3.4整式的加减(1)

《整式的加减》教学设计第一课时合并同类项教材分析:《整式的加减》（第一课时）——合并同类项，这节课的教学内容有同类项的概念、合并同类项法则及其运用，它是学生学习了有理数运算、单项式和多项式的有关知识的基础上学习的，同类项及合并同类项的法则是学习整式的加减运算和一元一次方程的直接基础；而整式的加减运算既是―数与代数‖领域中最基本的运算，又是今后学习整式的乘除、因式分解、分式、根式运算、方程及函数等知识的重要基础．所以，本节课具有承上启下的重要作用。

教学目标：1.知识目标：在具体情境中感受合并同类项的必要性，了解合并同类项的法则，能进行同类项的合并。

2.能力目标：通过具体情境导入同类项以及合并同类项的概念，经历合并同类项的过程，培养学生的观察、归纳等能力。

3.情感目标：在学习中培养学生分类、化繁为简等数学思想、方法，鼓励学生敢于发表自己的观点，从交流中获益。

教学重难点：【教学重点】找出同类项并正确合并。

【教学难点】准确合并同类项。

课前准备：学习工具、自己家的内部图片、PPT、智慧课堂等。

教学过程：一、情景引入师：昨天我们请同学们拍一拍自己的家，现在我们来看一看。

（图例）教师出示图片：这是不是你心目中的家的一部分呢？它之所以这么美，是因为——分类摆放。

在数学学习中有时候我们也要将一些单项式进行分类。

【设计意图】通过图片的交流，使学生注意力高度集中，激发学习兴趣，并体会分类的必要性。

二、思考交流、理解概念1.同类项的思考和认识观察下列单项式，你觉得它们中哪些是同类？-a ; 2b ; ab ; 3a ; -7ba ; 5b2abc通过学生猜测，讨论，说出分类和分类标准，得到同类项的定义。

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

游戏：找朋友a²mn xy 2-3pq³a³xy/2 pq-8pq³-nm 3q³p -4分析思考：两个单项式是否为同类项与系数无关、与单项式中字母的顺序无关。

3.4整式的加减【素养基础达标】2023-2024学年北师大版数学七年级上册二、整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．注意：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．（1）合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．（2）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．整式的加减实质上就是合并同类项．一．选择题（共10小题）1．下列各式中，能与合并同类项的是 A．B．C．D．2．下列各算式中，从左到右变形正确的是 A．B．C．D．3．若与是同类项，则的值为 A．1B．5C．6D．4．下列运算正确的是 A．B．C．D．5．下列各项中，去括号正确的是 A．B．C．D．6．多项式的值与字母的取值无关，则的值是 A．B．C．D．77．如果多项式中不含项，则的值为 A．2或B．C．0D．28．已知，，则下列说法正确的是 A．B．C．、可能相等D．、大小不能确定9．已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减法运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如：，等，下列结论正确的个数是 ①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与原多项式相等；②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0；③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种．A．0B．1C．2D．310．下列计算，结果正确的是 A．B．C．D．二．填空题（共8小题）11．下列计算正确的是： ．①；②；③；④．12．已知：，，若的值与的取值无关，则的值为 ．13．若关于，的多项式与的差的值与字母的取值无关，则 ．14．有三堆棋子，数目相等，每堆至少有5枚，从左堆中取出4枚放入中堆，从右堆中取出5枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是 ．15．某居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费 元．16．若与是同类项，则 ， ．17．已知，为两个整式，其中，，且的结果中不含项，则的值为 ．18．已知，，，则代数式的值为 ．三．解答题（共8小题）19．材料一：若一个四位数的各个数位数字之和为16，并且千位数字与十位数字之差的绝对值等于2，百位数字与个位数字之差的绝对值等于2，则这个四位数为“差2数”．例如：，，且，是“差2数”．又如：，，不是“差2数”．材料二：若一个四位数的各个数位数字成比例，则这个四位数为“成比例数”．例如：，各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，6，满足，为“成比例数”．又如：，各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，4，，不是“成比例数”．（1）1735是“差2数”吗？是“成比例数”吗？请说明理由；（2）若一个四位数既是“差2数”，又是“成比例数”，请求出所有满足条件的．20．“计算的值，其中，”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的最后结果，与其他同学的正确结果都一样．试说明理由，并求出这个结果21．小琦同学在自习课准备完成以下题目时：化简□发现系数“□”印刷不清楚．（1）他把“□”猜成2，请你化简；（2）老师见到说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数”，请你通过计算说明原题中“□”是几．22．先化简，再求值：．其中，，．23．在整式的加减练习课中，已知，嘉淇错将“”看成“”，得到的结果是．请你解决下列问题．（1）求整式；（2）若为最大的负整数，为的倒数，求该题的正确值．24．化简：（1）；（2）．25．【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．【知识运用】（1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）①当时， ；②若，则 ；（2）试比较与的大小，并说明理由；【拓展运用】（3）甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校的研学基地参加研学甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进：乙班有一半叶间以的速度行进，另一半时间以的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为，．①试用含，，的代数式分别表示和，则 ， ．②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由．26．先化简，再求值：，其中，．3.4整式的加减【素养基础达标】2023-2024学年北师大版数学七年级上册二、整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．注意：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．（1）合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．（2）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．整式的加减实质上就是合并同类项．一．选择题（共10小题）1．下列各式中，能与合并同类项的是 A．B．C．D．【答案】【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，判断即可．【解答】解：、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；、与是同类项，能合并，故符合题意；、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；故选：．2．下列各算式中，从左到右变形正确的是 A．B．C．D．【答案】【分析】依据添括号法则进行解答即可．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．【解答】解：．，原计算错误，故此选项不符合题意；．，原计算错误，故此选项不符合题意；．，原计算错误，故此选项不符合题意；．，原计算正确，故此选项符合题意．故选：．3．若与是同类项，则的值为 A．1B．5C．6D．【答案】【分析】根据同类项的定义，得到关于、的等式，然后求出、的值并计算即可得到答案．【解答】解：由同类项的概念可知：，，解得：，，，故选：．4．下列运算正确的是 A．B．C．D．【答案】【分析】分别运用积的乘方、合并同类项、同底数幂相乘和同底数幂除法进行逐一计算、辨别．【解答】解：，选项符合题意；，选项不符合题意；，选项不符合题意；，选项不符合题意；故选：．5．下列各项中，去括号正确的是 A．B．C．D．【答案】【分析】根据去括号法则，逐一进行判断即可．【解答】解：、，选项错误，不符合题意；、，选项错误，不符合题意；、，选项错误，不符合题意；、，选项正确，符合题意．故选：．6．多项式的值与字母的取值无关，则的值是 A．B．C．D．7【答案】【分析】去括号、合并同类项，令含的项的系数为0，即可解出、的值，再代入所求式子运算即可．【解答】解：，多项式的值与字母的取值无关，，，解得：，，．故选：．7．如果多项式中不含项，则的值为 A．2或B．C．0D．2【答案】【分析】根据合并同类项法则将原式化为，再令项的系数为0即可．【解答】解：多项式，由于不含项，，，故选：．8．已知，，则下列说法正确的是 A．B．C．、可能相等D．、大小不能确定【答案】【分析】根据，进而判断即可．【解答】解：，，故选：．9．已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减法运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如：，等，下列结论正确的个数是 ①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与原多项式相等；②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0；③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种．A．0B．1C．2D．3【答案】【分析】根据绝对值的意义求解．【解答】解：①，故①正确；②，则，添绝对值变为16，则之和为0，②正确；③③，可得：的符号不变，、、、的符号会发生变化，列举法得到化简后的结果为：，，，，，，，，共八种，故③正确，故选：．10．下列计算，结果正确的是 A．B．C．D．【答案】【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可得到答案．【解答】解：．，计算错误，不符合题意；．与不是同类项，计算错误，不符合题意；．，计算正确，符合题意；．与不是同类项，计算错误，不符合题意；故选：．二．填空题（共8小题）11．下列计算正确的是：　③④　．①；②；③；④．【答案】③④．【分析】根据合并同类项的运算法则逐一判断即可．【解答】解：①不能合并，故错误，不符合题意；②不能合并，故错误，不符合题意；③，计算正确，符合题意；④，计算正确，符合题意；故答案为：③④．12．已知：，，若的值与的取值无关，则的值为　7　．【答案】7．【分析】先化简，然后根据多项式的值与字母取值无关，可知的系数为0，从而可以求得的值．【解答】解：，，，多项式的值与字母取值无关，，得，即的值是7．故答案为：7．13．若关于，的多项式与的差的值与字母的取值无关，则　3　．【答案】3．【分析】先算，然后根据多项式与的差的值与字母的取值无关，即可求得、的值．【解答】解：，多项式与的差的值与字母的取值无关，，，解得，，故答案为：3．14．有三堆棋子，数目相等，每堆至少有5枚，从左堆中取出4枚放入中堆，从右堆中取出5枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是　13枚　．【答案】13枚．【分析】根据题意，可以用代数式表示出最后中堆棋子的枚数，然后化简，即可解答本题．【解答】解：设原来每堆的棋子有枚，则最后的中堆棋子有：（枚，故答案为：13枚．15．某居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费 元．【答案】．【分析】根据所给的收费标准进行求解即可．【解答】解：由题意得，该区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费元．故答案为：．16．若与是同类项，则　5　， ．【分析】利用同类项的定义求出与的值即可．【解答】解：与是同类项，，，解得：，．故答案为：5；1．17．已知，为两个整式，其中，，且的结果中不含项，则的值为　2　．【答案】2．【分析】先合并同类项，根据结果中不含项，得到项的系数为0，进行计算即可．【解答】解：，，；结果中不含项，，；故答案为：2．18．已知，，，则代数式的值为 ．【答案】．【分析】去括号、合并同类项化简后，再将条件化为，，整体代入计算即可．【解答】解：原式，由，，可得，，，所以原式．故答案为：．三．解答题（共8小题）19．材料一：若一个四位数的各个数位数字之和为16，并且千位数字与十位数字之差的绝对值等于2，百位数字与个位数字之差的绝对值等于2，则这个四位数为“差2数”．例如：，，且，是“差2数”．又如：，，不是“差2数”．材料二：若一个四位数的各个数位数字成比例，则这个四位数为“成比例数”．例如：，各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，6，满足，为“成比例数”．又如：，各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，4，，不是“成比例数”．（1）1735是“差2数”吗？是“成比例数”吗？请说明理由；（2）若一个四位数既是“差2数”，又是“成比例数”，请求出所有满足条件的．【答案】（1）是“差2数”，不是“成比例数”，理由见详解；（2）3355、5533、3553、5335．【分析】（1）根据“差2数”和“成比例数”的定义直接判断即可；（2）设有四个小于10的正整数：、、、，且，即、、、的平均数为4，结合“差2数”和“成比例数”的特点，设、、、满足，当，时，可得，即有，，此时依据“成比例数”的定义判断即可；当，时，可得，即有，，则，，此时依据“成比例数”的定义判断即可作答，问题随之得解．【解答】解：（1），且，是“差2数”，各个数位数字由小到大排列后为1，3，5，7，且，不是“成比例数”；（2）设有四个小于10的正整数：、、、，且，即、、、的平均数为4，显然当时，组成的数字4444不是“差2数”，当、、、，有三个数大于4时，这四个是必为：5、5、5、1，则5、5、5、1组成的数既无法是“差2数”，也无法是“成比例数”；当、、、，有三个数小于4时，这四个是必为：3、3、3、7，则3、3、3、7组成的数既无法是“差2数”，也无法是“成比例数”；结合“差2数”和“成比例数”的特点，设、、、满足，当，时，，，，，，，，将、、、从小达到排列为1，3，5，7，且，，3，5，7，无法组成“成比例数”，故此种情况舍去；当，时，，，，，，，，得到四个数字：3、3、5、5，组成的数字必定是“成比例数”，此时可以组成的“差2数”有：3355、5533、3553、5335；综上：满足条件的有：3355、5533、3553、5335．20．“计算的值，其中，”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的最后结果，与其他同学的正确结果都一样．试说明理由，并求出这个结果【分析】先去括号，合并同类项化简原式，再将的值代入计算可得．【解答】解：原式，由结果可知：化简结果与无关，所以答案一样，所以原式．21．小琦同学在自习课准备完成以下题目时：化简□发现系数“□”印刷不清楚．（1）他把“□”猜成2，请你化简；（2）老师见到说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数”，请你通过计算说明原题中“□”是几．【答案】（1）；（2）5．【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）结果为常数，则其他项的系数为0，据此可求解．【解答】解：（1）；（2）设“□”是，则有：，答案的结果是常数，，解得：，即“□”．22．先化简，再求值：．其中，，．【答案】，12．【分析】先将原式去括号，再合并同类项，然后将代入计算即可．【解答】解：，，原式．23．在整式的加减练习课中，已知，嘉淇错将“”看成“”，得到的结果是．请你解决下列问题．（1）求整式；（2）若为最大的负整数，为的倒数，求该题的正确值．【答案】（1）；（2），4．【分析】（1）直接用即可得到答案；（2）先求出，再求出、的值，最后代值计算即可．【解答】解：（1）由题意得，，；（2），，，为最大的负整数，为的倒数，，，原式．24．化简：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先把同类型放在一起，然后合并同类项即可；（2）先去括号，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）；（2）．25．【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．【知识运用】（1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）①当时， ；②若，则 ；（2）试比较与的大小，并说明理由；【拓展运用】（3）甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校的研学基地参加研学甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进：乙班有一半叶间以的速度行进，另一半时间以的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为，．①试用含，，的代数式分别表示和，则 ， ．②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由．【答案】（1）①；②；（2）；（3）①，；②当时，甲、乙同时到达；当时，乙先到；当时，乙先到，理由见解析．【分析】（1）根据材料提示，运用“作差法”即可求解；（2）运用“作差法”，乘法公式，不等式的性质，即可求解；（3）①根据行程问题的数量关系即可求解；②根据“作差法“，整式的混合运算法则进行计算即可．【解答】解：（1）①，，，；②，，，，，；故答案为：（1）①；②；（2）．理由如下：，，；（3）路程为，①甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进，，乙班有一半时间以的速度行进，另一半时间以的速度行进，，则，故答案为：，；②，，，，，，，当时，甲、乙同时到达；当时，乙先到；当时，乙先到．26．先化简，再求值：，其中，．【答案】2．【分析】原式去括号合并同类项得到最简代数式，把与的值代入计算即可求出值【解答】解：；当，时，原式．。

整式的加减(1)课题：3.4整式的加减(1)授课人：刘成欣教学目标和要求：1．理解同类项、合并同类项的概念，在具体情景中，认识同类项。

掌握合并同类项的法则。

2．经历概念的形成过程和法则的探究过程，培养观察、归纳、概括能力，发展应用意识。

3．通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养学生自主探索知识和合作交流的能力。

教学重点和难点：重点：理解同类项的概念，正确合并同类项。

难点：根据同类项的概念在多项式中找同类项并正确的合并。

教学方法：分层次教学，讲授、练习相结合。

教学过程：一、预习展示1、同类项：所含相同，并且相同字母的也相同的项，叫做同类项。

2、把合并成一项叫做合并同类项。

3、合并同类项法则：合并同类项时，把同类项的相加，和的指数不变。

二、感悟导入1、创设问题情境⑴、5个人+8个人=⑵、5只羊+8只羊=⑶、5个人+8只羊=(数学教学要紧密联系学生的生活实际、学习实际，这是新课程标准所赋予的任务。

学生尝试按种类、颜色等多种方法进行分类，一方面可提供学生主动参与的机会，把学生的注意力和思维活动调节到积极状态；另一方面可培养学生思维的灵活性，同时体现分类的思想方法。

)2、如图长方形是由两个长方形组成的，求这个长方形的面积。

长方形的面积可以用代数式表示为8n+5n ，或（8+5）n ，从而8n+5n=（8+5）n=13n 。

这就是说到我们计算8n+5n 时，可以先将它们的系数相加，再乘n 就可以了。

利用乘法分配律也可以得到这个结果。

三、合作探究1、观察下列各单项式，把你认为相同类型的式子归为一类。

8x 2y ， －mn 2， 5a ， －x 2y ， 7mn 2，83， 9a ， －32xy ， 0， 0.4mn 2，95，2xy 2。

由学生小组讨论后，按不同标准进行多种分类，教师巡视后把不同的分类方法投影显示。

要求学生观察归为一类的式子，思考它们有什么共同的特征?请学生说出各自的分类标准，并且肯定每一位学生按不同标准进行的分类。

3.4 整式的加减（第一课时）[教学目标]▲知识目标：使学生理解同类项的概念和合并同类项的意义，学会合并同类项。

▲能力目标：培养学生观察、分析、归纳和动手解决问题的能力，初步使学生了解数学的分类思想。

▲情感目标：借助情感因素，营造亲切和谐活泼的课堂气氛，激励全体学生积极参与教学活动。

培养他们团结协作，严谨求实的学习作风和锲而不舍，勇于创新的精神。

[教学重点]同类项的概念和合并同类项的法则[教学难点]学会合并同类项[教学过程]（一）创设情境，引入课题1．我首先设计了一个学生非常熟悉的一个生活场景：教室里非常混乱，有书本、扫把、粉笔等东西，问学生如何整理。

学生很容易回答出：将扫把放到一起，将书本摆放整齐…。

我问学生为什么这样做，引导学生意识到“归类”存在于生活中。

由学生举例在生活中那些运用到归类方法。

2．教师：我想和同学们进行一场比赛，看谁最快得到答案，你们愿意吗？学生：（很好奇、兴奋）愿意。

出示题目：求代数式—4x2+7 x + 3 x2 —4 x + x2的值，请一学生任意说出一个一至两位整数，教师和另一学生比赛，结果教师很快说出答案。

在学生的惊讶声中教师说：“你们想知道为什么吗？学了这节课后你们也可以像老师一样算得那么快了。

”（用师生竞赛的方式，充分调动了学生积极参与，激发了学生求知欲望）3．根据某学校的总体规划图（单位：m），计算这个学校的占地面积。

提出让学生尝试用不同的方法。

提问：两种方法的结果是否一样？如果一样，那么是不是又可以得到这样的一个等式：100a+200a+240b+60b = (100+200)a+(240+60)b---①让学生观察这个等式，使其从中发现规律、联系。

出示：由等式我们可以知道，计算100a+200a，可以先把它们的系数相加，再乘a;计算240b+60b，可以先把它们的系数相加，再乘以b。

（创设问题情境，选择新旧知识的切入点，通过启发提问，构造问题悬念，激发学生兴趣，并自然引出课题。