初中数学最值系列之瓜豆原理

最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路．一、轨迹之圆篇引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？Q【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠P AQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．Q【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑∠P AQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=45°；（2）AP:AQ1，故Q点轨迹是个圆．连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM：1．M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．【练习】如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．【2016武汉中考】如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．【分析】考虑C 、M 、P 共线及M 是CP 中点，可确定M 点轨迹：取AB 中点O ，连接CO 取CO 中点D ，以D 为圆心，DM 为半径作圆D 分别交AC 、BC 于E 、F 两点，则弧EF 即为M 点轨迹．当然，若能理解M 点与P 点轨迹关系，可直接得到M 点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．【2018南通中考】如图，正方形ABCD 中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．OABCDE F【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．F考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．【练习】△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．AB CDE O【分析】考虑到AB 、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB ，将AC 看成动线段，由此引发正方形BCED 的变化，求得线段AO 的最大值．根据AC =2，可得C 点轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆．OEDCBA接下来题目求AO 的最大值，所以确定O 点轨迹即可，观察△BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点C 的轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆，所以O 点轨迹也是圆，以AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M 即为点O 轨迹圆圆心．连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．A'或者直接利用托勒密定理可得最大值．二、轨迹之线段篇引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．Q2AB CQ1。

最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q 之间存在某种联系，从P 点出发探讨Q 点运动轨迹并求出最值，为常规思路．一、轨迹之圆篇引例1：如图，P 是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP 中点．考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O 有什么关系？考虑到Q 点始终为AP 中点，连接AO，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，任意时刻，均有△AMQ ∽△ AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．小结】确定Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O 三点共线，由Q 为AP 中点可得：AM=1/2AO ．Q 点轨迹相当于是P 点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将AP 绕点 A 逆时针旋转90°得AQ，故Q 点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM⊥ AO；考虑AP=AQ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO≌△ AQM ．引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠ PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M 满足AO:AM=2:1．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【结论】（ 1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠PAQ=∠OAM ； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比： AP:AQ=AO:AM ，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆， Q 与 P 的关系相当于旋转 + 伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆． “种 ”圆得圆， “种”线得线，谓之“瓜豆原理【模型总结】为了便于区分动点 P 、 Q ，可称点 P 为 “主动点 ”，点 Q 为“从动点此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠ PAQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（ AP:AQ 是定值）．【思考1】：如图，P 是圆O 上一个动点， A 为定点，连接AP ，以AP 为一边作等边△APQ．考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？QA【分析】Q 点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q 点轨迹是个圆：考虑∠ PAQ=60°，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足∠ MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO≌△ AQM ．A【小结】可以理解AQ 由AP 旋转得来，故圆M 亦由圆O 旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP 与AQ 的位置和数量关系．【思考2】如图，P 是圆O 上一个动点， A 为定点，连接AP，以AP 为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P 在圆O 上运动时，如何作出Q 点轨迹？【分析】Q点满足（1）∠ PAQ=45°；（2）AP:AQ= 2：1，故Q点轨迹是个圆．连接AO，构造∠ OAM=45°且AO :AM = 2 ：1．M 点即为Q 点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△ AMQ ．即可确定点Q 的轨迹圆．Q【练习】如图，点 P （ 3,4），圆 P 半径为 2，A （2.8,0），B （5.6,0），点 M 是圆 P 上的动点， 点 C 是 MB 的中点，则 AC 的最小值是 ．取 BP中点 O ，以 O 为圆心， OC 为半径作圆，即为点 C 轨迹．当 A 、C 、O 三点共线且点 C 在线段 OA 上时， AC 取到最小值，根据 B 、 P 坐标求 O ，利用 两点间距离公式求得 OA ，再减去 OC 即可．分析】 M 点为主动点， C 点轨迹：2016 武汉中考】如图，在等腰 Rt △ABC 中，AC=BC= 2 2 ，点 P 在以斜边 AB 为直径的半 圆上， M 为 PC 的中点，当半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长为【分析】考虑 C 、M 、 P 共线及 M 是 CP 中点，可确定 M 点轨迹：取 AB 中点 O ，连接 CO 取 CO 中点 D ，以 D 为圆心， DM 为半径作圆 D 分别交 AC 、BC 于E 、F 两点，则弧 EF 即为 M 点轨迹．当然，若能理解 M 点与 P 点轨迹关系， 可直接得到 M 点的轨迹长为 P 点轨迹长 半，即可解决问题．【2018 南通中考】如图，正方形 ABCD 中， AB 2 5 ，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点， OE=2，连接 DE ，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得 DF ， 连接 AE 、 CF ．求线段OF 长的最小值．【分析】 E 是主动点， F 是从动点， D 是定点， E 点满足 EO=2 ，故 E 点轨迹是以 O 为圆心， 2 为半径的圆．F考虑 DE ⊥DF 且 DE=DF ，故作 DM ⊥DO 且 DM =DO ，F 点轨迹是以点 M 为圆心，2 为半径的圆．直接连接 OM ，与圆 M 交点即为 F 点，此时 OF 最小．可构造三垂直全等求线段 长，再利用勾股定理求得 OM ，减去 MF 即可得到 OF 的最小值．F练习】 △ABC 中，AB=4，AC=2，以 BC 为边在△ABC 外作正方形 BCDE ，BD 、 CE 交于点O ，则线段 AO 的最大值为【分析】考虑到 AB 、 AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定 AB ，将 AC 看 成动线段，由此引发正方形 BCED 的变化，求得线段 AO 的最大值．根据 AC=2，可得 C 点轨迹是以点 A 为圆心， 2 为半径的圆．接下来题目求 AO 的最大值， 所以确定 O 点轨迹即可， 观察 △BOC 是等腰直角三角 形，锐角顶点 C 的轨迹是以点 A 为圆心， 2 为半径的圆，所以 O 点轨迹也是圆， 以 AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点 M 即为点 O 轨迹圆圆心．B连接 AM 并延长与圆 M 交点即为所求的点 O ，此时 AO 最大，根据 AB 先求 AM ， 再根据BC 与 BO 的比值可得圆 M 的半径与圆 A 半径的比值， 得到 MO ，相加即得 AO ．或者直接利用托勒密定理可得最大值．此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当 最大值．A 、C 、A '共线时，可得 AOA'引例：如图， P 是直线 BC 上一动点，连接 AP ，取 AP 中点 Q ，当点 P 在BC 上运 动时， Q 点轨迹是？【分析】当 P 点轨迹是直线时， Q 点轨迹也是一条直线． 可以这样理解：分别过A 、Q 向 BC 作垂线，垂足分别为 M 、N ，在运动过程中， 因为 AP=2AQ ，所以 QN始终为 AM 的一半， 即 Q 点到 BC 的距离是定值， 故 Q 点 轨迹是一条直线．引例】如图， △APQ 是等腰直角三角形，∠ PAQ=90°且 AP=AQ ，当点 P 在直线BC 上运动时，求 Q 点轨迹？分析】 当 AP 与 AQ 夹角固定且 AP:AQ 为定值的话， P 、 Q 轨迹是同一种图形． 当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的 Q 点的位置，连线即可，比如 Q 点的起始位置和终点位置，连接即得 Q 点轨迹线段．模型总结】 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠ PAQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（ AP:AQ 是定值）．轨迹之线段篇AP N M结论：P、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠ PAQ（当∠ PAQ≤90时°，∠ PAQ 等于MN 与BC 夹角）P、Q 两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC ∽△ AMN，可得AP:AQ=BC:MN）A【2017 姑苏区二模】如图，在等边△ABC 中，AB=10，BD=4，BE=2，点P 从点 E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长是_________ ．【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知 F 点运动路径长与P 点相同，P 从 E 点运动到 A 点路径长为8，故此题答案为8．P 12013 湖州中考】如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为 2 3 的一个定点， AC ⊥ x 轴于点 M ，交直线 y=-x 于点 N ，若点 P 是线段 ON 上的一个动点，∠ APB=30°， BA ⊥PA ，则点 P 在线段 ON 上运动时， A 点不变， B 点随之运动． 求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长是 _____________ ．分析】根据∠ PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB= 3:1，故 B 点轨迹也是线段， 且 P 点轨迹路径长与 B 点轨迹路径长之比也为 3:1，P 点轨迹长 ON 为 2 6，故B 点轨迹长为 2 2 ．【练习】如图，在平面直角坐标系中， A （ -3,0），点 B 是 y 轴正半轴上一动点，点 C 、D 在x 正半轴上， 以 AB 为边在 AB 的下方作等边 △ABP ，点 B 在 y 轴上运动时，取两特殊时刻： （1）当点 B 与点 O 重合时，作出 P 点位置 P1；（ 2）当点 B 在 x 轴 上方且 AB 与 x 轴夹角为 60°时，作出 P 点位置 P2．连接 P1P2，即为 P 点轨迹．yByAMOPNC上运动，故可知 P 点轨迹也是直线．是等边三角形且 B 点在直线根据∠ ABP=60°可知： P 1P 2与y 轴夹角为 60°，作 OP ⊥ P 1P 2 ，所得 OP 长度即为最 小值，OP2=OA =3，所以 OP=3 ．2【2019 宿迁中考】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE=1，F 为 AB 边 上的一个动点， 连接 EF ，以 EF 为边向右侧作等边 △EFG ，连接 CG ，则 CG 的最小值为．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求F 点看成是由点 B 向点 A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到 F 点轨迹是线段， 故 G 点轨迹也是线段， 取起点和终点即可确定线段位置， 初始时刻G 点在 G 1位置，最终 G 点在G 2位置（ G 2不一定在 CD 边），G 1G 2即为 G 点运动轨迹．CG 最小值即当 CG ⊥ G 1G 2的时候取到，作 CH ⊥G 1G 2于点 H ，CH 即为所求的最 小值．CG 最小值，可以将A ．2 B ．4 C ．6 D ．8根据模型可知： G 1G 2与 AB 夹角为 60°，故 G 1G 2⊥ EG 1． 过点 E 作 EF ⊥CH 于点 F ，则 HF 所以 CH= 5 ，因此 CG 的最小值为2AD三、轨迹之其他图形篇所谓 “瓜豆原理 ”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、 从动点与 定点连线形成的夹角以及主、 从动点到定点的距离之比， 可确定从动点的轨迹， 而 当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．2【2016 乐山中考】如图，在反比例函数 y 2 的图像上有一个动点 A ，连接 AOx并延长交图像的另一支于点 B ，在第一象限内有一点 C ，满足动时，点 C 始终在函数 y k 的图像上运动，若 tan ∠ CAB=2，【分析】 ∠ AOC=90°且 AO:OC=1:2，显然点 C 的轨迹也是一条双曲线， 分别作AM 、 CN 垂直 x 轴，垂足分别为 M 、N ，连接 OC ，易证 △AMO ∽△ ONC ，∴ CN=2OM ， ON=2AM ，∴ ON ·CN=4AM ·OM ，故 k=4×2=8．13G 1E =1， CF= CE ，22AC=BC ，当点 A 运则 k 的值为（ ）HG 2【思考】若将条件 “tan ∠ CAB=2”改为“△ABC 是等边三角形 ”，k 会是多少？【练习】如图， A （-1,1），B （ -1,4），C （-5,4），点 P 是△ABC 边上一动点，连接OP ，以OP 为斜边在 OP 的右上方作等腰直角 △OPQ ，当点 P 在△ABC 边上运动一周时，点 Q 的轨迹形成的封闭图形面积为 _______ ．yO【分析】根据 △OPQ 是等腰直角三角形可得： Q 点运动轨迹与 P 点轨迹形状相同， 根据 OP:OQ= 2 :1 ，可得 P 点轨迹图形与 Q 点轨迹图形相似比为 2 :1 ，故面积 比为2:1，△ABC 面积为 1/2 ×3×4=6 ，故 Q 点轨迹形成的封闭图形面积为 3．【小结】 根据瓜豆原理， 类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积， 根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．x【练习】如图所示， AB=4，AC=2，以 BC 为底边向上构造等腰直角三角形 BCD ， 连接 AD 并延长至点 P ，使 AD=PD ，则 PB 的取值范围为 __________ ．考虑到 AP=2AD ，故 P 点轨迹是以 N 为圆心， 2 2 为半径的圆， 即可求出 PB 的取 值范围．P分析】固定 AB 不变，AC=2，则 C 点轨迹是以 A 为圆心， 2 为半径的圆，以 BC为斜边作等腰直角三角形 BCD ，则 D 点轨迹是以点 M 为圆心、 2 为半径的圆。

中学数学最次噩梦瓜豆原理
瓜豆原理是主从联动轨迹问题，主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线；瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆。

关键是作出从动点的运动轨迹，根据主动点的特殊位置点，作出从动点的特殊点，从而连成轨迹。

平面内，动点Q随着动点P的运动而运动，我们把点P叫做主动点，点Q叫做从动点；当这两个动点与某个定点连线的夹角一定，且与该定点距离之比一定时（简记为“定角、定比”），易判断两个动点与定点构成的三角形形状一定，大小可能变，此时两个动点的轨迹形状相同。

因此，如果掌握了瓜豆原理，那么对于中学数学中的一些轨迹问题，就可以轻松解决。

3最值系列之瓜豆原理瓜豆原理是由中国古代哲学家荀子创立的一种思想方法和人生观。

瓜豆原理主要强调的是人们在生活中要遵循自然界的一些规律和原则，以达到和谐、平衡、适度地生活的境地。

由此产生了瓜豆原理，它认为人们的发展和生活也应该像农夫种植瓜豆一样，要遵循一些规律和原则。

瓜豆原理包含了以下几个主要观点：1.适者生存：瓜豆原理中的核心理念是适者生存。

在生活中，每个人都有自己的优点和特长，应该找到适合自己的发展道路，并且根据自己的身体条件、知识水平和兴趣爱好进行选择与定位，不要匆忙跟从别人的脚步，找到适合自己的位置，迸发出自己的光芒。

2.和谐发展：瓜豆原理强调了事物在发展中要保持和谐的境界。

在自然界中，瓜和豆都是有自己的生长环境和空间，共存互利，相互支持。

人们要学会与周围的事物保持和谐相处，尊重他人的存在，体谅别人的难处，建立良好的人际关系，使整个社会变得更加和谐。

3.适度发展：瓜豆原理认为，在生活中，人们应该学会适度发展。

像瓜和豆一样，如果一味追求过大的发展，往往会导致问题产生。

人们应该根据自身的条件和能力，适度的去追求幸福和成功。

在事业上，不要贪得无厌；在生活上，不要奢望太多。

只有适度地发展，才能够充分享受生活，减少悔恨与失落。

4.随缘而动：瓜豆原理中有一种对待事物的态度叫做“随缘而动”。

瓜与豆在生长过程中，如果农夫看到其中一种情况不妥，会采取相应的措施进行调整。

这告诉我们，人们在生活中也要灵活、机智地应对变化和挑战。

当遇到困难与挫折时，应该学会调整心态，寻找解决问题的方法，而不是消极地抗拒和逃避。

瓜豆原理不仅适用于个人的生活和成长，也可以用来指导组织和社会的发展。

在组织中，瓜豆原理告诉我们要注重团队的和谐与合作，充分发挥每个人的优点，形成互补的合作关系。

在社会中，瓜豆原理告诉我们要尊重他人的存在，保持社会的公平、公正，以实现人与人、人与社会之间的和谐发展。

总之，瓜豆原理是人们在生活中要遵循的一种思想方法和人生观。

初中数学瓜豆原理
瓜豆原理是指对于有限集A和B，若A与B的并集等于整个宇集，且A与B的交集为空集，则A与B的元素个数之和等于整个宇集的元素个数之和。

数学表达式为:
A ∪
B = A + B
其中，A ∪B 表示A和B的并集中的元素个数，A 和B 分别表示A和B 的元素个数。

瓜豆原理常用于计算组合问题，例如在一个班级中，有15位男同学和10位女同学，从中选出3名同学组成小组，其中至少要包含一位女生，那么可以使用瓜豆原理来计算总方案数，即：
总方案数= 选出3名同学的方案数- 不包含女生的方案数
= C(25,3) - C(15,3)
= 2300
其中，C(n,m)表示从n个元素中选出m个元素的组合数。

最值系列之瓜豆原理初中数学有一类动态问题叫做主从联动，这类问题应该说是非常出题，好多优秀老师都在研究它，原因是它在很多名校模考的时候经常出现，有的老师叫他瓜豆原理，个人理解可能是种瓜得瓜种豆得豆的意思吧，主动点运动的轨迹是什么，则从动点的轨迹就是什么。

也有的老师叫他旋转相似，或者手拉手。

我感觉这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题，但在解答问题时，要符合解不超纲的原则，所以最后解决问题还是用到了旋转相似的知识，也就是动态手拉手模型，下面整理一些题目来集中训练一下这类题目，希望对你能有所帮助涉及的知识和方法：知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值。

方法：第一步：找主动点的轨迹；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值在此类题目中，题目或许先描述的是主动点P，但最终问题问的可以是另一点Q（从动点），根据P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值。

一、轨迹之圆篇引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？Q【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠P AQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．Q【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑∠P AQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=45°；（2）AP:AQ1，故Q点轨迹是个圆．连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM：1．M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．【练习】如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．【2016武汉中考】如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．【分析】考虑C 、M 、P 共线及M 是CP 中点，可确定M 点轨迹：取AB 中点O ，连接CO 取CO 中点D ，以D 为圆心，DM 为半径作圆D 分别交AC 、BC 于E 、F 两点，则弧EF 即为M 点轨迹．当然，若能理解M 点与P 点轨迹关系，可直接得到M 点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．【2018南通中考】如图，正方形ABCD 中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．OABCDE F【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．F考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．【练习】△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．AB CDE O【分析】考虑到AB 、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB ，将AC 看成动线段，由此引发正方形BCED 的变化，求得线段AO 的最大值．根据AC =2，可得C 点轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆．OEDCBA接下来题目求AO 的最大值，所以确定O 点轨迹即可，观察△BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点C 的轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆，所以O 点轨迹也是圆，以AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M 即为点O 轨迹圆圆心．连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．A'或者直接利用托勒密定理可得最大值．二、轨迹之线段篇引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．Q2AB CQ1【模型总结】 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）． 结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角）P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ）【2017姑苏区二模】如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．A【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知F 点运动路径长与P 点相同，P 从E 点运动到A 点路径长为8，故此题答案为8．【2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥P A，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O 运动到点N时，点B运动的路径长是________．【分析】根据∠P AB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B，P点轨迹长ON为B点轨迹长为【练习】如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【分析】求OP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP =60°可知：12P P 与y 轴夹角为60°，作OP ⊥12P P ，所得OP 长度即为最小值，OP 2=OA =3，所以OP =32．【2019宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．G 2CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．GABCDEF根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE =，所以CH =52，因此CG 的最小值为52．G 2三、轨迹之其他图形篇所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．【2016乐山中考】如图，在反比例函数2y x=-的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数ky x=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？【练习】如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ，可得P点轨迹图形与Q，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．【练习】如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．ABCDP【分析】固定AB 不变，AC =2，则C 点轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆，以BC 为斜边作等腰直角三角形BCD ，则D 点轨迹是以点M考虑到AP =2AD ，故P 点轨迹是以N 为圆心，即可求出PB 的取值范围．。

初三数学瓜豆原理
瓜豆原理是数学里的一个经典问题，它的具体形式是这样的：如
果有m个瓜和n个豆，它们总共有多少种选择方式呢？根据瓜豆原理，可以得出这个选择方式的总数为m+n。

那么，为什么可以使用瓜豆原理呢？实际上，瓜和豆是两个相互
独立的选择，也就是说，选择瓜的决策不会影响到选择豆的决策，反
之亦然。

因此，我们可以将选择瓜和选择豆的决策看成是两个独立的事件，它们各自有m和n种选择。

按照乘法原理，两个事件的选择方式总数
为m×n。

然而，我们还需要考虑的是，选择瓜和选择豆这两个事件是“或”的关系，也就是说，我们需要求的是两个事件的选择方式总数之和。

根据加法原理，我们可以得到两个事件的选择方式总数为m+n，
这就是瓜豆原理的内容。

总之，瓜豆原理是一种十分常见而且有用的数学方法，可以用来
解决各种复杂的计数问题。

3最值系列之瓜豆原理瓜豆原理是由我国古代数学家祖冲之提出的一种数学方法，被广泛应用于解决各种数学问题。

它主要用于求解最值问题，即找出一组数中的最大值或最小值。

瓜豆原理的核心思想是通过比较两组数中较大的数与较小的数的差值来判断最值的大小。

下面我们将详细介绍瓜豆原理及其应用。

瓜豆原理由瓜数和豆数组成，瓜数表示较大的数，而豆数表示较小的数。

根据祖冲之的定义，如果瓜数大于或等于豆数，那么瓜数减豆数的差值就是最值；如果瓜数小于豆数，那么瓜数减豆数的差值的相反数就是最值。

用数学公式表示为：最值=瓜数-豆数。

瓜豆原理主要应用于以下三种常见的数学问题：1.最大值问题：对于一组数中，我们要找出最大的数。

这时我们可以将其中的一个数作为瓜数，将其余所有数作为豆数，然后将瓜数减去豆数的差值作为最大值。

如果瓜数大于或等于豆数，那么最大值就是瓜数减豆数的差值；如果瓜数小于豆数，那么最大值就是瓜数减豆数的相反数。

举个例子，假设我们要找出以下一组数中的最大值：2,5,7,3,9、我们可以将9作为瓜数，将2,5,7,3作为豆数。

然后我们计算瓜数减豆数的差值9-2=7、因此，最大值为72.最小值问题：对于一组数中，我们要找出最小的数。

这时我们可以将其中的一个数作为瓜数，将其余所有数作为豆数，然后将瓜数减去豆数的差值作为最小值。

如果瓜数大于或等于豆数，那么最小值就是瓜数减豆数的差值的相反数；如果瓜数小于豆数，那么最小值就是瓜数减豆数的差值。

举个例子，假设我们要找出以下一组数中的最小值：4,8,3,6,1、我们可以将1作为瓜数，将4,8,3,6作为豆数。

然后我们计算瓜数减豆数的差值1-4=-3、因此，最小值为-33.最值范围问题：对于一组数中，我们要找出最大值和最小值的范围。

这时我们可以先找出最大值和最小值，然后将最大值减去最小值的差值作为最值范围。

举个例子，假设我们要找出以下一组数中的最值范围：6,9,2,5、我们可以先找出最大值和最小值，最大值为9，最小值为2、然后我们计算最值范围9-2=7、因此，最值范围为7总结起来，瓜豆原理是一种简单而有效的数学方法，适用于解决最值问题。

瓜豆原理---主从联动（放缩旋转）
首先这个题目很有意思，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。

它实质上反映了事物的内在联系和必然性。

在这里，我们类比的是，在一类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫做主动点和从动点，主动点怎么动，从动点就跟着怎么动，即所谓的“种瓜得瓜，种豆得豆”。

今天我们就来研究这类双动点问题。

瓜豆原理实质就是双动点运动轨迹问题，主动点是瓜，从动点是豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹就是直线，瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹就是圆。

瓜豆原理的条件是，主动点、从动点与定点连线的夹角为定量，主动点和从动点到定点的距离之比为定量。

瓜豆原理将几何中最难的双动点问题，用通俗易懂成语描述出来，让我们不仅产生了浓厚的研究兴趣，而且将找动点轨迹这一有难度的问题成功的化解，用旋转加位似来解决，从而帮我们建立起解决问题的模型。

瓜豆原理就是几何最值问题中的一朵奇葩。

瓜豆瓜豆，主从联动；
种瓜得瓜，种豆得豆；
瓜圆豆圆，瓜线豆线；
定角定比，放缩旋转。