2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.4第1课时两平面平行学案苏教版必修2(含解析)

1.2.1 平面的基本性质1．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)2．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 平面的概念及表示阅读教材P21～P22公理2以上部分内容，完成下列问题．1．概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．图1－2－12．表示(1)图形表示平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图1－2－1)．(2)字母表示平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．3．点、线、面位置关系的符号表示如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，M ∈a ，N ∈b ，且M ∈l ，N ∈l ，那么下列说法正确的是________．(填序号)①l ⊂α；②l ⊄α；③l ∩α＝M ；④l ∩α＝N . 【解析】 ∵M ∈a ，N ∈b ，a ⊂α，b ⊂α，∴M ∈α，N ∈α.而M ，N 确定直线l ，根据公理1可知l ⊂α.故填①. 【答案】 ①教材整理2 平面的基本性质 阅读教材P 21～P 23，完成下列问题． 1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α.(2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l .(3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 2．平面的基本性质的推论(1)推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． (2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． (3)推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．1．如图1－2－2所示，用符号可表达为________．图1－2－2【解析】 由题图可知平面α与平面β相交于直线m ，且直线n 在平面α内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A.【答案】α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A2．下列说法正确的是________．(填序号)①三点可以确定一个平面；②一条直线和一个点可以确定一个平面；③四边形是平面图形；④两条相交直线可以确定一个平面．【解析】①错误，不共线的三点可以确定一个平面．②错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．③错误，四边形不一定是平面图形．④正确，两条相交直线可以确定一个平面．【答案】④[小组合作型]三种语言的转换(1)如图1－2－3，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．①②图1－2－3(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC”，并画出图形．【精彩点拨】根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化．【自主解答】(1)①α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，l∥m.②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩γ＝O.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示：1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[再练一题]1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．(1) (2)图1－2－4图(1)可以用几何符号表示为________________．图(2)可以用几何符号表示为________________．【答案】(1)α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB，a∥b(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A∉l，B∉l点线共面问题已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．【精彩点拨】【自主解答】如图．法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线l⊂α.∴a，b，l共面．同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内．故a，b，c，l共面．法二：∵a∥b，∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴AB⊂α，即l⊂α.又∵b∥c，∴过b，c确定平面β，而B∈b，C∈c，∴BC⊂β，即l⊂β.∴b，l⊂α，b，l⊂β，而b∩l＝B，∴α与β重合，故a，b，c，l共面．在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．确定一个平面的方法有：①直线和直线外一点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．[再练一题]2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.【导学号：41292016】【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．[探究共研型]共线，共点问题探究1 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？【提示】由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交成一条直线．探究2 如图1－2－5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？图1－2－5【提示】交于一点．证明：连结EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B .又∵A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥D 1C ， ∴E ，F ，D 1，C 四点共面， 且EF ＝12D 1C ，∴D 1F 与CE 相交于点P . 又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD .∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理3，可得P ∈DA ， 即CE ，D 1F ，DA 相交于一点．如图1－2－6所示，在四面体ABCD 中，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，求证：EF ，GH ，BD 交于一点．图1－2－6【精彩点拨】 先证明GH 和EF 共面且交于一点O ，然后说明O 是平面ABD 和平面BCD 的公共点，而平面ABD 和平面BCD 相交于直线BD ，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O 在交线上，即点O 在直线BD 上．从而证明了直线EF ，GH ，BD 都过点O .【自主解答】 ∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点， ∴GE ∥AC ，GE ＝12AC .又DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3， ∴FH ∥AC ，FH ＝25AC .∴FH ∥GE ，FH ≠GE .∴四边形EFHG 是一个梯形，GH 和EF 交于一点O . ∵O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内， ∴O 在这两平面的交线上．而这两个平面的交线是BD ，且交线只有这一条， ∴点O 在直线BD 上． ∴EF ，GH ，BD 交于一点．证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由公理2完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上．[再练一题]3．如图1－2－7，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别在棱AB ，BB 1，CC 1上，且DP ，RQ 相交于点O .求证：O ，B ，C 三点共线．图1－2－7【证明】 如图，可知平面AC ∩平面BC 1＝BC .⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫QR ⊂平面BC 1，O ∈RQ⇒O ∈平面BC 1⎭⎪⎬⎪⎫DP ⊂平面AC ，O ∈DP⇒O ∈平面AC⇒ O 为平面BC 1与平面AC 的公共点又∵平面AC ∩平面BC 1＝BC ， ∴O ∈BC ，即O ，B ，C 三点共线．1．已知点A ，直线a ，平面α，以下命题表述不正确的有________． ①A ∈a ，a ⊄α⇒A ∉α；②A ∈a ，a ∈α⇒A ∈α； ③A ∉a ，a ⊂α⇒A ∉α；④A ∈a ，a ⊂α⇒A ⊂α.【解析】 ①不正确，如a ∩α＝A ；②不正确，∵“a ∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A ∉a ，a ⊂α，但A ∈α；④不正确，“A ⊂α”表述错误．【答案】 ①②③④2．如图1－2－8所示，点A ∈α，B ∉α，C ∉α，则平面ABC 与平面α的交点的个数是________个．图1－2－8【解析】 因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC 与平面α的交点有无数个．【答案】 无数3．空间三条直线a ，b ，c ，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为________个． 【答案】 34．下列图形(如图1－2－9)均表示两个相交平面，其中画法正确的是________.① ② ③ ④图1－2－9【答案】④5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由．【解】设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如图．。

第1课时平行关系的判定［核心必知] 1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系图形语言符号语言直线在平面内aα直线与平面相交a∩α＝A直线与平面平行a∥α2。

直线与平面平行的判定文字语言图形语言符号语言若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行3.文字语言图形语言符号语言如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两平面平行［问题思考]1．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a平行于平面α吗?提示：不一定,因为直线a在平面α内时，与a平行的直线也有无数条．2．对于平面与平面平行的判定定理中,若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定．如图中,平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交．讲一讲1。

如图，在四棱锥P.ABCD中,底面ABCD是矩形,E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD。

[尝试解答］证明：在△PBC中，E,F分别是PB,PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD。

又∵AD平面PAD，EF平面PAD,∴EF∥平面PAD。

1．判断或证明线面平行的方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点（不易操作）；（2）判定定理法：aα,bα，a∥b⇒a∥α；（3)排除法：证明直线与平面不相交,直线也不在平面内．2．证明线线平行的方法（1)利用三角形、梯形中位线的性质；(2)利用平行四边形的性质；(3)利用平行线分线段成比例定理．练一练1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.证明：连接AC交BD于O，连接QO。

∵四边形ABCD是平行四边形,∴O为AC的中点．又Q为PA的中点，∴QO∥PC。

显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，∴PC∥平面BDQ.讲一讲2。

如图所示,正方体ABCD.A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1,C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.［尝试解答] 证明：如图所示，连接MF。

第1课时直线与平面平行1．通过直观感知、操作确认直线与平面的位置关系及线面平行的判定定理．( 重点 ) 2．理解并会证明直线与平面平行的性质定理．( 难点 )3．会用图形语言和符号语言描述直线和平面平行的判定定理和性质定理．( 重点、易错点)[ 基础·初探 ]教材整理 1直线和平面的位置关系阅读教材 P32的内容，完成下列问题．直线和平面的位置关系位置直线 a 在直线 a 与平直线 a 与平关系平面α 内面α 相交面α 平行公共点有无数个有且只有一个没有公共点公共点公共点符号a?αa∩ α＝ A a∥ α表示图形表示判断 ( 正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 若直线l平行于平面α 内的无数条直线，则l ∥ α.(×)(2)若直线 a 在平面α外，则 a∥ α.(×)(3)若直线 a∩ b＝?， b?α，则 a∥α.(×)(4)若直线 a∥平面α，则直线 a 平行于平面α内的无数条直线．(√)教材整理 2 直线与平面平行的判定阅读教材 P33例 1 以上部分内容，完成下列问题．直线与平面平行的判定定理(1)自然语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(2) 图形语言：如图1－ 2－ 34 所示．图 1－2－34a?α(3)符号语言：b?α? a∥ α. a∥ b1．如果直线a∥ b，且 a∥平面α，那么 b 与平面α的位置关系是________．【解析】若 a∥ b，且 a∥平面α，则 b 与平面α的位置关系如图所示．【答案】b∥α或 b?α2．能保证直线 a 与平面α平行的条件是__________(填序号).【导学号： 41292026】(1)b?α， a∥ b；(2)b?α， c∥α， a∥ b， a∥ c；(3)b?α， A， B∈ a， C，D∈ b，且 AC∥ BD；(4)a?α， b?α， a∥ b.【解析】由线面平行的判定定理可知(4) 正确．【答案】(4)教材整理 3直线与平面平行的性质阅读教材 P33例 1 以下部分内容，完成下列问题．直线与平面平行的性质定理(1) 自然语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．图 1－2－35(2) 图形语言：如图1－ 2－ 35 所示．(3)符号语言：l∥ αl?β? l∥m.α ∩ β＝ m1．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则 b 与α的位置关系是________．【答案】相交或平行2．如图 1－ 2－36 所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则 DE与 AB的位置关系是__________．图 1－2－36【解析】∵ ABC－ A1B1C1是三棱柱，∴A1B1∥ AB.又∵ A1B1?平面 ABC，AB?平面 ABC，∴A1B1∥平面 ABC.∵A1B1?平面 A1B1ED，平面 A1B1ED∩平面 ABC＝DE，∴ A1B1∥ DE，∴ DE∥ AB.【答案】平行[ 小组合作型 ]直线与平面的位置关系(1)下列说法中，正确的有 __________ ． ( 填序号 )①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．(2) 下列命题中， a ， b ，l 表示直线， α 表示平面．①若 a ? α ， b ?α ，且 a ， b 不相交，则 a ∥b ；②若 a ? α ， b ? α ， a ∩b ＝ A ， l ?α ，且 l 和 a ， b 均不相交，则 l ∥ α；③若点 A ?a ，则过点 A 可以作无数个平面与 a 平行；④若a 与 α 内的无数条直线不相交，则a ∥α .其中正确的命题有______． ( 把你认为正确的序号都填上)【精彩点拨】【自主解答】利用线面平行的定义，借助图形分析判断．(1) 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面， 所以①错； 如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线， 那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条， 所以②正确；对于③显然错误；而④，也有可能相交，所以也错误．(2) ①错误．如图 (a) ，满足 a ? α ，b ?α ，且 a ， b 不相交，但 a 与 b 不平行．②错误．如图 (b) ，满足 a ? α ， b ? α ， a ∩ b ＝ A ， l ?α ，且 l 和 a ， b 均不相交，但 l与 α 相交．③正确．如图 (c) ，点? ，过点A 可以作无数个平面与 a 平行．A a④错误．当 a 与 α 相交时，也有 a 与 α 内的无数条直线不相交．【答案】(1) ② (2) ③空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内、 直线与平面相交、 直线与平面平行三种．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形， 把要判断关系的直线、 平面放在某些具体的空间图形中， 以便于正确作出判断，避免凭空臆断．[ 再练一题 ]1．下列命题中正确的个数是________个．①若直线 l 上有无数个点不在平面α 内，则 l ∥ α ；②若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点．【解析】①中，l 可与α相交，故①错．②中，α内的直线可能与l 异面，故②错．③中，另一条直线可能在这个平面内，故③错．④中，由l 与α平行的定义知④正确．【答案】 1直线与平面平行的判定定理的应用如图 1－ 2－ 37, M，N分别是底面为矩形的四棱锥P－ ABCD的棱 AB，PC的中点，求证： MN∥平面 PAD.图 1－2－37【精彩点拨】【自主解答】取 PD中点 E，证明 EN綊如图所示，取PD的中点AM.E，连结AE， NE，∵ N是 PC的中点，1∴ EN綊2DC.1又∵ AM綊2CD，∴NE綊 AM.∴四边形 AMNE是平行四边形．∴MN∥AE.又∵ AE?平面 PAD， MN?平面 PAD，∴MN∥平面 PAD.利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．[ 再练一题 ]2．如图 1－ 2－ 38， S 是平行四边形 ABCD 平面外一点， M ，N 分别是 SA ， BD 上的点，且AM DN＝.SM NB图 1－2－38求证： MN ∥平面 SBC .【证明】连结 AN 并延长交 BC 于 P ，连结 SP ，DN AN∵ AD ∥BC ，∴ ＝ ，NB NPAM DN 又∵＝ ，SM NBAM AN ∴＝，∴ MN ∥SP ，SM NP又 MN ?平面 SBC ， SP ? 平面SBC ， ∴ MN ∥平面 SBC .[ 探究共研型 ]线面平行的性质定理的应用探究 1若 a ∥α ， ? α ，那么a 与b 的位置关系是怎样的？ a 与 b 有没有可能平行？b在什么条件下平行？【提示】 a 与 b 平行或异面，当 a ， b 同在一平面内时， a ∥ b .探究 2如图 1－ 2－ 39，若 ∥ ， ? α ， ? α ， α∩ β ＝ ，且 c ∥ .那么 a 与 β ，a b abcab 与 β 是什么关系？图 1－2－39【提示】a∥β， b∥ β.探究 3一个长方体木块如图1－ 2－ 40 所示，要经过平面A1C1内一点P 和棱BC将木块锯开，应该怎样画线？图 1－2－40【提示】在平面A1C1内，过点P 作 EF∥ B1C1，分别交A1B1，C1D1于E，F.连结BE，CF，则 BE， CF和 EF就是所要画的线，如图．四边形 ABCD是平行四边形，点 P 是平面 ABCD外一点， M是 PC的中点，在 DM 上取一点 G，过 G和 AP作平面交平面 BDM于 GH.求证： PA∥ GH.图 1－2－41【精彩点拨】要证线线平行，先证线面平行，再证另一线为过已知直线的平面与已知平面的交线．【自主解答】如图，连结AC交BD于点O，连结MO，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ O 是 AC 的中点．又 M 是 PC 的中点， ∴ AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理，则有PA ∥平面 BMD .∵平面 PAHG ∩平面 BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，∴PA ∥ GH .证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、公理4 常结合起来使用，并常利用下面的关系：线线平行 判定定理――→线面平行性质定理――→ 线线平行．运用线面平行的性质定理时，应寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助平面．[ 再练一题 ]3．如图 1－ 2－ 42，将上例条件改为“已知四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 BDPF也是平行四边形，是线段 PF 的中点．求证： ∥平面.M BM APC图 1－2－42【证明】记 AC 与 BD 的交点为 O ，连结 OP .∵O，M分别为 BD， PF的中点，四边形 BDPF是平行四边形，∴ OB∥MP且 OB＝ MP，∴四边形 OBMP是平行四边形，∴ BM∥OP，∵OP?平面 APC， BM?平面 APC，∴BM∥平面 APC.1．以下说法 ( 其中a，b表示直线，α表示平面 ) 正确的个数为 ________．①若 a∥ b， b?α，则 a∥ α；②若 a∥ α， b∥ α，则 a∥ b；③若 a∥ b， b∥α，则 a∥ α；④若 a∥ α， b?α，则 a∥ b.【答案】02．长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有 ________个 .【导学号： 41292027】【解析】如图，∵ EF∥A1B1，∴EF∥平面 A1B1C1D1.同理 EF∥平面 ABCD，EF∥平面 DD1C1C.【答案】33．在长方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，(1) 与直线 AB 平行的平面是 ________； (2) 与直线 AA 1 平行的平面是 ________；(3) 与直线 AB 1 平行的平面是 ________．【解析】 如图，可知：AB ∥平面 A 1B 1C 1D 1， AB ∥平面 CDD 1C 1；AA 1∥平面 BCC 1B 1， AA 1∥平面 CDD 1C 1；AB 1∥平面 CDD 1C 1.【答案】(1) 平面 A 1B 1C 1D 1，平面 CDD 1C 1 (2) 平面 BCC 1B 1，平面 CDD 1C 1 (3) 平面 CDD 1C 14．直线 ∥平面 α，过 α 内一点 A 的所有直线中与直线a 平行的直线条数为 __________ ．a【解析】 过直线 a 和点 A 的平面与平面 α 有一条交线 l ，只有 l 满足在平面 α 内过点 A 且与 a 平行．【答案】15．正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB ，在 AE ，BD 上各取一点 P ，Q ，且 AP＝DQ .图 1－2－43求证： PQ ∥平面 BCE .【证明】如图所示， 在平面内过 P 作 ∥ 交 BE 于点 ，在平面 内过ABEFPM AB M ABCD点 Q 作 QN ∥ AB 交 BC 于点 N ，连结 MN .PM PE∵ PM ∥AB ，∴ ＝ .AB AE2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.3第1课时直线与平面平行学案苏教版 11 / 11又∵ QN ∥ AB ∥ CD ，QN BQ QN BQ ∴ ＝ ，即 ＝ .DC BD AB BD∵正方形 ABEF 与 ABCD 有公共边 AB ，∴ AE ＝DB .∵ AP ＝DQ ，∴ PE ＝ BQ ，∴ PM ＝ QN .又∵ PM ∥ AB ， QN ∥ AB ，∴ PM ∥QN .∴四边形 PQNM 为平行四边形．∴ PQ ∥MN .又∵ MN ? 平面 BCE ， PQ ?平面 BCE .∴ PQ ∥平面 BCE .。

4空间图形的基本关系与公理【教学目标】1.理解空间中点、线、面的位置关系；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念；3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题；4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．【重点难点】掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题【教法教具】以讲学稿为依托的探究式教学方法,多媒体教学【教学课时】 2课时【教学流程】自主学习（课前完成，含独学和质疑）1．空间点与直线的位置关系(1)如果点P在直线a，记作P∈a.(2)如果点P在直线a，记作P∉a.2．空间点与平面的位置关系(1)如果点P在平面α，记作P∈α.(2)如果点P在平面α，记作P∉α.3．空间两条直线的位置关系(1)平行直线：如果直线a和b在同一个平面内，但没有，这样的两条直线叫作平行直线，记作a∥b.(2)相交直线：如果直线a和b有且只有公共点P，这样的两条直线叫作相交直线，记作a∩b＝P.(3)异面直线：如果直线a和b不同在平面内，这样的两条直线叫作异面直线．4．空间直线与平面的位置关系(1)直线在平面内：如果直线a与平面α有个公共点，我们称直线a在平面α内，记作aα.(2)直线与平面相交：如果直线a与平面α有且只有公共点P，我们称直线a与平面α相交于点P，记作a∩α＝P.(3)直线与平面平行：如果直线a与平面α没有，我们称直线a与平面α平行，记作a∥α.5．空间平面与平面的位置关系(1)平行平面：如果平面α与平面β没有，我们称平面α与平面β是平行平面，记作α∥β.(2)相交平面：如果平面α和平面β不重合，但有，我们称平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β＝l.6．公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．7．公理2经过的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．8．公理3如果两个的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．9．公理2的推论推论1：经过一条直线和这条，有且只有一个平面；推论2：经过两条直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条直线，有且只有一个平面．合作探究：（对学、群学）探究点一空间点、线、面的位置关系导引观察下面三个长方体回答下列问题．思考 1 观察长方体，你能发现长方体有多少个顶点？多少条棱？多少个面？棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？例1 将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示：α∩β＝l，A∈l，ABα，ACβ.跟踪训练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)lα，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α；Q∈l，Q∈α.探究点二空间图形的公理思考1 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？思考2 如何用符号语言表示公理1？公理1有怎样的用途？思考3 生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？思考4 如何用符号语言表示公理2？公理2有怎样的用途？思考5 如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？思考6 如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？思考7 如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？思考8 我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，由此你能总结出怎样的结论？思考9 如何用符号语言表示公理3？公理3有怎样的用途？例2 已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．跟踪训练2 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．探究点三共线问题例3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．【达标拓展】（检测、拓展）1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( )A．C∈αB．C αC．ABαD．AB∩α＝C2．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4 C．5 D．63．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．【学后反思】【练案】一、基础过关1．下列图形中，不一定是平面图形的是( )A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形2．空间中，可以确定一个平面的条件是( )A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形 D．三个点3．如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，nα，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，nα，A m，A nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( ) A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条 D．1条或2条或3条5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．6．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．7.如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．二、能力提升8．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )A．0B．1C．1或4D．无法确定9．空间中A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一平面内，B，D，C，E在同一平面内，那么这五点( )A．共面B．不一定共面C．不共面D．以上都不对10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是________．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβ；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体体对角线A1C交截面AB1D1于点P.求证：O1，P，A三点在同一条直线上．12.已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面．三、探究与拓展13.在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．。