二次型的概念二次型标准形(或法式) 二次型的秩用正交相

x T Ax
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
x
即 f xT Ax
其中 A 为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就
唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 ,, xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 A
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
经过可逆线性变换 x Cy 使得 f k1 y k2 y kn y
2 1 2 2 2 n
将 x Cy 代入 f xT Ax 有 T T T f x T Ax Cy ACy y C AC y.
2 2 2 k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2 f ( x, y, z ) 2 x y xz yz 都是二次型. f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
不是二次型. 2 2 f ( x, y ) 2 x y 2 x
f ( x, y ) x 2 y 2 5
且有

9
2、用正交变换法化二次型为标准形
由上节定理可知，对实对称阵 A，总可找到正交 阵 P，使 P AP 为对角阵， 而由正交阵性质可知，
1
1
P
P ，故 P AP P AP 。因此这样的正交
T T
1
阵 P 正好用来作为变换 X CY 中的矩阵 C。
当 C 是正交阵时， 我们称 X CY 是一个正交变换。
2
45 4 45 5 45
14
于是所求正交变换为 X PY ,
2 2 2 f 9 y 18 y 18 y 标准形为 1 2 3 .
15
例4
用正交变换将二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
1
2
2 ( 3)( 1)3 . 1
3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 , 3 E A 1 1 3 1 1 1 1 3
17
3 1 1 1 1 1 13 1 1 0 1 1 E3 A 1 1 3E A 11 1 0 0 1 1 3 0 10 1 1 1 1 1 3
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵 C，
T C AC 成为对角阵，义
如果二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 通过可逆线性变换 X CY ，化为二次型 2 2 2 Y T BY d 1 y1 d 2 y2 d n yn ，
2 2
f 2 y 2 y 4 y1 y3 8 y2 y3 .

二次型定理二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。

本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。

一、二次型的定义在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。

设有n个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。

二次型可以表示为：f(x) = x^TAx其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。

二、二次型的矩阵表示设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx可以写成矩阵形式：f(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}整理得：f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j将此式称为二次型的矩阵表示。

三、二次型定理二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。

具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：P^TAP = D其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。

进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。

例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交 变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具 有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.

定理 4.4 任一二次型 f ( x1 , x2 , …, xn ) 都可以通过可逆线性替换化为规范形，且规
范形是唯一的. 推论1 任一实对称矩阵A都与对角矩阵
Ep
合同,其中 1 和－1的个数
Er p
O
共有r个,r
为二次型的秩.
推论 2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件
是它们具有相同的正惯指数和秩.
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状， 20世纪初的这一幅漫画正反映了帝国主义掠夺中国铁路 权益。B项说法错误，C项不能反映漫画的主题，D项时 间上不一致。 答案：A
[典题例析] [例2] (2010·福建高考)上海是近代中国茶叶的一个外销
中心。1884年，福建茶叶市场出现了茶叶收购价格与上海
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。

且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k 1,2,,n且k i, j
xk yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
例1 化二次型
0 0 1
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成 标 准 形, 并 求 所 用 的 变 换 矩 阵.
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
第5章 二次型
5.1 二次型的概念 5.2 化二次型为标准形 5.3 正定二次型
5.1 二次型的概念
一、二次型的定义
定义1 含有n个变量x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.

2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
23
从而得特征值 2．求特征向量
1 9, 2 3 18.
1 (1 2,1,1)T . 将2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系 T T 2 ( 2,1,0) , 3 ( 2,0,1) .
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 a12 a1n x1 x a22 a2 n 2 an 2 ann xn
7
a11 a 令 A 21 a n1
11
－2 A 例2：求对称矩阵 A 所对应的二次型。 3 1 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 解：
1 3 2 1 0 0 －1
2 x x x 2 3 x1 x2 x1 x3
2 1 2 2 2 3
例3：已知二次型 f 的秩为2，求参数c。
a12 a22 an 2

a1n a2 n ann
x1 x2 X xn
则 f X T AX
二次型的矩阵表示
其中 A 为对称矩阵。
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 3 x3 2 4 x1 x2 x2 x3 例如：二次型
1 -2 ( x1 , x2 , x3 ) -2 0 1 0 2 0 x1 1 x2 2 x3 -3 8
在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型． 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．

当1= -7时：
解方程
(2 I A) X 0
x 1 x 1 3 2 , x2 x3
得
f (x1, x2 , x3) = y12 + y22 – 2y32 —为f(X)的标准形.
y z 1 1 （是可逆变换） 令 y2 z 2 则 f (x1, x2 , x3) = z12 + z22 – z32 1 —— 为f(X)的规范形. y3 z3 正惯性指数为2，负惯性指数为1 2
1 2 1 2 则xy=1化为： x y 1 2 2
——为双曲线
即
X CY 1 x2 1 y2 xy
2 2
返回
对于n元二次型 f ( x1，x2， ，xn ) X AX ， 变换
T
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n x n cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
2 1 A 1 3 3 0 2
则
0 —— f (x , x , x ) 的矩阵 1 2 3 3 2 2 1 0 4 注意：若令 B 1 3 0 ,
0 3 4
X AX
f (x1, x2 , x3) = 2x12 – 3x22 + 4x32 - 2 x1x2 + 3x2 x3 = XTBX 但 BT≠ B, 故 B 不是f (x1, x2 , x3) 的矩阵！
返回
二次型
一一对应
对称矩阵
若 f (X) = X TAX. 则A 的秩称为二次型 f (X)的秩
在例1 中， f (x1, x2 , x3) 的矩阵

高等代数二次型知识点一、知识概述《高等代数二次型知识点》①基本定义：二次型呢，简单说就是一个多元二次齐次多项式。

就好比有一堆变量（假设是x₁，x₂，x₃等），然后这些变量或者它们的乘积再乘以一些系数，组合起来的一个多项式，而且每一项都是二次的，像3x₁²+ 2x₁x₂+ 5x₂²这种。

②重要程度：在高等代数中可是相当重要的一块。

它就像是高楼大厦的一块重要基石一样，很多地方都会用到这个概念。

像研究矩阵的特征值、正定矩阵之类的，都和二次型有着千丝万缕的联系。

③前置知识：得先掌握好矩阵的相关知识，比如矩阵的乘法、秩这些概念。

向量空间的基础知识也很必要，因为二次型可以用矩阵来表示，而这个矩阵和向量空间里的向量是有联系的。

④应用价值：实际应用可多了。

在物理里，一个物体的能量表达式有时候可以用二次型表示。

在工程上，分析结构的稳定性之类的问题，二次型也能提供理论基础。

就像在建筑工程中，判断一个桥梁结构是否稳定，可能就需要通过建立二次型模型来分析。

二、知识体系①知识图谱：在高等代数这个学科里，二次型是矩阵理论与线性代数内容的延伸部分。

它和线性变换、特征值这些内容都同属一个知识体系的分支。

②关联知识：和很多知识点都有联系呢。

与矩阵的合同关系密切相关，因为二次型经过非退化线性替换后对应的矩阵是合同的。

和正定矩阵的关系也很紧密，正定矩阵可以用来判断二次型的一些性质。

③重难点分析：掌握难度点在于对二次型矩阵表示的理解，得能清楚地看出二次型就相当于一个矩阵。

还有就是二次型的标准形、规范形的转化过程有点复杂。

关键点就是要把二次型和矩阵之间的各种关系都梳理明白。

④考点分析：在考试里挺重要的。

考查方式可多样了，比如给个二次型，让你求它的矩阵，或者是把二次型化成标准形，也会考查正定二次型的判定这种比较难的知识点。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：二次型的准确含义就是前面说的多元二次齐次多项式，但是还可以用矩阵形式简洁地表达，例如二次型f(x₁,x₂)=x₁²+ 2x₁x₂+ x ₂²，它的矩阵表示是[1 1; 1 1]（这里用分号表示换行）。

则，其正惯性指数是多少？ 解法二：由于
f x1, x2, x3 x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 x1 x2 x3 2 2x22
故二次型 的正惯性指数为2。
例3、若二次曲面的方程 x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 4
其中 λ1, λ 2, …, λ n是二次型f 的矩阵的特征值. 将二次型f(x1, x2,…, x n )=xTAx 化为标准型的方法 （1）写出二次型的矩阵 A （对称矩阵）；
（2）将矩阵A 正交相似于对角阵，求出正交矩阵P ，使得 P-1AP=PTAP=Λ， Λ中的对角元为矩阵A 的特征值；
（3）作正交变换 x=Py ，此时 f 1 y12 2 y22 n yn2.
2、掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型 为标准形； 3、理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.
三、例题精讲
例1、已知二次型 f
x1, x2, x3
xTAx
x12

5x
2 2

x
2 3

2ax1x2
2x1x3
2bx2x3
的秩为2，
且(2,1,2)T是矩阵A 的特征向量，那么在正交变换下该二次型的标准形是
第四讲：二次型及其标准形
主讲人：同济大学 殷俊锋
相似矩阵以及二次型是线性代数的重要组成部分
包含正交矩阵、矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵、 二次型及其矩阵表示、合同变换与合同矩阵、二次型的标 准形和规范形、正定矩阵等基本概念.
也包含矩阵可相似对角化的充分必要条件、实对称矩 阵的特征值、特征向量的性质、惯性定理、用正交变换化 二次型为标准型等基本定理.

二次型1.基本要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解可逆线性替换和矩阵合同的概念。

2.了解二次型的秩、标准形、规范形、惯性定理，会用正交替换和配方法化二次型为标准形。

3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的性质及其判别方法。

2.基本内容2.1 二次型及其矩阵形式2.1.1 定义n 个变量的二次其次函数n n n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(++++=n n x x a x x a x a 223223222222++++2n nn x a ++)(11R a a x x aji ij n i n j j i ij ∈==∑∑==称为n 个变量n x x x ,,,21 的二次型。

注 若),,2,1,,(0n j i j i a ij =≠=，则称f 为二次型的标准形，简称标准形。

2.1.2 矩阵形式Ax x x f T=)(其中()T n x x x x ,,,21 =，n n ij a A ⨯=)(，这里ji ij a a =，即A 为实对称矩阵。

注1 实对称阵A 称为二次型f 的矩阵，而A 的秩称为该二次型的秩。

注2 二次型与实对称矩阵是一一对应的（也只有是实对称阵时，二次型的矩阵表示才能唯一），即二次型的矩阵比为实对称阵，而任一实对称阵均可看作是某一二次型的矩阵。

注3 标准形的矩阵式对角阵。

2.2 与二次型的标准形有关的概念2.2.1 满秩线性变换（可逆线性变换）设()T n x x x x ,,,21 =，()Tn y y y y ,,,21 =，n n ij p P ⨯=)(可逆，则称Py x =为由 n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的满秩线性变换。

注 若P 为正交矩阵，则称为正交（线性）变换。

2.2.2 合同矩阵之定义设A ,B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵C ，使B AC C T=，则称A 合同于B ，C 为为合同交换矩阵。

，
情形2，如果二次型中不含有平方项。 情形 ，如果二次型中不含有平方项。不妨设含
x1 , x2 的项，令 x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 xi = yi (i > 2) 的项，
则变换后即含有平方项，再按情形 进行 则变换后即含有平方项，再按情形1进行 配方即可。 配方即可。将以上每次新老变量的线性 变换连乘， 变换连乘，即得新变量组到终变量组间 的可逆线性变量。 的可逆线性变量。 注：通过以下例题可看到用Logrange 通过以下例题可看到用 配方法把二次型化成标准形。 配方法把二次型化成标准形。的步骤与 过程，其一般性证明是类似的， 过程，其一般性证明是类似的，留待读者
，
x = C y
上一节我们讲了用正交变换化二次型 为标准形，这个问题称主轴问题。 为标准形，这个问题称主轴问题。由 于正交变换有保持图形不变的性质， 于正交变换有保持图形不变的性质， 因此在研究几何图形中被广泛应用但 在很多场合下我们只需要用一般可逆 线性变换把二次型化标准形。 线性变换把二次型化标准形。下面我 们介绍用Logrange配方法把二次型化 们介绍用 配方法把二次型化 成标准形。 成标准形。所用线性变换为可逆线性 变换。 变换。
二次型及其标准形
引言：在解析几何中， 引言：在解析几何中，为了便于研究二次曲线
ax + bxy + cy = 1
2 2
的几何性质， 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换
x = x ′ cos θ − y ′ sin θ , y = x ′ sin θ + y ′ cos θ ,
把方程化为标准形
我们将矩阵与未知数的系数列成下表： 我们将矩阵与未知数的系数列成下表：

【关键字】指导第八章二次型一．内容提要：1. 二次型及其标准形的概念定义1 包含个变量的二次齐次函数称为一个元二次型，简称二次型.若记，则二次型的矩阵形式为，其中A为n阶实对称矩阵，称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.2. 二次型的标准形和规范形定义2 经可逆线性变换所得的只含平方项的二次型称为原二次型的标准形定义3系数为1或0的标准形称为复二次型的规范形；系数为1、-1或0的标准形称为实二次型的规范形.3. 矩阵的合同定义4 设A ，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵C ，使得则称A与B合同矩阵合同具有以下性质：①反身性：n阶矩阵A与A合同；②对称性：若A与B合同，则B与A合同；③传递性：若A与B合同，B与C合同，则A与C合同4. 化二次型为标准形或规范形（1）经可逆线性变换，原二次型矩阵和新二次型的矩阵合同.（2）任意一个实二次型经可逆线性变换可化为标准形.即：任意一个实对角矩阵都与一个对角阵合同.（3）任意一个实二次型都可经过正交变换化为标准形.定理（惯性定理）任意一实二次型都可经过可逆线性变换化为规范形，且规范形唯一.5. 正定二次型和正定矩阵5.1正定二次型定义5 设为一个实二次型，若对任意一组不全为零的实数实二次型的值（8.19）则称为正定二次型，并称正定二次型的矩阵为正定矩阵.5.2二次型正定的充要条件设n元实二次型，则下列几个条件等价：（1）f为正定二次型；（2）A的特征值全为正；（3）f的正惯性指数为n ；（4）A合同于单位阵E ；（5）存在n阶非奇异矩阵C ，使得A =二． 重点难点1. 二次型及其矩阵表示2. 合同变换与合同矩阵3. 二次型的秩 惯性定理4. 二次型的标准形和规范形5. 用正交变换和配方法化二次型为标准形6. 二次型及其矩阵的正定性 三．学习要求1. 了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换和合同矩阵的概念.2. 了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，掌握正 交变换和配方法化二次型为标准形的方法.3. 理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法. 四．典型题分析例1 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: ．解 二次型矩阵为 ，故的特征值为当时，可得单位特征向量， 当时，可得单位特征向量，当341λλ==时，可得单位特征向量300P⎪=⎪⎝⎭，400P ⎛⎫⎪= ⎪⎪．于是正交变换为且有222212343f y y y y =-+++．例2．判别下列二次型的正定性：(1)2221231213-2-6-422f x x x x x x x =++;(2)22221234121314243919-242-6f x x x x x x x x x x x x =+++++分析 可用顺序主子式方法判断 解(1) f 的矩阵为-2111-6010-4A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,11-20a =<，-211101-6=>，-2111-60-3801-4=<， 故f 为负定．(2) 1-121-130-3209-61-3-619A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1110a =>，1-140-13=>, 1-12-1306029=>,240A =>． 故f 为正定．例3 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .分析二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.解 因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2. 例4 设,A B 为n 阶正定阵，下列命题正确的是： （A ）若A 合同于B ，则A 相似于B（B ）若A 相似于B ，则A 合同于B (C ）若A 合同于B ，则A 与 B 等价 (D ）若A 与 B 等价，则A 合同于B解 由等价、相似、与合同的定义可知：若A 合同于B ，由于一般矩阵1T C C -≠，故不能推出A 相似于B.反之由A 相似于B ，也不能推出A 合同于B.但A 合同于B 时，则A 与 B 必等价，所以选(C).例5 设矩阵200030001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则A 合同于矩阵解：答案（C ）和矩阵200030001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值有相同正负个数，即由相同的惯性指数所以选(C)例6 对于二次型(),Tf X X AX =其中A 为n 阶实对称矩阵，下述结论中正确的是 （A ）化()f X 为标准形的可逆线性变换是唯一的 (B ）化()f X 为规范形的可逆线性变换是唯一的 (C ）()f X 的标准形是唯一的 (D ）()f X 的规范形是唯一的解 二次型()Tf X X AX =化为标准形或规范形有不同的方法，对应的可逆线性变换也不相同，但正、负惯性指数及非零平方项个数一定是唯一确定的，所以选(D ）例8 设矩阵010010000010012A y ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（1） 已知A 的一个特征值为3，试求y . （2） 求矩阵P ，使()()TAP AP 为对角阵.分析 （1）可将A 的一个特征值3代入方程即可求解y(2) 注意到A 是对称阵，所以2()()TTAP AP P A P =，求出2A 的标准形即可.解 （1）将特征值3代入矩阵A 的特征多项式1001000001012A E y λλλλλ---==--解得2y =(2) 由（1）结果可知因为TA A =，所以2()()TTAP AP P A P =对应于2A 的二次型为 作线性变换：11223344445y x y x y x x y x =⎧⎪=⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎪⎩ 即：1122334410000100400150001x y x y X PY x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将X PY =代入二次型2T X A X ，得 即 矩阵P ，使得例9设n 阶矩阵A 为正定矩阵，试证1A -也是正定矩阵 证明 因A 为正定矩阵，故存在可逆矩阵C ，使得 且1A -依然为对称矩阵，所以1A -也是正定矩阵.五．习题解析习题8.11．写出下列二次型的矩阵.（1）222123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++（2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =-（3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解1．（1） 111221112211122⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（2） 10002110022100020000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（3） 51625472675⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解答略2．将二次型表成矩阵形式，并求该二次型的秩.解所以该矩阵的秩为3，也即二次型的秩为3 3．设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321000000a a a ， B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13200000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得 B = T C A C ． 证明4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同. 证明 n 阶实对称矩阵A 与B 合同，所以存在可逆矩阵P ，使T P AP B = C 与D 合同，所以存在可逆矩阵Q ，使TQ CQ D = 故：A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同 习题8.21．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.（1）22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++解（1）200032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭解得对应于11λ=的特征向量：1011p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭当22λ=，代入：解得对应的特征向量：2100p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭当35λ=解得对应的特征向量：3011p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭再分别单位化，得正交阵：令,X QY =得标准形为22212325,f y y y =++（2）12341234(,,,)22f x x x x x x x x =- 解得特征值12341,1λλλλ====- 当1λ=解得特征向量：121010,0101p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1λ=-解得特征向量：341010,0101p p -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将34,p p 分别正交化、单位化得正交变换矩阵：0000000Q ⎫⎪⎪⎪⎪⎪= ⎝经正交变换X QY =后得 标准形：22221234f y y y y =+--（3）222123123121323(,,)44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-解得特征值1230,9λλλ===当0λ=解得对应的特征向量：12221,001p p -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将12,p p正交化、单位化得12,0ηη⎛⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入39λ=解得对应的特征向量：3122p ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭单位化得：3132323η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：经正交变换X QY =得标准形：239f y =2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2.(1) 求c;(2) 求一正交变换化二次型为标准形. 解 （1） 代入A满足()2R A =， 解 （2）得特征值 1232,0λλλ=== 当2λ=解得对应的特征向量：12100,101p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0λ=解得对应的特征向量：311p ⎪=- ⎪⎪⎝⎭将3p单位化得0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，最后得 正交变换矩阵：3．已知二次型2212323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形解由题意：A 与B 正交相似，有trA trB = 即：解得：12102,3a a ==-当0222,244243a A -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭代入11λ=解得对应的特征向量：1201p -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭代入26λ=解得对应的特征向量：212521p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭代入36λ=-解得对应的特征向量：32121p ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：代入103a =-1不是A 的特征值，故103a =-舍去 注 本题也可利用A 与B 的特征多项式相等，从而同次项系数相等来确定参数.22224. 222444,,.x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面方程求的值与正交矩阵解由题意：A 与B 正交相似，有trA trB = 即：解得：3,1a b == 当10λ=解得对应的特征向量：1101p -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭当21λ=解得对应的特征向量：2111p ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭当34λ=解得对应的特征向量：3121p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭将特征向量分别单位化得正交变换矩阵：5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.（1）222123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++解最后得标准形：2221235f y y y =+-可逆变换：（2）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =-+ 解 令11221233x y y x y y x y =+=-= 代回二次型 得标准形2221235f z z z =-+可逆变换112233*********x z x z x z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）222123123121323(,,)55428f x x x x x x x x x x x x =+++-+解 2212123,,012001f y y X CY C --⎛⎫ ⎪=+== ⎪ ⎪⎝⎭其中解答同（1），略6．在二次型 f （ x 1 ，x 2 ，x 3 ）= 213232221)()()(x x x x x x -+-+- 中，令得 f = 232221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定 f 的秩. 解11011=011---变换矩阵行列式，变换不可逆，所以不能认为上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3因为二次型222123122313222222f x x x x x x x x x =++---，用配方法：令：11232231()2y x x x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 得 本题的另一种解法如下：因为二次型222123122313222222f x x x x x x x x x =++---，其矩阵得特征值1233,0λλλ∴=== 代入123λλ==解得对应的特征向量：12110,110p p --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正交化得：121120,1112ζζ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭代入0λ=解得对应的特征向量：1111p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：标准形：221233f y y =+注意：这两种解法看似答案不一样，但有相同的规范形，所以都正确.7．判断矩阵01111213A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与是否合同.解 矩阵01111213A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与所对应的二次型具有相同的规范形，合同.习题8.31．判定下列实二次型的正定性.（1）2221231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+（3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+nj i jini ixx x112解 （1）231014A ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭各阶顺序主子式为：该实二次型正定（2）解答同理，略 （3） 解答同理 解 （4） 二次型矩阵故A 的特征值全为正，所以A 正定2． a 为何值时， 实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定的.解 运用顺序主子式法判定 解（1）2101020123(2)101A E c +c +c λλλλλλ--=---- 解得特征值：12302λλλ∴===， （2） 可求得B 的特征值：22,(2)k k +由于当B 的特征值都大于0时正定，所以02k k ≠≠-且时，B 正定.习题八 (A)一、填空题1．二次型222123123121323(,,)23246f x x x x x x x x x x x x =+-+-+的矩阵为 .解 易得：A =212113233-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭2．2123123(,,)()f x x x ax bx cx =++二次型的矩阵为 .解 易得：A=22ab bbc ac bc c ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3．已知二次型的矩阵为124214447-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，则该二次型为 . 解 该二次型为：122212321231213233124(,,)2147488447x x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=+++-- ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭4．二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .解因线性变换112223313y x x y x x y x x=+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩ 不可逆，故222222123122331123121323(,,)()()()222222f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++-++=++++-得二次型的矩阵为：A =211121121011()2112000R A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→-∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭5．化二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-为规范形 ，所用的可逆线性变换矩阵为 .解 令1122332y x y x y ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 得二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-的规范形222123y y y +-，所用的可逆线性变换矩阵为112⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝6．二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++的规范形为 . 解 二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++的矩阵为：A =022*********2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求其特征值得：所以规范形为：222123y y y --7．已知实对称矩阵A 与矩阵100012022T X AX ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则二次型的规范形为 .解 由于实对称矩阵A 与矩阵100012022⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则对应的二次型有相同的规范形先求实对称矩阵A 与矩阵100012022⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值：故：12313,2λλλ===-， 所以规范形为：222123y y y +-8．已知2221231231223(,,)22f x x x x x x x x ax x =++++正定，则a = .解9．当t 满足 , 2221231231213(,,)4242f x x x x x x tx x x x =---++是负定的.解10．已知二次型222123123121323(,,)222f x x x x ax x x x ax x x x =+++--的正、负惯性指数均为1，则a = . 解由于二次型的正负惯性指数均为1，故f 的秩为2，于是A 的秩也为2，所以0A = 解得：1221a a =-=， 代入 当12a ∴=- 求其特征值得：所以规范形为：2213y y -符合题意，故12a =-2不合题意，故舍去21a =二、单项选择题1. 已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2,则a =( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3解 11022211011011000100200200a a A a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+-→+-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴=选(A)2. 设100020005A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则下列矩阵中与A 合同的矩阵是( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001 (B)100020001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500010002 (D)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300010002 解 A 的特征值两正一负，只有(A)符合题意(A) A 与B 合同 (B) A 与B 等价 (C) A 与B 相似 (D) A 与B 的秩相等 解 根据合同的定义及性质，可知(A),(B),(D)正确，由相似的定义知(C)不正确. 4. 设A, B 都是正定阵, 则( ).(A) AB, A + B 一定都是正定阵 (B) AB 是正定阵, A + B 不是正定阵 (C) AB 不一定是正定阵, A + B 是正定阵 (D) AB, A + B 都不是正定阵 解 选（C ），因为AB 不一定是对称阵5. 下列条件不能保证n 阶实对称矩阵A 为正定的是( ). (A) 1A -正定(B) 二次型f=X T AX 的负惯性指数为零 (C) 二次型f=X T AX 的正惯性指数为n(D) A 合同于单位矩阵解 选(B)，负惯性指数为零也可能是半正定.解 由22212312323123(,,)(2)(23)(3)f x x x x ax x x x x x ax =+-+++++二次型知： 线性变换矩阵的秩为3 选（C ）7. 已知实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O ,则A ( ).(A) 正定 (B) 半正定 (C) 负定 (D) 不定 解 由实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O 两边同乘以特征向量X,得A 的特征值为2或3 ，故选(A)8. 已知二次型222123123121323(,,)22248f x x x x x x ax x x x x x =--+++经正交变换化为 222123227f y y y =+-,则a =( ).(A)1 (B) -1 (C) 2 (D) -2 解 由题意可知： 故选(D)9. 下列矩阵合同于单位矩阵的是( ).(A) 121242363⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (B)101040101-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛811172121 (D)212134244--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭解 通过计算可知选（C ）10. 设矩阵211112111120A B A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭与矩阵，则与( ).(A) 合同且相似 (B) 合同但不相似(C) 不合同但相似 (D) 既不合同也不相似 解 根据合同与相似的定义可知选(B)(B)1．已知22082006B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于对角阵.（1）求a 的值；（2）求正交变换使二次型X T BX 为标准形.解 先求22082006B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值：代入二重特征值6λ=解得 0a = 220820006B ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭代入12λ=-解得对应的特征向量：1120p -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭代入236λλ==解得对应的特征向量：12102,001p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已 正交，将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：标准形： 222123266y y y -++解 （1）先写出222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-二次型的矩阵：513153153~0126330129()2,3A c c R A c ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭=∴= 代入A 解得：1230,4,9λλλ===（2）标准形： 22491y z +=表示椭圆柱面.3. 已知实二次型f=X T AX 中矩阵A 的特征值为1，2，5，A 属于特征值1与2的特征向量分别为12(0,1,1),(1,0,0),TTαα=-=求该二次型.解法1 设A 属于特征值5的特征向量为1323x x x α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，因A 为实对称阵，故13230,0T Tαααα==，即2310x x x -=⎧⎨=⎩，取 3301,11x α⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，构成可逆矩阵()123010,,101101P ααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭计算得：10111200.2011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因1125P AP -⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，故 解法2 设111213122223132333a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由题意：AX X λ= 得 ：1112131213222323332,0011a a a a a a a a a ===-=-=-=- 令 33a a = 可得200101~2015A a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭由 相似矩阵迹相同得：2283a a +=⇒= 4．设二次型123(,,)f x x x 经正交变换 解 由题意412TA Q Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭=220212020-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭5．设A 是n 阶对称矩阵，如果对任一n 维向量X ，都有f=X T AX=0,证明A=O .证明 设()111212122212n n ij n n nn a a a a a a A a a a a ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭，由于A 对称，故ij ji a a = 取()0,1,0,0,(1,2,,)i X i n ε===则0,(1,2,)Ti i ii A a i n εε===再取(0,,0,1,0,,0,1,0,,0)jii j X εε=+=则20Tii ij ji jj ij ji ij X AX a a a a a a a =+++=+== 推出 0ij a =，于是A =O6．设f = T X A X 为n 元实二次型 ，λ与μ 分别为其矩阵A 的最大特征值与最小特征值，证明对任一实n 维向量X ，总有 μT X X ≤T X A X ≤ λT X X ．证明 f = T X A X μT X X =TX EX μ要证对任一实n 维向量X ，总有 μT X X ≤TX A X只需证明对任一实n 维向量X ，()0TX A E X μ-≥ 即 A E μ-半正定 由于存在正交相似变换矩阵Q ，使1111()T T T T n n Q AQ Q A E Q Q AQ Q EQ λλμμμμμμμμμ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⇒-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭显然：11n λμμμμμ--⎛⎫⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭半正定，所以A 与半正定阵合同，故 ()0T X A E X μ-≥ 即对任一实n 维向量X ，总有 μT X X ≤T X A X对任一实n 维向量X ，TX A X ≤λT X X 的情形同理可证7．试证：若A 是n 阶方阵，则 TA A 是半正定矩阵． 证明()0T T T X A AX AX AX =≥TA A ∴是半正定矩阵8．设A 为n 阶实对称矩阵且满足 A A A ++23 = 3 E ，证明A 是正定矩阵．证明 3230A A A E ++-=两边同乘A 的特征向量X, 32(3)0A A A E X ++-=文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.21文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 由于特征向量非零，所以：3230λλλ++-= 即因为A 为n 阶实对称矩阵，所以其特征值只有实数，故只有1是其特征值，因此A 的特征值都为正，所以A 是正定矩阵.9．设实对称矩阵A 与B 合同，若A 是正定矩阵，证明B 是正定矩阵.证明 因为实对称矩阵A 与B 合同，A 是正定矩阵，所以A 与E 合同,由合同的传递性知，E 与B 合同，所以B 是正定矩阵10．设A 是实对称矩阵．证明：当实数t 充分大时，t E ＋ A 是正定矩阵.证法1 显然 A 是对称矩阵.故存在正交阵Q ，有T Q AQ =Λ 对任意的列向量Y ,有：显然当t 充分大时，()T Y tE Y +Λ为正，即t E ＋ A 与正定矩阵合同，t E ＋ A 是正定矩阵.证法2 设A 的特征值为12,,,n λλλ.因A 是实对称阵，故i λ为实数(1,2,)i n = 取 max{}i i t λ>，则tE A +的特征值(1,2,,)i t i n λ+=全大于0，于是t E ＋ A 是正定矩阵.11．设B 为可逆矩阵，A =B T B , 证明f = T X A X 为正定二次型.证明 f = T X A X =T X B T B X =()TBX BX 又B 为可逆矩阵，,X BX θθ∴∀≠≠有，故f = T X A X ＞0，故f = T X A X 为正定二次型.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

T
a12 a22 an 2
a1 n x1 a2 n x2 ann xn
由 aij a ji ，故 A 为对称矩阵，即 A A ．称对称矩阵 A 为该二次型的矩阵．二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次 型．对称矩阵 A 的秩 r ( A) 称为二次型的秩．在这种情况下，二次型 f 与对称矩阵 A 之间通过 f ( x ) x Ax 就建立起 一一对应关系，故往往用对称矩阵 A 的性质来讨论二次型 f 的性质． 当 aij 为复数时, f 称为复二次型；当 aij 为实数时， f 称为实二次型．
T T T T T
定理 1
若 A 为对称矩阵， C 为可逆矩阵，则 B C AC 仍为对称矩阵，且 r ( A) r ( B ) （请读者自己证明） ．
T T
T
从 Cy 后，其秩不变，但二次型 f 的矩阵 A 变为 B C AC ； 在本节最后给出矩阵的等价、相似、合同三种关系的逻辑关系： ① A 经过若干次行列变换得到 B ，则 A 与 B 等价，即 A 与 B 等价 存在可逆阵 P, Q
T T 1 1 T T T
(C 1 )T B(C 1 ) A 即 B 与 A 合同．
③ 传递性 若 A 与 B 合同， B 与 C 合同，则 A 合同于 C ； 因为 B C1 AC1 , C C2 BC2 得 C C2 (C1 AC1 )C2 (C1C2 ) A(C1C2 ) ，故 A 与 C 合同．
T
例1
设 f x1 2 x1 x2 2 x1 x3 3x2 x3 ，求 f 的矩阵，并求 f 的秩． 解 f x Ax x1 2x1x 2 2x1x3 3x 2 x3 对应的对称矩阵是

解 设 f = xTAx , 则
A 12
12
,
x
x y
.
显然，二次型的秩为 R( A) 2.
例 23 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2 4x1x3 6x1x4 8x2 x3 4x2 x4,
写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩.
aijபைடு நூலகம்xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩
阵. 称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩. 这样,
实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的
关系.
例 22 已知二次型 f (x,y) x2 4xy y2 ,
写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩.
(2) f (x1,x2,x3) x12 4x22 x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 .
(1) 解 二次型 f 的矩阵 A 为 (2) 解 0二1次型1 f 的矩阵 A 为
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本容单单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本 本容单 单若 若 若束内请 请 请返结节 节已想击想本本 本容单单若 若回束内内请 请返结 结节 节已击想击想本本容单单若回束内内请返结 结节 节 节已击 击想 想想本本容单 单 单若回束内 内结请返结结堂节节已击想 想击按本本容容单 单若回束 束内 内结请返返结结堂节已击击想按本本容容单若回束 束内 内 内结请返 返结 结结堂节已击 击 击想按本本容 容束单若回束束课内内结请返返结 结钮堂节已已击 击想按本 本本容 容束单若回回束束课内结请返返结钮堂节已已击想按本 本容 容 容束单回 回束束 束课内结返 返 返结钮堂节已 已击想按本本,容容束单回回束 束课.内结结!返 返结钮堂 堂节已 已击想按按本本,容束单回回束课.内结结!返结钮堂 堂已 已 已击按 按本 本本,容束回 回 回束课.内结 结!返结钮堂堂已已击按按本 本,容束束回 回束课 课.内结 结!返结钮钮堂堂已击按按本,容束束回束课 课.结 结 结!返钮 钮堂堂 堂已按 按 按本,容束 束回束课课.结结!返钮钮堂 堂已按 按本,,容束束回束课课..结!!返钮钮堂已按本,,束束束回课 课课..结!!钮 钮 钮堂已按本,,束束回课 课..结!!钮 钮堂已按本,,束回课..结!!钮堂按,,,束课...结!!!钮堂按,,束课..结!!钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!

例 5.1 判别下列各式是否为二次型
（1） f x12 2x22 4x1x2 x1 （2） f 4x12 x22 3x33 6x1 x2 5x2 x3 （3） f x12 2x22 5x32 4x1x2 x1x3
解 根据二次型的定义，由于（1）式中含有变量 x1 的 一次项，所以 f x12 2x22 4x1x2 x1 不是二次型。
形式，并求其秩。
1 2 0 解 二次型的矩阵为 A 2 0 1
0 1 3
那么
1
f x1, x2 , x3 2
2 0
0 x1 1 x2
0 1 3 x3
又由于 A 13 0 ，即矩阵 A 满秩，故所求二次型的秩为 3.
1.2 二次型的标准形
定义5.2
只含有平方项的二次型
（5.2）
当所有的 aij 均为实数时，上述二次型称为实二次型
为便于讨论，我们将二次型写成矩阵形式，
f (x1 , x2 ,, xn ) x1 (a11x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1x1 an2 x2 ann xn )
因此，二次型 f (x1, x2 ,, xn ) xT Ax ，经过可逆的线性变换 x Cy
后，所得的新二次型的矩阵与原二次型的矩阵具有合同关系，且二次 型的秩不变。
实用线性代数
f
y1, y2 ,, yn
d1 y12
d
2
y
2 2
d
n
y
2 n
d1
y1
y1 y2 yn
d2
y2
dn yn
yT y
称为二次型的标准形

一、二次型及其标准形的概念()122111121213131122222323222,,,222+22n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++++++++称为二次型.; ,称为是复数时当f a ij 复二次型. ,称为是实数时当f a ij 实二次型定义：含n 个变量的二次齐次函数12,,,n x x x 例如()312322213214542,,x x x x x x x x f -++=都为二次型；()323121321,,x x x x x x x x x f ++=1．用和号表示对二次型,a a ij ji =取于是nn x x a x x a x a f 1121122111+++= .1,x x a j i nj i ij ∑==nn x x a x a x x a 2222221221++++ 22211n nn n n n n x a x x a x x a ++++ 二次型的表示方法()122111121213131122222232322,,,222+22n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++++++++,2ij i j ij i j ji j i a x x a x x a x x =+2．用矩阵表示11111221221122221122()()()n n n n n n n nn n f x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x =++++++++++++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 22112222121121211121),,,(()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121,,,T x Ax =记为A,称为二次型的矩阵，二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．对称矩阵f叫做二次型A的矩阵;叫做对称矩阵Af的二次型;对称矩阵fA的秩.的秩叫做二次型二、化二次型为标准形我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，(非退化的线性变换，非奇异的线性变换）将其化为标准形．只含有平方项的二次型2222211nn yk y k y k f +++= 称为二次型的标准形（或法式）．定义T x Ax =12,1(,,,)n n ij i j i j f x x x a x x ==∑对于二次型，何为可逆线性变换？⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,,设),(c C ij =记Ax x f T =有将其代入, Ax x f T =().y AC C y T T =()()Cy A Cy T =化为关于y 的二次型定义若C 可逆，称上述变换为可逆线性变换(非退化的线性变换，非奇异的线性变换），进一步，若C 是正交的，称上述变换为正交线性变换，几何角度: 正交变换的特性在于保持线段的长度不变,即，在不同的坐标系下几何图形不变。