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高一数学上册全单元知识点一、函数与导数1. 函数与映射- 函数的定义与性质- 映射的概念与表示2. 函数的表示与性质- 函数的图像与坐标系- 奇偶函数与周期函数- 函数的单调性与最值3. 函数的运算- 函数的四则运算与复合运算- 函数的反函数与恒等函数- 函数的映射关系与可逆性4. 导数与函数的变化率- 函数的导数定义与几何意义- 导数的性质与计算方法- 函数的单调区间与极值点5. 初等函数与导数- 幂函数与指数函数的导数- 三角函数与反三角函数的导数- 对数函数与常数函数的导数二、二次函数与一元二次方程1. 二次函数的图像特征- 二次函数的标准形式与顶点形式- 二次函数图像的平移与伸缩- 二次函数图像的对称性与特殊情况2. 二次函数与一元二次方程- 二次函数与一元二次方程的关系- 一元二次方程的根与因式分解- 一元二次方程的解的判别式与求解方法3. 二次函数与一元二次不等式- 二次函数与一元二次不等式的关系- 一元二次不等式的解与解集表示- 一元二次不等式的图像与应用三、平面向量与解析几何1. 平面向量的概念与运算- 平面向量的定义与性质- 平面向量的数量积与向量投影- 平面向量的线性运算与共线性判定2. 解析几何的基本概念- 点、直线和平面的坐标表示- 直线和平面的位置关系与垂直判定- 点到直线的距离与角平分线的性质3. 直线与圆的方程- 直线的斜截式、截距式与一般式- 圆的标准方程与一般方程- 直线与圆的位置关系与交点计算4. 空间向量与空间解析几何- 空间向量的概念与坐标表示- 空间向量的数量积与向量投影- 空间点、直线和平面的方程与位置关系四、三角函数与解三角形1. 三角函数的基本概念与性质- 弧度制与角度制的换算- 三角函数的定义与性质- 三角恒等式的推导与应用2. 三角函数的图像与变换- 三角函数图像的周期与轴对称性- 三角函数的平移、挤压与反转变换- 三角函数图像的合成与拆分3. 三角函数的应用- 幅角的求解与解的表示- 三角函数在周期内的性质与应用- 三角函数与三角方程的关系4. 解三角形的基本原理与方法- 根据已知条件解三角形- 利用解三角形求解实际问题- 解三角形的特殊情况与应用五、概率统计与排列组合1. 概率与事件- 概率的基本概念与性质- 事件的概念与运算- 事件的概率计算与应用2. 随机变量与概率分布- 随机变量的概念与分类- 概率分布的概念与性质- 随机变量的数学期望与方差3. 排列与组合的基本概念- 排列与组合的定义与计算公式- 二项式定理的推导与应用- 排列组合在实际问题中的应用4. 统计与抽样调查- 统计数据的搜集与整理- 抽样调查的基本方法与误差分析- 统计图表的制作与分析。
映射与函数知识点总结一、映射与函数的概念1.映射的定义：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素的规律称为映射。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有一个元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的映射。
记作f：A→B。
2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足每个元素a∈A只能对应一个元素b∈B的规律。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一的元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的函数。
记作f：A→B。
3.定义域和值域：函数f的定义域是指所有可能作为函数输入的数的集合，通常用符号D(f)表示；函数f的值域是指函数所有可能的输出的数的集合，通常用符号R(f)表示。
二、映射与函数的性质1.单射：也称为一一对应，指当对于集合A中的不同元素a1和a2，它们在集合B中的对应元素f(a1)和f(a2)也不相同。
换句话说，每个元素a∈A都对应着集合B中唯一的元素。
2.满射：也称为映满函数，指函数的值域与集合B相同，即函数的所有可能的输出都在集合B中。
3.双射：即同时满足单射和满射的函数，也称为一一映射。
4.奇函数和偶函数：如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f是奇函数；如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f是偶函数。
5.反函数：如果函数f的定义域和值域都是实数集，且对于函数f中的每一对实数(x,y)，都有y=f(x)，则存在一个函数g，使得对于函数g中的每一对实数(y,x)，都有x=g(y)。
这样的函数g称为函数f的反函数。
三、映射与函数的应用1.函数关系式：映射与函数可以描述实际问题中的各种关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
通过分析函数关系式，我们可以了解函数的性质和特点，从而应用到各种实际问题中。
2.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地表达函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性、周期性等。
高 一 函 数一。
函数的概念1、映射（1）映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A→B 。
注意点：（1）对映射定义的理解。
（2）判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射二。
求函数定义域的方法1、已知解析式求定义域 1）、分母不为零；2）、偶数次的开方数大于或等于零； 3）、真数大于零；4）、底数大于零且不等于1。
5）x 0中的x 不为零例题1．2143)(2-+--=x x x x f2．x x x x f -+=)1()(3、g(x)=211+-++x x2、抽象函数求定义域记住两句话：地位相同范围相同，定义域是关于x 的。
1）设)(x f 的定义域是[-3，求函数)2(-x f 的定义域。
2)已知y=f(2x+1)的定义域为[-1，1]，求f(x)的定义域； 3)已知y=f(x+3)的定义域为[1，3]，求f(x-1)的定义域. 4）若函数)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41(+=x f y +)41(-x f 定义域三、求函数值域的方法1）观察法 2）图象法 3）分式分离常数法 4）换元法 5）判别式法 6）配方法 7）函数单调性法 8）反函数法 例题 （1）335-+=x x y （2）22++-=x x y（3）132222++++=x x x x y （4）xx y 314--=（5）1212-+=x x y （6） 21414()log (2)log ,,82f x x x x ⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦例求函数的值域（7）四、求函数解析式（1）配凑法；（2）换元法； （3）待定系数法；（4）方程组法． 例题（1）已知3311()f x x x x+=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f xx+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．五、函数的单调性1、证明函数的单调性要利用定义来证明2、没有告诉函数的单调性，而我们要利用这一性质时，应该先证明（在解答题中应用较多）3、判断单调性的方法：①定义； ②导数； ③复合函数单调性：同增则增，异增则减； 用定义证明函数的单调性的步骤:(1)设x 1＜x 2, 并是某个区间上任意二值; (2)作差 f(x 1)－f(x 2) (3)判断 f(x 1)－f(x 2) 的符号:①分解因式, 得出因式x1－x2 ②配成非负实数和. (4)作结论. 4、常用结论：①两个增（减）函数的和为_______；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是_______； ②奇函数在对称的两个区间上有_______的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_________的单调性；1）、如果对于属于定义域内某个区间的任意两个自变量的值x1 , x2 ,当x1 < x2 时，都有f (x1)<f (x2) ,那么就说f (x)在这个区间上是增函数[]1:()422,1,1.x x f x x +=-+∈-练习求的值域2）、如果对于属于定义域内某个区间的任意两个自变量的值x1 , x2 ,当x1 < x2 时，都有f (x1)>f (x2) ,那么就说f (x)在这个区间上是减函数。
大一高数知识点映射与函数高等数学是大多数理工科专业大一必修的一门课程，其中包含了许多重要的数学知识点。
在这篇文章中，我们将重点讨论高数中的映射与函数。
一、映射的概念与性质映射是数学上非常重要的概念，它描述了元素之间的对应关系。
在集合论中，我们将一个元素从一个集合映射到另一个集合，这两个集合可以是相同的，也可以是不同的。
映射一般用函数符号f(x) 表示，其中 x 是原集合的元素，f(x) 是它在目标集合中的对应元素。
映射具有以下性质：1. 单射：若 f(x1) = f(x2)，则 x1 = x2。
即不同的元素在映射中有不同的对应元素。
2. 满射：若对于任意的 y ∈目标集合，都存在 x ∈原集合，使得 f(x) = y。
即每一个元素都有对应的映射元素。
3. 一一映射：即又是单射又是满射的映射。
二、函数的定义与性质函数是映射的一种特殊形式，它在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
函数的定义比较简洁，它是一种特殊的映射，其中原集合只能有一个元素对应到目标集合中的一个元素。
函数具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指输入变量的取值范围，值域是指函数输出的取值范围。
2. 奇偶性：函数 f(x) 的奇偶性取决于 f(-x) = f(x) 或 f(-x) = -f(x) 是否成立。
3. 单调性：函数在定义域上的增减状况，可以分为递增、递减或保持不变。
4. 极值与最值：函数在定义域的某一点或某一区间上取得的最大值或最小值。
5. 对称性：函数是否具有关于某个轴的对称性。
三、常见的函数类型在高数课程中，我们学习了许多常见的函数类型。
下面是其中一些重要的函数：1. 幂函数：y = x^n，其中 n 是正整数。
2. 指数函数：y = a^x，其中 a 是正实数且不等于 1。
3. 对数函数：y = log_a(x)，其中 a 是正实数且不等于 1。
4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
5. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
映射与函数的概念1.映射的概念设A ，B 为非空集合，在某种对应关系f 的作用下，使集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
2.函数的概念从非空数集A 到非空数集B 的映射叫做函数，其中A 是定义域，C 是值域（C ⊆B ）。
函数的三要素：定义域，对应关系，值域。
定义域和对应关系确定，则值域确定，函数确定。
（1）求定义域①分式：分母不能为0。
②根式：偶次根式的被开方数大于等于0。
③指数：底数大于0且不等于1。
④对数：底数大于0且不等于1，真数大于0。
⑤x 0中x ≠0。
⑥tanx 中的x ≠k π＋π/2。
（2）求值域①观察法：求函数y =x+1+1的值域。
解：该函数的定义域为[﹣1，+∞].∵√x +1≥0，∴√x +1+1≥1，∴0＜√x+1+1≤1. 该原函数的值域为(0,1].②换元法：求函数y =x ＋√x −1的值域。
解：该函数的定义域为[﹣1，+∞). 令√x −1＝t （t ≥0），则x ＝t ²－1.∴y=t ²＋t ＋1.（t ≥0）求得y=t ²＋t ＋1值域为[1,﹢∞)，即原函数的值域.③分离常数法：求函数y =﹣x²x²+1的值域。
解：该函数的定义域为R.该函数＝﹣(x 2+1)−1x²+1＝﹣1＋1x²+1.∵x ²+1≥1，∴0＜1x²+1.≤1，∴﹣1＜﹣1＋1x²+1≤0.该函数的值域为(﹣1，0]. 归纳：形如y ＝Cx+D Ax+B （A,B,C,D 为常数且A ≠0）或y ＝Cx²+DAx²+B （A,B,C,D 为常数且A ≠0）的函数可以采用分离常数法，分离到y ＝c ax+b ＋d （a,b,c,d 为常数且a ≠0）或y ＝c ax²+b ＋d （a,b,c,d 为常数且a ≠0）,前者的值域为y ≠d ，求后者的值域是y =c ax²+b 的值域加上d 。
函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。
(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。
5、映射与函数一、选择题〔每题5分，共60分，请将所选答案填在括号内〕 1．以下对应是从集合A 到集合B 的映射的是〔 〕A ．A =R ，B ={x |x ＞0且x ∈R}，x ∈A ，f ：x →|x | B ．A =N ，B =N ＋，x ∈A ，f ：x →|x －1|C ．A ={x |x ＞0且x ∈R}，B =R ，x ∈A ，f ：x →x 2D ．A =Q ，B =Q ，f ：x →x12．映射f :A B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a|，那么集合B 中的元素的个数是 〔 〕A ．4B ．5C ．6D ．73．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，那么在映射f 下，象20的原象是〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．54．在x 克a %的盐水中，参加y 克b %的盐水，浓度变成c %(a ,b >0,a ≠b )，那么x 与y 的函数关系式是〔 〕A ．y =b c ac --x B ．y =c b ac --xC ．y =c b ca --xD ．y =ac c b --x5．函数y=3232+-x x 的值域是〔 〕A ．(－∞，－1 )∪(－1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，0 )∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)6．以下各组中，函数f (x )和g(x )的图象一样的是〔 〕A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2B ．f (x )=1，g(x )=x 0C ．f (x )=|x |，g(x )=2xD ．f (x )=|x |，g(x )=⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈)0,(,),0(,x x x x7．函数y =1122---x x 的定义域为〔 〕A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≤－1或x ≥1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{－1，1}8．函数f (x )的定义域为［0，1］，那么f (x 2)的定义域为〔 〕A ．(－1，0)B ．[－1，1]C ．(0，1)D ．［0，1］9．设函数f (x )对任意x 、y 满足f (x ＋y )=f (x )＋f (y )，且f (2)=4，那么f (－1)的值为〔 〕A ．－2B ．±21C ．±1D ．210．函数y=2－x x 42+-的值域是 〔 〕A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[0，2]D ．[－2，2]11．假设函数y=x 2—x —4的定义域为[0，m ]，值域为[254-，-4]，那么m 的取值范围是 〔 〕 A ．(]4,0 B ．[23，4] C ．[23 ，3] D ．[23，＋∞]12．函数f (x ＋1)=x ＋1，那么函数f (x )的解析式为〔 〕A ．f (x )=x 2B ．f (x )=x 2＋1(x ≥1)D ．f (x )=x 2－2x ＋2(x ≥1) C ．f (x )=x 2－2x (x ≥1)二、填空题〔每题4分，共16分，请将答案填在横线上〕13．己知集合A ={1，2，3，k } ，B = {4，7，a 4，a 2＋3a }，且a ∈N*，x ∈A ，y ∈B ，使B中元素y =3x ＋1和A 中的元素x 对应，那么a =__ _， k =__ . 14．假设集合M={－1，0，1} ，N={－2，－1，0，1，2}，从M 到N 的映射满足：对每个x ∈M ，恒使x ＋f (x) 是偶数， 那么映射f 有__ __个. 15．设f (x －1)=3x －1，那么f (x )=__ _______.16．函数f (x )=x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f (3)之间的大小关系为 .三、解答题〔本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分〕 17．〔1〕假设函数y = f (2x ＋1)的定义域为[ 1，2 ]，求f (x )的定义域.〔2〕函数f (x )的定义域为［－21，23］，求函数g (x )=f (3x )＋f (3x)的定义域. 18．〔1〕已f (x 1)=xx-1，求f (x )的解析式. 〔2〕y =f (x )是一次函数，且有f [f (x )]=9x ＋8，求此一次函数的解析式. 19．求以下函数的值域：〔1〕y =－x 2＋x ，x ∈[1，3 ] 〔2〕y =11-+x x〔3〕y x =20．函数ϕ(x )=f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且ϕ(31)=16，ϕ(1)=8． 〔1〕求ϕ(x )的解析式，并指出定义域； 〔2〕求ϕ(x )的值域.21．如图，动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开场，顺次经B 、C 、D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示PA 之长时，求y 关于x 的解析式，并求f (25)的值.22．季节性服装当季节即将降临时，价格呈上升趋势，设某服装开场时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开场保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售. 〔1〕试建立价格P 与周次t 之间的函数关系式.〔2〕假设此服装每件进价Q 与周次t 之间的关系为Q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0，16]，t ∈N *，试问该服装第几周每件销售利润L 最大?参考答案一、选择题： CACBB CDBAC CC 二、填空题：x ＋2，16.f (1)＜f (3)＜f (－1) 三、解答题：17.解析：〔１〕f (2x ＋1)的定义域为[1，2]是指x 的取值范围是[1，2]，)(,5123,422,21x f x x x ∴≤+≤∴≤≤∴≤≤的定义域为[3，5]〔２〕∵f (x )定义域是［－21，23］∴g (x )中的x 须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-2332123321x x2161 29232161≤≤-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-x x x 即 ∴g (x )的定义域为［－21,61］.18.解析：〔１〕设11)(11111)(,1,1,-=∴-=-===x x f t tt t f t x x t 得代入则(x ≠0且x ≠1)〔２〕设f (x )=ax ＋b ，那么f [f (x )]=af (x )＋b =a (ax ＋b )＋b =a 2x ＋ab ＋b =9x ＋843)(23)()(,4233892--=+=∴⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=∴x x f x x f x f b a b ab a 或的解析式为或或 19．解析：〔１〕由y=－x 2＋x ⇒2)21(41--=x y ，∵410,31≤≤∴≤≤y x ．〔２〕可采用别离变量法. 12111-+=-+=x x x y ，∵1,012≠∴≠-y x∴值域为{y|y ≠1且y ∈R.}(此题也可利用反函数来法) 〔３〕令12u x =- (0u ≥)，那么21122x u =-+， 22111(1)1222y u u u =--+=-++， 当0u ≥时，12y ≤，∴函数12y x x =--的值域为1(,]2-∞．20．解析： (1)设f (x )=ax ，g (x )=x b ，a 、b 为比例常数，那么ϕ(x )=f (x )＋g (x )=ax ＋xb 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧==8163318)1(,16)31(b a b a 得ϕϕ，解得⎩⎨⎧==53b a∴ϕ(x )=3x ＋x 5，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) (2)由y =3x ＋x5，得3x 2－yx ＋5=0(x ≠0)∵x ∈R 且x ≠0，∴Δ=y 2－60≥0，∴y ≥215或y ≤－215 ∴ϕ(x ) 的值域为(－∞，－215]∪［215，＋∞) 21．解析：当P 在AB 上运动时，y =x ，0≤x ≤1，当P 在BC 上运动时，y =2)1(1-+x ，1＜x ≤2 当P 在CD 上运动时，y =2)3(1x -+，2＜x ≤3 当P 在DA 上运动时，y =4－x ，3＜x ≤4∴y =()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-+≤<-+≤≤43432)3(121 )1(11022x x x x x x x x ∴f (25)=2522．解析：(1)P ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧∈∈-∈∈∈∈+*]16,10[ 240*]10,5[20*[0,5)210N N N t t t t t t t t 且且且 (2)因每件销售利润＝售价－进价，即L ＝P －Q故有：当t ∈[0，5)且t ∈N *时，L ＝10＋2t ＋0.125(t －8)2－12＝81t 2＋6 即，当t ＝5时，L max当t ∈[5，10)时t ∈N *时，Lt 2－2t ＋16 即t ＝5时，L max当t ∈[10，16]时，Lt 2－4t ＋36 即t ＝10时，L max由以上得，该服装第5周每件销售利润L 最大.。
高一数学函数知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高考数学知识点解析映射与函数的关系高考数学知识点解析：映射与函数的关系在高考数学中，映射与函数是非常重要的概念，理解它们之间的关系对于解决相关问题至关重要。
首先，咱们来聊聊什么是映射。
映射就像是一个“对应规则”，它把一个集合中的元素与另一个集合中的元素对应起来。
比如说，有集合A 和集合 B，通过某种规则，集合 A 中的每一个元素都能在集合B 中找到唯一对应的元素，这就是映射。
那函数又是什么呢？函数其实是一种特殊的映射。
它特殊在哪里呢？函数要求集合 A（通常称为定义域）中的每一个元素，在集合 B（通常称为值域）中都有唯一确定的元素与之对应。
为了更清楚地理解，咱们来看几个例子。
假设集合A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛4, 5, 6}。
如果我们规定映射规则是：1 对应 4，2 对应 5，3 对应 6，那么这就是一个映射。
但如果规定 1 对应4 和 5，那就不是函数了，因为 1 对应的元素不唯一。
再比如，我们有一个函数 f(x) ＝ 2x，当 x 取 1 时，f(1) ＝ 2；当 x取 2 时，f(2) ＝ 4。
对于定义域中的每一个 x，都有唯一确定的 f(x)与之对应，这就是函数的特点。
从定义上看，函数是映射的一种，但映射不一定是函数。
可以说函数是“规矩”的映射，必须满足每一个输入都有唯一的输出。
映射和函数在数学中的应用非常广泛。
在解决实际问题时，我们常常需要建立映射或函数关系来描述事物之间的联系。
比如在物理学中，路程和时间的关系可以用函数 s ＝ vt 来表示（其中 s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间）。
通过这个函数，我们可以根据给定的速度和时间计算出路程，或者已知路程和时间求出速度。
在经济学中，成本和产量之间的关系、收益和销售量之间的关系等也常常可以用函数来描述。
对于高考来说，掌握映射与函数的关系，能够帮助我们更好地解决各种类型的题目。
比如在求函数的定义域和值域时，就需要清楚函数的定义和映射的规则。
人教版高一数学必修一各章知识点总结一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。
（2）集合与元素的关系用符号=表示。
（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集、实数集。
（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。
（5）空集是指不含任何元素的集合。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：二、函数的三要素：相同函数的判断方法：①对应法则；②定义域(两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：（2）函数定义域的求法：①含参问题的定义域要分类讨论；②对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。
（3）函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
三、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）导数法（适用于多项式函数）复合函数法和图像法。
应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。
f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。
高中数学知识点：函数、映射的概念1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数f （x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
数学必修一知识点总结一、函数与映射1. 函数的概念- 定义- 函数的表示方法- 函数的组成：定义域、值域、对应关系2. 映射的概念- 映射与函数的关系- 映射的图示方法二、函数的性质1. 单调性- 单调递增函数- 单调递减函数2. 奇偶性- 奇函数- 偶函数3. 反函数- 反函数的概念- 反函数的存在条件- 反函数的求法三、基本初等函数1. 幂函数- 定义- 常见幂函数的性质2. 指数函数- 定义- 常见指数函数的性质3. 对数函数- 定义- 常见对数函数的性质4. 三角函数- 正弦函数- 余弦函数- 正切函数- 基本三角恒等式四、函数的应用1. 实际问题中的函数建模- 生活中的函数应用实例2. 函数的最值问题- 函数的最大值和最小值 - 极值存在的条件3. 函数的图像变换- 平移变换- 伸缩变换- 对称变换五、集合与常用数学符号1. 集合的概念- 集合的定义- 集合的表示方法2. 集合间的关系- 子集、并集、交集、补集3. 常用数学符号- 集合的运算符号- 函数的符号表示六、数学语言与表达式1. 精确与严谨的数学语言2. 数学表达式的书写规则3. 数学证明的基本方法- 直接证明- 间接证明七、数学思维与问题解决1. 数学归纳法- 原理- 应用2. 数学建模- 数学建模的过程- 数学建模的实例分析3. 逻辑推理- 逻辑推理的基本概念- 逻辑推理在数学中的应用请将以上内容复制到Word文档中，并根据需要进行编辑和格式化。
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高一数学函数知识点汇总自学能力的提高也是一个人生活的需要，他从一个方面也代表了一个人的素养，人的一生只有18---24年时间是有导师的学习，其后半生，最精彩的人生是人在一生学习，靠的自学最终达到了自强。
接下来小编为大家整理了高一数学学习的内容，一起来看看吧!高一数学函数知识点汇总(一)、映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念，应注意如下几点：(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.(二)、函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.(三)、函数的值域与最值1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.(四)、函数的奇偶性1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。
高一数学函数知识点总结归纳【（一）、映射、函数、反函数】1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念，应注意如下几点：（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.（3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的复合函数，其中g（x）为内函数，f（u）为外函数.3、求函数y=f（x）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;（2）由y=f（x）的解析式求出x=f-1（y）;（3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1（x），并注明定义域.注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.②熟悉的应用，求f-1（x0）的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.【（二）、函数的解析式与定义域】1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）.（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f[g（x）]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f（x）的定义域，即g（x）的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况（1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.（2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.（3）若题设给出复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法求函数f（x）的表达式，这时必须求出g（x）的值域，这相当于求函数的定义域.（4）若已知f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是未知量外，还出现其他未知量（如f（-x），等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f（x）的表达式.【（三）、函数的值域与最值】1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.（3）反函数法：利用函数f（x）与其反函数f-1（x）的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如（a≠0）的函数值域可采用此法求得.（4）配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.（6）判别式法：把y=f（x）变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.（7）利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上（或某个定义域的子集上）的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.（8）数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是（0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是（-∞，-2]∪[2，+∞），但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积（体积）（最小）”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.【（四）、函数的奇偶性】1、函数的奇偶性的定义：对于函数f（x），如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x）（或f（-x）=f（x）），那么函数f（x）就叫做奇函数（或偶函数）.正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要不充分条件;（2）f（x）=-f（x）或f（-x）=f（x）是定义域上的恒等式.（奇偶性是函数定义域上的整体性质）.2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。
高一必修三数学知识点笔记梳理一、函数、映射与集合：1.映射：-定义：对于集合A和B，若存在一种对应关系使得A中的每个元素都对应B中唯一的元素，则称这种对应关系为映射。
(记作f：A→B) -函数：是一种特殊的映射，其中A和B是数集。
-定义域：映射f中所有可能输入的取值构成的集合。
-值域：映射f中所有可能输出的取值构成的集合。
-图像：映射f中元素a在B中对应的元素。
-逆映射：若映射f满足f(a)=b,则称映射表示的逆映射为a的逆映射。
2.二次函数：- 定义：形如y=ax²+bx+c (a≠0) 的函数称为二次函数。
-概念：顶点、对称轴、焦点、准线、极值等。
-二次函数图像的性质与变化规律。
3.对数和指数函数：- 对数函数：y=logₐ(x)，其中a>0且a≠1-指数函数：y=aˣ，其中a>0且a≠1-自然对数函数与指数函数eˣ的性质与变化规律。
-对数函数和指数函数的图像特征及性质。
二、三角函数与解三角形：1.单位圆与三角函数：-弧度与角度的转换。
-正弦、余弦、正切等三角函数的定义。
-三角函数在单位圆上的性质与变化规律。
2.三角函数的诱导公式：-正弦、余弦、正切等三角函数的诱导公式。
-三角函数的周期性特征。
3.三角函数的图像性质与变化规律：-正弦、余弦、正切等三角函数的图像特征。
-三角函数的图像变换及其规律。
4.解三角形的基本思路：-三角形三边及对应角间的关系。
-利用正弦定理和余弦定理解决三角形问题。
-利用海伦公式解决三角形面积问题。
三、数列与数学归纳法：1.数列的概念与表示方法：-数列：按照一定规律排列的数的集合。
-通项：数列中第n项的公式。
-数列的前n项和与前n项积的公式。
2.数列的常用性质与判定：-等差数列与等比数列的定义与属性。
-斐波那契数列及其性质与变化规律。
-数列极限的定义及判定。
3.数学归纳法：-数学归纳法的基本思路与步骤。
-利用数学归纳法证明数列中的性质及定理。
四、指数与对数方程：1.指数方程：-指数方程的定义及求解方法。
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：5、映射与函数一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．下列对应是从集合A 到集合B 的映射的是 （ ）A ．A =R ，B ={x |x ＞0且x ∈R}，x ∈A ，f ：x →|x | B ．A =N ，B =N ＋，x ∈A ，f ：x →|x －1|C ．A ={x |x ＞0且x ∈R}，B =R ，x ∈A ，f ：x →x 2D ．A =Q ，B =Q ，f ：x →x1 2．已知映射f :A B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是 （ ） A ．4B ．5C ．6D ．73．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．在x 克a %的盐水中，加入y 克b %的盐水，浓度变成c %(a ,b >0,a ≠b )，则x 与y 的函数关系式是（ ）A ．y =b c ac --x B ．y =c b ac --x C ．y =c b ca --xD ．y =ac c b --x5．函数y=3232+-x x 的值域是（ ）A ．(－∞，－1 )∪(－1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，0 )∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)6．下列各组中，函数f (x )和g(x )的图象相同的是（ ）A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2B ．f (x )=1，g(x )=x 0C ．f (x )=|x |，g(x )=2xD ．f (x )=|x |，g(x )=⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈)0,(,),0(,x x x x7．函数y =1122---x x 的定义域为（ ）A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≤－1或x ≥1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{－1，1}8．已知函数f (x )的定义域为［0，1］，则f (x 2)的定义域为（ ）A ．(－1，0)B ．[－1，1]C ．(0，1)D ．［0，1］9．设函数f (x )对任意x 、y 满足f (x ＋y )=f (x )＋f (y )，且f (2)=4，则f (－1)的值为（ ）A ．－2B ．±21C ．±1D ．210．函数y=2－x x 42+-的值域是 （ ）A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[0，2]D ．[－2，2]11．若函数y=x 2—x —4的定义域为[0，m ]，值域为[254-，-4]，则m 的取值范围是（ ） A ．(]4,0 B ．[23，4] C ．[23 ，3] D ．[23，＋∞]12．已知函数f (x ＋1)=x ＋1，则函数f (x )的解析式为（ ）A ．f (x )=x 2B ．f (x )=x 2＋1(x ≥1) D ．f (x )=x 2－2x ＋2(x ≥1)C ．f (x )=x 2－2x (x ≥1)二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）13．己知集合A ={1，2，3，k } ，B = {4，7，a 4，a 2＋3a }，且a ∈N*，x ∈A ，y ∈B ，使B中元素y =3x ＋1和A 中的元素x 对应，则a =___，k =__.14．若集合M={－1，0，1} ，N={－2，－1，0，1，2}，从M 到N 的映射满足：对每个x ∈M ，恒使x ＋f (x) 是偶数， 则映射f 有____个. 15．设f (x －1)=3x －1，则f (x )=_________.16．已知函数f (x )=x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f (3)之间的大小关系为.三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．（1）若函数y = f (2x ＋1)的定义域为[ 1，2 ]，求f (x )的定义域.（2）已知函数f (x )的定义域为［－21，23］，求函数g (x )=f (3x )＋f (3x)的定义域. 18．（1）已f (x 1)=xx-1，求f (x )的解析式. （2）已知y =f (x )是一次函数，且有f [f (x )]=9x ＋8，求此一次函数的解析式. 19．求下列函数的值域：（1）y =－x 2＋x ，x ∈[1，3 ] （2）y =11-+x x（3）y x =20．已知函数ϕ(x)=f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且ϕ(31)=16，ϕ(1)=8．（1）求ϕ(x)的解析式，并指出定义域；（2）求ϕ(x)的值域.21．如图，动点P从单位正方形ABCD顶点A开始，顺次经B、C、D绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA之长时，求y关于x的解析式，并求f(25)的值.22．季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.（1）试建立价格P与周次t之间的函数关系式.（2）若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0，16]，t∈N*，试问该服装第几周每件销售利润L最大?参考答案一、选择题：CACBB CDBAC CC二、填空题：13.a=2，k=5，14.12 ，15.3x＋2，16.f(1)＜f(3)＜f(－1)三、解答题：17.解析：（１）f(2x＋1)的定义域为[1，2]是指x的取值范围是[1，2]，)(,5123,422,21xfxxx∴≤+≤∴≤≤∴≤≤的定义域为[3，5]（２）∵f(x)定义域是［－21，23］∴g(x)中的x须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-2332123321xx2161 29232161≤≤-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-x x x 即∴g (x )的定义域为［－21,61］.18.解析：（１）设11)(11111)(,1,1,-=∴-=-===x x f t tt t f t x x t 得代入则(x ≠0且x ≠1)（２）设f (x )=ax ＋b ，则f [f (x )]=af (x )＋b =a (ax ＋b )＋b =a 2x ＋ab ＋b =9x ＋843)(23)()(,4233892--=+=∴⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=∴x x f x x f x f b a b ab a 或的解析式为或或 19．解析：（１）由y=－x 2＋x ⇒2)21(41--=x y ，∵410,31≤≤∴≤≤y x ．（２）可采用分离变量法. 12111-+=-+=x x x y ，∵1,012≠∴≠-y x∴值域为{y|y ≠1且y ∈R.}(此题也可利用反函数来法) （３）令12u x =- (0u ≥)，则21122x u =-+， 22111(1)1222y u u u =--+=-++，当0u ≥时，12y ≤，∴函数12y x x =--的值域为1(,]2-∞．20．解析： (1)设f (x )=ax ，g (x )=x b ，a 、b 为比例常数，则ϕ(x )=f (x )＋g (x )=ax ＋xb由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧==8163318)1(,16)31(b a b a 得ϕϕ，解得⎩⎨⎧==53b a∴ϕ(x )=3x ＋x 5，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) (2)由y =3x ＋x5，得3x 2－yx ＋5=0(x ≠0)∵x ∈R 且x ≠0，∴Δ=y 2－60≥0，∴y ≥215或y ≤－215 ∴ϕ(x ) 的值域为(－∞，－215]∪［215，＋∞) 21．解析：当P 在AB 上运动时，y =x ，0≤x ≤1，当P 在BC 上运动时，y =2)1(1-+x ，1＜x ≤2 当P 在CD 上运动时，y =2)3(1x -+，2＜x ≤3 当P 在DA 上运动时，y =4－x ，3＜x ≤4∴y =()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-+≤<-+≤≤43432)3(121 )1(11022x x x x x x x x ∴f (25)=2522．解析：(1)P ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧∈∈-∈∈∈∈+*]16,10[ 240*]10,5[20*[0,5)210N N N t t t t t t t t 且且且 (2)因每件销售利润＝售价－进价，即L ＝P －Q故有：当t ∈[0，5)且t ∈N *时，L ＝10＋2t ＋0.125(t －8)2－12＝81t 2＋6 即，当t ＝5时，L max ＝9.125当t ∈[5，10)时t ∈N *时，L ＝0.125t 2－2t ＋16 即t ＝5时，L max ＝9.125当t ∈[10，16]时，L ＝0.125t 2－4t ＋36 即t ＝10时，L max ＝8.5由以上得，该服装第5周每件销售利润L 最大.。
