《1.2.1 对应、映射和函数》教案新部编本

1.2 函数的概念和性质 1.2.1 对应、映射和函数一、对应与映射的概念（一）映射的概念（1）先看几个对应的例子：两个集合A 、B 之间的一些确定的对应关系：（2）一般地，设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一．．．．确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从．集合．．A 到集合．．．B 的．一个映射．．．．（．mapp ．．．．ing．．．）．。

记作“:f A B →”。

其中A 为映射的定义域．．．．．．．。

若,a A b B ∈∈，元素a 与元素b 对应，即:()f a b f a →=，则称元素b 叫做元素a 的象．，元素a 叫做元素b 的原象．．。

A 中所有元素的象构成的集合C 叫做象．集合．．，则C B ⊆。

（注意B 不能为C 的真子集，否则不能形成映射） 说明：①映射的概念可以概括为“取元任意性、成象唯一性．．．．．．．．．．．”； ②映射的三要素：原象、象、对应关系； ③A 中元素不可剩，B 中元素可剩； ④多对一行，一对多不行；⑤映射具有方向性：:f A B →与:f B A →一般是不同的映射。

其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字、符号等叙述。

⑥*一一映射：设:f A B →是集合A 到集合B 的映射，若对集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，且B 中的每一个元素都有原象，则称这种映射叫一一映射。

例1.下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）{}{},(,),A P P B x y x R y R ==∈∈是平面直角坐标系中的点，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（2）,A x x B x x ==是重庆一中的班级是重庆一中的学生，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生。

（3）{}{},A x x B y y ==是三角形是圆，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）{}{},A x x B y y ==是圆是三角形，对应关系f ：y 是x 的内接三角形；（5）5,,:A Z B Q f x y x==→=；（6）{}{}12,13A x x B y y =≤≤=≤≤，对应关系2:f x y x →=。

课题：§1.2.1函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：3.4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P 20例1解：（略）说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P 22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P 21例2解：（略）说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

《1.2.1 对应、映射和函数》教案【教学重难点】1.了解映射、一一映射的概念；2.初步了解映射与函数间的关系；3.会判定一些对应关系是不是映射、一一映射．【教学过程】通过对教材上实例的研究，引入映射的概念. 通过映射与函数的对比，加深对函数概念的理解，进一步体会特殊与一般的辩证关系.填一填：知识要点、记下疑难点1.映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．2.映射的定义域、值域集合A到B的映射f可记为f：A→B或x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．3.一一映射的概念如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.4.函数与映射的关系由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，特殊在构成函数的两个集合A、B必须是数集.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]大家想一想，如果我们都没有名字了，这个世界将会怎样？一个人可以有小名，有笔名，有外号，有学名，是一人多名，也可能是多人一名，但为了便于管理，政府部门规定，每人只能有一个法定的名字，这样，每个人都有了唯一确定的身份证上的名字，人与名字的关系是居民集合到声音符号集合的一种确定的对应．在数学里，把这种集合到集合的确定性的对应说成映射．探究点一映射的概念及应用问题1初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例，你能举出几个？答：对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应．问题2某个数学学习小组共有5个成员，一次数学测试，他们各自取得的成绩(分)如下表所示：姓名李小平高英木田萍萍范江鲁智成绩/分100 98 89 95 98答：5名同学构成一个集合A，成绩构成另一个集合B.这样对集合A中的每一名同学，在集合B中都有唯一的成绩与之对应．问题3数轴上的点集与实数集R，通过怎样的法则构成一种对应？答：数轴上任一点P，对应唯一实数x，使|x|等于点P到原点O的距离．当点P在数轴的正半轴上时，取x>0；当点P在数轴的负半轴上时，取x<0；当P为数轴的原点时，取x＝0.问题4函数关系实质上是两个集合之间的一种对应关系，这两个集合有什么特点？答：两个集合是非空数集．问题5函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的两集合中的元素之间的对应关系，即映射．你能给映射下个定义吗？答：设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．小结：集合A到B的映射f可记为f：A→B或x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．问题6映射与函数存在怎样的关系？答：映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，特殊在构成函数的两个集合是数集．例1在下面的图(1)(2)(3)中，用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，试判断由A到B是不是映射？是不是函数关系？解： 由于图(1)(2)(3)中的对应关系，都满足对于A 中任一元素，按照图中所示的对应法则，在B 中都有唯一的元素与之对应，所以图(1)(2)(3)中的对应都是由A 到B 的映射，又因三个图中的集合A 、B 都是数集， 所以它们也都是函数关系．小结： 判断对应是否是集合A 到集合B 的映射，首先应看A 中的每一个元素是否都在B 中有且有唯一的象，对于映射f ：A→B ，A 中元素与B 中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．跟踪训练1 以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？(1)集合A ＝{P|P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y)|x ∈R ，y ∈R}，对应法则f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(2)集合A ＝{x|x 是三角形}，集合B ＝{x|x 是圆}，对应法则f ：每一个三角形都对应它的内切圆；(3)集合A ＝{x|x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x|x 是新华中学的学生}，对应法则f ：每一个班级都对应班里的学生．解：(1)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f ：A→B 是从集合A 到集合B 的一个映射． (2)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f ：A→B 是从集合A 到集合B 的一个映射．(3)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个， 所以这个对应f ：A→B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．例2 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y)|x ，y ∈R}，f ：A→B 是从A 到B 的映射，f ：x→(x ＋1，x 2＋1)，求A 中元素2的象和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54的原象．解： A 中元素2在B 中的象为(2＋1,3)． 由⎩⎨⎧x ＋1＝32x 2＋1＝54，得x ＝12. ∴B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54的原象是12. 小结： 如果已知f ：A→B 是映射，若已知A 中的元素求它在B 中的象，直接按照对应法则代入求出即可；若已知B 中的元素，求它在A 中的原象，可以利用对应法则列出方程组求解．跟踪训练2 已知f ：A→B 是映射，且f ：(x ，y)→(x ＋y ，xy)，则(－2,3)在f 作用下对应B 中的元素是________，则________________在f 作用下对应B 中的元素是(2，－3)．解析： (1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3； ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，xy ＝－6.即B 中的元素为(1，－6)．(2)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，xy ＝－3； 解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.即所求结果为(－1,3)或(3，－1)．探究点二 一 一 映射的概念问题1 根据映射的定义，说出在探究点一的问题2、问题3中，是什么集合到什么集合的映射？答： 在问题2中，是“5名同学构成的集合”到“5名同学的数学测试成绩构成的集合”的映射；在问题3中，是“数轴上的点集”到“实数集R”的映射．问题2 对于“数轴上的点集”到“实数集R”的映射，除满足对于点集中的任意一个点在R 中都有唯一的实数与之对应外，还同时满足对于R 中任意一个实数在点集中也有唯一的点与之对应，我们称这个映射为一一映射．那么，如何定义一一映射？答： 如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任何一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射．例3 已知A ＝{1,2,3，m}，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n}，且n ∈N ＋，f ：x→y ＝px ＋q 是从A 到B 的一个一一映射，已知1的象是4,7的原象是2，求p ，q ，m ，n 的值． 解： ∵1的象是4,7的原象是2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝4，2p ＋q ＝7， ∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝1.∴y ＝3x ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 4＝3×3＋1n 2＋3n ＝3m ＋1，得n 4＝10舍去． 或⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋3n ＝3×3＋1，n 4＝3m ＋1； 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝2.所以p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.小结：判断一个对应是不是一一映射，看是否同时满足两个条件：集合A中的元素在集合B中有且有唯一的象，集合B中的元素在集合A中有且有唯一的原象．跟踪训练3下列映射是不是A到B上的一一映射？为什么？解：(1)是A到B上的一一映射，因为(1)满足一一映射的定义；(2)不是A到B上的一一映射，因为集合B中元素1在集合A中没有原象.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()解析：选项A中元素1在B中有2个象，故A错；选项B中元素2没有象对应，故B错；选项C的错与选项A相同；只有D符合映射的定义．答案 D2.已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素是A 中元素在映射f：A→B下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是()A．4 B．5 C．6 D．7解析：由条件知，集合B中有元素1,2,3,4共4个．故选A.3.设集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,9,25,49,81,100}，下面的对应法则f能构成A到B 的映射的是()A．f：x→(2x－1)2B．f：x→(2x－3)2C．f：x→x2－2x－1D．f：x→(x－1)2解析：由x分别取2,4,6,8,10时，(x－1)2分别为1,9,25,49,81，故答案为D.4.集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．解析：由于要求f(3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．课堂小结：1.判断对应是否是集合A到集合B的映射，首先应看A中的每一个元素是否都在B 中有且有唯一的象，对于映射f：A→B，A中元素与B中元素的对应关系，可以是一对一，多对一，但不能一对多．2.函数、映射与对应的关系可用下面的图形形象的表示。

1.2.1 映射的概念教学目标： 1．知识与技能了解映射的概念，掌握象、原象等概念及其简单应用。

2．过程与方法学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

3．情感、态度与价值观树立数学应用的观点，培养学习良好的思维品质。

教学重点：映射的概念。

教学难点：映射的概念。

教学过程： 一、复习引入：1、在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答） ①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系 ②对任意实数a ，数轴上都有唯一的一点A 与此相对应③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应 2、函数的概念本节我们将学习一种特殊的对应—映射。

二、讲解新课：看下面的例子：设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集求平方B B说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A 中的任何一个元素，在右边集合B 中都有唯一的元素和它对应映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射 记作：B A f →:象、原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈,，如果元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调） ①“A 到B ”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射,A 到B 是求平方，B 到A 则是开平方，因此映射是有序的； ②“任一”：就是说对集合A 中任何一个元素，集合B 中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B 中”：也就是说A 中元素的象必在集合B 中，这是映射的封闭性. 指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A 到集合B 的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一 思考：（1）为什么不是集合A 到集合B 的映射？ 回答：对于（1），在集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A 到集合B 的映射思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射? 一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射 辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A 的每一个元素在集合B 中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A 的任一元素在集合B 中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A 的任一元素的象都必须是B 中的元素，不要求B 中的每一个元素都有原象，即A 中元素的象集是B 的子集.映射三要素：集合A 、B 以及对应法则f ，缺一不可； 三、例题讲解例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？a eb fc gd (是) （不是） 例2下列各组映射是否同一映射？a e e eb b fc c g 例3A （1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则12:+→x x f（2）设}1,0{,*==B N A ，对应法则得的余数除以2:x x f →（3）N A =，}2,1,0{=B ，除所得的余数被3:x x f →（4）设}41,31,21,1{},4,3,2,1{==Y X 取倒数x x f →: （5）N B N x x x A =∈>=},,2|{，的最大质数小于x x f →:四、练习：1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A 中的元素x 按照对应法则“乘2加1”和集合B 中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）2．设A=N*，B={0，1}，集合A 中的元素x 按照对应法则“x 除以2得的余数”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A 中没有象））3．A=Z ，B=N*，集合A 中的元素x 按照对应法则“求绝对值”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A 中的元素x 按照对应法则“f ：a τ b=(a -1)2”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）5．在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法哪一个是正确的？ （A ）B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个；（B ）A 中的某一个元素a 的象可能不止一个（C ）A 中的两个不同元素所对应的象必不相同； （D ）B 中的两个不同元素的原象可能相同 6．下面哪一个说法正确？（A ）对于任意两个集合A 与B ，都可以建立一个从集合A 到集合B 的映射 （B ）对于两个无限集合A 与B ，一定不能建立一个从集合A 到集合B 的映射（C ）如果集合A 中只有一个元素，B 为任一非空集合，那么从集合A 到集合B 只能建立一个映射（D ）如果集合B 只有一个元素，A 为任一非空集合，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射7．集合A=N ，B={m|m=1212+-n n ,n ∈N}，f ：x →y=1212+-x x ，x ∈A ，y ∈B.请计算在f 作用下，象119，1311的原象分别是多少.( 5，6 )。

对应、映射与函数教学目标：掌握映射的相关概念，会判断一个对应是不是映射，理解函数的相关概念，领会函数的三要素，会求简单函数的定义域、值域，会求函数的值重、难点：对映射、函数概念的理解是本节的重点，也是难点所在教学过程：映射一、 设置情境，引入新课大家想一想，如果我们都没有名字了，这个世界将会怎样？实际上，所谓名字，不过是事物集合和声音符号之间的一种对应。

一般地，一件事物可能有几个名字，几件事物也可能有相同名字，一个人可以有小名，有笔名，有外号，有学名，是一人多名，也可能是多人一名，但为了便于管理，政府部门规定，每人只能有一个法定的名字，这样，每个人都有了唯一确定的正式名字，法定的名字，是居民集合到声音符号集合的一种确定的对应。

在数学里，把这种集合到集合的确定性的对应说成映射映射定义：设A,B 是两个非空．．的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个．．．．元素，在集合B 中都有唯一．．元素与之对应，这样的对应叫作从集合A 到．集合B 的映射，记作：B A f →: (注：A 中元素必须取完，B 中元素可以取完，也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多;注意关健词)在映射B A f →:中，集合A 叫作映射的定义域，与A 中元素x 对应的B 中元素y 叫x 的象，记作：)(x f y =，x 叫做y 的原象。

二、 例题选讲：例1、回答下列问题：（1）、判断图中所表示的集合A 和集合B 间的对应关系中，哪个是从集合A 到集合B 的映射，哪个不是？求平方BA 图3求算术平方根开平方B A B A 图2图1（2）、已知A=Q B=Q :,,f B c A b a ∈∈、a+b=c ，这种运算可不可以看成从A 到B 的一种映射？如果是，映射的定义域是什么集合？（3）、A={三角形} B ＝R + 对应法则为求三角形面积，则这种对应是不是从A 到B 的映射？（4）、A={平面内的圆}，B ＝｛平面内的三角形｝，对应法则,:f 作圆的内接三角形，，则这种对应是不是从A 到B 的映射？反之对应法则为:f 作三角形的外接圆，是不是从B 到A 的映射呢？（5）、A=N,B={-1,1},x x f )1(:-→对应法则，是不是从A 到B 的映射呢？（6）、A=R,B=R,对应法则xx f 1:→，则这种对应是不是从A 到B 的映射？ 例2、已知A={21,a a }，B={21,b b }，则从A 到B 的映射为多少种？例3、（1）从R 到R +的映射1||:+=→x y x f ，则R 中的-1在R +中的象是（2）、给定映射),(),(y x y x y x f -+→，则点（1,2）在f 下的象是 点（1,2）的原象是（3）、21,12:2+--→则x x x f 的象是 ，0的原象是 ，-6的原象是 小结：作业：函数一、 复习回顾，新课引入:什么叫映射，什么叫象与原象？怎样判断一个对应是不是映射？初中的函数概念是怎样的？你能不能用映射的定义来定义函数呢？二、 新知讲解：对照映射的定义，就能看出，函数就是数集到数集的映射。

1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念教学目标分析：知识目标：理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的三要素。

过程与方法：1、通过丰富实例，建立函数概念的背景，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

2、体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

情感目标：通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象思维能力。

重难点分析：重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。

难点：函数概念及符号的理解。

互动探究：一、课堂探究： 1、复习引人探究一、初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与它对应，则称x 是自变量，y 是x 的函数；其中自变量x 的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 的值叫做函数的值域。

探究二、（1）1y =是函数吗？（2）y x =与2x y x=是同一个函数吗？显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。

因此，需要从新的高度认识函数。

请同学们学习教材第15页引例1，做出高度h 的函数图像，并尝试用集合语言描述两个变量之间的依赖关系？引例1、（炮弹发射）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标。

炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：25130t t h -=（*）。

炮弹飞行时间t 的变化范围是数集A = {t |0 ≤ t ≤ 26}，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集B = {h | 0 ≤ h ≤ 845}。

从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有惟一的高度h 和它对应。

引例2、（南极臭氧空洞）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979 ~ 2001年的变化情况：根据可图中的曲线可知，时间t 的变化范围是数集A = {t | 1979 ≤ t ≤ 2001}，臭氧层空洞面积S 的变化范围是数集B = {S |0 ≤ S ≤26}。

《1.2.1 函数的概念（第1课时）》教学设计一.教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型. 本节《2.1.1函数的概念》是人教A 版高中数学必修1《2.1函数及其表示》的第一课时. 在初中，学生所学的函数概念只是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量间的依赖关系. 在后来，人们逐渐认识到了变量的取值范围（即高中函数概念中的定义域与值域）的重要性. 而初中函数的概念，导致了深入解析变量及其变量间的依赖关系有了局限性，倘若仅仅依靠变量的观点，那么有些函数的研究就难以做到深入浅出. 譬如：⎩⎨⎧=.01)(为无理数时，当为有理数时，，当x x x f 对于该函数，如果只用变量的观点来解释，会显得勉强粗糙，也难以道明x 的物理意义. 然而，使用集合与对应的语言来刻画的话，就非常自然、顺畅.另外，函数是中学数学中最重要的概念之一，其思想与方法更是贯穿整个高中数学内容的始终. 它不仅对前面第一章所学的集合作了巩固、发展以及延拓，更重要的是学好后续知识的基础与工具. 由于它这种承上启下的作用，函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、平面向量、解析几何、导数等内容联系密切，渗透交叉. 总而言之，函数知识在现实生活、社会、经济、军事等学科中有着广泛的应用. 本节课将使用集合与对应语言进一步刻画函数的概念，让学生感知建立函数模型的过程与方法，引导学生探知客观世界变化规律的本质. 为此，本课时设计设定的教学重点是：函数概念的形成.二.学生学情分析尽管函数比较抽象，但在学习通过集合与对应语言刻画函数之前，学生已经掌握了函数是变量间的依赖关系，同时也初步具备了生活中函数实例的基本经验，能简单运算有关一次函数、二次函数以及反比例函数模型的问题，加之函数现象本来就是源于生活，高于生活. 同时，这一学年段的学生普遍思维活跃、求知探索欲强、自我表现欲望强，这些因素都为本节课的学习提供了一定的非认知基础.教材选用了运动、自然界、经济生活的实例进行分析，然后从实例中抽象概括出集合与对应语言来定义函数概念，对学生的抽象思维、归纳能力要求甚高，能很好地提高了学生的抽象思维能力与知识应用能力，为基本初等函数的学习打下坚实的理论基础. 据此，本课时设计设定的教学难点是：函数符号)(x f y =的理解，函数概念的整体性认识.三.教学目标1.知识与技能(1)理解函数的概念及其符号表示，能够辨别函数的例证和反例；(2)会求简单函数的定义域、解析式与值域；(3)掌握构成函数的三要素，学会判定两个函数相等，理解函数的整体性.2.过程与方法(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；(2)通过函数概念学习的过程，培养学生从“特殊到一般，再从一般到特殊”的分析问题能力以及抽象概括能力，实现感性认识到理性认识的升华.3.情感态度与价值观通过从实际问题中抽象概括函数的概念，让学生体会现实世界充满变化，感受数学的抽象美、简洁美.四.教学重点与难点1.教学重点：体会函数是重要的数学模型；函数的概念；函数的三要素.2.教学难点：函数符号)y 的理解，函数概念的整体性认识.f(x五.教学策略古人云：“运筹帷幄之中，决胜千里之外. ”良好的教学策略，对教学有着至关重要的促进作用. 依据本节课教学内容、学情实际和教学目标要求，设计以下教学策略：1. 本节课是以“人教版A版(必修1)第二章第一节第一课时”之内容为核心组织教学，并依据学生实际和认知特点对教材内容顺序做了两点调整：一是教材给出函数的定义后，紧接的具体函数分析(一次函数、二次函数以及反比例函数)调整到本节教学的最后，直接通过例子求定义域和理解函数概念的整体性，便于学生深入理解函数的定义. 二是将教材中区间概念内容调整到第二课时，保证函数概念教学的连贯性、整体性和课堂教学的精炼.2. 本节课为概念式教学，依据学生学情分析，为激发、调动学生学习兴趣和主动性，教学中采取情景式引入、问题式教学和探究式启发.3. 针对本节课“函数概念的形成”教学重点，围绕学生函数概念的递进认知为中心进行设计. 具体通过三个实例中变量对应关系的认知及自变量取值范围(定义域)，引导学生递进理解、归纳出函数的概念. 继而设计若干对应关系，通过是否为函数的判断，帮助学生深入分析和理解“并非所有对应关系都是函数”、“一一对应与多对一”、“定义中的关键词(如唯一、确定)”、“三要素及其关系”以及“集合B与值域的关系”等疑难问题. 最后基于集合与函数概念的联系，巩固与夯实对函数概念的理解.4. 针对函数概念的抽象性，教学过程中计划采取自主合作探究式学习策略，建立小组讨论、交流、合作的课堂氛围，激发学生学习和探究的兴趣.5.针对概念学习的连贯性，教学反馈计划通过小组回答问题、作业布置、教师观察等方式进行教学效果的反馈与反思.六.教学基本流程图七.教学过程设计五.实验演示动一动：请将A盒子中的所有小球放入B盒子中.思考：A中的小球和B中的格子都标示有数字：1，2，3，4，可以把A,B看成两个非空数集，那么每一种放法是从A到B的一个函数吗？若是，它的值域是什么？师：启发学生思考每一种方法实质就是一个对应关系，通过对应关系，可以出现多对一，但不可一对多，同时，通过实验结果理解值域是集合B的一个子集.生：小组合作讨论每一种放法是否为从集合A到集合B的一个函数.若是，则求它的值域.师：强调初、高中对函数定义本质是一样的，只是出发点不同，用集合与对应的语言来描述函数可以摆脱物理运动的束缚.通过放小球的实验，将函数概念中：①对应关系f；②函数关系中多对一的情况；③值域是集合B的子集.等较为抽象的问题具体化，形象化，生活化.六.夯实新知例1:拓展实例1，抛开炮弹运动变化的背景，保持集合A和对应关系f不变，分别缩小和扩大集合B，辨析对应关系f是否为从集合A到集合B的函数，若是，值域是什么？集合A，B和对应关系都不变，辨析对应关系f是否为从集合B到集合A的函数.例2: 拓展实例2，抛开臭氧层空洞面积S随时间t的变化的背景，辨析对应关系f是否为从集合A到集合B的函数以及从集合B到集合A的函数.例3: 拓展实例3，抛开恩格尔系数r随时间t的变化的背景，辨析对应关系f是否为从集合A到集合B的函数以及从集合B到集合A的函数.师：启发学生抛开物理运动的背景，利用集合与对应的语言描述函数关系.同时，让学生感受用集合与对应语言描述函数的必要性.并通过实例的拓展强调对应关系的方向.生：结合函数的定义，利用集合与对应的语言描述函数关系，感受用集合与对应语言描述函数的必要性.辨析函数概念，强化值域的定义，感受用集合与对应语言描述函数的必要性，强调对应关系的方向.体现从特殊到一般，再从一般到特殊的推理思想，实现由感性认识到理性认识的升华.附：知识清单：一. 知识梳理1.2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x)，x ∈A ，y ∈B 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B 的子集. (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等. 3.函数的表示方法有：解析法、图象法和列表法. 4.分段函数若一个函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的仍然是一个函数. 5.。