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第2章平稳随机信号的功率谱-频域特征教学案例

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随机信号的功率谱

随机信号的功率谱

功率谱分析在信号处 理中的应用
功率谱分析在信号处理领域具有 广泛的应用，如语音信号分析、 雷达信号处理、通信信号处理等 。通过功率谱分析，可以提取信 号的特征信息，实现信号检测、 识别和分类等任务。
未来发展趋势预测
• 高分辨率功率谱估计：随着信号处理技术的发展，对功率谱估计的分辨率要求 越来越高。未来将继续研究高分辨率的功率谱估计方法，以提高信号处理的精 度和性能。
杂波背景下目标检测
在雷达和声呐应用中，接 收到的信号往往包含杂波 ，即非目标反射的信号。 杂波可能来自地面、海面 、大气等环境因素。
功率谱分析可用于区分目 标回波和杂波。目标和杂 波在功率谱上通常具有不 同的特征，如频率范围、 幅度和形状等。
通过设定合适的阈值和滤 波器，可以在杂波背景下 准确地检测出目标。
定义
随机信号是一种无法用确 定函数描述，但具有一定 统计规律性的信号。
统计规律性
随机信号在大量重复观测 下呈现出一定的统计规律 ，如均值、方差等。
连续性
随机信号通常是时间连续 的，可以用连续时间函数 表示。
随机信号分类
根据信号性质分类
01
非平稳随机信号：统计特性随时间变化的 随机信号。
03
02
平稳随机信号：统计特性不随时间变化的随 机信号。
ARMA模型法
将随机信号建模为自回归滑动平均模型（ARMA），通过求解模型参数得到功率谱估计。 该方法适用于短数据和复杂信号，但模型定阶和参数估计较困难。
不同方法比较与选择
性能比较
现代谱估计方法通常具有更高的分辨率和更低的方差，性能优于经典谱估计方法。其中，MEM和MVM在分辨率 和方差性能方面表现较好，而ARMA模型法在处理短数据和复杂信号时具有优势。

通信原理第2章-随机信号分析

通信原理第2章-随机信号分析

1 1 2
f ( x)dx f ( x)dx
a
2
在点 a 处取极大值: 1
2
■ a f x 左右平移
f x宽窄
a
x
37
二、正态分布函数
积分无法用闭合形式计算，要设法把这个积分式和可以在数学 手册上查出积分值的特殊函数联系起来，常引入误差函数和互 补误差函数表示正态分布函数。
38
三、误差函数和互补误差函数
39
40
四、为了方便以后分析，给出误差函数和互补误差 函数的主要性质：
41
42
2.5.4 高斯白噪声
43
这种噪声称为白噪声，是一种理想的宽带随机过程。 式子是一个常数，单位是瓦/赫兹。白噪声的自相关 函数：
说明，白噪声只有在 ＝0 时才相关，而在任意
两个时刻上的随机变量都是不相关的。白噪声的功 率谱和自相关函数如图。
F1 x1 ,
x1
t1
f1 x1 ,
t1
则称 f1 x1 , t1 为 (t的) 一维概率密度函数。
显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数 仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没 有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，因 此需要在足够多的时间上考虑随机过程的多维分布函 数
60
用示波器观 察一个实现 的波形，如 图所示，是 一个频率近 似为fc，包 络和相位随 机缓变的正 弦波。
Df －fc
s(t)
S( f )
O (a) 缓慢变化的包络[a(t)]
O
频率近似为 fc (b)
窄带过程的频谱和波形示意
61
Df
fc
f
t
因此，窄带随机过程ξ(t)可表示成:

随机信号功率谱分析

随机信号功率谱分析
近代谱估计是建立在随机信号参数模型的基础上，通过信号参数模型或预测误差滤波器参数的估计。常用的参数模型有自回归（AR）模型、滑动平均（MA）模型、自回归滑动平均（ARMA）模型。
3．实验设备及材料
装有Matlab的计算机一台
4．实验方法步骤及注意事项
利用Matlab中的函数分析并绘出常用基本信号的波形。
本科学生实验报告
学号姓名
学院物理与电子信息专业、班级
实验课程名称
教师及职称
开课学期2014至2015学年下学期
填报时间2015年4月25日
云南师范大学教务处编印
一、实验设计方案
实验序号
六
实验名称
随机信号功率谱分析实验
实验时间
201实验目的
1、了解随机过程功率谱密度的意义并掌握如何利用MATLAB产生功率谱函数。
2、实验现象
（1）产生一组服从N(2,5)的正态白噪声序列，画出其自相关函数和功率谱密度；
（2）估计随机过程X(t)=cos(600πt)+cos(800πt)+N(t)的自相关函数和功率谱，其中N(t)服从N(0,1)的高斯分布；
在（0,2）上均匀分布的随机变量，估计该随机信号的自相关函数和功率谱密度；
2．实验总结
由于采用分段加窗求功率谱平均，有效减少了方差和偏差，但在估计过程存在两个与实际不符的假设，即
（1）利用有限的N个观察数据进行自相关估计，隐含着在已知N个数据之外的全部数据均为零的假设。
（2）假定数据时有N个观察数据以N为周期的周期性延迟。同时在计算过程中采用加窗处理，使得估计的方差和功率泄露较大，不适用于段序列的谱分析和对微信号的检测。
title('N(2,5)分布白噪声序列功率谱密度');

《随机信号分析与处理》教学大纲

《随机信号分析与处理》教学大纲

《随机信号分析与处理》教学⼤纲《随机信号分析与处理》教学⼤纲（执笔⼈：罗鹏飞教授学院：电⼦科学与⼯程学院）课程编号：070504209英⽂名称：Random Signal Analysis and Processing预修课程：概率论与数理统计、信号与系统、数字信号处理学时安排：60学时，其中讲授54学时，实践6学时学分：3⼀、课程概述（⼀）课程性质地位本课程是电⼦⼯程、通信⼯程专业的⼀门学科基础课程。

该课程系统地介绍随机信号的基本概念、随机信号的统计特性分析⽅法以及随机信号通过系统的分析⽅法；介绍信号检测、估计、滤波等信号处理理论的基本原理和信息提取⽅法。

其⽬的是使学⽣通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理的基本概念、基本原理和基本⽅法，培养学⽣运⽤随机信号分析与处理的理论解决⼯程实际问题的能⼒，提⾼综合素质，为后续课程的学习打下必要的理论基础。

本课程是电⼦信息技术核⼼理论基础。

电⼦信息系统中的关键技术是信息获取、信息传输、信息处理，这些技术的理论基础就是随机信号的分析、检测、估计、滤波等理论，这正是本课程的主要内容。

因此，本课程内容是电⼦信息类应⽤型⼈才知识结构中不可或缺的必备知识。

⼆、课程⽬标（⼀）知识与技能通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理基本概念和基本分析⽅法。

内容包括：1.理解和掌握随机过程基本概念和统计描述；2.掌握随机过程通过线性和⾮线性系统分析⽅法3.理解和掌握典型随机过程的特点及分析⽅法；4.掌握参数估计的概念、规则和性能分析⽅法；5.掌握信号检测的概念、规则和性能分析⽅法；6.掌握⾼斯⽩噪声中最佳检测器的结构和性能分析。

通过本课程的学习，要达到的能⼒⽬标是：1.具有正确地理解、阐述、解释⽣活中的随机现象的能⼒，即培养统计思维能⼒；2.运⽤概率、统计的数学⽅法和计算机⽅法分析和处理随机信号的能⼒；3.初步具备雷达、通信、导航等技术领域的信号处理系统的分析、设计、仿真的科学研究能⼒；4.培养⾃主学习能⼒；5.培养技术交流能⼒（包括论⽂写作和⼝头表达）；6.培养协作学习的能⼒；（⼆）过程与⽅法依托“理论、实践、第⼆课堂”三个基本教学平台，通过课堂教学、概念测试、课堂研讨、案例研究、作业、实验、课程论⽂、⽹络教学等多种教学形式，采⽤研究型、案例式、互动研讨、基于团队学习、基于MATLAB的教学以及基于多媒体的教学等多种教学⽅法和⼿段，使学⽣加深对随机信号分析与处理的基本概念、基本原理以及应⽤的理解，并使学⽣通过⾃主学习、⼩组作业、案例研究、实验、课题论⽂等主动学习形式，培养⾃学能⼒和协同学习的能⼒，使学⽣不仅获得知识、综合素质得到提⾼。

简明 第2章信号与频谱

简明 第2章信号与频谱
平稳、高斯、窄带过程的统计特性；
随机过程通过线性系统；
高斯白噪声的统计特性。
2.3.1 何谓随机过程？
随机过程可定义为所有样本函数的集合。其在任意时刻上的取值是一个随 机变量，因此又可定义为在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
图2-4 随机过程的样本
2.3.2 数字特征
分布函数或概率密度函数可充分地描述随机过程的统计特性。 数字特征可描述随机过程的基本特性。常用的数字特征有均值、方差和
(
)

lim
T ∞
1 T
T /2
T / 2 s1(t)s2(t )dt
R( ) lim 1
T /2
s(t)s(t )dt
T T ∞ T / 2
周期性功率 R( ) 1 T0 / 2 s(t)s(t )dt
信号
T0 T0 / 2
R12
(
)

1 T0
Cn Cn e jn
幅度 Cn 随频率（nf0）变化的特性称为信号的幅度谱，
相位 n 随频率（nf0）变化的特性称为信号的相位谱。
【例2-1】 一个周期矩形脉冲信号的时域波形与幅度谱如图2-2所示，简 述周期信号频谱的特点，并确定该信号需要占用的频带宽度（即信号 带宽）。
B=1/τ
T0 /2 s(t)s(t )dt 1
T0 / 2
T0
T0 / T0
2 /2
A2
cos(0t


)
cos[0
(t


)


]dt
利用积化和差三角函数公式，可得
R(
)

A2 2

随机信号分析__2.3功率谱密度

随机信号分析__2.3功率谱密度
S XY () SYX () 2mX mY ()
证明： 因为X(t)与Y(t)不相关，所以
E[ X (t1 )Y (t2 )] mX mY
SXY ( )
RXY
(
)e
j
d
mX mY
e j d
2mX mY () （1 2()）
性质6： A RXY (t,t ) S XY ()
T
x(t) y(t)dt]
T
1T
lim[ T 2T
T RXY (t, t)dt]
1
lim
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]
d
2 T
2T
定义互功率谱密度为：
S XY
()
lim
T
1 2T
E[ X
* X
(T ,) XY
(T ,)]
则
QXY
1
2
S XY ()d
同理，有：
SYX
()
lim
随机信号分析
2.3 功率谱密度
本节课的整体设计与构思
信号的时域与频域分析：
确定信号 x(t) ： 傅立叶变换
信
x(t) X ()
号 随机信号 X (t)：维纳—辛钦定理
RX ( ) SX ()
2.3.1 随机过程的功率谱密度
问题的引入： 1.对于随机信号，是否可以应用频域分
析方法？
2.傅立叶变换能否用于研究随机信号？
三、互谱密度的性质
＝
性质1：SXY ( ) SYX ( ) SY*X ( )
证明：
SXY ( )
RXY
(

随机过程的谱分析

随机过程的谱分析

3.2、平稳随机过程功率谱密度的性质
3.2.2、有理谱分解定理
i) rational spectral: S X ( ) ak 2k
p k 0 q
b
k 0 2 k
: (P4) p < q
s-plane
2k
S X (s) a
(s a1 )(s a 2p ) (s b1 )(s b 2q )
sin( T) 1，所以 T
2
sin(T) lim T , 0 T T
综上：
sin(T) lim T K() T T
2
又因 2T[ sin( T) ]2 x(t)，其中 x(t) 为三角波，如下图所示： T
(s 1 )(s p ) (s 1 )(s q ) S X (s)
* *
18 / 30
S (s) X
极点全在 s 左平面 零点在 s 左平面或虚轴上
极全在 s 右平面 零点在 s 右平面或虚轴上
3.3、功率谱密度与自相关函数的关系
维纳-辛钦定理
R X ( ) < > S X ()
2
14 / 30
3.1.3、功率谱密度与复频率面
拉普拉斯变换（Laplace transformation）
x(t) X(s) : s j
LT
1 j X(s)est ds dt x (t)dt x(t) 2j j j x(t)est dt ds 1 2 j X(s) j 1 j st j x(t) X(s)eds 1 2j j 2 j j X(s)X( s)ds
X X (T, ) [a bcos( 0t )]e jt dt

第二章 信号分析基础(随机信号和相关分析)090310

第二章 信号分析基础(随机信号和相关分析)090310

电感式轮廓 仪测量表面
性质4:提取出回转误差等周期性的故障源。
西安工业大学机电学院
案例：自相关测转速
理想信号
实测信号
自相关系数
干扰信号
从自相关图可以确定周期因素的 频率，从而得到转速大小。
性质4：可提取周期性转速成分。
西安工业大学机电学院
案例：互相关分析对地下输油管道漏损位置的探测
x1,x2处放置传感器1，2，漏损处k视为向两侧传播声波的声源。因两 传感器位置离漏损处不等，其声波传到传感器就有时差，信号x1,x2 做相关分析，找出相关值最大时的τ ，即可确定漏损位置。 （在互相关图上， τ= τm处，Rx1x2(τ)的最大值τm就是时差）
非线性；
西安工业大学机电学院
西安工业大学机电学院
西安工业大学机电学院
2.6 随机信号 二. 幅值域描述 1．均值：
西安工业大学机电学院
u x lim
2．方差：
1 T
1 T
T
0
0
T
T
x (t ) d t
――直流分量
x
2
lim
T
[ x ( t ) u x ] 2 d t ――波动程度/分量
其正平方根即为标准偏差，是随机数据分析的重要参数。
X1
S 1 2 v (t 2 t 1) 1 2 v m 处的距离 度
s 两传感器的中心至漏损
X2
v 声音在管道中的传播速
西安工业大学机电学院
案例：地震位置测量
设想3座地震观测台记录同一个地震，且位于震源的不同方向上。这3座台站 的观测人员能够读到P波抵达时间，有时也读到S波的抵达时间（因为P波传播 速度比S波传播速度大约快2倍，所以这两种波传播得越远，它们的波前分离 间隔就越宽）。如果有了P波和S波抵达的时间，从这两种波型抵达某台时间 间隔将可以直接求得震源到该记录台的距离。然后，画3个圆，每个圆以一座 地震台为圆心，半径是计算得到的距离（震中距）。这3个圆将相交，至少是 近似的相交于所要求的震中。

随机信号分析教案2014.2

随机信号分析教案2014.2

授课题目（教学章节或主题）平稳随机过程
1平稳随机过程的主要数字特征2 平稳随机过程的功率谱密度
授课方式理论课
1.教学目的与要求：1.掌握平稳随机噪声中数字特征的物理意义；
2.掌握自相关函数、方差、平均功率的计算方法；
3.掌握自相关函数、方差、均方值、功率谱密度在通信中的应用；
教学基本内容（包括重点、难点、时间分配）：
重点：
1. 平稳随机过程的主要数字特征
（1）平稳随机过程的概念及其特点
通信信道中的高斯随机噪声属于平稳随机过程（有各态历经性），即平稳高斯噪声。

随机过程（随机噪声）是不同时刻随机变量的组合，或者说随机过程中每一时刻的取值都是随机变量。

如图.。

[现代信号处理（第二版）].张贤达.扫描版（2）

[现代信号处理（第二版）].张贤达.扫描版（2）

信号的频谱分析式研究信号特性的重要手段之一，对于确定信号，可以用Fourier变换来考察信号的频谱特性，而对于广义平稳随机信号而言，相应的方法是求其功率谱。

功率谱反映了随机信号功率能量的分布特征，可以揭示信号中隐含的周期性以及靠的很近的谱峰等有用信息，有很广泛的应用。

在雷达信号处理中，回波信号的功率提供了运动目标的位置、强度和速度等信息（即功率谱的峰值与宽度、高度、和位置的关系）；在无源声纳信号处理中，功率谱密度的位置给出了鱼雷的方向（方位角）信息；在生物医学工程中，功率谱的峰和波形，表示了一些特殊疾病的发作周期；在语音处理中，谱分析用来探测语音语调共振；在电子战中，还利用功率谱来对目标进行分类。

功率谱密度函数反映了随机信号各频率成份的功率分布情况，是随机信号处理中应用很广泛的技术。

实际应用中的平稳信号通常是有限长的，因此，只能从有限的信号中去估计信号的真实功率谱，这就是功率谱估计问题。

寻找可靠与质量优良的估计谱是这次研究的主要内容。

功率谱估计可分为非参数化方法（低分辨率分析），参数化方法（高分辨率分析），广义的功率谱分析（空间谱分析），也可以把非参数化方法称为经典谱估计，参数化方法称为现代谱估计（包括空间谱估计）这次论文从不同角度介绍了现代谱估计的一些主要算法，包括参数模型法、Pisarenko 谐波分解法、最大熵估计、多重信号分类（MUSIC）、旋转不变技术(ESPRIT)等。

参数模型法将以ARMA模型为主，以及其谱估计所需的AR、MA的参数和阶数；最大熵估计也就是Burg最大熵谱估计,它在不同约束条件下，分别与AR谱估计、ARMA谱估计等价；MUSIC 方法是一种估计信号空间参数的现代谱估计方法；ESPRIT方法是一种估计信号空间参数的旋转不变技术，其基本思想是将谐波频率的估计转变为矩阵束的广义特征值分解。

最后，这次论文还会分析它们各自的优缺点及应用场合。

并利用计算机语言对各种现代谱估计算法的进行仿真实现，并比较它们的性能。

2.4随机信号的频谱

2.4随机信号的频谱

2.4 随机信号的频谱
对于截断信号：
x( t ) t T 2 xT ( t ) 其余 0
XT ( f )
j 2ft
满足绝对可积条件和能量有限条件。xT(t)的傅里叶变换存在：
xT (t )e

dt
2 T 2
T
xT (t )e j 2ft dt
1 2 设：S x f lim X T f T T
则： Px

S x f df
Sx(f)描述了随机信号的平均功率在各个不同频率上的分布， 称为随机信号x(t)的自功率谱密度函数，简称自谱密度。
1 2 对应的估计式是 ： S x ( f ) XT ( f ) T
华中科技大学机械学院
2.4 随机信号的频谱 2.4.3
相干函数与频率响应函数
相干函数（coherence function）本质：考察两个 信号的频谱相关性。对于系统来说，验证传递函数的可 靠性。 相关函数：考察两个信号时域上的相关性。 频率响应函数H(f)是由互谱与自谱的比值求得的。它是一 个复矢量，保留了幅值大小与相位信息，描述了系统的频 域特性。对H(f)作逆傅里叶变换，即可求得系统时域特性 的单位脉冲响应函数h(t)。
T 2 T 2
fT (t )
T 2
T 2
T 2
定义为 功率谱 S ( f )
1 P dt
2

T 2
T 2
T
lim
FT ( f ) T
df
华中科技大学机械学院
2.4 随机信号的频谱
当 T ，可得到随机信号的平均功率 ：
1 2 1 2 Px lim x (t )dt lim X T ( f ) df T T T T

随机信号的分析

随机信号的分析
清华大学出版社
第2章 信号分析基础
任意给定两个固定时刻 t 1、t 2 ，则由 (t1)和 (t2 ) 构成一个二维随机变量 (t1),(t2)，若
F 2 x 1 ,x 2 ; t 1 , t 2 P 2 t 1 x 1 , t 2 x 2 （2-48）
成立，则称之为随机过程 (t ) 的二维分布函数。
对N个随机变量 x t1 ,x t2,.x .tN .,，若有
（2-51）
f N ( x 1 , x 2 , , x N ; t 1 , t 2 , , t N ) f 1 ( x 1 , t 1 ) f 2 ( x 2 , t 2 ) f N ( x N , t N ) （2-52）
则称这些随机变量是统计独立的或不相关的。
清华大学出版社
刻的随机变量的集合则为随机过程；随机变量是 一个实数值的集合，而随机过程是时间函数的集 合。
研究随机变量或随机过程的关键是研究其统
计特征，这不仅简单明了，而且直接反映信号的
变化规律。
概率分布
概率密度函数(pdf)
统计特征
数字特征
分布函数 数学期望(均值) 方差
相关函数
第2章 信号分析基础
清华大学出版社
第2章 信号分析基础
解：（1）由 pdf函数知，这是一个 a、0 的2标1准
正态分布，故其直流电平为 a。0
（2）由于方差 2就是信号的交流功率，故信号的平均 功率为1(W)。
随机过程的一维分布函数或一维概率密度函 数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特 性或概率分布，并未说明在不同时刻取值之间的 内在联系，为充分描述随机过程，需进一步引入 二维分布函数和二维概率密度函数。
D E 2 E 2 （2-60）

现代信号处理实验一平稳信号产生及时频分析实验结果-

现代信号处理实验一平稳信号产生及时频分析实验结果-

若平稳信号 X 为实信号，则其自相关函数：
xx (m) xx (m)
即 xx (m) 为偶函数； 若平稳信号 X 为复信号，则：
* xx (m) xx (m)
（1-19）
（1-20）
即， xx (m) 是 Hermitian 对称的。 性质 3 若平稳信号 X、Y 为实信号，则其互相关函数：
虽然反映系统动态特性的这些参数的求取可以根据定义式通过输入幅度为单位值的不同频率的正弦信号或单位冲激测量相应的输出响应来求得但这两种方式既费时又不准确而且还存在不能实现在线识别即系统在工作状态下进行动态特性测量的共同缺点
实验一
随机信号的产生及时频域表征
一、 实验目的
1、 掌握平稳随机信号的产生，平稳随机信号在时域的描述和频域上的描述及表征，并用 Matlab 实现。 2、 掌握平稳随机信号在平稳随机信号的统计特性分析，包括：自相关函数、互相关函数及相 关系数的分析。

(1-26)
m
令z e
j
，得到：

Pxx (e j ) xx (m)e j m

Pxy (e ) xy (m)e
j
(1-27)
j m
功率谱反映了信号的功率在频域上随频率 的分布，所以也称 Pxx (e ) 和 Pxy (e ) 为功率谱密
式中的 n2 n1 ，则称 x(n) 是宽平稳的随机信号。
(1-4)
宽平稳信号是一类重要的随机信号。在实际中，往往把所要研究的随机信号视为宽平稳的，这 样将使问题的研究大为简化。而且事实上，自然界中的绝大部分随机信号都是宽平稳的。 对于一平稳随机信号 x(n) ，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶特性和单一 样本函数在长时间内的统计特性一致，则称 x(n) 为各态遍历信号。对于各态遍历信号，可像确定性 的功率信号那样来定义一阶和二阶数字特征。

电子科大随机信号分析教学课件平稳性与功率谱密度

电子科大随机信号分析教学课件平稳性与功率谱密度
电子科大随机信号分 析教学课件ppt平稳
性与功率谱密度
目录
• 平稳性与功率谱密度概述 • 平稳随机信号的性质 • 随机信号的功率谱分析 • 随机信号的平稳性检验 • 平稳随机信号的生成方法 • 平稳随机信号的应用场景
01 平稳性与功率谱密度概述
平稳性定义
平稳性是指随机信号的统计特性不随时间的推移而改变的性 质。具体来说，如果一个随机信号的均值和方差在时间上保 持恒定，并且在不同的时间点上具有相同的概率密度函数或 概率质量函数，则该信号被认为是平稳的。
B
生物医学工程
在生物医学工程领域，心电图、脑电图等信 号的功率谱分析可以用于诊断和治疗各种疾 病。
D
04 随机信号的平稳性检验
样本自相关函数检验
总结词
样本自相关函数是检验随机信号平稳性的重要方法之一。
详细描述
通过计算信号的自相关函数，可以判断信号的自相关系数是否随时间的推移而显著变化。如果自相关系数保持相 对稳定，则认为信号具有平稳性；反之，如果自相关系数随时间变化较大，则认为信号是非平稳的。
在实际应用中，许多自然界的随机信号都具有平稳性，如噪声、地震信号、心电 图等。因此，研究这些信号的功率谱密度对于信号处理、通信、地球物理学等领 域具有重要的意义。
02 平稳随机信号的性质
均值与方差
均值
对于平稳随机信号，其均值是常 数，不随时间变化。
方差
平稳随机信号的方差是常数，表 示信号的波动程度。
功率谱密度是频率的函数，表示随机信号在不同频率下的 功率分布情况。在功率谱密度函数中，峰值对应的频率代 表了信号的主要成分，而谱线的形状则反映了信号的频谱 特性。
平稳性与功率谱密度的关系
平稳性是功率谱密度的前提条件。如果一个随机信号是平稳的，那么它的功率谱 密度函数将只与频率有关，而与时间无关。这意味着，对于平稳信号，我们只需 要分析其在某一时刻的功率谱密度，即可了解整个信号的频谱特性。

平稳随机过程的功率谱密度

平稳随机过程的功率谱密度

第六讲 平稳随机过程的功率谱密度6.1 确知信号的频谱和能量谱密度对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成傅立叶积分。

设信号s(t)为时间t 的非周期实函数，满足如下条件：1）⎰∞∞-∞<dt t s )(，即s(t)绝对可积；2）s(t)在),(∞-∞内只有有限个第一类间断点和有限个极值点， 那么，s(t)的傅立叶变换存在，为⎰∞∞--=dt e t s S t j ωω)()(又称为频谱密度，也简称为频谱。

信号s(t)可以用频谱表示为⎰∞∞-=ωωπωd e S t s t j )(21)(信号s(t)的总能量为⎰∞∞-=dt t s E )(2根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。

即ωωπd S dt t s E 22)(21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==其中，2)(ωS 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。

能谱密度存在的条件是∞<⎰∞∞-dt t s )(2即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。

6.2 随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。

经推导可得，])([21lim )(2ωωT T X X E TS ∞→=为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。

功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。

可得随机过程的平均功率为 ⎰∞∞-=ωωπd S P X X )(21对于平稳随机过程，其平均功率为ωωπd S t X E X ⎰∞∞-=)(21)]([2若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即2),(21lim )(e X TS T T X ωω∞→=6.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即维纳－辛钦定理：⎰⎰∞∞--∞∞-==ωωπτττωωτωτd eS R d e R S j X X j X X )(21)()()(它成立的条件是)()(τωX XR S 和绝对可积，即∞<∞<⎰⎰∞∞-∞∞-ωωττd S d R X X )()(当0=τ时，可得⎰∞∞-==ωωπd S t X E R X X )(21)]([)0(2可知，)]([)0(2t X E R X=是平稳随机过程X(t)的平均功率。

第2章平稳随机信号的功率谱-频域特征

第2章平稳随机信号的功率谱-频域特征

SX a2S X 2SX
2nSX SX 0
2019/7/30
20
例2：平稳随机信号的自相关函数为 RX ( ) Ae ， A>0， 0 ，求过程的功率谱密度。
解：应将积分按＋ 和－ 分成两部分进行
SX ()
lim T
2T 2T
(1

2T
)
RX
(
)e

j
d


RX
(
)e

j

d
lim T
2T 2T

2T
RX
(
)e

j

d


RX
(
)e

j

d
(注意 RX ( ) 绝对可积，第二项为0)
2019/7/30
17
推论：对于一般的随机信号X(t)，有：
机信号。求过程Y (t) 的功率谱密度。
解：RY (t, t ) E[Y (t)Y (t )]
E[aX (t) sin 0t aX (t ) sin 0 (t )]

a2 2
RX
( )[cos 0t
cos(20t
0 )]
SY ()

解： E[ X 2 (t)] E[a2 cos2 (0t )]

E{ a 2 2
[1

cos(20t

2)]}
a2 a2
22
2 0
2

cos(20t

2
)d

a2 2

a2
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平均功率为：
T l i 2 m 1 T T T E [X 2 (t)d ] t2 1 S X ()d
利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函 数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：
SX()2 R X()co d s
R X()1 SX()co sd
2020/8/14
18
3．单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX() 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函
2020/8/14
15
设 则 所以：
t2 T
t2t1 ut2t1
t1
u
2
t2
2
u
1
J
(t1,t2)(,u)2源自1212 1
1 2
2
u
u 2T
2T
u 2T
-T
-2T
t1
2T
2020/8/14
u 2T
u 2T
16
则 S X () T l i2 1 T m { 0 2 T d 2 2 T T 1 2 R X ()e jd u
2020/8/14
30
xT*(t)yT(t)d t 2 1 X* X(T,)Y Y(T,)d
xT(t)yT(t)dt
QXY (T)21 T T Tx(t)y(t)dt
21 X* X(T, 2)T YY(T,)d
注意到上式中，x(t)和 y(t) 是任一样本函数，因 此具有随机性，取数学期望，并令T得：
注意：（1）Q为确定性值，不是随机变量 （2）SX()为确定性实函数。
2020/8/14
9
两个结论：
1 QAE [X2(t) ] A.lim1. T 2T
若平稳
表示时间平均
Q A E [ X 2 ( t ) ] E [ X 2 ( t ) ＝ R ] X ( 0 )
2 Q21 SX()d
2020/8/14
20
例2：平稳随机信号的自相关函数为 RX()Ae，
A>0， 0 ，求过程的功率谱密度。
解：应将积分按＋和－分成两部分进行
S X () 0 A e e jd 0 A e e jd
Ae(j j ) 0 Ae( ( jj) )
0
A1j1j
2 A 2 2
2020/8/14
X X *(T ,)X X (T ,) XX(T,)2
又 SX()T l i m E[XX2(T T,)2]
SX()SX( )
2020/8/14
27
4. 功率谱密度可积，即 SX()d
证明：对于平稳随机信号，有：
E [X2(t) ]21 SX()d
平稳随机信号的均方值有限
SX()d
2020/8/14
且
QXYQYX
2020/8/14
33
二、互谱密度和互相关函数的关系
对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的 实随机信号，它们的互谱密度与其互相关函 数互为傅里叶变换。
求X(t)的功率谱密度。
R X () E X * t X t
a2Eej
a2 fejd RX()21 SXejd
S X 2 a 2f
2020/8/14
25
四、平稳随机信号功率谱密度的性质
1. 功率谱密度为非负的,即 SX()0 证明： SX()T l i m E[XX2(T T,)2]
2020/8/14
23
例4：设随机信号 Y(t)a(X t)sin 0t，其中a,0 皆
为常数，X (t)为具有功率谱密度 SX()的平稳随
机信号。求过程Y (t) 的功率谱密度。
解：R Y (t,t ) E [ Y (t) Y (t )]
E [ a ( t ) s X i 0 ta n ( t X ) si 0 ( t n )]
第 2章
平稳随机信号的谱分析
2020/8/14
1
本章要解决的问题
❖随机信号是否也可以应用频域分析方法? ❖傅里叶变换能否应用于随机信号？ ❖相关函数与功率谱的关系 ❖功率谱的应用 ❖采样定理 ❖白噪声的定义
2020/8/14
2
2.1 随机信号的谱分析
一、预备知识
1. 付氏变换
设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
et, t 0 1
j
e t
222
e j0t 2 0
2020/8/14
5
2. 帕塞瓦等式
[x (t)2 d ] t x (t)2 1 X X ()ej tddt
21 XX() x(t)ejtd td
21 XX()XX *()d
21 XX()2d
28
2.2 联合平稳随机信号的互谱密度
一、互谱密度
考虑两个平稳实随机信号X(t)、Y(t)， 它们
的样本函数分别为 x(t)和 y(t) ，定义两个截取
函数 xTt、yTt为：
x(t) t T
xT(t)
0
t T
y(t) t T
yT(t)
0
t T
2020/8/14
29
因为 xTt、yTt 都满足绝对可积的条件，
• x(t)在(,)范围内满足狄利赫利条件 有限个极值
• x(t)绝对可积，即
x(t)dt
2
有限个断点 断点为有限
•
x (t )信号的总能量有限，即
x(t)
dt
值
2020/8/14
3
常见的傅立叶变换
t 1 1 2
cos0t 0 0
sin0t j 0 0
应用帕塞瓦等式
除以2T 取集合平均
T Tx2(t)d t2 1 XX(T, )2d 2 1 T T Tx2(t)d t4 1 T X X(T , )2d
E 2 1 T T Tx 2 (t)d tE 4 1 T X X (T , )2 d
2020/8/14
a 2 2R X()[c 0to cso 2 s 0t (0 )]
S Y () A R Y (t,t) e jd
a22RX()co0 sejd
a 42[SX(0)SX(0)]
2020/8/14
24
例5：设随机信号 X(t)aje t ，其中 Ω 是概
率密度为 f的随机变量，a和φ为实常数，
可积，因此 RX()的付氏变换不存在，需要
引入 函数。
S X () R X () e i d A 2 2 co 0) e s i d (
A2 ej0ej0ejd
2 2
ej0ej0 (co0s)( 2 )
A2 （ ej0ej0） ejd
4
A 22[(0)(0)](ej0 2( 0))
以及τ R(τ)绝对可积，则自相关函数与功率谱密 度构成一对付氏变换，即：
2020/8/14
14
SX() R X()ejd
RX()21 SX()ejd
我们允许自相关函数和功率谱密度中存在δ函数
2. 证明：
SX()T l i m E[XX 2(T T,)2]
T l i m 2 1 TE [X X (T , )X * X(T , )]
即 [x(t)2]d t2 1 XX( )2d
2020/8/14
能量谱密
6
度
二、随机信号的功率谱密度
应用截取函数
x(t) t T
xT(t)
0
t T
2020/8/14
7
当x(t)为有限值时，xT (t) 的傅里叶变换存在
XX(T, ) xT(t)ejtdt
T x(t)ejtdt T
2020/8/14
10
例 皆是1：实设常随数机，信号是X 服(t从) （a 0c ， o ） 上0s t均 ( 匀)，分其布中的a和随0
2
机变量，求随机信号 X (t) 的平均功率。
解： E [X 2 (t) ]E [a 2c2 o (0 ts )]
E a 2 { 2a 22a [2 120 2 c 2oc2so0 (2 t s02t( 2 )])} d
a222 a2sin2(0t2)0 2
a2 2
a2
s
in20t
X(t)不是宽平稳的
2020/8/14
11
QAE[X2(t)]
lim T
1 2T
T T
(a2 2
a2
sin20t)dt
a2 2
2020/8/14
12
➢功率谱密度：SX()描述了随机信号X(t)的
功率在各个不同频率上的分布—— SX()称为 随机信号X(t)的功率谱密度。
8
令T，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
非负
T l i2 1 T m T T E [X 2 ( t)d ] 2 t 1 T l iE m [X X 2 ( T T ,)2 ]d
功率Q
SX()
Q T l i2 1 T m T T E [X 2 (t)d ] 2 t1 S X () d
XX(T,)20
SX()0
2. 功率谱密度是 的实函数
2020/8/14
26
3. 对于实随机信号来说，功率谱密度是的偶函数，
即 SX()SX()
证明： xT(t)是实函数
XX *(T, ) xT(t)ejtd * t xT(t)ejtdt
xT(t)ej()tdtXX(T,)
X X(T , )2X X(T , )X X *(T , )X X(T , )X X(T ,)
2020/8/14
31
T l iE [ m Q X ( T Y ) ] Q X Y T l iE [ m 2 1 T T T x ( t) y ( t) d ]t