高中数学必修四《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优秀教学设计

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具三角板，彩色粉笔，幻灯片五、教学方法教法：引导探究，归纳总结=，(0,)=,(0,),［-((-=cos(-+sin(-sin=_____.)=)=，据角)=)=都不能等于+ktan( tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-)=来处理等=,sin(-),cos(+),tan(-=,=.∴tanα==.于是有sin(-α)=sin cosα-cos sinα=cos(+α)=cos cosα-sin sinα=tan(α-)===.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练11.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )A. B. C. D. 4答案：A例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sinα=,α∈(,π),得cosα==-=，∴tanα=.又由cosβ=,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×()-(.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()=∴tan(α+β)==.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.于是x=,又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC与cosC的值.活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=且0°<A<45°,∴cosA=.又∵cosB=且45°<B<90°,∴sinB=.∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练3在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C七、课堂小结<,<<,cos(-)=,sin(+)=,。

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教案一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程,掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2。

教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用。

三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式。

()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解:因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样,我们能否用第一章知识证明?3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2)、cos 20cos70sin 20sin 70-;（3)、1tan151tan15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.(1)、()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）、()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==； （3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢?)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022xx x x x x x ⎫=-=-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到的？=12的。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）一、教学目标1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换。

二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入：（1）基本公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+（2）练习：教材P132面第6题。

思考：怎样求ααcos sin b a +类型？（二）新课讲授例1x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x x x ⎫-==-=-⎪⎪⎭思考：=12和的.归纳：b a b a b a =++=+ϕϕαααtan )sin(cos sin 22 例2、已知：函数R x x x x f ∈-=,cos 32sin 2)(求)(x f 的最值。

（2）求)(x f 的周期、单调性。

例3．已知A 、B 、C 为△ABC 的三內角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=∙n m ，求角A 。

（2）若3sin cos cos sin 2122-=-∙+B B B B ，求tanC 的值。

练习：（1）教材P132面7题（2）在△ABC 中，B A B A cos cos sin sin ，则△ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形（2） 的值为12sin 12cos3ππ-（ ）A ． 0B ．2C ．2D ．2- 思考：已知432πβπ，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求α2sin三、小结：掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换四、作业：《习案》作业三十一的1、2、3题。

3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式（名师：余枝）一、教学目标：（一）核心素养本节课是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线、诱导公式的延伸，通过本节课的学习，了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的重要性，通过公式的推导，培养学生探索精神，进一步提高学生的推理能力和运算能力，使学生体会一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用.（二）教学目标1.两角和的余弦公式的推导及应用；2.两角和与差的正弦公式的推导及应用；3.两角和与差的正切公式的推导及应用；4.运用公式进行化简、求值、证明.（三）学习重点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导；2．熟练掌握公式的应用.（四）学习难点公式的推导及综合运用，合理选取公式，熟练掌握公式的逆用.二、教学过程（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第128页至第131页．（2）想一想：利用两角差的余弦公式如何推导两角和的余弦公式？如何熟记和角公式与差角公式？2．预习自测（1）sin(3045)________+=.．解析：【知识点】两角和的正弦公式的应用【数学思想】逻辑推理【解题过程】12sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 452+=+=⨯=点拨：熟记公式（2）cos55cos5sin 55sin 5________-=. 答案：12． 解析：【知识点】两角差的余弦公式 【数学思想】逻辑推理【解题过程】1cos55cos5sin 55sin 5cos(555)cos 602-=+== 点拨：熟记公式（3）若tan()24a π-=，则tan _______a =.答案：3-．解析：【知识点】两角差的正切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tantan 14tan()241tan 11tan tan 4παπααπαα---===+⨯+，所以tan 3α=- 点拨：注意公式的逆用（4）已知3sin 5α=-a 是第四象限角，求sin(),cos(),tan()444πππααα-+-的值.；7- 解析：【知识点】两角和与差的弦、切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】因为3sin 5α=- a 是第四象限角，所以43cos ,tan 54αα==-，利用公式可得：sin()4πα-=cos()4πα+=tan()74πα-=-点拨：熟记公式.(二)课堂设计 1．知识回顾（1）两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-的推导； （2）公式()C αβ-的应用. 2．问题探究探究一 从公式()C αβ-出发，如何探求两角和的余弦公式()C αβ+？ ●活动 从公式()C αβ-出发，引导学生推导余弦公式()C αβ+我们已经知道两角差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，其中αβ、是任意角.大胆猜想两角和的余弦公式呢？从角αβ+与αβ-的关系进行联想，我们容易知道()+=αβαβ--，再根据诱导公式，所以[]cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=- 于是我们得到了两角和的余弦公式，简记作()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-【设计意图】引导学生发现和探究新知，培养学生探索知识的能力． 探究二 如何用αβ、的正、余弦来表示()sin αβ± ●活动① 回顾两角和与差的余弦公式和诱导公式()C αβ-：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-sin()cos ,cos()sin 22ππαααα-=-=【设计意图】引导学生思维上的转变.●活动② 利用两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式sin()cos ()cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦得到两角和与差的正弦公式，简记作()S αβ+；()S αβ-.()S αβ+：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ()S αβ-：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-【设计意图】让学生掌握公式的推导过程. 探究三 探究如何推导两角和与差的正切公式 ●活动① 怎样用αβ、的正切表示()tan αβ±()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-当cos cos 0αβ≠时，分子和分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 我们得到两角和与差的正切公式，简记作()T αβ+；()T αβ-.()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()T αβ-：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+注意：)(2,2,2z ∈+≠+≠+≠+k k k a k ππβππππβα【设计意图】引导学生探究：化切为弦，化未知为已知，再化弦为切，利用单角的正切来表示和差的正切.●活动② 理解6个和、差角公式的内在联系【设计意图】借助对公式的更深入的理解，是学生能更加灵活运用公式.●活动③ 巩固基础，检查反馈例1 ①已知3cos ,(,)52πθθπ=-∈，求sin()3πθ+的值②已知12sin ,13θθ=-是第三象限角，求cos()6πθ+的值【知识点】和角公式的正确使用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】①4sin 25πθπθ∈∴==（，）413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=②θ是第三象限角，5cos 13θ∴==-5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=【思路点拨】熟记公式 【答案】①sin()3πθ+=；②cos()6πθ+= 同类训练 已知tan 3α=，求tan()4πα+的值.【知识点】两角和的正切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tan314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯- 点拨：熟记公式答案：tan()24πα+=-例2 求下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos 72sin 42- （2）cos 20cos 70sin 20sin 70-（3）1tan151tan15+-【知识点】公式的逆用 【数学思想】归纳推理【解题过程】（1）sin 72cos 42cos 72sin 42-=1sin(7242)sin 302-== （2）cos 20cos 70sin 20sin 70-=cos(2070)cos900+==（3）1tan151tan15+-=tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan 45tan15+=+==-【思路点拨】正确认识公式的正用和逆用 【答案】12，0 同类训练 计算：（1）sin 7cos37sin 83sin 37︒︒-︒︒（2）21tan 75tan 75 -︒︒答案：12-；-解析：【知识点】和、差角公式 【数学思想】归纳推理 【解题过程】（1）sin 7cos37sin 83sin 37︒︒-︒︒=1sin 7cos37cos 7sin 37sin(737)sin(30)2︒︒-︒︒=︒-︒=-=-（2）tan 75tan(4530)2=+==原式=-点拨：利用公式可求特殊角的三角函数值 例3 化简：（1）1cos 2x x（2cos x x +【知识点】和、差角公式的逆用 【数学思想】转化思想【解题过程】1cos cos cos sin sin cos()2333x x x x x πππ-=-=+1cos cos )2(cos sin sin cos )2sin()2666x x x x x x x πππ+=+=+=+ 点拨：从题目所给是结构可以看出，它们呈现和（差）角公式的部分形态，所以可以考虑对公式进行变形使用，事实上，此处只需要进行逆用公式即可.答案：cos()3x π+；2sin()6x π+同类训练 化简（1cos )x x -（2x x -【知识点】公式的逆用 【数学思想】转化思想cos )2sin()4x x x π-=-)3x x x π-=+点拨：对和（差）角公式进行正确地逆用.事实上，对公式正确逆用，这是学好任何一个数学公式的必经之路.答案：2sin()4x π-；)3x π+●活动5 强化提升、灵活应用 例4 已知3123,cos(),sin()24135πβαπαβαβ<<<-=+=-，求cos 2α的值 答案：3365-解析：【知识点】使用和差角公式时，利用角的关系化异角为同角 【数学思想】化归思想【解题过程】33,2442ππβαππβ<<<∴-<-<- 30,42ππαβπαβ∴<-<<+<5sin()134cos()5αβαβ∴-==+= 33cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()65ααβαβαβαβαβαβ∴=-++=-+--+=-点拨：常见角的变换：2()()ααβαβ=++- ()ααββ=+-2(),2()αβαβααβαβα+=++-=-+()(),()()222222αββααββααβαβ+-=---=+-+同类训练 已知αβ、是锐角，且11sin )14ααβ=+=-，求sin β解析：【知识点】合理使用和差角公式 【数学思想】转化思想【解题过程】α是锐角，且sin α=1cos 7α∴== 又11cos(),014αβαβπ+=-<+<，sin()αβ∴+==sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα∴=+-=+-+=点拨：善于抓住角的关系进行角的转化 3.课堂总结 知识梳理两角和与差的正弦、余弦、正切公式及推导()C αβ-：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-()S αβ+：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ()S αβ-：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- ()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()T αβ-：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+重难点归纳（1）利用和差角公式求一些特殊角的三角函数值； （2）利用角的变换求值；（3）能解决形如：sin cos y a x b x =+的函数问题；（4）利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角恒等变换 （三）课后作业 基础型 自主突破1．sin(17)cos(28)sin(28)cos(17)x x x x +-+-+的值是（ ）A ．12 B ．12-C ．D ．答案：D解析：【知识点】公式的简单应用【解题过程】原式=2sin(1728)sin 45x x ++-== 点拨：熟记公式2．已知123cos ,(,2)132πααπ=∈，则cos()4πα+等于（ ）ABCD ．答案：B解析：【知识点】公式的正用【解题过程】5sin 13α==-，cos()cos cos sin sin 444πππααα+=-=点拨：计算角的三角函数值时需注意角的范围3．在△ABC 中，sin sin cos cos A B A B <，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形 答案：B解析：【知识点】公式的灵活运用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】cos cos sin sin 0A B A B -> cos()0A B ∴+>cos()0C π∴->，即cos 0,cos 0C C -><，2C ππ∴<<点拨：利用三角形内角和定理进行角的转换 4．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ）A ．最大值为1，最小值为1-B ．最大值为1，最小值为21- C ．最大值为2，最小值为2-D ．最大值为2，最小值为1-【知识点】公式的逆用【数学思想】归纳推理【解题过程】1()2(sin )2sin()23f x x x x π==+，[,]22x ππ∈-，则5[,]366x πππ+∈- ()f x ∴最大值为2，最小值为1-点拨：先转化成sin()y x ωϕ=+的形式答案：D5．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值（ ） A ．21 B ．22 C ．22- D ．22±【知识点】公式的灵活运用【数学思想】转化的思想【解题过程】因为2tan()7,tan tan 3αβαβ+=⋅=所以tan tan tan(),1tan tan αβαβαβ++=-⋅ 7tan tan 3αβ+= 所以1tan 2,tan 3αβ==或1tan ,tan 23αβ==；所以tan()αβ-等于1或1-则cos()αβ-=点拨：利用切化弦解决问题答案：D6．已知tan()2,4πα+=则212sin cos cos ααα+的值为________. 答案：23解析：【知识点】三角函数中“1”的替换【数学思想】转化思想 【解题过程】1tan tan()241tan πααα++==- 1tan 3α∴= 222221sin cos tan 122sin cos cos 2sin cos cos 2tan 13αααααααααα++∴===+++ 点拨：熟悉齐次分式的切化弦能力型 师生共研7．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B =______. 答案：3π解析：【知识点】公式的灵活运用【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tan tan tan()(1tan tan )tan A B C A B AB C ++=+⨯-+ tan (1tan tan )tan tan tan tan tan tan tan tan tan C A B CC A B C C A B C =-⨯-+=-++==2tan tan tan B A C ==tan 60B B ∴=∴=点拨：熟悉公式的变形8．若13cos cos sin sin ,cos(),55αβαβαβ-=-=则tan tan _______αβ=. 答案：12解析：【知识点】利用公式进行和差化积【数学思想】转化思想【解题过程】13cos cos sin sin ,cos cos sin sin ,55αβαβαβαβ-=+= 两式相加得：2cos cos 5αβ=，两式相减得：1sin sin 5αβ=，sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ== 点拨：找到角的关系，进行恒等变换探究型 多维突破9．已知(0,)αβπ∈、且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值 答案：34π- 解析：【知识点】灵活运用公式【数学思想】归纳推理思想【解题过程】()1tan tan 3ααββ=-+=⎡⎤⎣⎦()tan(2)tan 1αβαβα∴-=-+=⎡⎤⎣⎦11tan tan (0,)37αβαβπ=<=->∈、 50,6622ππαβπππαβ∴<<<<∴-<-<-324παβ∴-=- 点拨：求三角函数值时要确定角的范围10．已知向量a =(cos ,sin )αα，b= (cos ,sin )ββ，|a -b |= (1)求cos()αβ-的值(2)若0,022ππαβ<<-<<，且5sin 13β=-，求sin α的值 答案：35；3365 解析：【知识点】灵活运用公式【数学思想】归纳推理思想【解题过程】由|a -b|==，即4322cos(),cos()55αβαβ--=-= 由0,022ππαβ<<-<<，得0αβπ<-<，又35cos(),sin ,513αββ-==- 所以412sin(),cos ,513αββ-==[]33sin sin ()sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-= 点拨：三角恒等变形与向量的紧密联系自助餐1．若sin()cos cos()sin ,m αβααβα---=且β为第三象限角，则cos β的值为（ ）AB．CD．答案：B解析：【知识点】公式的简单应用【数学思想】【解题过程】由题知：sin()sin ,cos mm αβαββ--=∴=-==点拨：正确使用诱导公式2．αβγ、、都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan （ ） A ．3π B ．4πC ．π65 D ．π45 答案：B解析：【知识点】两角和的正切公式【数学思想】整体代换 【解题过程】11tan ,tan 25αβ==7tan()1904αβπαβ∴+=<∴<+<tan()tan 3tan()1,(0,)1tan()tan 4αβγπαβγαβγαβγ++∴++==++∈-+ 4παβγ∴++=点拨：角的合理转化3．若A 、B 是△ABC 的内角，且(1tan )(1tan )2+A B +=，则A B +等于_____. 答案：4π解析：【知识点】两角和与差的正切公式的逆用【数学思想】转化思想【解题过程】由题知1tan tan tan tan 2+A B A B ++=，则tan tan 1tan tan A B A B +=- tan tan tan()11tan tan A B A B A B +∴+==-且A 、B 是 △ABC 的内角，故4A B π+=点拨：求角的大小可以先求这个角的某个三角函数值4．已知cos()sin 6παα-+=则7sin()________6πα+=. 答案：45- 解析：【知识点】和角公式的逆用【数学思想】建模思想【解题过程】13cos()sin sin sin sin 622πααααααα-+=++=+=14cos )sin()sin()266574sin()sin()sin()6665ππααααπππαπαα+=+=∴+=∴+=++=-+=- 点拨：学会处理sin cos y a x b x =+型的函数问题5．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π解析：【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用【数学思想】转化思想【解题过程】原式=sin[(3)]cos[(3)]cos(3)sin(3)242664cos(3)sin(3)cos(3)sin(3)46641sin[(3)(3)]sin()64642x x x x x x x x x x ππππππππππππππ-+⋅-+-++=++-++=+-+=-== 点拨：解题时诱导公式可帮助三角函数名的转化6．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.答案：2解析：【知识点】求根公式【数学思想】化归思想 【解题过程】设22150(2sin 50)4(sin 50)2sin(5045)x ±---==± 12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ点拨：利用本章的公式进行恒等变形.。

§3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标：1.知识与技能:使学生能记住二倍角公式，会运用二倍角公式进行求值、化简，同时使学生懂得在运用当中所起到的用途。

2.过程与方法:培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊到化归的数学思想及问题转化的数学思想。

3.情感、态度与价值观:课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力；小组交流中，培养合作意识；培养学生认真参与，积极交流的主体意识。

锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。

二．教学重难点：教学重点：记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值，化简。

教学难点：在运用当中如何正确恰当的运用所学公式进行求值、化简。

三.教学方法：“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，启发学生自主性学习，有效的渗透数学思想方法，提高学生素质。

基于本节课的特点，我采用“引导发现法”和“讲练结合法”。

四.教学过程知识回顾（你已做好知识准备了吗？你一定还记得以下知识吧！）回忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式1. :)(βα±S =±)sin(βα:)(βα±C =±)cos(βα:)(βα±T =±)tan(βα2.填空：若βα,为第二象限角，且53cos ,53sin -==βα则()=+βαsin ；问题探究1：若第二象限角α满足53sin =α，则=α2sin 。

新授课 问题1：你能利用S (βα±)、C (βα±)、T (βα±)推导sin2α,cos2α,tan2α的公式吗？sin2α= ； (α2S )cos2α= ； (α2C )tan2α= 。

)(2αT注意： 1.公式S 2α，C 2α中α为任意角，在T 2α中αZ k k k ∈≠+≠,24,2ππαππ＋且 2.二倍角是相对的.如：4α是2α的二倍角，α是2α的二倍角等。

3．1．2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学目标：1．结合具体实例，使学生认识到求两角和与差的正弦、余弦、正切公式的必要性和实际意义，树立数学来源于生产生活现实并为社会现实服务的正确数学观。

2．使学生经历由两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究过程，培养学生的探索精神。

3．掌握两角和与差的三角公式的结构特点与功能，了解这些公式的内在联系，能运用公式解决基本 三角函数式的化简、求值、证明等问题4．进一步提高学生的推理能力和运算能力，使学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。

教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系。

教学难点：探索过程的组织和引导，不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必需的基础知识学生是否熟练掌握的问题，运用已学知识和方法的能力问题。

设计思路：创设情境，引入课题 探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式 例题与练习 解决章头图中的实例 小结与作业设计环节说明：1．提问：在两角差余弦公式基础上我们能够直接解决章头图中的问题()0tan 45α+=吗？创设情境，引出本节课研究的课题。

2．探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式：问题一。

从公式()C αβ-出发，如何探求两角和的余弦公式()C αβ+呢？引导学生从①函数名称；②角度αβ+与αβ-等方面的关系进行联想，启发从角度的形式上进行转化化归。

问题二。

如何用,αβ的正、余弦来表示()sin αβ±呢？引导学生如何从()C αβ±到()S αβ±，着重从函数名称的转变上进行探索。

问题三。

怎样用,αβ的正切表示()tan αβ±呢？引导学生探究：化切为弦，化未知为已知，再化弦为切，利用单角的正切来表示和差的正切。

3．分析六个和、差公式的特点，从角度、名称和结构等方面加以比较分析，归纳它们之间的逻辑关系图，并提问学生思考公式适用的条件。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 三维目标1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sin α=55，α∈(0,2π)，cos β=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C （α-β）很容易求得cos （α-β），但是如果求cos （α+β）的值就得想法转化为公式C （α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.推进新课新知探究提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C (α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C (α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C (α+β)的结构有何特征？④在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S (α-β)、S (α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C (α-β)、C (α+β)、S (α-β)、S (α+β)，能否推导出tan(α-β)=?tan （α+β）=？⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？活动：对问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C (α-β)上来,这样就很自然地得到cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.所以有如下公式： cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C (α+β).对问题②，教师引导学生细心观察公式C (α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C (α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］ =cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α+β)、S (α-β). sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin 75sin 72cos 75cos 72ππππ+=__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来.当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(βαβαβαβββ-+=++a a 如果cos αcos β≠0,即cos α≠0且cos β≠0时,分子、分母同除以cos αcos β得tan(α+β)=)tan(tan 1tan tan βαβα--+，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=.tan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan βαβαβαβα+-=---+ 由此推得两角和、差的正切公式，简记为T (α-β)、T (α+β).tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+- 对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于2π+k π(k∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆.对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tan α，tan β或tan （α±β）的值不存在时，不能使用T （α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(2π-β)，因为tan 2π的值不存在，所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理等.应用示例思路1例1 已知sin α=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cos α,tan α的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sin α=53-,α是第四象限角，得cos α=54)53(1sin 122=--=-a . ∴tan α=a a cos sin =43-. 于是有sin(4π-α)=sin 4πcos α-cos 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ cos(4π+α)=cos 4πcos α-sin 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ tan(α-4π)=4tan tan 14tan tan ππa a +-=a a tan 11tan +-=7)43(1143-=-+--. 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.不查表求cos75°,tan105°的值解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=42621222322-=⨯-⨯, tan105°=tan(60°+45°)= 311345tan 60tan 145tan 60tan -+=-+ =-(2+3). 2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2sin(α+4π)等于 A.57 B.51 C.27 D.4 答案：A例2 已知sin α=32,α∈(2π,π),cos β=43-,β∈(π,23π). 求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S (α-β)、C (α+β)、T (α+β)应先求出cos α、sin β、tan α、tan β的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sin α=32,α∈(2π,π),得 cos α=a 2sin 1--=-2)32(1--=35-，∴tan α=552-. 又由cos β=31-,β∈(π,23π). sin β=β2cos 1--=47)43(12-=---, ∴tan β=37.∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =32×(43-)-(12356)47()35(--=-⨯-. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=(35-)×(43-)-32×(47-) =.127253+ ∴tan(α+β)=35215755637)552(137552tan tan 1tan tan ++-=⨯--+-=-+βαβα=17727532+-.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x 米，∠C AB=α，则sin α=6730， 在Rt△ABD 中，tan(45°+α)=3030+x tan α. 于是x=30tan )45tan(30-+αα , 又∵sin α=6730,α∈(0,2π),∴cos α≈6760,tan α≈21. tan(45°+α)=211211tan 1tan 1-+≈-+αα=3, ∴x=21330⨯-30=150(米). 答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC 中，sinA=53(0°<A<45°),cosB=135(45°<B<90°)，求sinC 与cosC 的值. 活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B). 又∵sinA=53且0°<A<45°,∴cosA=54. 又∵cosB=135且45°<B<90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练在△ABC 中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sin B≥1,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1 若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,且0<α<4π<β<43π,求cos(α+β)的值. 活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.解：∵0<α<4π<β<43π,∴43π<43π+α<π,-2π<4π-β<0, 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53, ∴cos(43π+α)=1312-,sin(4π-β)=54-. ∴cos(α+β)=sin ［2π+(α+β)］=sin ［(43π+α)-(4π-β)］ =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β) =135×53-(1312-)×(54-)=6533-. 本题是典型的变角问题,即把所求角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, 求cos(α+4π)的值. 解：∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, ∴23π<α+β<2π,2π<β-4π<43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=135-. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π)=54×(135-)+(53-)×1312=6556-. 例2 化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(a a a a θθθβθβββ-+-+- 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评.解：原式=aa a a a a sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin θθθθβθβθββββ-+-+- =a a a a a a a a sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin βθβθβθθβθβθβθβθβαθβ-+-+-=asin sin sin 0βθ =0.点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练 化简)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+ 解：原式=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+- =).tan()cos()sin(cos cos sin sin cos sin sin cos αβαβαββαβαβαβα-=--=+- 知能训练课本本节练习1—4. 1.(1)426-,(2)426-,(3)426+,(4)2-3. 2.10334-. 3.263512- 4.-2.作业已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解：∵4π<α<43π,∴2π-<4π-α<0.∴sin(4π-α)=2)53(1--=54-. 又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π,cos(43π+β)=2)135(1--=1312-. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(1312-)×53135-×(54-)=6556. 课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.设计感想1.本节课是典型的公式教学模式，是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”.它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题,从而使学生领会了数学中重要的数学思想——转化思想，并培养他们主动利用转化思想指导探索解决数学问题的能力.2.纵观本教案的设计，知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习，使学生深刻理解公式的推导、证明方法，熟练应用公式解决简单的问题.同时教给学生发现规律、探索推导、获取新知的方法，让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感.第2课时导入新课思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cos β＋sin （α＋β）sin β;(2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x x x x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式 (1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+ (2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+ 答案:1.(1)cos α;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sin αcos β±cos αsin β〔Ｓ（α±β）〕;cos （α±β）＝cos αcos βαsin β〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕. 讨论结果：略.应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°; （3）15tan 115tan 1-+活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得. 解：（1）由公式S (α-β)得 原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. （2）由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解. 变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x). 解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-. （2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21. （3）原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.计算.75tan 175tan 1+- 解：原式=75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-. 例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为R ,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值.活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评. 解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ-sinxsin θ =sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ+sinxsin θ.∴sinxcos θ+sinxsin θ=0.∴sinx(sin θ+cos θ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=k π(k∈Z ).∴θ=k π-4π(k∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力. 变式训练已知：2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=54-,求cos2β的值.解：∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π,π<α+β<23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)= 54-,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=53-.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =53-×1312+(54-)×135=6556-.例3 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α). 活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数. 证明：方法一：右边=2(sin6πcos α+cos 6πsin α)=2(21cos α+23sin α)=cos α+3sin α=左边.方法二：左边=2(21cos α+23sin α)=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α)=2sin(6π+α)=右边.点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23，即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx （a ，b 不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=AC os φ,b=Asin φ,那么asinx+bcosx=A(sinxcos φ+cosxsin φ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得 A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cos φ=22ba a+,sin φ=22ba b +,从而得到tan φ=ba,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它. 变式训练化简下列各式： （1）3sinx+cosx; （2）2cosx-6sinx.解：（1）原式=2(23sinx+21cosx)=2(cos 6πsinx+sin 6πcosx) =2sin(x+6π). （2）原式=22 (21cosx-23sinx)=22(sin 6πcosx-cos 6πsinx) =22sin(6π-x). 例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tan α)(1+tan β)的值; （2）已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tan α,tan β的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tan α,tan β的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现，它们都含有sin αcos β和cos αsin β，而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答. 解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1. 又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), 即tan α+tan β=1-tan αtan β.∴原式=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+(1-tan αtan β)+tan αtan β=2. （2）∵sin(α+β)=21,sin(α-β)= 31, ∴sin αcos β+cos αsin β=21,①sin αcos β-cos αcos β=31.②①+②得sin αcos β=125, ①-②得cos αsin β=121,∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法. 变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223. 2.计算：解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1. 知能训练课本本节练习5—7.解答：5.解:（1）原式=sin90°=1. （2）原式=cos60°=21. （3）原式=tan45°=1. （4）原式=-sin60°=23-. （5）原式=-cos60°=21-. （6）原式=sin20°（-cos70°）+（-cos20°）sin70° =-（sin20°cos70°+cos20°sin70°）=-sin90°=-1. 6.（1）原式=sin6πcosx-cos 6πsinx=sin(6π-x). （2）原式=2(23sinx+21cosx)=2sin(x+6π). （3）原式=2(22sinx-22cosx)=2sin(x-4π).（4）原式=22(21cosx-23sinx)=22sin(6π-x). 点评：将asinx+bcosx 转化为Asin(x+φ)或Acos(x+φ)的形式，关键在于“凑”和（或差）角公式.7.解：由sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=53,可得 sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin(α-β-α)=-sin β=53, ∴sin β=53-.又β是第三象限角， ∴cos β=54-.∴sin(β+45π)=sin βcos 45π+cos βsin 45π=1027.作业已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac ≠0)的两个根为tan α、tan β,求tan(α+β)的值. 解：由韦达定理得：tan α+tan β=ab -,tan αtan β=a c ,∴tan(α+β)=a c bac c b-=--=-+1tan 1tan tan αββα.课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.设计感想 1.本节是典型的习题课，目的就是加深巩固两角和与差公式的应用，深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧.因此,本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用.另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力.特别是给出了形如“asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)”公式的推导和应用，对于三角函数的研究，给我们提供了一种重要的方法.2.对于习题课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生先认真审题、独立思考、板演解法，然后教师再进行点评，理清思路，纠正错误，指导解法，争取一题多解，拓展思路,通过变式训练再进行方法巩固.。

两角和与差的正弦余弦正切公式教学案一、教学目标：1.知识与技能目标：掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

2.过程与方法目标：鼓励学生积极思考、合作学习，培养学生的逻辑推理能力。

3.情感与态度目标：培养学生的数学兴趣，增强对数学的自信心。

二、教学重、难点：1.教学重点：学习正弦、余弦、正切两角和与差的公式，能够正确地应用到解题中。

2.教学难点：正弦、余弦、正切两角和与差的公式的推导与应用。

三、教学准备：1.教师准备：教案、笔记、教辅资料、教学媒体等。

2.学生准备：学习笔记、作业本。

四、教学步骤：Step 1 引入新课1.教师展示一幅图形，引导学生观察图形中的三角形，并提问：对于一个任意的三角形ABC，如何求角A和角C的两角和与差的正弦、余弦和正切？2.引导学生思考，并提醒学生复习正弦、余弦、正切的定义和性质。

Step 2 探究与讨论1.教师以角A和角C的两角和为例，引导学生分析角A和角C的三角函数之间可能存在的关系，并引导学生探究和讨论。

2.学生合作讨论，提出各自的思考结果并互相交流。

Step 3 运用公式解题1.教师给出两具体的角A和角C的数值，并提问学生如何求其两角和与差的正弦、余弦和正切的值。

2.学生运用公式计算，并与他人交流讨论结果，互相纠正错误。

Step 4 归纳总结1.教师总结学生的讨论结果，整理归纳出正弦、余弦、正切两角和与差的公式。

2.指导学生将这些公式整理成归纳表格或表格。

Step 5 拓展应用1.教师给出一些拓展应用题目，要求学生利用所学知识解答。

2.学生独立完成练习题，并互相交流讨论。

Step 6 小结与反思1.教师对本节课的内容进行小结，并引导学生参与总结。

2.向学生征求反馈意见，以便以后教学改进。

五、教学评价：1.学生通过合作探究和讨论，积极参与课堂活动。

2.学生能够利用正弦、余弦、正切两角和与差的公式解决实际问题。

3.学生对角度与三角函数之间的关系有了更深入的了解。

4.学生对本节课的教学内容和方式进行评价。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计与反思教材分析本节教材在高中三角函数中占有很重要的地位，因为它与前面所学习的两角差的余弦公式有着密切的联系，是在两角差的余弦公式的基础上推导出来的结果，而且与更早之前学习的诱导公式、同角三角函数关系有着密切的联系；同时又是后面将要学习二倍角公式的基础，因此学好本节内容知识，不仅可对以前所学的相关知识进行加深理解和巩固，而且为后面将要学习的知识作了很好的铺垫作用。

教学目标（1）知识与技能使学生能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦，并进而推得两角和与差的正弦公式、正切公式；使学生能进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形；培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。

（2）过程与方法通过教学活动，使学生理解两角和与差正弦、余弦、正切公式的形成过程；探究推导两角和与差正弦、余弦、正切公式的方法。

（3）情感态度与价值观通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。

教学重点、难点：重点：两角和与差正弦、余弦、正切公式的推导及记忆；难点：灵活运用所学公式进行求值、化简及证明。

教学方法本节教学采用启发式教学，辅以观察法、发现法、讲练结合法。

采用这种方法的原因是本校高一学生的领会思想的能力比较差，回顾旧知的能力不足，通过师生的配合，共同进行探究活动，使其理解并掌握本节知识。

教学过程（一）课堂引入首先引导学生回顾一下两角差的余弦公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ问题1：计算：（1）cos105。

cos15。

+ sin105。

sin15。

（2）-cos(θ+21。

)cos（θ-24。

）-sin(θ+21。

)sin（θ-24。

）思考：如果此处是求"cosαcosβ-sinαsinβ"的值呢？如何处理(引导学生去猜想可能就是"cos(α+β)")？教师指出这便是本节所要探讨的内容之一，由此引入新课。

两角和与差的余弦、正弦、正切教学目标知识目标：两角和的正切公式；两角差的正切公式能力目标：掌握T (α＋β)，T （α－β）的推导及特征；能用它们进行有关求值、化简情感态度：提高学生简单的推理能力；培养学生的应用意识；提高学生的数学素质 教学重点两角和与差的正切公式的推导及特征教学难点灵活应用公式进行化简、求值。

教学过程Ⅰ。

复习回顾首先，我们来回顾一下前面所推导两角和与差的余弦、正弦公式.（学生作答，老师板书）sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β（S （α＋β）)sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β（S (α－β））cos(α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β（C （α＋β）)cos(α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β(C （α－β））要准确把握上述各公式的结构特征.Ⅱ.讲授新课一、推导公式［师］上述公式结合同角三角函数的基本关系式,我们不难得出:当cos （α＋β）≠0时tan （α＋β)＝βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(a -+=++ 如果cos αcos β≠0，即cos α≠0且cos β≠0，我们可以将分子、分母都除以cos αcos β，从而得到：tan （α＋β)＝βαβαtan tan 1tan tan -+ 不难发现，这一式子描述了两角α与β的和的正切与这两角的正切的关系。

同理可得：tan （α－β）＝βαβαtan tan 1tan tan +- 或将上式中的β用－β代替，也可得到此式.这一式子又描述了两角α与β的差的正切与这两角的正切的关系。

所以，我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式,简记为T （α＋β），T (α－β）。

但要注意：运用公式T （α±β）时必须限定α、β、α±β都不等于2π＋k π（k ∈Z )。

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具三角板，彩色粉笔，幻灯片五、教学方法教法：引导探究，归纳总结学法：合作讨论，自主学习六、教学过程1．导入新课(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sinα=，α∈(0,)，cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C（α-β）很容易求得cos（α-β），但是如果求cos（α+β）的值就得想法转化为公式C（α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.2．推进新课提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C(α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出tan(α-β)=? tan（α+β）=？⑦分析观察公式T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？活动：对问题①，学生默写完后，教师播放幻灯片，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C(α-β)上来,这样就很自然地得到cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ. 所以有如下公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α+β).对问题②，教师引导学生细心观察公式C(α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C(α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的会想到利用同角的平方和关系式sin2α+cos2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β］=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.对问题④⑤，教师引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin=_____. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来.当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得tan(α+β)=，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=由此推得两角和、差的正切公式，简记为T(α-β)、T(α+β).tan(α+β)=tan(α-β)=对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于+kπ(k∈Z)，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆.对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用T（α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(-β)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-β)=来处理等.应用示例例1 已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=,α是第四象限角，得cosα=.∴tanα==.于是有sin(-α)=sin cosα-cos sinα=cos(+α)=cos cosα-sin sinα=tan(α-)===.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练11.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )A. B. C.D.4答案：A例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sinα=,α∈(,π),得cosα==-=，∴tanα=.又由cosβ=,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×()-(.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()=∴tan(α+β)==.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.于是x=,又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC与cosC的值.活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=且0°<A<45°,∴cosA=.又∵cosB=且45°<B<90°,∴sinB=.∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练3在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C七、课堂小结1.学生提纲契领：学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）一、教学目标1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换。

二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入：（1）基本公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ （2）练习：教材P132面第6题。

思考：怎样求ααcos sin b a +类型？（二）新课讲授例1x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x x x ⎫==-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到的？=，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12的. 归纳：b a b a b a =++=+ϕϕαααtan )sin(cos sin 22 例2、已知：函数R x x x x f ∈-=,cos 32sin 2)( （1） 求)(x f 的最值。

（2）求)(x f 的周期、单调性。

例3．已知A 、B 、C 为△ABC 的三內角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=•n m，（1） 求角A 。

（2）若3sin cos cos sin 2122-=-•+BB B B ，求tanC 的值。

芯衣州星海市涌泉学校.两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学设计【教学目的】1.掌握两角和与差公式的推导过程；2.培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理才能；3.开展学生的正、逆向思维才能，构建良好的思维品质；4.引导学生建立两角差的余弦公式，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的构造及其功能，并为建立其他和差公式打好根底.【导入新课】 创设情景，提醒课题以教学楼为背景素材〔见课件〕引入问题.并针对问题中的0cos15用计算器或者者不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题.教师问：想一想:因某次活动的需要,需从楼顶的C 点处往该点正对的地面上的A 点处拉一条钢绳,为了在购置钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗(要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)问题：〔1〕能不能不用计算器求值：0cos 45，0cos30，0cos15？ 〔2〕0000cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向.新授课阶段一、两角差的余弦公式的推导过程 1.三角函数线法：问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边？②怎样作出角αβ-的余弦线OM ？③怎样利用几何直观寻找OM 的表示式？设计意图：尽量用动画课件把探究过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式构造形式的认识.（1） 设角α终边与单位圆地交点为P1，1,POP POx βαβ∠=∠=-则.（2） 过点P 作PM⊥X 轴于点M ，那么OM 就是αβ-的余弦线.（3） 过点P 作PA⊥OP1于A ，过点A 作AB⊥x 轴于B ，过点P 作PC⊥AB 于C那么OA 表示cos β，AP 表示sinβ，并且1.PAC POx α∠=∠= 于是OM=OB+BM=OB+CP=OA cos α+AP sin α=cos cos sin sin βαβα+.最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：α、β、αβ-都是锐角，且αβ>.2.向量法：问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果？③ 对探究的过程进一步严谨性的考虑和处理，从而得到合理的科学结论.设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性. 如图，建立单位圆O ：()()cos ,sin ,cos ,sin OA OB ααββ==则，由向量数量积的概念,有由向量数量积的坐标表示,有 因为α、β、都是任意角,所以αβ-也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个[0,2)θπ∈，使得coscos()θαβ=-.cos 2cos cos OA OB πθθαβ•=-==-（）（）.于是对于任意角α、β都有例1利用差角余弦公式求0cos15的值.〔求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度考虑问题〕 解法1：cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 304+=-=+=…=解法2：0000000cos15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45=-=+=…=44π52 sin α= α πcos β= - βcos 5213αβ∈- 例已知，（，），，第三象限角，求（）的值.〔让学生联络公式()C αβ-和此题的条件，考虑清楚要计算()cosαβ-，应作哪些准备〕解：由x4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，得3cos .5α===-又由5cos 13β=-，β是第三象限角，得12sin .13β===- 所以()3541233coscos cos sin sin ().51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 让学生结合公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决.二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导与运用()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin .αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并考虑两角和与差正切公式.〔学生动手〕()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？〔分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,().222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推导出两角差的正切公式呢？注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．例33sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===-，于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=⨯-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样，我们能否用第一章知识证明？例4利用和〔差〕角公式计算以下各式的值：〔1〕sin 72cos 42cos72sin 42-；〔2〕cos 20cos70sin 20sin 70-；〔3〕1tan151tan15+-．解：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相像.〔1〕()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==； 〔2〕()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；〔3〕()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．例5.x x -解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？考虑：是怎么得到的？=我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12和2的.课堂小结本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要擅长发现规律，学会灵敏运用.作业 见同步练习 拓展提升 一、选择题 1.0000cos50cos 20sin50sin 20+的值是〔〕A.12B.132.0cos(15)-的值是〔〕3.12cos ,0,132παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，那么cos()4πα-的值等于〔〕A.13B.26 C.26D.13(A)23-(B)21- (C)21 (D)23 (A)32(B)332()32 -C (D)332- (A)10π(B)6π (C)5π (D)4π 二、填空题 7.化简00cos(30)cos sin(30)sin αααα+++=.8.假设()0cos60,sin 60,(cos15,sin15)a b ==，那么a b •=.三、解答题、12.233sin ,,cos ,0,3242ππααπβα⎛⎫⎛⎫=-∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos()αβ-的值.参考答案1.C2.C3.B4.B5.C6.A7.28.29.10362+-10.111.αcos12.解：由23sin ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，得cos α=；又由23sin ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，得sin β=；因此，cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+=。