B．4｜a|＝｜b｜C．a与b的方向相同D．a与b的方向相反2．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律:设λ，μ为实数，则（1)λ(μa)＝________;(2)(λ＋μ)a＝________；（3)λ（a＋b）＝________(分配律）．特别地，我们有(－λ)a＝______＝______,λ(a－b）＝______.在△ABC中,D是BC的中点，则有错误!＝错误!（错误!＋错误!）．【做一做2】3（2a－4b)等于( ）A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12bD．6a－12b3．共线向量定理向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______．（1)向量共线的条件：当向量a＝0时,a与任一向量b共线；当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数λ,使b＝λa，那么由实数与向量的积的定义知b与a共线．反之，已知向量b与a（a≠0）共线且向量b的长度是向量a长度的λ倍,即|b|＝λ|a｜，那么当b与a同方向时b＝λa，当b与a反方向时b＝－λa.(2)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0。

已知三点A，B,C共线，O是平面内任意一点，则有错误!＝λ错误!＋m错误!，其中λ＋m＝1.【做一做3】已知P是线段MN的中点，则有（）A。

2.2.3仙量数乘运算及几何意义（2）一、教学目标：（1）理解并掌握共线向量定理，并会判断两个I可量是否共线。

（2）能运用向量判断点共线、线共点等。

二、教学重、难点：（1）共线向量定理（2）共线向量定理应用。

三、教学过程：（一）复习：1.实数与向量的积的定义：一般地，实数九与向量U的积是一个向量，记作万，它的长度与方向规定如下：（1） 12a 1=12II a I ；（2）当九〉0时，/lU的方向与L的方向相同；当2<0时，万的方向与a的方向相反;当2 = 0时，人。

=0・2.实数与|可量的积的运算律：（1）人（御）=（"）。

（结合律）；（2）（2 + /Ll）a = Xci 4- jLia（第一分配律）；（3） 2（a+b）=Aa + Xb（第二分配律）.3 .向量共线定理:定理：如果有一个实数彳，使 b = Aa（UrO）,那么向量方与U是共线向量；反之，如果向量片与；（U^O）是共线向量，那么有且只有一个实数人，使得b = Aa.（二）新课讲解：1.向量共线问题：例1、已知向量U、5满足仁丑-日 = -（3^ + 2/；）,求证：向量指和汲线.5 2 5伽夕己知AD = 3AB f DE = 3BC，试判断AC^jAE^否共线？2.迎三鲍堑］问题AB = ^BC（BC^0）=> B、C三点共线.例3、教材P89面例63.证明两直线平行的问题2.3. AB =/I CD => AB//CDAB与CD不在同一直线上n直线AB〃直线CD.例4。

在四边j^ABCD也~AB = a + 2b, BC = -4^i-b y CD =-5a- 3&.求证：四边形ABC。

为梯形.四、课堂练习：P90面6题五、小结：1.掌握向量数乘运算的定义；2.掌握向量数乘运算的运算律，并进行有关的计算；3.理解两时量共线（平行）的条件，并会判断两个向量是否共线、点共线。

课后思考1・如图,在任意四边形ABCD中.碱分别是AD.BC的中点求证:AB + I）C = 2EF.如图.平行四边形ABCD中. E是DC中点.AE交于M •试用向量的方法证明：M 是BD的一个三等分点.设D.E.F分别是（'的边BC'.GM，功上的点•且AF=—，出.3D = :BC. CE = !(小.若记X5 = 3 4m. (14 = 〃.试用m.n表示DE,EF.FD.。

§2.2.3向量数乘运算及其几何意义（导学案）一、学习目标：1.理解向量数乘的定义及几何意义;2.运用实数与向量积的运算律解决简单问题;3.理解向量共线定理，证明两向量共线. 用向量表示几何元素（二）重点难点1. 重点：向量数乘的定义2．难点：向量共线定理，用向量表示几何元素二、课前自主探究：1.问题：已知非零向量a ，作出a a a ++和---a a a ++（）（）（），你能说明它们的几何意义吗？ a一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）||a λ=_________________;（2）当_________时，a λ的方向与a 的方向相同；当_______时，a λ的方向与a 方向相反，当_________时，a λ=O .2.向量数乘运算律，设,λμ为实数.（1）()a λμ=_______； （2）()a λμ+=_________； （3）()a b λ+=_________；（4）=-)(λ___________=___________； （5）()a b λ-=______________；3.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a 、b 及任意实数λ、1μ、2μ,恒有1212()a b a b λμμλμλμ±=±.4.向量共线判定定理：（课本P89）非零向量a 与向量b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b = .例：a e =，2b e =，则有2b a =，此时2λ=，所以向量a 与向量b 共线.三、课上合作探究：类型一向量的线性运算 计算：（参照88页例5，结合向量数乘运算律）（1）b ⨯（-2）3; （2）2()()a b a b a +---; （3）(3)(2)a bc a b c -+-+-;课堂练习：1探究问题二：向量共线定理的应用（参照88页例5，结合向量数乘运算律，完成1，2） :1判断下列各题中的两个向量是否共线.（1）2,2;a e b e =-= （2）1212,;a e e b e e =-=-+ 2..点C 在线段AB 上，且12AC CB =,则AC =______AB ,BC =_______AB . 例2 （课本89页例6）如图，已知任意两个非零向量,,b a，试作.3,2,b a C O b a B O b a A O +=+=+= 你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？课堂练习：1.是两个不共线向量设21,e e ，如果21212184236,2e e D C e e C B e e B A-=+=+=求证：三点共线D B A ,,2.如图：已知3AD AB =，3DE BC =，试判断AC 与AE 是否平行2263)3(342);3()2(2)4()0 .a b ca b c x a x a x a b x +---+-++---+=计算:(1) （ （2）已知 求探究问题三：用向量表示几何元素 例3. （课本89页例6）如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且=a ,=b ，你能用a、b表示AM 、MB 、MC 和MD 吗?1.2：如图，在ΔABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 延长线上的点，且2BE BC =，是根据下列要求表示向量DE ：（1） 用BA 、BC 表示； （2）用CA 、CB 表示.3.（课本P92 B 组 4）已知四边形ABCD 满足条件=，试判断其的形状，并证明。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标1．掌握向量数乘运算的定义，理解向量数乘的几何意义． 2．掌握向量数乘的运算律，并会根据运算律熟练进行有关的计算．3．理解并掌握向量共线定理，能判断两个向量是否共线，能灵活运用向量判断点共线． 学习重点：向量的数乘运算及其几何意义． 学习难点：向量共线定理的应用． 新知导学 1．向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当 时，与a 方向相同，当 时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0.温馨提示：实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋a ，λ－a 均无意义． 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a . (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )； λ(a －b )＝λa －λb .温馨提示：数乘向量与数乘数有区别：前者结果为一个向量，后者结果为一个实数． 3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .温馨提示：该定理加a ≠0这一条件的原因：(1)若a ＝b ＝0，则实数λ仍然存在，但λ并不唯一，此时定理不成立．(2)若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa ，此时定理也不成立．因此，向量共线定理必须加上a ≠0这一条件． 4．向量的线性运算向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ＋μ2b )＝λμ1a ＋λμ2b .温馨提示：向量的线性运算可与多项式和多项式的运算类比，在运算过程中，我们将同一向量看做是同类项，相应的运算只是实数的运算，因此向量的线性运算基本上是代数式的运算． 互动探究探究点1 数乘向量与原向量之间有什么关系？探究点2 向量数乘的几何意义是什么？探究点3 若向量a 是非零向量，则向量a|a |与向量a 什么关系？题型探究类型一 向量的数乘运算 例1 化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]．规律方法 向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段． 活学活用1 若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则⎝⎛⎭⎫13a －b －3⎝⎛⎭⎫a ＋23b ＋(2b －a )＝________. 类型二 用已知向量表示未知向量例2 如图所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别为K ，L ，且AK →＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →.规律方法 (1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则，以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用，如法三． (2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解，如本题法一、法二．活学活用2 如图所示，D ，E 分别是△ABC 中边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a ，b 分别表示DE →，CE →，MN →.类型三 共线向量定理的应用 例3 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．规律方法 (1)本题充分利用了向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．活学活用3 如图所示，已知在▱ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .求证：M 、N 、C 三点共线．方法技巧 数形结合思想在向量中的应用所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数释形”使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性表现． 本节中的数形结合主要体现在：(1)让向量的分解更加直观；(2)让向量的计算小巧、有趣． 示例 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE →＝( )．A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b 题后反思 本题灵活利用了向量的三角形法则和平行四边形法则的逆向运算，以向量AE →为目标，一步步分解成向量a 和b . 课堂达标1．化简4(a －b )－3(a ＋b )－b ＝( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b2．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1、e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系为( ) A ．不共线 B ．共线 C ．相等D ．无法确定3．若|a |＝3，向量b 与a 反向，且|b |＝2，则a ＝________b .4．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝________.(填写正确的序号) ①－BC →＋12BA →；②－BC →－12BA →；③BC →－12BA →；④BC →＋12BA →.5．计算：(1)(－7)×6a；(2)4(a＋b)－3(a－b)－8a；(3)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)．课堂小结1．λa是一个向量，它既有长度又有方向，其长度|λa|＝|λ||a|，其方向与λ的符号有关，当λ>0时，λa与a同向；λ<0时，λa与a反向．2．判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数λ，使b＝λa.若λ存在，则共线；λ不存在，则不共线．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题.参考答案新知导学1．向量数乘(2)λ>0 λ<04．加 减 数乘 互动探究探究点1 提示 数乘向量与原向量共线．探究点2 提示 由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩．当|λ|>1时，表示a 的有向线段在原方向(λ>0) 或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍； 当|λ|<1时，表示a 的有向线段在原方向(λ>0) 或反方向(λ<0)上缩小为原来的|λ|倍．探究点3 提示 ∵向量a 是非零向量，∴|a |>0.根据数乘向量的几何意义知：a|a |是与向量a同向的单位向量. 题型探究类型一 向量的数乘运算例1 解：(1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b ； (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .活学活用1 【答案】 －16i ＋323j【解析】 ⎝⎛⎭⎫13a －b －3⎝⎛⎭⎫a ＋23b ＋(2b －a ) ＝13a －b －3a －2b ＋2b －a ＝－113a －b＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝－11i ＋443j －5i －4j＝－16i ＋323j .类型二 用已知向量表示未知向量 例2 解：法一 设BC →＝x ，则BK →＝12x ，AB →＝AK →＋KB →＝e 1－12x ，DL →＝12e 1－14x ，又AD →＝x ，由AD →＋DL →＝AL →，得x ＋12e 1－14x ＝e 2，解方程得x ＝43e 2－23e 1，即BC →＝43e 2－23e 1，由CD →＝－AB →，AB →＝e 1－12x ，得CD →＝－43e 1＋23e 2.法二 设BC →＝x ，CD →＝y ， 则BK →＝12x ，DL →＝－12y .由AB →＋BK →＝AK →，AD →＋DL →＝AL →，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2，②－2×②＋①得12x －2x ＝e 1－2e 2，x ＝23(2e 2－e 1)，同法得y ＝23(－2e 1＋e 2)，即BC →＝43e 2－23e 1，CD →＝－43e 1＋23e 2.法三 如图所示，延长BC 与AL 交于点E ，则△DLA ≌△CLE ， 从而AE →＝2AL →，CE →＝AD →，KE →＝32BC →，由KE →＝AE →－AK →，得32BC →＝2e 2－e 1，即BC →＝23(2e 2－e 1)＝43e 2－23e 1.同理可得CD →＝23(－2e 1＋e 2)＝－43e 1＋23e 2.活学活用2 解：由三角形中位线定理， 知DE12BC ，故D E →＝12BC →，即DE →＝12a . CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN →＝MD →＋DB →＋BN →＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .类型三 共线向量定理的应用例3 解：(1)∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.活学活用3 证明：设AB →＝a ，AD →＝b ， 则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ，BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b ＝13⎝⎛⎭⎫12a ＋b ， ∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点．∴M 、N 、C 三点共线． 示例 【答案】C【解析】如图，∵AE →＝12(AO →＋AD →)，且AO →＝12a ，AD →＝AO →＋OD →＝12a ＋12b .∴AE →＝12⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋12b ＝12a ＋14b .故选C.课堂达标 1．【答案】D【解析】4(a －b )－3(a ＋b )－b ＝(4－3)a －(4＋3＋1)b ＝a －8b . 2．【答案】B【解析】a ＋b ＝3e 1－e 2，c ＝6e 1－2e 2＝2(a ＋b )，故c 与a ＋b 共线． 3．【答案】－32【解析】∵b 与a 反向， ∴由共线向量定理知a ＝－32b .4．【答案】①【解析】－BC →＋12BA →＝CB →＋12BA →＝CB →＋BD →＝CD →.5．解：(1)原式＝(－7×6)a＝－42a.(2)原式＝(4a－3a－8a)＋(4b＋3b)＝－7a＋7b.(3)原式＝(5a－6a)－4b＋4b＋(c－2c)＝－a－c.。

2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案【学习目标】1.掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量的积的运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2.理解两个向量平行（或共线）的等价条件，能根据条件判断两个向量是否平行（或共线）；3.通过探究，体会类比迁移的思想方法，通过实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想．【重点难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的等价条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的等价条件．【知识回顾】1.平行向量是指什么？共线向量又是指什么？．2.作出两个向量的和向量的方法有、．①第一个方法的步骤是：；②第二个方法的步骤是：．3.作出两个向量的差向量的方法是；作两个向量的差向量的步骤是：．4.三个向量AB ，OA ，OB 有怎样的等式关系？．（向量的化简与分解）【新课导入】相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如当a ∈R 时，a +a +a =.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？已知非零向量a ，如何作出向量a + a + a 和(- a) + (- a) + (- a) ？类似实数的数乘运算，可将a + a + a 简记为；(- a) + (- a) + (- a) 简记为，它们的结果是一个什么样的量？数量还是向量？−a−→请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？．【学习过程】1）定义a b a b a一般地，我们规定：实数与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a ，该向量的方向与长度与、 a 有什么关系呢？（1）向量a 的长度： | a |=.（2）向量a 的方向：.思考：①若b = a 且 a ≠ 0 ，则=．（用 a , b 的模表示）②向量的数乘运算的几何意义吗？向量与数量的关系常常在物理公式中体现．你能举出几个公式吗？练一练：（课本第 90 页练习的第 2，3 题）AC 51.已知点C 在线段 AB 上，且 CB = ，则 AC = 2AB ； BC = AB ；2.将下列各小题中的b 表示为实数与向量 a 的积：① a = 3e ， b = 6e ； ② a = 8e ， b = -14e ； 2 1 3 2③ a = - 2） 运算律：e ， b = 3 e ； ④ a = - 3 e ， b = - e ． 4 3初中学习了多项式的运算法则，你还记得吗？,为常数， x , y 为未知量，且 x , y ∈ R ，则① (x ) =; ②( + )x =; ③ (x + y ) =.类比多项式的运算律（交换律、结合律、分配律）得到以下向量数乘的运算律：设 a 、b 为任意向量， λ 、 μ 为任意实数，则有：（1）(a ) = ； （2） (λ + μ)a = ； （3） λ(a + b ) =.特别地，我们有(-)a = - = ； λ(a - b ) = .练一练：3． 计 算 ： （ 1） (- 3)´ 4a ； （ 2） 3( + )- 2( - )-；（ 3）(2a + 3b - c )- (3a - 2b + c ) .⎧ 总结提升1. 此类运算类似多项式的运算法则（合并同类项，系数相乘得系数等）．2.向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算，对于任意的向量 a , b 以及任意实数,1,2 恒有：⎪m - n = 3b 4．若 a , b 是已知向量，且⎨ ，求 m , n （用 a , b 表示）．⎪⎩m + 2n = 6a3） 共线定理：思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？1. 若b = a （ a 为非零向量，∈ R ），则向量 a 、b 是否共线？.2. 若非零向量 a 与向量b 共线，是否存在∈ R 使得b = a ？共线向量定理：向量 与非零向量平行的等价条件是有且仅有一个实数 λ ，ba使得b = λa .共线定理中能否将“非零向量 a ”改为“向量 a ”？为什么？想一想：如图：已知 AD = 3AB ， DE = 3BC ，试判断 AC 与 AE 是否平行．变式 1：如上图，已知 AD = 3AB ， DE = 3BC ，试判断 A , C , E 三点的位置关系．变式 2：如上图，已知 AD = 3AB ， AE = 3AC ，求证： BC / / DE ．(1a± 2 b = 1 a ± 2 b )=⇒ ⎬= ⇒ ⎬ 【总结提升】向量共线定理的应用：1. 证明向量共线；2.证明：三点共线： AB =BC ⇒ A , B , C 三点共线；3.证明两直线平行：AB CD AB / /CD ⎫⎪ ⇒ 直线AB / /直线CD ． AB 与CD 不在同一直线上⎪⎭这样几何问题⇒ 向量化．【典例 1】已知任意两个非零向量 a 、 b ，且 OA = a + b ， OB = a + 2b ， OC = a + 3b .你能判断A ,B ,C 三点之间的位置关系吗?为什么?【典例 2】在∆ABC 中，点 D 是线段 BC 上的一点，且 BD = 2DC ，请用向量 AB 、 AC 表示向量 AD ．【小结回顾】1. 实数与向量的积：2. 实数与向量的积的运算律：3. 共线向量定理：定理的应用①证明：向量共线； ②证明：三点共线： AB = BC ⇒ A , B , C 三点共线；③证明 两直线平行： AB CD AB / /CD ⎫⎪ ⇒ 直线AB / /直线CD ．【作业布置】1. 相应课时的同步作业2. 拓展提升部分的思考.【拓展提升】AB 与CD 不在同一直线上⎪⎭1. 设 a 、b 是两个不共线向量，已知 AB = 2a + mb ， CB = a + 3b ，若 A 、 B 、C 三点共线，求 m 的值．2. 在【典例 2】中，观察所得出的结果，向量 AB 与 AC 的系数有何关系？若题中 D 为直线 BC 上的任意一点，且 BD = BC ，则用向量 AB 、 AC 又如何表示向量 AD ，此时向量 AB 与 AC 的系数又有何关系？；反过来，若 AD = x AB + y AC ，且 （满足上述向量 AB 与 AC的系数关系式），则点 B , C , D 有何关系？你能从中总结出一个什么样的结论．。