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课堂新坐标高中数学人教A版选修学案：极坐标系含解析

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二极坐标系1．理解极坐标系的概念．2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．(难点)3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化．(重点、易错点)[基础·初探]教材整理1极坐标系阅读教材P8～P10，完成下列问题．1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．在极坐标系中，ρ1＝ρ2，且θ1＝θ2是两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)重合的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．【答案】 A教材整理2 极坐标和直角坐标的互化 阅读教材P 11，完成下列问题．1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1-2-1所示．图1-2-12．互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ ρ2＝x 2＋y 2， tan θ＝yx (x ≠0)将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化为直角坐标是( )A ．(5,53)B ．(53，5)C ．(5,5)D ．(－5，－5)【解析】 x ＝ρcos θ＝10 cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3. 【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]将点的极坐标化为直角坐标写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3；(4)(2，－2)． 【思路探究】 点的极坐标(ρ，θ)―→⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ―→点的直角坐标(x ，y )―→判定点所在象限．【自主解答】 (1)由题意知x ＝2cos 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝2sin 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3的直角坐标为()－1，－3，是第三象限内的点．(2)x ＝2cos 23π＝－1，y ＝2sin 23π＝3，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π的直角坐标为(－1，3)，是第二象限内的点．(3)x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点．(4)x ＝2cos (－2)＝2cos 2，y ＝2sin(－2)＝－2sin 2，∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限内的点．1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同．2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x ，y )时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．[再练一题]1．分别把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2；(3)(π，π)． 【解】 (1)∵x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3， y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，∴点的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)．(2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0， y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3，∴点的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2化为直角坐标为(0,3)．(3)∵x ＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y ＝ρsin θ＝πsin π＝0，∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．将点的直角坐标化为极坐标分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)： (1)(－2,23)；(2)(6，－2)；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.【思路探究】 利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，但求角θ时，要注意点所在的象限．【自主解答】 (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝yx ＝－3，θ∈[0,2π)， 由于点(－2,23)在第二象限， ∴θ＝2π3，∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π.(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)， 由于点(6，－2)在第四象限， ∴θ＝11π6，∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6.(3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2， tan θ＝yx ＝1，θ∈[0,2π)， 由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，∴θ＝π4，∴点的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.1．将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)进行求解，先求极径，再求极角．2．在[0,2π)范围内，由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z )即可．[再练一题]2．已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标： (1)A (3，3)；(2)B (－2，－23);【导学号：91060003】(3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋(3)2＝23， tan θ＝33，所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.(2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，43π.(3)ρ＝02＋(－2)2＝2，θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以C 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π. (4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0， 所以D 点的极坐标为(3,0)．极坐标与直角坐标的综合应用在极坐标系中，如果A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．【思路探究】 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C 的直角坐标，进而求出点C 的极坐标．【自主解答】 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2)． 对于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π有ρ＝2，θ＝54π， ∴x ＝2cos 5π4＝－2，y ＝2sin 5π4＝－2， ∴B (－2，－2)．设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4，∴有⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16，解之得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝6，∴C 点的坐标为(6，－6)或(－6，6)， ∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1，∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.1．本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．2．若设出C (ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解．[再练一题]3．本例中，如果点的极坐标仍为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点C 的极坐标？【解】 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直角坐标为(2，2)，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4的直角坐标为(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由题意得AC ⊥BC ，且|AC |＝|BC |， ∴AC →·BC →＝0，即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0， ∴x 2＋y 2＝4.①又|A C →|2＝|B C →|2，于是(x －2)2＋(y －2)2 ＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2，∴y ＝－x ，代入①，得x 2＝2，解得x ＝±2， ∴⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)， ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4， ∴点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.[探究共研型]极坐标探究1 如图1-2-2是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：①他向东偏北60°方向走120 m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ ②如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？图1-2-2【提示】 以A 为基点，射线AB 为参照方向，利用与A 的距离、与AB 所成的角，就可以刻画平面上点的位置．①到达图书馆，该位置惟一确定；②体育馆在正东方向60 m 处，办公楼在西北方向50 m 处．探究2 在极坐标系中，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋2π，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋4π，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6－2π表示的点有什么关系？你能从中体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？【提示】 由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示同一个点．实际上，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋2k π(k ∈Z )都表示这个点． 设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值． 【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B 2，－π3， 关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π，关于极点O 的对称点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－23π. 四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上．1．点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．[再练一题]4．在极坐标系中与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，43π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，56π 【解析】 与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2k π＋π3(k ∈Z )． 【答案】 B[构建·体系]极坐标系—⎪⎪⎪⎪—极坐标的概念—点与极坐标的关系—极坐标与直角坐标的互化1．极坐标系中，点M (1,0)关于极点的对称点为( ) A ．(1,0) B ．(－1，π) C ．(1，π)D ．(1,2π)【解析】 ∵(ρ，θ)关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)， ∴M (1,0)关于极点的对称点为(1，π)． 【答案】 C2．点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6，则点A 的直角坐标为( )A ．(－1，－3)B ．(－3，1)C ．(－3，－1)D ．(3，－1)【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 76π＝－3， y ＝ρsin θ＝2sin 76π＝－1.【答案】 C3．点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则点M 的极坐标可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－π2【解析】 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2， ∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2.【答案】 C4．将极轴Ox 绕极点顺时针方向旋转π6得到射线OP ，在OP 上取点M ，使|OM |＝2，则ρ>0，θ∈[0,2π)时点M 的极坐标为________，它关于极轴的对称点的极坐标为_______________________________________(ρ>0，θ∈[0,2π)).【导学号：91060004】【解析】 ρ＝|OM |＝2，与OP 终边相同的角为－π6＋2k π(k ∈Z )． ∵θ∈[0,2π)，∴k ＝1，θ＝11π6， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6，∴M 关于极轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π65．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4距离为5的点M 的坐标．【解】 设M (r,0)，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，∴(42)2＋r 2－82r cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0， 解得r ＝1或r ＝7，∴点M 的坐标为(1,0)或(7,0)．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列各点中与⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6不表示极坐标系中同一个点的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－116π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，136π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，116π D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－236π 【解析】 与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6＋2k π(k ∈Z )，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫2，116π不适合． 【答案】 C2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( ) A ．(π，0) B ．(π，2π) C ．(－π，0)D ．(－2π，0)【解析】 x ＝πcos(－2π)＝π，y ＝πsin(－2π)＝0， 所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)． 【答案】 A3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合【解析】 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．【答案】 A4．在极坐标系中，已知点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π4、P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( )A ．9B ．10C ．14D ．2【解析】 ∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝10.【答案】 B5．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( )【导学号：91060005】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－4π3 【解析】 极径ρ＝12＋(－3)2＝2，极角θ满足tan θ＝－31＝－3， ∵点(1，－3)在第四象限，∴θ＝－π3. 【答案】 A 二、填空题6．平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________．【解析】 ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于6⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 7π6＝3.【答案】 37．已知点P 在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________．【解析】 ∵点P (x ，y )在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，且y ＝－2， ∴ρ＝x 2＋y 2＝22，又tan θ＝y x ＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝5π4. 因此点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π4.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π48．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则(1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ>0，θ∈[0,2π))【解析】 点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6关于极轴的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6；点A 关于极点的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6；点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.【答案】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6 三、解答题9．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π2，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，C (－2，－23)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．【解】 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫322，－322， B (－1，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，D (0，－4)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3.10．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．【解】 (1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2， ∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3，∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，∴AB ＝BC ＝CA ，故△ABC 为等边三角形．(2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝2 3. ∴S △ABC ＝34×(23)2＝3 3.[能力提升]1．已知极坐标平面内的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，(1，3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，(1，－3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，(－1，3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，(－1，－3) 【解析】 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3关于极点的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3＋π，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，且x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－2cos π3 ＝－1，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－2sin π3＝－ 3.【答案】 D2．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M的距离为4的点的极坐标为________．【解析】 如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π33．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________．【解析】 如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， ∠AOB ＝π3－π6＝π6， 所以∠OAB ＝π－π62＝5π12， 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4. 【答案】 π44．某大学校园的部分平面示意图如图1-2-3：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．图1-2-3【解】 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m. 同理，得|OE |＝2|OG |＝300 2 m ，所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，F (300，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1502，3π4.。

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高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲二极坐标系 Word版含解析

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二极坐标系1．理解极坐标系的概念．2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化．1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做________；自极点O引一条射线Ox，叫做______；再选定一个__________、一个角度单位(通常取弧度)及其________(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示______，用θ表示________，ρ叫做点M的______，θ叫做点M的______，有序数对________就叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(1)极点的极坐标：极点的极径ρ＝0，极角θ可以是任何实数．所以极点的极坐标为(0，θ)(θ∈R )，也就是说极点有无数个极坐标．(2)点的极坐标的多样性：平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点的无数个极坐标，可分为两类：一类为(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；另一类为(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．【做一做1－1】 关于极坐标系的下列叙述： ①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0,0)； ③点(0,0)表示极点；④点M (4，π4)与点N (4，5π4)表示同一个点；⑤动点M (5，θ)(θ∈R )的轨迹是以极点为圆心，以5为半径的圆．其中，叙述正确的序号是________．【做一做1－2】 若ρ1＋ρ2＝0(ρ1≠0，ρ2≠0)，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )．A ．关于极轴所在的直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合 2．极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的______与直角坐标系中的______重合；②极轴与____________重合；③两种坐标系取相同的__________．(2)互化公式①直角坐标化为极坐标__________ ②极坐标化为直角坐标____________(1)极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常用到同乘(或除以)ρ等技巧．(2)通常情况下，由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角．在这里要注意：当x ≠0时，角θ才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：①当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；②当x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；③当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.【做一做2－1】 点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可以是( )． A ．(2，π4) B ．(2，3π4) C ．(2，5π4) D ．(2，7π4)【做一做2－2】 将极坐标(2，3π2)化为直角坐标为( )．A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(2,0)D ．(－2,0)答案：1．(1)极点 极轴 长度单位 正方向 (2)|OM | 角xOM 极径 极角 (ρ，θ)【做一做1－1】 ①③⑤ 设极点为O ，极轴就是射线Ox ，①正确；极点O 的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)，②错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定惟一的一点，即极点，③正确；点M 与点N 的极角分别是θ1＝π4，θ2＝5π4，二者的终边互为反向延长线，④错误；由于动点M (5，θ)(θ∈R )的极径ρ＝5，极角是任意角，故点M 的轨迹是以极点O 为圆心，以5为半径的圆，⑤正确．【做一做1－2】 A2．(1)极点 原点 x 轴的正半轴 长度单位(2)①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ； ②⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0).【做一做2－1】 B【做一做2－2】 B极坐标和直角坐标的相同点和不同点剖析：极坐标系是用距离和角度来表示平面上点的位置的坐标系，它由极点O与极轴Ox组成．对于平面内任意一点P，若|OP|＝ρ(ρ≥0)，以Ox为始边，OP为终边的角为θ，则点P可用有序数对(ρ，θ)表示．直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的，首先定义原点，接着用两条互相垂直的直线分别构成x轴和y轴，点的坐标用有序数对(x，y)来表示．在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x，y)是一一对应的，但在极坐标系内，显然一个有序数对(ρ，θ)只能与一个点对应，但一个点P却可以与无数多个有序数对(ρ，θ)对应，也就是说平面上一点的极坐标是不惟一的，极坐标系中的点与有序数对(ρ，θ)不是一一对应的．题型一由点的位置确定极坐标【例1】写出图中各点的极坐标，其中θ∈[0,2π)．分析：欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值．反思：(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．题型二 对称问题【例2】 点M 的极坐标是(－2，－π6)，它关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是( )．A ．(2，11π6)B ．(－2，7π6)C ．(2，－π6)D ．(－2，－11π6)反思：极坐标系中的(ρ，θ)关于极轴所在的直线的对称点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )．题型三 极坐标与直角坐标的互化【例3】 (1)将下列各点的极坐标化为直角坐标： ①(2，π4)； ②(6，－π3)；③(5，π)．(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．①(3，3)；②(－1，－1)；③(－3,0)．答案：【例1】 解：由点A 在极坐标系中的位置知，它的极径为4，极角为0，所以它的极坐标为A (4,0)，同理，得B (2，π4)，C (3，π2)，D (1，5π6)，E (4，π)，F (6，4π3)，G (5，5π3)，而极点O 的坐标为(0，θ)，θ∈[0,2π)．【例2】 B 当ρ＜0时，我们找它的极角应在反向延长线上去找．如图描点(－2，－π6)时，先找到角－π6的终边，又因为ρ＝－2＜0，所以再在反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点(－2，－π6)．直线θ＝π2，就是极角为π2的那些点的集合．故M (－2，－π6)关于直线θ＝π2的对称点为M ′(2，π6)，但是选项没有这样的坐标．又因为M ′(2，π6)的坐标还可以写成M ′(－2，7π6)，故选B.【例3】 解：(1)①x ＝2·cos π4＝1，y ＝2·sin π4＝1，所以点(2，π4)的直角坐标为(1,1)．②x ＝6·cos(－π3)＝3，y ＝6·sin(－π3)＝－3 3.所以点(6，－π3)的直角坐标为(3，－33)．③x ＝5·cos π＝－5， y ＝5·sin π＝0，所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．(2)①ρ＝(3)2＋32＝23，tan θ＝33＝ 3.又因为点在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为(23，π3)．②ρ＝(－1)2＋(－1)2＝2， tan θ＝1.又因为点在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为(2，5π4)．③ρ＝(－3)2＋02＝3，极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．1下列各点中与极坐标(5，7π)表示同一个点的是( )． A ．(5，67π) B ．(5，157π)C ．(5，67π-)D ．(5，7π-)2在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．若点P 的直角坐标与其极坐标在数值上相同，则点P 在( )．A ．x 轴上B ．y 轴上C ．射线Ox 上D ．射线Oy 上3在极坐标系中，已知A (2，6π)，B (6，6π-)，则OA ，OB 的夹角为( )．A.6π B ．0 C.3πD.56π4点M (6，56π)到极轴所在直线的距离为________．5已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M (3，3π)，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．6(1)已知点的极坐标分别为A (3，4π-)，B (2，23π)，C π)，D (－4，2π)，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A (3，B (0，3-，C (－2，-，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．答案：1．B 2.C3．C 如图所示，夹角为3π.4．3 依题意，点M (6，56π)到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 56π＝3. 5．(7，3π)或(1，43π) 如图，|OM |＝3，∠xOM ＝3π，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4， |QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4. 点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝3π，∠xOQ ＝43π.6．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A (22-，B (－1)，C (2-，0)，D (0，－4)(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx得A (6π)，B 3)6π，C (4，43π)．。

高中数学第一讲坐标系二极坐标系互动课堂学案新人教A版选修4.doc

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二极坐标系互动课堂重难突破一、极坐标的概念1.在生活屮，如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，我们经常用距离和方向来表示一点的位置•用距离和方向表示平而上一点的位置，就是极坐标.2.如图，极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点血用Q表示线段0『的长度，用〃表示从血到购的角度，Q叫做〃的极径，〃叫做点対的极角，有序数对（Q, 〃）就叫做財的极坐标•把定义弄清楚，我们就会用极坐标确定点的位置.特别注意：（1）①极点,②极轴，③长度单位，④角度单位和它的止方向构成了极坐标系的四要素，缺一不可.⑵特别地，当〃在极点吋，它的极坐标P=o, 0可以取任意值.极点。

的坐标为（0, 〃）（化R）.⑶一般地,不作特殊说明时，。

三0, 〃可取任意实数.3.建立极坐标系后，给定q（qNO）和〃，就可以在平面内唯一确定点必确定的方法是：⑴由0定射线.根据0角确定点〃所在的射线OM;⑵由P取点.在射线如上取丨酚二Q,点於的位置即可确定.4.给定平面内任意一点必也可以找到它的极坐标（Q, 〃）（ Q 20）.特别注意：⑴一般地，极坐标（Q, 〃）与（Q, 〃+2k兀）（kWZ）表示同一个点•和直角坐标不同, 平而内一个点的极坐标有无数种表示.⑵如果规定Q MO,OW0<2.那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（q, 〃）表示；同吋,极坐标（Q, 〃）表示的点也是唯一-确定的.5.为完整起见，现作一补充:若Q〈0,贝卜Q>0,我们规定点#（p, 0）与点P（-Q, 0）关于极点对称.点畝Q, 〃）（Q〈0）的位置的确定方法是：⑴由〃定射线.先找出〃角的终边所在的射线，确定其反向延长线⑵由P取点.在射线防上取丨创1=-Q,点対的位置即可确定,如图.进一步可以得出，极坐标（Q, 〃）与（Q, 〃+2斤兀）（WWZ）（-门，〃+n+2斤兀）（WWZ）表示同一点.应当指出，若Q<0,应有说明；否则,可认为心0.二、极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示.我们要理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化,利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.1.互化的前提条件：①极坐标系屮的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与/轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的氏度单位.P2=AZ tan ^ = — (xHO).X3.极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常用到同乘以(或除以)P 等技巧.4.由直角坐标化成极坐标时，要注意点所在象限，从而确定极角0.试一试：5兀⑴已知点A的极坐标(-4,兰)，求它的直角坐标；3(2)已知点B、C、D的直角坐标为(2,-2), (0,-15), (-12, 5),求它的极坐标(Q>O,OW〃<2兀). 解：⑴点力的直角坐标为(-2,2^3).(2)・・・P = y]x2+y2 = 722+(-2)2二2迈,怕门〃二二？二-1,且点位于第四象限，(注意!)2:・9=—，点〃的极坐标为(2 V2 ,—).4 4_ 3兀又VA=0, jKO, Q二15,・••点C的极坐标为(15,——).4对于〃(-12, 5), P = 13, tan O--—.12：•〃在第二象限内，・；0- JI -arctan — .12・：〃点坐标为(13, n -arctan — ).12活学巧用7T 71【例1】已知两点的极坐标水3, —)、〃(3,—),贝i\AB\ =,昇〃与极轴正方向所成2 6的角为_______ .,即为正三角形.答案：3 —6点评：在极坐标系中，点A(Q1, ”1)、P2I P 2, 0 P \、。

高中数学第一章坐标系第2节极坐标系教学案新人教A版选修4

高中数学第一章坐标系第2节极坐标系教学案新人教A版选修4

第2节 极坐标系[核心必知]1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)点的极坐标设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ； ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）Ｗ. [问题思考]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2n π)或(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(其中n ∈Z )．2．若ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点M (ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．若点M 的极坐标为(ρ，θ)，则M 点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．[精讲详析] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．(1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.即|O ′P |＝2.∴|OP |2＝|OO ′|2＋|O ′P |2，∠OO ′P ＝π2.∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3.∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为(2，2π3)．(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为(4，π2)．—————————————建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.1．边长为a 的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，求正六边形各顶点坐标．解：由点的极坐标的定义可知，正六边形各顶点的极坐标分别为：(0，0)、(a ，0)、(3a ，π6)、(2a ，π3)、(3a ，π2)、(a ，23π)或(0，0)、(a ，0)、(3a ，－π6)、(2a ，－π3)、(3a ，－π2)、(a ，－23π)．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π)[精讲详析] 本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可．(1)∵x ＝ρcos θ＝4·cos 5π3＝2.y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋（－2）2＝22， tan θ＝－22＝－1.且点B 位于第四象限内， ∴θ＝7π4.∴点B 的极坐标为(22，7π4)．又∵x ＝0，y ＜0，ρ＝15， ∴点C 的极坐标为(15，3π2)．(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ； (2)将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．2．(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π) 解：(1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin2π3＝43， 因此，点M 的直角坐标是(－4，43)． (2)ρ＝（6）2＋（－2）2＝22， tan θ＝－26＝－33，又因为点在第四象限，得θ＝116π.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23π，求A 、B 两点之间的距离． [精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式．解答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标，然后利用两点间的距离公式求解．法一：由A (3，－π3)、B (1，2π3)在过极点O 的一条直线上，这时A 、B 两点的距离为|AB |＝3＋1＝4，所以，A 、B 两点间的距离为4.法二：∵ρ1＝3，ρ2＝1，θ1＝－π3，θ2＝2π3，由两点间的距离公式得|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2） ＝32＋12－2×3×1×cos （－π3－23π）＝10－6cos π ＝10＋6 ＝16 ＝4.法三：将A (3，－π3)，B (1，2π3)由极坐标化为直角坐标，对于A (3，－π3)有x ＝3cos (－π3)＝32，y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)有x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin2π3＝32， ∴B (－12，32)．∴|AB |＝（32＋12）2＋（－332－32）2＝4＋12＝4. ∴AB 两点间的距离为4.对于这类问题的解决方法，可以直接用极坐标内两点间的距离公式d ＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）求得；也可以把A 、B 两点由极坐标化为直角坐标，利用直角坐标中两点间的距离公式d ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2求得；极坐标与直角坐标的互化体现了化归的解题思想；还可以考虑其对称性，根据对称性求得．3．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，则求第三个顶点C 的坐标．解：由题设知，A 、B 两点关于极点O 对称，又|AB |＝4，由正三角形的性质知，|CO |＝23，∠AOC ＝π2，从而C 的极坐标为(23，34π)或(23，－π4)．极坐标与直角坐标的互化在高考模拟中经常出现．本考题将极坐标与直角坐标的互化同极坐标系中两点间的距离和简单的三角恒等变换相结合考查，是高考模拟命题的一个新亮点．[考题印证]已知极坐标系中，极点为O ，将点A (4，π6)绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查点的极坐标的求法以及直角坐标与极坐标的转化． [解析] 依题意，点B 的极坐标为(4，5π12)，∵cos 5π12＝cos (π4＋π6)＝cos π4cos π6－sin π4·sin π6＝22·32－22·12＝6－24， sin 5π12＝sin (π4＋π6)＝sin π4cos π6＋cos π4·sin π6＝22·32＋22·12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， y ＝ρsin θ＝6＋ 2.∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2)．[答案] (6－2，6＋2)一、选择题1．在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6的位置，可按如下规则确定( ) A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 解析：选B 当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点．2．在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( ) A ．M 和N B ．M 和G C ．M 和H D ．N 和H 解析：选A 由极坐标定义可知，M 、N 表示同一个点．3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称． 4．已知极坐标平面内的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，(1，3)B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3，(1，－3) C.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3，(－1，3) D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－2π3，(－1，－3) 解析：选D 点P (2，－5π3)关于极点的对称点为(2，－5π3＋π)，即(2，－2π3)，且x ＝2cos (－2π3)＝－2cos π3＝－1，y ＝2sin (－2π3)＝－2sin π3＝－ 3. 二、填空题5．限定ρ>0，0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )，依题意得ρ＝x ，θ＝y ， 即x 2＋y 2＝x 2. ∴y ＝θ＝0，ρ>0， ∴M (ρ，0)． 答案：(ρ，0)6．已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.答案：(7，π3)或(1，4π3)7．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， ∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12.所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π48．已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为________．解析：∵tan θ＝－43，π2<θ<π，∴cos θ＝－35，sin θ＝45.∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4. ∴点M 的直角坐标为(－3，4)． 答案：(－3，4) 三、解答题9．设点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，直线L 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线L ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)解：如图所示：关于极轴的对称点为B (1，－π3)关于直线L 的对称点为C (1，2π3)． 关于极点O 的对称点为D (1，－2π3)． 10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0，0≤θ≤2π时，求点P 的极坐标．解：设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x －3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3. ∴点P 的直角坐标为(3，－3)．ρ＝32＋（－3）2＝23，tan θ＝－33， ∵0≤θ<2π，点P 在第四象限， ∴θ＝11π6. ∴点P 的极坐标为(23，11π6)． 11．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r ，0)，因为A (42，π4)，所以（42）2＋r 2－82r ·cos π4＝5. 即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1，0)或(7，0)．。

人教A版高中数学选修4-4-1.2 极坐标系-学案设计

人教A版高中数学选修4-4-1.2 极坐标系-学案设计

极坐标系【学习目标】1．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。

2．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别。

【学习重难点】1．理解坐标系的作用。

2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

4．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。

通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。

5．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别。

【学习过程】一、基础知识1．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换ϕ：//,(0),(0)x x y y λλμμ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩的作用下对应到点///(,)P x y ，则称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2．在平面内取一个定点O 为极点。

引一条射线OX 为叫做极轴。

再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。

这样就建立了一个极坐标系。

对于平面内的点M ，设||OM =ρ， θXOM =∠，称ρ、θ为点M 的极径、极角，有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标。

[ 强调 ] ：一般地0ρ≥，当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点（除去极点）就与极坐标(,)ρθ建立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应。

极点的极坐标是(0,)θ，其中极角θ是任意角。

3．负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，当0ρ<时，点(,)M ρθ位于极角的终边的反向延长线上，且||||OM ρ=，(,)M ρθ可以表示为(,2)k ρθπ+，或(,(21))k ρθπ-++()k Z ∈4．直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。