南京市玄武区数学一模试卷及答案

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:计算(a2)3÷(a2)2的结果是A．a B．a2C．a3D．a4试题2:南京地铁3号线全长约40000米，将40000用科学记数法表示为A．0.4×105B．4×104C．4×105D．40×103试题3:数据1，1，4，3，3的中位数是A．4 B．3.5 C．3 D．2.5试题4:已知点A、B在一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图象上，点A在第一象限，点B在第二象限，则下列判断一定正确的是A．k＜0 B．k＞0 C．b＜0 D．b＞0试题5:如图，直线a、b、c、d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是A．∠1＋∠5＋∠4＝180°B．∠4＋∠5＝∠2C．∠1＋∠3＋∠6＝180°D．∠1＋∠6＝∠2试题6:如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（0，4）、（－3，0），点E、F分别为AB、BO的中点，分别连接AF、EO，交点为P，点P坐标为A．（－，）B．（－，2）C．（－1，）D．（－1，2）试题7:使有意义的x的取值范围是．试题8:若半径为1的⊙O1与半径为2的⊙O2外切，则O1O2＝．试题9:把方程x2＋6x＋3＝0变形为(x＋h)2＝k的形式后，h＝，k＝▲．试题10:计算16.8×＋7.6×的结果是．试题11:调查机构对某地区1000名20~30岁年龄段观众周五综艺节目的收视选择进行了调查，相关统计图如下，请根据图中信息，估计该地区20000名20~30岁年龄段观众选择观看《最强大脑》的人数约为人．试题12:根据如图所示的部分函数图象，可得不等式ax＋b＞mx＋n的解集为▲．试题13:若一个圆锥的主视图是一个腰长为6cm，底边长为2cm的等腰三角形，则这个圆锥的侧面积为cm2．试题14:如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为1的圆上，顶点C、D在该圆内．将正方形AB CD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为▲．试题15:某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图所示．这种工艺品的销售量为件（用含x的代数式表示）．试题16:如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1︰2︰3，则折痕对应的刻度有▲种可能．试题17:解不等式组试题18:先化简，再求值：其中x满足方程x2＋4x－5＝0．试题19:小红去买水果，5kg苹果和3kg香蕉应付52元，可她把两种水果的单价弄反了，以为要付44元．那么在单价没有弄反的情况下，购买6kg苹果和5kg香蕉应付多少元？请你运用方程的知识解决这个问题．试题20:（1）如图，将A、B、C三个字母随机填写在三个空格中（每空填一个字母），求从左往右字母顺序恰好是A、B、C的概率；（2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将A、B、C、D四个字母任意填写其中（每空填一个字母），从左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的概率为．试题21:如图，在□ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．（1）求证：△AEB≌△CFD；（2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．试题22:如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点．（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线；（2）结合图②，说明你这样画的理由．试题23:图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．（1）当倾斜角为45°时，求CN的长；（2）按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．试题24:某市出租车按里程计费标准为：不超过3公里部分，计费11元，超过3公里部分，按每公里2.4元计费．现在在此基础上，如果车速不超过12公里/小时，那么再加收0.48元/分钟，这项费用叫做“双计费”．图中三段折线表示某时间段内，一辆出租车的计费总额y（元）与行驶时间x（分钟）的函数关系（出租车在每段上均匀速行驶）．（1）写出AB段表示的实际意义；（2）求出线段BC所表示的y与x的函数关系式；（3）是否可以确定在CD段该辆出租车的计费过程中产生了“双计费”的费用？请说明你的理由．试题25:在一次聚餐中，小明发现用圆形铁盘加热食物时，铁盘边缘部分的食物先熟，中间部分的食物后熟，说明铁盘不同位置的温度有差异．针对这一现象，他收集了如下统计图表：表一正多边形铁盘温度方差表图一正多边形铁盘温度分布统计图（部分）正多边形边数边缘温度方差整体温度方差4 2.304.736 0.343.058 0.102.6010 0.052.5212 0.022.51无穷多：圆0.002.30（1）表一中，随着正多边形边数的增加，边缘温度方差如何变化？边缘温度最稳定的是哪一种形状的铁盘？（2）图一中，最有可能表示圆形铁盘温度分布的曲线序号是．（3）已知各正多边形（包含圆）的面积相等．图一中点A、B的数值对应曲线的端点，点O表示正多边形中心．观察图一，下列说法正确的有．（填写正确选项的序号）a．可以看出，曲线②表示的整体温度比曲线③表示的整体温度稳定．b．OA与OB长度不同，其意义是不同正多边形的顶点距各自中心的距离不同．c．曲线②表示的铁盘的边数比曲线①表示的铁盘的边数少．d．如果曲线①代表正四边形，且OA2︰OB2＝3︰4，那么曲线②可以代表正六边形．试题26:在△ABC中，∠ACB＝90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP＝∠B；（2）如图②，AC＝8，BC＝6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．试题27:在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝ax＋b的图象与二次函数y＝ax2＋bx的图象交于点A、B．其中a、b均为非零实数．（1）当a＝b＝1时，求AB的长；（2）当a＞0时，请用含a、b的代数式表示△AOB的面积；（3）当点A的横坐标小于点B的横坐标时，过点B作x轴的垂线，垂足为B′．若二次函数y＝ax2＋bx的图象的顶点在反比例函数y＝的图象上，请用含a的代数式表示△BB′A的面积．试题1答案:B试题2答案:B试题3答案:C试题4答案:D试题5答案:D试题6答案:C试题7答案:x≥－1；试题8答案:3试题9答案:3；6试题10答案:7试题11答案:6800试题12答案:x＜4试题13答案:6π试题14答案:π试题15答案:(60＋x )试题16答案:4试题17答案:解：解不等式①，得x＜2．解不等式②，得x≥－1．所以，不等式组的解集是－1≤x＜2．试题18答案:解：由x2＋4x－5＝0．解得x1＝1，x2＝－5．所以试题19答案:解：设苹果单价为x元/kg，香蕉单价为y元/千克．根据题意，得则 6x＋5y＝68（元）．答：购买6kg苹果和5kg香蕉应付68元．试题20答案:（1）解：空格1 空格2 空格3A B CA C BB A CB C AC A BC B A如表格所示，一共有六种等可能的结果，其中从左往右字母顺序恰好是A、B、C（记为事件A）的结果有一种，所以P(A)＝．（2）．试题21答案:（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝BC，AB＝CD．∵点E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝AD，FC＝BC．∴AE＝CF．在△AEB与△CFD中∴△AEB≌△CFD．（2）解：∵四边形EBFD是菱形，∴BE＝DE．∴∠EBD＝∠EDB．∵AE＝DE，∴BE＝AE．∴∠A＝∠ABE．∵∠EBD＋∠EDB＋∠A＋∠ABE＝180°，∴∠AB D＝∠ABE＋∠EBD＝×180°＝90°．试题22答案:解：（1）如图①，连接AP，即为所求角平分线；如图②，连接AO并延长，与⊙O交于点D，连接PD，即为所求角平分线．（2）∵AD是直径，∴＝．又∵AB＝AC，∴＝．∴＝，所以PD平分∠BPC．试题23答案:解：（1）当∠ANB＝45°时，∵MB＝MN，∴∠B＝∠ANB＝45°，∴∠NMB＝180°－∠ANB－∠B＝90°．在Rt△NMB中，sin∠B＝，∴BN＝＝＝12cm．∴CN＝CB－BN＝AN－BN＝(20－12)cm．（2）当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E．∵MB＝MN，∴∠B＝∠ANB＝30°在Rt△BEM中，cos∠B＝，∴BE＝MB cos∠B＝(AN－AM) cos∠B＝6cm．∵MB＝MN，ME⊥CB，∴BN＝2BE＝12cm．∵CB＝AN＝20cm，且12＞20，∴此时N不在CB边上，与题目条件不符．随着∠ANB度数的减小，BN长度在增加，∴倾斜角不可以小于30°．试题24答案:解：（1）出租车行驶了6分钟，不超过3公里，收费11元．（2）设当6≤x≤11时，y与x的函数关系式为y＝kx＋b．由图象，当x＝6时，y＝11，当x＝11时，y＝17．解得：∴y与x的函数关系式为：y＝1.2x＋3.8．（3）不能确定．①若产生了“双计费”，5分钟费用增加5×0.48＝2.4(元)，出租车在第11到16分钟以12公里/小时的速度，行驶了×5＝1(千米)，费用增加2.4元，车费总额增加4.8元，符合题意．②若没有产生“双计费”，出租车在第11到16分钟以24公里/小时的速度，5分钟行驶了2千米，费用增加2×2.4＝4.8(元)，符合题意．试题25答案:解：（1）边缘温度方差越来越小，边缘温度最稳定的是圆形铁盘．（2）序号是③；（3）b，d ．试题26答案:解：（1）当点O在AC上时，OC为⊙O的半径，∵BC⊥OC，且点C在⊙O上，∴BC与⊙O相切．∵⊙O与AB边相切于点P，∴BC＝BP．∴∠BCP＝∠BPC＝．∵∠ACP＋∠BCP＝90°，∴∠ACP＝90°－∠BCP＝90°－＝∠B．即2∠ACP＝∠B．（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝＝10．如图，当点O在CB上时，OC为⊙O的半径，∵AC⊥OC，且点C在⊙O上，∴AC与⊙O相切．连接OP、AO．∵⊙O与AB边相切于点P，∴OP⊥AB．设OC＝x，则OP＝x，OB＝BC－OC＝6－x．∵AC＝AP，∴PB＝AB－AP＝2．在△OPB中，∠OPB＝90°，OP2＋BP2＝OB2，即x2＋22＝(6－x)2，解得x＝．在△ACO中，∠ACO＝90°，AC2＋OC2＝AO2，AO＝＝．∵AC＝AP，OC＝OP，∴AO垂直平分CP．∴CP＝2＝．由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长．综上，当点O在△ABC外时，＜CP≤8．试题27答案:解：（1）当a＝b＝1时，一次函数为y＝x＋1，二次函数为y＝x2＋x．由x＋1＝x2＋x，解得x1＝1，x2＝－1，可得 y1＝2，y2＝－0．∴点A，B的坐标为（1，2）或（－1，0）．∴AB＝＝2．（2）由ax＋b＝ax2＋bx得ax2＋(b－a)x－b＝0，解得：x1＝－，x2＝1．不妨设A（－，0），B（1，a＋b）．当b＞0时，S△AOB＝×(a＋b)＝；当b＝0时，△AOB不存在．当－a＜b＜0时，S△AOB＝×(a＋b)＝－；当b＝－a时，△AOB不存在．当b＜－a时，S△AOB＝×(－a－b)＝；（3）y＝ax2＋bx＝a2－，抛物线的顶点坐标为：．∵抛物线的顶点在双曲线y＝上，∴－＝，即－b3＝－8a3．∴b＝2a．∴A（－2，0），B（1，3a），∴AB′＝3， BB′＝．∴S△ABB′＝AB′·BB′．当a＞0时, S△ABB′＝AB′·BB′＝．当a＜0时,S△ABB′＝AB′·BB′＝－．。

2022年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）2022年2月4日，北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行，中国大陆地区观看人数约3.16亿人．用科学记数法表示3.16亿是（）A．3.16×107B．31.6×107C．3.16×108D．0.316×109 2．（2分）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a6B．a8÷a2＝a4C．a2•a3＝a6D．（2ab）3＝6a3b33．（2分）若式子1﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．（2分）如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（）A．35°B．52.5°C．70°D．72°5．（2分）已知x＝﹣3，下列结论错误的是（）A．x是负数B．x﹣是27的立方根C．x2是无理数D．x+3是7的算术平方根6．（2分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿对角线AC将矩形纸片ABCD 剪开，再将三角形纸片ABC沿着对角线AC向下适当平移，得到三角形纸片A'BC'，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（）A．cm B．cm C．cm D．cm二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）﹣2的相反数是；的倒数是．8．（2分）分解因式（a﹣b）（a+4b）﹣3ab的结果是．9．（2分）计算的结果是．10．（2分）设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝．11．（2分）在平面直角坐标系xOy中，作点P关于x轴的对称点，得到点P1，再将点P1向右平移3个单位，得到点P2（1，﹣1），则点P的坐标为．12．（2分）圆锥的母线长为5，底面圆的面积为9π，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为______°．13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，OA⊥OB，OB＝2OA，反比例函数y1＝（x＞0），y2＝（x＜0）的图象分别经过点A，B，则k的值为．14．（2分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的点，连接CD，AC，OD，且AB＝4，OD∥AC，设CD＝x，AC＝y，则y与x之间的函数表达式为．15．（2分）如图，点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，连接AE，C1F相交于点G，则∠AGF的度数为°．16．（2分）已知P1（m，y1），P2（m+1，y2），P3（m+2，y3）是下列函数图象上的点：①y＝x+1；②y＝（x＞0）；③y＝x2﹣3x﹣2（x＞0）；④y＝﹣x2﹣3x+2（x＞0）其中，使不等式|y1﹣y2|＜|y3﹣y2|总成立的函数有．（填正确的序号）三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）计算（﹣）﹣1+（3.14﹣π）0﹣2cos60°；（2）解方程＝+1．18．（8分）先化简，再求值：（）÷（1﹣），其中a＝2﹣．19．（8分）如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，BE，AD相交于点F．（1）求证△ABD≌△BCE；（2）求证AE2＝EF•EB．20．（8分）在某次射击训练中，小明10次射击的成绩如下（单位：环）．（1）填表：平均数中位数方差8环环环2（2）你认为小明这10次射击的平均成绩8环能反映他的实际水平吗？请说明理由．（3）若小明增加1次射击，成绩为9环，与增加前相比，小明的射击成绩．A．平均数变小，方差变小B．平均数变小，方差变大C．平均数变大，方差变小D．平均数变大，方差变大21．（7分）一个不透明的袋子中装有2个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．（2）从袋子中随机摸出1个球，摸出的是红球得6分，黄球得4分，白球得2分．甲同学从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回并摇匀，乙同学再随机摸出1个球．则甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率是．22．（7分）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为．23．（7分）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）24．（8分）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y（单位：km）与慢车的行驶时间x（单位：min）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：（1）慢车的速度为km/min；（2）求线段AB表示的y与x之间的函数表达式；（3）请根据题意补全图象．25．（8分）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．（1）求证AB＝AC；（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．26．（8分）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）二次函数的图象与x轴交于点M，N，与y轴交于点P，若△MNP是等腰直角三角形，则m的值为；（3）点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，当y1•y2•y3＜0时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．27．（11分）旋转的思考【探索发现】（1）已知△ABC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．小美，小丽探索发现了下列结论．小美的发现如图①，连接对应点BB′，CC′，则＝．小丽的发现如图②，以A为圆心，BC边上的高AD为半径作⊙A，则B′C′与⊙A相切．（ⅰ）请证明小美所发现的结论．（ⅱ）如图②，小丽过点A作AD′⊥B′C′，垂足为D′．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．【问题解决】（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝，AC＝2，M是AC的中点，将△ABC绕点M逆时针旋转得到△A'B'C'．（ⅰ）如图③，当边B'C'恰好经过点C时，连接BB'，则BB'的长为．（ⅱ）在旋转过程中，若边B'C'所在直线l恰好经过点B，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（保留作图痕迹，不写作法）【拓展研究】（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线BB'，CC'交于点P，则BP的最大值为．2022年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：316亿＝3.16000000＝3.16×108．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．【分析】A、根据幂的乘方运算法则计算判断即可；B、根据同底数幂的除法运算法则计算判断即可；C、根据同底数幂的乘法运算法则计算判断即可；D、根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算判断即可．【解答】解：A、原式＝a6，符合题意；B、原式＝a6，不合题意；C、原式＝a5，不合题意；D、原式＝8a3b3，不合题意；故选：A．【点评】此题考查的是同底数幂的乘除法运算，幂的乘方的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．3．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．【解答】解：由题可知：x﹣1＞0，解得x＞1．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的取值范围是解题关键．4．【分析】连接OD，如图，设∠C的度数为n，由于CD＝OA＝OD，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DOC＝n，则利用三角形外角性质得到∠ADO＝2n，所以∠A＝2n，然后利用三角形内角和定理得到75°+n+2n＝180°，然后解方程求出n，从而得到∠A的度数．【解答】解：连接OD，如图，设∠C的度数为n，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC＝n，∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，∴OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2n，∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，∴75°+n+2n＝180°，解得n＝35°，∴∠A＝2n＝70°．故选：C．【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．5．【分析】根据无理数、有理数、立方根、算术平方根的定义解答即可．【解答】解：x＝﹣3，A、x一定是负数，原说法正确，故此选项不符合题意；B、x﹣是﹣27的立方根，原说法错误，故此选项不符合题意；C、x2是无理数，原说法正确，故此选项不符合题意；D、x+3是7的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数、有理数、立方根、算术平方根的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．6．【分析】过点A'作A'P⊥AD于点P，设AP＝xcm，A'P＝y cm，圆的直径为dcm，利用对边之间的关系可得x与y的关系，再利用A字型相似也可求出x与y的关系，进而可求出x，d，从而得出结论．【解答】解：过点A'作A'P⊥AD于点P，设AP＝xcm，A'P＝y cm，圆的直径为dcm，由题意可得：d+x＝20，d﹣y＝15，∴20﹣x＝15+y，即x+y＝5，∵∠A＝∠A，∠APA'＝∠ADC，∴△APA'∽△ADC，∴，即，∴y＝，∴x＝，d＝，∴半径为：cm．故选：A．【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题关键是构造合适的辅助线．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：﹣2的相反数是2；的倒数是2，故答案为：2，2．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．8．【分析】根据多项式乘多项式展开，合并同类项，根据平方差公式分解因式即可．【解答】解：原式＝a2+4ab﹣ab﹣4b2﹣3ab＝a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．9．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，列方程即可解答．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣m，∵2x1＝x2，∴x1+2x1＝﹣3，解得x1＝﹣1，∴x2＝﹣2，∴﹣m＝x1•x2＝2，∴m＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是能熟练应根与系数的关系．11．【分析】直接利用平移的性质得出P1坐标，再利用关于x轴对称图形的性质得出答案．【解答】解：∵将点P1向右平移3个单位，得到点P2（1，﹣1），∴P1（﹣2，﹣1），∵点P关于x轴的对称点，得到点P1，∴点P的坐标为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握坐标变换的性质是解题关键．12．【分析】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到6π＝，然后解方程即可．【解答】解：底面圆的面积为9π，∴圆的半径为3，∴底面圆的周长为6π，设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，根据题意得6π＝，解得n＝216，所以这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．故答案为216．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13．【分析】过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，先证得△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质得出∴＝（）2＝，根据反比例函数系数k的几何意义得出＝，解得方程即可求得k＝﹣4．【解答】解：如图，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F．∵OA⊥OB，∴∠AOE+∠BOF＝90°，∵∠AOE+∠OAE＝90°，∴∠OAE＝∠BOF，∵∠AEO＝∠OFB＝90°，∴△AEO∽△OFB，∴＝（）2＝，∴＝∴|k|＝4，∴k＜0，∴k＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数y＝（k≠0）中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．14．【分析】连接BC，交OD于点E，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据平行线的性质得出∠OEB∠CED＝90°，根据勾股定理得出OE＝2﹣x2，根据题意推出OE是△ABC 的中位线，根据三角形中位线性质即可得解．【解答】解：连接BC，交OD于点E，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥AC，OA＝OB，∴∠OEB＝∠CED＝∠ACB＝90°，CE＝BE，∴CE2＝CD2﹣DE2，BE2＝OB2﹣OE2，∴CD2﹣DE2＝OB2﹣OE2，∵CD＝x，OB＝OD＝2，∴x2﹣DE2＝22﹣（2﹣DE）2，∴DE＝x2，∴OE＝2﹣x2，∵OA＝OB，CE＝BE，∴OE是△ABC的中位线，∴AC＝2OE，∵AC＝y，∴y＝4﹣x2，故答案为：y＝4﹣x2．【点评】此题考查了勾股定理、三角形中位线定理，熟记勾股定理、三角形中位线定理是解题的关键．15．【分析】连接OA，OB1，OC1，根据正五边形的性质得到∠AOB1＝∠B1OC1＝＝72°，根据圆周角定理得到∠AFC1＝AOC1＝72°，根据等腰三角形的性质得到∠GAF＝30°，于是得到结论．【解答】解：连接OA，OB1，OC1，∵点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，∴∠AOB1＝∠B1OC1＝＝72°，∴∠AOC1＝144°，∴∠AFC1＝AOC1＝72°，∵AF＝EF，∠AFE＝120°，∴∠GAF＝30°，∴∠AGF＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣30°﹣72°＝78°，故答案为：78．【点评】本题考查了正多边形与圆，等由三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．16．【分析】将m，m+1，m+2代入函数表达式，根据题意求得y1、y2、y3，比较大小，逐项判断即可．【解答】解：P1（m，y1），P2（m+1，y2），P3（m+2，y3）是下列函数图象上的点，①y＝x+1，则y1＝m+1．y2＝m+1+1＝m+2．y3＝m+2+1＝m+3，∵|m+1﹣（m+2）|＝1，|m+3﹣（m+2）|＝1，∴|y1﹣y2|＝|y3﹣y2|，故①不合题意；②y＝（x＞0），则y1＝．y2＝．y3＝，∵|﹣|＝，|﹣|＝，∴|y1﹣y2|＞|y3﹣y2|，故②不合题意；③y＝x2﹣3x﹣2（x＞0），则y1＝m2﹣3m﹣2．y2＝（m+1）2﹣3（m+1）﹣2＝m2﹣m﹣4．y3＝（m+2）2﹣3（m+2）﹣2＝m2+m﹣4，∵|m2﹣3m﹣2﹣（m2﹣m﹣4）|＝|﹣2m+2|，|m2+m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）|＝|2m|，∵m＞0，当﹣2m+2＞2m时，即0＜m＜时，|y1﹣y2|＞|y3﹣y2|，故③不合题意④y＝﹣x2﹣3x+2（x＞0），则y1＝﹣m2﹣3m+2．y2＝﹣（m+1）2﹣3（m+1）+2＝﹣m2﹣5m﹣2．y3＝﹣（m+2）2﹣3（m+2）+2＝﹣m2﹣7m﹣8，∵|﹣m2﹣3m+2+m2+5m+2|＝|2m+4|，|﹣m2﹣7m﹣8+m2+5m+2|＝|2m+6|，∵m＞0，∴2m+6＞2m+4＞0，∴|y1﹣y2|＜|y3﹣y2|，故④正确，符合题意．故答案为：④．【点评】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质，分别求得求得y1、y2、y3的值是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣）﹣1+（3.14﹣π）0﹣2cos60°＝﹣2+1﹣2×＝﹣2+1﹣1＝﹣2；（2）＝+1，两边都乘以3（x+1）得：3x＝2x+3x+3，解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，3（x+1）≠0，∴x＝﹣是原分式方程的根．【点评】本题考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．【解答】解：原式＝[﹣]÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝2﹣时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．19．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，然后利用SAS证明△ABD≌△BCE，即可解答；（2）利用（1）的结论可得∠ABC＝∠BAC，∠CBE＝∠BAF，从而可得∠ABE＝∠EAF，然后利用两角相等的两个三角形相似证明△ABE∽△FAE，再利用相似三角形的性质即可解答．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS）；（2）∵∠ABC＝∠BAC，∴∠ABE+∠CBE＝∠BAF+∠EAF，∵△ABD≌△BCE，∴∠CBE＝∠BAF，∴∠ABE＝∠EAF，∵∠AEF＝∠BEA，∴△ABE∽△FAE，∴＝，∴AE2＝EF•EB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．20．【分析】（1）根据中位数、方差的计算方法分别计算即可；（2）数据中“3”与其他数据的大小差异很大，因此不能较好的反映小明的实际水平；（3）根据平均数，方差的意义即可求解．【解答】解：（1）小明成绩的方差c＝×[（3﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2×5+（8﹣8）2×2+（10﹣8）2]＝3.8，把小明的成绩从小到大排列为3，6，8，8，9，9，9，9，9，10，则中位数＝9（环），故答案为：9，3.8；（2）不能较好的反映，理由：该组数据中“3”与其他数据的大小差异很大，因此不能较好的反映小明的实际水平；（3）若小明增加1次射击，成绩为9环，平均成绩＝（8×10+9）÷11＝（环），∴平均数变大，由小明的成绩得方差会变小，故答案为：C．【点评】此题考查平均数、中位数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义及反应数据的特征是正确解答的关键．21．【分析】（1）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有2种，∴两次摸出的球都是红球的概率为＝．（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的结果有8种，∴甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝DC，AB∥DC．根据线段中点的定义得到BE＝AB，DF＝DC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）连接EF，根据平行四边形的性质得到DE＝BF，根据线段中点的定义得到EN＝DN＝BM＝FM＝BF，求得EM＝BF，根据勾股定理得到EF＝＝8，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC．∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝AB，DF＝DC，∴BE＝DF，∵BE∥DF∴四边形BFDE是平行四边形；（2）解：连接EF，∵四边形BFDE是平行四边形，∴DE＝BF，∵M，N分别是BF，DE的中点，∴EN＝DN＝BM＝FM＝BF，∵EM＝EN＝5，∴EM＝BF，∴∠BEF＝90°，BF＝2EM＝10，∵AB＝12，∴BE＝6，∴EF＝＝8，∴四边形ABCD的面积为AB•EF＝12×8＝96，故答案为：96．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．23．【分析】过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，根据题意可得FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM ＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，从而求出∠CBN＝58°，进而求出∠CDM ＝∠CGM﹣∠DCB＝30°，然后先在Rt△CBN中，利用锐角三角函数的定义求出BN，CN的长，从而求出EF，DM的长，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，从而求出MN的长，进行计算即可解答．【解答】解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM ⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝30cm，∴CN＝30•sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），BN＝30•cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），∴AF＝BN＝15.9cm，∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），∵DM∥BN，∴∠CGM＝∠CBN＝58°，∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，在Rt△CDM中，CM＝DM•tan30°＝×24.9≈14.36（cm），∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），∴DE＝MF＝26.1cm，∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）根据图象即可得出A点坐标即可得出慢车的速度；（2）设线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由A、B的坐标即可求解；（3）根据快车与慢车速度，进而作出图象即可．【解答】解：（1）由图象得：慢车20min行驶10km，∴慢车的速度为：10÷20＝（km/min），故答案为：；（2）设线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（20，10）（30，5）代入y＝kx+b得：，解得：，∴线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+20（20≤x≤30）；（3）快车的速度为：＝1（km/min），快车追上慢车时x＝30+5÷1＝35（min），快车到达乙地用时40÷1＝40（min），此时，x＝40+20＝60（min），慢车到达乙地用时40÷+5＝85（min），补全图象如图：【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及考查学生解决实际问题的能力，要求学生根据问题提供的信息读懂图象，并善于从图象中得到正确的信息．要求学生将所给的函数图象与其表示的实际意义联系起来，并结合图象分析和解决问题．25．【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠EDA＝90°，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到∠BAD＝∠CAD，进而证明∠B＝∠C，根据等腰三角形的判定定理证明结论；（2）连接DF，DG，证明△AEC∽△DGC，根据相似三角形的性质求出AE，根据勾股定理求出DE，进而求出CE．【解答】（1）证明：连接AD，∵AE是⊙O的直径，∴∠EDA＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠B＝∠C，（2）解：连接DF，DG．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝10，BC＝12，∴AC＝10，CD＝6，由勾股定理得：AD＝＝8，∵DF∥AC，∴＝，∴BF＝FA，在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，∴DG＝DF＝AB＝5，∴DG＝DF＝5，∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，∴△AEC∽△DGC，∴＝，即＝，解得：AE＝，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE＝，AD＝8，∴DE＝＝，∴EC＝CD﹣DE＝．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，根据△AEC∽△DGC求出AE是解题的关键．26．【分析】（1）令y＝0，可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论；（2）利用△MNP是等腰直角三角形，可得出m2+2m＝﹣1，求出m的值即可；（3）分别求出y1，y2，y3，利用y1•y2•y3＜0，得出关于m的不等式，求出m的值即可．【解答】（1）证明：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣2）＝0．∴x1＝m，x2＝m+2．∴该方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数图像与x轴有两个不同的公共点．（2）由（1）知M（m+2，0），N（m+2，0），令x＝0，得y＝m2+2m，∴P（0，m2+2m）．由题意得，△MNP是等腰直角三角形，∴m2+2m＝﹣1，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1；（3）法一：根据题意可知，需要分三种情况：①当有1个点在x轴下方时，有m＜1＜m+2＜2＜3或1＜2＜m＜3＜m+3，解得﹣1＜m＜0或2＜m＜3；②当有3个点在x轴下方时，∵m+2﹣m＝2＜3，∴此种情况不存在；综上可知，m的取值范围为：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．法二：由题意可知，y1＝（1﹣m）（1﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m+1），y2＝（2﹣m）（2﹣m﹣2）＝m（m﹣2），y3＝（3﹣m）（3﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m﹣3），∵y1•y2•y3＜0，∴（m﹣1）（m+1）•m•（m﹣2）•（m﹣1）（m﹣3）＜0，即m（m+1）（m﹣2）（m﹣3）（m﹣1）2＜0，∵（m﹣1）2≥0，∴m，（m+1），（m﹣2），（m﹣3）的负数有奇数个，且m+1＞m＞m﹣2＞m﹣3，当负数有1个时，m﹣3＜0且m﹣2＞0，∴2＜m＜3；当负数有3个时，m+1＞0且m＜0，∴﹣1＜m＜0，∴m的取值范围为：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．27．【分析】（1）（i）证明△ABB′∽△ACC′可得结论；（ii）证明AD′是⊙A的半径，AD′⊥B′C′，可得结论；（2）（i）如图3中，连接BM，MB′，过点M作MH⊥CC′于点H．解直角三角形求出CC′，再证明△BMB′∽△MCC′，推出＝，可得结论；（ii）连接BM．在BM的上方作∠DBM＝∠MBC，直线BD即为所求；（3）如图⑤中，连接MB，MB′．证明∠CPB＝45°，因为BC＝＝＝5＝定值，推出点P的运动轨迹是圆，假设圆心为O，连接OB，OC，OP．求出OB，OP，可得结论．【解答】（1）（ⅰ）证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，∴＝．∵∠BAB′＝∠CAC′，∴△ABB′∽△ACC′．∴＝；（ⅱ）证明：∵△ABC≌△AB′C′，∴AB＝AB′，∠B＝∠B′∵∠ADB＝∠AD′B′＝90°，∴△ABD≌△AB′D′（AAS），∴AD＝AD′，∵AD′是⊙A的半径，AD′⊥B′C′，∴B′C′是⊙A的切线．故答案为：∠B＝∠B′，AD＝AD′；（2）解：（ⅰ）如图3中，连接BM，MB′，过点M作MH⊥CC′于点H．∵AB＝AM＝，∠A＝90°，∴BM＝AB＝，∵MC＝MC′＝，tan C′＝＝，∴MH＝1，HC′＝CH＝2，∴CC′＝2CH＝4，由旋转变换的性质可知，MB＝MB′，∠BMB′＝∠CMC′，∴△BMB′∽△MCC′，∴＝，∴＝，∴BB′＝4．故答案为：4；（ⅱ）如图④中，直线l即为所求．（3）如图⑤中，连接MB，MB′．∵△MBB′∽△MCC′，∴∠MB′B＝∠MC′C，∵∠MB′B+∠PB′M＝180°，∴∠MC′C+∠PBM＝180°，∴∠BMC′+∠CPB＝180°，∵A′M＝A′B，∠A′＝90°，∴∠A′MB＝45°，∴∠BMC′＝135°，∴∠CPB′＝45°，∵BC＝＝＝5＝定值，∴点P的运动轨迹是圆，假设圆心为O，连接OB，OC，OP．∴∠BOC＝2∠CPB＝90°，∴OB＝OC＝OP＝，∵PB≤OB+OP＝5，∴BP的最大值为5．故答案为：5．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，第三个问题的突破点是正确寻找点P的运动轨迹，属于中考压轴题．。

2024年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）某假期铁路南京站、南京南站共计发送旅客1610000人次，用科学记数法表示1610000是（）A．0.161×107B．1.61×107C．1.61×106D．16.1×1052．（2分）下列计算正确的是（）A．a4+a5＝a9B．2a4•a5＝2a9C．（2a4）5＝32a9D．a8÷a2＝a43．（2分）下列整数中，与最接近的是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣34．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（）A．a+b+c＞0B．b﹣a＞c﹣b C．ab＞ac D．5．（2分）已知某函数图象经过点A（m﹣1，1）、B（m，1）和C（m+1，4），则其大致图象可能是（）A．B．C．D．6．（2分）小丽在半径为100m的圆形广场内（包含边界）散步，从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处时停止行走，则小丽行走的路程AB+BC的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）若式子有意义，则x的取值范围是．8．（2分）分解因式：x3﹣4x2y+4xy2＝．9．（2分）计算的结果是．10．（2分）设x1，x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝x1x2+1，则m＝．11．（2分）方程的解是．12．（2分）如图，点A，B分别在反比例函数的图象上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB的面积是4，则k的值为．13．（2分）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为2.8m，地面入口的宽度为1m，门枕的高度为0.3m，则该圆弧所在圆的半径为m．14．（2分）如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，过点E作EF⊥BC，垂足为F．若AE＝3，EF＝4，则菱形的边长为．15．（2分）如图，在正六边形ABCDEF中，经过点E，F的⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，与边DE交于点M，连接GM，FH交于点N，则∠GNF的度数为°．16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接AP，若PE2＝PD•PF，则AP的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算：．18．（8分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．19．（7分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，G是BD的中点，连接EG并延长，与CB的延长线交于点F，且BF＝AE．求证CA＝CB．20．（8分）图①是A，B两款新能源汽车在2023年6月到12月期间月销量（单位：辆）的折线统计图．现网上随机调查网友对A，B两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务等四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）．（1）下列结论中，所有正确结论的序号是．①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势；②2023年6月到12月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车；③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车；④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定．（2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按2：3：3：2的比例计算平均得分，求出B款汽车的平均得分．（3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势．请根据上述信息，对生产A款汽车的厂家提出一条改进建议．21．（7分）如表，从A市到B市的飞机航班中，每天有三趟去程航班，两趟返程航班．甲、乙两人计划从A市出发，分别随机选择航班，同一天往返A、B两市．（1）在去程航班中，求甲、乙两人恰好选择相同航班的概率；（2）在往返航班中，若甲已选定往返航班，则乙选择的往返航班与甲均相同的概率为．航线航班号起落时间A市→B市MU28117：50﹣9：45 CA86028：00﹣10：00 CA18208：45﹣10：40B市→A市MU283218：05﹣20：20 CA860120：10﹣22：0022．（8分）在▱ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，连接AF、CH、AG、CE，AF、CE相交于点M，AG、CH相交于点N．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）若四边形AMCN是矩形，连接AC、BD，则AC、BD满足的数量关系是．23．（7分）为测量某建筑物BC的高度，在坡脚A处测得顶端C的仰角∠CAB为45°，沿着倾斜角∠DAB 为18°的斜坡AD前行30m到达D处，此时测得顶端C的仰角∠CDE为58°，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）24．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）求证：当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．25．（9分）小美驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小美往返均以80km/h的速度匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，往返全程一共用时6.5小时，汽车剩余电量Q （kw•h）与时间t（h）的函数关系如图①所示．（1）该电动汽车每小时的充电量为kw•h；（2）求线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式；（3）在图②中，画出小美离家的距离S（km）与t的函数图象．26．（8分）在△ABC中，BA＝BC，D是BC边上的动点，经过点A的⊙O与BC边相切于点D，与AB，AC边分别交于点E，F，连接AD．（1）如图①，连接DF，求证△CDA∽△CFD；（2）如图②，AD是⊙O的直径，连接EF，若，AC＝2，求EF的长．27．（11分）在△ABC中，∠C＝2∠B．（1）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：c2﹣ab﹣b2＝0．小明的思路如图①，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD．小红的思路如图②，将△ABC沿直线l翻折，使点B与点C重合，l与AB，BC分别交于点D，E，连接CD．在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明．（2）如图③，已知线段m，n．求作：满足已知条件的△ABC，且AB＝m，AC＝n．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）（3）若△ABC有一条边的长度为4，设，△ABC的周长为l，直接写出l关于k的函数表达式，以及l的取值范围．2024年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：1610000＝1.61×106，故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、a4与a5不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、2a4•a5＝2a9，故B符合题意；C、（2a4）5＝32a20，故C不符合题意；D、a8÷a2＝a6，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．【分析】由20.25＜21＜25，可知4＜＜5然后作答即可．【解答】解：∵16＜21＜25，∴＜＜，即4＜＜5，∵4.52＝20.25，∴﹣5＜﹣＜﹣4.5∴与﹣最接近的整数为﹣5，故选：B．【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数在哪两个整数之间．4．【分析】由数轴可知，a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，由此判断各选项即可．【解答】解：由数轴可知，a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，A、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴a+b+c＞0，故选项A不符合题意；B、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴b﹣a＞c﹣b，故选项B不符合题意；C、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴ab＞ac，故选项C不符合题意；D、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是实数与数轴，从数轴上获取已知条件是解题的关键．5．【分析】先根图象过点A（m﹣1，1）、B（m，1）可求出其对称轴为x＝，故可排除A、B，再由C（m+1，4）在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，得出抛物线开口向上，由此可得出结论．【解答】解：∵图象经过点A（m﹣1，1）、B（m，1），∴图象关于x＝对称，∴可排除A、B．∵m+1＞m，4＞1，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，∴D错误，C正确．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出抛物线的对称轴及增减性是解答此题的关键．6．【分析】根据题意可知：从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处，则∠ABC＝90°，AC是直径，如图，根据题意确定运动轨迹为a+c，进而求解即可．【解答】解：根据题意图形如下：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，∵AB+BC＞AC，∴此时当AC最大时，AB+BC才能取得最大值，AC为直径时，AC＝200，AB2+BC2＝AC2，∵（a﹣c）2≥0，∴a2﹣2ab+c2≥0，∴a2+c2≥2ac，即2ac≤2002，∴2ac+2002≤2002+2002，即：2ac+2002≤2×2002，∴（a+c）2≤2×2002，∵a，c为正数，∴a+c≤200，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．【解答】解：由题可知，x﹣2≠0时式子有意义，即x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．8．【分析】先提取公因式x，然后利用完全平方差公式进行二次分解即可．【解答】解：x3﹣4x2y+4xy2＝x（x2﹣2xy+4y2）＝x（x﹣2y）2．故答案为：x（x﹣2y）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．9．【分析】先算除法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式＝3﹣＝3﹣2＝；故答案为：．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．10．【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，再代入所给的条件运算即可．【解答】解：由题意得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，∵x1+x2＝x1x2+1，∴﹣m＝﹣2+1，解得：m＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：x1+x2＝，x1x2＝．11．【分析】方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出2（x+1）+（x+1）（x﹣1）＝x（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x+1）+（x+1）（x﹣1）＝x（x﹣1），2x+2+x2﹣1＝x2﹣x，2x+x2﹣x2+x＝﹣2+1，3x＝﹣1，x＝﹣，检验：当x＝﹣时，（x+1）（x﹣1）≠0，所以分式方程的解是x＝﹣．故答案为：x＝﹣．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．【分析】延长BA交y轴于点D，连接OA，根据题意可知S△AOB＝2，S△AOD＝＝1，据此可计算＝2+1＝3，继而可得k值．出S△BOD【解答】解：如图，延长BA交y轴于点D，连接OA，∵平行四边形ACOB的面积是4，＝2，∴S△AOB∵A在反比例函数y＝的图象上，＝＝1，∴S△AOD＝2+1＝3，∴S△BOD＝2×3＝6．∴k＝2S△BOD故答案为：6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．13．【分析】设该门洞的半径的半径为r m，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则CD＝2.8﹣0.3＝2.5m，OC＝（2.5﹣r）m，由垂径定理得AC＝BC＝AB＝0.5m，然后在Rt△AOC 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设该门洞的半径的半径为r m，如图，过点圆心O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则CD＝2.8﹣0.3＝2.5m，AC＝BC＝AB＝×1＝0.5（m），∴OC＝（2.5﹣r）m，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，0.52+（2.5﹣r）2＝r2，解得：r＝1.3，即该门洞的半径为1.3m，故答案为：1.3．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．14．【分析】根据菱形的性质证明cos∠EAD＝cos∠CEF，列式得AD＝3DE，然后根据勾股定理求出DE，即可解决问题．【解答】解：在菱形ABCD中，AD＝CD，AD∥BC，∴∠ADE＝∠C，∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∵AE⊥CD，∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣∠C＝∠CEF，∴cos∠EAD＝cos∠CEF，∴＝，∴＝，∵AD＝CD，∴AD＝3DE，在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2﹣DE2＝AE2，∴（3DE）2﹣DE2＝32，∴DE＝，∴AD＝3DE＝．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是得到AD＝3DE．15．【分析】连接FG、OG、OH，根据切线的性质求出∠OGB，∠OHC，再求出∠O＝60°，再在圆内接四边形EFGM中，求出∠FGM＝60°，再根据内角和定理解答即可．【解答】解：连接FG、OG、OH，如图，∵⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，∴OG⊥AB，OH⊥CD，∴∠OGB＝90°，∠OHC＝90°，∵∠B＝∠C＝120°，∵五边形OGBCH的内角和为540°，∴∠O＝120°，在圆内接四边形EFGM中，∵∠E＝120°，∴∠FGM＝60°，∴∠GNF＝60°．故答案为：60．【点评】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键．16．【分析】当AP⊥BC时，AP取得最小值，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得AE，利用已知条件得到PD＝PE，设PD＝PE＝x，则AP＝AE﹣PE＝4﹣x，利用相似三角形的判定与性质剪刀剪开得出结论．【解答】解：当AP⊥BC时，AP取得最小值，如图，∵AB＝AC＝5，AP⊥BC，∴BE＝EC＝BC＝3，∠BAE＝∠CAE，∴AE＝＝4．∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴PD＝PF，∵PE2＝PD•PF，∴PE2＝PD2，∴PD＝PE．设PD＝PE＝x，则AP＝AE﹣PE＝4﹣x，∵∠ADP＝∠AEB＝90°，∠DAP＝∠EAB，∴△ADP∽△AEB，∴，∴，∴x＝．∴AP＝4﹣＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再把分子，分母分解因式约分．【解答】解：原式＝÷＝•＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式相关运算的法则．18．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得x≥﹣2；由②得x＜4，∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜4，则不等式组的整数解有﹣2，﹣1，0，1，2，3．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及不等式组的整数解，熟练掌握不等式取解集的方法是解本题的关键．19．【分析】由AAS可证△DEG≌△BFG，可得BF＝DE＝AE，由等腰三角形三角形的性质和平行线的性质可得∠A＝∠ABC，即可求解．【解答】证明：∵G是BD的中点，∴DG＝BG，∵DE∥BC，∴∠DEG＝∠BFG，∠ADE＝∠ABC，又∵∠DGE＝∠BGF，∴△DEG≌△BFG（AAS），∴BF＝DE，又∵AE＝BF，∴DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∴∠A＝∠ABC，∴CA＝CB．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．20．【分析】（1）根据统计图数据判断即可；（2）根据加权平均数公式计算即可；（3）答案不唯一，合理即可．【解答】解：（1）由题意得：①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势，说法正确；②2023年6月到8月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车；9月到12月，A款汽车的月平均销量低于B款汽车，原说法错误；③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车，说法正确；④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，说法正确；所以正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④；（2）＝84.7（分），答：B款汽车的平均得分为84.7分；（3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势，建议生产A款汽车的厂家加大汽车宣传力度，必要时提高降价速销（答案不唯一）．【点评】本题考查了中位数，扇形统计图，折线统计图以及加权平均数，掌握中位数，加权平均数等概念是关键．21．【分析】（1）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人恰好选择相同航班的结果数，再利用概率公式可得出答案．（2）根据题意列出乙选择的往返航班的所有结果，由题意知乙选择的往返航班与甲均相同的结果有1种，利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）将去程航班的三个航班分别记为a，b，c，列表如下：a b ca（a，a）（a，b）（a，c）b（b，a）（b，b）（b，c）c（c，a）（c，b）（c，c）共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好选择相同航班的结果有3种，∴甲、乙两人恰好选择相同航班的概率为＝．（2）将返程航班的两个航班分别记为d，e，乙选择的往返航班的所有情况列表如下：d ea（a，d）（a，e）b（b，d）（b，e）c（c，d）（c，e）共有6种等可能的结果．∵甲已选定往返航班，∴乙选择的往返航班与甲均相同的结果有1种，∴乙选择的往返航班与甲均相同的概率为．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．22．【分析】（1）依据四边形AFCH是平行四边形，可得AM∥CN，依据四边形AECG是平行四边形，可得AN∥CM，进而得出四边形AMCN是平行四边形；（2）根据矩形的性质得出AC＝MN，进而利用BD＝2MN＝2AC解答即可．【解答】（1）证明：∵点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，∴AH∥CF，AH＝CF，∴四边形AFCH是平行四边形，∴AM∥CN，同理可得，四边形AECG是平行四边形，∴AN∥CM，∴四边形AMCN是平行四边形；（2）解：连接AC，∵四边形AMCN是矩形，∴AC＝MN，∵BD＝3MN，∴BD＝3AC，故答案为：BD＝3AC．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法．23．【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DE交CB于点G，根据题意可得：DG⊥CB，DF＝BG，DG＝BF，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF和AF的长，再设DG＝BF＝x m，则AB＝（28.5+x）m，最后分别在Rt△DCG和Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出CG和CB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DE交CB于点G，由题意得：DG⊥CB，DF＝BG，DG＝BF，在Rt△ADF中，∠DAF＝18°，AD＝30m，∴DF＝AD•sin18°≈30×0.30＝9（m），AF＝AD•cos18°≈30×0.95＝28.5（m），∴DF＝BG＝9m，设DG＝BF＝x m，∴AB＝AF+BF＝（28.5+x）m，在Rt△DCG中，∠CDG＝58°，∴CG＝DG•tan58°≈1.6x（m），在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，∴CB＝AB•tan45°＝（28.5+x）m，∵CG+BG＝CB，∴1.6x+9＝28.5+x，解得：x＝32.5，∴BC＝1.6x+9＝61（m），∴建筑物BC的高度约为61m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝8（m﹣2）2+28，则利用非负数的性质可判断Δ＞0，然后利用根的判别式的意义得到结论；（2）计算自变量为0对应的函数值得到二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1），然后利用﹣1＜m＜1可判断二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．【解答】证明：（1）∵Δ＝4（m﹣4）2﹣4×（﹣1）×（m2﹣1）＝8（m﹣2）2+28，而8（m﹣2）2≥0，∴Δ＞0，∴不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1＝y＝m2﹣1，∴二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1），∵﹣1＜m＜1，∴m2﹣1＜0，∴二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．25．【分析】（1）列式计算可得电动汽车每小时的充电量为100kw•h；（2）求出汽车行驶时每小时耗电＝20（kw•h），可知到达景点时汽车剩余电量为70（kw•h），再用待定系数法可得线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝﹣20t+130（1.5≤t≤3）；（3）求出S与t的函数图象过（0，0），（1，80），（1.5，80），（3，200），（4，200），（6.5，0），再描点画出图象即可．【解答】解：（1）∵＝100（kw•h），∴电动汽车每小时的充电量为100kw•h；故答案为：100；（2）∵到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同，∴汽车行驶时每小时耗电＝20（kw•h），∴到达景点时汽车剩余电量为100﹣20×（3﹣1.5）＝70（kw•h），设线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝kt+b，则，解得，∴线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝﹣20t+130（1.5≤t≤3）；（3）根据题意，小美在景区游玩了6.5﹣2[1+（3﹣1.5）]﹣（1.5﹣1）＝1（小时），∴当t＝4时，小美游玩结束开始返回，∴当0≤t≤1时，S＝80t，图象过（0，0），（1，80），当1＜t≤1.5时，S＝80，图象过（1.5，80），当1.5＜t≤3时，S＝80+80（t﹣1.5）＝80t﹣40，图象过（3，200），当3＜t≤4时，S＝200；图象过（4，200），当4＜t≤6.5时，S＝200﹣80（t﹣4）＝﹣80t+520，图象过（6.5，0），画出图象如下：【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．26．【分析】（1）连接DF、OD、OF，则∠ODF＝∠OFD＝90°﹣∠DOF，由切线的性质得∠ODC＝90°，则∠FDC＝90°﹣∠ODF＝∠DOF，而∠DAC＝∠DOF，所以∠DAC＝∠FDC，而∠C＝∠C，即可证明△CDA∽△CFD；（2）连接DF、EF，由AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，且AB＝BC＝，AC＝2，得（）2﹣（﹣CD）2＝22﹣CD2，求得CD＝，则AD2＝AC2﹣CD2＝，再证明△DAF∽△CAD，得＝，求得AF＝，再证明∠AEF＝∠BAC，所以EF＝AF＝．【解答】（1）证明：如图①，连接DF、OD、OF，则OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD＝（180°﹣∠DOF）＝90°﹣∠DOF，∵⊙O与BC边相切于点D，∴BC⊥OD，∴∠ODC＝90°，∴∠FDC＝90°﹣∠ODF＝90°﹣（90°﹣∠DOF）＝∠DOF，∵∠DAC＝∠DOF，∴∠DAC＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CFD．（2）解：如图②，连接DF、EF，∵AB是⊙O的直径，⊙O与BC边相切于点D，∴∠AFD＝90°，BC⊥AD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝BC＝，AC＝2，∴（）2﹣（﹣CD）2＝22﹣CD2，解得CD＝，∴AD2＝AC2﹣CD2＝22﹣＝，∵∠ADF＝∠C＝90°﹣∠CAD，∠DAF＝∠CAD，∴△DAF∽△CAD，∴＝，∴AF＝＝＝，∵∠AEF＝∠ADF＝∠C＝∠BAC，∴EF＝AF＝，∴EF的长是．【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．27．【分析】（1）选择小明的思路：首先证得△ACD∽△BAD，推导出，即AD2＝CD•BD，代入即可得证；选择小红的思路：首先证得△ACD∽△ABC，进而得到，代入数据即可得证；（2）作CD＝n；以C为圆心，n为半径作圆，以D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A；以A为圆心，m为半径作圆，交DC的延长线于点B，则△ABC即为所求．据此作图即可；（3）设AC＝x，则AB＝kx，首先推导出k＞1；依据（1）中：AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0，分三种情况：①当AB＝4时，推导出AC＝，解得BC＝，l＝4k+4；②当BC＝4时，代入得（kx）2﹣4x﹣x2＝0，解得：x＝，推导出l＝+4；③当AC＝4时，则AB＝4k，解得：BC＝4k2﹣4，推导出l＝4k2+4k．【解答】（1）证明：选择小明的思路：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D，∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∴∠ACB＝2∠CAD＝2∠D．∵∠ACB＝2∠B，∴∠CAD＝∠D＝∠B．又∵∠D＝∠D，∴△ACD∽△BAD．∴，∴AD2＝CD•BD，∵BC＝a，CD＝AC＝b，AD＝AB＝c，∴c2＝b（a+b），即c2﹣ab﹣b2＝0；选择小红的思路：由翻折可知，∠B＝∠DCB，BD＝CD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACB＝2∠DCB．∴∠ACD＝∠DCB＝∠B．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．∴，∵BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴，，∵AD+BD＝AB，∴，即a2﹣ab﹣b2＝0；（2）解：如图，△ABC即为所求（答案不唯一）．①作CD＝n；②以C为圆心，n为半径作圆，以D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A；③以A为圆心，m为半径作圆，交DC的延长线于点B，则△ABC即为所求．（3）解：∵，设AC＝x，则AB＝kx，∵∠C＝2∠B，∴AB＞AC，即kx＞x，∴k＞1；由（1）知：AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0，分三种情况：①当AB＝4时，即kx＝4，∴x＝，即AC＝，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：42﹣•BC﹣（）2＝0，解得：BC＝，∴l＝AB+AC+BC＝++4＝4k+4，∴l＞8；②当BC＝4时，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：（kx）2﹣4x﹣x2＝0，解得：x＝，∴l＝AB+AC+BC＝4++＝+4，∴l＞4；③当AC＝4时，则AB＝4k，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：（4k）2﹣4BC﹣42＝0，解得：BC＝4k2﹣4，∴l＝AB+AC+BC＝4k+4+4k2﹣4＝4k2+4k，∴l＞8；综上，当AB＝4时，l＝4k+4，此时l＞8；当BC＝4时，l＝+4，此时l＞4；当AC＝4时，l＝4k2+4k，此时l＞8．【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的周长公式的应用，利用周长公式得出结论是解答本题的关键。

综合练习卷 数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．±3，2 8．x ≠1 9．a (x －1)(x －2) 10．－ 2 11．－ 312．94 13．60(1－x )2＝48 14．43π＋2 3 15．108 16．3±1三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题8分）解：解不等式①，得x ≤2． ……………………………… 2分 解不等式②，得x ＞－1． ……………………………… 4分 所以，不等式组的解集是－1＜x ≤2． ……………………………… 6分… 8分18．（本题7分）解：原式＝m ＋1m ÷1－m 2m＝m ＋1m ·m(1－m )(1＋m )＝11－m ． ………………………………………………………………… 5分当m ＝1－5时，原式＝11－1＋5＝1 5＝55． ………………… 7分19．（本题8分） 解：（1），40% ． …………………………………… 4分 （2）评价角度不唯一，以下答案供参考：两人训练成绩的平均数都是15s ，说明两人成绩整体实力相当；甲的方差大于乙的方差，说明乙的成绩更加稳定． ………………………………… 8分 （甲跑进15s 以内的占比多于乙，且甲的最快速度比乙快，说明甲更有可能创造好成绩） 20．（本题7分）解：（1）14． ………………… 2分（2在班号连续的两个班级”（记为事件A ）的结果有6种，所以P (A )＝616＝38． ……7分21．（本题7分）解：（1）设甲的速度为2x km/h ，乙的速度为3x km/h ． 因为20 min ＝13 h ，由题意得82x ＋13＝143x ，解得x ＝2， 经检验x ＝2是原方程的解，即2x ＝4，3x ＝6答：甲的速度为4 km/h ，乙的速度为6 km/h ． ………….7分 22．（本题8分）（1）证明：延长AH 交DC 于点P ，延长CF 交AB 于点Q ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ． ∴AQ ∥CP ，又AH ∥CF ，即AP ∥CQ∴四边形APCQ 是平行四边形， ∴∠HAE ＝∠FCG ， ∵E 、G 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝12AB ，CG ＝12CD ，即AE ＝CG ．在△AHE 和△CFG 中，AE ＝CG ，∠HAE ＝∠FCG ，AH ＝FC ．∴△AHE ≌△CFG ． ………………………… 4分 （2）证明： 连接FH 、EG ∵AH ∥CF ，∴∠AHF ＝∠HFC ．由（1）知：∠AHE ＝∠CFG ，HE ＝FG ，∴∠AHF －∠AHE ＝∠HFC －∠CFG ，即∠EHF ＝∠GFH ． ∴HE ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．由（1）知：AE ＝DG ，AB ∥CD ，∴四边形ADGE 是平行四边形， ∴AD ＝EG ．又∵AD ＝FH ，∴EG ＝FH ，∴四边形EFGH 是矩形． ……………………… 8分 23．（本题8分） 解：（1）解：当m ＝2时，y 1＝2x ＋2．∵y 1＞y 2，∴2x ＋2＞－x ＋1解得x ＞－13…………………………………… 3分（2）－2 …………………………………… 5分（3）y ＝y 1·y 2＝(2x ＋m )(－x ＋1)令y ＝0，(2x ＋m ）(－x ＋1)＝0，解得x 1＝－m2，x 2＝1；A B C D E F G H（第22题） P QA 53°D CBE1（第24F当－m2＝1，即m ＝－2时，该方程有两个相等的实数根，则函数图像与x 轴有一个交点；当－m2≠1，即m ≠－2时，该方程有两个不相等的实数根，则函数图像与x 轴有两个交点． …………………………………… 8分（另解：令y ＝0，(2x ＋m )(－x ＋1)＝0即2x 2＋(m －2)x －m=0，∵a ＝2，b ＝m －2，c ＝－m ，∴b 2－4ac ＝(m －2)2＋8m ＝(m ＋2)2．当m ＝－2时，b 2－4ac ＝(m ＋2)2＝0，则该方程有两个相等的实数根，所以函数图像与x轴有一个交点；当m ≠－2时，b 2－4ac ＝(m ＋2)2＞0，则该方程有两个不相等的实数根，所以函数图像与x 轴有两个交点．）24．（本题7分）解：由题可得，过点A 作AF ⊥DE ，垂足为F ．设AD ＝AC ＝x m ．在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠DAF ＝53°． ∴sin ∠DAF ＝DF AD， ∴DF ＝AD sin ∠DAF ＝x sin53°． 在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝18°， ∴sin C ＝AB AC， ∴AB ＝AC sin C ＝x sin18°． 在矩形AFEB 中，AB ＝EF ＝x sin18°． ∵DE ＝DF ＋EF ，∴11＝x sin53°＋x sin18°． 解得x ＝11sin53°＋sin18°≈错误!＝10．因此，吊臂的长为10 m ． ……………………………………………………………… 7分25．（本题9分） 解：（1）当x ＝80时，y ＝300－10×(80－60)＝100. ∴点B 的坐标为（80，100）．设线段BC 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b （k ，b 为常数） ∵图像过点（80，100）、（110，250），∴⎩⎪⎨⎪⎧100＝80k ＋b ， 250＝110k ＋b ．解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝5，b ＝－300． ∴y ＝5x －300 ……………………………… 3分 （2）设获得的利润为W 元．由题意知AB 对应的函数表达式为y ＝300－10(x －60)＝－10x ＋900当60≤x ≤80时，W ＝(x －50)(－10x ＋900)＝－10(x －70)2＋4000．所以，当x ＝70时，W 的值最大，最大值为4000．当80≤x ≤110时，W ＝(x －50)(5x －300)－300(x －80)＝5(x －85)2＋2875． 因为5＞0，开口向上，当80≤x ≤85时，W 随x 的增大而减小，即W ≤3000；当85≤x ≤110时，W 随x 的增大而增大，即W ≤6000． 因此，当x ＝110时，W 的值最大，最大值为6000．综上，当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润是6000元．…………… 7分（3） 100 …………… 9分26．（本题9分）解：（1）∵四边形EFGH 是⊙O 的内接四边形，∴∠EFA ＝∠EHG ． ∵∠EGH 和∠EDH 都是 ⌒EH 所对的圆周角， ∴∠EGH ＝∠EDH∵DE ∥AB ，EF ∥BC ，∴∠EFA ＝∠B ，∠EDH ＝∠B ∴∠EGH ＝∠EHG ＝∠B ， ∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B∴∠C ＝∠EHG ，∠B ＝∠EGH ，∴△EGH ∽△ABC ． ………………… 3分 （2）①连接DG ．∵∠CHE ＋∠BHG ＋∠EHG ＝180°，∠CHE ＋∠CEH ＋∠C ＝180°， ∴∠CEH ＝∠BHG ．在△CEH 和△BHG 中，∠CEH ＝∠BHG ，∠C ＝∠B ，∴△CEH ∽△BHG ．∴EH HG ＝CH BG．由（1）知EH HG ＝AC BC ＝1510＝32，∴CH BG ＝32，∵BG ＝2，∴CH ＝3．∵四边形EGDH 是⊙O 的内接四边形，∴∠GDB ＝∠GEH ．又∠EHG ＝∠B ，∴△EHG ∽△DBG ．∴EH BD ＝HG BG，∴EH HG ＝BD BG ＝32．∴BD ＝3 ∴DH ＝BC －BD －CH ＝10－3－3＝4． …………… 7分② 103……………………………………9分27．（本题10分）解：（1）连接AP ．∵点P 是△ABC 的内心， ∴CP 平分∠ACB ，AP 平分∠CAB ．∴∠ACD ＝∠BCD ，∠CAP ＝∠BAP ． ∵∠APD 是△CAP 的一个外角，∴∠APD ＝∠ACD ＋∠CAP ＝∠BCD ＋∠BAP ． 在⊙O 中，∠BCD ＝∠BAD ．∴∠APD ＝∠BAD ＋∠BAP ＝∠PAD ．∴DA ＝DP ……………………… 3分 （2）5－2 5 ……………………… 5分（3）BD（第26题）C如图，△ABC即为所求．……………………… 7分（4）当x＝821，40，1021，48时，此时能作出1个三角形；当821＜x＜48且x≠40，1021时，此时能作出2个三角形．…… 10分。