2020年深圳中考数学压轴题专题总结----胡不归问题总结(word版)

“胡不归”问题属于经典的几何动点最值问题，一直都是中考的热门考点。

该题型因为会涉及到
几何图形、动点问题、最值问题、三角函数等知识点，对于辅助线的构造、求解的计算要求都比较高 ，属于比较难的一类题型。

如果没有进行系统性的学习，考场上遇到该题型往往会容易抓瞎。

在近几年的中考试卷中，天津、四川、江苏、湖北、湖南、山东、贵州、新疆等地，都有该题型的出现。

该题型既有选择题、填空题，比较主流的是和二次函数结合在一起，考察代几综合的内容，综合性非常强。

该题型的特征其实比较明显，当遇到求线段之和的最小值时，而且含有系数时，往往就有可能是胡不归问题。

形如求“ PA + kPB ”这样的式子的最小值，其中 A、B 两点为定值， P 为动点。

当动点 P
在直线上运动时，就是我们今天要说的“胡不归”问题；当动点 P
在圆上运动时，就是另外一个最值问题：阿氏圆问题。

王旭老师总结了“胡不归”问题的背景、模型、解决方案、知识要点，以及近几年中考试卷中出现的“胡不归”真题。

“胡不归”模型拓展趣味故事从前，有个少年外出求学，某天他不幸得知老父亲病危的消息，便立即启程赶路.因为思乡心切，他只考虑了“两点之间，线段最短”的原理，所以选择了路径AB回家，但他忽略了走砂砾地带速度会变慢这个问题.当他赶到家时，老人刚刚咽气.邻居告诉他说，老人在弥留之际不断念叨着：“胡不归?胡不归?”如果他先沿着驿道AC走一段，再走砂砾地带，会不会更早些到家?在这个问题中，由于这个少年在驿道和砂砾地带上前行的速度不同，那么这个少年有没有可能先在驿道上行走一段路程，再走砂砾地带，总用时会变少?如果真有这种情况，那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了，请问如何确定这个拐点呢.1模型多维讲解讲解一模型特征1.模型建立：如图11-62-1，A为直线l上一定点，B为直线l外一定点，点P在直线l上运动,试确定点P 的位置,使kAP+BP(0<k<1)的值最小.2.问题分析：求这类带有系数的折线最值问题，通常都是将折线转化成为线段，再利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”求解.3.模型总结：该模型就是利用了垂线段最短的性质，具体解题步骤如下：如图11-62-2.一找：找带有系数k的线段kAP.二构：在点 B 的异侧，构造以线段AP 为斜边的直角三角形.Rt△PAC的作法:②以定点A为顶点作∠CAP,使sin∠PAC=k;②过动点 P 作垂线构造 Rt△PAC.三转化：化折为直，将kAP 转化为PC.四求解:使kAP+BP=PC+BP,利用“垂线段最短”转化为求 BD的长.若k>1,则k4P+BP=k(AD+1BD),即构造以BP为斜边的直角三角形.k2模型典例应用例1 (母题)如图11-62-3,△ABC为等边三角形,BD平分∠ABC,AB=2,E为BD上的动点,连接AE,则AE+1BE的2最小值为 ( )A.1B. √2C. √3D.2“3步”秒懂思路【解析】如图11-62-4,过点E作EM⊥BC于点 M,过点 A作AH⊥BC于点H,交 BD 于点 E'.∵△ABC 为等边三角形,∴∠ABH=60°.∵ BD 平分∠ABC,∴∠EBM=30∘,∴EM=12BE,∴AE+12BE=AE+EM.当AE+12BE的值最小时,AE+EM 的值最小,此时点 E 与点 E'重合,点 M 与点 H重合, AE+12BE的最小值即为AH 的长.在 Rt△ABH中,AH=AB⋅sin∠ABH=2sin60∘=√3,∴AE+12BE的最小值为√3.故选 C.【答案】C.一题多变式变式1-1(改编角度：改变已知条件，将“角平分线”改为“垂直”)如图11-62-5,在等边三角形ABC中,AD⊥BC 于点 D,且AD=4,P是AD上一点,则BP+35AP的最小值为 .变式1-2(改编角度：改变图形，将“等边三角形”改为“菱形”)如图11-62-6,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=2,P是AC上的动点,则BP+12AP的最小值为 .变式1-3(改编角度：改变图形，将“等边三角形”改为“矩形”)如图11-62-7,在矩形ABCD中,AB=4,对角线AC,BD相交于点 O,∠AOB=60°.(1)如图(1),若P 是BC边上一动点,求DP+12BP的最小值；(2)如图(2),E 是AO 的中点,若P是对角线BD上一点,求EP+√32DP的最小值；(3)如图(3),若P 是对角线BD上一点,求2AP+PD的最小值.例2如图11-62-8,在△ABC中, AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点 E,D 是线段BE 上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是 .【解析】如图11-62-9,过点D作DH⊥AB于点H，过点C作( CM⊥AB于点 M.∵ BE⊥根据“胡不归”模型作辅助线.AC,∴∠AEB=90∘.:tanA=BEAE=2,设AE=a,则BE=2a.由勾股定理,得10²=a²+4a2,∴a2=20,∴a=2√5或a=−2√5(舍去),. ∴BE=2a=4√5.:AB=AC,,【链知识】等腰三角形两腰上的高相等.DH≥CM,∴CD+√55BD≥4√5,∴CD+√55BD的最小值为4 √5.【答案】4√5.3模型巩固练习1.如图11-62-10,在△ABC中,∠B=45°,AB=4,P为直线BC上一点.当BP+2AP 有最小值时,∠BAP的度数为 .BP+2.如图11-62-11,在△ABC 中,AB=AC=10,∠A=30°,BD是△ABC的边AC上的高,P是BD 上的动点，则√32CP的最小值是 .3.如图11-62-12,在平行四边形 ABCD 中,∠A=60°,AB=6,AD=2,P 为边CD上一点,则√3PD+2PB的最小值为 .x−√3的图像分别交x轴、y轴于点A,B.若 C 为 x轴4.如图11-62-13，在平面直角坐标系中，一次函数y=√33上的一个动点,则2BC+AC 的最小值为 .5.模型迁移如图11-62-14,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A(-4,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C,连接AC.(1)求抛物线的解析式.(2)P 是线段AC 上方抛物线上的一个动点，E是x轴上的一个动点,连接PA,PC,PE,当△PAC的面积最大时，求BE的最小值.PE+√22。

2020年中考复习练习胡不归问题专题训练解析一．试题（共8小题）1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．3．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段AP+BP+PD 的最小值为．4．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．5．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少6．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D，与y 轴交于点E，且DE：BE＝2：3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为线段BD上一点（不含端点），连接AP，一动点M从点A出发，沿线段AP以每秒1个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点P的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少（3）将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°），当点A的对应点A'落在△ECB 的边所在直线上时，求此时点C的对应点C'的坐标．7．二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．（1）a＝，c＝；（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；（3）如图2，点M在抛物线上，若S△MBC＝3，求点M的坐标．8．已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少2020年中考复习练习胡不归问题专题训练解析参考答案与试题解析一．试题（共8小题）1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出t的取值范围，进而求出D的坐标．【解答】解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，设D坐标为（0，y），则AD＝2﹣y，CD＝＝，∴设t＝+，等式变形为：t+y﹣＝，则t的最小值时考虑y的取值即可，∴t2+（y﹣）t+（y﹣）2＝y2+1，∴y2+（﹣t）y﹣t2+t+1＝0，△＝（﹣t）2﹣4×（﹣t2+t+1）≥0，∴t的最小值为，∴y＝，∴点D的坐标为（0，），故选D．解法二：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，所以OD＝，所以点D的坐标应为（0，）．【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 5个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．②作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB＝120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段FG上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值为．故答案为．（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5．②如图，Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB＝120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段FG上的点满足题意，∵EB＝＝，∴OE＝OB﹣EB＝，∵F（，t），EF2＝EB2，∴（）2+（t+）2＝（）2，解得t＝或，故F（，），G（，），∴t的取值范围≤t≤【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．3．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段AP+BP+PD 的最小值为6．【分析】将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，求出BD′，证明PA＝PE，PD＝ED′，根据两点之间线段最短得到答案．【解答】解：将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，∵∠BAD＝30°，∠DAD′＝60°，∴∠BAD′＝90°，又AB＝AD＝AD′，∴BD′＝＝6，∠ABP＝45°，又∠BAP＝15°，∴∠APE＝∠PAE＝60°，∴△EAP为等边三角形，∴PA＝PE，又∵△APD≌△AED′，∴PD＝ED′，根据两点之间线段最短，∴AP+BP+PD的最小值＝PB+PE+ED′＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是菱形的性质、轴对称变换和两点之间线段最短的知识，正确找出辅助线是解题的关键，注意轴对称变换的性质的正确运用．4．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．【分析】（1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE＝90°即可；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH＝DC，从而有CD+OD＝DH+FD．根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF 中运用三角函数即可解决问题．【解答】解：（1）连接OC，如图1，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝OC，∴OC＝＝h，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝8．∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂线段最短等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键．5．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少【分析】（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y＝x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形ABC是直角三角形，从而得到∠ACB＝90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG＝x，易得∠APQ＝∠ACB＝90°．若点G在点A的下方，①当∠PAQ ＝∠CAB时，△PAQ∽△CAB．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG ＝3PG＝3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠PAQ＝∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE ＝EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+＝DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，从而可得∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′＝OC＝3，ON ＝D′C＝DC．然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标．【解答】解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y＝x2+mx+n，得，解得：．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．如图1．∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝；（Ⅱ）方法一：（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG＝x．∵PQ⊥PA，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB＝90°．若点G在点A的下方，①如图2①，当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴＝＝．∴AG＝3PG＝3x．则P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣3x，整理得：x2+x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）．②如图2②，当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．同理可得：AG＝PG＝x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣x，整理得：x2﹣x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，）；若点G在点A的上方，①当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）．②当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．同理可得：点P的坐标为P（，）．综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；方法二：作△APQ的“外接矩形”AQGH，易证△AHP∽△QGP，∴，∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，∴或，设P（2t，2t2﹣5t+3），A（0，3），H（2t，3），①，∴||＝，∴2t1＝，2t2＝，②，∴||＝3∴2t1＝11，2t2＝﹣1，（舍），∴满足题意的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）方法一：过点E作EN⊥y轴于N，如图3．在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，∴点M在整个运动中所用的时间为+＝DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，∴四边形OCD′N是矩形，∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．对于y＝x2﹣x+3，当y＝0时，有x2﹣x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝3．∴D（2，0），OD＝2，∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2，∴点E的坐标为（2，1）．方法二：作点D关于AC的对称点D′，DD′交AC于点M，显然DE＝D′E，作D′N⊥y轴，垂足为N，交直线AC于点E，如图4，在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，∴当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小，∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3，∴M（m，﹣m+3），D（2，0），∵DM⊥AC，∴K DM×K AC＝﹣1，∴﹣1×，∴m＝，∴M（，），∵M为DD′的中点，∴D′（3，1），∵E Y＝D′Y＝1，∴E（2，1）．方法三：如图，5，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，∵AF∥OC，∴∠FAE＝45°．∴EF＝AE•sin45°＝．∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t＝+＝DE+EF，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，且C（3，0），∴可求得D点坐标为（2，0）则E点横坐标为2，将x＝2代入l AC：y＝﹣x+3．，得y＝1．所以E（2，1）．【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（Ⅱ）（1）小题的关键，把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第（Ⅱ）（2）小题的关键．6．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D，与y 轴交于点E，且DE：BE＝2：3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为线段BD上一点（不含端点），连接AP，一动点M从点A出发，沿线段AP以每秒1个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点P的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少（3）将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°），当点A的对应点A'落在△ECB 的边所在直线上时，求此时点C的对应点C'的坐标．【分析】（1）求出A（﹣1，0），B（3，0）、E（0，），由△BOE∽△BND即可求解；（2）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点P，则点P 即为所求，即可求解；（3）分点A'落在BE边所在直线上、点A'落在CE边所在直线上、A'落在BC边所在直线上时，三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）如图，过点D作DN⊥x轴于点N，令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0，∵a＞0∴x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），将B坐标代入y＝，解得：b＝，∴，∴E（0，）△BOE∽△BND，∴，∵∴，∴BN＝5，DN＝，∴D（﹣2，），将点D代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，解得a＝，∴；（2）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点P，则点P 即为所求，∵直线BD的解析式为，∴∠PBA＝∠PDG＝30°，∵AB＝4，∴AP＝，∴点P的坐标为（﹣1，）；（3）当点A的对应点A'落在△ECB的边所在直线上时，AB＝4，AC＝2，BC＝2，OC＝OE＝，∴∠ACB＝90°，∠ABC＝∠EBO＝30°①点A'落在BE边所在直线上时，BC＝BC′＝2，则点C′（3﹣2，0）；②点A'落在CE边所在直线上时，过点C′作y轴的平行线分别交过点A′与y轴的垂线、x轴于点F、H，设点C′（m，n），∵△C′FA′∽△BHC′，，其中，C′F＝＝，BH＝3﹣m，C′A′＝2，BC，FA′＝﹣m，HC′＝n，＝＝，解得：m＝，n＝，点C′（，）；③点A'落在BC边所在直线上时，同理可得点C′（3+，3）；故点C′（3﹣2，0）或（，）或（3+，3）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等知识，其中（3）要考虑全面情况，避免遗漏，本题难度较大．7．二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．（1）a＝ 1 ，c＝﹣3 ；（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；（3）如图2，点M在抛物线上，若S△MBC＝3，求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组即可即可；（2）如图1中，作PH⊥BC于H．由DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′；（3）如图2中，取点E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG＝．由S△EBC＝•BC•EG ＝•3＝3，推出过点E作BC的平行线交抛物线于M1，M2，则＝3，＝3，求出直线M1M2的解析式，利用方程组即可解决问题，同法求出M3，M4的坐标．【解答】解：（1）把C（3，0），B（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c得到，，解得．故答案为1，﹣3．（2）如图1中，作PH⊥BC于H．∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠PCH＝45°，在Rt△PCH中，PH＝PC．∵DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′，在Rt△DH′B中，∵BD＝4，∠DBH′＝45°，∴DH′＝BD＝2，∴DP+PC的最小值为•2＝4．（3）如图2中，取点E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG＝．∵S△EBC＝•BC•EG＝•3＝3，∴过点E作BC的平行线交抛物线于M1，M2，则＝3，＝3，∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，∴直线M1M2的解析式为y＝x﹣1，由解得或，∴M1（，），M2（，），根据对称性可知，直线M1M2关于直线BC的对称的直线与抛物线的交点M3、M4也满足条件，易知直线M3M4的解析式为y＝x﹣5，由解得或，∴M3（1．﹣4），M4（2，﹣3），综上所述，满足条件的点M的坐标为∴M1（，），M2（，），M3（1．﹣4），M4（2，﹣3）．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、垂线段最短、平行线的性质、轴对称、一次函数的应用、二元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．8．已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少【分析】（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，进而求出直线AD的解析式，接着求出点D的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式确定a的值；（2）待定系数法得到直线AC的解析式为y＝x+3，根据已知条件得到①CP⊥AC，得到直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，根据已知条件得到②AP⊥AC，得到直线AP 的解析式为：y＝﹣x﹣，解方程组即可得到结论；（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t＝BE+EF时，t最小即可．【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为：y＝x+3，①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴CP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，∴直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，解得，（不合题意，舍去），∴P（﹣，）；②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴AP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+n，把A（﹣3，0）代入得n＝﹣，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，解y＝得，，综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（，﹣）；（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN＝＝＝，∴∠DAN＝60°，∴∠EDF＝60°，∴DE＝＝EF，∴Q的运动时间t＝+＝BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4）．【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、二次函数的交点式、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论讨论，属于中考压轴题．。

初中线段最值问题之---胡不归问题【引 入】胡不归问题是一个非常古老的数学问题，曾经是历史上非常著名的“难题”。

近年来陆续成为各地中考模拟题的小热门考点，学生做起题来失分非常高或是无从下手，今天我们一块来探究下。

【实际背景】话说，从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题。

【模型建立】将上述问题归结为如下图(1)数学模型即是：如图，A 是出发点，B 是目的地，直线AC 是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂土，人们走在不同的道路上的速度不同，设走在驿站AC 的速度是m 米/秒，走在砂石道路上的速度是n 米/秒；1、如果小伙子直接从A 到B ，则他需要的时间就是：nAB 秒； 2、如果小伙子先走一段路程的驿站，即先走到D 点，在沿着DB 回到家，则他需要的时间就是：(nBD m AD +)秒。

现在问题就是n BD m AD +的结果有没有可能比n AB 更小呢？ 【宏观分析】虽然沿着折线A -D -B 行走，路程变成长了，但是折线AD 的速度更快，所需要的时间更少；沿着AB 行走，虽然路程变短，但是速度变慢，所需要的时间更多，所以： n BD m AD +完全有可能比nAB 更小。

(图1)【理论分析】小伙子所需要的时间为：nBD m AD +，对它进行变形处理如下： )(1BD AD mn n n BD m AD +=+， 由于n m ,均为题目给定的定值，所以求BD AD mn +的值即可。

由于B A ，均是动点，而D 是动点，故转变为两条折线段之和，故想办法将两条折线段AD mn 和BD 拉直时，其值最小，因此需要在图中构造出一条线段，使得其长度刚好为AD m n ，如下图（2）所示：（图2）在直线AC 的一侧作射线AM ，过D 点作AM 的垂线'DH ，由ADDH 'sin =α可知， 线段AD DH ⋅=αsin '，令mn =αsin ， ∴此时BD AD mn +=BD DH BD AD +=+⋅'sin α， 故由点到直线的距离垂线段最短可知：过B 点作AM 的垂线交AM 于点0H ，0BH 即为最小值。

【新授内容】胡不归问题：解决PA+nPB(n≠1)最小问题，其中0< n < 1，若n>1，则提取n 的值.1. 知识储备：在Rt△PAB 中，△B=α，设sinB=n ，用含n 的式子表示线段PA.由sinB=PB PA 得，PA=sin α⋅PB=nPB （即sin α⋅PB 表示直角三角形中α的对边）2. 解决胡不归问题如图，在△ABC 中，P 是AC 上一动点，sin α=n ，在图中画出当点P 在什么位置时PA+nPB 的值最小．分析：将nPB 转化成系数为1的线段，由sin α=n 可得nPB=sin α⋅PB由知识储备可知，sin α⋅PB 表示以PB 为斜边的直角三角形中的直角α的对边∴在图中要画出以PB 为斜边，夹角为α的直角三角形【4步法解决胡不归问题】解析：①由分析得，令n=sin α，则nPB=sin α⋅PB②过n 过后定点B 作线段BM 与PB 夹角为α③以PB 为斜边作α所对直角边，即过点PD ⊥BM 于点D则nPB=sin α⋅PB=PD④PA+nPB=PA+PD 最小，当P 、A 、D 共线的时候最小，即A 到BM 最小为垂线段AE ，AE 与BC 交点即为所求点P （如图）B P AC A BP DE C A B P P Mα【经典例题】1. 如图，在△ABC 中，BA ＝BC ＝4，△A ＝30°，D 是AC 上一动点，（△）AC 的长＝ 43 ； （△）BD +21DC 的最小值是 ．2. 如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB +23PD 的最小值等于 ．①21=sin α，即21DC=sin α⋅DC ②过定点C 作α ③过点D 作DE ⊥CM 于点E 21DC=sin α⋅DC=DE ④BD+21DC=BD+DE 最小 即为垂线段BF ，与AC 交于点D 解：∵21=sin α ∴α =30° 则∠BCE=60° ∵BC=4 ∴BD+21DC=BD+DE=BF=23 F A B C D E D α①23=sin α，即23PD=sin α⋅PD ②过定点D 作α③过点P 作PE ⊥DE 于点E23PD=sin α⋅PD=PE ④PB+23PD =PB+PE 最小，即最小值为垂线段BF ，与CD 交于点P 解：∵∠A=60°，AB=6 ∴PB+23PD =PB+PE=BE=33 PE3. 已知抛物线223212++-=x x y ，与x 轴交于两点A ，B （点A 在点B 的左侧）， 与y 轴交于点C. （1）求点A ， B 和点C 的坐标；（2）已知P 是线段BC 上的一个动点.△若PQ ⊥x 轴，交抛物线于点Q ，当BP+PQ 取最大值时，求点P 的坐标；△求2AP+PB 的最小值.解析：（Ⅰ）令 y=0 ，则0223212=++-x x ，解得4121=-=x x ，． ∴ A 点坐标为（-1，0），B 点坐标为（4，0）令 x=0 ，则 y=2 .∴C 点坐标为（0，2）（Ⅱ）①设l BC : y=mx+n ，将 B （4，0），C （0，2）分别代入得，⎩⎨⎧=+=n n m 240，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=221n m ，故221:+-=x y l BC 可设P （t ，221+-t ），0 ≤ t ≤ 4 ，则Q （t ，223212++-t t ），且Q 在 P 上方． ∴PQ=223212++-t t -(221+-t )=t t 2212+- 又)4(25)221()4(22t t t BP -=+-+-= 故BP+PQ =)4(25t -+(t t 2212+-) =52)252(212+-+-t t 当252-=t 时取得最大值，此时P （252-，451+） ②如图，延长 AC 至点 D ，使得CD=CB ，连接BD ，作DE ⊥y 轴于点E ，过点P 作PH ⊥BD 于点 H ．由AC 2=12+22=5，BC 2=22+ 42=20 ，AB 2 =(-1- 4) 2=25 ，所以AC 2=BC 2+AB 2，∠ACB=90°．则△BDC 是等腰直角三角形，∠CBD=45°2AP+PB=2(AP + PB sin 45°) =2(AP+PH ) ，由垂线段最短可知，当 A ，P ， H 共线时(AP +PH ) 取得最小值．∵ ∠BCD=∠DEC=∠COB=90°，∵ ∠DCE+∠BCO =∠BCO +CBO=90°，∴ ∠DCE=∠CBO ．∴ △CDE ≌△BCO ．∴ DE=CO=2 ，CE=BO =4 ．可得点 D 的坐标为（2，6）∴ BD 102)06()42(22=-+-=S △ABD = 21AB . y D =21BD . AH ，代入可得AH ⋅⨯=⨯⨯102216521， 解得AH=2103，故有2AP+PB =2(AP+ PH ) ≥ 2AH=53 所以2AP+PB 的最小值为53.【课后练习】1. 已知抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）经过点A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点． （Ⅰ）当b ＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D （b ，y D ）在抛物线上，当AM ＝AD ，m ＝5时，求b 的值；（Ⅲ）点Q （b +21，y Q ）在抛物线上，当2AM +2QM 的最小值为4233时，求b 的值．。

中考数学专题复习之二——胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒。

当他得知老父亲病危的消息后，便立即启程赶回家。

他只考虑了两点之间线段最短的原理，选择了直线路径A→B（XXX所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况。

当他气喘吁吁地赶到家时，老人已经去世了。

邻居告诉他，老人在弥留之际不断念叨着“胡不归？XXX不归？…”。

这个古老的传说引起了人们的思索，小伙子是否能提前到家？如果可以，他应该选择哪条路线？这就是风靡千百年的“XXX不归问题”。

例1.（2012崇安模拟）如图，平面直角坐标系中，$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$A(0,22)$，$C(1,0)$，$D$为射线$AO$上一点。

一动点$P$从$A$出发，运动路径为$A→D→C$，点$P$在$AD$上的运动速度是在$CD$上的3倍。

为使整个过程运动时间最少，则点$D$的坐标应为（。

2）（。

）（。

）（。

）$A$、$B$、$C$、$D$。

例2.（2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像经过点$A(-1,2)$，$B(0,-3)$，$C(2,4)$，其中对称轴与$x$轴交于点$D$。

1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；2）若$P$为$y$轴上的一个动点，连接$PD$，则$PB+PD$的最小值为（）。

3）$M(s,t)$为抛物线对称轴上的一个动点。

①若平面内存在点$N$，使得$A$、$B$、$M$、$N$为顶点的四边形为菱形，则这样的点$N$共有（）个；②连接$MA$、$MB$，若$\angle AMB$不小于$60^\circ$，求$t$的取值范围。

练巩固：1.（2015无锡二模）如图，菱形$ABCD$的对角线$AC$上有一动点$P$，$BC=6$，$\angle ABC=150^\circ$，则$PA+PB+PD$的最小值为（）。

2.（2019长沙中考）在$\triangle ABC$中，$AB=AC=10$，$\tan A=2$，$BE\perp AC$于点$E$，$D$是线段$BE$上的一个动点，则$CD+5$的最小值为（）。

专题10 最值模型---胡不归问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V 的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）V 1V 2V 1驿道砂石地AB C V 2V 1M N CBA1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值. 2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH k AC=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值. 3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

中考数学压轴热点问题“胡不归模型近几年中考题中， 常出现带系数的两线段和的最值问题， 这类问题基本都要用到 “阿氏 圆”和“胡不归”模型 . 下面着重讲解“胡不归模型”的应用 .【背景】 从前，有一个小伙子在外地当学徒， 当他获悉在家乡的年老父亲病危的消息后， 便立即启程日夜赶路。

由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径 A--B (如图 1所 示： A 是出发地， B 是目的地， AC 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带)，当 他气喘吁吁地赶到父亲眼前时， 老人刚刚咽了气， 小伙子不觉失声痛哭， 邻舍劝慰小伙子时 告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归 ?胡不归？这个古老的传说，引起了人们的思索， 小伙子要提前到家是否有可能呢？倘有可能， 他应该选择条怎样的路线呢？这就 是风靡千年的“胡不归问题” .由于在驿道和沙砾地的行走速度不一样， 那么，小伙子有没有可能先在驿道上走 再走沙砾地， 虽然多走了路， 但反而总用时更短呢？如果存在这种可能， 那么要在驿道上行 走多远才最省时？设在沙砾地行驶速度为 v 1，在驿道行驶速度为 v 2，显然 v 1< v 2. t= BC + AC = 1 (BC+ v1 AC). 因为 v 1 v 2 v 1 v 2v 1 ， v 2 是确定的，所以只要 (BC+ v1 AC)最小，用时就最少 . 问题就转化为求 (BC+ v 1 AC)的 v 2 v 2 最小值 .我们可以作出一条以 C 为端点的线段，使其等于 v1 AC.并且与线段 CB 位于 AM 的两侧， v 2然后， 根据两点之间线段最短， 不难找到最小值点 . 怎么作呢？由三角函数的定义， 过 A 点，在 AM 的另一侧以 A 为顶点，以 AM 为一边作∠ MAN=∠α， sin α = v1 . 然后，作 CE ⊥ AN ，则 v 2 CE=v1 AC.最后，当点 B 、C 、E 在一条直线上时， BC+CE 最小，即 (BC+ v1 AC)的值最小，即v 2 v2程后，不妨假设从 C 处进入砂砾地 .设总共用时为 t, 则用时最小 .方法总结 ：例 1. 如图，AC 是圆O 的直径，AC=4，弧BA=120°，点 D 是弦 AB 上的一个动点， 那么 OD+1 BD 2的最小值为 _____胡不归”问题中涉及到三个点。

中考数学压轴热点问题“胡不归模型近几年中考题中，常出现带系数的两线段和的最值问题，这类问题基本都要用到“阿氏圆”和“胡不归”模型.下面着重讲解“胡不归模型”的应用.【背景】从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。

由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B(如图 1 所示：A 是出发地， B 是目的地，AC 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带)，当他气喘吁吁地赶到父亲眼前时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻舍劝慰小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归胡不归这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢倘有可能，他应该选择条怎样的路线呢这就是风靡千年的“胡不归问题” .由于在驿道和沙砾地的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时设在沙砾地行驶速度为v1，在驿道行驶速度为v2，显然v1< v2.不妨假设从 C 处进入砂砾地.设总共用时为t,则v 1 v 1v1，v 2是确定的，所以只要(BC+ 1 AC)最小，用时就最少.问题就转化为求(BC+ 1 AC)的最v2v 2小值.我们可以作出一条以 C 为端点的线段，使其等于v1 AC.并且与线段CB位于AM 的两侧，v2然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点.怎么作呢由三角函数的定义，过 A 点，在AM 的另一侧以 A 为顶点，以AM 为一边作∠ MAN= ∠α，sinα= v1 .然后，作CE⊥ AN，v2v 1 v1则CE= 1 AC.最后，当点B、C、E在一条直线上时，BC+CE最小，即(BC+ 1 AC)的值最小，v 2 v 2即用时最小程后，t= BC+AC=1(BC+v1AC).因为v1 v 2 v1 v 2例1.如图，AC 是圆 O 的直径，AC=4，弧BA=120°，点D 是弦 AB 上的一个动点，那么 OD+1BD2方法总结：线上运动 .解答模式： 的系数 .(注意题目中有无特殊角)第三步：根据两点之间线段最短，找到最小值的位置应用：如图，△ ABC 在平面直角坐标系中， AB=AC ，A(0,2 2 )，C(1，0)，D 为射线 AO 上 一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 A →D →C ，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的 3 倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标应为 __________ .中考压轴题实战练习：k如图，已知抛物线 y= (x+2)(x-4)(k 为常数， 且 k >0)与 x 轴从左至右依次交于 A ，B 两点，83与 y 轴交于点 C ，经过点 B 的直线 y=- 3 x+b 与抛物线的另一交点为 D ．3第二步：过动点作上一步的角的边的垂线，构造直角三角形 胡不归”问题中涉及到三个点。

几何最值之胡不归知识精讲
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。

由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，
由可得，提取一个得，
若想总的时间最少，就要使得最小，
如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，
作DG⊥AE于点G，则，
将转化为DG＋DB，
再过点B作BH⊥AE于点H DG＋DB的最小值
为BH，
，
综上，所需时间的最小值为，
B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.
解决此类问题的一般方法：
第一步：将所求的线段和改写成的形式；
第二步：构造一个角，使得；
第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；
第四步：计算.
例1：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，求AP＋BP＋CP的最小值.
【解析】连接AC，作∠DBE＝∠30º，交AC于点E，过点A作AF⊥BF，垂足为F，如图所示：。