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概率论与数理统计实验报告实验题目：蒙特卡洛算法计算积分实验时间：2012.06.01姓名：王文栋学号：2110904023班级：物理试验班12实验报告一．实验目的1.初步了解蒙特卡洛算法，以及用其计算一些高等数学中不能直接计算出的积分；2.计算出的真值与蒙特卡洛法得值的差值，比较其有效性。
二．实验原理1. 蒙特卡洛法的思想简述当我们所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
有一个例子我们可以比较直观地了解蒙特卡洛方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。
蒙特卡洛方法是如下计算的：假想有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。
当豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
2. 蒙特卡洛法与积分通常蒙特卡洛方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。
对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡洛方法是一种有效的求出数值解的方法。
一般蒙特卡洛方法在数学中最常见的应用就是蒙特卡洛积分。
非权重蒙特卡洛积分，也称确定性抽样，是对被积函数变量区间进行随机均匀抽样，然后对被抽样点的函数值求平均，从而可以得到函数积分的近似值。
此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理。
3. 本实验原理简述在本实验中，我们主要是计算积分值与误差比较。
在计算积分时，我们要选择合适的变量分布，其中有均匀分布，有正态分布，要视情况而选择。
在利用蒙特卡洛方法计算积分时，我们要分情况。
①对于积分为这种形式，我们可以转化为这种形式，然后利用其等于（b-a）E(x)的计算结果。
E(x)可利用求随机变量的均值来得到。
蒙特卡洛计算概率与分位概率和分位是统计学中常用的概念，用于描述随机变量的特征。
而蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，广泛应用于概率和分位的估计。
本文将介绍蒙特卡洛方法在计算概率和分位上的应用，并探讨其优势和限制。
一、概率的蒙特卡洛计算概率是描述随机事件发生可能性的数值，常用的计算方法有频率法和蒙特卡洛法。
频率法通过实验重复多次来估计概率，其结果趋近于真实概率。
而蒙特卡洛法则是通过随机抽样的方式来估计概率，其基本思想是通过大量的随机实验来模拟随机事件的发生情况，从而得出概率的估计值。
蒙特卡洛方法在计算概率时的优势在于可以处理复杂的概率分布和随机事件。
以投掷硬币为例，我们想要计算正面朝上的概率。
通过蒙特卡洛方法，我们可以模拟大量的投掷实验，记录正面朝上的次数，并将其除以总实验次数，得到正面朝上的概率估计值。
同样的方法也适用于更复杂的情况，比如计算掷骰子点数为6的概率。
但是蒙特卡洛方法也存在一些限制。
首先，它需要进行大量的实验才能得到准确的结果，这会消耗大量的计算资源和时间。
其次，蒙特卡洛方法只能给出概率的估计值，并不能保证结果的准确性。
最后，蒙特卡洛方法对随机数生成器的质量要求较高，如果生成的随机数序列不具有良好的随机性，则会对结果产生影响。
二、分位的蒙特卡洛计算分位是描述随机变量取值位置的数值，常用的计算方法有经验分位法和蒙特卡洛法。
经验分位法是通过观察数据的分布情况来估计分位的位置，但对于复杂的分布情况，经验分位法的效果可能不理想。
而蒙特卡洛法则可以通过随机抽样的方式来估计分位的位置，其基本思想是通过大量的随机实验来模拟随机变量的取值情况，从而得出分位的估计值。
蒙特卡洛方法在计算分位时的优势在于可以处理复杂的分布情况和分位位置。
以正态分布为例，我们想要计算其95%分位。
通过蒙特卡洛方法，我们可以生成大量的随机数样本，按照从小到大的顺序排列，然后取排在95%位置上的数值作为分位的估计值。
本科实验报告实验名称：《概率与统计》随机模拟实验随机模拟实验实验一设随机变量X 的分布律为-i P{X=i}=2,i=1,2,3......试产生该分部的随机数1000个，并作出频率直方图。
一、实验原理采用直接抽样法：定理：设U 是服从[0,1]上的均匀分布的随机变量，则随机变量-1()Y F U =与X 有相同的分布函数-1()Y F U =（为F(x)的逆函数），即-1()Y F U =的分部函数为()F x .二、题目分析易得题中X 的分布函数为1()1- ,1,0,1,2,3, (2i)F x i x i i =≤≤+=若用ceil 表示对小数向正无穷方向取整，则F(x)的反函数为产生服从[0,1]上的均匀分布的随机变量a ，则m=F -1(a)则为题中需要产生的随 机数。
三、MATLAB 实现f=[]; i=1;while i<=1000a=unifrnd(0,1); %产生随机数a ，服从【0,1】上的均匀分布 m=log(1-a)/log(1/2);b=ceil(m); %对m 向正无穷取整 f=[f,b]; i=i+1; enddisplay(f);[n,xout]=hist(f); bar(xout,n/1000,1)产生的随机数（取1000个中的20个）如下：-1ln(1-)()1ln()2a F a ceil ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦频率分布直方图实验二设随机变量X 的密度函数为24,0,()0,0x xe x f x x -⎧>=⎨≤⎩试产生该分布的随机数1000个，并作出频率直方图 一、实验原理取舍抽样方法，当分布函数的逆函数难以求出时，可采用此方法。
取舍抽样算法的流程为：（1） 选取一个参考分布，其选取原则，一是该分布的随机样本容易产生；二是存在常数C ，使得()()f x Cg x ≤。
（2） 产生参考分布()g x 的随机样本0x ； （3） 独立产生[0,1]上的均匀分布随机数0u ；（4） 若000()()u Cg x f x ≤，则保留x 0,作为所需的随机样本；否则舍弃。
用蒙特卡洛方法估计积分值一.实验目的：1.初步了解蒙特卡洛算法及其用途2.利用蒙特卡洛算法计算积分值并与其真实之进行比较二.实验原理：做Monte Carlo 时，求解积分的一般形式是：X 为自变量，它应该是随机的，定义域为(x0, x1)，f(x)为被积函数，ψ(x)是x 的概率密度。
Monte Carlo 步骤：1．依据概率分布ψ(x)不断生成随机数x, 并计算f(x)由于随机数性质，每次生成的x 的值都是不确定的，为区分起见，我们可以给生成的x 赋予下标。
如x i 表示生成的第i 个x 。
生成了多少个x ，就可以计算出多少个f(x)的值2．误差分析Monte Carlo 方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要给出此估计值的波动程度及区间估计。
严格的误差分析首先要从证明收敛性出发，再计算理论方差，最后用样本方差来替代理论方差。
三．实验内容：第一题 估计积分，并将估计值与真值进行比较(1).∫322dx x将被积函数展开成[2,3]上的均匀分布，1)(=x f x 2)(x x h =真值为6.3333程序内容运算结果（2）xdx x sin 20∫π将被积函数展开为[0,2π]上的均匀分布，π2)(=x f x ，x x x h sin 2)(π=真值为1程序内容运算结果（3）∫+∞−02dxe x将被积函数展开为（0, ∞+）上参数为2的卡方分布，f(x)=,ℎ()=2程序内容运算结果：第二题估计积分，并对误差进行估计（1）.∫将被积函数展开为(0,1)均匀分布，f(x)=1,ℎ()=程序内容运算结果(2)∫√将被积函数展开为(0,10)上的均匀分布，f(x)=0.1,ℎ()=√ 程序内容四.实验总结：通过实验了解了概率论在值估计及生活中的运用。
通过对上面五个问题的求解知道，由于随机数的任意性，虽然计算机每次的运行结果都是不一样的，但是结果往往与理论值偏差不大。
用蒙特卡洛方法计算积分简介蒙特卡洛方法是一种通过随机抽样来计算数学问题的方法。
在计算积分时，蒙特卡洛方法可以提供一种简单而有效的解决方案。
方法步骤1. 确定积分范围：首先确定要计算的积分范围，并将其表示为一个多维的定积分。
2. 创建随机点：生成一组随机点，这些随机点需要在积分范围内均匀分布。
3. 判断点的位置：对于每个随机点，判断它是否在被积函数的曲线下方。
4. 计算积分值：计算在被积函数下方的点数与总随机点数的比例，并乘以积分范围的体积，得到积分的近似值。
优势和注意事项蒙特卡洛方法的优势在于其简单性和适用性广泛性。
然而，在使用蒙特卡洛方法进行积分计算时，需要注意以下几点：- 随机点的数量：随机点的数量越多，计算结果越精确，但计算时间也会增加。
- 积分范围的选择：选择合适的积分范围可以提高计算效率和准确性。
- 随机点的生成：生成随机点需要遵循均匀分布原则，以确保计算结果的准确性。
示例以下是使用蒙特卡洛方法计算积分的示例代码：import randomdef monte_carlo_integration(f, a, b, n):count = 0for _ in range(n):x = random.uniform(a, b)y = random.uniform(min(f(a), f(b)), max(f(a), f(b)))if 0 < y <= f(x):count += 1return count / n * (b - a) * (max(f(a), f(b)) - min(f(a), f(b)))def f(x):被积函数定义，根据实际情况修改return x**2a = 0 # 积分下限b = 1 # 积分上限n = # 随机点数量result = monte_carlo_integration(f, a, b, n)print("Approximate integral value:", result)注意：上述代码仅为示例，实际运行时请根据需要修改被积函数和参数。
蒙特·卡罗（Monte Carlo）法是一种统计模拟方法，通常是利用随机数来解决一些数值计算问题，本文要讲的就是利用蒙特·卡罗方法来求解数值积分。
基本思路首先我们知道定积分其实就是一个面积，将其设为I，现在我们就是要求出这个I。
我们的想法是通过在包含定积分的面积为S的区域（通常为矩形）内随机产生一些随机数，其数量为N，再统计在积分区域内的随机数，其数量为i，则产生的随机数在积分区域内的概率为iN，这与积分区域与总区域面积的比值IS应该是近似相等的，我们利用的就是这个关系，即IS≈iN最后即得所求定积分算式为：I=iNS代码部分有了上面的铺垫，我们就可以来写MATLAB代码了。
我们要求的定积分为∫0πsinxdx.对于上述积分我们很容易可以得到其解析解为2，下面我们来看用蒙特·卡罗方法得到的结果，输入代码% Monte Carlo% 蒙特卡洛法求定积分clearN = 1e4;x_min = 0; x_max = pi;f = @(x) sin(x);xx =x_min:0.01:x_max;x = x_min + (x_max-x_min)*rand(N,1);y_min = min(f(xx)); y_max = max(f(xx));y = y_min +(y_max-y_min)*rand(N,1);i = y < f(x);I = sum(i)/N*(x_max-x_min)*(y_max-y_min);% 画图plot(x,y,'go',x(i),y(i),'bo')axis([x_min x_max y_min y_max])hold onplot(xx,f(xx),'r-','LineWidth',2)。
概率论实验报告
——蒙特卡洛方法估计积分值
姓名：
学号：
班级：
实验内容：用蒙特卡洛方法估计积分值
1用蒙特卡洛方法估计积分 20sin x xdx π
⎰，2-0x e dx +∞⎰和
22221x y x y e dxdy ++≤⎰⎰的值，并将估
计值与真值进行比较。
2用蒙特卡洛方法估计积分 21
0x e dx ⎰
和
22x y +≤⎰⎰的值，
并对误差进行估计。
要求：（1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；
（2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值；
（3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针对第1类题）或样本方差（针对第2类题）以评价估计结果的精度。
目的：（1）能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数及其期望、方差、协方差等；
（2） 熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息；
（3） 能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。
实验一、估计2
sin x xdx π
⎰的值，并将估计值与真值进行比较。
MATLAB 代码：
s=0;m=0;f=0;r=0;n=50;
h(1:10)=0;
for j=1:10
for i=1:n
a=unifrnd(0,pi/2,n,1);
x=sort(a); y=pi/2*mean(x.*sin(x)); s=s+y;
end
b=s./n;
fprintf('b=%.4f\n',b);
h(j)=b;
s=0;
m=m+b;
end
p=m./10
z=1
for j=1:10
r=(h(j)-z).^2; f=f+r;
end
f=f./10;
fprintf('f=%.6f\n',f)
运行结果：
b=1.0026
b=1.0061
b=1.0037
b=1.0135
b=0.9932
b=0.9988
b=1.0213
b=1.0310
b=0.9813
b=1.0041
p =
1.0056
z =
1
f=0.000207
>> （运行截图）
结果显示f=0.000207，表明估计结果与理论值非常接近。
实验二、估计
2
-0x e dx +∞
⎰的值，并将估计值与真值进行比较。
I=dx e x ⎰+∞-02=1/2*pi dx e pi e x x *2***2/1*2/2/22-+∞∞--⎰ =)(x f x 2/2**2/1x e pi - g(x)=e pi x *2*2/2-
)(x f x 为标准正态分布的概率密度.分别取10个估计值h(j)，求得估计值的均值p ，对照积分的真实值求得估计均方误差f 。
MATLAB代码：
s=0;m=0;f=0;n=50;r=0;
h(1:10)=0;
for j=1:10
for i=1:n
a=normrnd(0,1,1,n);
x=sort(a); z=(sqrt(2.*pi)).*exp(-x(i).^2./2); s=s+z; end
b=(s./n)./2; fprintf('b=%.4f\n',b);
h(j)=b; s=0; m=m+b;
end
p=m./10
z=sqrt(pi)./2
for j=1:10
r=(h(j)-z).^2;
f=f+r;
end
f=f./10;
fprintf('f=%.6f\n',f)
运行结果：
b=0.8779
b=0.8650
b=0.8826
b=0.8551
b=0.8855
b=0.8823
b=0.8771
b=0.8641
b=0.9186
b=0.8740
p =
0.8782
z =
0.8862
f=0.000329
>> （运行截图）结果显示估计结果与真实值的方差为f=0.00329，估计结果与真实值非常接近。
实验三、估计
2222
1x y x y e dxdy ++≤⎰⎰的值，并将估计值与真值进行比较。
MATLAB 代码：
m=10000;sum=0;n=50;D=0;
X=unifrnd(-1,1,n,m);Y=unifrnd(-1,1,n,m);
for i=1:n
a=0;
for j=1:m
if(X(i,j)^2+Y(i,j)^2<=1)
Z(i,j)=exp(X(i,j)^2+Y(i,j)^2);
a=a+Z(i,j);
end
end
S(i)=a/m;sum=sum+S(i);
end
I=sum/n*4
for i=1:n
D=D+(S(i)*4-pi*(exp(1)-1))^2;
end
d=D/n
运行结果：
I =
5.4006
d =
0.0012
I =
5.4069
d =
9.5383e-004
>> （运行截图）
实验四、估计2
1
0x e dx ⎰的值，并对误差进行估计。
此积分采用的是均匀分布。
g(x)=2
x e ,)(x f x =1.x>0.分别取10个估计值h(j)，求得估计值的均值p ，对照积分的真实值求得估计均方误差f 。
MATLAB代码：
s=0;m=0;f=0;r=0;n=50;
h(1:10)=0;
for j=1:10
for i=1:n
a=unifrnd(0,1,n,1);
x=sort(a); y=exp(x(i).^2); s=s+y;
end
b=s./n;
fprintf('b=%.4f\n',b);
h(j)=b;
s=0; m=m+b;
end
p=m./10
for j=1:10
r=(h(j)-p).^2; f=f+r;
end
f=f./9;
fprintf('f=%.6f\n',f)
运行结果：
>> clear
b=1.4546
b=1.4723
b=1.4540
b=1.4584
b=1.4663
b=1.4341
b=1.4695
b=1.4314
b=1.4605
b=1.4938
p =
1.4595
f=0.000331
>> （运行截图）结果显示，误差为0.000331，以平均值作为真实值，均方误差也比较小。
实验五、估计
22
44 1
1
1
x y
dxdy x y
+≤++
⎰⎰的值，并对误差进行估计。
MATLAB代码：
n=1000;m=100;sum=0;S=0;I=0;
x=unifrnd(-2,2,m,n);y=unifrnd(-2,2,m,n);
for j=1:m
s=0;
for i=1:n
if x(j,i)^2+y(j,i)^2<=4
s=s+16/sqrt(1+x(j,i)^4+y(j,i)^2);
end
end
S(j)=s/n;sum=sum+S(j);
end
I=sum/m; D=0;d=0;
for j=1:m
D=D+(I-S(j))^2;
end
d=D/(m-1)
I
运行结果：
d =
0.0284
I =
7.4566
>> （运行截图）。
