金融工程课件(中科院)第五章：套利定价理论

金融工程概述
金融工程是上世纪90年代初西方国家出现的一门新兴金融学科。它 运用工程技术的方法（数学建模、数值计算、网络图解、仿真模拟等）设计、 开发和实施新型金融产品，创造性地解决金融问题。金融工程学将工程思维 引入金融科学的研究，融现代金融学、信息技术与工程方法于一体，迅速发 展成为一门新兴的交叉性学科，在把金融科学的研究推进到一个新的发展阶 段的同时，对金融产业乃至整个经济领域产生了极其深远的影响。本章将从 金融工程产生和发展的背景入手，逐步介绍金融工程的概念、基本思想、基 本方法和基本工具，为深入学习掌握金融工程的核心知识打下良好基础。 金融工程利用工程技术来解决金融业的实际问题，这种工程技术包括 理论，工具和工艺方法。工艺方法是结合相关理论和工具来构造和实施一项 操作的过程中的布置和过程本身。支持金融工程的工艺方法有组合和成，新 创，剥离（本金和利息），分割（风险和收益）等，本章介绍了金融工程的 4种基本分析方法：无套利定价法，风险中性定价法，状态价格定价法和积 木分析法。
案例B 美国大通银行的指数存单II
1.1.3 信息技术进步的影响
信息技术的进步为金融工程的发展提供了技术上的支持、 物质条件、研究手段和新的发展空间。
首先，运用计算机软件开发出的各种计算和分析软件包， 为金融工程提供了开发和实施各种新型金融产品、解决财务金 融问题的有效手段。
其次，计算机和现代通讯技术的 应用，创造了全球性金融市场，促进 了各类金融机构开展金融工程活动。 第三，信息技术的发展还通过 影响其他环境因素或与其他因素共 同作用，对金融工程的发展产生了 深远的影响。
外汇期货：把外汇的交易用标准化的期货合约来表示。买卖双方在
规定的时期按照事先规定的汇率履行合约（或交割、或现金结算）。预 计将来收到外汇的出口商可以通过卖出外汇期货，弥补将来外汇汇率下 跌的损失；进口商则通过买进外汇期货，在一定程度上避免将来外汇汇 率上涨的风险。

4.
套利交易VS投机交易 盈利理念：投机交易利用价格波动获利，套利 交易利用同货不同价的价格差异获利； 操作方式：投机交易的买卖有先后，套利交易 的买卖同时发生； 风险状态：投机交易有较大风险，套利交易无 风险（理论上，即使实际有风险，也相对较 小）； 成本核算：投机交易扰乱市场秩序，交易成本 高，套利交易促进市场均衡，交易成本低；
航空公司 电力公司
风 风 GDP 经济周期 险 险 体现为 来 因 债市波动 市场利率 源 素
消息：经济将扩张，预期GDP和利率均会增长
单因素模型无法同时刻画，于是，引入两因素模型更合理
第二节 投资预期收益的多因素模型

双因素模型在t时刻的市场方程
r ab Fb Fe i t i i 1 1 t i 22 t i t
1.
挤空：操纵者强于套利者 结果：市场严重不均衡
第二节 投资预期收益的多因素模型


投资收益率
P 1 P 0 r 100% P 0
实际收益率：又称“事后收益”，是指在投资期末 P1 的实际收益水平； 确定的观测价格 预期收益率：决策前的收益率预测，又称“期望收 益率”，是未来可能出现的所有实际收益率的加权 平均；P 1 不确定的预测价格 投资决策的过程之一就是对各种信息进行分析， 对未来一段时间内资产价值或价格的变化趋势 进行预测和判断；
第二节 投资预期收益的多因素模型

市场指数模型是最简单的预期收益的因素模型；
影响 多种因素 的变化 市场指数 的变动 影响 市场内资产 价格的变动

问题：既然市场指数综合所有风险，提高投资 直接影响分析 决策的效率，我们还需要关注各种风险因素的 影响吗？
第二节 投资预期收益的多因素模型

收益率
A B
10% 8%
A和B是否可以在图 中的条件下共存呢？
F
因素模型下充分分散组合的收益
• 你发现了摇钱树吗? • 投资A：1万 投资B：-1万 • 一买一卖， 风险为零 • `无论F为多少，利润=2% • (0.1+1*F)*1万-(0.08+1*F )*1万=0.02*1万 • AB组合收益差距消失,两条收益线重叠。市场
市场均衡吗？
因素模型下充分分散组合的收益
期望收益率%
10
7 6 无风险利率 4
·D C
.5
APT资产定价
A 1.0 Beta（ F）
套利组合及套利过程
• 做D多头：（0.07+0.5F）×100万
• 做C空头：-（0.06+0.5F）×100万
•
0.01×100万=1万
• 结果是：套利组合的收益为正；收益无风险，
低实际利率
高通胀率 低通胀率 高通胀率 低通胀率
0.25 0.25 0.25 0.25
-20
20
40
60
0
70
30
-20
90
-20
-10
70
15
23
15
36
四种股票的收益率（%）统计
股票
现价
期望 收益
标准 差
A
相关系数 BC
D
A 10 25 29.58 1.00 -0.15 -0.29 0.68
B 10 20 33.91 -0.15 1.00 -0.87 -0.38
• 而1976年由罗斯发展的套利定价理论比CAPM所要 求的假设要少的多，逻辑上也更加简单。该模型以 收益率生成的因素模型为基础，用套利的概念来定 义均衡。

经济状况 证
券
A
B
C
衰退
-2
-4
0
稳定64ຫໍສະໝຸດ 10繁荣10
16
6
经济状况
衰退 稳定 繁荣
卖空股票A
2·2=4 2·（-6）=-12 2·（-10）=-20
交易现金流量
1股B和1股C的证 券组合
套利交易的 总的净收益
1·（-4）+1·0=-4 4－4=0
1·4+1·10=14
-12+14=2
1·16+1·6=22
套利定价理论的假定前提：
（1）股票的收益率取决于两个因素，一是对所有股票都有影响的系统因素， 一是对个别股票有影响的非系统因素； （2）市场中存在大量的不同资产，资本市场是完全竞争的市场； （3）市场中允许卖空，卖空所得款项归卖空者所有； （4）投资者偏向获利较多的投资策略；
用双因素模型进行推导
ri E(ri ) i1F1 i2F2 i
投资组合的收益公式就成为：
rP E(rP ) PF
8
第五节 套利定价模型
一、套利
– 套利：利用同一种资产的不同价格来获取无风险收益的行为，可 分为时间套利和地点套利。
– 如果这样一种条件存在，获得这种利润的金融交易也就被称为套 利交易(arbitrage transaction)。
9
• 证券的卖空。当投资者卖空某种证券时，他们卖出的是 他们并不拥有的股份。
更一般地
r E(r) 1F1 2F2 3F3 K FK
在实践中，研究人员经常使 用“单因素收益模型”
r E(r) F
3
四、单指数模型
– 由于单因素模型没有提出具体测试某种因素是否影响证券收益的方法， 其用途有限。一个较理智的方法是用权威的股票指数来代表宏观因素。 这种方法引出与因素模型类似的等式，称为单指数模型（single-index model）。

第一节 套利交易行为
1. 2. 3.


套利交易（同时买低卖高） 实现过程：不需要承担风险，而从市场价格的 不均衡中赚取好处； 实现结果：随着套利者的套利活动的进行，市 场价格逐渐趋于平衡； 例子： 日常生活中所说的“倒买倒卖”有某种套利的 意思； 杨百万的起家历程
第一节 套利交易行为
1. 2. 3.
33.91 -0.15 1 -0.87 -0.38 48.15 -0.29 -0.87 1 0.22 8.58 0.68 -0.38 0.22 1
发现什么明显的套利机会了吗？
第三节 聪明的套利交易者与无风险 套利机会的消失

若构造一个由等权重的A、B、C三种股票组 成的资产组合，将其可能的未来回报率与第 四种股票D进行对比：
第二节 投资预期收益的多因素模型

市场指数模型是最简单的预期收益的因素模型；
影响 多种因素 的变化 市场指数 的变动 影响 市场内资产 价格的变动

问题：既然市场指数综合所有风险，提高投资 直接影响分析 决策的效率，我们还需要关注各种风险因素的 影响吗？
第二节 投资预期收益的多因素模型

多因素模型的存在意义
1.
2.
3.
牛市套利：期铜的跨期套利—买短期卖长期 熊市套利：大豆的跨期套利—卖短期买长期 蝶式套利：中期的跨期套利
5.
无风险套利：杨百万的起家史
第一节 套利交易行为
1.
套利交易发生的条件： 资产定价出现了偏差
1.
相同现金流的资产的价格不同
1
P 证 券 1 的 价 格 C 1 P 证 券 2 的 价 格 2
章套利定价理论 —金融市场的套利均衡机制
第一节 套利交易行为

0 1973 1980 1988 1995 1997 1999 2001
图10-1 1973-2001年间全球期权交易量的增长状况
2
表10-1 2003－2005年全球期权ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ易量数据
数据来源：世界经济年鉴
2.期权的种类 ① 按期权标的资产类别划分 商品期权、外汇期权、股票期权、债券期权、股票指数期权、
如果股价下跌，A可以放弃行使购进1000股的权利，但要损失1000元期 权购买费。
由上例可见，有四种因素影响这种期权的购买价格： （1）合约有效期限；3 （2）签约时的股票市场价格；50 （3）期权执行价格；60 （4）期权费 1 （5）买者（A）按所订价格行使股票购买权的能力。
2．看跌期权（卖出期权） 例7-2 李某持有ENG公司股票2000股，当时购买成本为15元/股。假设现在股 票市价为S=20元。此时如果卖出股票可获利10000元（忽略交易费）。即股票现 值为40000元。他预期今后三个月所持有ENG公司股票价格可能会下跌。由于某 种原因他并不想手中的股票卖出，于是买进2000股某种股票的看跌期权合约进 行保值：期权协议价格为20元; 期权费为协议价格的2%，即0.4元/股；T=3个月。 又假设在这个期限内的某一天，股价跌至每股15元。此时，李某认为行使其选 择权最为有利，便依契约按每股20元的价格卖出2000股，期权获利：
第五章 期权保值与套利技术
第一节 期权概述 一、基本概念
1.定义 期权“Option”，直译作“选择权”，是在未来行使的一 种远期的选择权，故也称之为“期权”。期权的购买者在交付了一定的期 权费之后，便取得了向期权的出售方买进或者不买进、卖出或者不卖出某 种有价证券的权利。
期权合约内容资产数量、资产价格、执行价格和到期日等因素。正是由于这些因素的 差异所形成的不同组合，导致了期权千差万别。总的来说可分为两大类： 普通期权和奇异 期。

CAPM 则指出，任何证券和证券组合的 收益 (期望收益率) 怎样通过两个均值－ 方差有效的收益率的期望值来估计。
两者通过“系统风险”、“非系统风险” 之说联系在一起。
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5
“未定权益空间”上的正交分解
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6
正交分解的含义
对于 Markowitz 理论来说，为求“风险”最小， 应取“收益率前沿”直线上的点，使“非系统
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一种最简单的情形
举一个最简单的例子，看这样的过程是 怎样进行的。
假设 S=2。而证券只有一种无风险证券， 并且它的当前价格是 1，未来价格是 (1,1)。即只有一种没有时间价值的货币。 这时我们能对其他证券定价吗？显然， 除了与它完全成比例的证券外，别的都 定不了。
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无套利 (正线性) 定价
但是由于无套利假设的约束，我们仍然可以 对任何证券的价格定出其可能的范围。我们 在最初的例子中实际上已经指出，如果有一 种证券的未来价格是 (a,b)，那么其当前价格 只可能在 a 和 b 之间。否则就有套利机会。
因此，对于 Arrow-Debreu 证券例如 (1,0),其 当前价格只可能是 0 和 1 之间的数。
CAPM 变为“平凡”的情形：所有期望收 益率都等于无风险收益率。
这一结果是现代经典金融经济学最重要的 结果，因而可称为“金融学基本定理”！
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34
未定权益定价与 概率论的早期历史
Blaise Pascal (1623-1662)
未定权益定价问题联系 着概率论的起源。1654 年 Pascal 与 Fermat 的五 封通信，奠定概率论的 基础。他们当时考虑的 就是一个“未定权益定 价” (掷骰子) 问题。

尽管我们提出了一些有效的套利策略 ，但仍存在一些局限性。例如，我们 的策略可能不适用于所有市场和所有 投资者，因为不同的市场环境和投资 者目标可能需要不同的套利策略。此 外，我们的研究也未考虑到交易成本 、滑点等因素对套利策略的影响。
对未来研究的建议
为了进一步提高套利策略的性能和适 应性，未来研究可以关注以下几个方 面：一是探索更加多元化的套利策略 ；二是利用高频数据和机器学习技术 提高套利的效率和准确性；三是考虑 交易成本、滑点等因素对套利策略的 影响；四是进行更加严格的实证分析 和模拟交易验证，以评估套利策略的 实际表现。
04
套利定价模型的扩展与应用
扩展模型：多因子套利定价模型
引入多因子
多因子套利定价模型在传统套利 定价模型的基础上，引入了多个 影响资产价格的因素，如宏观经
济指标、市场情绪等。
模型构建
通过对多个影响因素进行建模和 分析，多因子套利定价模型能够 更全面地解释资产价格的变动， 提高模型的解释力和预测能力。
随着现代金融理论的发展，如行为金融学、市场 微观结构理论等，对套利定价模型的研究和应用 也得到了进一步的发展。
02
套利定价模型的理论基础
无套利定价理论
01 定义
无套利定价理论是指在一个有效的市场中，任何 投资策略都不能保证获得超额收益。
02 核心思想
如果一项投资策略的预期收益高于无风险利率， 那么投资者可以通过借贷资金来复制该策略，从 而获得无风险利润。
2. 收集相关数据：如股票价格、利率、波动率等数据。
3. 对模型进行参数估计：利用选定的参数估计方法对模 型进行拟合，得到参数的估计值。
4. 对参数进行检验：利用选定的检验方法对参数进行检 验，判断其显著性和有效性。

表示，
x (x1 , x2 xn )' Ex (1, 2 n )'
Var(x) E(x Ex)(x Ex)'
i R0
i 1,2,n
式中 ’表示矩阵的转置
设投资组合为
( 0 ,1, n ) ( 0 , ' ) 其中 0 为在无风险证券上的投资份额。
若给定收益为a，则
' ( R01) a R0
设 市场上风险资产的收益一共受到k个风险因素的影响，可表示 如下：
Ri ERi bi1F1 bi2 F2 bik Fk i
用矩阵形式表示就是：
R ER BF
上式还同时满足下列两个条件：
Ei 0 i 1, 2 , n
cov(i , j ) 0 i, j 1, 2, , n(i j)
上式可写成直线：
a R0 C 2R0 B R02 A
这表示,如果金融市场存在无风险资产,且在证券组合 投资收益为a的
条件下，若风险最小的投资组合的风险 为 ，则（a， ） 满足
方程,直线如图所：
由于在这个条件下，最小方差的证券组合是存在的。 因而，反过 来，如果 (a, ) 满足上式,则它对应的证券组合就是最小方差证券 组合.
可以看作是风险资产 xi 的风险溢价。值得注意的是，
衡量风险的标准并不是风险资产的方差， 而是 Mi
⒈ 当 Mi 1 时，我们称风险资产xi为进攻性的。 即市场价格上涨时，它的价格上涨得更快。
⒉ 当 Mi 1 时，我们称风险资产xi为防御性的。 即当市场价格下跌时，它的价格下跌得更慢。
⒊ 当 Mi 1 时，我们称风险资产xi为中性的。
APT模型的主要局限性主要表现在两个方面：
① APT模型没有说明决定资产定价的风险因子的数目和类型，也没有说

资产价格由其内在价值决定假设
资产价格由其内在价值决定假设意味着市场中 的证券价格是由其内在价值决定的，而不是由 市场情绪、投机等因素决定的。
在资产价格由其内在价值决定假设下，市场中 的所有投资者都是价值投资者，他们总是追求 购买低估的证券和卖出高估的证券。
在资产价格由其内在价值决定假设下，市场中 的所有信息都是关于证券内在价值的，即信息 是相关的和有用的。
套利定价理论需要大量的历史数据和精确 的参数估计，对于数据质量和数量要求较 高。
套利定价理论建立在严格的假设条件下， 如市场无摩擦、投资者理性等，现实市场 难以完全满足这些假设。
无法解释非理性行为
无法处理金融创新
套利定价理论难以解释市场中的非理性行 为和过度反应等现象。
随着金融市场的不断发展和创新，套利定 价理论在解释新出现的金融产品和服务方 面存在局限。
实证研究与理论建模相结合
未来的研究可以更多地采用实证研究与理论建模相结合的方法，以更 好地检验和发展套利定价理论。
06
套利定价理论的实际应用案例
基于套利定价理论的资产配置策略
资产配置策略
套利定价理论为投资者提供了基于风险和收益之间平衡的资 产配置策略。通过分析不同资产之间的风险和回报关系，投 资者可以构建有效的投资组合，实现风险和收益的优化平衡 。
多元化投资
套利定价理论强调不同资产之间的相关性，投资者可以利用 这一理论进行多元化投资，以降低整体投资组合的风险。通 过分散投资，投资者可以将风险分散到不同的资产类别中， 提高投资组合的稳定性。
利用套利定价理论进行金融衍生品定价
衍生品定价
套利定价理论为金融衍生品的定价提供了基础。通过分析衍生品与基础资产之间的价格关系，投资者 可以利用套利定价理论计算衍生品的合理价格。这有助于投资者做出更准确的投资决策，降低投资风 险。

B14：“=利率平价理论!A4〞
B15：“=-利率平价理论!A4〞
B17：“=SUM(B14:B16)〞
C14：“=-利率平价理论!A11*(1+利率平价理论!B4) 〞
一、利用Excel分析根本原理
C15:“=利率平价理论!A4*(1+利率平价理论!C4) 〞
C16:“=(利率平价理论!A11-利率平价理 论!B7)*(1+利率平价理论!B4)〞
4.5% 5.0%
➢ 比较以下方法：（1）不保值，（2）远期外汇交 易保值，（3）货币市场保值。
金融系 阮坚
三、利用Excel计算外汇套期保
例 6.2：值假设现在是4月1日，6个月后〔即10月1日)一
个美国进口商为从瑞士进口商品需要支付500000瑞士 法郎，即期汇率为CHF1=USD0.5760。现在作为瑞士 法郎的空头，进口商担忧瑞士法郎相对于美元会表现出 强势。如果六个月后瑞士法郎升值，那么其相对于现在 的即期汇率需要支付更多的美元。以芝加哥国际货币市 场为例，每份瑞士法郎期货合约的金额为CHF125000。 期货价格CHF1=USD0.5776。问：公司需要买入几份 瑞士法郎期货合同？假设10月1日当天的即期汇率为 CHF1=USD0.5780时该进口商在何价位上对冲期货合 约恰能完全风险对冲？假设10月1日当天的即期汇率为 CHF1=USD0.5758时该进口商在何价位上对冲期货合 约恰能完全风险对冲？
才能输入
一、利用Excel分析根本原理
图6.1 利率平价理论分析表
一、利用Excel分析根本原理
在B11单元格中设置一个滚动条，具体做法是：
点击Excel上方工具栏中的“视图〞选项， 选择“工具栏〞，在下拉菜单中选择“窗体〞从 而调出窗体工具栏。点击图标，之后按住鼠标左 键拖拽出一个滚动条，放置在B11单元格中。右 键单击选中该滚动条，在同时弹出的菜单中选择 “设置控件格式〞，任意设定一个范围内的正整 数作为当前值〔如160〕，并将最小值、最大值、 步长和单元格链接分别设为：150、170、1、 $B$11。并令A11=B11/100完成后就可以实现 一年以后实际汇率的动态调整了。见图6.1。

–同一资产在两个不同的市场上进行交易，但 各个市场上的交易价格不同，如果没有其他 约束，就存在套利机会
–商品市场套利策略：低买高卖 –两项金融产品 A，B，在期末有相同的现金
流（收益），如果在期初的价格不同，就有 套利机会 –金融市场套利策略：高卖低买
金融工程_5
金融产品定价原理
一、无套利定价原理
组合B：e-qT单位资产并且所有收入都再投资
于该证券，其中q为该资产按连续复利计算
的已知收益率。 支付已知收益率资产的远期价格：
金融工程_5
定价原理的应用
• 远期合约的价值
因此对任何远期合约，其有效期内远期 合约的价值都等于：
金融工程_5
定价原理的应用
货币的远期和期货合约
著名的利率平价关系。
金融工程_5
金融工程_5
金融产品定价原理
思考
1、设工商银行一年期贷款利率为5%，建设银行一年期存款利 率为5.5％,请问你有什么方法从中获益么？
2、设6个月即期利率是5%，一年期即期利率是8%，6×12远期 利率为8%,现在需要一个为期一年的投资，你如何投资？你 有什么方法从中获益么？
3、设当前一支股票的股价是20元，信息显示它一个月后可能 上涨为50元，概率为90%, 也可能下跌为2元，概率为10%， 无风险利率是5%,你会投资么？
工作日就是8月16日（星期一），合约期限为94 天
金融工程_5
金融工程_5
• FRA的其它特点
– 属表外交易项目，不记录在银行或企业的资产 负债表之中。
– 以场外柜台交易(OTC)的形式出现，其利率、 金额、币种、适用期限及合约生效日期均由双 方协商确定。在一般情况下，作为庄家的商业 银行或其他金融机构会充分满足客户的特别需 要。

i =1
E ( Ri ) = λ 0 + λ1bi1 + L + λ k bik
R f = λ0
由于
λi
E ( R i ) = R f + λ1bi1 + L + λ k bik
称为因素风险溢价。 称为因素风险溢价。
10
一、套利定价理论
举例
股票A、B、C的价格只对利率因素敏感，且敏感程度 分别为1.2、1.5和1.8。股票A、B的期望收益率分别为 4%、5%和8%。那么，我们可以构建一个无风险套利 的组合，即卖出1000美元的股票B，同时买入500美 1000 B 500 元的股票A和500美元的股票,，求组合的期望收益率。
解答：
E ( RP ) = R f + b1 x + b2 y x = E ( RE ) − R f y = E ( RF ) − R f
28%=8%+1.2 解得 x=7.04%
x+1.6y； y=7.22%
22%=8%+2.5x-0.5y；
E ( RP ) = 8% + b1 7.04% + b2 7.22%
3.
总体经济活动 其强弱可以GDP的增减来代表。 能源因素 它影响消费者的消费能力，尤其是能源价格 的变动，对通货膨胀具有显著的影响 利率变动 它影响公司的资本成本，进而影响公司的发 展。
3
一、套利定价理论
（二）套利定价理论假设 1、资本市场是完全竞争的，无摩擦的。 2、投资者是风险厌恶的，且是非满足的。 3、所有投资者有相同的预期。
% % % % Ri = ai + bi1 F1 + bi 2 F2 + L + bik Fk + ε i