初中数学解题模型专题讲解42---最值系列之瓜豆原理

最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路．一、轨迹之圆篇引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？Q【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠P AQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．Q【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑∠P AQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=45°；（2）AP:AQ1，故Q点轨迹是个圆．连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM：1．M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．【练习】如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．【2016武汉中考】如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．【分析】考虑C 、M 、P 共线及M 是CP 中点，可确定M 点轨迹：取AB 中点O ，连接CO 取CO 中点D ，以D 为圆心，DM 为半径作圆D 分别交AC 、BC 于E 、F 两点，则弧EF 即为M 点轨迹．当然，若能理解M 点与P 点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．【2018南通中考】如图，正方形ABCD 中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．OABCDE F【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．F考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．【练习】△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．AB CDE O【分析】考虑到AB 、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB ，将AC 看成动线段，由此引发正方形BCED 的变化，求得线段AO 的最大值．根据AC =2，可得C 点轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆．OEDCBA接下来题目求AO 的最大值，所以确定O 点轨迹即可，观察△BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点C 的轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆，所以O 点轨迹也是圆，以AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M 即为点O 轨迹圆圆心．连接AM 并延长与圆M 交点即为所求的点O ，此时AO 最大，根据AB 先求AM ，再根据BC 与BO 的比值可得圆M 的半径与圆A 半径的比值，得到MO ，相加即得AO ．此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A 、C 、A ’共线时，可得AO最大值．A'或者直接利用托勒密定理可得最大值．二、轨迹之线段篇引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．Q2AB CQ1【模型总结】 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）． 结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角）P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ）【2017姑苏区二模】如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．A【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知F 点运动路径长与P 点相同，P 从E 点运动到A 点路径长为8，故此题答案为8．【2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥P A，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O 运动到点N时，点B运动的路径长是________．【分析】根据∠P AB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B，P点轨迹长ON为B点轨迹长为【练习】如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【分析】求OP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP =60°可知：12P P 与y 轴夹角为60°，作OP ⊥12P P ，所得OP 长度即为最小值，OP 2=OA =3，所以OP =32．【2019宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．G 2CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．GABCDEF根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE =，所以CH =52，因此CG 的最小值为52．G 2三、轨迹之其他图形篇所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．【2016乐山中考】如图，在反比例函数2y x=-的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数ky x=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？【练习】如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ，可得P点轨迹图形与Q，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．【练习】如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．ABCDP【分析】固定AB 不变，AC =2，则C 点轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆，以BC 为斜边作等腰直角三角形BCD ，则D 点轨迹是以点M考虑到AP =2AD ，故P 点轨迹是以N 为圆心，即可求出PB 的取值范围．。

中考数学最难瓜豆原理
中考数学中的“瓜豆原理”指的是组合数学中的排列与组合。

在考试中，常常会出现和瓜豆原理相关的问题，让很多考生感到头疼。

瓜豆原理实际上是由两个定理组成的：
1. 瓜式原理（也称为“乘法原理”）：做一件事情有m种方法，做另一件事情有n种方法，那么这两件事情一共有m\times n种方法。

例如，从5个数0、1、2、3、4中取3个数，可以分成两个步骤：
第一步，从5个数中选出3个数，共有5种情况。

第二步，将选出的数按照任意顺序排列，即有3!=6种情况。

根据瓜式原理，一共有5\times 3!=30种取法。

2. 豆式原理（也称为“加法原理”）：做一件事情有m种方法，或者另一件事情有n种方法，那么这两件事情一共有m+n种方法。

例如，从5个数0、1、2、3、4中取3个数，可以分成两种情况：
情况一：第一个数是0；情况二：第一个数不是0。

对于情况一，从4个数1、2、3、4中取2个数的取法有C_2^4 = 6种。

对于情况二，从5个数0、1、2、3、4中取3个数的取法有C_3^5=10种。

根据豆式原理，一共有6+10=16种取法。

中学数学最次噩梦瓜豆原理
瓜豆原理是主从联动轨迹问题，主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线；瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆。

关键是作出从动点的运动轨迹，根据主动点的特殊位置点，作出从动点的特殊点，从而连成轨迹。

平面内，动点Q随着动点P的运动而运动，我们把点P叫做主动点，点Q叫做从动点；当这两个动点与某个定点连线的夹角一定，且与该定点距离之比一定时（简记为“定角、定比”），易判断两个动点与定点构成的三角形形状一定，大小可能变，此时两个动点的轨迹形状相同。

因此，如果掌握了瓜豆原理，那么对于中学数学中的一些轨迹问题，就可以轻松解决。

特殊的平行四边形中的最值模型-瓜豆模型(原理)动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，故只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型：运动轨迹为直线型1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。

最值模型-瓜豆原理动点轨迹问题是中考的重要题型，受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线模型1-1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．模型1-2如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。

最值系列之瓜豆原理初中数学有一类动态问题叫做主从联动，这类问题应该说是非常出题，好多优秀老师都在研究它，原因是它在很多名校模考的时候经常出现，有的老师叫他瓜豆原理，个人理解可能是种瓜得瓜种豆得豆的意思吧，主动点运动的轨迹是什么，则从动点的轨迹就是什么。

也有的老师叫他旋转相似，或者手拉手。

我感觉这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题，但在解答问题时，要符合解不超纲的原则，所以最后解决问题还是用到了旋转相似的知识，也就是动态手拉手模型，下面整理一些题目来集中训练一下这类题目，希望对你能有所帮助涉及的知识和方法：知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值。

方法：第一步：找主动点的轨迹；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值在此类题目中，题目或许先描述的是主动点P，但最终问题问的可以是另一点Q（从动点），根据P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值。

一、轨迹之圆篇引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？Q【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠P AQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．Q【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑∠P AQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=45°；（2）AP:AQ1，故Q点轨迹是个圆．连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM：1．M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．【练习】如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．【2016武汉中考】如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．【分析】考虑C 、M 、P 共线及M 是CP 中点，可确定M 点轨迹：取AB 中点O ，连接CO 取CO 中点D ，以D 为圆心，DM 为半径作圆D 分别交AC 、BC 于E 、F 两点，则弧EF 即为M 点轨迹．当然，若能理解M 点与P 点轨迹关系，可直接得到M 点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．【2018南通中考】如图，正方形ABCD 中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．OABCDE F【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．F考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．【练习】△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．AB CDE O【分析】考虑到AB 、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB ，将AC 看成动线段，由此引发正方形BCED 的变化，求得线段AO 的最大值．根据AC =2，可得C 点轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆．OEDCBA接下来题目求AO 的最大值，所以确定O 点轨迹即可，观察△BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点C 的轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆，所以O 点轨迹也是圆，以AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M 即为点O 轨迹圆圆心．连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．A'或者直接利用托勒密定理可得最大值．二、轨迹之线段篇引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．Q2AB CQ1【模型总结】 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）． 结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角）P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ）【2017姑苏区二模】如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．A【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知F 点运动路径长与P 点相同，P 从E 点运动到A 点路径长为8，故此题答案为8．【2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥P A，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O 运动到点N时，点B运动的路径长是________．【分析】根据∠P AB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B，P点轨迹长ON为B点轨迹长为【练习】如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【分析】求OP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP =60°可知：12P P 与y 轴夹角为60°，作OP ⊥12P P ，所得OP 长度即为最小值，OP 2=OA =3，所以OP =32．【2019宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．G 2CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．GABCDEF根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE =，所以CH =52，因此CG 的最小值为52．G 2三、轨迹之其他图形篇所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．【2016乐山中考】如图，在反比例函数2y x=-的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数ky x=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？【练习】如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ，可得P点轨迹图形与Q，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．【练习】如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．ABCDP【分析】固定AB 不变，AC =2，则C 点轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆，以BC 为斜边作等腰直角三角形BCD ，则D 点轨迹是以点M考虑到AP =2AD ，故P 点轨迹是以N 为圆心，即可求出PB 的取值范围．。

最值模型之瓜豆模型模型一直线轨迹型瓜豆原理知识梳理【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

运动轨迹为直线型的瓜豆原理题目(1)如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP ，取AP 中点Q ，当点P 在BC 上运动时，Q 点轨迹是？(2)如图，D 、E 是边长为4的等边三角形ABC 上的中点，P 为中线AD 上的动点，把线段PC 绕C 点逆时针旋转60°得到P '，求P '点轨迹？解析Q 点轨迹是直线l 。

(相似模型)P '点轨迹是直线BP '(手拉手模型)确定从动点轨迹的方法：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的从动点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1)当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

例题解析1如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点．连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到CF ．连接AF ，EF ，DF ，则△CDF 周长的最小值是．【答案】3+33/33+3【分析】根据题意，证明△CBE ≌△CAF ，进而得出F 点在射线AF 上运动，作点C 关于AF 的对称点C ′，连接DC ，设CC 交AF 于点O ，则∠AOC =90°，则当D ,F ,C 三点共线时，FC +FD 取得最小值，即FC +FD =F C +F D =CD ，进而求得C D ，即可求解．【详解】解：∵E 为高BD 上的动点．∴∠CBE =12∠ABC =30°∵将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到CF ．△ABC 是边长为6的等边三角形，∴CE =CF ,∠ECF =∠BCA =60°,BC =AC ∴△CBE ≌△CAF ∴∠CAF =∠CBE =30°，∴F 点在射线AF 上运动，如图所示，作点C 关于AF 的对称点C ′，连接DC ，设CC 交AF 于点O ，则∠AOC =90°在Rt △AOC 中，∠CAO =30°，则CO =12AC =3，则当D ,F ,C 三点共线时，FC +FD 取得最小值，即FC +FD =F C +F D =CD∵CC =AC =6，∠ACO =∠C CD ，CO =CD ∴△ACO ≌△C CD ∴∠C DC =∠AOC =90°在△C DC 中，C D =CC 2-CD 2=62-32=33,∴△CDF 周长的最小值为CD +FC +CD =CD +DC =3+33，故答案为：3+33．2如图，在平行四边形ABCD 中，AB =6，BC =10，∠B =60°，点E 在线段BC 上运动(含B 、C 两点)．连接AE ，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转60°得到AF ，连接DF ，则线段DF 长度的最小值为．【答案】23【分析】以AB为边向右作等边△ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DM⊥GH于M．利用全等三角形的性质证明∠AGF=60°，得出点F在平行于AB的射线GH上运动，求出DM即可．【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DM⊥GH于M．∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，∴∠BAD=120°，∵△ABG是等边三角形，∴∠BAG=∠EAF=60°，BA=GA，EA=FA，∴∠BAE=∠FAG，∴△BAE≌△GAF(SAS)，∴∠B=∠AGF=60°，∴点F在平行于AB的射线GH上运动，∵∠HAG=∠AGF=60°，∴△AHG是等边三角形，∴AB=AG=AH=6，∴DH=AD-AH=4，=23，∵∠DHM=∠AHG=60°，∴DM=DH•sin60°=4×32根据垂线段最短可知，当点F与M重合时，DF的值最小，最小值为23，故答案为：23．3如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是△ABC的高CD上一个动点，以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP ，连接DP ，则DP 的最小值是．【答案】22-2【分析】在BC上截取BE=BD，根据等腰直角三角形的性质求得BA和BE，再证明△BDP ≌△BEP (SAS)，从而可得到PE=DP ，则当PE⊥CD时，PE有最小值，即DP 有最小值，再求得PE，从而求得DP 的最小值．【详解】解：如图，在BC上截取BE=BD，连接EP∵∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⏊AB，∴BA=AC2+BC2=42+42=42，∠ABC=∠BAC=∠BCD=∠DCA=45°，BD=CD=AD=22=BE ，∵以B 点为旋转中心把线段BP 逆时针旋转45°得到BP ，∴BP =BP ，∠PBP =45°∴∠ABC =∠PBP =45°∴∠ABC -∠PBD =∠PBP -∠PBD 即∠EBP =∠DBP ，又∵BE =BD ，BP =BP ，∴△BDP ≌△BEP SAS ，∴PE =DP ，∴当PE ⊥CD 时，PE 有最小值，即DP 有最小值，∵PE ⊥CD ，∠BCD =45°，∴CE =2PE =BC -BE =4-22∴PE =22CE =22×4-22 =22-2，∴DP =PE =22-2．即DP 的最小值是22-24如图,在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，P 是对角线AC 上的动点，连接DP ，将直线DP 绕点P 顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D 作DG ⊥PG ,连接CG .则CG 最小值为【答案】3625【分析】策略一：得到G 点轨迹直线后，画出起点G 1和终点G 2策略2：旋转相似:【解析】如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E．△ADH∽△PDG，∴△ADP∽△DHG，∴∠DHG=∠DAP=定值，∴点G在射线HF上运动，∴当CG⊥HF时，CG的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠ADH+∠HDF=90°，∵∠DAH+∠ADH=90°，∴∠HDF=∠DAH=∠DHF，∴FD=FH，∵∠FCH+∠CDH=90°，∠FHC+∠FHD=90°，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC=DF=1．5，在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，∴AC=32+42=5，DH=AD﹒DCAC =125,∴CH=CD2-DH2=95,∴EH=DH﹒CHCD=3625,∵∠CFG=∠HFE，∠CGF=∠HEF=90°，CF=HF，∴△CGF≌△HEF(AAS)，∴CG=HE=3625,∴CG的最小值为3625,5如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，E是边AB上一点，AE=2，F是直线BC上一动点，将线EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接CG，DG，则CG+DG的最小值是．【答案】13【分析】将△FBE绕点E逆时针旋转90°得到△GHE，延长GH交BC于点M，延长CB至点N，使CM= NM，连接DN，由矩形的条件和旋转的性质可得EH=EB=3，∠B=∠BEH=∠EHG=90°，可说明四边形EBMH是矩形，然后由正方形的性质可得到CN=12，GM⊥CN，从而说明GM是CN的垂直平分线，进一步推导出CG+DG=NG+DG≥ND，当点N，G，D三点共线时，CG+DG取最小值，最后由勾股定理可求解．【详解】解：将△FBE绕点E逆时针旋转90°得到△GHE，延长GH交BC于点M，延长CB至点N，使CM =NM，连接DN，∵在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，AE=2，∴EB=AB-AE=3，∠B=∠BCD=90°，CD=5，∴EH=EB=3，∠B=∠BEH=∠EHG=90°，∴∠EHM=90°，∴四边形EBMH是矩形，∴BM =EH =3，∠BMH =90°，∴CN =2CM =2×9-3 =12，GM ⊥CN ，∴GM 是CN 的垂直平分线，∴CG =NG ，∵F 是直线BC 上一动点，∴CG +DG =NG +DG ≥ND ，∴当点N ，G ，D 三点共线时，CG +DG 取最小值ND ，在Rt △NCD 中，CN =12，CD =5，ND =CN 2+CD 2=122+52=13，∴CG +DG 的最小值是13．故答案为：13．变式训练6如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，4)，P 是x 轴上一动点，把线段PA 绕点P 顺时针旋转60°得到线段PF ，连接OF ，则线段OF 长的最小值是．【答案】2【分析】点F 运动所形成的图象是一条直线，当OF ⊥F 1F 2时，垂线段OF 最短，当点F 1在x 轴上时，由勾股定理得：P 1O =F 1O =433，进而得P 1A =P 1F 1=AF 1=833，求得点F 1的坐标为433,0 ，当点F 2在y 轴上时，求得点F 2的坐标为(0，-4)，最后根据待定系数法，求得直线F 1F 2的解析式为y =3x -4，再由线段中垂线性质得出F 1F 2=AF 1=833，在Rt △OF 1F 2中，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则根据面积法得12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×h ，即12×433×4=12×833×h ，解得h =2，根据垂线段最短，即可得到线段OF 的最小值为2．【详解】解：∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转60°得到线段PF ，∴∠APF =60°，PF =PA ，∴△APF 是等边三角形，∴AP =AF ，如图，当点F 1在x 轴上时，△P 1AF 1为等边三角形，则P 1A =P 1F 1=AF 1，∠AP 1F 1=60°，∵AO ⊥P 1F 1，∴P 1O =F 1O ，∠AOP 1=90°，∴∠P 1AO =30°，且AO =4，由勾股定理得：P 1O =F 1O =433，∴P 1A =P 1F 1=AF 1=833，∴点F 1的坐标为433,0 ，如图，当点F 2在y 轴上时，∵△P 2AF 2为等边三角形，AO ⊥P 2O ，∴AO =F 2O =4，∴点F 2的坐标为(0，-4)，∵tan ∠OF 1F 2=OF 2OF 1=4433=3，∴∠OF 1F 2=60°，∴点F 运动所形成的图象是一条直线，∴当OF ⊥F 1F 2时，线段OF 最短，设直线F 1F 2的解析式为y =kx +b ，则，解得，∴直线F 1F 2的解析式为y =3x -4，∵AO =F 2O =4，AO ⊥P 1F 1，∴F 1F 2=AF 1=833，在Rt △OF 1F 2中，OF ⊥F 1F 2，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×h ，∴12×433×4=12×833×h ，解得h =2，即线段OF 的最小值为27如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，E 为BC 上一点，且BE =2，为AB 边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到EG 的位置，连接和CG ，则CG 的最小值为．【答案】2+32/32+2【分析】如图，将线段BE 绕点顺时针旋转45°得到线段ET ，连接交于．首先证明∠ETG =90°，推出点G 在射线TG 上运动，推出当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，进一步即得答案．【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转得到线段ET ，连接，连接交CG 于．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =45°，∴∠BEF =∠TEG ，在△EBF 和△ETG 中，，∴△EBF ≌△ETG (SAS )，∴∠B =∠ETG =90°，点G 在射线TG 上运动，当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵BC =8，，，∴CE =CD =6，∴，∴，∴四边形ETGJ 是矩形，∴DE ⎳GT ，GJ =TE =BE =2，∴CJ ⊥DE ，∴JE =JD ，∴CJ =12DE =32，∴CG=CJ+GJ=2+32，∴CG的最小值为2+328如图，矩形ABCD的边AB=112,BC=3，E为AB上一点，且AE=1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=EG，连接CG，则CG的最小值为()A.5B.52C.3D.22【答案】B【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH=AE= 1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，∵四边形ABCD是矩形，AB=112，BC=3，∴∠B=90°，CD=112，AD=3，∵AE=1，∴BE=92，∵∠GHE=∠A=∠GEF=90°，∴∠GEH+∠EGH=90°，∠GEH+∠FEA=90°，∴∠EGH=∠FEA，又∵GE=EF，∴△GEH≌△EFA(AAS)，∴GH=AE=1，∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF=EH=3，∴CG的最小值=112-1-32+22=52，故选B．9如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为．【分析】策略一：反向构造+伸缩如图从主动点F到从动点G可以理解为，将线段FE绕定点E顺时针旋转了45°再缩短为原来的22，反向构造则需要把CE绕点E逆时针旋转45°，再扩大变为原来的2倍，得到EH，显然△ECH为等腰直角三角形，进一步得到△FEH∽△GEC，相似比为2，所以CG=22FH≥22．策略二：求轨迹--以BE为底向上作等腰Rt△BHE，易得G点轨迹所在直线为BD，故CG最小值为2210如图，已知∠CAB=30°，AB=2，点D在射线AC上，以BD为边作正方形BDEF，连接AE、BE，则AE+BE的最小值为．【答案】2+6提示：以AB 为边作等腰Rt △ABG ，连接GE则GB =2AB ，EB =2DB ，∠GBE =∠ABD =45°-∠GBD∴△GBE ∽△ABD ，∴∠EGB =∠CAB =30°，∴∠AGE =75°∴点E 在直线GE 上运动作点B 关于GE 的对称点B ′，连接AB ′、BB ′、B ′E 、B ′G 则∠B ′GB =60°，B ′G =BG∴△B ′GB 是等边三角形，∴B ′G =B ′B又∵AG =AB ，AB ′=AB ′，∴△AB ′G ≌△AB ′B∴∠GAB ′=∠BAB ′=45°，∠GB ′A =∠BB ′A =30°，∴AB ′⊥BG设垂足为H ，则AH =BH =22AB =2∴B ′H =3BH =6，∴AB ′=AH +B ′H =2+6∴AE +BE =AE +B ′E ≥AB ′=2+6即AE +BE 的最小值为2+611正方形ABCD 的对角线相交于点O (如图1)，如果∠BOC 绕点O 按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB ,BC 相交于点E 、F (如图2)，连接EF ，那么在点E 由B 到A 的过程中，线段EF 的中点G 经过的路线是()A.线段B.圆弧C.折线D.波浪线【答案】A【分析】连接OG ,BG ，根据题意可知∠EBF =∠EOF =90°则线段EF 的中点G 经过的路线是OB 的线段垂直平分线的一段，即线段【详解】连接OG ,BG ，根据题意可知∠EBF =∠EOF =90°，，∴点G 在线段OB 的垂直平分线上．则线段EF 的中点G 经过的路线是OB 的线段垂直平分线的一段，即线段12如图，在正方形ABCD 中，AB =8，点E 在边AD 上，且AD =4AE ，点P 为边AB 上的动点，连接PE ，过点E 作EF ⊥PE ，交射线BC 于点F ，则EFPE=．若点M 是线段EF 的中点，则当点P 从点A 运动到点B 时，点M 运动的路径长为．【答案】【分析】过F 作FK ⊥AD 交AD 延长线于点K ，证明△AEP ∽△KFE ，得到EF PE =FKAE即可求解；过M 作GH ⊥AD 交AD 于点G ，交BC 于点H ，证明△EGM ≌△FHM ，得到MG =MH ，故点M 的运动轨迹是一条平行于BC 的线段，当点P 与A 重合时，BF 1=AE =2，当点P 与B 重合时，由△EF 1B ≌△F 2F 1E 得到，即，从而求解．【详解】解：过F 作FK ⏊AD 交AD 延长线于点K则四边形ABFK 为矩形，∠A =∠K =90°∴AB =FK =8由题意可得：AE =14AD =2∵EF ⊥PE∴∠AEP +∠KEF =∠PEF =90°又∵∠PEA +∠APE =90°∴∠APE =∠KEF ∴△AEP ∽△KFE ∴EF PE =FK AE=4过M 作GH ⊥AD 交AD 于点G ，交BC 于点H ，如下图∵AD ⎳CB ，GH ⊥AD ∴GH ⊥BC在△EGM 和△FHM 中∴△EGM ≌△FHM AAS ∴MG =MH ，故点M 的运动轨迹是一条平行于BC 的线段，当点P 与A 重合时，BF 1=AE =2当点P 与B 重合时，，∴∵∴∴，即解得F 1F 2=32∵M1、M 2分别为、的中点∴M 1M 2是△EF 1F 2的中位线∴M1M 2=12F 1F 2=16，即点运动的路径长为。

初中最值之瓜豆原理瓜豆原理，即通过充分利用已知信息来求解问题。

在初中数学中，我们经常会遇到一些最值问题，例如“在一组数中找出最大值”、“在一段长度为10m的绳子上剪出两段，使得两段绳子的乘积最大”，这时我们可以运用瓜豆原理来解决这些问题。

在解决最值问题时，我们需要找出一种方法来确定最大值或最小值。

瓜豆原理告诉我们，我们可以通过充分利用问题给出的已知信息，进行一系列的推理和分析，最终得到最值。

首先，我们需审视已知信息。

在求解问题过程中，我们需要根据问题给出的条件进行分析。

例如，在寻找一组数中的最大值时，我们要注意给出的数是否有界限。

如果给出的数中存在一个最大值，那么我们可以通过比较这些数的大小来找到最大值。

其次，我们需要分类讨论。

在问题中，往往会给出一些限定条件，这些条件具有不同的性质，可以通过分类讨论来加以利用。

例如，在寻找一段绳子的最大乘积问题中，我们可以分类讨论绳子剪断的位置，分别计算出在不同位置剪断下的乘积，最后比较得出最大乘积。

然后，我们需要建立数学模型。

在解决问题的过程中，我们可以将问题转化为数学模型，这样有助于我们进行具体计算。

例如，在求寻找一组数的最大值时，我们可以将问题抽象为“找到其中一个数，使得该数大于等于其他所有数”。

这样一来，我们可以用变量和不等式来表示该数与其他数之间的关系，进而进行求解。

接着，我们进行推理和计算。

在建立了数学模型后，我们根据问题的给出条件进行一系列的推理和计算，以求出最值。

例如，在寻找一段绳子的最大乘积问题中，我们可以根据分段位置进行推理，计算出不同位置下的乘积，最后比较大小得到最大乘积。

最后，我们需要进行合理的验证。

在求解最值问题后，我们应该对所得结果进行验证，看是否符合已知条件。

如果所得结果与已知条件相符，则说明我们的解是正确的。

总结起来，初中最值之瓜豆原理强调了通过充分利用已知信息来求解问题。

它提醒我们要审视已知信息、进行分类讨论、建立数学模型、进行推理和计算以及进行合理的验证。

3最值系列之瓜豆原理瓜豆原理是由我国古代数学家祖冲之提出的一种数学方法，被广泛应用于解决各种数学问题。

它主要用于求解最值问题，即找出一组数中的最大值或最小值。

瓜豆原理的核心思想是通过比较两组数中较大的数与较小的数的差值来判断最值的大小。

下面我们将详细介绍瓜豆原理及其应用。

瓜豆原理由瓜数和豆数组成，瓜数表示较大的数，而豆数表示较小的数。

根据祖冲之的定义，如果瓜数大于或等于豆数，那么瓜数减豆数的差值就是最值；如果瓜数小于豆数，那么瓜数减豆数的差值的相反数就是最值。

用数学公式表示为：最值=瓜数-豆数。

瓜豆原理主要应用于以下三种常见的数学问题：1.最大值问题：对于一组数中，我们要找出最大的数。

这时我们可以将其中的一个数作为瓜数，将其余所有数作为豆数，然后将瓜数减去豆数的差值作为最大值。

如果瓜数大于或等于豆数，那么最大值就是瓜数减豆数的差值；如果瓜数小于豆数，那么最大值就是瓜数减豆数的相反数。

举个例子，假设我们要找出以下一组数中的最大值：2,5,7,3,9、我们可以将9作为瓜数，将2,5,7,3作为豆数。

然后我们计算瓜数减豆数的差值9-2=7、因此，最大值为72.最小值问题：对于一组数中，我们要找出最小的数。

这时我们可以将其中的一个数作为瓜数，将其余所有数作为豆数，然后将瓜数减去豆数的差值作为最小值。

如果瓜数大于或等于豆数，那么最小值就是瓜数减豆数的差值的相反数；如果瓜数小于豆数，那么最小值就是瓜数减豆数的差值。

举个例子，假设我们要找出以下一组数中的最小值：4,8,3,6,1、我们可以将1作为瓜数，将4,8,3,6作为豆数。

然后我们计算瓜数减豆数的差值1-4=-3、因此，最小值为-33.最值范围问题：对于一组数中，我们要找出最大值和最小值的范围。

这时我们可以先找出最大值和最小值，然后将最大值减去最小值的差值作为最值范围。

举个例子，假设我们要找出以下一组数中的最值范围：6,9,2,5、我们可以先找出最大值和最小值，最大值为9，最小值为2、然后我们计算最值范围9-2=7、因此，最值范围为7总结起来，瓜豆原理是一种简单而有效的数学方法，适用于解决最值问题。