3.4不等式的实际应用-王后雄学案

人教版高中必修5(B版)3.4不等式的实际应用教学设计一、教学目标1.理解不等式在现实生活中的应用场景；2.掌握不等式的实际应用方法；3.学会将实际问题转化为数学问题，并利用不等式对其进行解答。

二、教学内容1.飞行器和升力的关系（P136-题目19）；2.瓶子的容积和重量的关系（P136-题目20）；3.调整物品流水线的长短（P137-题目25）。

三、教学过程1. 飞行器和升力的关系课前准备老师提醒学生飞机起飞时为什么会产生升力？学生活动学生请在家中或自习室观察一次飞机起飞时的情况，收集数据后登录电脑，在Excel表格中记录所有数据，并对数据进行分析。

最后，将数据输入数学模型中，解决问题。

解答问题老师引导学生通过数据分析，解决问题，为学生提供帮助。

学生可以使用手算或计算机，找到一个最小的升力可能。

2. 瓶子的容积和重量的关系课前准备老师提醒学生塑料瓶厚度和瓶子容积的关系。

学生活动学生要做一个塑料瓶的实验，测试不同厚度的瓶子重量和容积。

学生需要测量每个厚度的瓶子的重量和容积，并记录下来。

然后，学生需要将数据输入到Excel表格中，通过数据分析找出数据中的规律，并解决问题。

解答问题根据学生在课前准备中所做的实验和数据分析，学生可以将结果用公式表示并使用不等式进行计算。

最后，学生需要回答问题，例如什么样的塑料瓶重量和容积比较合适？3. 调整物品流水线的长短课前准备老师提醒学生作业中的知识点。

学生活动学生根据题目描述绘制物品流水线的示意图，并将其投影到一个横面的平面上。

根据问题中的条件，学生需要确定物品流水线的长度和宽度。

学生需要将数据录入Excel表格中，通过数据分析找出数据中的规律，并将其用公式表示并使用不等式进行计算。

解答问题通过数据分析，学生可以找到流水线的最佳长度和宽度。

最后，学生需要回答问题，例如多少长度可以完成多达不可能？四、教学评价1.参与度：学生是否参与活动，是否预备教材？2.学习效果：学生是否理解了课程内容？学生是否在以后的学习中运用了这些技能？3.作业效果：学生完成的作业质量如何？。

3.4 不等式的实际应用知识梳理数学应用性问题,就是指用数学的方法将一个表面上非数学问题或者非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题.利用不等式解实际应用问题一般分以下几个步骤:1.阅读理解材料:应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，而且不少应用题文字叙述篇幅较长，阅读理解要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向.2.建立数学模型:根据前面的分析,把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所求和已知的对应关系，以便确立下一步的努力方向.3.讨论不等关系:根据以上建立的数学模型和题目要求,应用与不等式有关的知识，讨论与结论有关的不等关系,得到有关理论参数的值.4.作出问题结论:根据以上步骤得到的理论参数值,结合题目要求作出问题的结论. 知识导学本节课的主要内容是利用所学的不等式的有关知识解决实际问题，关键在于正确理解题意，寻找相等与不等关系，把实际问题转化成数学模型，因此必须具备较强的阅读理解能力.不等式应用题要注意与函数等有关内容的结合.疑难突破1.应用题大多用文字、图表等进行叙述，要解决题设问题首先要理解题中所叙述内容的含义，也就是说，阅读题意就是最关键的一个环节.那么,使用什么样的步骤进行阅读可以加深对题意的理解?剖析：数学问题就是数学语言的理解问题,数学语言具有简洁、准确的特点,但同时也具有丰富的内涵,而数学应用题多使用汉语语言进行叙述.要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手:（1）略读识大意.应用题实际上是一篇说明文,一般文字比较多,信息量比较大.这就需要快速浏览一遍,理解题目的大意:题目叙述的是什么事,是什么问题(比如不等式问题,是求最值还是要解不等式得出结论等),条件是什么，求解的是什么.涉及哪些基本概念.可以一边阅读一边写下主要内容.或者列表显示主要条件和要求的结论.（2）细读抓关键.题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在,将其辨析出来,是实现综合认知的出发点.因此,在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读,弄清具体含义及各量之间的关系.（3）精读巧转换.领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之，要有灵活的转化思维.2.与不等式有关的应用题中,求最值是最常见的一种,那么求最值问题都有哪些类型和方法? 剖析：许多应用题都可以转化为求最值问题,有的可以直接采用均值不等式进行求解,但是有些问题由于条件的限制使某些式子不满足等号成立的条件,但是其最值又确实存在,这时,通常考虑函数y=ax+xb (a ＞0,b ＞0)的单调性,利用函数单调性的定义很容易证明该函数在区间（0, a b ］上单调递减,在区间［ab ,+∞）上单调递增.特殊地,有函数y=x+x 1在区间（0,1］上单调递减,在区间［1,+∞）上单调递增.利用上述函数的性质也可以求解某些函数的最值,尤其是那些看似均值不等式求最值而等号却不能取到的情况.还有些问题可以根据条件转化为一元二次函数求最值,主要根据二次项的正负和对称轴的大小求最值:当二次项系数大于0时,在对称轴处取最小值;当二次项系数小于0时,在对称轴处取最小值.如果其中的变量有范围限制还要根据二次函数的单调性综合考虑求出最大或者最小值.事实上,一元二次函数在闭区间［a,b］上一定有最大值和最小值,主要考虑对称轴和区间端点a,b三处的函数值进行比较.也可以考虑两个端点a,b与对称轴的距离.。

3．4 不等式的实际应用[学习目标] 1.能根据实际情境建立不等式模型，并能用相关知识作出解答.2.掌握一元二次不等式与均值不等式在实际问题中的应用．[知识链接]下列各命题正确的有________．(1)(x －1)(2－x )≤0的解集是{x |1≤x ≤2}； (2)x 2<9的解集是{x |－3<x <3}； (3)(x －1)2≤0的解集是{1}； (4)x －1x －3>0的解集是{x |x <1或x >3}； (5)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是全体实数的条件是a >0且Δ＝b 2－4ac <0. 答案 (2)(3)(4)解析 对于(1), (x －1)(2－x )≤0⇔(x －1)(x －2)≥0，所以解集是{x |x ≥2或x ≤1}，故不正确；(2)，(3)显然正确；对于(4)，x －1x －3>0⇔(x －1)(x －3)>0，所以解集是{x |x <1或x >3}；对于(5)，当a ＝b ＝0且c >0也满足题意，故不正确． [预习导引]1．解不等式的应用题解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解所列出的不等式(组)，最后再结合问题的实际意义写出答案．2．一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ；k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min .要点一 利用比较法解决实际生活问题例1 某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中p >q >0，解 设商品原价为a ，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为N 甲、N 乙、N 丙，则 N 甲＝a (1＋p %)(1＋q %)， N 乙＝a (1＋q %)(1＋p %)，N 丙＝a [1＋12(p ＋q )%][1＋12(p ＋q )%]＝a (1＋p ＋q 200)2.显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因此，只需比较a (1＋p ＋q 200)2与a (1＋p %)(1＋q %)的大小．N 甲－N 丙＝a [1＋p 100＋q 100＋pq1002－1－p ＋q 100－(p ＋q )22002]＝a 2002(2pq －p 2－q 2) ＝－a2002(p －q )2<0.∴N 丙>N 甲，∴按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大．规律方法 一般说来，谁优、谁劣、谁省，哪一种方案更好，涉及比较的应用题，常常作差比较得出正确结论．跟踪演练1 有一批货物的成本为A 元，如果本月初出售，可获利100元，然后可将本利都存入银行．已知银行的月利息为2%，如果下月初出售，可获利120元，但货物贮存要付5元保管费，试问是本月初还是下月初出售好？并说明理由． 解 若本月初出售到下月初获利为m 元，下月初出售获利为n 元． 则m ＝100＋(100＋A )·2% ＝102＋0.02A .n ＝120－5＝115，故n －m ＝13－0.02A ，令n －m ＝0，得A ＝650. ①当A ＝650元时，本月初、下月初出售获利相同． ②当A >650元时，n －m <0即n <m ，本月初出售好． ③当A <650元时，n >m ，下月初出售好． 要点二 均值定理在实际生活中的应用例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解 (1)由题意知，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当x ＝200，v ＝0； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60 (0≤x ≤20)，13(200－x ) (20<x ≤200).(2)根据题意，由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x (0≤x ≤20)，13x (200－x ) (20<x ≤200).当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，∴当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋(200－x )2]2＝100003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立． ∴当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值100003.综上可知，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 规律方法 (1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求．均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查．(2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视．在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性．跟踪演练2 某单位决定投资3200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元． (1)仓库底面积S (m 2)的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解 (1)设铁栅长为x m ，一侧砖墙长为y m ，则有S ＝xy . 由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3200. 由均值不等式，得 3200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，∴S ≤100. ∴S 的最大允许值是100m 2.(2)取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100，由此求得x ＝15，即铁栅的长应是15m.要点三 一元二次不等式在生活中的应用例3 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10000×(1＋0.6x )(0＜x ＜1)， 整理得y ＝－6000x 2＋2000x ＋20000(0＜x ＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧y －(12－10)×10000>0，0<x <1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－6000x 2＋2000x >0，0<x <1，解得0＜x ＜13，所以投入成本增加的比例应在(0，13)范围内．规律方法 不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键． 跟踪演练3 在一个限速40km/h 以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问超速行驶谁应负主要责任． 解 由题意列出不等式S 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12，解得x <－40，或x >30. S 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10. 解得x <－50，或x >40.由于x >0，从而得x 甲>30km/h ，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任． 要点四 不等式的恒成立问题例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.∴－4<m ≤0. 故实数m 的取值范围是(－4,0]．(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立． 就要使m (x －12)2＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m (x －12)2＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在x ∈[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0. 综上所述：实数m 的取值范围是(－∞，67)．方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6(x －12)2＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．故实数m 的取值范围是(－∞，67)．规律方法 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)首先考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．跟踪演练4 当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R? 解 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或－1. 若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，即x <12，不合题意，舍去．②当a 2－1≠0时，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0.解得－35<a <1.综上a 的取值范围是(－35，1]．1．某工厂第一年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( ) A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b2答案 B解析 由题意知A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， 即x ＝(1＋a )(1＋b )－1≤1＋a ＋1＋b 2－1＝a ＋b2.2．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 答案 C解析 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3000≤0，∴x 2＋50x －30000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里． 答案 5解析 设仓库到车站距离为x 公里，则y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x 且k 1＝20，k 2＝45，则两项费用之和S ＝20x ＋45x ≥8(万元)，当且仅当20x ＝45x .即x ＝5公里时，两项费用之和最小为8万元．4．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x 件与单价P 元之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，该厂日产量多大时，每天获利不少于1300元？ 解 由题意得(160－2x )x －(500＋30x )≥1300， 化简得x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.答 该厂每天产量在20件至45件之间时，每天获利不少于1300元.1．解不等式实际应用题的解题思路实际问题―――――――――→建模审题、抽象概括、转化数学问题―――→建模推理演算数学模型答案――→验证实际问题结论 2．建立一元二次不等式模型求解实际问题 操作步骤为：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 3．应用均值不等式解决实际问题(1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)； (2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题； (3)对建立起来的关系式进行整理、变形，使之能应用均值不等式求最值； (4)回扣实际问题，写出准确答案．一、基础达标1．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]答案 D解析 x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2(x －1)2，x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．2．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( ) A ．5月、6月 B ．6月、7月 C ．7月、8月 D ．8月、9月答案 C解析 n 个月累积的需求量为S n ，∴第n 个月的需求量为a n ＝S n －S n －1 ＝n 90(21n －n 2－5)－n －190[21(n －1)－(n －1)2－5] ＝130(－n 2＋15n －9)． ∵a 1＝S 1＝16<1.5，∵a n >1.5即满足条件， ∴130(－n 2＋15n －9)>1.5， 6<n <9(n ＝1,2,3，…，12)， ∴n ＝7或n ＝8.3．某汽车运输公司买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数关系(如图)，则每辆客车营运的年平均利润最大时，营运了( ) A ．3年 B ．4年 C ．5年 D ．6年答案 C解析 设y ＝a (x －6)2＋11，由条件知7＝a (4－6)2＋11，∴a ＝－1. ∴y ＝－(x －6)2＋11＝－x 2＋12x －25.∴每辆客车营运的年平均利润y x ＝－x 2＋12x －25x ＝－(x ＋25x)＋12≤－225＋12＝2(万元)，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时等号成立．4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨． 答案 20解析 设一年总费用为y 万元，每年购买次数为400x 次，则y ＝400x ·4＋4x ＝1600x＋4x ≥21600x ·4x ＝26400＝160(万元)．当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立，故x ＝20.5.某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，t 变动的范围是________． 答案 [3,5]解析 由题意可列不等式如下：(20－52t )·24000·t %≥9000⇔3≤t ≤5.6．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 当a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围是[0,4]．7．某森林出现火灾，火势正以每分钟100m 2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场．已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火50m 2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1m 2森林损失费为60元．则应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？并求最少损失费．解 设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y 元，则t ＝5×10050x －100＝10x －2. y ＝125tx ＋100x ＋60(500＋100t )＝125x ·10x －2＋100x ＋30000＋60000x －2＝1250·x －2＋2x －2＋100(x －2＋2)＋30000＋60000x －2＝31450＋100(x －2)＋62500x －2≥31450＋2100×62500＝36450(元)，当且仅当100(x －2)＝62500x －2， 即x ＝27时，y 有最小值36450.∴应该派27名消防队员去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．二、能力提升8．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 答案 B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝x 2－3x ＋2>0，g (－1)＝x 2－5x ＋6>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 9．某校要建一个面积为392m 2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m 和4m 的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为________m 2.答案 648解析 设游泳池的长为x m ，则游泳池的宽为392xm ， 又设占地面积为y m 2，依题意，得y ＝(x ＋8)(392x ＋4)＝424＋4(x ＋784x)≥424＋224＝648(m 2)．当且仅当x ＝784x，即x ＝28时，取“＝”． 10．据预测，某旅游景区游客人数在500至1300人之间，游客人数x (人)与游客的消费总额y (元)之间近似地满足关系：y ＝－x 2＋2400x －1000000.(1)若该景区游客消费总额不低于400000元时，求景区游客人数的范围；(2)当景区游客的人数为多少人时，游客的人均消费最高？并求游客的人均最高消费额． 解 (1)由题意得－x 2＋2400x －1000000≥400000，即x 2－2400x ＋1400000≤0，得1000≤x ≤1400.又500≤x ≤1300.所以景区游客人数的范围是1000至1300人．(2)设游客的人均消费为y 元，则y ＝－x 2＋2400x －1000000x ＝－(x ＋1000000x)＋2400≤400(元)．当且仅当x ＝1000时等号成立．即当景区游客的人数为1000时，游客的人均消费最高，最高消费额为400元．11．国家为了加强对烟酒生产的管理，实行征收附加税政策．现在某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征收R 元(叫做税率为R %)，则每年产销量将减少10R 万瓶．要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R 应怎样确定？解 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入为每年70x 万元，从中征收附加税为70x ·R %万元，并且x ＝100－10R ，由题意，得70(100－10R )·R %≥112，即R 2－10R ＋16≤0，解得2≤R ≤8，∴税率定在2%～8%(包括2%和8%)时，可使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元．12．一服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本总数R ＝500＋30x (元)．(1)当月产量为多少时，该厂的月获利不少于1300元？(2)当月产量为多少时，该厂的月获利最大？最大月获利是多少？解 (1)设该厂月获利为y ，则y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500，由题意y ≥1300，解得20≤x ≤45，∴当月产量在20至45件之间时，月获利不少于1300元．(2)由(1)知y ＝－2(x －652)2＋1612.5. ∵x 为正整数，∴当x ＝32或33时，y 取最大值为1612，∴当月产量为32或33件时，月获利最大，且最大为1612元．三、探究与创新13．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)?解 方法一 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝k ab，其中k >0为比例系数，依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)，得b ＝30－a 2＋a (0<a <30)． ①于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a＝k －a ＋32－64a ＋2 ＝k 34－(a ＋2＋64a ＋2)≥k 34－2(a ＋2)·64a ＋2＝k 18.当且仅当a＋2＝64取等号，y取得最小值．a＋2这时a＝6或a＝－10(舍去)，将a＝6代入①式得b＝3，故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．方法二依题意，即所求的a、b值使ab最大．由题设知4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0)．∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30.当且仅当a＝2b时，上式取等号．由a>0，b>0，解得0<ab≤18，即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18.∴2b2＝18.解得b＝3，a＝6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.。

3.4 不等式的实际应用1.能根据实际情景建立不等式模型.(难点)2.掌握运用不等式知识，解决实际问题的方法、步骤.(重点)[基础·初探]教材整理 不等式的实际应用 阅读教材P 81～P 83，完成下列问题.1.实际问题中，有许多不等式模型，必须首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设未知数，将量与量间的关系变成不等式或不等式组.2.实际问题中的每一个量都有其实际意义，必须充分注意定义域的变化.3.解不等式应用题，一般可按以下四个步骤进行：(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题.1.有如图3­4­1所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上看，这两个广告牌面积的大小关系为________，并将这种大小关系用含字母a ，b 的不等式表示出来为________.图3­4­1【解析】 图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.设图(1)面积为S 1，则S 1＝a 22＋b 22，图(2)面积为S 2，则S 2＝ab ，∴12a 2＋12b 2＞ab .【答案】 图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积12a 2＋12b 2>ab 2.一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程超过2 200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________.【解析】 原来每天行驶x km ， 现在每天行驶(x ＋19) km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”， 写成不等式为8(x ＋19)>2 200. 若每天行驶(x －12) km ，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为8xx －12>9. 【答案】 8(x ＋19)>2 2008xx －12>9[小组合作型]种降价方案：方案(1)先降价a %，再降价b %； 方案(2)先降价b %，再降价a %； 方案(3)先降价a ＋b2%，再降价a ＋b2%；方案(4)一次性降价(a ＋b )%.其中a ＞0，b ＞0，a ≠b ，上述四种方案中，降价幅度最小的是( ) A.方案(1) B.方案(2) C.方案(3)D.方案(4)(2)甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100 kg 大米，而乙每次用去100元钱.购买方式更合算的是________老板.【精彩点拨】 首先用代数式表示出要比较的两个量，然后用比差法比较这两个量的大小.【自主解答】 设原价为1，则四种方案中，降价后的价格分别为： (1)(1－a %)(1－b %)；(2)(1－b %)(1－a %)； (3)⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2；(4)1－(a ＋b )%. 由于(1－a %)(1－b %)＝(1－b %)·(1－a %)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b %＋1－a %22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2，且(1－a %)(1－b %)＞1－(a ＋b )%， 所以方案(3)降价后价格最高.(2)设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a 、b ＞0，a ≠b )，则甲两次购买大米的平均价格是a ＋b200＝a ＋b2元/千克；乙两次购买大米的平均价格是200100a ＋100b ＝21a ＋1b＝2aba ＋b 元/千克.∵a ＋b 2－2aba ＋b ＝a ＋b 2－4aba ＋b ＝a －b 2a ＋b＞0， ∴a ＋b2＞2aba ＋b. ∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算. 【答案】 (1)C (2)乙比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中，解决的关键是两个量表示后用作差法或作商法进行大小比较，然后作出实际问题的解答.[再练一题]1.如图3­4­2(2)，一圆柱的底面半径为5 dm ，高为5 dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线.小明设计了两条路线：试说明哪条路线最短？路线1：侧面展开图中的线段AC .如图(1)所示： 路线2：高线AB ＋底面直径BC .如图(2)所示：(1) (2)图3­4­2【解】 设路线1的长度为l 1，则l 21＝AC 2＝AB 2＋BC 2＝52＋(5π)2＝25＋25π2. 设路线2的长度为l 2，则l 22＝(AB ＋BC )2＝(5＋10)2＝225.∵l 21－l 22＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)>0，∴l 21>l 22，∴l 1>l 2.所以选择路线2较短.为10个百分点)，计划可收购 a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点.(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围. 【精彩点拨】 认真阅读题意，理解各个量之间的关系，构建函数关系或不等式解决问题.【自主解答】 (1)降低税率后为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %).依题意：y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10). (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元). 依题意得：150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得，x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是(0,2].不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键.[再练一题]2.某市新建一处公园，要对园内一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.【导学号：18082048】【解】 设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x ) m ，宽为(600－2x ) m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x－600)(x －100)≥0，所以0<x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去.故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.[探究共研型]钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.若设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，那么x ，y 间有何关系？你能建立仓库底面积S 与x 、y 间的关系吗？【提示】 x 与y 间关系为40x ＋2×45y ＋20xy ≤3 200，S 与x 、y 间的关系为S ＝xy . 探究2 在探究1中若要求S 的最大值能用只含一个自变量的函数求最值吗？若不能，如何求S 的最大值？【提示】 在S ＝xy 中含两个变量x ，y ，而x ，y 满足40x ＋90y ＋20xy ≤3 200，利用该关系不能将S 表示为关于x 或只关于y 的函数，故不能用求函数求最值的方法求解，可用均值不等式进行如下求解.解：设铁栅长为x m ，一侧砖墙长为y m ，则有S ＝xy . 由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ≤3 200.由均值不等式，得 3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0.∵S ＋16＞0，∴S －10≤0，∴S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.【精彩点拨】 平均每天所支付的总费用＝x 天支付的总费用天数x，根据题意列出函数式，利用均值不等式求解.【自主解答】 (1)设该厂应每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝3×x x ＋2＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为Y 1元，则Y 1＝9xx ＋＋900x ＋1 800×6＝9x ＋900x＋10 809 ≥29x ·900x＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号.该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少.(2)设该厂利用此优惠条件后，每x 天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每2106＝35天购买一次面粉，即x ≥35.设平均每天支付的总费用为Y 2元，则Y 2＝9xx ＋＋900x ＋1 800×6×910＝9x ＋900x＋9 729(x ≥35)， 记f (x )＝x ＋100x，x ∈[35，＋∞)，设x 1，x 2∈[35，＋∞)，取x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫100x 1－100x 2＝x 1－x 2x 1x 2－10x 1x 2，∵35≤x 1<x 2，x 1x 2>100， ∴x 1－x 2<0，x 1x 2－100>0， ∴x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2<0，f (x 1)－f (x 2)<0，∴函数f (x )＝x ＋100x在[35，＋∞)上是增函数， ∴当x ≥35时，f (x )min ＝f (35).所以，当x ＝35时，Y 2有最小值，此时Y 2的最小值小于10 989.故该厂应接受此优惠条件.求实际问题中最值的一般思路：先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式. 把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性.正确写出答案.[再练一题]3.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元).(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)【解】 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋).(2)∵x >0，∴48x ＋10 800x≥248×10 800＝1 440，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元). 答：当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元.1.若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A.{x |－1≤x <0} B.{x |0<x ≤1} C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}【解析】 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}. 【答案】 B2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m【解析】 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少，故选C.【答案】 C3.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台.【解析】 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，所以x 2＋50x －30 000≥0，得x ≤－200(舍去)或x ≥150， 又因为0<x <240，x ∈N ，所以150≤x <240，x ∈N . 【答案】 1504.用一根长为100 m 的绳子，围成一个一边长为x 米，面积大于600 m 2的矩形，则x 的取值范围为________.【导学号：18082049】【解析】 设围成的矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x ) m ，且0<x <50. 由题意，得围成矩形的面积S ＝x (50－x )>600， 即x 2－50x ＋600<0， 解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形. 【答案】 (20,30)5.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式.(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内. 【解】 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0＜x ＜1). 整理得，y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0＜x ＜1). (2)要使本年度的年利润比上年有所增加，必须有：⎩⎪⎨⎪⎧y －－＞0，0＜x ＜1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x ＞0，0＜x ＜1.∴0＜x ＜13，所以投入成本增加的比例应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13范围内.。

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３.４不等式的实际应用1.能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题，能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小，确定范围，求最值等)．2.了解如何建立数学模型，体会数学知识和客观实践之间的相互关系,培养良好的数学意识和情感态度.1.例题中的结论若ｂ>ａ>0，m>0,则错误!____错误!.另外，若ａ>b>０，m>0时,则有错误!＜__＿___成立．【做一做】已知a,b是正数,试比较＼f(2，1a＋＼f（1，b）)与错误!的大小.２．不等式解决实际问题的步骤(1）＿＿_＿＿_＿＿:用字母表示题中的未知数．(2）_＿＿__＿＿＿＿_:找出题中的不等量关系,列出关于未知数的不等式(组).(3)＿＿_＿＿____＿_＿__：运用不等式知识求解不等式，同时要注意_____＿___＿_＿＿__＿＿＿____________．（4）答:规范地写出答案．在解决实际应用问题时，首先要学会正确地梳理数据,从而为寻找数据之间的关系奠定良好的基础，进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构，构建数学模型,再利用不等式求解，即解实际应用题的思路为：一、解应用题的流程剖析：数学问题就是数学语言的理解问题，数学语言具有简洁、准确的特点,但同时也具有丰富的内涵，而数学应用题多使用自然语言进行叙述,所以，对文字的理解就显得非常重要,要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手：(1)略读识大意．应用题实际上是一篇说明文,一般文字比较多,信息量比较大．这就需要快速浏览一遍,理解题目的大意：题目叙述的是什么事,是什么问题（比如不等式问题，是求最值还是要解不等式得出结论等）．条件是什么,求解的是什么,涉及哪些基本概念，可以一边阅读一边写下主要内容，或者列表显示主要条件和要求的结论．（2）细读抓关键．题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在,将其辨析出来是实现综合认知的出发点.因此,在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读，弄清具体含义及各量之间的关系.（３)精读巧转换.领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之,大脑要有灵活的转化思维.二、常见的不等式实际应用类型剖析:常见的不等式实际应用问题有以下几种:(１）作差法解决实际问题作差法的依据是a-b>0⇔a＞b，其基本步骤是:①理解题意,准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来.②作差，分析差的符号．③将作差后的结论转化为实际问题的结论.(２)应用均值不等式解决实际问题①均值不等式:a,b∈Ｒ+,a+b2≥错误!(当且仅当a=b时,等号成立).当ab＝P(定值),那么当a＝b时，a+b有最小值2错误!；当ａ＋b=S(定值),那么当a＝ｂ时,aｂ有最大值14S2.②注意利用均值不等式必须有前提条件：“一正、二定、三相等".为了创造利用均值不等式的条件,常用技巧有配凑因子、拆项或平方.（3)应用一元二次不等式解决实际问题用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为:①理解题意,搞清量与量之间的关系;②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题;③解所列的一元二次不等式得到实际问题的解．在建立不等关系时,一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围，不可盲目使用.题型一一元二次不等式的实际应用【例1】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车速x km/h有如下关系：s ＝＼f（１，２0）ｘ+错误!x2。

高二数学高效课堂资料课题： 3.4 不等式的实际应用编写人：王秀梅教学目标：1．通过具体问题的探究，了解不等式(组)产生的实际背景，掌握解决实际问题的一般程序和一些典型实际问题的解法．2．通过具体问题的分析解决，提高学生分析问题和解决问题的能力．认识不等式的优化思想．3．通过对生活中熟悉的实际问题的解决，激发学生学习的热情．培养学生严肃认真的科学态度，同时感受数学的应用性．重点难点：教学重点：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．掌握一些典型实际问题的解法．教学难点：用不等式(组)表示实际问题中的数量关系．教学方法：……教学过程：一、导入新课思路 1.(直接引入)许多实际问题，通过设未知数将其数学化，便可以应用不等式的知识求解．本节我们将用不等式的知识来探究一些实际问题．思路 2.(章头图引入)章头插图的人造卫星，高低不一的雄伟大楼的壮观画面，它将我们带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然中．使学生在具体情境中感受到不等关系的大量存在．那么我们怎样用不等式的知识表示实际问题呢？由此进入新课．二、形成概念提出问题回忆本章第一节所学，怎样利用不等式表示不等关系？解决实际问题的一般程序是什么？我们都学习了不等式的哪些性质？三、概念深化活动：教师利用多媒体演示章头图的画面．引导学生回忆前面所学，对现实世界中普遍存在的不等关系，怎样用数学式子表示出来，并从理性的角度去思考、去分析．我们在考察事物之间的数量关系时，经常要对数量的大小进行比较，如每个家庭食品消费额的年平均增长率至多至少问题，容器的容积最大问题，商品的最高最低定价问题等．这些问题的解决都需用不等式的知识．接着教师引导学生回忆前面学过的不等式的性质，以及如何用数学知识解决实际问题．讨论结果： (1)(3)略．(2)解决实际问题的一般程序是：设出未知数，分析数量间的关系，列出方程或不等式，解决这个数学问题．其中的关键是建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量之间的不等关系． 四、应用例1(教材本节例1)活动：教师引导学生将题目中的窗户面积和占地面积用字母a 、b 表示出来，再用字母m 表示出窗户和占地所增加的面积．这样只要比较增加前和增加后窗户的总面积与占地面积的比值的大小，即可作出正确的判断．点评：由本例可得出一般结论：设a ＞0，b ＞0，且a ＜b ，m ＞0，则a ＋m b ＋m ＞ab .例2(教材本节例2)活动：教师引导学生理清问题的情境，并尝试着用数学语言将其表示出来．这是所有实际问题使学生感到困惑的地方．如本例中教师引导学生分析：若桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药后再用水加满，这时桶内纯农药药液占容积的x －8x .同样第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药药液为4·x －8x ，此时桶内还有纯农药药液[(x －8)－－x]升．这样，问题就很自然地转化为一个数学不等式问题．点评：学生或许熟悉解决实际问题的一般步骤或者一般程序，但解决问题的重点应放在怎样选用合适的字母表示出题中给出的不等量关系，进而列出关于未知数的不等式(组)．注意文字语言和符号语言的转换.例3(教材本节例3)活动：根据上例，教师引导学生将这个实际问题转化为数学问题：(1)设出食品消费额的年平均增长率为x(x ＞0)，(2)到2005年的食品消费额为0.6(1＋x)2(万元)，(3)消费支出总额为1＋2×0.3＝1.6(万元)．这样根据恩格尔系数η的计算公式η＝食品消费额消费支出总额×100%，就很容易列出不等式了．点评：本题采用了“化整为零”的办法，即逐条分析转化．对此类问题的解决，应注意将一个大问题化成若干个小问题的思维习惯，不要被问题的表面形式所迷惑.变式训练国家计划以2 400元/t 的价格收购某种农产品m t ，按规定，农民向国家纳税为每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)，为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点，试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.活动：本例是一道实际应用题，其关键是把文字语言转化为数学语言：(1)“税率降低x 个百分点”，即调低后税率为(8－x)%；(2)“收购量能增加2x 个百分点”，这时总收购价为2 400m(1＋2x%)元；(3)“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，“税收总收入”≥2 400m×8%×78%.解：设税率调低后的“税收总收入”为y 元．根据题意，得y ＝2 400m(1＋2x%)(8－x)%＝－1225m(x 2＋42x －400)(0＜x≤8)． ∴y≥2 400m×8%×78%，即－1225m(x 2＋42x －400)≥2 400m×8%×78%.∴x 2＋42x －88≤0.解这个一元二次不等式，得－44≤x≤2.又∵0＜x≤8，∴0＜x≤2.五、随堂练习某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝120x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h) 解：设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h ，根据题意，得120x ＋1180x 2＞39.5，移项、整理，得x 2＋9x －7 110＞0.因为Δ＞0，方程x 2＋9x －7 110＝0有两个实数根，即x 1≈－88.94，x 2≈79.94. 然后，画出二次函数y ＝x 2＋9x －7 110，由图象得不等式的解集为{x|x ＜－88.94或x ＞79.94}．在这个实际问题中x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.六、课堂小结1．由学生自己理顺整合本节所学知识方法，归纳总结利用不等式解决实际问题的方法步骤，感悟突破难点的探究过程．2．教师进一步强调，解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数．再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．然后解所列的不等式(组)，最后再结合问题的实际意义写出答案．七、作业习题3—4A组1～4；习题3—4B组1.。

《人教B版必修5》
3.4 不等式的实际应用
(说课稿）
一、教材分析
1.教材的地位和作用:
本节内容是在学生学习了不等式的性质、均值不等式以及一元二次不等式解法的基础上学习的.主要学习将实际问题转化为求解不等式,它是对不等式性质和一元二次不等式内容的实际应用,是本章不等式知识的第二次应用,也为下一节利用不等式求最优解的建模打下了基础.
2.教学重点与难点:
本节的重点是不等式的实际应用,难点是建模思想的建立.
二.教学目标:
知识目标使学生掌握解应用题的一般思路
能力目标培养学生的数学建模和分析问题解决问题的能力,培养学生辨证的思想,以变化的观点看问题.
情感目标激励学生的求知欲望,培养学生认真分析、刻苦钻研的治学精神,让学生充分感受数学源于生活,又用于生活,拓展学生的视野.
三、教法学法及学法指导
主要采取教师启发引导、学生探究学习的教学方法, 层层设问,通过提问,板演讨论等多种形式,让学生直接参与课堂活动.在学习过程中,让学生寻找知识的生长点,变被动学习为主动学习,不仅使学生学会,而且会学,提高学生的应用意识以及建模能力
四、教学过程
五.设计说明.
本节课的特点是在教学过程中,充分发挥学生的主体作用,在学生主动发现问题,提出问题比较薄弱的情况下,先帮助学生提出问题,引导学生思维,适当展开学习过程,使学生的学习更生动,更富探索性,教给学生如何由:”学会”到”会学”,提高学生的数学应用意识,发展学生独立思考的能力,渗透数学的建模思想.。

人教版高中必修5(B版)3.4 不等式的实际应用课程设计一、设计背景不等式是数学中的一个重要概念，在高中数学中占有非常重要的地位。

掌握不等式的解法和实际应用，可以帮助学生更好地了解数学的本质，提高数学分析和解决实际问题的能力。

本课程设计旨在帮助学生深入理解不等式的实际应用，提高学生的数学分析和解决实际问题的能力。

本文所设计的课程适用于人教版高中必修5(B版)中第3章不等式的实际应用。

二、教学目标通过本课程的学习和实践，学生应该能够掌握以下知识和技能：1.理解不等式的概念，掌握不等式的解法；2.掌握不等式在实际中的应用，能够灵活运用不等式解决实际问题；3.能够培养学生的数学思维和分析问题的能力；4.发展学生的团队合作和交流能力。

三、教学内容1.不等式的基本概念；2.不等式的解法；3.不等式在实际中的应用；4.分析和解决实际问题。

四、教学方法1.课堂讲授：通过讲授和演示，帮助学生掌握不等式的基本概念和解法；2.分组讨论：将学生分成小组，让他们合作解决实际问题，培养团队合作和交流能力；3.实践演练：让学生进行实践演练，巩固所学知识。

五、教学过程第一步：引入师生沟通交流，让学生了解本节课的主题和目标，明确学习的重点和难点。

第二步：讲授不等式的基本概念和解法1.不等式的基本概念：介绍不等式的定义和符号表示；2.不等式的解法：介绍不等式的加减法、乘除法等解法，通过例题演示不等式的解法。

第三步：讲授不等式在实际中的应用1.利用不等式求解实际问题：分析实际问题，引导学生运用不等式解决实际问题；2.实际问题的模型建立：通过实际问题建立数学模型，引导学生运用不等式解决实际问题。

第四步：分组讨论实际问题将学生分成小组，让他们合作解决实际问题，培养团队合作和交流能力。

第五步：巩固知识点让学生进行实践演练，巩固所学知识。

第六步：总结让学生总结所学知识和技能，明确掌握情况和不足之处，以便进行下一步的学习和进一步提高。

六、教学评价1.学生思考提出问题的能力；2.学生运用不等式解决实际问题的能力；3.学生的团队合作和交流能力；4.学生对数学的理解和分析问题的能力。

3.4 不等式的实际应用【学习目标】1. 能根据实际情境建立不等式模型，并能用相关知识作出解答.2. 掌握一元二次不等式与均值不等式在实际问题中的应用．【重、难点】重点：运用不等式解决实际问题．难点：建立不等式模型．【知识链接】一元二次函数、方程、不等式的关系有两相等实根【新知探究】探究一. 不等式在生活中的应用例1．一般情况下，建筑民用住宅时，民用住宅窗户的总面积应小于该住宅的占地面积．但按采光标准，窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好．试问：若同时增加相等的窗户面积和占地面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，由题意a<b， m>0则a+mb+m −ab=m(b−a)b(b+m)，∵b>0，b+m>0∴b(b+m)>0又 a<b， m>0∴b−a>0∴m(b−a)>0∴m (b−a)b(b+m)>0，即a+mb+m>ab.∴同时增加相等的窗户面积和占地面积后，住宅的采光条件变好了．【解题反思】如何应用不等式求解生活中的问题？答：其关键是能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，(1)要先读懂题意，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．变式1. 某粮食收购站分两个等级收购小麦.一级小麦a 元/kg，二级小麦b 元/kg (b<a). 现有一级小麦m kg，二级小麦n kg，若以两种价格的平均数收购，是否合理？为什么？解：若分级收购，则总价为am+bn(元)，若以两种价格的平均数收购，则总价为a+b 2(m+n)(元) ，则am+bn−a+b2(m+n)=am+bn−an−bm2=(a−b)(m−n)2∵b<a∴a−b>0∴当m−n=0，即m=n时，两种收购方式的总价相等，价格合理；当m≠n时，两种收购方式的总价不相等，价格不合理.探究二. 一元二次不等式的实际应用例2. 有纯农药药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后，再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%.问桶的容积最大为多少升？解:设桶的容积为x升，显然x>8.依题意，得(x−8)−4(x−8)x≤28%·x.由于x>8，因而原不等式化简为9x2－150x＋400≤0，即 (3x−10)(3x−40)≤0，解得103≤x≤403，从而8<x≤403∴桶的最大容积为403升．【解题反思】如何解不等式应用题？答：解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解所列出的不等式(组)．最后再结合问题的实际意义写出答案．变式2.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲=0.1x＋0.01x2，S乙=0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．解: 由题意，对于甲车，由S 甲=0.1x ＋0.01x 2>12，解得x <－40（舍），或x >30，这表明甲车的车速超过了30 km/h ，但根据题意，甲车的刹车距离略超过12 m ，由此估计甲车车 速不会超过40 km/h . 对于乙车，由S 乙=0.05x ＋0.005x 2>10, 解得x <－50（舍），或x >40，这表明甲车的车速超过了40 km/h ，超过规定限速.因而乙车应负主要责任．探究三. 不等式的恒成立问题 例3. 设函数f (x )=mx 2−mx −1.(1) 若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围． (2) 对于x ∈[1,3]，f (x )<−m +5恒成立，求m 的取值范围． 解: (1) 要使mx 2−mx −1<0恒成立， 若m ＝0，则－1<0，显然成立.若m ≠0，则 {m <0 ∆=m 2+4m <0，解得－4<m <0.综上所述，m 的取值范围是(4，0]. (2) 方法1f (x )<−m +5在x ∈[1,3]上恒成立，即m(x −12)2+34m −6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 令g (x )=m(x −12)2+34m −6，x ∈[1,3]． 则 当m ＝0 时，得－6<0，显然恒成立；当m >0 时，g (x )在[1,3]上是增函数， g(x)max ＝g(3)＝7m －6，由不等式恒成立，得 7m －6<0，解得m <67 .当m <0时，g(x)是减函数，g(x)max ＝g(1)＝m －6，由不等式恒成立，得 m －6<0，解得m <6，∴ m <0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，67) 方法2由题意，当x ∈[1,3] 时，f(x)<－m ＋5，即 m(x 2−x +1)−6<0恒成立． ∵ x 2−x +1=(x −12)2+34>0，∴ 由m(x 2−x +1)−6<0，得 m <6x 2−x+1又 函数y =6x 2−x+1=6(x−12)2+34在[1,3]上的最小值为67，∴ m 的取值范围是(－∞，67)．【解题反思】如何解“不等式恒成立求参数范围”的问题？答：通常处理方法有两种：① 考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；② 若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．变式3. 当x ∈(1,2) 时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．则m 的取值范围是________． 解: 构造函数f (x )=x 2＋mx ＋4，x ∈(1,2)，则 f (x ) 在[1,2]上的最大值为f (1) 或 f(2)．由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立． 则有{f (1)≤0f (2)≤0 ，即 {1+2m +4≤04+2m +4≤0 ，解得 m ≤－5 ∴ m 的取值范围是(－∞，－5]。

3.4不等式的实际应用学案【预习达标】1•实际问题中，有许多不等式模型，必须在首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设__________ ，将量与量间的关系变成___________ 或不等式组.2•实际问题中的每一个量—- ___________ ,必须充分注意定义域的变化.3.由例1可以知道：一个正的真分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变 _____ 。

若一个假分数呢？试证明之。

【典例解析】例1某工厂有一面14m的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126n i的厂房。

工程条件是：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为a元；③用拆去1m旧墙4a所得的材料建1m新墙的费用为元。

现在有两种建设方案：(I)利用旧墙的一段Xm(x<14)2为矩形厂房的一个边长；(H)利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x> 14)。

问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？(I) (n)两个方案哪个更好？例2.有纯农药一桶，倒出8升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的2 8% •问桶的容积最大为多少？分析：若桶的容积为x,倒前纯农药为x升”第一次x — 8 :倒出纯农药8升，纯农药还剩(x-8 )升，桶内溶液浓度x第二次x — 8 :倒出溶液4升，纯农药还剩［(x-8 )—( ) 4Lx中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的2 8%解答：学生完成。

例3.某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万1元，以后每年投入将比上一年减少-，本年度当地旅游业收入估计万400万元，预计今后51的旅游业收入每年会比上年增加一.(1)设n年内(本年度万第一年)总投入万a n万元，4旅游业总收入万b n万元，写出a n、b n的表达式。

(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【双基达标】- •选择题：1•某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{a n} , n=1, 2, 3, 4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率万P i,第三年比第二年增长的百分率万P2,第四年比第三年增长2 2 112的百分率为P3，且P i+ P2+ P3= 1。

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3。

4 不等式的实际应用学习目标 1.掌握建立一元二次不等式模型解决实际问题。

2.掌握建立均值不等式模型解决实际问题．知识点一不等式模型思考一般情况下,建筑民用住宅时，民用住宅商户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和占地面积，如何研究住宅的采光条件是变好了还是变差了?梳理建立不等式模型解决实际问题的过程：（1）理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解);(2）建立相应的等量或不等量关系,把实际问题抽象为数学问题;(3)解决数学问题;（4)回归实际问题,写出准确答案．知识点二常见的不等式模型1.一元二次不等式模型根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数,需要求变量的范围或者最值,解决办法是解一元二次不等式或配方法求最值,注意实际含义对变量取值范围的影响.2.均值不等式模型根据题意抽象出的模型是(1)y＝x＋错误!(a>0),（2）a+ｂ，aｂ中有一个是定值，求另一个的最值,解决办法是应用均值不等式,注意均值不等式成立的条件ａ>0,b＞０,以及等号成立的条件是否具备.类型一一元二次不等式的实际应用命题角度1 范围问题例1 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控,实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税，每销售10０元要征税R元(叫作税率R％),则每年的产销量将减少１0Ｒ万瓶,要使每年在此项经营中所收取附加税金额不少于1１２万元,则R应怎样确定?反思与感悟解有关不等式应用题的步骤(1)选用合适的字母表示题中的未知数.(2)由题中给出的不等量关系,列出关于未知数的不等式（组).(3）解所列出的不等式（组).(４)结合问题的实际意义写出答案.跟踪训练1 某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南3０°的方向，与Ａ市相距400 km.该热带风暴中心B以40 ｋm/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问:从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间?命题角度2 最值问题例2 甲、乙两公司同时开发同一种新产品,经测算,对于函数f（x),g(x）,当甲公司投入x万元作宣传时,若乙公司投入的宣传费小于f(ｘ)万元,则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则，没有失败的风险;当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g(x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则，没有失败的风险.（1)若ｆ(0)=10，ｇ（0)＝20，试解释它们的实际意义;（2）设ｆ(x)=x４＋10,g（x)＝ｘ+２0,甲、乙两公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？反思与感悟与最值相关的二次函数问题的解题方法（1）此类问题一般涉及最大值、最小值的确定,实质是求一元二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的一元二次函数,再通过配方求最值.(2）需要注意一元二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系，若对称轴在取值范围内,则最值在对称轴处取,若不在取值范围内，则根据函数的单调性确定在哪一个端点处取最值．(3)对于列出的函数是分段函数的,则在每一段上求最值，再比较每个最值的大小.跟踪训练２已知不等式sｉn2x-2ａsin ｘ＋ａ２－2a+2〉0对一切ｘ∈Ｒ恒成立，求实数ａ的取值范围.类型二均值不等式的实际应用例3 某单位决定投资３２00元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价４5元,顶部每平方米造价20元．（1）仓库底面积S（ｍ２）的最大允许值是多少？(２)为使Ｓ达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长？反思与感悟（１)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系,通过函数的方法来求．均值不等式也是求最值的重要方法,尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查.(2）建立函数时一定要注意函数的定义域,定义域是函数的三要素之一,不能忽视．在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”,若取等号时的自变量的值取不到,此时应考虑用函数的单调性.跟踪训练3 把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形,则两个正方形面积之和的最小值为( )A.4 B．8 C.16 D．３21．某工厂第一年产量为Ａ,第二年增长率为ａ,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为ｘ，则( )A．x＝错误! B.x≤错误! C.x〉错误! D．ｘ≥错误!2.某校要建一个面积为392 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2 m和４ｍ的小路(如图所示），则占地面积的最小值为__＿_____m2。

3.4不等式的实质应用讲堂研究一、解应用题的流程分析：数学识题就是数学语言的理解问题，数学语言拥有简短、正确的特色，但同时也拥有丰富的内涵，而数学应用题多使用自然语言进行表达，所以，对文字的理解就显得特别重要，要正确理解应用题的含义主要能够从以下几个步骤下手：(1)略读识粗心．应用题其实是一篇说明文，一般文字比许多，信息量比较大．这就需要迅速阅读一遍，理解题目的粗心：题目表达的是什么事，是什么问题(比方不等式问题，是求最值仍是要解不等式得出结论等 ) ．条件是什么，求解的是什么，波及哪些基本观点，能够一边阅读一边写下主要内容，或许列表显示主要条件和要求的结论．(2)细读抓重点．题目中重点词语和重要语句常常是重要的信息所在，将其辨析出来是实现综合认知的出发点．所以，在略读此后还要对题目进行逐字逐句地细读，弄清详细含义及各量之间的关系．(3)精读巧变换．领悟题意的重点是“内部转变”，即把一个抽象的内容转变为一个具体的内容，把符号转变为文字，把文字表达转变为符号或图表，总之，大脑要有灵巧的转变思想．二、常有的不等式实质应用种类分析：常有的不等式实质应用问题有以下几种：(1)作差法解决实质问题作差法的依照是a－ b＞0? a＞ b，其基本步骤是：①理解题意，正确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来．②作差，分析差的符号．③将作差后的结论转变为实质问题的结论．(2)应用均值不等式解决实质问题①均值不等式： a， b＞0，a＋b2≥ ab(当且仅当 a＝b 时，等号成立)．当＝ ( 定值 )，那么当a ＝b时，a＋b有最小值 2；ab P P当a ＋＝ (定值)，那么当a＝b时，ab有最大值12．b S4S②注意利用均值不等式一定有前提条件：“一正、二定、三相等”．为了创建利用均值不等式的条件，常用技巧有配凑因子、拆项或平方．(3)应用一元二次不等式解决实质问题用一元二次不等式解决实质问题的操作步骤大概为：①理解题意，搞清量与量之间的关系；②成立相应的不等关系，把实质问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；③解所列的一元二次不等式获得实质问题的解．名师点拨： 在成立不等关系时， 必定要弄清楚各样方法的合用范围及未知量的取值范围， 不行盲目使用．题型一一元二次不等式的实质应用【例 1】 某公司生产一种产品x ( 百件 ) 的成本为 (3 x － 3) 万元， 销售总收入为 (2 x 2－ 5) 万元，假如要保证该公司不赔本，那么起码生产该产品为 ______( 百件 ) ．分析： 要不赔本只要收入不小于成本，即 2x 2－ 5－ (3 x －3) ≥0，即 2x 2－ 3x －2≥0，解得 x ≤－1或 x ≥2，而产品件数不可以是负数，所以 x 的最小值为 2．2答案： 2题型二利用均值不等式解应用题【例 2】 某种汽车， 购车花费是 10 万元，每年使用的保险费、 养路费、 汽油费约为 0．9万元， 年维修费第一年是 0.2 万元，此后逐年递加 0.2 万元．问这类汽车使用多少年时，它的年均匀花费最少？分析： 每年的保险费、养路费等是一个定数，重点是每年的维修费逐年递加，组成一个等差数列，只要求出 x 年的总花费 ( 包含购车资 ) 除以 x 年，即为均匀花费 y ．列出函数关系式，再求解．解： 设汽车使用的年数为．x因为“年维修费第一年是 0.2 万元，此后逐年递加 0.2 万元”， 可知汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项， 0.2 万元为公差的等差数列．所以，汽车使用 x 年总的维修花费为0.2 ＋0.2 x2x 万元．设汽车的年均匀花费为y 万元，则有0.2 ＋ 0.2 xy ＝ 10＋ 0.9 x ＋2x＝10＋ x ＋ 0.1 x 2＝ 1＋ 10＋ x≥1＋ 2 10 · x＝ 3．x x x10x 1010 x当且仅当 x ＝ 10，即 x ＝ 10 时，等号成立，即 y 取最小值．答：汽车使用 10 年时年均匀花费最少．反省： 应用两个正数的均值不等式解决实质问题的方法步骤是：(1) 先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2) 成立相应的函数关系式，把实质问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3) 在定义域内， 求出函数的最大值或最小值；(4) 写出正确答案．题型三易错辨析【例 3】甲、乙两地水道相距s km，一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地，水流速度为常量p km/h，船在静水中的最大速度为q km/h( q>p)．已知船每小时的燃料花费( 元) 与船在静水中的速度v(km/h)的平方成正比，比率系数为k．(1)把全程燃料花费 y(元)表示为船在静水中的速度 v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程燃料花费最少，船的实质行进速度应是多少？s2sks· v2错解： (1) 依题意，船由甲地到乙地所用的时间为v－p h ，则y＝k·v·v－p＝v－p．ks· v2故所求函数为y＝v－p，其定义域为v∈(p， q]．(2)依题意， k， s， v， p， q 均为正数，且 v－ p>0，ks· v2v2－ p2＋ p2－＋p2＋ 2故有v－p＝ks·v－ p＝ ks v p v－ p p ≥ ks(2 p＋2p)＝4ksp，p2当且仅当 v－ p＝v－p，即 v＝2p 时等号成立．所以当船的实质行进速度为p km/h时，全程燃料花费最少．错因分析：错解中船在静水中的速度v＝2p km/h应不超出q km/h，事实上2p与q的大小关系其实不明确，所以需分2p≤q和 2p>q两种状况进行议论．正解： (1) 同错解 (1) ．(2) 解题过程同错解 (2) ．若 2p≤q，则当v＝ 2p时，y取最小值，这时船的实质行进速度为p km/h．ks·v2ks· q2( q－v)( pq＋pv－qv)若 2p>q，当v∈(p，q] 时，－－q －＝ks·(v－)(－)．v p p p q p2ks · vks · q2≥q－ p．当且仅当＝q 时等号成立，即当v＝q时，y获得最小值．此时船的实质行进速度v 为 ( q－p) km/h ．。

3.4 不等式的实际应用学习目标：1．通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用，掌握解决这类问题的一般步骤，2．让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。

学习过程：例题探究：一、构建一元二次不等式模型解决实际问题方法链接：二次函数、一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，构建一元二次不等式模型时应注意自变量的实际含义．例1：一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x (辆)与创造的价值y (元)之间有如下的关系：y ＝－2x 2＋220x .若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？二、利用均值不等式解决实际问题 方法链接：均值不等式：ab ≤a ＋b 2(a ，b 是正实数)在求最值问题中有着广泛的应用．应用时一定要注意“一正、二定、三相等”的要领．例2：如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10 000 m 2，鱼塘前面要留4 m 宽的运料通道，其余各边为2 m 宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少时占地面积最少？三、利用函数单调性求最值问题方法链接：对于形如y ＝x ＋a 2x 的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑用函数的单调性进行求解．例3：某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a 元；②修1米旧墙的费用为a 4元；③拆去1米旧墙，用所得材料建1米新墙的费用为a 2元．经讨论有两种方案： (1)利用旧墙的一段x 米(x <14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14；问如何利用旧墙，即x 为多少米时，建造费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？四、函数、数列、不等式在实际问题中的综合应用方法链接：不等式的知识，尤其是解不等式、均值不等式求最值常常融于函数、数列应用题中加以考查．一般是先建立函数模型或数列模型，再利用不等式的知识求某些量的范围或最值．例4：2009年推出一种新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元．(1)设该辆轿车使用n 年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f (n )，求f (n )的表达式；(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?五、均值不等式在物理学科中的应用方法链接：均值不等式在物理学科中的电学、力学部分中经常用到，应用时也要注意验证等号是否取到．例5：如图所示，电路中电源的电动势为ε，内阻为r ，R 1为固定电阻，求可变电阻R 2调至何值时，它所消耗的电功率最大，其最大电功率是多少？课堂检测：1.甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过每小时c km，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元．(1)将全程运输成本y(元)表示为速度v的函数，并指出该函数的定义域；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？2.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?3. 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．参考答案例题探究：例1：解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，得－2x 2＋220x >6 000.移项整理，得x 2－110x ＋3 000<0，解得50<x <60.因为x 只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益．例2：解：设每个鱼塘的宽为x m ，则x >0，且AB ＝3x ＋8，AD ＝10 000x＋6， 总面积y ＝AB ·AD ＝(3x ＋8)⎝⎛⎭⎫10 000x ＋6 ＝30 048＋80 000x＋18x ≥30 048＋280 000x ·18x ＝32 448， 当且仅当18x ＝80 000x ，即x ＝2003时，等号成立， 此时10 000x＝150. 答：鱼塘的长为150 m ，宽为2003m 时，占地面积最少． 例3：解：设利用旧墙的一面矩形边长为x 米， 则矩形的另一面边长为126x米． (1)利用旧墙的一段x 米(x <14)为矩形一面边长，则修旧墙费用为x ·a 4元． 将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x )·a 2元， 其余建新墙的费用为⎝⎛⎭⎫2x ＋2×126x －14a 元． 故总费用为y ＝x ·a 4＋14－x 2·a ＋⎝⎛⎭⎫2x ＋252x －14a ＝a ⎝⎛⎭⎫74x ＋252x －7＝7a ⎝⎛⎭⎫x 4＋36x －1 (0<x <14) ≥7a ·⎝⎛⎭⎫2x 4·36x －1＝35a ，当且仅当x 4＝36x，即x ＝12时，y min ＝35a 元． (2)若利用旧墙的一面矩形边长x ≥14，则修旧墙的费用为a 4·14＝72a 元． 建新墙的费用为⎝⎛⎭⎫2x ＋252x －14a ， 故总费用为y ＝72a ＋⎝⎛⎭⎫2x ＋252x －14a ＝72a ＋2a ⎝⎛⎭⎫x ＋126x －7 (x ≥14)． 设14≤x 1<x 2，则⎝⎛⎭⎫x 1＋126x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋126x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－126x 1x 2. ∵14≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1·x 2>196.从而1－126x 1x 2>0，所以函数y 在[14，＋∞)上为增函数． 故当x ＝14时，y min ＝72a ＋2a ⎝⎛⎭⎫14＋12614－7 ＝35.5a >35a .综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a 元．例4：解：(1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n 年的维修总费用为n [0＋0.2(n －1)]2＝0.1n 2－0.1n (万元) 所以f (n )＝14.4＋0.7n ＋(0.1n 2－0.1n )＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4(万元)(2)该辆轿车使用n 年的年平均费用为f (n )n ＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4n ＝0.1n ＋0.6＋14.4n≥20.1n ·14.4n＋0.6＝3(万元)． 当且仅当0.1n ＝14.4n时取等号，此时n ＝12. 答：这种汽车使用12年报废最合算．例5： 解：由电学公式，电功率P ＝UI ，有P 2＝U 2I 2＝U 2(ε－U 2)r ＋R 1. ∵U 2(ε－U 2)≤⎣⎡⎦⎤U 2＋(ε－U 2)22＝ε24(定值)，∴仅当U 2＝ε－U 2，即2U 2＝ε时，P 2达到最大值，最大值为ε24(r ＋R 1).在ε＝2U 2的两端除以I (＝I 1＝I 2)， 得2R 2＝r ＋R 2＋R 1.∴R 2＝r ＋R 1.∴可变电阻R 2调至r ＋R 1时，所消耗的电功率最大，最大电功率是ε24(r ＋R 1). 课堂检测：1.解：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s v，全程运输成本为 y ＝a ·s v ＋bv 2·s v ＝s ⎝⎛⎭⎫a v＋bv ， 故所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋bv ，v ∈(0，c ]． (2)∵s ，a ，b ，v 都是正数，∴⎝⎛⎭⎫a v ＋bv s ≥2s ab (当且仅当a v＝bv ，即v ＝a b 时取“＝”) ∴①若a b ≤c ，则v ＝a b 时全程运输成本最少． ②若 a b >c ，函数y ＝a v ＋bv 在⎝⎛⎦⎤0， a b 上是减函数， 证明如下：设0<v 1<v 2≤a b ，y 1－y 2＝a v 1＋bv 1－a v 2－bv 2＝av 2－av 1v 1v 2＋b (v 1－v 2) ＝(v 1－v 2)⎝⎛⎭⎫b －a v 1v 2 ＝(v 1－v 2)bv 1v 2－a v 1v 2＝b (v 1－v 2)⎝⎛⎭⎫v 1v 2－a b v 1v 2∵v 1<v 2，∴v 1－v 2<0.又∵v 1< a b ，v 2< a b ∴v 1v 2<a b ，∴v 1v 2－a b<0，∴y 1－y 2>0，即y 1>y 2， ∴函数y ＝a v ＋bv 在⎝⎛⎦⎤0， a b 上是减函数． 又∵c < a b，∴函数在(0，c ]上也是减函数． ∴v ＝c 时，全程运输成本最小．综上可知：当a b ≤c 时，v ＝a b 时全程运输成本最少；当a b>c 时，v ＝c 时全程运输成本最少．2.解：方法一 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝k ab，其中k >0为比例系数，依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，得b ＝30－a 2＋a(0<a <30)．① 于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a＝k －a ＋32－64a ＋2＝k 34－⎝⎛⎭⎫a ＋2＋64a ＋2≥k 34－2(a ＋2)·64a ＋2＝k 18. 当且仅当a ＋2＝64a ＋2时取等号，y 取得最小值. 这时a ＝6或a ＝－10(舍去)，将a ＝6代入①式得b ＝3，故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．方法二 依题意，即所求的a 、b 值使ab 最大．由题设知4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，即a ＋2b ＋ab ＝30 (a >0，b >0)．∵a ＋2b ≥22ab ，∴22·ab ＋ab ≤30.当且仅当a ＝2b 时，上式取等号．由a >0，b >0，解得0<ab ≤18，即当a ＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18.∴2b 2＝18.解得b ＝3，a ＝6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．3. 解：(1)设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x， 所以y ＝225x ＋3602x－360(x >2)． (2)∵x >0，∴225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800. ∴y ＝225x ＋3602x－360≥10 440. 当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m ，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．。