一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)
1．模型
模型是系统知识的抽象表示。我们不能仅仅通过语言来描述一个系统，也不能仅仅通过记忆来记录关于系统的知识。知识是通过某种媒介来表达的，这种媒介所表达的内容就是模型。而知识形成媒介的过程就是建模，或者称为模型化。通常模型可以使用多种不同的媒介来表达，比如纸质或电子文档、缩微模型/原型、音像制品等等。而表达模型的体现方式也是多种多样的，常见的有图表、公式、原型、文字描述等等。
2．数学模型
由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型.如概率的功利化定义。
3．抽象模型
通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型。从实际的人、物、事和概念中抽取所关心的共同特性，忽略非本质的细节把这些特性用各种概念精确地加以描述。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）
1．模型的分类
按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类.形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。
2．数学建模的基本步骤
1）建模准备：确立建模课题的过程；
2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；
3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；
4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；
5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。；
6）模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；
7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用.
3．数学模型的作用
数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。数学模型还物化于各种高新科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站
到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现的。
三、解答题（满分20分）
B 题 (9n+1, 9n+6)
国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持花环组成大型图案方阵，方阵前排距观礼台120米,方阵纵列95人，每列长度192米，试问第一、二两排间距多大能够达到满意的观礼效果？
解：可以认为从观礼位置看到的纵列上每个花的部分是一样的。
设观礼者居高a 米，从观礼位置看到的纵列上每个花的部分高度为b 米。
依题意，每列从第一个人到最后一个人（第95人）有94个间空，列长192米，则每列相邻二人平均间距约2米。
为简单起见，不妨设位于192米长的队列中点前后的两人间隔是2米，则
设第一、二排间距为 x 米，则
于是， （米）
四、综合题（21分）
M. 飞机降落曲线(7n+3, 7n+5, 7n+6)
在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线（图1）. 根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条五次多项式. 飞行的高度为h ，飞机着陆点O 为原点，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u . 出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过
10
g
，此处g 是重力加速度. 1.若飞机从距降落点水平距离s 处开始降落，试确定出飞机的降落曲线. 2. 求开始下降点s 所能允许的最小值.
解： 设飞机开始降落时，距离落点的水平距离为l （km ），机高为h(m)（机场的地面高度取作0）。飞机开始降落和着陆时，都保持水平飞行姿态。
1.可以用不同的函数来模拟飞机的降落曲线。由于有4个隐藏的假定条件，因此我采用三次抛物线（方程假设如下）来模拟飞机的降落曲线，则由上面的初始假定，可以得到4个蕴涵的初始条件，如下：
图1
①：在整个降落过程中，飞机的水平速度保持不变；
②：f（0）=0，f＇（0）=0；
③：f（l）=h，f＇（l）=0；
④：在竖直方向的加速度的绝对值不能超过一个常数K=g/10（K远小于重力加速度）。
2、假设飞机降落曲线的三次抛物线方程为：
根据②③上述所得到的已知条件求出方程中的四个待定系数a，b，c，d，即在Mathmatica运行环境下输入如下公式：
输入：f = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
D[f, x]
输出：即为f(x)
即为f’(x)
输入：
运行后得到如下解：
把上述解代入f（x），则运算后即可得到f（x）的表达式如下：
f（x）=-
x
l
h
3
2
3+
2
2
3
x
l
h
3、代入具体数据进行验证并画出飞机的降落曲线
假定h=1100m，l= 15km，在Mathmatica运行环境下输入：
运行后即可得到f（x）的图形如下：
