线性代数第一章 行 列 式 第一节 行列式的定义

行列式知识点汇总在数学中，行列式是一个重要的概念，用于描述线性代数中的一些性质和运算。

它在各个领域中都有广泛应用，如线性方程组的求解、矩阵的特征值和特征向量的计算等。

本文将对行列式的相关知识点进行汇总介绍，帮助读者更好地理解和应用行列式。

1. 行列式的定义行列式是一个用来对方阵进行运算的函数。

对于n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。

行列式的计算通常通过对方阵进行按行展开或按列展开的方式来进行，根据展开的元素进行递归计算。

2. 行列式的性质行列式具有以下性质：- 性质1：互换行（列）会改变行列式的符号，即det(A) = -det(A')，其中A'表示通过互换A的两行（两列）得到的新方阵。

- 性质2：如果行（列）中有零元素，则行列式的值为0。

- 性质3：行（列）成比例，则行列式的值为0。

- 性质4：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以k，等价于行列式乘以k。

- 性质5：若A的某一行（列）元素都是两数之和，则行列式可以分解为两个行列式的和。

- 性质6：若A的某一行（列）元素都是两数之差，则行列式可以分解为两个行列式的差。

3. 行列式的计算方法行列式的计算可以根据方阵的阶数和具体性质来选择不同的方法，主要有以下几种方法：- 按行（列）展开法：通过按行（列）展开元素，并对展开的结果进行递归计算。

- 初等行变换法：通过初等行变换将矩阵转化为上（下）三角矩阵，再利用三角矩阵行列式的计算公式求解。

- 对角线法则：将方阵按对角线划分为若干小方阵，利用小方阵行列式的性质求解。

4. 行列式的重要应用行列式在线性代数中有广泛的应用，下面介绍几个重要的应用：- 线性方程组的求解：利用行列式可以判断线性方程组是否有唯一解、无解或无穷解，并可以通过克拉默法则求解方程组。

- 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为0，则A可逆，且可以通过行列式求解矩阵的逆。

- 特征值和特征向量：方阵A的特征值为使得det(A-λI)=0成立的λ值，其中I为单位矩阵。

线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和nnn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ〔奇偶〕排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

〔转置行列式〕TD D =②行列式中*两行〔列〕互换，行列式变号。

推论：假设行列式中*两行〔列〕对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的*一行〔列〕，等于k 乘以此行列式。

推论：假设行列式中两行〔列〕成比例，则行列式值为零；推论：行列式中*一行〔列〕元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行〔列〕可加性⑤将行列式*一行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕上，值不变行列式依行〔列〕展开：余子式、代数余子式ij M ijji ij M A +-=)1( 定理：行列式中*一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式时，有唯一解：0≠D )21(n j DD x j j ⋯⋯==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解01≠=D 逆否：假设方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:jiij a a =③反对称行列式:奇数阶的反对称行列式值为零ji ij a a -=④三线性行列式: 方法：用把化为零，。

化为三角形行列式333122211312110a a a a a a a 221a k 21a ⑤上〔下〕三角形行列式:行列式运算常用方法〔主要〕行列式定义法〔二三阶或零元素多的〕化零法〔比例〕化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：〔零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)n m A * 矩阵的运算：加法〔同型矩阵〕---------交换、结合律数乘---------分配、结合律n m ij ka kA *)(= 乘法注意什么时候有意义nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑== 一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0转置A A TT =)(TTTBA B A +=+)((反序定理)T T kA kA =)(T T T A B AB =)(方幂：2121k k k kA AA += 几种特殊的矩阵：对角矩阵：假设AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数〔假设……〕 单位矩阵、上〔下〕三角形矩阵〔假设……〕对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，假设存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)B A =-1 初等变换1、交换两行〔列〕2.、非零k 乘*一行〔列〕3、将*行〔列〕的K 倍加到另一行〔列〕初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的〔对换阵 倍乘阵 倍加阵〕等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 假设A 可逆，则满秩假设A 是非奇异矩阵，则r 〔AB 〕=r 〔B 〕初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式n ij n ij a k ka )()(=nijn nij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④假设A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式11221221a a a a -称为11122122a a a a 所确定的二阶行列式，并记作11122112a a a a ，即1112112212212122.a a D a a a a a a ==-结果为一个数。

（课本P1） 同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表111213212223313233a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作111213212223313233a a a a a a a a a 。

即111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- 二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3） 注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。

利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩设11122122a a D a a =≠1121222b a D b a =1112212.a b D a b =则1122221111122122b a b a Dx a a D a a ==，1112122211122122.a b a b Dx a a Da a ==（课本P2）对三元方程组111122133121122223323113223333a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，设1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠，1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a D a b a a b a =，1112132122231323a ab D a a b a a b =， 则11D x D =，22Dx D =，33D x D=。

第1章行列式要求:了解行列式的概念,理解行列式的性质(包括行列式按行或按列展开定理),熟练掌握行列式的计算,会用克拉默法则解线性方程组.注记:要求分成三档,用不同的限定词表示.对于概念与理论部分,从高到低,分别用理解、了解、知道区别;对于运算和方法部分,从高到低分别用熟练掌握、掌握、会(用)或能(用)区别.知识结构网络图递推法三角化法(归化法nj nja A++(in ina A++(应用Ax=有非零解伴随矩阵求逆法线性相关(无关)判定可逆的证明克莱姆法则特征值计算二次型正定判定【评注】(1)a bad bc c d=-,123123123231312321213132123a a ab b b a bc a b c a b c a b c a b c a b c c c c =++--- 注意这样的计算方法对4阶及4阶以上的行列式不适用. (2)对行列式的性质4、2不要与矩阵初等变换混淆121212123572525357x x x x x x x x 祆+=-=-镲镲Þ眄镲-=-+=镲铑357125125357骣骣--鼢珑鳟 珑鼢鼢珑--桫桫121212122462399x x x x x x x x 祆+=+=镲镲Þ眄镲-=-=镲铑 246123119119骣骣鼢珑鳟 珑鼢珑鼢--桫桫(3)对行列式的性质2、３不要与矩阵运算相混淆()n ij kA ka kAk A =?;()ij ij A B a b A B A B +=+?=+,112233123123123123123123123123a b a b a b a a a b b b c c c c c c c c c d d d d d d d d d +++=+ 对于n 阶矩阵ij A a ⎡⎤=⎣⎦,ij B b ⎡⎤=⎣⎦,由于行列式A B +中每一行都是两个数的和,所以若用性质3把行列式A B +拆开,则A B +应当是2n个n 阶行列式之和.特别地,设()ij A a =是3阶矩阵,则A 的特征多项式E A λ-11121311121312132122232122232223313233313233323300000000000000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλ--------=---=---=+---------- 111311121112132123212221222331333132313233000000000000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλ-------+--+--+-+-+-------- 11121311121322231113111232212223112233212223323331332122313233313233()a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλ---⎛⎫+---=-+++++- ⎪⎝⎭---(4)要会用行列式的性质及展开定理计算数字型行列式 (5)要熟悉抽象型行列式的计算1.1数域与排列本节是预备知识.数域全书各章概念都要涉及;而排列是为行列式这个概念服务的. 关于数域只要求知道:(1)定义 1.数域P 是对四则运算封闭且至少有两个不同复数的数集.具体地说,全体有理数Q 、全体实数R 、全体复数C 均为数域.(2)作用.线性代数中问题求解所涉及的计算均为数的四则运算,故若问题已知的是数域 P 中的数,则其结果必为P 中的数.例如,有理系数的线性方程组若有解,则其解必是有理数. (3)全体整数Z 不是数域,因Z 对除法不封闭,所以对一组整数进行四则运算,所得结果为有理数.对排列仅要求掌握排列的罗列和排列的奇偶性.定义2由1,2,,n 组成的有序数组称为一个n 阶排列.通常用12n j j j 表示n 阶排列.定义3一个排列中,如果一个大的数排在小的数之前,就称这两个数构成一个逆序.一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数.用()12n j j j τ表示排列12n j j j 的逆序数.如果一个排列的逆序数是偶数,则称这个排列为偶排列,否则称为奇排列.例如，在５级排列25134中，有逆序21,51,53,54,因此排列25134的逆序数为４,即()25134τ＝４.所以排列25134是偶排列.题型1.1.1排列的罗列解题策略:由排列的定义知,排列是有序数组,故同为n 个数码如次序不同就是不同排列,从而n 阶排列共有!n 个.罗列n 阶排列要遵循的原则是不漏、不重.为此可采取按数码大小顺序依次写出,即先写首位为1的,再写首位为2的,…,最后写首位为n 的. 例1.1.1写出4个数码1,2,3,4的所有4阶排列. 解:共有4!24=个,依次为1234,1243,1324,1342,1423,1432, 2134,2143,2314,2341,2413,2431 3124,3142,3214,3241,3412,3421 4123,4132,4213,4231,4312,4321例1.1.2写出全体形如5 * * 2 *及2 * 5 * 3的5阶排列,总结一下,有k 个位置数码给定的()n n k >阶排列有多少个?分析:本题不要求写出所有的5阶排列,而是要求写出形如5 * * 2 *的5阶排列,这可视为除去5,2的3个数码1,3,4排入3个*的一切可能的3阶排列,故有3!个,据此本题可转化为上题方法解.同理可推出其余两问.解:形如5 * * 2 *的5阶排列有(52)!6-=个依次为51324,51423,53124,53421,54123,54321形如2 * 5 * 3的5阶排列有(53)!2-=个,依次为:21543，24513.同理,有k 个位置数码给定的()n n k >阶排列可视为:有n k -个数码排入n k -个位置的一切可能的n k -阶排列,所以有()!n k -个. 题型1.1.2排列的奇偶性 解题策略:先计算出n 阶排列12n i i i 的逆序数121()n i i i ττ=(1i 后面比1i 小的数的个数)2τ+(2i 后面比2i 小的数的个数)+1n τ-+(1n i -后面比1n i -小的数的个数).再由12()n i i i τ的奇偶性,确定12n i i i 的奇偶性.例1.1.3计算以下各排列的逆序数,并指出它们的奇偶性:(1)314265;(2)314265789;(3)542391786;(4)987654321;(5)246813579;(6)(1)21n n -解:(1)12345(314265)201014,ττττττ=++++=++++=故314265为偶排列. 类似可得(2)逆序数为4,偶排列.(3)逆序数为15,奇排列.(4)逆序数为36,偶排列.(5)逆序数为10,偶排列.(6)(1)((1)21)(1)(2)21,2n n n n n n τ--=-+-+++=当4n k =时,(1)2n n - 2(41)k k =-为偶数,故为偶排列;当41n k =+时,(1)2(41)2n n k k -=+为偶数,故为偶排列;当42n k =+时,(1)(21)(41)2n n k k -=++为奇数,故为奇排列;当43n k =+时,(1)(43)(21)2n n k k -=++为奇数,故为奇排列. 按本题方法下题容易解出.分别计算下列4个4阶排列的逆序数,然后指出奇排列是(A) (A)4312;(B)4132;(C)1342;(D)2314.例1.1.4在由1,2,3,4,5,6,7,8,9组成的下述9阶排列中,选择i 与j 使得 (1)2147958i j 为偶排列;(2)1254896i j 为奇排列; (3)4125769i j 为偶排列;(4)3142786i j 为奇排列.分析:题中已明确指出2147958i j 是由1,2,3,4,5,6,7,8,9组成的9阶排列,所以i 与j 只能在3,6中选取.故可分别计算这两个排列的逆序数来确定奇偶性.解:当3,6i j ==时(214739568)101303008,τ=+++++++=故为偶排列.当6,3i j ==时(214769538)1013231011,τ=+++++++=故为奇排列.从而选取3,6i j ==. 注记:注意到这两种,i j 的选择可经过1次对换互相得到,而排列经过1次对换改变奇偶性,因而当计算得知排列214739568为偶排列,就可直接断定214769538为奇排列,即可得出正确选取.类似可得:(2)7,3i j ==;(3)8,3i j ==;(4)9,5i j ==.1.2行列式的定义定义 1 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a 是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 的代数和,这里12n j j j 是1,2,,n 的一个排列.当12n j j j 是偶排列时，该项的前面带正号;当12n j j j 是奇排列时,该项的前面带负号,即1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑(1)这里12nj j j ∑表示对所有n 阶排列求和.式(1)称为n 阶行列式的完全展开式.例如,若已知1423142j a a a a 是四阶行列式中的一项,那么根据行列式的定义,它应是不同行不同列元素的乘积.因此必有3j =.由于14233142a a a a 列的逆序数()43123205τ=++=是奇数,所以该项所带符号为负号.本节从利用消元法寻求n 个方程n 个变量的线性方程组的公式解着手,引导出n 阶行列 式ij na 的定义: 121212()12(1),n n nj j j ijj j nj nj j j a a a a τ=-∑其含义可理解为(1)通项1212n j j nj a a a 是表示行列式ij n a 中不同行不同列的n 个元素的乘积,其中12nj j j 是一个n 阶排列. (2)12()(1)n j j j τ-是确定通项的符号,当12n j j j 是偶排列时取正号,当12n j j j 是奇排列时取负号. (3)12nj j j ∑是表示对!n 项(所有的n 阶排列12n j j j )求和.这表明ij na 是从(,1,2,,)ij a i j n =按一定规则取n 个元素相乘作为一项,再将不同的项经加减得到的.故当ij a 均为数时,ij na 为一个数.特别地当ij a 均为整数时,ijna 为整数.而当ij a 中含有参变量x 时,ij n a 为x 的一个多项式,比如第5章矩阵A 的特征多项式()f E A λλ=-就是λ的一个多项式.题型1.2.1确定行列式ij na 中某一项的符号解题策略:有3种解决方法:方法1该项的行指标取标准排列时,由其列指标组成的排列的奇偶性确定:奇排列取负号,偶排列取正号.方法2该项的列指标取标准排列时,由其行指标组成的排列的奇偶性确定:奇排列取负号,偶排列取正号.方法3由该项行指标所组成的排列逆序数与该项列指标所组成排列的逆序数之和的奇偶性确定:和为奇数取负号,和为偶数取正号.例1.2.1在6阶行列式ij a 中,下列各项应取什么符号?为什么?(1)233142561465a a a a a a ;(2)324354116625a a a a a a ;(3)215316426534a a a a a a ;(4)511332442665a a a a a a . 解:(1)方法1因233142561465142331425665a a a a a a a a a a a a =,得其列指标组成的排列为431265,由(431265)6τ=知,该项取正号.方法2因233142561465314223146556a a a a a a a a a a a a =,得其行指标组成的排列为342165,由(342165)6τ=知,该项取正号.方法3该项行指标组成排列为234516,列指标组成排列为312645.由(234516)(312645)448ττ+=+=知,该项取正号.类似地可解得(2)取负号;(3)取负号;(4)取正号.例1.2.2当i = ,k = 时13242553i k a a a a a 成为5阶行列式ij a 中一个取负号的项,为什么?分析:本例是例1.1.4与例1.2.1两者的综合题.解:因1324255312532453i k i k a a a a a a a a a a =,据例1.1.4知,排列523i k 中的,i k 只能在1,4中选取.若取1,4i k ==时,由(15243)4τ=知,1132442553a a a a a 取正号.据例1.1.4的注记知,取4,1i k ==时, 1432412553a a a a a 取负号,所以本题应填4,1i k ==.类似可解得若(415)(12345)41213455(1)k i k i a a a a a ττ+-是5阶行列式ij a 中的一项,则当k = 2 ,i = 3 时该项符号为正;当k = 3 ,i = 2 时该项符号为负.例1.2.3写出4阶行列式ij a 中包含因子4223a a 的项,并指出正负号. 分析:本例是例1.1.2与例1.2.1两者的综合题.解:据例 1.1.2知所求项一般形式为:123342i k a a a a ,其中,i k 只能在1,4中选取.当取1,4i k ==时,由(1352)2τ=知,11233442a a a a 取正号,从而也可断定另一项14233142a a a a 取负号(参见例1.1.4的注记) 类似可解得写出4阶行列式ij a 中所有取负号且包含23a 的项. 解:11233244a a a a ;14233142a a a a ;12233441a a a a 题型1.2.2按行列式定义计算行列式ij na解题策略:(1)当2,n =或3n =时可用对角线法则计算.(2)当4n ≥时按定义计算ij na 要计算!n 项的代数和,一般摒弃掉为零的项,计算非零项的代数和.例1.2.4按行列式定义,计算下列行列式:(1)22a b a b ;(2)1log log 1b a a b ;(3)tan sin 1cos θθθ;(4)00000a b c d ;(5)111111111---; (6)0000abc de ;(7)1012003ab ---.解:可用对角线法则,直接计算得(1)22ab a b -;(2)1log log 0b a a b -=;(3)tan cos sin 0θθθ-=;(4)0; (5)1111114+-+++=;(6)abe acd -.类似可解得(7)6ab -+. 例1.2.5按行列式定义计算下列行列式:(1)40000000000a b D c d=;(2)123451234551212120000000a a a a ab b b b b Dc cd de e =; (3)11121,1121222,11,11,21000n nn n n n n a a a a a a a D a a a ----=;(4)00010100100100n D --=--.解:(2)按定义123451234512345()512345(1)j j j j j j j j j j j j j j j D a a a a a τ=-∑.方法15D 为5!项的和,而值为零的项在求和时可不计.为此考察通项1234512345j j j j j a a a a a ,注意到5D 的第5行5354550a a a ===,所以只有51j =,或52j =才可能550j a ≠.当取51j =时,类似推理4j 只能取42j =才可能440j a ≠.这样一来3j 只能取3,4,5中某一个,但3334350a a a ===.这表明展开项中每一项至少有一个因子为零.而当取52j =时,也可推得同样结论,所以50D =.方法25D 的通项不考虑符号为1234512345j j j j j a a a a a ,这表明5D 中每一项中最后3个因子345345j j j a a a 分别取值于5D 最后3行不同列的3个数,而5D 最后3行均只有2个数可能不为零,所以这3个因子33j a ,44j a ,55j a 至少有一个取零.从而5D 的每一项都含有因子零,故5D 展开式的每一项都为零,即得50D =. 类似可解得(1)4D abcd =-;(3)(1)212,11,21(1)n n n n n n n D a a a a ---=-.利用本题(3)的结论可求出(4)(1)(1)22(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n D -+=----=-例1.2.6问1114222341122334414233241323341440000000a a a a D a a a a a a a a a a a a ==-为什么错?正确答案是什么？解:4D 为4阶行列式,故不能用对角线法则(只有8项代数和)计算,所以说41122334414233D a a a a a a a a =-是错的.4D 按定义应是4!24=项代数和.这24项中除去为零的项,以及1122334414233241,a a a a a a a a 外,还应有:1123324414223341,a a a a a a a a .所以411223344142332411123324414223341D a a a a a a a a a a a a a a a a =+--.注记:当4n ≥时用行列式定义计算n 阶行列式一般说来计算量大,很少采用,通常都要利用行列式性质计算,本题也如此.在讲过1.4节后,本题有两种较简便的解法: 方法1将4D 按第1列展开得2223144141132334122234432330000(1)00a a a D a a a a a a a a a +=+-(再均按第3列展开) 222322231144411411442233233241142233233232333233()()a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-=---11223344142332411123324414223341a a a a a a a a a a a a a a a a =+--.方法2先将4D 的第2行与第4行互换,再将第2列与第4列互换得11144144222311144114414412233233222233233414432330000=()()000a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a =--分块行列式n 个11223344142332411123324414223341a a a a a a a a a a a a a a a a =+--.同样道理,讲过下面两节后第7题的(1)将4D 的第2列与第3列互换即化为上三角行列 式;而(2)5D 是一个分块行列式可直接用公式算出,计算就很简便.将上述情况慨括起来可以说除2阶行列式外,一般行列式计算都不采用定义法,而是用 行列式性质使之计算简捷,所以下面两节的行列式计算更为重要,是需熟练掌握的.虽说一般行列式计算不采用定义法,但用定义法可得出四类行列式的计算公式: 上(下)三角形行列式有111122221122**nn nnnna Oa a a a a a Oa a ==;副对角线一侧全为零行列式有11(1)2,12,1212,1111(1)**nnn n n n n n n n n Oa a a a a a a a Oa ----=-=.这四类行列式的计算公式,特别是上(下)三角形是行列式计算的基石,在下面的行列式 计算中将发挥重要作用,一定要熟记,这一点是要特别强调的.1.3行列式的性质本节和下一节是本章的重点,须熟练掌握.本节所论述的行列式的5条性质和4条推论不 仅有理论意义,而且利用这些性质和推论可简化行列式计算,所以牢记这些性质和推论是必须的.但仅仅牢记是远远不够的,更重要的是能熟练地用这些性质和推论正确简捷地计算行列式.为此要对不同类型的行列式,分析其不同的特点,采用恰当的解决方法.这就需要多做,多练,而且在做前要先分析,找出思路,再动手做.需要说明的是同一个行列式可以有多种不同的解法,做出的解法未必是最简的,要多思考. 题型1.3.1可用行列式性质和推论解的行列式解题策略:一看二想三做,“一看”是指首先要仔细地阅题,对题目作一番观察,找出其特点;“二想”是指针对题目的特点,找到思路;最后才动手做.这也表明对一道题目从不同角度去思考会有不同的解法.例1.3.1证明:2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b D cc c cd d d d ++++++==++++++.分析:观察到4ij D a =中的元素ij a 都是平方形式,故可考虑利用公式22()()x y x y x y -=+-,注意到当1x y =+时有22x y x y -=+,而D 中相邻列的对应元素恰好有此性质,故采用相邻列相减来解. 解:D3221C C C C --22224322322221232521222123252122021232521222123252122a a a a a a C Cb b b b b b cc c c c c C Cd d d d d d ++++-++++=++++-++++.类似可得1998199920002001200220030200420052006=.例1.3.2计算111213212223313233x y x y x y D x y x y x y x y x y x y =. 分析:注意到D 的第1,第2,第3列分别有公因子1y ,2y ,3y ,先提公因子解之(也可先提各行的公因子求解).解:1111232223330x x x D y y y x x x x x x =各列相同. 类似地1101a b c bc a c a b ++=+ . 例1.3.3设1112132122233132330a a a D a a a a a a a ==≠.计算 43C C -111312123132331212223221232222111213313332321235231262,2352312352a a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a a a --=-=---. 分析:本例是已知D ,求1D ,2D .因D ,1D ,2D 的元素ij a 没有具体给出,所以不能计算解决,而应利用行列式性质,将1D ,2D 分别化为D 的表达式,为此应先观察1D ,2D 与D 的异同,然后再适当地应用行列式的性质.解:先分别提出1D 第2行,第2列的公因子2,3-,然后交换第1行与第3行就得D ,于是有表达式:12(3)(1)66D D D a =⨯-⨯-==.用行列式性质将2D 表示成两个行列式和1113121112122212322212222313332313232112325221123252211232522a a a a a a D a a a a a a a a a a a a -=+--(第2列与第3列成比例) 11131211121323212322212223313332313233123()0332a a a a a a C a a a a a a a a a a a a a =⨯⨯+-=-. 例1.3.4由(1)n n >阶行列式1111110111D ==来说明!n 个不同的n 阶排列中奇排列和偶排列各占一半.解:若记ij nD a =,则1(,1,2,,)ij a i j n ==,据行列式定义有1212121212()()1210(1)(1)n n nnnij j j j j j j ij j j nj nj j j j j j a a a a a ττ===--∑∑.这表明上式中(1)-的个数和(1)+的个数一样多,而(1)-是由奇排列产生的,(1)+是由偶排列产生的,所以上式中奇、偶排列个数一样多.而“12nj j j ∑”表示上式包括了所有n 阶排列,共有!n 个.故求得n 阶排列中奇排列和偶排列个数相同,各占一半.注记:本例是利用一个值为零的行列式来证明结论“n 阶排列中奇偶排列各半”,其实该 结论可直接证明如下:设n 阶排列中奇排列共有s 个,偶排列共有t 个.对换每一个偶排列的第1,第2两个数码,可得t 个n 阶的奇排列.因n 阶奇排列一共只有s 个,故t s ≤.同理可推得s t ≤.综上证得:s t =,即奇偶排列各半.题型1.3.2用行列式性质将行列式化为上(下)三角形求解解题策略:设法在所求的行列式中将对角线上(下)那一块元素全化为零,为此常用的方法是对差别最小的行(列)相减,以期得到尽可能多的零. 例1.3.5计算(1)n >12111112122112212111211100010001,000111111n n n n n n n a a a a a a b a a a a D a a b a D a a a a a b --------+-=+=-+.分析:上(下)三角形行列式ij na 中有一大块ij a 为0,而1D 中元素均不为0.但注意到第2行,第3行,…,第n 行与第1行比较均只有一个位置上元素不同,其余元素均相同.故可如下解题.解:12121131121211110000000n n n n a a a R R b R R D b b b b R R b ------上三角.类似对2D 观察,注意到其相邻两列元素差别小,所以用列性质:21C C +,再32C C +,…最后1n n C C -+可得下三角形行列式.从而求得2121(1)nn D na a a -=-.本例的分析和解法有代表性.按同样的思路可解下题. 求下列多项式的根:(1)2211231223()22652269x f x x -=-;(2)1111111111()(1)1121111111x g x n xn x-=>---.方法1第(2)小题可如1D 求得()(1)(2)(2)g x x x x n x =-----,所以()g x 的根为10x =,21x =,…,12n x n -=-.方法2因c 是()g x 的根⇔()0g c =.而(0)(1)(2)0g g g n ===-=,且()g x 是x 的1n -次多项式,所以()g x 的根为0,1,…,2n -.类似地可用两种方法求得第(1)小题()f x 的根为1±,2±. 例1.3.6计算(1)41111123413610141020D =;(2)3222222a b c a aD b b c a b c c c a b--=----. 解:(1)按对差别小的行相减有434343324322111111111111101230123012310136001300130141000140001R R R R R R R R D R R R R ------上三角.(2)注意到3D 的每列元素和均为a b c ++.故可如下解:123311122()222222a b c a b c a b c R R R D b b c a b a b c b b c a b c c c a b c c c a b ++++++++--=++------ 213311112()00()200R bR a b c b c a a b c R cR c a b-++---++----上三角.注记:本例也有代表性,4D 是逐次化上三角,3D 是先使第一行化为1,1,1.再化上三角.有这两种思路,可类似地解得100111102110220110196,3,41118.033010112011029940040111--==--=--- 小结:本题型所阐述的用行列式性质将所求行列式归结化简为上(下)三角形的形式是求解行列式的最通用最重要的方法之一,简称为归化,务必熟练掌握.1.4行列式按行(列)展开定义１ 在n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =中划去元素ij a 所在的第i 行、第j 列,由剩下的元素按原来的排法构成一个1n -阶的行列式111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1j j n i i j i j in ii j i j i n n n j n j nna a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+称其为ij a 的余子式,记为ij M ;称(1)i jij M +-为ij a 的代数余子式,记为ij A ,即(1)i j ij ij A M +=-例如,若已知行列式1211345a-的代数余子式212A =即已知212(1)245a+-=从而3a =.定理 1n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =等于它的任意一行的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和,即1122(1,2,,)k k k k kn kn D a A a A a A k n =+++= (1)公式(1)称为行列式按第k 行的展开公式. 定理1'n 阶行列式D 等于它的任意一列的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和,即1122(1,2,,)k k k k nk nk D a A a A a A k n =+++= (2)公式(2)称为行列式按第k 列的展开公式.定理2 设n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =.元素ij a 的代数余子式为ij A ,当(,1,2,,)i k i k n ≠=时,有11220i k i k in kn a A a A a A +++= (3) 当(,1,2,,)j k j k n ≠=时,有11220j k j k nj nk a A a A a A +++= (4)【评注】根据代数余子式的性质(1)与(3),对于矩阵111213212223313233a a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦和行列式111213212223313233a a a A a a a a a a =,我们有111213112131212223122232313233132333a a a A A a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111112121313112112221323113112321333211122122313212122222323213122322333311132123313312132223323313132323333a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A ++++++⎡⎤⎢⎥=++++++⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦00100000100001A A A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即AA A E *=,类似地由(2)与(4),有A A A E *=.从而AA A A A E **== 这是一个重要的公式,要会灵活运用(详见第二章伴随矩阵).行列式按行(列)展开公式是行列式的一个重要性质,十分有用.本章中一方面主要是利用它作为化简行列式计算的一个重要方法:降阶.另一方面是利用它推导出范德蒙德行列式和四类可分块计算行列式的计算公式.上述两方面都表明行列式按行(列)展开在化简行列式计算中占有重要地位,也是行列式计算的一种常用的方法. 题型1.4.1可用行列式按行(列)展开方法求解的行列式解题策略:找出行列式中零最多的行(列),一般是该行(列)只有1个或2个元素不为零,则按该行(列)展开,得到一个低1阶的行列式表达式.重复使用之,就可将高阶行列式化为2阶行列式的表达式,而2阶行列式的值容易得出,从而求得原行列式的值.故称这种方式为降阶法.例1.4.1计算下列行列式:(1)10000000000xa b cy dD e z f g h k u lv=;(2)21111234134124123D =;(3)3010000010000010a b c d eD e d c b a=; (4)1234100010000000000001n na a a D a a -=;(5)50000000000000x y x y x D x y yx=.解:(4)将4D 按第2行展开,得1n -阶行列式1n D -,再将1n D -按第2行展开,如此重复按第2行展开可得13122422312311110010001(1)(1)10001n n n nn nn a a a D a a a a a a a a a a a a +----=-===-类似可得第(3)小题:223D a e =-.(1)将1D 先按第5行展开,次按第4列展开,再按第1列展开得10y D xuvxyzuv e z==. (2)41433111232212111111111121112300121(1)0401131004040013110400R R R R R R D R R R R R R +---------------按第列展开31321(1)(4)164+---=-按第行展开.注记:本题也可用归化法等多种方法求解.(5)将5D 按第1列展开可得两个行列式,前者为上三角,后者为下三角,故有111150000000(1)(1)(1)000000n n n x y y xy x y D xy x y x y xyx+++=-+-=+-.例1.4.2求下列多项式的根:(1)513()153333x f x x x --=---;(2)122()212221x g x x x ---=------.分析:(1)、(2)两小题的行列式元素均不为零,不能直接用降阶法或归化法解之,需要设法先将某些元素化为零.注意到第(1)小题中第3列为:3,3,3x --;第(2)小题中有6个2-.故有如下解法.解:(1)1221440400163()153163(4)63333363x x x R R C C x f x x x x x x x ---+----------按第行展开21126393(4)(4)(4)(9)0R R C C x x x x x x x x x x+-----=--,因此()f x 的根为0,4,9. (2)13312310(1)10011(1)()1(1)01(1)(1)23221223x x x R R C C x x g x x x x x x x R R x x +-++-++-++-++-++---------按第行展开21210(1)(1)(5)25C C x x x x x +++=+---,故()g x 的根为5,1, 1.--注记:(1)第(2)小题有多种解法,如注意到(2)的行列式每列元素之和均为5x -,故可123R R R ++得第一行为:5x -,5x -,5x -.提出公因子后得111()(5)212221g x x x x=-------,然后化上三角也可得2()(1)(5)g x x x =+-.(2)本例的(),()f x g x 其实是矩阵的特征多项式,其根是矩阵的特征值.正因为目的在求根,所以在计算(),()f x g x 时要遵循一个原则:尽可能将结果表为因子的乘积,以方便求根.由于这类题将是以后章的基本题,所以在第1章开始就以此原则解此类题是很有好处的. 题型1.4.2可用范德蒙德行列式公式解的行列式 解题策略:n 阶范德蒙德行列式12(,,,)n D a a a 是一类非常特殊的行列式,它的第(1,2,,)i i n =列均是数i a 的零次方,1次方,…,1n -次方,即1,i a ,…,1n i a -.所以先要化为范德蒙德行列式,然后再用公式 例1.4.3计算下列行列式:(1)123111122123222212322233123311000100011100x x x a b c D a b x x x c x x x a b x x x c =;(2)2231111122144188xD x x -=-;(3)2223ab cD ab c b c c a a b=+++.解:(1)先交换1D 的第3列,第6列;次交换第3行,第5行;再交换第4行,第5行可得12322212331123231111222222123231222231222333231111000000111111000(1)111x x x x x x D x x x x x x a b c x x x x x x a b c x x x a b c x x x =--分块行列式 2222123231123313221(,,)(,,)(,,)()()()D x x x D x x x D x x x x x x x x x =-=-=----.(2)22(1,2,2,)(21)(21)(1)(22)(2)(2)12(1)(4)D D x x x x x x =--------+=--公式.(3)3D 与范德蒙德行列式相比,只差一行:1,1,1.注意到第3行加上第1行后得:,,,a b c a b c a b c ++++++提出公因子就有:1,1,1.故可有如下解法:3231222222322221111()()111a b c a b cC R RD a b c a b c a b c a b c a b c Ca b c a b c a b c a b c +=++++++++++()(,,)()()()()a b c D a b c a b c b a c a c b =++=++---.题型1.4.3可分块计算行列式(特殊的拉普拉斯展开式) 解题策略:可分块计算行列式只有四类:111111111111111111111111**rrr sr rrr rrs s r rr s sss ss s ss a a a a Oa ab b a a a a b b b b a a b b Ob b b b ==,111111111111111111111111(1)**r r r sr rrrsr rr ssr rr s sss sss ssa a a a Oa ab b a a a a b b b b a a b b Ob b b b =-=,上式中标有*部分元素可任取.只有上述形式的行列式才有分块计算公式.故有时先要将所求行列式用行列式性质化成上述形式,才能用公式计算. 例1.4.4计算下列行列式:(1)1765432978943749700536100005600006800D =;(2)21221010220110201D =;(3)300120030400a c b D c d=. 解:(1)2417654329789437497749700325361(1)5361004300560056000068006800D ⨯=-分块行列式3274561144435368=⨯⨯=分块行列式.(2)2323212211221001221011212921010012212100210021C RD -=分块行列式.类似可求得(参阅例1.2.6注记方法2)第(3)小题3(6)(4)D bc ad =--. 最后给出一个较为复杂的n 阶行列式的例题:例1.4.5计算111212122212111111111n n n n n n nx y x y x y x y x y x y D x y x y x y ++++++=+++.分析:本例的元素均形如1i j x y +,这就较为复杂,所以先设法去掉1化成i j x y 形式,就容易解决.解:1112121121221213113123131111211111()()()()()()()()()n n nn n n n n n x y x y x y R R y x x y x x y x x R R D y x x y x x y x x R R y x x y x x y x x +++------------ 1112112213111212111()()()nn n n nx y x y x y y y y x x x x x x y y y y y y +++=---.这表明3n ≥时,上式中至少有两行元素成比例,故此时0n D =. 当2n =时,111222121211211()()()x y x y D x x x x y y y y ++=-=--;当1n =时,1111111D x y x y =+=+.综上所述1121211,1,()(),2,0, 3.n x y n D x x y y n n +=⎧⎪=--=⎨⎪≥⎩注记:本例表明n 阶行列式n D 的值是与n 的取值有关的,当n 分别取1,2,,,,k n 时,对应行列式为12,,,,,k n D D D D .这些行列式当然可以取不同的值.需要指出的是k D 是一个与n D 特征相同的k 阶行列式,即111212122212111111111k kk k k k k x y x y x y x y x y x y D x y x y x y ++++++=+++1.5克拉默法则若n 个方程n 个未知数的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式 1112121222120n n n n nn a a a a a a D a a a =≠,则方程组有唯一解1212,,,nn D D Dx x x D DD===其中11111111212122121111jj n nj j n j i iji n nj nnj nna ab a a a a b a a D b Aa ab a a -+-+=-+==∑推论１ 若齐次线性方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式不为0,则方程组只有零解.推论2 若齐次线性方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有非零解,则系数行列式0A =.本节的克拉默法则回答了1.2节提出的问题:借助n 阶行列式给出n 个方程n 个未知量 的线性方程组(Ⅰ)的公式解:当(Ⅰ)的系数行列式0D ≠时,(Ⅰ)有唯一解:1212,,,,nn D D Dx x x D DD===其中12,,,n D D D 也是n 阶行列式.克拉默法则的理论意义(判断(Ⅰ)有唯一解)远大于用其公式求出唯一解的实际功能(因计算n 阶行列式工作量太大).题型1.5.1用克拉默法则解线性方程组解题策略:(1)用克拉默法则解线性方程组须满足两个条件:一是方程个数要等于未知量个数,二是系数行列式不等于零.在此前提下方可用克拉默法则,故解题时要先验证这两个条件,满足这两个条件才能用克拉默法则. (2)求唯一解须分别计算行列式12,,,n D D D ,此时尽可能利用上文提及的利用行列式性质化简计算的方法,如归化、降阶等.(3)方程个数等于未知量个数的齐次线性方程组的解可用克拉默法则的推论来确定. 例1.5.1试用克拉默法则解下列方程组:(1)12312312323,52722,2544x x x x x x x x x +-=-⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩；(2)1223132,23,0,bx ax ab cx bx bc cx ax -=-⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩其中0abc ≠；(3)12341234123412342326,33325,323,334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩；(4)13412342341234369,258,225,7460x x x x x x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎪⎨-++=-⎪⎪-++=⎩；(5)2221,,,x y z x y z x y z εεεεεε++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩其中ε为三次原根,即1,ε≠且31ε=的复数.解:(1)～(5)的方程个数均与未知量个数相等. (1)因系数行列式213231112112112552707170717630,2254078009R R R R D R R -----=---≠----上三角据克拉默法则知,(1)有唯一解,再类似计算可得123312132113222763,5227126,5222189,454244254D D D -----=-====-=--故(1)的唯一解为3121231,2, 3.D D Dx x x D D D====== 注记:如能观察到将D 的第2列的2倍、第3列的3倍均加到第1列上正好得到1D ,则直接有163.D D ==否则可用归化法,比如1211322227,544C D ----再化上三角计算得. (2)因系数行列式0232350,0ba D cb abc abc abc c a-=---=-≠对角线法则据克拉默法则知(2)有唯一解.再类似计算得22212320202235,035,025.000ab a b abb a abD bcc b a bc D bc b ab c D cbc abc a c a c -----=-===-=-=- 所以(2)的唯一解为312123,,.D D Dx a x b x c D D D==-==== (3)因系数行列式12233421321200120433320240(1)02431129350293531313131R R R R D R R -------=-----+-----按第列展开(107212)700-+-=-≠对角线法则.类似计算123461322632216221365332353233523335,,,.31123312313231134131343131413134D D D D ------====------------ 这工作量较大,但如注意到D 的第1行之和为6,第2行之和为5,第3行之和为3,第4行之和为4,恰好是对应的常数项,从而有1234121326132()33325332.3112311231314131C C C CD D --+++--==--------同样213431244123234()()(),,,C C C C C C C C C C C C DD DD DD +++++++++从而123470,D D D D D =====-故(3)的唯一解为312412341,1,1, 1.D D D Dx x x x D D D D======== (4)因系数行列式322123414210361036103610365225110571301220122012201220571300337174607712077120072R R R R R D R R R R --------------=-----------4310361036701220122(3)(3)270.0011001100720009R R -------=--≠-----上三角类似计算可得12903619368511281181,27,5122052207461046D D -----====-----341096103925812518108,270152012517061740D D ----==-==------.故(4)的唯一解为312412343,1,4, 1.D D D Dx x x x D D D D====-==-== (5)由题设31ε=知,4εε=,故系数行列式222241111111111D εεεεεεεε==是范德蒙德行列式2(1,,)D εε,因21,,εε互异,故2(1,,)0.D D εε=≠计算得22123222221111111110,1,10.11D D D D εεεεεεεεεεεεεε======故(5)的唯一解为3120,1,0.D D Dx y z D D D====== 注记:(1)对方程个数等于未知量个数的线性方程组只要系数行列式0,D ≠就可应用克拉默法则求出唯一解,故(5)中可不必具体计算出.D(2)在第(4)题中,计算D ,1D ,2D ,3D ,4D 的工作量都相当大,故用克拉默法则求解并不是一个简捷的方法.本书在后面将介绍解线性方程组的一般方法,它不但比克拉默法则适用面更广,而且更为简便.例1.5.2当λ取何值时,线性方程组(Ⅰ)131412340,20,0,20x x x x x x x x λλ+=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩一定只有零解,为什么?解:(Ⅰ)是4个方程4个未知量的线性方程组,其系数行列式为321001022001(1)201(14).1000120012D λλλλ+-=----第列对角线展开法则当14λ≠时,0,D ≠据克拉默法则知,此时(Ⅰ)一定只有零解. 类似地可以得到对任意实数k ,线性方程组1212(1)0,2(1)0k x kx x k x -+=⎧⎨+-=⎩只有零解因211021k kD k k -==+≠-- .最后要指出的是克拉默法则只是说:若方程个书等于未知量个数的线性方程组(Ⅰ)的系 数行列式0,D ≠则(Ⅰ)有唯一解.反过来,“若(Ⅰ)有唯一解,则是否一定有0D ≠”?克拉默法则没有涉及.在后面(参阅题型 2.3.1)会指出:(Ⅰ)有唯一解⇔0D ≠.同样后面(参阅题型 2.3.2)会得到:方程个数等于未知量个数的齐次线性方程组(Ⅱ)只有零解⇔0D ≠.也就是说0D ≠是方程组(Ⅰ)有唯一解的充分必要条件,也是方程组(Ⅱ)只有零解的充分必要条件.1.6概要及小结本节是第1章的小结,主要在于阐明行列式的计算方法.首先用行列式的定义或性质得出九类有公式可直接求出值的行列式:上(下)三角形行列式、副对角线一侧全为零的行列式、范德蒙德行列式、四类可分块计算的行列式,以上九类统称为基本形.然后指出对一般行列式可用行列式性质,或归化法,或降阶法求得.本节的例题有代表性,也有一定难度,如能独立完成,则表明已达到第1章的教学要求. 解题策略:(1)解题思路可参见下图:(2)“对差别最小的行(列)相减,以期得到尽可能多的零”是化简过程中使用最多的,也是行之有效的方法.要熟练掌握,灵活运用.例1.6.1计算4101011.11111a b D c d --=----分析:该题用归化法或降阶法均可解.解:方法1(降阶)31134411011100101110100101111011a ba b d R R R R b D a ca c a cR R a da d a d --++++---+-+-+++++按第列展开301a b d a b d a c++=++-+按第列展开.方法2(归化)313244142101101011011010001011000a a R R R Rb b D a ca cb R R R R a d a b d +------++-+++++ 34101011001000a C b a b d ac b a b d---+++-++上三角. 或者做到上面第2步时直接归化为可分块计算行列式4101011101.001010000a b a c b D a b d a c b a b d a b d--+-==+++--++++可分块计算 例1.6.2计算331211.3(1)3x D x x x x x +=-++ 分析:注意到第1列与第2列加第3列之和差别最小,故可如下解:解:123312231212011011(1).30x x C C C R R R D x x x x xx x x-------+上三角例1.6.3计算51234551234.451233*********D =分析:注意到5D 的每一行元素均为1,2,3,4,5,从而每行元素之和为常数,故可如下解.解:将5D 的第2列,第3列,第4列,第5列均加到第1列上,则第1列元素均为15,提出第1列的公因子15有方法112235344512345011111111112340411114111151********014111411145120114111411345113451R R R R D R R R R ----=------按第列展开1242334500055005050151535.055055411141R R R R R R ---=⨯-----分块行列式方法221323142541525112345123451234531123401111011112151515151230322200555145120223300055134510111400005R R R R R R R R D R RR RR R-+---------+=-------+------- 435.⨯上三角。