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《一元二次方程根与系数关系》表格式教案

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2.（2004 辽宁）已知方程 x 一根及 c 的值. 4、拓展提高
− 4 x + c = 0 的一个根为 2 + 3 ，求另
1.（2004 天津）已知关于 x 的方程 x 个根的 2 倍，求 m 的值.
2
− 3 x + m = 0 的一个根是另一
2.已知两数和为 8，积为 9，求这两个数.
（三）小 结：
2
例 2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？
( x = 2 +1, x = 2 −1)
1 2
( x1 =
7 + 73 5− 73 ,x= ) 4 4
2
太原） 例 3： 2004 太原）已知一元二次方程的两个根是-1 和 2，请你写出一个符 （ 合条件的方程.（你有几种方法？） 例 4：已知方程 2 x
1
2
与系数 a，
观察、思考两根和、 两根积与系数的关 系． 在教师的引导和点 拨下，由学生得出 结论 、
b，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
（二）新课： 新课：
1.根与系数关系： 1.根与系数关系： 根与系数关系 （1）关于 x 的方程
x + px + q =0
2
.
的两根 x1 ， x 2 与系数 p，q 的关系是： x1 + x 2 = − p ， x1 ⋅ x 2 = q 注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。 （2）形如 ax
2
观察上面的表格，你能得到什么结论？ （1） 关于 x 的方程
为常数， p ） x + px + q = 0 ( p, q为常数， − 4q ≥ 0
2 2
的两根 x1 ， x 2 与系数 p，q 之间有什么关系？ （2） 关于 x 的方程 ax
2
+ bx + c = 0(a ≠ 0) 的两根 x ，x
教学方法 教学准备
发现法，引导法 电脑、电视 设计思路
教学活动设计
（一） 问题情境，导入新课： 问题情境，导入新课
解下列方程，并填写表格： 方
2
程
x
1
x
2
x +x
1
2
x ⋅x
1
2
x −2 x=0 x + 3 x − 4= 0
2
通过表格的填写为 学生发现结论作好 铺垫工作.
x − 5 x + 6= 0
2
+ bx + c = 0(a ≠ 0) 的方程，可以先将二次项系数化为 ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
2
1，再利用上面的结论。 即： 对于方程 ∵
a≠0
2
∴x
b c + x + =0 a a
1 2
∴
x + x =−
b a
，
x ⋅x =
1 2
c a
（可以利用求根公式给出证明） 2、应用范例 例 1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：
1.根与系数的关系： 2.根与系数关系使用的前提是： （1）是一元二次方程； （2）判别式大于等于零. 课后作业 本课教学评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
课
题
一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系
1. 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 4.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
教学目标
教学重点 教学难点
根与系数的关系及其推导． 正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的 和，两根的积与系数的关系．
2
+ kx − 9= 0 的一个根是 − 3 ，求另一根及 k 的值. x − 2kx − 9= 0 的两根互为相反数，求 k；
2
变式一：已知方程 变式二：已知方程 3、巩固练习 、
2 x − 5 x + k = 0 的两根互为倒数，求 k；
2
1.已知方程 x
2
−3 x+ m =0
2
的一个根是 1，求另一根及 m 的值.
使学生更加熟练掌 握根与系数的关系
(1) x − 3 x −1= 0
2
(2)2 x + 3 x − 5= 0
2( 3)ຫໍສະໝຸດ 1 2 x −2 x =0 3
2
( 4) 2 x + 6 x = 3
2
(5) x −1= 0 (1) x − 2 2 x +1= 0 (2)2 x − 3 x − 8= 0
2 2
(6) x − 2 x +1= 0

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《一元二次方程根与系数的关系》教案.doc

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《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。

2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。

3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。

教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。

教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。

数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

一、自学互研 探索发现（每小题10分，共30分）（自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。

学生独立完成导学案，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；小组长检查小组成员完成情况；分小组汇报自学成果。

【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。

通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。

培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。

【学案内容】：1、方程：X 2+3X –4=0（1）二次项系数是_____ ，一次项系数是______ ，常数项是______。

（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ 。

（3）则X 1+X 2=_______， 方程中 （）二次项系数一次项系数=- (4) X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1）二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。

《一元二次方程根与系数的关系》教案

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一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。

2、会利用定理求解一元二次方程两根之和与两根之积。

3、通过学生自己探索，发现根与系数关系，增强学生信心，激发学生对于数学的学习兴趣和探究欲望。

教学重点1、根与系数关系及运用 教学难点1、如何通过求根公式发现韦达定理。

2、如何运用韦达定理解决一些一元二次方程的求解问题。

过程一、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

ax 2+bx+c=0 (a ≠0) x= (b 2-4ac ≥0)(2)求一个一元二次方程，使它两根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 二、新课讲解如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q猜想：2x 2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？设x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则两根之和与两根之积与各项系数之间有什么样的关系？ x 1+x 2= x 1·x 2=三、巩固练习a acb b 242-±-a b-ac口答下列方程的两根之和和与两根之积。

1）x 2-3x+1=0 2) x 2-2x=2 3) 2x 2-3x=0 4) 3x 2=1 判断对错，如果错了，说明理由。

1) 2x 2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。

2） x 2+2=0两根之和0，两根之积2。

3） x 2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。

四、能力提高例题1 已知方程x 2+kx+k+2=0的两个实数根是x 1,x 2且x 12+x 22=4求k 的值 解：（略）引申:（1、若ax 2+bx +c =0 (a ≠0 且 ∆≥0) （1）若两根互为相反数,则b =0; （2）若两根互为倒数,则a =c;（3）若一根为0,则c =0 ; （4）若一根为1,则a +b +c =0 ;（5）若一根为-1,则a -b +c =0; （6）若a 、c 异号,方程一定有两个实数根例题2 方程mx 2-2mx+m-1=0(m ≠0 ) 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围。

2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教案

2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教案

2.一元二次方程的根与系数的关系：推导并证明一元二次方程ax²+bx+c=0的两根x1、x2与系数a、b、c之间的关系，即x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。并通过实例说明这一关系在实际问题中的应用。
本节内容旨在帮助学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系，为解决实际问题和进行后续学习打下基础。
最后，我感到欣慰的是，尽管存在一些挑战，但大多数学生还是能够跟上课程的节奏，并在小组讨论和实践中展现出积极的学习态度。我会根据今天的反思，调整教学方法，以期在下一节课中更好地帮助学生理解和掌握一元二次方程的根与系数关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：一元二次方程的根与系数的关系，特别是根的判别式Δ=b²-4ac的意义及其与根的关系。
-举例解释：重点讲解判别式Δ的应用，如何通过判别式判断方程有几个实数根、无实数根或有重根，以及如何利用根与系数的关系求出方程的根的和与积。
-核心内容强调：
a.判别式Δ的计算方法及其与一元二次方程根的数量的关系。
-难点突破方法：
a.通过具体的例子，逐步引导学生理解判别式的计算过程，并解释其在判断根的性质时的作用。
b.设计不同类型的实际问题，指导学生如何将问题转化为一元二次方程，并运用根与系数的关系解决问题。
c.采用直观的图表或动画辅助教学，帮助学生形象理解根与系数之间的关系。
d.组织小组讨论，让学生在合作交流中互相启发，共同解决难点问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。这是指在ax²+bx+c=0的一元二次方程中，根x1、x2与系数a、b、c之间的数学关系。这种关系在数学分析和问题解决中具有重要地位。
《一元二次方程的根与系数的关系》教案

《一元二次方程的根与系数的关系》教案

《一元二次方程的根与系数的关系》教案教学目标1、知识目标：使学生掌握一元二次方程根与系数关系，并初步应用．2、能力目标：不断提高学生呃观察分析及推理运用能力．2、思想目标：使学生进一步了解事物都是相互制约得辩证唯物主义关系以及由特殊到一般在有一班到特殊的思想方法．教学重点根与系数的关系与应用．难点：根与系数的发现与准确掌握．教学方法1、搞清来源．2、分清条件和结论．3、注意应用．4、精选练习．5、注意思维能力的培养．教学过程一、复习提问一元二次方程一般式及求根公式让学生认识求根公式反映了根与系数关系(强调a≠0)引言、一元二次方程求根公式反映了根与系数关系吗？一元二次方程还有其他的根与系数关系吗？我们说有：今天我们就讲一元二次方程的根与系数关系．引出新课，板书课题．二、学生活动一(出示小黑板)解下列方程并观察x1+x2，x1x2与a，b，c的关系．(1)x2-2x=0(2)x2-3x-4=0(3)x2-5x+6=0学生答：二次项系数为1有是为了研究问题的方便，我们把二次项系数为1的方程设为x2+px +q =0的形式，同学们归纳总结x 1，x 2与x 2+px +q =0系数的关系x 1+x 2=-px 1x 2=q ．板书型如x 2+px +q =0的方程的两根x 1，x 2那么x 1+x 2=-px 1x 2=q ．三、学生活动二出示小黑板，解下列方程并观察x 1+x 2，x 1x 2与a ，b ，c 的关系．1212板书型如ax 2+bx +c =0的方程的两根x 1，x 2那么x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=ac，这就是一元二次方程的根与系数的关系，同学们探索如果已知a ，b ，c 我们可求出x 1，x 2在a ，b ，c ，x 1，x 2是否已知3个量就可以求出其他3个量呢，看下面的问题．例、求下列方程两根的和与两根的积． (1)x 2+2x -5=0；(2)2x 2+x =1 四、学生练习 (1)x 2-3x +1=0(2)2x 2-9x +5=0 (3)4x 2-7x +1=0 (4)2x 2+3x =0 (5)6x 2-1=0 (6)3x 2-2x =-2 (7)3x 2=1教师讲解同时归纳运用根与系数应注意哪些． 1、化成一般式． 2、二次项系数化1． 3、不要漏掉“—“．学生练习已知方程3x 2-19x +m =0的一根是1，求另一根及m 的值．(学生板演) 五、课堂小结今天这节课你学到了什么，由学生完成，教师适当讲解． 作业P23页1、2题． 思考题m取何值时方程x2+mx+m-1=0(1)两根之和为1.(2)两根之积为-1.(3)两根互为倒数.(4)两根互为相反数.(5)一根为0.。