平行线等分线段定理-PPT课件

C
4
C1
F
图3
∵AB=BC
请同学们自己完成下面两图的证明
∴EB1=B1F
l1
A
A1
A（A1）
l1
又∠1=∠2，∠3=∠4 l2 B
B1
l2
B
B1
∴△A1B1E≌△C1B1F l3 C
C
202∴4/11A/31B1=B1C1
1
图4
l3 C
C1
图5
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等，那么在其他直线上截得 的线段 也相等 。
F l3
平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线
上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
AD
A
E ？F
E ？F
？
？
B
图4
C
B
图5
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2 经过三角形一边的中点与另一
直线，必平分另一腰。
D∥EF∥BC，AE=EB ∴202D4F/11=/3FC
证明题
辅助线点滴： 有线段中点时，常过 该点作平行线，构造 平行线等分线段定理 及推论的基本图形。
已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠ABC=90。M是CD的中点
C
求证：AM=BM
M D
分析：过M点作ME∥AD交AB于点E 又∵在梯形ABCD中，MD=MC A ∴AE=EB
B E
易证ME是AB的垂直平分线
张王 李
二、推论2指出，经过三角形一边的中点 A
E
F
B
与另一边平行的直线必平分第三边（即经
过第三边的中点）。那么连结三角形两边

Ｇ
Ｆ
Ｍ
Ｅ
Ｄ
Ａ ＩＪＫ Ｌ Ｂ Ｎ
２）在射线ＡＣ上顺次截取 ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。
３）连结ＨＢ。
４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线 ＧＬ、ＦＫ、ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于 点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。
Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
A
F. H.
D
例２：
如图，平行四边形ABCD中， BC与AD的中点分别为E、F， 且BF、DE、与对角线AC交于H、G。 求证：AH=HG=GC
我唯一的靠山倒了，但是母亲教会了我在逆境中学会坚强，勇敢地面对困难和失败，适应任何环境而求生存，这就是我的母亲留给我的无比珍贵的财富和爱。 母亲虽然走了，可她永远活在我的心里，我永远怀念她，她是我地唯一，无人取代，也是我的最爱，更是难忘的爱！
我想不起小姨妈在母亲有病的时候是怎样抱着我，还是背着我，我不知道，从小姨妈对那段往事的回忆中，我才知道别人对她的冷眼，天寒地冷的无奈…… 我才知道她的棉衣前襟是明亮发光的，而且经常是湿地；才知道烧无烟煤时熏黑了的脸上那双有黑有大的眼睛的明亮。那时候小姨妈只有十六岁，一个失去父母关爱的小女孩，能在姐姐病重的时候撑起一个家，还带着一个不满周岁的孩子，可想而知，这是多么不容易
当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。 我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不

(1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必
．
平(2分)推第论三2：边经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分
．
另一腰
[小问题·大思维] 1．在平行线等分线段定理中，被平行线所截取的两条直线有什么样的位置 关系？ 提示：在平行线等分线段定理中，被平行线所截取的两条直线的位置不影 响定理的结论，即这两条直线可以平行也可以相交．
[研一题]
[例2] 已知：如图，在直角梯形AB CD中，∠C＝90°，AD∥BC，AD＋BC＝ AB，E是CD的中点，且AD＝2，BC＝8， 求BE的长度．
分析：本题考查平行线等分线段定理及其推论的应用．解答本题需将 BE放在Rt△BCE中求解，因为BC＝8为已知，故可考虑如何求CE.
解：过E作EF∥BC，交AB于F，过B作BG∥CD，交EF的延长线于G， 则四边形GBCE是平行四边形． ∵在直角梯形ABCD中， ∠C＝90°，AD∥BC，AD＝2，BC＝8， ∴四边形GBCE是距形， ∴EG＝BC＝8， ∵E是CD的中点，∴DE＝EC， ∴AF＝FB，
∠AEC＝∠MEC， EC＝EC， ∠ACE＝∠MCE，
所以△AEC≌△MEC，AE＝EM. 即 E 是 AM 的中点． 又因为在△ABM 中，EF∥BM， 所以点 F 是 AB 边的中点． 所以 AF＝BF.
利用平行线等分线段定理及其推论解决与平行线有关的计算问题是考 试的热点.2012年广州模拟以填空题的形式考查了定理及推论的应用，是高 考模拟命题的一个新亮点．
∴EF∥BC，EF＝12(AD＋BC)＝5， ∴GF＝EG－EF＝3， ∵AD＋BC＝AB， ∴AB＝10，BF＝12AB＝5. ∵在 Rt△BGF 中，∠G＝90°，∴BG＝4， ∴在 Rt△BGE 中， BE＝ BG2＋GE2＝ 42＋82＝4 5.

线段定理可以把已知线段AB任意n等分， 其步骤如下： (1)过已知线段AB的一个端点A作射线AC； (2)在射线AC上，以适当的长度依次截取AA1＝A1A2＝A2A3 ＝…＝An－1An(其中n为题中要求AB的n等分)；
(3)连接AnB； (4)分别过点A1，A2，…，An－1作AnB的平行线，交AB于 B1，B2，…，Bn－1，则B1，B2，…，Bn－1为线段AB的n等分点．
2．对两个推论的理解 (1)推论1，如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，DE∥ BC，交AC于E，过A作BC的平行线a，则a∥BC∥DE，由AD＝ DB知，AE＝EC，即E为AC的中点．
(2)推论2，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中 点，即AE＝EB，EF∥BC交CD于F，则由AD∥EF∥BC，AE＝ EB知，DF＝FC.即F为CD的中点．
【例2】 已知：如图，AD是三角形ABC的中线，E为AD 的中点，BE的延长线交AC于F.求证：AF＝13AC.
【分析】 可利用平行线等分线段定理的推论1，添加过 三角形一边中点且平行于第三边的直线，确定F为AC的一个三 等分点．
【证明】 过D作DH∥BF交AC于H点，
∵BD＝CD，DH∥BF， ∴FH＝CH. 同理：AF＝FH. ∴AF＝FH＝CH. ∴AF＝13AC.
【证明】 连接AF并延长交BC的延长线于G， ∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠GCF. 又∠AFD＝∠GFC，DF＝CF， ∴△ADF≌△GCF，∴AF＝FG. 又∵AE＝EB， ∴EF∥BG，且EF＝12BG.
又CG＝AD，AD∥BC，∴BG＝BC＋CG＝BC＋AD. ∴EF∥AD∥BC, 且EF＝12(AD＋BC)．
线段相等 截得的线段也相等 答
平行 平分 案