数学建模

推荐参考书⏹叶其孝主编, 大学生数学建模竞赛辅导教材(一、二、三、四), 湖南教育出版社，2001⏹CUMCM优秀论文汇编（1992-2000），中国物价出版社，2002⏹姜启源等，数学模型(第三版)，高等教育出版社，2003⏹刘来福等，数学模型与数学建模(第二版)，，北京师范大学出版社，2002.⏹杨启帆等，数学建模，浙江大学出版社，1999.⏹袁震东等，数学建模，华东师范大学出版社，1997.⏹朱道元等，数学建模案例精选, 科学出版社，2003⏹胡良剑等，数学实验，上海科学技术出版社，2001数学建模方法论分类、主要方法和解决问题的思路数学模型的分类⏹确定性模型⏹随机性模型⏹复杂的实际问题数学建模的主要方法⏹机理分析：分析事物内在规律⏹测试分析：分析事物表现出来的数据⏹两者结合：机理分析立框架，测试分析定参数数学建模的过程⏹理解问题⏹提出假设⏹建立数学结构⏹求解数学问题⏹返回现实问题⏹模型评价论文结构：⏹问题重述⏹假设⏹建立模型⏹模型求解⏹模型的解释⏹模型评价关于模型评价1.优缺点2.改进方向关于模型解释1.参数估计2.误差估计3.定性分析4.定量分析5.汇总方案数学模型• 初等模型北京理工大学王宏洲初等模型⏹所谓初等模型，就是只用到中学所学的数学知识就能建立并加以分析研究的模型。

⏹在很多情况下，建立数学模型并不需要多么高深的数学工具，很多实际问题使用初等数学里面的不等式关系、比例关系、多项式方程等工具就可以达到研究的目的了.1、战略核武器杀伤力模型上世纪在60年代初，苏联主张核武器应向大型化方向发展，理由是武器的威力越大，杀伤力越强。

美国则提出应走提高武器精度的道路，追求有效摧毁。

因此，对于武器发展方向的争论异常激烈，对于这个争论可以通过构造战略核武器杀伤力的模型得出结论杀伤力K不仅与威力Y有关，而且与精确度C有关。

经过大量的模拟试验，将有关数据经过处理和分析，拟合杀伤力K 、威力Y 与精度C 得函数关系为：c y K 32 从模型可以推出提高精度合理。

因而美国走提高武器精度的道路。

当时美国得核武器虽然比前苏联小一些，而且数量也少一些，但美国的核武器精度高而不惧怕前苏联。

威力转换成杀伤力时是要打一些折扣的，提高精度则不同。

2、席位分配问题现代国家政治生活中，“民主”的一个主要表现形式就是：每个利益方都有自己的发言人，而且买个利益方的发言效力应该与其人数成正比。

民主表现在国家权力的分配上，就是议会制度。

问题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

现学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。

系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲103 51.5 10.3 ?乙63 31.5 6.3 ?丙34 17.0 3.4 ?总和200 100.0 20.0 20用四舍五入？Hamilton方法如何解决四舍五入法的缺陷？1、先让各州（系）取得分配比例的整数部分；2、按照小数部分的大小顺序将余额逐个分配。

系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲103 51.5 10.3 10乙63 31.5 6.3 6丙34 17.0 3.4 4总和200 100.0 20.0 20Hamilton 方法的缺陷三系人数分别是103、63、34，现在如果将席位增加到21个，又该如何分配？席位不增加时，丙有4个；增加一个席位，丙反而减少一个席位。

系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲103 51.5 10.3 10乙63 31.5 6.3 6丙34 17.0 3.4 4总和200 100.0 20.0 2021席的分配比例结果10.8156.6153.57021.000 211173给“公平”一个度量这样做就可以完全解决问题吗？舍弃惯例，不再单纯寻找公平的分配方法！尝试先建立衡量“公平”的指标人数席位A 方p 1n 1B 方p 2 n 2当p 1/n 1= p 2/n 2时，分配公平若p 1/n 1> p 2/n 2，对不公平A p 1/n 1–p 2/n 2~ 对A 的绝对不公平度―绝对不公平度”也有缺陷p 1=150, n 1=10, p 1/n 1=15p 2=100, n 2=10, p 2/n 2=10p 1=10050, n 1=10, p 1/n 1=1005p 2=10000, n 2=10, p 2/n 2=1000p 1/n 1–p 2/n 2=5但后者对A 的不公平程度已大大降低!虽二者的绝对不公平度相同p 1/n 1–p 2/n 2=5p 1/n 1–p 2/n 2~ 对A 的绝对不公平度人数席位A 方p 1n 1B 方p 2 n 2将绝对度量改为相对度量根据此原则，再看增加一席后，应该给A 还是B ？公平分配方案应使r A , r B 尽量小),(///21222211n n r n p n p n p A =-～对A 的相对不公平度类似地定义r B (n 1,n 2)若p 1/n 1> p 2/n 2，定义设A, B 已分别有n 1, n 2 席，增加1席，应分给谁？将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即：人数席位A 方p 1n 1B 方p 2 n 2新的分配方案不妨设分配开始时p 1/n 1> p 2/n 2，即对A 不公平1）若p 1/(n 1+1)> p 2/n 2，则这席应给A 2）若p 1/(n 1+1)< p 2/n 2，注意还有p 1/n 1> p 2/(n 2+1)，应计算r B (n 1+1, n 2)再计算r A (n 1, n 2+1)若r B (n 1+1, n 2) < r A (n 1, n 2+1), 则这席应给问：p 1/n 1<p 2/(n 2+1)是否会出现？A否!若r B (n 1+1, n 2) >r A (n 1, n 2+1), 则这席应给B人数席位A 方p 1n 1B 方p 2 n 2提炼出Q 值法当r B (n 1+1, n 2) < r A (n 1, n 2+1), 该席给Ar A , r B的定义)1()1(11212222+<+n n pn n p 该席给A 否则, 该席给B,2,1,)1(2=+=i n n p Q i i ii 定义该席给Q 值较大的一方人数席位A 方p 1n 1B 方p 2 n 2Q 值法的推广应用推广到m 方分配席位新增的一个席位分配给Q 值最大的一方Q 值方法m i n n p Q i i ii ,2,1,)1(2 =+=计算人数席位A 方p 1n 1B 方p 2 n 2Q 值法重新解决席位分配问题1按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系：p 1=103, n 1=10乙系：p 2= 63, n 2= 6丙系：p 3= 34, n 3= 3用Q 值方法分配第20席和第21席系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲103 51.5 10.3 10乙63 31.5 6.3 6丙34 17.0 3.4 4总和200 100.0 20.0 2021席的分配比例结果10.8156.6153.57021.000 21这是一种算法，我们也可以从一开始就用Q 值法，从头到尾逐个分配席位。

第20席3.964334,5.947663,4.961110103232221=⨯==⨯==⨯=Q Q Q 第21席Q 3最大，第21席给丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q 值方法分配结果Q 1最大，第20席给甲系3.964334,5.947663,4.801211103232221=⨯==⨯==⨯=Q Q Q三个系, 甲103人, 乙63人, 丙34人, 公平分配21个席位。

第一次分配：甲1个，乙1个，丙1个；57821345198421635530421103212121=⨯==⨯==⨯=丙乙甲Q,.Q,.Q第二次分配：甲2个，乙1个，丙1个；••• •••第十八次分配：甲11个，乙6个，丙3个；Q值法能保证绝对公平吗？席位分配的公理化尝试所谓公理化，就是事先依据具体的现实问题给出一系列合理的约束，称之为“公理”。

然后在这些公理的约束下寻求解决方案，或者证明这些公理具有不相容性。

席位分配问题有人引入了5条公理：1982年，提出席位分配公理化方法的两位学者M. L. Bolinsky 和H. P . Young 证明了不存在完全满足5条公理的分配方案。

1、人口单调性；人口越多，分配到的席位应越多4、公平分摊性分配的席位应该落在按人口数额应分配的实际数值附近：[P]-≤n ≤[P]+3、名额单调性当决定增加总席位数时，每个单位分配的席位数不应该减少5、接近份额性尽可能的接近按人口分配的席位数2、无偏性；分配时不应有先后次序，同样比例要有同样席位数席位分配问题的启示从这个模型的分析中可以体会到两点：1、建立一个模型之后，应该多方位地去寻找它的缺陷，不断改进、完善。

（实际事物总是非常复杂而且不断发展变化的，在考虑更多的因素、测试方法、新的变化之后，原本看来非常圆满的模型会变的漏洞百出。

）2、席位分配问题中涉及的方法和思路可以应用到其他领域中去。

（比如一些排名问题、评比指标体系等。

）3、实物交换模型甲有物品X，乙有物品Y，双方协议交换一部分物品，怎样制订交换方案使双方都能满意？x y y o 0x o ••交换方案：必须双方都满意。

模型假设：甲有物品X ，乙有物品Y ，双方协议交换一部分物品，怎样制订交换方案使双方都能满意？y x p .用x,y 分别表示甲(乙)占有X,Y 的数量。

设交换前甲占有X 的数量为x 0, 乙占有Y 的数量为y 0, 作图：若不考虑双方对X,Y 的偏爱，则矩形内任一点p (x,y )都是一种交换方案：甲占有(x,y ) ，乙占有(x 0 -x, y 0 -y )对于每一点，甲和乙都会有一个“满意度”。

引入甲的无差别曲线（等满意度曲线）：xy y o y 1y 20x 1x 2x o p 1p 2..如果甲占有(x 1,y 1)与占有(x 2,y 2)具有同样的满意程度，即p 1, p 2对甲是无差别的，M N 将所有与p 1, p 2无差别的点连接起来，得到一条无差别曲线MN ,线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y 的偏爱程度，N 1M 1p 3(x 3,y 3).比MN 各点满意度更高的点如p 3，在另一条无差别曲线M 1N 1上。

于是形成一族无差别曲线（无数条）。

xy y o 0x o AB为什么等满意度(无差别)曲线是单调递减、凹的？从A 到B ：手里的X 太少了，Y 却很多，所以愿意用较多的Y 去换少量的X ，满意度没有变化；从B 到A ：手里X 很充足，也不缺Y ，想跟我换点X 吗？那就多拿点Y 来换吧，可是我只能给你少量的X ，满意度没有变化。