人教版初三数学上册《一元二次方程》

九年级上册数学人教版一元二次方程一元二次方程学习资料。

一、一元二次方程的概念。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 举例。

- 方程x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=-3，它是一元二次方程。

- 而方程x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它不是整式方程（分母中含有未知数x）。

二、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 对于形如x^2=k(k≥slant0)的方程，可以直接开平方求解。

- 例如，方程x^2=9，解得x=±3。

- 对于方程(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，即x = 1±2，所以x = 3或x=-1。

2. 配方法。

- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)变形为x^2+(b)/(a)x=-(c)/(a)。

- 在等式两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2。

- 把左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。

- 例如，解方程x^2+4x - 1 = 0。

- 首先将方程变形为x^2+4x=1。

- 然后在两边加上4（因为4 = ((4)/(2))^2），得到x^2+4x + 4 = 1+4，即(x + 2)^2=5。

- 解得x=-2±√(5)。

3. 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 其中b^2-4ac叫做判别式，记作Δ。

21章 一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。

注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

二、 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

《一元二次方程》解应用题分类一．传播问题：公式：(a+x)n=M其中a为传染源（大凡a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平衡一个人传染了几个人？2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？二、循环问题又可分为单循环问题，双循环问题n(n-1)和繁复循环问题3．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？4.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？6.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?7.一个正多边形，它共有20条对角线，问是几边形？三、平衡率问题M=a(1±x)n，n为增长或降低次数, M为最后产量，a为基数，x为平衡增长率或降低率8.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？存n年的本息和=本金×（1+年利率）n，即本金×（1+a%）n四、商品销售问题常用关系式：售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额利润率=利润÷进价9.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？5.10.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

人教版九年级上册数学一元二次方程一元二次方程啊，那可是九年级上册数学里挺有趣的一部分呢。

啥是一元二次方程呢？简单说，就是一个方程里只有一个未知数（这就是“一元”啦），而且这个未知数的最高次数是2（这就是“二次”的意思）。

它的一般形式是ax² + bx + c = 0（a≠0哦，要是a = 0了，那就不是二次方程，变成一次方程了）。

那这个方程有啥用呢？生活里好多地方都能用到。

比如说，你想算一个长方形的面积，你知道长比宽多多少，又知道面积是多少，就可能列出一元二次方程来求解长和宽。

我们再来说说怎么解这个一元二次方程。

有好几种方法呢。

一种是直接开平方法。

要是方程能化成(x + m)² = n（n≥slant0）这种形式，那就可以直接开平方得到x + m=±√(n)，然后就能求出x的值了。

比如说x² = 9，那x=±3，这个就很简单直接。

还有配方法。

这个方法就像是给方程来个“变形手术”。

比如说对于方程x² + 6x - 7 = 0，我们要把方程左边配成完全平方式。

先把常数项移到右边，得到x² + 6x=7，然后在等式两边加上一次项系数一半的平方，也就是((6)/(2))² = 9，就变成x² + 6x + 9 = 7+9，也就是(x + 3)² = 16，然后再用直接开平方法就可以求出x了。

不过配方法有点小麻烦，得一步一步来，不能粗心。

再就是公式法啦。

对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（a≠0），它的解x=(-b±√(b² - 4ac))/(2a)。

这个公式可厉害了，不管啥样的一元二次方程，只要你把a、b、c的值找对了，往公式里一代，就能求出解来。

不过计算的时候可千万要小心，尤其是b² - 4ac 这个部分，它叫判别式。

如果b² - 4ac>0，方程就有两个不同的实数解；如果b² - 4ac = 0，方程就有两个相同的实数解（也就是一个解啦）；要是b² - 4ac<0呢，方程就没有实数解，但是有两个虚数解，不过虚数的部分在九年级上册可能还没学那么深入。

人教版九年级数学上册《一元二次方程》知识点总结合理的总结，合理的归结，关于考试效果会有很大的协助，下文为大家引荐了一元二次方程知识点总结，祝大家期末考试顺利。

1. 一元二次方程的普通方式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的普通方式，研讨一元二次方程的有关效果时，少数习题要先化为普通方式，目的是确定普通方式中的a、 b、c; 其中a 、 b,、c能够是详细数，也能够是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵敏运用，其中直接开平方法虽然复杂，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发作计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法运用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，
Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请留意以上等价命题：
Δ>0有两个不等的实根; Δ=0有两个相等的实根;
Δ无实根; Δ≥0有两个实根(等或不等).
4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有以下公式：
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《解一元二次方程》课堂笔记一、一元二次方程的概念1.一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）2.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。

二、一元二次方程的解法1.直接开平方法：（1）方程x²-2x-3=0；（2）方程（x-1）²-5=0；（3）方程x²-8x+16=0；（4）方程（x+3）²-9=0。

解：由方程x²-2x-3=0，得x²-2x=3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x²-2x+1=3+1，（x-1）²=4，所以x-1=±2，所以x₁=3，x₂=-1。

1.配方法：（1）用配方法解方程x²-6x+9=0；（2）用配方法解方程2x²-8x=-5；（3）用配方法解方程x²-6x=-15；（4）用配方法解方程2x²+8x-9=0。

解：把常数项移到方程的右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，得x²-6x=-9，方程左边写成完全平方式，得（x-3）²=-9，所以x-3=±3i所以原方程的解为：x₁=3+3√3i，x₂=3-3√3i。

1.公式法：用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。

公式法适用于任何一元二次方程。

在运用公式法解一元二次方程时，要善于观察所给的方程的形式和结构，正确选择恰当的方法解方程。

2.因式分解法：把一个一元二次方程的一边化为零，另一边分解为两个一次因式的积的形式，这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。

用因式分解法解一元二次方程时，一般选用公式法比较简便。

因式分解法适用于任何一元二次方程。

在运用因式分解法解一元二次方程时，要善于观察所给的方程的形式和结构，正确选择恰当的方法解方程。

一元二次方程1.只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++cbxax（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

2.把02=++cbxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

3.解一元二次方程的方法：(1)配方法: <将其变为0)(2=+mx的形式>配方法解一元二次方程的根本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成0)(2=+mx的形式；⑥两边开方求其根。

(2)公式法:a acbbx24 2-±-=（留意在找abc时须先把方程化为一般形式）(3)因式分解法: 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。

（主要包括“提公因式”与“十字相乘”） 十字相乘法：（十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，穿插相乘再相加等于一次项系数。

）这个方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21a a 、的积，把常数项c 分解成两个因数21c c 、的积，并使1221c a c a +正好等于一次项的系数b 。

那么可以干脆写成结果:))((22112c x a c x a c bx ax ++=++。

4.韦达定理：假如一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为21,x x ，则有：。

十字相乘法练习题1.（1）()()532,326,32652=+⨯=++=++而其中常数项x x x x （2） ()()=++=++661672其中常数项，x x x x ————————————，————————————=7.(3)x 2()()=++=++12,____128其中常数项x x x ____________,____________=__________（4）x 2()()=++=++12,____127其中常数项x x x _____________,____________=____________.（5）x 2()()12,____1213其中常数项++=++x x x= _____________,____________=____________.（6）x 2()()18,____1811其中常数项++=++x x x= _____________,____________=____________.（7）x 2()()18,_____189其中常数项++=++x x x = _____________ ,____________ =____________ .（8）x 2()()18,1819其中常数项++=++x x x = ___________ ,__________ =____________ .2.分解因式：（1）x 2()()__________187=-+x （2）x 2()()_____________82=--x（3）x 2()()___________20=-+x （4）x 2()()___________365=--x （5）x 2()()__________149=+-x （6）a 2()()__________158=++a（7）m 2()()__________1610=+-m （8）p 2()()_________283=-+p3.（1）()()342++-+b a b a ()()2222-+++y x y x一、选择题1.用配方法解方程432=-x x ，应把方程两边同时（ ）A.加上23 B.减去23 C.加上49 D.减去49 2.下列方程中，用配方法解时需两边同时加上1的是（ ）A. 422=-x xB. 5142=+xC. 822=-x xD. 0142=+-x x3.用配方法解方程03422=+-x x ，配方正确的是（ ）A.434422+=+-x x B. 434422+-=+-x x C. 123122+=+-x x D. 123122+-=+-x x4.用配方法解一元二次方程0782=++x x ，则方程可变形为（ ）A. ()942=-xB. ()942=+xC. ()1682=-xD. ()5782=+x5.若方程()04292=++-k x 的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A.10B.10或14C.-10或14D.10或-146.用配方法解方程01722=--x x ，正确的是（ ） A. 1657472=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x B. 1657472=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C. 1681472=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x D. 1641472=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 二、填空题7.用配方法解方程0242=++x x 可变形为()2_______2=+x .8.当m = 时，()0922=+-+x m x 可用配方法变为()032=+x 的形式.9.将方程0562=+-x x 配方成()R m x =+2的形式，则m = ，R = .10.利用配方法可求得0342=+-x x 的最小值是 .11.已知a 、b 、c 为常数，()c b x a x x ++=+-22943，则a ，b = ，c =12.若n ＞0，且x 取随意实数时，()223369n x mx x +=++恒成立，则n m -= .三、解答题13.完成下面的解题过程：解方程：01242=-+x x .解：移项，得1242=+x x .配方，得________12_______42+=++x x ，即()_________________2=.开平方，得 ，解得______1=x ，______2=x14.用配方法解方程：（1）4322=+-x x （2）01682=++x x（3）61022=+x x （4）03122=++x x（5）7202=+-x x （6）x x x 7492+=+15.已知方程0114492=+-x x ，若老师将等号右边的0变成了代数式：44462-+x x .（1）用配方法求出原方程的解；（2）你能求出重新组合后的一元二次方程的解吗？16.用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x 2－4x ＋5的值最小?最小值是多少?。

《一元二次方程》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2（2）一元二次方程的一般形式：ax +bx+c=0(a ≠ 0) ，，并且未知数的最高次其中 ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项。

（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程* （ 4）有理方程高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是 : ①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为 1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（ mx+n）2=p 的形式；⑤如果 p≥ 0 就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。

（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式2－ 4ac≥ 0时， ? ax2+bx+c=0 ，当⊿＝ b将 a、 b、 c 代入求根公式x=bb2 4ac2≥ 0）就得到方程的根．2a（ b -4ac（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0, 从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。

3、一元二次方程根的判别式22（1）⊿＝ b －4ac 叫一元二次方程ax +bx+c=0(a ≠ 0) 的根的判别式。

第一讲 一元二次方程的概念及解法1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程； （2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）【例1--1】方程①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③【例1--2】要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠0 【例1--3】若（m+1）(2)1m m x+-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a ≠0）。

其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

【例2--1】一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 。

【例2--2】把下列关于x 的一元二次方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。

（1）5x （x+2）=3(x+1） (2)21x 21x 3x 2--=+-3.方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

【例3--1】判断下列括号里的数哪个是方程的解。

（1）)0,2,1(232x x = (2))4,5,5(0252-=-x【例3--2】若1-=x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根，求代数式）（c b a 2019+-的值。