2.1.1 数列-王后雄学案

高一数学《等差数列（第1课时）》教课方案本节课是《一般高中课程标准实验教科书·数学5》（北师大版）第一章数列第二节等差数列第一课时．数列是高中数学重要内容之一，它不单有着宽泛的实质应用，并且起着承上启下的作用．等差数列是在学生学习了数列的相关观点和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为此后学习等比数列供给了“联想”、“类比”的思想方法．【教课目的】1．知识与技术1）理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是不是等差数列：2）账务等差数列的通项公式及其推导过程：3）会应用等差数列通项公式解决简单问题。

在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培育学生的察看、剖析、归纳能力和严实的逻辑思想的能力，体验从特别到一般，一般到特别的认知规律，提升熟习猜想和归纳的能力，浸透函数与方程的思想。

3.感情、态度与价值观经过教师指导放学生的自主学习、互相交流和研究活动，培育学生主动研究、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感觉到成功的愉悦。

在解决问题的过程中，使学生养成仔细察看、仔细剖析、擅长总结的优秀习惯。

【教课要点】①等差数列的观点；②等差数列的通项公式【教课难点】①理解等差数列“等差”的特色及通项公式的含义；②等差数列的通项公式的推导过程．【学情剖析】我所教课的学生是我校高一（7）班的学生（平行班学生），经过一年的高中数学学习，大多数学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思想能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，因此我在讲课时着重从详细的生活实例出发，着重指引、启迪、研究和商讨以切合这种学生的心剪发展特色，进而促使思想能力的进一步发展．【设计思路】1．教法①启迪指引法：这种方法有益于学生对知识进行主动建构；有益于突出要点，打破难点；有益于调换学生的主动性和踊跃性，发挥其创建性．②分组议论法：有益于学生进行交流，实时发现问题，解决问题，调换学生的踊跃性．③讲练联合法：能够实时稳固所学内容，抓住要点，打破难点．2．学法指引学生第一从三个现实问题（数数问题、水库水位问题、积蓄问题）归纳出数组特色并抽象出等差数列的观点；接着就等差数列观点的特色，推导出等差数列的通项公式；能够对各样能力的同学引导认识多元的推导思想方法．【教课过程】一：创建情境，引入新课1．从0开始，将5的倍数按从小到大的次序摆列，获得的数列是什么？2．水库管理人员为了保证优良鱼类有优秀的生活环境，用按期放水清库的方法清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18m，自然放水每日水位降低2．5m，最低降至5m．那么从开始放水算起，到能够进行清理工作的那一天，水库每日的水位（单位：m）构成一个什么数列？3．我国行蓄制度定行支付存款利息的方式利，即不把利息加入本息算下一期的利息．依据利算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）．按活期存入10000元，年利率是0．72%，那么依据利，5年内各年终的本利和（位：元）成一个什么数列？教：以上三其中的数涵着三列数．学生：1：0，5，10，15，20，25，⋯．2：18，15．5，13，10．5，8，5．5．3:10072，10144，10216，10288，10360.（置意：从例引入,是出了等差数列的背景,目的是学生感觉到等差数列是生活中大批存在的数学模型．通剖析,由特别到一般，激学生学研究知的自主性，培育学生的能力．二：察，形成定0，5，10，15，20，25，⋯．18，15．5，13，10．5，8，5．5．10072，10144，10216，10288，10360.思虑1上述数列有什么共同特色？思虑2依据上数列的共同特色，你能出等差数列的一般定？思虑3你能将上述的文字言成数学符号言？教：引学生思虑三列数拥有的共同特色，而后学生抓住数列的特色，得出等差数列观点．学生：分，可能会有不一样的答案：前数和后数的差切合必定律；些数都是依据必定序排列的⋯只需合理教就要予必定．教引出：等差数列的定；此外，教引学生从数学符军号度理解等差数列的定．（意：通必定数目感性资料的察、剖析，提出感性资料的本属性；使学生领会到等差数列的律和共同特色；一开始抓住：“从第二起，每一与它的前一的差同一常数”，落等差数列观点的正确表达．）三：一反三，稳固定1.判断以下数列能否等差数列？假如，指出公差d.(1)1,1,1,1,1;(2)1,0,1,0,1;(3)2,1,0,-1,-2;(4)4,7,10,13,16.教出示目,学生思虑回答．教正并求公差注意的．注意：公差d是每一（第2起）与它的前一的差，防备把被减数与减数弄倒，并且公差可以是正数，数，也能够0．（意：化学生等差数列“等差”特色的理解和用）．2思虑4:数列{an}的通公式an=3n+1，数列是等差数列？什么？（意：化等差数列的明定法）四：利用定，出通1.已知等差数列：8，5，2，⋯，求第200？2.已知一个等差数列｛an｝的首是a1，公差是d，怎样求出它的随意an呢？教出示，松手学生研究，而后列式拥有代表性的上去板演或投影展现．依据学生在堂上的详细状况行详细价、引，推方法，领会思想以及累加求通的方法；学生初步理数列的常用方法．（意：引学生察、、猜想，培育学生合理的推理能力．学生在分合作研究程中，可能会找到多种不一样的解决法，教要逐个点，并及必定、学生擅长、勇于新的品，激学生的造意．鼓舞学生自主解答，培育学生运算能力）五：用通，解决1判断100是不是等差数列 2，9，16，⋯的？假如是，是第几？2在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.3求等差数列3,7,11，⋯的第4和第10教：出，学生自己操，教巡学生答状况．学生：教叫学生代表此型的解思路，教充：已知等差数列的首和公差就能够求出其通公式（意：主假如熟习公式,使学生从中领会公式与方程之的系．初步“基本量法”求解等差数列．）六：反：教材131七：：1.一个定：等差数列的定及定表达式2.一个公式：等差数列的通公式3.二个用：定和通公式的用教：学生思虑整理，找几个代表言，最后教出充（设计企图：指引学生去联想本节课所波及到的各个方面，交流它们之间的联系，使学生能在新的高度上去从头认识和掌握基本观点，并灵巧运用基本观点．）【设计反省】本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，加强学生学习数列的兴趣．在研究的过程中，学生经过剖析、察看，归纳出等差数列定义，而后由定义导出通项公式，加强了由详细到抽象，由特别到一般的思想过程，有助于提升学生剖析问题和解决问题的能力．本节课教课采纳启迪方法，以教师提出问题、学生商讨解决问题为门路，以互相增补睁开教课，总结科学合理的知识系统，形成师生之间的良性互动，提升讲堂教课效率．。

张喜林制2.2.1 等差数列教材知识检索考点知识清单1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于____ ，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数d 叫做等差数列的 .2．等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列；等差数列的公差 时，数列为递减数列； 等差数列的公差 时，数列为常数列．等差数列不会是 ．3．等差数列的通项公式=n a4．要证明数列}{n a 为等差数列，只要证明：当2≥n 时，要点核心解读1．等差数列的定义在等差数列的定义中，要强调“从第二项起”和“同一常数”，这体现了等差数列的基本特征，还要注意公差是“每一项与它前一项的差”，防止将被减数和减数颠倒，如果用数学符号来描述，可叙述为：若d n d a a n n ,2(]≥=-- 为常数），则}{n a 是等差数列．还可以写成：若d N n d a a u n ,1++∈<=- 为常数），则}{n a 是等差数列．[注意] 以上定义中的常数是相对于变量n （项数）而言的．2．等差中项如果a 、b 、c 成等差数列，则称b 是a 与c 的等差中项，由以上定义知：b 是a 与c 的等差中项甘a 、b 、c 成等差数列22c a b b c a +=⇔=+⇔ 3．等差数列的判定(1)用定义判定：即判定d a a n n =-+1（常数）)(+∈N n 或122++=+n n n a a a （即)112n n n n a a a a -=-+++ 是否成立．(2)用通项公式判定：即用}{n a 为等差数列q pn a n +=⇔q p 、(为常数）判定．4．等差数列的通项公式及其变式通项公式：d n a a n )1(1-+=（其中1a 为首项，d 为公差）．变式1：).()(⋅=/-+=m n d m n a a m n变式2：).2(11+∈≥--=N n n n a a d n 且 变式3：).(m n m n a a d m n =/--= [注意] (1)等差数列的通项公式是关于变量n （项数）的一次函数或常数函数（d=0时），因此在解决有关问题时，可用函数方法处理．(2)等差数列的通项公式实质是d a n a n ,,,1四者之间的关系式，只要知道其中三个的值，由它们便可求出另一个的值，特别地，要求等差数列的通项公式，只需先求出首项1a 和公差d5．等差数列的性质(1)等差数列}{n a 中，⋅∈-=-+),()(N m n d m n a a m n(2)若a ，b ，c 成等差数列，则k mc k mb k ma +++,.,也成等差数列（m ，k 为常数）．(3)等差数列}{n a 中，若,q p n m +=+则q p m n a a a a +=+).,,,(+∈N q p m n[特别注意] “数列}{n a 中，若,q p m +=则=m a ,,q P a a +是不成立的．(4)等差数列}{n a 中，若公差d>0，则数列}{n a 为递增数列；等差数列}{n a 中，若公差d<0，则数列}{n a 为递减数列．(5)等差数列}{n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列，证明：假设从第p 项起，每隔q 项抽出等差数列的项，则组成的新数列是,,,,32q p q q p p a a a a +++ρ ,,)1(q n p a -+ 则有--+q n p a )1(=-+q n p a )2(---+]1)1({q n r p qd d q n p =--+]}1)2([为常数所以等差数列}{n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，显然，剩下的项按原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列．(6)若数列}{n b 也是公差为d 的等差数列，则数列+n a 1{λ212}(λλλh n b 是常数）是公差为d )(21λλ+ 的等差数列.证明：因为,)1(,)1(11d n b b d n a a n n -+=-+=所以+n a ]λ])1([112d n a b n -+=λλ-++n b ([12λ,))(1()(]12]1211d n b a d λλλλ+-++=）所以=+--1211n n b a λλ+11[a λ+-])2(d n ])2([12d n b -+λ =)2()(1211-++n b a λλ+](λ,)2d λ所以=+-+--)()(121121n n n n b a b a λλλλ.)(21d λλ+所以数列2121,}{λλλλ<+n n b a 是常数）是公差为d )(21λλ+的等差数列．利用等差数列的性质可使有些问题的解题过程十分简捷．6．等差数列与一次函数的关系通项公式,)1(11d a dn d n a a n -+=-+=即n a 是n 的一次函数式，故表示等差数列各项的点都在一条直线上．如：首项为l ，公差为2的等差数列的通项公式为,12-=n a n 相应的图象是直线12)(-=x x f 上均匀排列开的无穷多个孤立的点，如图2 -2 -1 -1所示，由函数的图象可得等差数列的单调性：当d>0时，数列}{n a 为递增数列（图2 -2 -1-2甲）；当d<0时，数列}{n a 为递减数列（图2 -2 -1-2乙）；当d=0时，数列}{n a 为常数列（图2 -2 -1-2丙）．请注意图象，公差d 恰好为所在直线的斜率，因此有=d ,(n m n m a a n m =/--斜率公式）． 典例分类剖析考点1 等差数列的概念命题规律(1)判断所给出的数列是否为等差数列．(2)判断某一项或某些项是否为等差数列中的项．(3)证明某一数列为等差数列．[例1] (1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2) -401是不是等差数列-5，-9，-13，…中的项？如果是，是第几项？(3)若数列}{n a 的通项⎩⎨⎧≥+==),2(12),1(1n n n a n 试问数列}{n a 是等差数列吗？ [解析] 第(1)小题是求等差数列的指定项，我们可以先求出首项1a 和公差d ，然后将它们代入等差数列的通项公式，即可求出相应的项，第(2)小题是判断一个数是否为一个等差数列的项，只需令此数等于通项公式，并求解此方程，如果它有正整数解，则此数为该数列的项，否则不是．[答案] (1) 由,20,385,81=-=-==n d a 得.49)3()120(820-=-⨯-+=a(2)由,4)5(9,51-=---=-=d a得到这个数列的通项公式为).1(45---=n a n设-401=-5 -4(n -1)成立．解这个关于n 的方程，得n=100.∴ -401是这个数列的第100项．(3)数列}{n a 不是等差数列，根据等差数列定义，一个数列是等差数列的充要条件是从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，而此数列中虽然有,23423==-=- a a a a 但是,2412=/=-a a 因此此数列不满足等差数列的条件，所以它不是一个等差数列，但可以这样说：此数列从第2项起组成一个等差数列．[启示]d a ,]和n 是等差数列的三个基本量，有关等差数列的问题都可以利用这三个基本量来求解这种方法称为基本量法．[例2]在等差数列}{n a 中，已知,5,1185==a a 求⋅10a[解析] 由题目可获取以下主要信息：已知等差数列中的某两项，求另外一项，解答本题可利用通项公式进行．[答案] 设数列}{n a 的公差为d ．由题意知：⎩⎨⎧=+=+,57,11411d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2,191d a 故.212)2()1(19+-=-⨯-+=n n a n.12110210=+⨯-=∴a[规律方法] 在等差数列}{n a 中，首项1a 与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关d a 、1的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．母体迁移 1．若,2b c a =+则是否有++c b c a (),5(22)(),2b ac a +能构成等差数列．考点2 等差数列的性质及应用命题规律(1)考查对性质的灵活运用．(2)利用等差数列的性质解决一些计算繁琐的问题，达到减小计算量，优化解题过程的目的．[例3] (1)在等差数列}{n a 中，==++642741,15a a a a a a ,45求数列的通项公式；(2)设}{n a 为等差数列，若,45076543=++++a a a a a 求,82a a +(3)若数列}{n a 为等差数列，),(,q p p a q a q p =/==求⋅+q p a[答案] ,2)1(62471a a a a a +==+.1354741==++∴a a a a10,5624=+∴=∴a a a 且.962=a a62,a a ∴是方程09102=+-x x 的两根，⎩⎨⎧==∴9,162a a 或⎩⎨⎧==1,962a a 若12=a 且,96=a 则.32,2-=∴=n a d n同理可得.213n a n -=故32-=n a n 或.213n a n -=(2)解法一：,28256473a a a a a a a +==+=+.0455576543==++++∴a a a a a a.1802,905825==+∴=∴a a a a解法二：因为}{n a 为等差数列，设首项为,1a 公差为d ，+=++++++=+++∴11117435632a d a d a d a a a a ,20d 即d a d a 4,45020511+∴=+ ，90=.180********=+=+++=+∴d a d a d a a a(3)解法一：可用通项公式求解，,)1(,)1(11d q a a d p a a q p -+=-+=①⎩⎨⎧=-+=-+∴.)1(,)1(11p d q a q d p a 两式相减，得⋅-=-p q d q p )(.1,-=∴=/d q p 代入①，有.1,)1)(1(11-+=∴=--+q p a q p a故.0)1()1(1)1(1=-⋅-++-+=-++=+q p q p d q p a a q p解法二：利用关系式d m n a a m n )(-+=求解，,)(,)(d q p p q d q p a a q p -+=∴-+=即.1,.)(-=∴=/-=-d q p d q p p q故.0)1()][(=-+=-++=+q q d p q p a a p q ρ解法三：利用一次函数图象求解．不妨设p<q ，由于等差数列中，n a 关于n 的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点 ,(),,q a p p （),(),q p q a q p a ++共线．设,m a q p =+由已知得三点),(),,(),,(m q p p q q p +共线（如图2 -2 -1-3）．由 △ABE ∽ △BCF 得,CFBF BE AE = pm p q q p m p p q p q -=∴-+-=--∴1)( 得,0=m 即.0=+q p a[启示] (1)等差数列性质q p n m +=+“且,,,p n m ”q p n m a a a a N q +=+⇒∈+是否可推广为“若,,+∈N n m 则+m a ”？n m n a a +=不行．例如，当n a n 213-=时，则,854=+a a 而.59-=a 显然 ,n m n m a a a +=/+但该性质可推广为三项情形，即s q p t n m ++=++且+⇒∈+m a N s q p t n m ,,,,,”s q p t n a a a a a ++=+以及四项乃至一般情形，只要两边项数一样，且下标和相等即可，请你完成它的证明．(2)上述各种解法无不体现了等差数列性质的灵活运用．母体迁移 2．等差数列}{n a 中：(1)若,,147n a m a ==则=21a(2)若,1531-=++a a a 则=++++54321a a a a a(3)若,52.,34525432==+++a a a a a a 且,24a a >则=5a(4)若,53=a 则=+412a a考点3 等差数列的通项公式命题规律(1)利用解方程组的方法求1a 和d ，从而求出通项公式．(2)利用通项公式及其变形形式解决一些简单的问题[例4] （2010年辽宁省部分重点中学联考题）在等差数列{n a }中，已知,5,1185==a a 求⋅10a[答案] 方法一：设数列}{n a 的公差为d ，由题意知：⎩⎨⎧=+=+,57,11411d a d a 解得 ⎩⎨⎧-==.2,191d a 故 .212)2()1(19+-=-⨯-+=n n a n.12110210=+⨯-=∴a 方法二：,,)(m n a a d d m n a a m n m n --=∴-+=,231155858-=-=--=∴a a d .1)2(252810=-⨯+=+=d a a[方法技巧] 在等差数列}{n a 中，首项1a 与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关d a 、1的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．母体迁移 3．已知两个等差数列 ,11,8,5:}{n a 与,,11,7,3:}{ n b 它们的项数均为100项，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？考点4 等差数列与一次函数命题规律(1)深刻理解等差数列，进一步理解数列是一特殊的函数，特例是等差数列是一次函数，其中公差d 为斜率．(2)可用函数的性质来处理等差数列问题．[例5] 已知(1，1)，(3，5)是等差数列}{n a 图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)画出这个数列的图象；(3)判断这个数列的单调性．[答案] (1)由于(1，1)，(3，5)是等差数列}{n a 图象上的两点，所以,5,131==a a 由1213=+=d a a,52=+d 解得,2=d 于是.12-=n a n(2)图象是直线12-=x y 上一些等间隔的点（图略）．(3)因为一次函数12-=x y 是增函数，所以数列}{n a 是递增数列．[启示] 本题综合考查数列的通项公式、图象和性质．母体迁移 4．已知数列}{n a 的通项公式为+=2pn a n qn （常数).,R q p ∈(1)当p ，q 满足什么条件时，数列}{n a 是等差数列？(2)求证：对于任意的实数p 和q ，数列}{1n n a a -+是等差数列．考点5 等差数列模型的实际应用命题规律(1)利用等差数列的知识从实际问题中抽象出等差数列的模型．(2)通过构造等差数列的模型去解决实际问题．[例6] 某人有七位朋友，第一位朋友每天晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一个晚上到他家去，第三位朋友每隔两个晚上去他家串门，第四位朋友每隔三个晚上去他家做客．依此类推，直至第七位朋友每隔六个晚上在他家出现．这七位朋友昨晚在主人家中碰面，他们还会同一个晚上在主人家中碰面吗？[答案] 第一位朋友每天晚上在主人家；第二位朋友以后在主人家中的天数为：2，4，6，8，…，这些数构成以2为首项，公差为2的等差数列，通项公式为：,2⋅=n a n第三位朋友以后在主人家中的天数为：3，6，9，…，这些数构成以3为首项，公差为3的等差数列，通项公式为：,3⋅=n a n第四、五、六、七位朋友晚上在主人家的天数分别构成以4，5，6，7为首项，公差为4，5，6，7的等差数列；通项公式分别为：;7,6,5,4n a n a n a n a n n n n ====他们要在同一晚上出现，这个数应为这七个数列的公共项，这一项是2，3，4，5，6，7的倍数，而2，3，4，5，6，7的最小公倍数为420，因此第420，840，1260，…天晚上他们会同时在主人家出现．母体迁移 5．为了测试某种金属热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从C 100开始第1次测量细棒长度，以后每升高C50测量一次，把依次量得的数据所成的数列}{n l 表示成图象如图2 -2 -1-4，根据图象解答下列问题：(1)第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？(2)求}{n l 的通项公式和金属长度L （单位：m ）关于温度t 单位：℃）的函数关系式（设长度是关于温度的一次函数）；(3)在C 30的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到,500C o 问铺设时两块金属板之间至少要留多宽的空隙？优化分层测讯学业水平测试1.2006是等差数列4，6，8，…的( )．A ．第1002项B ．第1001项C ．第1003项D ．第1006项 2．在数列}{n a 中，),(122,211++∈+==N n a a a n n 则101a 的值为( )．49.A 50.B 51.C 52.D3．在等差数列中，),(,n m m a n a n m =/==则n m a +为( )．n m A -. 0.B 2.m C 2.n D4．设数列}{},{n n b a 都是等差数列，且=+==2211,75,25b a b a ,100则3737b a +等于( )． 0.A 37.B 100.C 37.-D5．在等差数列}{n a 中，若,45076543=++++a a a a a 则82a a +的值等于 6．若,b a =/两个等差数列b x x a ,,,21与b y y y a ,,,,321的公差分别为,,21d d 则=21d d 7．已知数列}{n a 中，,66,2171==a a 通项n a 是项数n 的一次函数，则通项公式=n a 8．体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有15个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位．你能用n a 表示第n 排的座位数吗？第10排能坐多少个人？高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1．（2011年重庆高考题）在等差数列}{n a 中，,4,232==a a 则=10a ( )．12.A 14-B 16.C 18.D)23lg(2-⋅与)23lg(+的等差中项为( )．0.A 2323lg+-⋅B )625lg(-⋅C 1.D3．等差数列}{n a 中，),(,l m m a l a i m =/==则通项公式为( )．n l m a A n ++=. n m a B n -+=1. l m n a C n --=. 2.nl m a D n ++=4．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-||n m ( )． 1.A 43.B 21.C 83.D5．-个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是( )．2.-A3.-B4.-C 6.-D 6．（2010年湖北黄冈调考题）已知数列}{n a 的前n 项和为=n s ,2n 则++++322111a a a a200620051a a ++的值是( )．214010.-A 214011.-B 214012.-C 214013.-D 7．（高考题改编）下表给出一个等差数阵，其中每行每列都是等差数列，⋅ij a 表示第i 行第J 列的数，则66a 的值是( )．50.A 43.B 24.C 58.D8．（2010年北京海淀区练习题）已知数列}{},{n n b a 都是公差为l 的等差数列，其首项分别为,11b a 、且∈=+1111,,5b a b a ⋅+N 设),(+∈=N n a c n b n 则数列}{n c 的前10项和等于( )．55.A 70.B 58.C 010.D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分．共20分）9．（2009年上海高考题）已知函数．,tan sin )(x x x f +=项数为27的等差数列}{n a 满足),2,2(ππ-∈n a 且公差.0=/d 若+)(1a f ,0)()(272=++a f a f 则当=k 时，.0)(=k a f10.（2010年南京市调考题）将等差数列2，7，12，17，22，…中的数按顺序抄写在本子上，如下表所示，若每行写12个数，每页共15行，则数2007应抄在第 页第 行第 个位置上．11.（2010年苏州市模拟题）在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数为 12.若)23lg(),23lg(,lg +-x x x 成等差数列，则=22log x三、解答题（本题包括3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）已知数列}{n a 为等差数列，,1c a =公差为l ，若=n b ),(122++∈-N n a a n n 试判断数列}{n b 是否为等差数列？并证明你的结论．14.（13分）（2010年东北八校联考题）已知数列}{n a 为等差数列，关于x 的方程2122++++i i i a x a x a),,,2,1(0n i ==且d d a i (0=/为公差）． (1)这些方程是否有公共根？若有，求出它；若没有，请说明理由； (2)在方程有一个公共根的条件下，设另一个根为,i x 则⋅+++11,,11,1121n x x x 是否成等差数列？证明你的结论．15.（14分）（2010年北京模拟题）已知数列}{n a 和}{n b 满足关系式：⋅∈+++=+)(21N n na a ab nn (1)若,2n b n =求数列}{n a 的通项公式；(2)若}{n b 是等差数列，求证：}{n a 也是等差数列．。

2.1.1 数列课堂探究一、对数列通项公式的理解剖析：(1)数列的通项公式实际上是一个以自然数或它的有限子集{1，2，…，n }为定义域的函数表达式．(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项．(3)与所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如2的不足近似值，精确到1，0．1，0．01，0．001，0．000 1，…，所构成的数列1，1．4，1．41，1．414，1．414 2，…就没有通项公式．(4)有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，正如数列：－1，1，－1，1，－1，1，…，它可以写成a n ＝(－1)n，也可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n 为奇数，1，n 为偶数，还可以写成a n ＝(－1)n＋2(n ＝1，2，3，…)等，这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列． (5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出数列的通项公式并不唯一．二、函数思想在数列中的应用剖析：数列是一种特殊的函数，判断数列的单调性，求数列的最值、周期等都可以利用函数的思想来解决．(1)数列是一种特殊的函数，其定义域为正整数集(或它的有限子集)，值域是数列中的项的集合．(2)数列的通项公式是项a n 与项数n 的等量关系式．从函数的思想看，就是函数值a n与自变量n 的等量关系式．利用通项公式求数列中的项的问题，从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题．因此，用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单．(3)数列中求数列最大(小)项的问题也是常见题目，就是用函数的思想求函数的最值问题，可利用函数求最值的方法求数列中的最大(小)项问题，如图象法等，可使问题简单化．(4)数列中求数列的单调性问题也是常见题目．就是用函数的思想求数列的单调性问题，可利用函数单调性的定义求数列的单调性，又使问题函数化了．总之，在函数中研究的函数性质在数列中都有可能利用到，利用函数的思想解决数列的有关问题可达到事半功倍的效果．三、教材中的“思考与讨论”是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，请写出一个这样的数列的通项公式．(提示：先定义一个在(0，＋∞)上，且函数值都小于5的函数)剖析：存在这样的数列，如a n ＝－1n ，a n ＝5－2n等均满足条件．题型一 数列的概念【例1】 下列哪些表示数列？哪些不表示数列？(1){1，5，2，3，6，7}；(2)方程x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝0的解；(3)f (x )＝x 2－x ＋2的函数值f (－1)，f (0)，f (1)，f (2)； (4)当x ＝1时，x ，x ＋1，x －2，x 2，2x的值； (5)－3，－1，1，x ，5，7，y ，11．分析：由数列的定义，抓住两点：(1)是否是一列数；(2)是否按照一定的顺序排列，即可判断出是否为数列．解：(1){1，5，2，3，6，7}表示的是一个数集，而不是数列； (2)表示的是方程的解，虽然是数，却没有一定的顺序，不能叫数列； (3)f (－1)，f (0)，f (1)，f (2)是有顺序的一列数，是数列；(4)当x ＝1时，x ，x ＋1，x －2，x 2，2x 都是一些数，而且具有顺序，故是数列； (5)当x ，y 表示数时为数列；当x ，y 中有一个不代表数时，便不是数列．反思：运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤是：(1)判断这组元素是否都是数；(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列．注意：按一定顺序不表示该数列具有规律性，即数列中的每一项可以是有规律的，也可以是无规律的． 题型二 根据通项公式求项【例2】 根据下面数列的通项公式，写出它们的前5项．(1)a n ＝n2n ＋1；(2)a n ＝3n ＋2n．分析：已知数列的通项公式，依次用1，2，3，…代替公式中的n ，便可以求出数列的各项．解：(1)在通项公式a n ＝n2n ＋1中，依次取n ＝1，2，3，4，5，得到数列的前5项为a 1＝12×1＋1＝13，a 2＝22×2＋1＝25，a 3＝32×3＋1＝37，a 4＝42×4＋1＝49，a 5＝52×5＋1＝511．(2)在通项公式a n ＝3n ＋2n中，依次取n ＝1，2，3，4，5，得到数列的前5项为a 1＝3×1＋21＝5，a 2＝3×2＋22＝10，a 3＝3×3＋23＝17，a 4＝3×4＋24＝28，a 5＝3×5＋25＝47．反思：数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，便可以求出相应的各项，实际上相当于已知函数的定义域和解析式，求函数值．题型三 由数列的前几项写通项公式 【例3】 分别写出下列数列的一个通项公式：(1)－114，329，－5316，7425，－9536，…；(2)4，－52，2，－74，…；(3)5，55，555，5 555，…； (4)1，1，57，715，931，…；(5)3，3，15，21，33，…．分析：从前几项中观察出项与序号之间的规律，用一个式子表达出来即可． 解：(1)因为数列的各项是负正项交替出现的，所以用(－1)n来调节，数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分，整数部分是1，3，5，7，9，为奇数，分数的分子是1，2，3，4，5，正好是序号，分母是4，9，16，25，36，正好是平方数，这样我们可以归纳出数列的通项公式为a n ＝(－1)n⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n －1)＋n(n ＋1)2．(2)将数列前4项改写成分数的形式：41，－52，63，－74，可得该数列的通项公式a n＝(－1)n ＋1n ＋3n． (3)由于9，99，999，9 999，…的通项公式是10n－1，所以将题中数列各项改写可得：5＝59×9，55＝59×99，555＝59×999，5 555＝59×9 999，可得该数列的通项公式a n ＝59(10n －1)．(4)原数列可写成：11，33，57，715，931，…，得该数列的通项公式为a n ＝2n －12n －1．(5)原数列可写成3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，…，得该数列的通项公式为a n ＝3×(2n －1)． 反思：常见数列的通项公式如下：①数列－1，1，－1，1，…的通项公式是a n ＝(－1)n； ②数列1，2，3，4，…的通项公式是a n ＝n ； ③数列1，3，5，7，…的通项公式是a n ＝2n －1； ④数列2，4，6，8，…的通项公式是a n ＝2n ；⑤数列1，2，4，8，…的通项公式是a n ＝2n －1；⑥数列1，4，9，16，…的通项公式是a n ＝n 2； ⑦数列11，12，13，14，…的通项公式是a n ＝1n ；⑧数列1，3，6，10的通项公式是a n ＝n (n ＋1)2．题型四 判断数列的增减性【例4】 已知函数f (x )＝x －1x．数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n ＞0．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的增减性．分析：先根据已知条件解方程求a n ，然后利用作差或作商法判断数列{a n }的增减性． 解：(1)∵f (x )＝x －1x，f (a n )＝－2n ，∴a n －1a n＝－2n ，即a 2n ＋2na n －1＝0， 解得a n ＝－n ±n 2＋1， ∵a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n ． (2)解法一(作差法)：∵a n +1－a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)－(n 2＋1－n ) ＝(n ＋1)2＋1－n 2＋1－1＝－1＝(n ＋1)＋n(n ＋1)2＋1＋n 2＋1－1， 又(n ＋1)2＋1＞n ＋1，n 2＋1＞n ， ∴(n ＋1)＋n(n ＋1)2＋1＋n 2＋1＜1． ∴a n +1－a n ＜0，即a n +1＜a n ． ∴数列{a n }是递减数列． 解法二(作商法)： ∵a n ＞0，∴a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)＜1． ∴a n +1＜a n ．∴数列{a n }是递减数列． 反思：数列{a n }增减性的判定方法：(1)作差比较法①若a n +1－a n ＞0恒成立，则数列{a n }是递增数列； ②若a n +1－a n ＜0恒成立，则数列{a n }是递减数列； ③若a n +1－a n ＝0恒成立，则数列{a n }是常数列． (2)作商比较法【例5】 设函数f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，数列{a n }的通项a n 满足f (2a n )＝2n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)数列{a n }中有没有最小的项？若有最小项，试求出此项和相应的项数；若没有最小项，请说明理由．分析：第(1)问可用代入法求得a n 的关系式，再通过解方程求得a n ．第(2)问可利用函数的单调性来判断．解：(1)由已知，得log 22n a－log 2a n 4＝2n ，即a n －2a n＝2n ，即a 2n －2na n －2 ＝0，解得a n ＝n ±n 2＋2．又0<x <1，∴0<2n a<1． 故a n <0(n ∈N ＋)，∴a n ＝n －n 2＋2(n ∈N ＋)．(2)有．∵a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2 ＝n ＋n 2＋2n ＋1＋(n ＋1)2＋2<1， 又a n <0，∴a n ＋1>a n (n ∈N ＋)， 即a 1<a 2<a 3<…<a n <a n ＋1<…，∴数列的最小项为第1项，a 1＝1－3．反思：本题(1)可运用方程思想，(2)可运用函数思想，数列实质上是定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n })上的函数，判断数列随n 增大而变化的规律的方法与判断函数的单调性相同． 题型六 易错辨析【例6】 已知在数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，3)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3]错解：因为a n 是关于n 的二次函数，其定义域为正整数集，故若{a n }递增，则必有k2≤1，故k ≤2．故选A ．错因分析：函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的特殊函数，故对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n +1与a n 的大小来判断：若a n +1＞a n ，则数列为递增数列；若a n +1＜a n ，则数列为递减数列．正解：a n +1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ．由于{a n }单调递增，故应有a n +1－a n ＞0，即2n ＋1－k ＞0恒成立，所以k ＜2n ＋1，故只需k ＜3即可．故选B ． 答案：B。

普通高中课程标准实验教科书人教B版数学必修5《2.1.1数列的概念与简单表示法（第一课时）》教学设计一、教学内容分析本节内容是人教B版高中数学必修五第二章第一节第1课时.学生在前面已充分学习了函数内容，对高中函数知识已经有了较为全面的认识和一定程度的理解.“数列”作为高中数学的重要内容之一，是数学运算、逻辑推理等训练的重要载体.数列知识是从数学角度观察、理解生活中数列模型和数列现象的基本知识，是前面所学函数知识的延伸和应用，.就本节课而言，这是一节章节起始课，学生通过这节内容的学习，一方面在掌握数列概念的同时加深了对函数概念的理解；另一方面也可以为其后学习其他数列知识打下基础.同时，这是一节概念课，数列概念是本节课的基础知识；函数思想是基本思想；用恰当的方法表示数列和会求简单数列的通项和项是本节课的基本技能.作为一节概念课，在教学内容的设计与安排上，本课遵循概念形成的教学方式，遵循从形象到抽象的思维规律，学生经历了“分析大量实例—探究实例的共同属性和本质属性—抽象出数学概念—对概念进行理解和应用”完整的概念形成过程.过程中从生活实例中抽象出数列概念的本质属性和构成要素，渗透了数学抽象的核心素养；观察数列的前几项探究发现数列的通项公式等内容环节设计，也使得直观想象和数学运算核心素养得到一定程度的渗透和提升，发散联想应用列表法和图像法探究数列和函数的区别与联系.同时过程中鼓励学生以自主探究、合作交流等方式展开学习，从而体现数列概念的育人价值.二、教学目标分析1.了解数列的概念（1）通过实例归纳探究，引入数列的概念，理解数列的概念；感受数列是刻画自然规律的数学模型.（2）了解数列的几种分类，能判断简单数列属于哪一类的数列.2.了解数列的简单表示法（1）重现数学史上数学家的探究经历，引入数列的通项公式.（2）能根据一些简单的已知数列的前几项，写出数列的通项公式.3.了解数列是特殊的函数（1）经历对数列的项数和项之间关系的探究过程，能认识到数列是一种特殊的函数；通过具体实例，了解数列的图象法和列表法的表示方法，体会数列和函数的区别.（2）能运用函数的思想解决数列的问题.4.经历数列概念的形成过程中，通过对现实生活案例的抽象过程，了解数学探究的基本流程，提升数学抽象核心素养，提高学生归纳推理的能力，了解数学史和数学文化，增加数学学习兴趣，体会数列是反映自然规律的数学模型.三、学生学情分析在小学、初中学生已经经历通过找规律填数，感受顺序（数）与图形数之间的一一对应关系.经过高一阶段的学习，特别是学习了“函数的概念”后，学生在观察、抽象、概念等方面有了一定的基础.但概念学习中，有些同学还是习惯于记忆，自己主动构建概念的意识不够.在形成概念的过程中，学生辨别各种刺激模式、抽象概括出观察对象的共同本质特征，并用数学预言表达等方面表现出了不同的水平，从而影响整体教学.所以，数列概念的抽象和数列与函数的关系是本节课的教学难点.四、教学策略分析概念越是基本，就越能反映事物的深刻联系和广泛应用.因此，必须对概念做精准定位.数列是一个基本概念，它是刻画离散现象的数学模型，在很多区域有重要作用.学生经历问题的提出与分析过程，创设有利于学生辨别、抽象、概括的“刺激模式”——问题情境，是实施本节课教学活动的基础.因此，本节课采用了合作探究的学习模式，通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生发现和掌握知识，落实数学基本活动经验.具体做法是借助3个生活实例情境来贯穿整节课的教学活动过程，通过观察3个实例的共同点来探究数列的本质属性；通过大量具体生活实例来理解数列的分类并判断数列的类别；通过经历数学史上数学家探究数列通项的实例，学习数学文化，a与序号n之间是存在等式关系的，抽象出数列通项公式的概念，并能归纳猜想数列的项n对简单有规律的数列由前几项写出一个通项公式，通过辩证思维认识数列通项的不唯一性和不是所有的数列都有通项.通过联想对比认识数列与函数之间是有联系的，通过列表法和图象法来探究数列与函数的区别（分析问题与解决问题），并最终运用函数思想解决求它们的项或者序号n的问题.这样保持了教学活动的整体性和连续性.处理好数列与函数的关系是本节课的一个难点.通过列表、画图、通项公式三种表示方式将数列的学习与研究放在函数的大背景下，用函数的观点来研究数列，指导数列的学习是本节课的重要思想.而渗透在这个过程中的学生主动观察与猜想，探索与求证，正是发展其思维能力的最佳时机和重要过程.五、教学过程活动1 情境引入，感受数列问题1.1生活要有仪式感，生活中我们经常看到这样的道具，一个高台上摆满了酒杯，从上往下每一层的酒杯数分别是多少？我们得到了一列数1,3,5,7,9，这一列数中7是第几个数，能否改变它们的顺序？（民俗中的数列）问题1.2有的同学喜欢吃拉面，拉面在制作过程中拉的次数分别为1,2,3,4,5,6时看到的面条根数分别为多少？我们得到了一列数2,4,8,16,32,64，…这一列数中32是第几个数，能否改变他们的顺序？（生活中的数列）问题1.3 我国奥运健儿从88年汉城奥运会到16年里约奥运会金牌数分别为多少（教师收集资料，展示给学生）？这一列数5，16，16，28，32，51，38，26中，能否改变数的顺序？（体育中的数列）问题1.4 三列数有什么共同特点？（1）1 , 3 , 5 , 7 , 9 .（2）2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64，…（3）5，16，16，28，32，51，38，26.师生活动：教师创设三个具体的生活情境，并给出问题，学生回答，教师引导学生注意一列数中每个数的顺序性，初步认识数列的特点，抽象出数列的概念.设计意图：教师创设问题情境，学生解决问题，感受数列，体会数列中数是有顺序的，形成数列的概念.注意事项：教师要引导学生注意数的顺序性.活动2 归纳总结，认识数列问题2.1什么是数列？师生活动：教师给出问题，学生探讨，学生代表作答，教师借助多媒体给出完整的叙述并板书.问题2.2第一个数列中，第一项是多少，也是什么项？第二项是多少，第三项是多少，第四项是多少，第五项是多少？第二个数列中，2是第几项？4是第几项？8是第几项？16是第几项？32是第几项？64是第几项？第三个数列中，第5项是多少？51是第几项？首项是多少？师生活动：教师给出问题，学生回答，引导学生认识数列中项的含义和项与序号的对应关系、顺序性.设计意图：学生通过具体实例认识数列中的项、首项和项与序号的对应，理解数列项的顺序性，认识项与序号之间的对应关系.问题2.3试一试：请写出一列数构成数列，并说明每一个数是数列的第几项.师生活动：教师给出探究，学生独立完成，教师指导巡查.学生完成后，教师在黑板上a符号规范书写.向全班同学展示一位同学的成果（无通项的数列），运用n设计意图：学生初步运用数列的定义进行独立探究，通过运用知识，更好理解数列的概念.教师通过展示并规范书写，激发学生学习数学的热情，并让学生更好的运用数学符号，培养好的数学书写能力.注意事项：教师要引导学生认识数列，并注意学生对数列符号的运用及规范书写.问题2.4一列数可以构成数列，还可能构成什么？数列的项与数集的元素有什么区别？师生活动：教师给出问题，学生思考探讨回答问题.教师引导分析，让学生认识到数列的项是有顺序，但是可以相等，数集中的元素满足无序性和互异性.设计意图：通过对比，对数列定义进行辨析，进一步理解数列中项的特征.注意事项：学生很容易发现项的顺序性，教师可借助奥运会金牌的实例引导学生认识到数列和数集的区别.活动3 初步运用，数列分类活动3.1数学家定义了数列后，写出了大量的数列，结合数列的特点进行了简单的分类.按照项数是否有限，若项数有限，称为有穷数列，若项数无限，称为无穷数列.也可以按项的大小关系，如果从第二项起，每一项都大于前一项，称为递增数列；如果从第二项起，每一项都小于前一项，称为递减数列；如果从第二项起，每一项都等于前一项，称为常数列；如果从第二项起，有的项大于前一项，有的项小于前一项，称为摆动数列.活动3.2你能判断三个数列为哪种数列？教师给出问题，学生代表回答.活动3.3教师给出教材P28-29页观察，学生独立思考，学生代表回答问题.师生活动：教师给出完整的数列分类，并板书，过程中学生参与表达.教师给出问题，学生探讨，学生代表作答.设计意图：教师在数列定义的基础上直接给出数列的分类，学生运用知识判断具体的数列是哪种类别，促进学生思考，提高解决问题的能力.活动4 数学文化，探究通项活动4.1教师引导学生认识正方形数、三角形数和谢宾斯基三角形，学生由图形写出数列的前几项，归纳数列的项与序号之间的等式，形成通项公式的定义，并理解数列的项与序号的对应关系.设计意图：教师介绍数学史上数学家对数列的研究的故事，让学生了解数学文化，认识数列项与序号的对应关系，体会通项公式与项之间的对应关系.活动4.2数列的前5项分别是以下各数，写出各数列的一个通项公式．（1）2，4，6，8，10.（2）1，2，4，7，8，16.（3）1，-1，1，-1，1.（4）1，12-，13，14-，15.（5）2，0，2，0，2.师生活动：教师给出问题，学生思考讨论完成.教师巡查指导，并找出两位同学到黑板上写出结果，师生共同点评，认识到数列的通项不一定唯一.设计意图：学生通过数列的前5项写出数列的通项公式，并通过讨论和点评对比，认识到数列的通项不一定唯一.注意事项：教师引导学生注意n 的取值为正整数，指导学生规范书写.教师要关注部分学生是否能写出数列的通项公式.活动4.3 请写出有规律五个数作为一个数列的前五项，其他同学写出这个数列的一个通项公式.是不是所有的数列都有通项公式？师生活动：教师给出问题，学生合作，相互完成.教师给出思考，辨析概念.设计意图：培养学生解决问题的能力.注意事项：教师要注意学生能否写出数列的通项，能否认识到通项的不唯一性和不一定存在性，教师要注意巡查指导，必要时借助学生列举的不规则数列说明.活动5 辨析数列，突破难点问题5.1你由数列的通项公式联想到什么？问题5.2 数列的项n a 可以理解为序号n 的函数吗，如果可以，有什么特别之处？问题5.3 函数有哪些表示方法，数列呢？师生活动：教师逐一给出问题，学生探讨，学生代表作答.教师展示具体数列*2,n a n n N =∈的三种表示方法，在展示过程中让学生发现数列图象的特点，意识到数列是特殊的函数.设计意图：让学生意识到数列是特殊的函数，数列由相应的三种表示方法. 问题5.4 已知数列的通项如下，请写出数列的前5项.()()()()21211;21 1 .n n n a n a n +==-+变式：已知数列{}n a 的通项为2*1,n a n n N =-∈，判断99是不是数列中的项，若是数列中的项，是第几项？师生活动：教师给出问题，学生探讨，学生代表作答.设计意图：让学生运用函数思想解决数列问题，并意识到数列的n 只能是正整数.注意事项：教师引导学生归纳解决问题的方法.活动6 总结整理，提炼升华本堂课，我们学习了哪些知识？本节课学习的主要内容有：1.数列的概念和分类;2.数列的通项公式；3.数列的表示方法与函数的关系.师生活动：教师给出问题，学生整体回答.设计意图：总结本堂课的内容和方法.注意事项：教师要注意知识的补充：数列的通项公式不一定唯一；不是所有的数列都有通项公式；数列是特殊的函数，定义域为自然数集（或子集），图象是离散的点.活动7 课后思考，课后练习问题 数列的第n 项n a 与第1n +项1n a +之间是否存在等式关系，数列是否还有其他的表示方法？（三角形数）课后练习 教材31页A 组练习1,2,3,5.师生活动：教师给出思考，学生课后阅读教材和资料，完成思考，并巩固练习.设计意图：通过练习巩固新知，通过思考让学生课后探究发现数列项与项之间的等式，发现递推公式也是表示数列的一种方法.。

2.1.1数列●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣 ●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义） 上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序. 从而引出数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式：,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1=来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

∙第一章集合与函数概念o 1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示∙ 1∙下列条件所指对象能构成集合的是()．A．与0非常接近的数B．我班喜欢唱歌的同学C．我校学生中的团员D．我班的高个子学生∙∙ 2∙若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是()A．3.14B．－5C．D．∙∙ 3∙用符号∈或填空．(1)－3________N；(2)3.14________Q；(3)________Z；(4)0________N；(5)________Q；(6)________R；(7)1________N*；(8)π________R．∙∙ 4∙下列语句是否能确定一个集合？(1)你所在的班级中，体重超过75kg的学生的全体；(2)大于5的自然数的全体；(3)某校高一(1)班性格开朗的女生全体；(4)质数的全体；(5)平方后值等于－1的实数的全体；(6)与1接近的实数的全体；(7)英语字母的全体；(8)小于99，且个位与十位上的数字之和是9的所有自然数．∙∙ 5. 下列四个集合中，不同于另外三个的是()．A．{y|y＝2} B．{x＝2}C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}∙ 6∙(2011年浙江)设a，b，c为实数，f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)．记集合S＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是()．A．|S|＝1且|T|＝0B．|S|＝1且|T|＝1C．|S|＝2且|T|＝2D．|S|＝2且|T|＝3∙∙7∙已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()．A．0∉M B．2∈M C．－4∉M D．4∈M ∙∙8∙定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为()A．0 B．2 C．3 D．6 ∙9∙由实数x，－x，，所组成的集合里最多有______个元素．∙10∙用“∈”或“”符号填空：(1)；(2)32________N；(3)π________Q；(4)；(5)；(6)．∙∙11∙设，则集合中所有元素之积为________．∙设数集A中含有两个元素2a和a2＋a，求a满足的条件．∙用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标构成的集合．∙∙13∙集合可化简为________．以下是两位同学的答案，你认为哪一个正确？试说明理由．学生甲：由得x＝0或x＝1，故A＝{0，1}；学生乙：问题转化为求直线y＝x与抛物线y＝x2的交点，得到A＝{(0，0)，(1，1)}．∙∙14∙已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}．(1)若A中只有一个元素，求a的取值范围；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．1.1.2 集合间的基本关系1如果A＝{x|x＞－1}，那么正确的结论是()．A．0A B．{0}A C．{0}∈A D．∅∈A2给出下列命题，其中正确的个数是()①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④如果集合B A，那么若元素不属于A，则必不属于B．A．1B．2C．3D．43下列四个集合中，是空集的是()．A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}4已知集合M＝{0，1，2}，则集合M的非空真子集有________个．5已知集合{2x，x2－x}有且只有4个子集，则实数x的取值范围为________．(用集合表示)6判断下列表示是否正确：(1)a{a}；(2){a}∈{a，b}；(3){a，b}{b，a}；(4){－1，1}{－1，0，1}；(5){－1，1}；(6){x|x2－x＝0}＝{x∈R|x2＋1＝0}．7下列命题或记法中正确的是()．A．N∈Q B．∅{0}C．空集是任何集合的真子集D．(1，2){(1，2)}设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是()．A．a≥2B．a≤1C．a≥1D．a≤29在“①0∈{0}，②0∈∅，③{0}∅，④{0}＝∅”这四个表达式中正确的是()．A．全部B．只有①和②C．只有①和③D．只有②和③10集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是()．A．B．C．D．11设，，则下列各式中正确的是()．A．a M B．M{a} C．{a}∈M D．{a}M12定义A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}，则A*B的子集个数为()．A．3B．4C．5D．613若集合A＝{1，3，x}，B＝{x2，1}，且B A，则满足条件的实数x的个数为()．A．1B．2C．3D．414(2007年全国)设a，b∈R，集合，则b－a＝()．A．1B．－1C．2D．－215设集合A＝{2，a}，B＝{a2－2，2}，若A＝B，则实数a＝________．16设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，，则A、B的关系是________．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B A，则实数m＝________．18(2008年山东)满足M{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是________．19.设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，(1)若B A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围1.1.3 集合的基本运算1(2010年全国)设全集U＝{x∈N*|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则(A∪B)＝()．A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}2已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|x－y＝0，x，y∈R}，则集合A∩B 的元素个数是()．A．0B．1C．2D．33已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且，则实数a的取值范围是() A．a≤1B．a＜1C．a≥2D．a＞24(2008年浙江)已知U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤－1}，则()．A．∅B．{x|x≤0}C．{x|x＞－1} D．{x|x＞0或x≤－1}5已知A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，求x的值及集合B．6在①(M∩N)N；②(M∪N)N；③(M∩N)(M∪N)；④若M N，则M∩N＝M这四个结论中，正确的个数是()．A．1B．2C．3D．47(2011年湖北)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，5}，则(A ∪B)＝()．A．{6，8} B．{5，7}C．{4，6，7} D．{1，3，5，6，8}8(2009年山东)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为()．A．0B．1C．2D．49(2009年安徽)若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B是()．A．{1，2，3} B．{1，2}C．{4，5} D．{1，2，3，4，5}10(2011年辽宁)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩M＝，则M∪N＝()．A．M B．N C．I D．11(2009年江西)已知全集U＝A∪B中有m个元素，中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为()．A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n12(2010辽宁)已知集合U＝{1，3，5，7，9)，A＝{1，5，7)，则＝()．A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}13(2010年江苏)设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．14(2009上海)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．15(2009湖南)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．16(2009年江西)50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________．17设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B，A∩B．18集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}．(1)若A∩B＝，求a的取值范围；(2)若A∪B＝{x|x ＜1}，求a的取值范围．19已知集合S＝{1，3，x3＋3x2＋2x}，A＝{1，|2x－1|}，如果＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，说明理由．o 1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念∙ A∙下列说法中，不正确的是()．A．函数的值域中每一个数在定义域中都有数与之对应B．函数的定义域和值域一定是不含数0的集合C．定义域和对应法则完全相同的函数表示同一个函数D．若函数的定义域中只有一个元素，则值域也只含有一个元素∙∙ B∙函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为()．A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}∙∙ C∙与y＝|x|为同一函数的是()．D．y＝x A．B．C．∙∙ E∙已知f(x)＝x2＋2x，则f(x－1)＝________．∙∙ F∙已知函数f(x)＝ax＋b，且f(3)＝7，f(5)＝－1，求f(0)，f(1)的值．∙∙G∙下列表达式中表示函数的有()．①y＝x(x－3)②③y＝x0(x≠0)④f(x)＝1A．4个B．3个C．2个D．1个∙∙H∙下列函数中，定义域不是R的是()．A．y＝kx＋b B．C．y＝x2－c D．∙∙I∙下列对应为A到B的函数的是()．A．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x| B．A＝Z，B＝N*，f：x→y＝x2C．A＝Z，B＝Z，f：D．A＝[－1，1]，B＝{0}，f：x→y＝0∙∙J∙下列各组函数中，表示同一函数的为()．A．f(x)＝|x|，B．，C．，g(x)＝x＋1D．，∙∙K∙(2008年全国)函数的定义域为()．A．{x|x≥0} B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}A(2009江西)函数的定义域为()．A．[－4，1B．[－4，0)C．(0，1] D．[－4，0)∪(0，1]B设A到B的函数为f1：x→y＝2x＋1，B到C的函数为f2：y→z＝y2－1，则A到C的函数f是()．A．f：x→z＝4x(x＋1) B．f：x→z＝2x2－1C．f：x→z＝2－x2D．f：x→z＝4x2＋4x＋1C若f(x)的定义域为[－1，4]，则f(x2)的定义域为()．A．[－1，2] B．[－2，2] C．[0，2] D．[－2，0]D(2011年浙江)设函数，若f(α)＝2，则实数α＝________．E若函数y＝f(x)的定义域是[0，1]，则函数F(x)＝f(x＋a)＋f(2x＋a)(0＜a＜1)的定义域是________．F已知，g(x)＝x2＋2，则f(2)＝________，f[g(2)]＝________．G将长为a的铁丝折成矩形，则面积y与一边长x之间的函数关系式为________，定义域为________．H已知(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(2)]的值；(3)求f[g(x)]的解析式．I求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)(x ∈{0，1，2，3})．J已知函数，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m＞1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．K已知函数在(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．1.2.2 函数的表示法A若f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)等于()．A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋7B一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为()A．y＝50x(x＞0) B．y＝100x(x＞0) C．(x＞0) D．(x＞0)C如图是函数y＝－|x|(x∈[－2，2])的图象是()．A．B．C．D．D已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f：A→B下对应的元素，且对任意的a∈A，f(a)＝|a|，则集合B中元素的个数是()．A．4B．5C．6D．3E一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：要使每天的收入最高，每间房的定价应为________元．F函数的值域为________．G设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|1≤y≤2}，给出下列四个图形，如图所示，其中能表示从集合M到N 的函数关系的有________个．H某商店有游戏机12台，每台售价200元，试求售出台数与收款总数之间的函数关系(用解析法表示)，并作出函数的图象．A以下几个论断：①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射；②函数y＝x－1，x∈Z且x∈(－3，3]的图象是一条线段；③函数的图象是抛物线．其中正确的论断有()．A．0个B．1个C．2个D．3个B下列关于分段函数的叙述正确的有()．①定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；②尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是一个函数；③若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则D1∩D2＝．A．1个B．2个C．3个D．0个C设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列的对应不表示从P到Q的映射的是()．A．f：B．f：C．f：D．f：E(2008年山东)设函数则的值为()．A．B．C．D．18F(2008年重庆)函数的最大值为()．A．B．C．D．1G(2010安徽)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()．A．B．C．D．H(2010天津)设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，则f(x)的值域是()．A．[，0]∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)C．[，＋∞)D．[，0]∪(2，＋∞)I(2011年浙江)设函数若f(a)＝4，则实数a＝________．J(2012年宁波)f(x)的图象如图所示，则f(x)＝________．K已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则f[g(1)]的值为________；当g[f(x)]＝2时，x＝________．L(2011年湖南)给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n：f(n)＝n－k．(1)设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为________；(2)设k＝4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为________．M某质点在30s内运动速度v是时间t的函数，它的图象如图所示．用解析法表示出这个函数，并求出9s时质点的速度．A作出函数y＝|x－3|＋|x＋7|的图象，并根据图象求出函数的值域．B试画出函数f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(－2)，f(1)，f(3)的大小；(2)若0＜x1＜x2，试比较f(x1)与f(x2)的大小．C对定义域分别是D f、D g的函数y＝f(x)、y＝g(x)，规定：函数(1)若函数f(x)＝－2x＋3，x≥1，g(x)＝x－2，x∈R，写出函数h(x)的解析式；(2)求问题(1)中函数h(x)的最大值．。

《2.1.1数列的概念》问题导读评价单【学习目标】
1.理解数列及其有关概念，了解数列的简单分类；
2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会
根据其前几项写出它的个通项公式；
3.了解数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以
进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

【重点难点】
教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。

教学难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。

【知识链接】
1.集合的概念是什么？
2集合的表示方法有哪些？
【预习评价】
问题1.数列概念是什么？
问题2.什么是数列的通项公式？
问题3.数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
问题4.对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？
【我的问题】
1．
2．。

数列专题复习——数列求和教学目标：1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式； 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．教学重点：等差、等比数列的求和公式及非等差、等比数列求和的几种常见方法的应用．教学难点：非等差、等比数列的求和．教学方法：启发式、讲练结合．教学过程：一、复习回基本公式1.公式法：即直接用公式求数列的前n 项和Sn=a1+a2+a3+…+an①等差数列前n 项和： ②等比数列前n 项和：⎪⎩⎪⎨⎧=--≠=)1(1)1()1(11q qq a q na s n n ③1+2+3+….+n=2)1(+n n ④)12)(1(61 (3212)222++=++++n n n n ⑤233332)1(......321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n 例1. 1+3+5+….+(2n-1)=＿ =+++++n 2.....222132＿二、学生活动1．等差、等比数列直接运用公式求和（直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法）2．分析、概括各种数列的特征，从特征中寻求解决的方法．三、建构数学题型1公式法求和．题型2分组求和法．有一类数列，既不是等差数列，又不是等比数列，若将这类数列适当拆开，则可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其相加，即可得出原数列的和．题型3裂项相消法求和．这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，错位相减法求和．题型4这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求d n n na a a n s n n 2)1(2)(11-+=+=数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列．例2． n aa a a S 1.......111132+++++=（对a 进行=1和≠1分类讨论）备用例题：1、求数列a ，2a 2，3a 3，4a 4，…，na n ，…(a 为常数)的前n 项和．解析若a ＝0， 则S n ＝0．若a ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n +1)2 ．若a ≠0且a ≠1，则S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋ na n ，∴aS n ＝ a 2＋2 a 3＋3 a 4＋…＋na n +1，练习.练习：已知实数a 、b 满足，4a 2+9b 2-4a-6b+2=0求a+a 2b+a 3b 2+…+a 100b 99总结：在求等比数列前n 项和时，要特别注意公比q 是否为1。

教学设计2．1.1 数列整体设计教学分析本节教材通过举例引出数列概念，教材上列举了7个例子，这7列数的排列都具有一定的规律，教学时也可举几个各项数是随机的、没有什么规律的例子．注意函数定义域的表述．符号N＋与N*表示正整数或非0自然数．教材中的例1可由学生自己完成．例2中的3个小题都要通过观察并分析数的性质，有一定难度．例3是为了加强数列与函数的联系，教学时要重视．对数列概念的引入可作适当拓展．一方面从研究数的角度提出数列概念，使学生感受数列是刻画自然规律的基本数学模型；另一方面可从生活实际引入，如银行存款利息、购房贷款等，使学生对这些现象的数学背景有更直观认识，感受数列研究的现实意义，以激发学生学习数列的兴趣．(1)教学中要注意留给学生回味、思考的空间和余地．(2)数列是一种特殊函数，其定义域是正整数集N*(或它的有限子集)，值域是当自变量顺次从小到大依次取值时的对应值．教科书通过数列的定义域与值域之间这种一一对应关系的列表，让学生加深对数列是一种特殊函数的认识．(3)对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，这些函数值也可以组成一个数列，教学中要注意数列与函数的这种关系的把握．教材上对数列进行了两种分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，常数列，摆动数列．这些分类的严格定义不要求学生记忆，只要学生知道上述分类是依据不同分类标准得出的并能对所给数列的类别作出准确判断就可以了．三维目标1．通过本节学习，让学生理解数列的概念，理解数列是一种特殊函数，把数列融于函数之中；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式．2．通过探究、思考、交流、实验、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，大胆猜想．培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度．3．通过本节章头图的学习，体会数学来源于生活，理解大自然的丰富多彩，感受“大自然是懂数学的”，从而提高学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：理解数列及其有关的概念，了解数列通项公式的意义；了解数列和函数之间的关系．教学难点：根据数列的前几项，归纳出数列的通项公式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图引入)斐波那契(Fibonacci Leonardo，约1170～1250)，意大利著名数学家，保存至今的斐波那契著作有5部，其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》，《算盘全书》中许多有趣的问题中最富成功的问题是著名的兔子繁殖问题：如果每对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄)，而子兔在出生后第三个月里就又能生1对子兔．试问一对兔子50个月会有多少对兔子？由此展开新课的探究．思路2.(直接引入)利用多媒体打出教材前言中的几列数．这是与集合中的元素不同的一列数，有一定的次序，告诉学生这就是我们要研究的数列，由此直接进入新课．推进新课新知探究提出问题(1)阅读课本章头图，列出前5个月中每个月兔子的总对数.(2)每个同学取一张纸对折，假设纸的原来厚度为1个长度单位，面积为1个面积单位，那么随着依次对折的次数增加，它的厚度和每层纸的面积分别是多少？(3)怎样理解数列？与集合有什么不同？什么是数列的项？怎样表示数列a1，a2，a3，…，a n，…？(4)你能举出身边的哪些数列？(5)怎样对数列分类？什么是有穷数列？什么是递增数列？(6)怎样理解数列与函数的关系？(7)什么是数列的通项公式？(8)数列有哪些简单的表示方法？活动：教师引导学生阅读课本章头的插图，直观感知大自然是懂数学的，激起进一步探究的欲望．通过阅读课本，知道三角形数是1,3,6,10，….由于这些数都能够表示成三角形，就将其称为三角形数，知道正方形数是1,4,9,16，….由于这些数都能够表示成正方形，所以被称为正方形数．教师将两列数用课本演示出来，引导学生观察它们的共同特征．接下来让学生折纸可得到两列数，随着对折数的增加，厚度依次为2,4,8,16，…，256，…；随着对折数的增加，面积依次为12，14，18，116，…，1256，….教师引导学生阅读课本并弄清有穷数列、无穷数列的概念，之后提出问题：相同的一组数按不同顺序排列时，是否为同一个数列？一个数列中的数可以重复吗？0,0,0，…，0，…是数列吗？让学生结合数列的概念进行辨析．显然，根据数列的概念1,2,3；2,3,1是两个不同的数列.0,0,0，…，0，…也是数列．这点与集合不同．集合讲究无序性、互异性、确定性，而数列强调有顺序，且同一数字可重复．也就是说数列具有确定性、有序性、可重复性，这样根据数列的每一项随序号变化的情况可以对数列进行分类，按项数多少可分为有穷数列、无穷数列；按各项的变化规律可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．根据以上探究，数列中的数与它的序号是一种怎样的关系呢？序号可看作是自变量，数列中的项可看作是随之变动的量．这就让我们联想到了函数，认识到数列也是函数，是一种特殊的函数，特殊到自变量只能取非零自然数．如数列2,4,8,16，…，256，…中，项与序号之间的对应关系如下：项 2 4 8 16 32 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 一般形式则为项 a 1 a 2 a 3 … a n … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 … n …由此得出，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数a n ＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数y ＝f(x)，如果f(i)(i ＝1、2、3、4、…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….因此，如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．函数与数列的比较(由学生完成此表)：关于数列的表示方法，与函数一样，数列也可以用图象法、列表法等方法来表示．由于数列中的自变量只能取正整数，所以其图象应是一系列孤立的点．例如上面问题中提出的函数y ＝2x ，当x 依次取1,2,3，…时，我们可以得到函数值构成的数列2,4,6，…，2n ，…，这个数列还可用列表法与图象法表示如下：对于数列的图象法表示，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以(n ，a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1，12，13，14，…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．讨论结果：(1)1,1,2,3,5(3)按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，又可简记为{a n }．(7)数列的通项公式也就是相应的函数的解析式．(8)数列的几种简单表示方法有通项公式法(解析式法)、列表法和图象法． (2)(4)(5)(6)略．应用示例例1(教材本节例2)活动：本例3个小题，都要通过观察，并分析数的性质，有一定难度．教师可引领学生一起分析，然后由学生完成．同时要让学生领悟题目中为什么要求写出“一个”通项公式．如第2小题奇数项为0，偶数项为2，显然具备这种特点的数学式子不是唯一的．点评：解完本例后要让学生领悟，这种由数写出数列前几项的题目，解决的关键是找出这列数与序号之间呈现的规律性的东西．然后通过归纳写出这个数列的通项公式．但要注意，根据数列的若干项写出通项公式的形式可能不是唯一的．如本例中的2学生可能就有以下几种写法：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，(n 为奇数)，2，(n 为偶数)或a n ＝2|sin n ＋12π|或a n ＝2|cos nπ2|，等等．因此教师可就此点拨学生：由函数的观点可知，数列的通项公式实质上就是函数的对应法则的解析式表示，而我们知道函数的对应法则并不是都能用解析式表示出来的，因此也不是所有的数列都能写出通项公式来，即使存在通项公式也不一定唯一．变式训练根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9,11，…；(2)0,1,0,1,0,1，…；(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…；(4)2，－6,12，－20,30，－42，….解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝1＋(－1)n2；(3)将数列变形为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1，…， ∴a n ＝n ＋1＋(－1)n2；(4)将数列变形为1×2，－2×3,3×4，－4×5,5×6，…， ∴a n ＝(－1)n ＋1n(n ＋1)．例2(教材本节例3)活动：教材设计本例的目的是为了加强数列与函数的联系，用研究函数性质的方法研究数列的性质．这一点非常重要，应引起学生的极大重视．本例中的第1问实际上就是函数的有界性，第2问的递增递减数列就是函数的单调性．教师与学生一起分析后，可由学生自己完成．点评：解完本例后，可让学生结合思考与讨论，总结本例的思想方法．因为这一点学通了，后面的内容就好学了．变式训练写出数列1，24，37，410，513，…的通项公式，并判断它的增减性．解：数列的通项公式为a n ＝n3n －2， ∵a n ＋1－a n ＝n ＋13(n ＋1)－2－n3n －2＝－2(3n ＋1)(3n －2)＜0，即a n ＋1＜a n ，这说明每相邻的两项中，后项小于前项，由此可知数列为递减数列．例3写出下面数列的一个通项公式：(1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)1,0，－13，0，15，0，－17，0，…. 解：(1)a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(2)a n ＝n 22.原数列可写成12，42，92，162，252，…，这样数列中各项数的规律就一目了然了．(3)a n ＝1n sin nπ2.原数列可写成11，02，－13，04，15，06，－17，08，…，这样分母依次为1,2,3，…，而分子依次为1,0，－1,0，由此想到三角函数．变式训练以下通项公式中，不是数列3,5,9，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝n 2－n ＋3C ．a n ＝－23n 3＋5n 2－253n ＋7 D ．a n ＝2n ＋1答案：D例4求数列{－2n 2＋9n ＋3}中的最大项．活动：教师首先引导学生熟悉这个数列，即是10,13,12，…，－2n 2＋9n ＋3，…，其通项公式为a n ＝－2n 2＋9n ＋3，可以看出a n 与n 构成二次函数，可完全类比二次函数求最值的方法，但要注意这里n ∈N *这一隐含条件．解：由题意，知a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2(n －94)2＋1058.∵n 为正整数，由二次函数的图象和性质，知 当n ＝2时，a n 取到最大值13.∴数列{－2n 2＋9n ＋3}中的最大项为a 2＝13.点评：数列的项与项数之间构成特殊的函数关系．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意到函数的定义域为正整数集这一约束条件．变式训练已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2(n 2＋3)－2，那么log 23是这个数列的第__________项．答案：3例5图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形．在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．图3解：如题图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1，所以这个数列的一个通项公式是a n ＝3n －1.该数列在直角坐标系中的图象如下图．点评：本例是用通项公式和图象两种方法表示谢宾斯基三角形中着色三角形个数构成的数列．解完此题后，让学生总结数列的表示方法．变式训练根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有__________个点．答案：n2－n＋1解析：经观察，第n个图中间1个点向n个方向发散，每个方向上另有(n－1)个点，所以第n个图中点的总个数为n(n－1)＋1＝n2－n＋1.知能训练1．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是：(1)1,8,27,64，…；(2)3，3，15，21，….2．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n(n＋1)，则380是这个数列的第__________项．答案：1．(1)a n＝n3；(2)a n＝3(2n－1).2．由380＝n(n＋1)，n∈N*，可解得n＝19.课堂小结1．由学生总结本节课所学习的主要内容：数列的有关概念；根据数列的前几项写出数列的通项公式，反过来，根据数列的通项公式求其任意一项；数列与函数的关系．2．通过知识性的小结，尽快地把课堂探究的知识转化为学生的素质能力；通过特殊到一般、类比等思想方法的运用，更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用．并通过章头插图的阅读与理解，更加热爱大自然、保护大自然．作业课本本节习题2—1 A 组1～6；习题2—1 B 组1～3.设计感想本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念．设计的教学方法是让学生自主探究，呈现“现实情境——数学模型——应用于现实问题”的特点．让学生通过观察、分析、归纳、猜想，培养学生主动探究的精神．感受到大自然的神奇与奥妙，激发热爱大自然的热情，并自发保护大自然，真切领悟到大自然才是我们人类智慧的源泉．本教案设计体现对学生发散性思维的培养，本节的难点之一就是由数列的前几项写出它的一个通项公式，这个通项公式不是唯一的．设计中鼓励学生根据所学知识，充分施展种种奇思妙想，最大限度地开挖学生的潜能．本教案的设计加强了数学思想方法的运用，这也是本章的特色，可以说本章简直就是数学思想方法的王国．如不把握好这一点，正如入宝山而空手回．如类比思想、归纳思想及特殊到一般的思想方法等．备课资料备用习题1．数列3,7,13,21,31，…的通项公式是( ) A ．a n ＝4n －1 B ．a n ＝n 3－n 2＋n ＋2 C ．a n ＝n 2＋n ＋1 D ．不存在 2．根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项： (1)a n ＝nn ＋1；(2)a n ＝(－1)n ·n. 3．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)2,0,2,0.4．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5的值是__________．5．已知数列{9n 2－9n ＋29n 2－1}：(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间(13，23)内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．参考答案：1．C 解析：代入选择支验证即可．2．解：(1)a 1＝12；a 2＝23；a 3＝34；a 4＝45；a 5＝56.(2)a 1＝－1；a 2＝2；a 3＝－3；a 4＝4；a 5＝－5. 3．解：(1)a n ＝(－1)n ＋1n；(2)a n ＝(－1)n ＋1＋1.4.6116解析：∵a 1a 2＝22，a 1a 2a 3＝32，a 1a 2a 3a 4＝42，a 1a 2a 3a 4a 5＝52， ∴a 3＋a 5＝3222＋5242＝6116.5．解：(1)设f(n)＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝3n －23n ＋1，令n ＝10，得a 10＝f(10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300， 此方程在自然数集内无解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1， 又∵n ∈N *， ∴0＜33n ＋1＜1.∴0＜a n ＜1.(4)令13＜a n ＝3n －23n ＋1＜23.∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，即⎩⎨⎧ n>76，n<83.∴76＜n ＜83. ∴当且仅当n ＝2时上式成立．故区间(13，23)上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. (设计者：周长峰)。