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二次函数与三角函数的关系二次函数与三角函数是高中数学中的两个重要的函数类型，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将探讨二次函数与三角函数之间的关系，分析它们的性质和相互转化的方法。
一、二次函数的基本形式在代数中，二次函数是指具有形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
它的图像通常是一个抛物线，可以向上凸起（a>0）或向下凹陷（a<0）。
二次函数的性质包括：1. 首先，二次函数的图像的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 (-b/2a) 是抛物线的对称轴。
2. 其次，二次函数的图像开口的方向由 a 的正负确定，a>0 表示抛物线向上开口，a<0 表示抛物线向下开口。
3. 此外，二次函数的图像与 x 轴的交点称为零点或根，可以通过解方程 ax^2 + bx + c = 0 来求得。
二、三角函数的基本形式三角函数是以角度（或弧度）为自变量的函数，常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），它们分别表示一个角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。
三角函数的性质包括：1. 首先，正弦函数和余弦函数的值范围在 -1 到 1 之间，而正切函数的值范围是整个实数集。
2. 其次，正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的最小正周期为360°（或2π rad）。
3. 此外，三角函数具有一系列的周期性质和对称性质，如正弦函数的奇偶性、余弦函数的偶奇性等。
三、二次函数与三角函数的关系虽然二次函数和三角函数是两个不同的函数类型，但它们之间存在着一定的关系。
具体而言，可以通过适当的变量替换和函数变换，将一个二次函数转化为一个三角函数，或者将一个三角函数转化为一个二次函数。
1. 二次函数转化为三角函数通过合理的变量替换和函数变换，可以将一个二次函数转化为一个三角函数形式。
例如，令 u = ax + b，则有 x = (u-b)/a，代入二次函数的表达式得到：f(x) = ax^2 + bx + c = a[(u-b)/a]^2 + b[(u-b)/a] + c = u^2 + (c - b^2/a)。
ʏ黄林平第四章我们学习了指数函数㊁对数函数与二次函数的综合问题,运用类比学习的方法,来研究三角函数与二次函数的综合问题㊂下面从二次函数的 身份 明显㊁二次函数的 身份 不明显两个方面举例说明㊂一㊁二次函数的 身份 明显二次函数的 身份 明显,即在二次函数的系数或常数项中含有三角函数,此类问题不难解决,但要注意三角函数的有界性㊂可谓是二次函数 搭桥 ,三角函数 唱戏㊂例1 已知函数f (x )=2x 2-2x s i n θ+c o s θ,θɪ0,2π[],若f (x )在区间14,34éëêêùûúú上不单调,则θ的取值范围为㊂解:二次函数的对称轴为直线x =s i n θ2,函数f (x )在区间14,34éëêêùûúú上不单调,说明直线x =s i n θ2在区间14,34éëêêùûúú内部,所以14<s i n θ2<34,即12<s i n θ<32㊂因为θɪ0,2π[],所以θɪπ6,π3()ɣ2π3,5π6()㊂变式1:已知函数f (x )=x 2c o s θ-2x s i n θ+34,对于任意的实数x 恒有f (x )>0,且θ是三角形的一个锐角,则θ的取值范围是㊂提示:对于任意的实数x 恒有f (x )>0成立,所以Δ=2s i n 2θ-3c o s θ=-2c o s 2θ-3c o s θ+2<0,解得c o s θ>12或c o s θ<-2(舍去)㊂又θ为锐角,所以θɪ0,π3()㊂二㊁二次函数的 身份 不明显形如y =a s i n 2θ+b s i n θ+c (a ʂ0)或y =a c o s 2θ+b c o s θ+c (a ʂ0)的函数,表面上看是三角函数,二次函数的 身份 不明显,可利用换元法转化为二次函数㊂这类问题的本质没有变,仍然是已学过的二次函数,可谓是新瓶装旧酒㊂例2 已知0ɤθɤπ2,求函数f (θ)=c o s 2θ-2a c o s θ的最大值M (a )与最小值m (a )㊂解:函数f (θ)=(c o s θ-a )2-a2㊂设t =c o s θ,由0ɤθɤπ2得t ɪ0,1[],所以原函数等价于g (t )=(t -a )2-a 2,t ɪ0,1[]㊂故所求的最大值M (a )与最小值m (a )如下:当a <0时,M (a )=g (1)=1-2a ,m (a )=g (0)=0;当0ɤa <12时,M (a )=g (1)=1-2a ,m (a )=g (a )=-a 2;当12ɤa <1时,M (a )=g (0)=0,m (a )=g (a )=-a 2;当a ȡ1时,M (a )=g (0)=0,m (a )=g (1)=1-2a ㊂变式2:已知函数f (x )=c o s 2x +a s i n x ㊂(1)当a =2时,求函数f (x )的值域㊂(2)若f (x )的最小值为-6,求a 的值㊂提示:(1)当a =2时,f (x )=-(s i n x -1)2+2㊂设t =s i n x ,则-1ɤt ɤ1,所以原函数等价于函数g (t )=-(t -1)2+2㊂由-1ɤt ɤ1,可得-2ɤg (t )ɤ2,即f (x )的值域为[-2,2]㊂(2)f (x )=-s i n x -a2()2+a24+1㊂设t =s i n x ,则-1ɤt ɤ1,所以原函数等价于g (t )=-t -a2()2+a24+1(-1ɤt ɤ1)㊂当a2>0,即a >0时,g (t )m i n =g (-1)=a ;当a2ɤ0,即a ɤ0时,g (t )m i n =g (1)=-a ㊂又f (x )的最小值为-6,所以a =ʃ6㊂作者单位:江西省赣州市于都第二中学(责任编辑 郭正华)6数学部分㊃知识结构与拓展 高一使用 2021年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
二次函数与三角函数的综合应用在数学领域中，二次函数和三角函数都是非常重要的概念。
它们具有广泛的应用，可以用于解决各种实际问题。
本文将探讨二次函数和三角函数的综合应用，并介绍一些相关实例。
一、二次函数的应用1. 抛物线的建模二次函数常用来建模和描述抛物线的形状。
具体而言，对于给定的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，它的图像就是一个抛物线。
通过调整这些常数的值，我们可以改变抛物线的位置、方向和形状。
这种模型在物理学、工程学和经济学等领域中有着广泛的应用。
2. 最优化问题二次函数在最优化问题中也非常常见。
例如，考虑一个开口朝下的抛物线，我们希望找到其顶点来确定最小值。
这种问题在优化领域中经常出现，并且可以通过求解二次函数的导数来得到最优解。
最优化问题的应用广泛，包括在物流规划、金融投资和生产调度等方面。
3. 曲线拟合二次函数还可以用于曲线拟合。
当我们有一组数据点，希望找到一个函数来最好地拟合这些数据时，二次函数是一个常用的选择。
通过最小二乘法，我们可以找到一个二次函数，使其在数据点附近具有最小的误差。
这种方法在数据分析、统计学和机器学习等领域中非常重要。
二、三角函数的应用1. 几何建模三角函数在几何学中有着广泛的应用。
例如，三角函数可以用来计算三角形的边长、角度和面积。
利用正弦定理、余弦定理和正切定理等，我们可以解决各种与三角形相关的问题。
此外，三角函数还常用于绘制和描述各种形状的图像，如正弦曲线和余弦曲线。
2. 振动和波动三角函数在振动和波动的研究中也发挥着重要的作用。
例如，正弦函数可以用来描述周期性振动的变化。
通过调整振幅、频率和相位等参数，可以精确地描述各种振动现象，如声音和光的波动。
这种应用在物理学、声学和电子工程等领域中非常常见。
3. 信号处理三角函数在信号处理中起着关键的作用。
例如，调制技术中常用到的调幅和调频都可以通过三角函数来描述和计算。
此外，傅里叶变换等数学工具也是基于三角函数的理论基础。
二次函数与三角函数的像变换二次函数和三角函数是数学中常见的两种函数类型。
它们在图像的变换过程中具有一定的规律和特点。
本文将从二次函数和三角函数的定义、变换规律以及应用角度探讨二次函数与三角函数的像变换。
一、二次函数的像变换二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c2.1 平移变换对于二次函数而言，平移变换是将图像沿着x轴或y轴方向进行移动，保持原始形状不变。
平移变换的规律如下：1. 垂直平移：f(x) → f(x) + k，其中k为常数，表示向上或向下平移。
2. 水平平移：f(x) → f(x - h)，其中h为常数，表示向左或向右平移。
2.2 缩放变换缩放变换是通过改变二次函数的系数来改变图像的形状。
缩放变换的规律如下：1. 上下翻转：f(x) → -f(x)，即将图像关于x轴翻转。
2. 左右翻转：f(x) → f(-x)，即将图像关于y轴翻转。
3. 纵向伸缩：f(x) → af(x)，其中a为正常数，表示纵向伸缩。
4. 横向伸缩：f(x) → f(bx)，其中b为正常数，表示横向伸缩。
2.3 对称变换对称变换是通过改变二次函数的系数来改变图像关于某条直线的对称性。
对称变换的规律如下：1. 关于x轴对称：f(x) → -f(x)，即将图像关于x轴进行对称。
2. 关于y轴对称：f(x) → f(-x)，即将图像关于y轴进行对称。
3. 关于原点对称：f(x) → -f(-x)，即将图像关于原点进行对称。
二、三角函数的像变换三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义域是实数集。
三角函数的一般形式为：f(x) = Asin(Bx + C) + D3.1 平移变换三角函数的平移变换与二次函数类似，也是将图像沿着x轴或y轴方向进行移动，保持原始形状不变。
平移变换的规律如下：1. 垂直平移：f(x) → f(x) + k，其中k为常数，表示向上或向下平移。
2. 水平平移：f(x) → f(x - h)，其中h为常数，表示向左或向右平移。
二次函数与三角函数的组合在数学学科中，二次函数和三角函数都是重要的概念。
二次函数是一个以 x 的二次多项式所定义的函数，三角函数是以角度或弧度作为自变量的函数。
本文将讨论二次函数与三角函数的组合，以探讨它们之间的关系和特点。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数，且a ≠ 0。
根据 a 的正负性质，二次函数的开口方向分为向上和向下两种情况。
具体形状和特征取决于 a 的值。
例如，当 a > 0 时，二次函数开口向上，且顶点坐标为 (-b/(2a), f(-b/(2a)))。
二、三角函数的基本形式三角函数中最常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们分别用 sin(x)、cos(x) 和 tan(x) 表示，其中 x 为角度或弧度。
三角函数图像的周期性和振荡性是其显著特征。
例如，sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π，tan(x) 的周期是π。
三、二次函数与三角函数的组合将二次函数与三角函数进行组合，可以得到形式各异的函数。
常见的组合包括二次函数与正弦函数的乘积、二次函数与余弦函数的乘积等。
这些组合函数可以表示实际问题中的各种变化规律。
下面以几个具体例子来说明。
例一：f(x) = x²sin(x)考虑函数 f(x) = x²sin(x)，它是一个二次函数与正弦函数的乘积。
当x 取不同的值时，f(x) 的值受到 x²和 sin(x) 同时影响。
因为二次函数 x²的取值范围是非负实数，而 sin(x) 的取值范围在 [-1, 1] 之间，所以 f(x) 的值在不同区间内呈现出不同变化趋势。
例二：g(x) = (x-π)cos(x)考虑函数g(x) = (x-π)cos(x)，它是一个二次函数与余弦函数的乘积。
函数中的 (x-π) 部分对二次函数起到平移作用，使得 g(x) 的图像在 x 轴上发生左右平移。
二次函数与三角函数的组合二次函数与三角函数的组合在数学领域中具有广泛的应用和研究价值。
二次函数与三角函数的组合可以描述复杂的曲线和周期性变化，并且在物理、工程和经济等领域中有着重要的实际意义。
本文将探讨二次函数与三角函数的组合，分析其特点和应用。
一、二次函数的基本形式二次函数是一种以x的平方为最高次项的多项式函数。
一般表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数且a不等于0。
二次函数的图像为抛物线，其开口方向取决于a的正负性。
二次函数的基本形式可以通过平移、伸缩和翻转等变换得到更加复杂的形式。
例如，当a=1时，抛物线开口向上；当a=-1时，抛物线开口向下；通过平移可以改变抛物线的位置，通过伸缩可以改变抛物线的形状。
二、三角函数的基本形式三角函数是描述角度关系的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数和余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]；正切函数的定义域为全体实数除去π/2+kπ(k为整数)，值域为全体实数。
三角函数的图像具有周期性，其周期为2π。
正弦函数和余弦函数的图像是波浪形的，反映了角度的周期变化；正切函数的图像则是具有无穷多个渐近线的曲线。
三、二次函数与三角函数的组合形式二次函数与三角函数的组合形式可以是二次函数的自变量（一般为x）取三角函数的值作为因变量。
常见的组合形式有f(x) = ax^2 + sinx，g(x) = ax^2 + cosx，h(x) = ax^2 + tanx等。
这种组合形式的函数在图像上具有独特的特点。
二次函数的抛物线与三角函数的周期性变化相结合，使得函数图像具有复杂的形状和变化。
这种组合形式的函数经常出现在震动、波动和周期性变化的问题中。
四、二次函数与三角函数的应用二次函数与三角函数的组合在物理、工程和经济等领域中有着广泛的应用。
在物理学中，二次函数与正弦函数的组合经常用来描述周期性振动的物理现象。
比如弹簧振子和自由摆的运动都可以用这种组合形式的函数来描述。
二次函数与三角函数的复合与应用二次函数和三角函数是高中数学中的重要内容，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数和三角函数的复合，以及它们在实际问题中的应用。
一、二次函数与三角函数的复合1. 二次函数的复合二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c都是常数且a ≠ 0。
对于二次函数f(x)，可以将其中的x用另一个函数g(x)表示，即令x = g(x)，那么将g(x)代入f(x)中，就得到了二次函数的复合形式。
例如，对于二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1，我们可以将x用另一个函数g(x) = sin(x)来表示，即令x = sin(x)，那么将sin(x)代入f(x)中，可以得到复合函数：h(x) = f(g(x)) = (sin(x))^2 + 2sin(x) + 1。
2. 三角函数的复合三角函数是以角的度数为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
对于三角函数f(x)，可以将其中的x用另一个函数g(x)表示，即令x = g(x)，那么将g(x)代入f(x)中，就得到了三角函数的复合形式。
例如，对于三角函数f(x) = sin(x) + cos(x)，我们可以将x用另一个函数g(x) = 2x表示，即令x = 2x，那么将2x代入f(x)中，可以得到复合函数：h(x) = f(g(x)) = sin(2x) + cos(2x)。
二、二次函数与三角函数的应用1. 物理问题中的应用二次函数和三角函数在物理问题中有广泛的应用。
例如，抛体运动中的轨迹可以用二次函数来描述，而声波的振幅可以用正弦函数来表示。
通过将二次函数和三角函数进行组合和复合，可以更好地描述和解决物理问题。
2. 经济问题中的应用二次函数和三角函数在经济问题中也有重要的应用。
例如，利润函数、成本函数和需求函数等都可以用二次函数来表示，而周期性的经济波动可以用正弦函数来描述。
二次函数与三角函数的复合与相关问题解析二次函数和三角函数在数学中都是非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对二次函数与三角函数的复合以及相关问题进行解析，探讨它们之间的关系和性质。
一、二次函数与三角函数的复合1. 二次函数的定义二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
它的图像一般是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
2. 三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们是以角度或弧度为自变量的函数。
这些函数描述了角度与三角比之间的关系。
3. 复合函数的定义复合函数是指将一个函数作为另一个函数的输入，通过先进行一次函数运算再进行另一次函数运算得到结果。
在数学中，复合函数用f(g(x))表示。
4. 二次函数与三角函数的复合二次函数与三角函数的复合可以形式化表示为f(g(x))，其中f(x)为二次函数，g(x)为三角函数。
例如，f(g(x)) = ax^2 + bx + c，g(x) =sin(x)。
二、二次函数与三角函数的相关问题解析1. 判断函数的奇偶性对于给定的函数f(x)，可以通过观察该函数的表达式来判断其奇偶性。
例如，二次函数f(x) = ax^2 + bx + c是一个偶函数，因为它的图像关于y轴对称。
而正弦函数sin(x)是一个奇函数，因为它的图像关于原点对称。
2. 求函数的最值和极值点对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过求导数的方法来求得其极值点。
而对于三角函数，由于其周期性，其最值需要进行特殊处理。
例如，正弦函数sin(x)在区间[0, 2π]上的最大值为1，最小值为-1。
3. 解方程与求交点在实际问题中，我们常常需要解二次方程或三角方程，以求得函数的交点或解析解。
例如，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c和三角函数g(x) = sin(x)，我们可以通过联立方程f(x) = g(x)来求得二者的交点。
二次函数与三角函数的联立在数学学科中，二次函数和三角函数是两个重要的分支，在解决实际问题时经常会遇到它们的联立方程。
本文将介绍二次函数和三角函数的基本概念，并通过一些例子探讨如何联立这两种函数来解决问题。
一、二次函数的基本概念二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。
其中，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的位置，c则是抛物线与y轴的交点。
二次函数在代数学中有很多应用，如描述自由落体运动的物理规律、分析经济模型中的成本和利润等。
二、三角函数的基本概念三角函数是以角作为自变量的函数，主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)是周期函数，其周期为2π，而正切函数tan(x)则是无穷函数。
三角函数在几何学、物理学、电学以及信号处理等领域有广泛的应用。
三、二次函数与三角函数的联立在实际问题中，我们经常遇到需要联立二次函数和三角函数来解决的方程。
以下是一些例子：例一：求解抛物线与正弦函数的交点已知二次函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1和正弦函数g(x) = sin(x)，求解方程f(x) = g(x)的解。
解：将二次函数和正弦函数的表达式代入方程中，得到2x^2 - 3x +1 = sin(x)。
这个方程可以通过图像的相交点或数值逼近的方法来求解。
例二：求解抛物线与余弦函数的交点已知二次函数f(x) = -x^2 + 4x - 2和余弦函数g(x) = cos(x)，求解方程f(x) = g(x)的解。
解：将二次函数和余弦函数的表达式代入方程中，得到-x^2 + 4x - 2 = cos(x)。
通过进一步的变形和数值逼近，我们可以求得该方程的解。
通过这两个例子可以看出，在联立二次函数和三角函数时，可以根据具体的问题将两者的表达式代入方程中，然后通过数值逼近或图像相交的方法来求解方程。
四、结论二次函数和三角函数在数学中是重要的分支，联立这两种函数可以帮助我们解决实际问题。
二次函数与三角函数的关系与计算在数学中，二次函数和三角函数是常见的数学函数类型。
二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0，而三角函数是巧妙地描述角度与弧度之间关系的函数。
本文将探讨二次函数与三角函数之间的关系，并介绍它们的计算方法。
二次函数与三角函数之间的关系可以通过图像来理解。
首先，我们来观察二次函数的图像。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，它的图像是一个抛物线。
抛物线的开口方向（向上还是向下）取决于a的正负。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
b和c则决定了抛物线的位置和形状。
接下来，我们来看三角函数的图像。
常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
这些函数的图像是周期性的，其周期为2π（或360°）。
在图像上，正弦函数和余弦函数的波形是连续的曲线，而正切函数则具有无穷多个趋近于无穷大的垂直渐近线。
关于二次函数和三角函数之间的关系，我们可以发现一些有趣的现象。
首先，我们可以通过将变量x替换为角度θ来将二次函数与三角函数联系起来。
例如，如果我们将x替换为θ，并选择合适的常数a、b、c，那么二次函数y = ax^2 + bx + c可以被转化为三角函数的表达式，如y = a sin^2(θ) + b sin(θ) + c。
此外，二次函数和三角函数之间还存在一些近似关系。
例如，当抛物线的曲率比较缓和时，它的形状可能与正弦函数或余弦函数的图像相似。
而当抛物线的曲率比较陡峭时，它的形状可能与正切函数的图像相似。
在计算二次函数和三角函数时，我们通常需要借助数学工具和公式。
对于二次函数，我们可以使用求根公式来求解其零点，从而确定函数的交点。
对于三角函数，我们可以使用特定的数学公式来计算其值，如正弦函数和余弦函数的和差角公式、倍角公式，以及正切函数的倒数公式等。
三角函数与二次函数的运用1．a 、b 、c 是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ：b ：c=1：2：3，则cosB 的值（ ）A ．36B ．33C ．22D ．422．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB 的坡比是1BC=10m ，则坡面AB 的长度是（ ）A ．15mB ．mC ．．20m3．如果把Rt ABC ∆的三边长度都扩大2倍，那么锐角A 的四个三角比的值（ ）A. 都扩大到原来的2倍；B. 都缩小到原来的12； C. 都没有变化； D. 都不能确定；4．如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B ，C 之间的距离为（ ）A. 20海里． D.30海里5．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h （米）和运行时间t （秒）的函数解析式为25101h t t =-++，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ）A. 1米；B. 3米；C. 5米；D. 6米；6．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，AB AC 21=，则=∠ABC tan . 7．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________________个这样的停车位．8．如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30°的方向，则海岛C 到航线AB 的距离CD 等于 海里．9．如图，在ABC ∆中，90C ︒∠=，52sin =A ，D 为AC 上一点，45BDC ︒∠=，6=DC ，求AD 的长．10．如图，一台起重机，他的机身高AC 为21m ，吊杆AB 长为40m ，吊杆与水平线的夹角∠BAD 可从30°升到80°．求这台起重机工作时，吊杆端点B 离地面CE 的最大高度和离机身AC 的最大水平距离（结果精确到0.1m ）． （参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，3≈1.73）11．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小明在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度3:1=i ，AB=10米，AE=15米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：732.13,414.12≈≈）(1)、求点B 距水平面AE 的高度BH ；(2)、求广告牌CD 的高度．12．小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB=80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结．果保留整数．．．．．）（参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）13．（本小题满分6分）如图，位于A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°且距离A 点20海里的C 处救生船，此时，遇险船在救生船的正东方向B 处，现救生船沿着航线CB 前往B 处救援，求救生船到达B 处行驶的距离？（参考数据：sin68°≈0.90，cos68°≈0.36，tan68°≈2.50，3≈1.7）14．如图，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，•该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面24米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角为︒32时．（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（参考数据：sin ︒32cos ︒32≈,125106︒32tan ≈85．）15．一个半径为20海里的暗礁群中央P 处建有一个灯塔，一艘货轮由东向西航行，第一次在A处观测此灯塔在北偏西60°方向，航行了20海里后到B，灯塔在北偏西30°方向，如图．问货轮沿原方向航行有无危险？16．海上有一座灯塔P，一客轮以60海里／时的速度由西向东航行，行至A处时测得灯塔P在北偏东60°方向，继续航行40分钟后，到B处又测得灯塔P在在北偏东60°方向，（1）客轮在B距灯塔P多少海里？（2）若在灯塔周围30海里有暗礁，客轮继续航行是否有触礁危险？17．如图：由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动，距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？18．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）19．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．20．如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m 的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B、F、C在一条直线上）．求教学楼AB的高度．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）21．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）22．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m到点C，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，求这棵树的高度（DF）。
（结果精确到0.1m，≈1.73）．23．如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）．（参考数据：sin35°≈0．57，cos35°≈0．82，tan35°≈0．70，sin70°≈0．94，cos70°≈0．34，tan70°≈2．75）24．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？25．在△ABC中，边BC的长与BC边上的高线长之和为20.（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式。
并写出自变量X的取值范围。
（2）当BC的长为多少时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？26．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为63m 2的花圃，AB 的长是多少？（3）能围成比63m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．27．如图，用长为20米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180°，设扇形花坛的半径为r 米，面积为S 平方米．（注：π的近似值取3）（1）求出S 与r的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当半径r 为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．28．如图，利用一面墙（墙的长度为20m ），用34m 长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m 宽的门，设AB 的长为x m ．（1）若两个鸡场总面积为96m 2，求x ；（2）若两个鸡场的面积和为S m 2，写出S 关于x 的关系式；并求当x 为何值时，两个鸡场面积和最大，最大值是多少？29．如图，在Rt △ABC 中， ∠B=90°，AB=3cm ，BC=4cm ，点P 从点A 出发, 以1cm/s 的速度沿AB 运动；同时，点Q 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 运动，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点同时停止运动．r C B（1）试写出△PBQ 的面积S （cm2）与动点运动时间t （s ）之间的函数表达式；（2）运动时间t 为何值时，△PBQ 的面积等于2cm 2？（3）运动时间t 为何值时，△PBQ 的面积S 最大？最大值是多少？30．某种商品每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间满足关系：275y ax bx =+-．其图象如图．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？参考答案1．B【解析】试题分析：设a=x ，则b=2x ，c=3x ，因为222222223,3a b x x x c x +=+==，所以222a b c +=，所以∠C=90°，所以cosB=a c ==33，故选：B ． 考点：1．勾股定理的逆定理；2．锐角三角函数．2．D【解析】试题分析：因为迎水坡AB 的坡比是1坝高BC=10m ，所以由勾股定理可得20=m ，故选：D.考点：1．坡比；2.勾股定理.3．C【解析】试题分析：根据锐角的三角比的定义可知，锐角A 的大小确定后，锐角A 的四个三角比的值与边长无关，固定不变，故选：C.考点：锐角的三角比.4．C【解析】试题分析：如图，根据题意易求△ABC 是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC 的长度．如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE ，∴∠DAB=15°，∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB ，∠CBA+∠ABE=∠CBE ，∴∠CBA=45°． ∴在直角△ABC 中，sin ∠ABC=222140=⨯=BC BC AC ， ∴BC=202海里．故选：C ．考点: 解直角三角形的应用-方向角问题．5．D【解析】试题分析：因为2251015(1)6h t t t =-++=--+，所以小球到达最高点时距离地面的高度是6米，故选：D.考点：二次函数的应用.6【解析】试题分析：由勾股定理求出BC，再由三角函数即可求出答案.试题解析：在Rt△ABC中，2AB ==∴tan∠ABC=14ABACBC==考点：1.勾股定理；2.解直角三角形.7．17.【解析】试题分析：如图，BC=2.2×sin45°=2.2×2≈1.54米，米，BE=BC+CE≈5.04米，EF=2.2÷sin45°=2.2÷2≈3.1米，（56-5.04）÷3.1+1=50.96÷3.1+1≈16.4+1=17.4（个）．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．故答案为：17．考点：特殊角的三角函数值.8．【解析】试题分析：根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可．试题解析：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=20海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=CD BC，∴sin60°=CD BC， ∴CD=12×sin60°=20×2. 考点：解直角三角形的应用-方向角问题．9．6AD =【解析】试题分析：根据题意知△BCD 是等腰直角三角形，可求得BC 的长，再根据Rt △ACB 可知2sin 5BC A AB ==，进而得到AB=15，然后根据勾股定理可求得AC 的长．试题解析：在BDC ∆中，090=∠C ，045=∠BDC ，6=DC ∴tan 451BC DC ︒== ∴6BC =在ABC ∆中，52sin =A ， ∴25BC AB =， ∴15AB =∴AC =∴6AD =考点：解直角三角形10．吊杆端点B 离地面CE 的最大高度约为60.2cm ，离机身AC 的最大水平距离约34.6cm ．【解析】试题分析：当∠BAD ＝30°时，吊杆端点B 离机身AC 的水平距离最大；当∠B ’AD ＝80°时，吊杆端点B ’离地面CE 的高度最大．试题解析：当∠BAD ＝30°时，吊杆端点B 离机身AC 的水平距离最大；当∠B ’AD ＝80°时，吊杆端点B ’离地面CE 的高度最大．作BF ⊥AD 于F ，B ´G ⊥CE 于G ，交AD 于F ’ ．在Rt △BAF 中，cos ∠BAF ＝ABAF ， ∴AF ＝AB ·cos ∠BAF ＝40×cos30°≈34.6（cm ）．在Rt △B ’AF ’中，sin ∠B ´AF ’＝'''AB F B ， ∴B ’F ’＝AB ’·sin ∠B ’AF ’＝40×sin80°≈39.2（cm ）．∴B ’G ＝B ’F +F ’G ≈39.2+21=60.2（cm ）．答：吊杆端点B 离地面CE 的最大高度约为60.2cm ，离机身AC 的最大水平距离约34.6cm ．考点：三角函数的应用.11．(1)、5；(2)、2.7米.【解析】试题分析：(1)、根据坡度求出∠BAH 的度数，然后求出BH 的长度；(2)、根据Rt △BGC 和Rt △ADE 的三角形函数分别求出CG 和DE 的长度，然后根据CD=CG+GE －DE 进行求解.试题解析：(1)、过B 作BG ⊥DE 于G ，Rt △ABF 中，i=tan ∠BAH=3331= ∴∠BAH=30°，∴BH=AB=5；(2)、由(1)得：BH=5，AH=5，∴BG=AH+AE=5+15， Rt △BGC 中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15．Rt △ADE 中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15． ∴CD=CG+GE ﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m ．答：宣传牌CD 高约2.7米．考点：三角函数的应用.12．43米．【解析】试题分析：利用所给角的三角函数用CD 表示出AD 、BD ；根据AB=AD+BD=80米，即可求得居民楼与大厦的距离． 试题解析：设CD = x 米．在Rt△ACD在Rt△BCD ∴1110BD x = ∵AD＋BD = AB ，∴31180410x x +=． 解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．13．32.5【解析】试题分析：延长BC 交AN 于点D ，在Rt △ACD 中，根据条件可得AD≈17，在Rt △ABD 中，利用68BD tan AD ︒=,可得BD≈42.5，从而BC=BD ﹣CD≈42.5﹣10=32.5.试题解析：解：如图，延长BC 交AN 于点D ，则BC ⊥AN 于D ．在Rt △ACD 中，∵∠ADC=90°，∠DAC=30°，∴DC=21AC=10，AD=3CD=103≈17． 2分 在Rt △ABD 中，∵∠ADB=90°，∠DAB=68°， ∴tan68°=50.217==BD AD BD 4分 ∴BD≈17×2.50=42.5，∴BC=BD ﹣CD≈42.5﹣10=32.5. 6分考点：解直角三角形的应用.14．(1)超市以上居民住房采光不受影响； （2）•若要使超市采光不受影响，两楼至少相距32米.【解析】试题分析：（1）利用三角函数算出阳光可能照到居民楼的什么高度，和6米进行比较．（2）超市不受影响，说明32°的阳光应照射到楼的底部，根据新楼的高度和32°的正切值即可计算．试题解析：（1）•超市以上居民住房采光不受影响，新楼在居民楼上的投影高约为︒⨯-32tan 2420 ≈852420⨯-≈5米,∵5＜6∴超市以上居民住房采光不受影响（2）•若要使超市采光不受影响，两楼至少相距：20tan 32︒325820=⨯=（米） 考点：解直角三角形的应用．15．有危险．【解析】试题分析：过P 作AB 的垂线PQ ，则直角△APQ 和直角△BPQ 有公共边PD ，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用PQ 表示出AQ 与BQ ，根据AB=AQ ﹣BQ 即可列方程，从而求得PQ 的长，与20海里比较即可确定货轮沿原方向航行有无危险．试题解析：过点P 作直线AB 的垂线，垂足是Q ，设PQ=x 海里，则，x 20x =，解得x =20，∴P 到AB 的距离小于20海里．答：货轮沿原方向航行有危险．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．16．（1）客轮在B 距灯塔40海里．（2）客轮继续向东航行无触礁危险．【解析】试题分析：（1）作PH ⊥AC 于点H ，根据等腰三角形的判定与性质，可得AB=BP ，再根据路程=速度×时间即可求出客轮在B 处距离灯塔P 的长；（2）本题实际上是问，P 到AB 的距离即CD 是否大于30，如果大于则无触礁危险，反之则有，根据三角函数可求PH 的值，进行比较即可求解．试题解析：（1）作PH ⊥AC 于点H由题意可知∠PAB=30°，∠PBC=60°，∴∠PAB=∠APB=30°，∴AB=BP=60×23=40海里． ∴客轮在B 距灯塔40海里．（2）由题意可知∠BPH=30°，∵cos ∠BPH=PH BP =∴PH BP =∴34.64∵34.64＞30∴客轮继续向东航行无触礁危险．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．17．A 市将受到这次沙尘暴的影响．【解析】试题分析：判断A 市是否会受到这次沙尘暴的影响，只要判断点A 到BD 的距离与半径300米的关系，通过点A 作BD的垂线．试题解析：过A作AC⊥BD于C，由题意得AB=400km，∠DBA=45°，所以AC=BC．在Rt△ABC中，设AC=BC=x．由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，所以x2+x2=4002，所以8（km）．282．8km＜300km．所以A市将受到这次沙尘暴的影响．考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理的应用．18．（小时）.【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D，在Rt△ACD中，求出CD=AC=40海里，在Rt△CBD中，可求BC=≈=50（海里），然后可求出时间.试题解析：解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．（4分）在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），（8分）∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．（10分）考点：解直角三角形的应用.19．300米．【解析】试题分析：首先在直角三角形ABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，然后在直角三角形DBA中用BA表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可．试题解析：∵在直角三角形ABC中，3tan4 ABaBC==，∴BC=43AB ∵在直角三角形ADB 中， ∴AB BD=tan26.6°=0.50 即：BD=2AB∵BD-BC=CD=200∴2AB-43AB =200 解得：AB=300米，答：小山岗的高度为300米．考点：1.解直角三角形的应用-仰角俯角问题；2.解直角三角形的应用-坡度坡角问题．20．12．【解析】试题分析：首先构造直角三角形△AEM ，利用tan22°=AM ME，求出即可教学楼AB 的高度． 试题解析：过点E 作EM ⊥AB ，垂足为M ．设AB 为x （m ）．∵Rt △ABF 中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x ，∴BC=BF+FC=x+13；∵在Rt △AEM 中，∠AEM=22°，AM=AB ﹣BM=AB ﹣CE= x ﹣2，∴tan22°=AM ME ，22135x x -=+，x=12．即教学楼的高为12m ．考点：解直角三角形的应用．21．（20+m ．【解析】试题分析：利用三角函数分别求出BD 、CD 即可求出BC.试题解析：在Rt △ABD 中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，∴ BD=AD=20．在Rt △ACD 中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴∴ BC=BD+CD=20+m ）．答：这栋楼高为（20+m ．考点：三角函数的应用.22．5.1m【解析】试题分析：根据∠A 和∠DCE 的度数得到AC=CD ，根据直角△CDE 的勾股定理求出DE 的长度，然后计算DF 的长度. 试题解析：∴∠A=30°，∠DCE=60° ∴∠ADC=30°,AC=DC=4∴∠CDE=30°,CE=2,DE=32∴DF=32+1.6≈5.1m考点：直角三角形的勾股定理.23．河流的宽是66米．【解析】试题分析：过点C作CF∥DA交AB于点F，易证四边形AFCD是平行四边形．再在直角△BEC中，利用三角函数求解．试题解析：过点C作CF∥DA交AB于点F．∵MN∥PQ，CF∥DA，∴四边形AFCD是平行四边形．∴AF=CD=50m，∠CFB=35°．∴FB=AB-AF=120-50=70m．根据三角形外角性质可知，∠CBN=∠CFB+∠BCF，∴∠BCF=70°-35°=35°=∠CFB，∴BC=BF=70m．在Rt△BEC中，sin70°=CE BC，∴CE=BC•sin70°≈70×0．94=65．8≈66m．答：河流的宽是66米．考点：解直角三角形的应用．24．（1）600元．（2）4000元．（3）500元．【解析】试题分析：（1）把x=20代入y=-10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由总利润=销售量•每件纯赚利润，得w=（x-10）（-10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令-10x2+600x-5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．试题解析：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，300×（12﹣10）=300×2=600元，即政府这个月为他承担的总差价为600元．（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000元．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p 元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p 随x 的增大而减小，∴当x=25时，p 有最小值500元．即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．考点：二次函数的应用．【答案】（1）21102y x x =-+（0＜x ＜20）； 【解析】试题解析：解：（1）当BC ＝x 时，AD ＝20－BC ＝20－x ，所以y ＝()1202x x -， 整理得：21102y x x =-+（0＜x ＜20）； （2）把二次函数的解析式21102y x x =-+写成顶点坐标式， 得到：()2110502y x =--+， 所以当BC 的长度是10时，△ABC 的面积最大，最大面积是50.（2）当BC 的长度是10时，△ABC 的面积最大，最大面积是50.考点：二次函数的应用点评：本题主要考查了二次函数的应用.解决本题的关键根据三角形的面积公式求出二次函数的解析式；然后再利用配方法把二次函数的解析式写成顶点坐标式，利用二次函数的顶点求出三角形的最大面积.26．见解析.【解析】试题分析：本题利用矩形面积公式建立函数关系式，A ：利用函数关系式在已知函数值的情况下，求自变量的值，由于是实际问题，自变量的值也要受到限制．B ：利用函数关系式求函数最大值．试题解析：（1）y=x （30-3x ）,即y=—3x 2+30x（2）当y=63时，-3x 2+30x=63,解得：x 1=3,x 2=7当x=3时，30-3x=21>10（不合题意舍去）当x=7时，30-3x=9<10,符合题意所以，当AB 的长为7m 时，花圃的面积为63（m 2）.（3）能.y=-3x 2+30x=-3（x-5） 2+75由题意：0<30-3x ≤10,得320≤x<10, 又当x>5时y 随x 的增大而减小所以当x=320时面积最大，最大面积为3200。
