蒙特卡洛方法与定积分计算

蒙特卡罗方法计算定积分作者：黄婧涵来源：《科学家》2017年第07期摘要数学领域中，定积分计算问题应用广泛，经典的定积分数学定义方法可直接用于求解定积分，但是，对于函数解析式未知的情况下，传统的数学定义方法无法进行定积分计算，而蒙特卡罗方法对函数解析式不进行限制，其以概率方法进行近似计算从而逐渐逼近定积分理论值。

本文针对函数解析式已知与未知的两种情况，分别以定积分数学定义方法和蒙特卡罗方法进行定积分计算，并从算法收敛速度以及计算结果精确度两方面对算法进行评测。

实验结果表明，定积分数学定义法收敛速度快，计算精度高，但是普适性低，对于函数解析式未知情况下无法进行计算；而蒙特卡罗方法尽管收敛速度较慢，但是普适性极高，且函数解析式未知情况下，效果更优。

关键词微积分；定积分；蒙特卡罗方法；收敛速度中图分类号 O1 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2017）07-0003-021 概述微积分[ 1 ]是数学领域的一个基础学科，是高等数学中研究函数微分、积分以及有关概念与应用的数学分支，其研究范畴包含3个方面：微分、积分以及微分与积分两者之间的关系。

若（）f x是[a，b]上的连续函数，并且有’（）（）F xf x=，则（）（）（）baf x dxF bF a∫=？。

也就是说，一个定积分的值就是原函数积分上限的值与原函数在积分下限的值的差值，即牛顿-莱布尼兹公式计算定积分。

其表明对于图形无限细分再累加成为可能，并可将其转化为对积分的计算，揭示了积分与微分本质的关系，因此牛顿-莱布尼兹公式又称微积分基本定理。

然而计算定积分[ 2 ]的数学定义方法以及牛顿-莱布尼兹公式方法都仅限于函数（）f x解析式已知的情况，对于（）f x未知解析式的情况下，无法进行定积分求解。

蒙特卡罗（Monte-Carlo）[3]方法是20世纪40年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，被提出的一种以概率理论[4]为指导的一类极其重要的数值计算方法，是以随机抽样为主要手段，使用随机数（或伪随机数）解决数值计算问题的方法，又称统计模拟方法。

基于蒙特卡罗算法计算圆周率和定积分数摘要：文章描述了如何用蒙特卡罗算法计算圆周率π和不规则函数定积分的值，蒙特·卡罗方法，也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。

是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

关键词：蒙特卡罗算法；随机；圆周率,积分；•The monte Carlo method is used to calculate the value of PI and definite integralYE Chuhan Guan Mengyu Luo Yudong(Software College, Shenyang Normal University, Shenyang 110034,China)Abstract: Article describes how to use a monte carlo algorithm calculating the value of PI and irregular function of definite integral, monte carlo method, also known as statistical simulation method, in the mid - 1940 due to the development of science and technology and the invention of the computer, and proposed a kind of probability and statistics theory as the guidance of a class of important numerical method.Random Numbers (or, more commonly, pseudorandom Numbers) are used to solve many computational problems.Keywords: Monte Carlo method; Pi; random; Definite integral;引言综述目前研究现状，人们很早就发现了圆周率，中国古代数学家刘徽在三国时期，就利用割圆术计算了圆周率小数点后3位。

文章标题：探索matlab中的蒙特卡洛法求定积分在数学和计算科学中，求解定积分是一个常见的问题。

传统的数值积分方法中，蒙特卡洛法是一种非常有趣和强大的方法，能够对一些特殊的不易求解的定积分问题提供解决方案。

而在matlab这一强大的数学计算软件中，蒙特卡洛法同样有着广泛的应用。

1. 什么是蒙特卡洛法？蒙特卡洛法是一种基于随机采样的数值积分方法，其核心思想是利用随机抽样的方法逼近定积分的值。

具体来说，对于给定的函数$f(x)$以及区间$[a, b]$，蒙特卡洛法通过对函数在该区间上进行随机采样，并利用采样点的平均值来逼近定积分的值。

2. 在matlab中应用蒙特卡洛法在matlab中，可以利用蒙特卡洛法求解定积分问题。

通过生成服从均匀分布的随机数，并代入原函数，然后求解采样点的平均值，可以得到定积分的近似值。

matlab内置了丰富的数学计算和随机数生成函数，能够方便地实现蒙特卡洛法的计算。

3. 实例分析：使用matlab进行蒙特卡洛法求解定积分假设我们要求解函数$f(x)=x^2$在区间$[0, 1]$上的定积分，即$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$$我们可以在matlab中编写如下代码：```matlabN = 1000000; % 设定采样点的个数X = rand(1, N); % 生成均匀分布的随机数Y = X.^2; % 代入原函数integral_value = mean(Y); % 求解采样点的平均值```通过上述代码，我们得到了定积分的近似值integral_value。

在这个例子中，我们利用蒙特卡洛法求得了定积分的近似值。

4. 总结与展望通过本文的介绍，我们对matlab中蒙特卡洛法求解定积分的方法有了初步的了解。

蒙特卡洛法作为一种基于随机采样的数值积分方法，在matlab中有着广泛的应用。

在实际应用中，我们可以根据定积分的具体问题来灵活选择采样点的个数，并结合matlab强大的数学计算能力，在求解定积分问题中取得更加准确的结果。

python编程通过蒙特卡洛法计算定积分详解想当初，考研的时候要是知道有这么个好东西，计算定积分。

开玩笑，那时候计算定积分根本没有这么简单的。

但这确实给我打开了⼀种思路，⽤编程语⾔去解决更多更复杂的数学问题。

下⾯进⼊正题。

如上图所⽰，计算区间[a b]上f(x)的积分即求曲线与X轴围成红⾊区域的⾯积。

下⾯使⽤蒙特卡洛法计算区间[2 3]上的定积分：∫(x2+4*x*sin(x))dx# -*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef f(x):return x**2 + 4*x*np.sin(x)def intf(x):return x**3/3.0+4.0*np.sin(x) - 4.0*x*np.cos(x)a = 2;b = 3;# use N drawsN= 10000X = np.random.uniform(low=a, high=b, size=N) # N values uniformly drawn from a to bY =f(X) # CALCULATE THE f(x)# 蒙特卡洛法计算定积分：⾯积=宽度*平均⾼度Imc= (b-a) * np.sum(Y)/ N;exactval=intf(b)-intf(a)print "Monte Carlo estimation=",Imc, "Exact number=", intf(b)-intf(a)# --How does the accuracy depends on the number of points(samples)? Lets try the same 1-D integral# The Monte Carlo methods yield approximate answers whose accuracy depends on the number of draws.Imc=np.zeros(1000)Na = np.linspace(0,1000,1000)exactval= intf(b)-intf(a)for N in np.arange(0,1000):X = np.random.uniform(low=a, high=b, size=N) # N values uniformly drawn from a to bY =f(X) # CALCULATE THE f(x)Imc[N]= (b-a) * np.sum(Y)/ N;plt.plot(Na[10:],np.sqrt((Imc[10:]-exactval)**2), alpha=0.7)plt.plot(Na[10:], 1/np.sqrt(Na[10:]), 'r')plt.xlabel("N")plt.ylabel("sqrt((Imc-ExactValue)$^2$)")plt.show()>>>Monte Carlo estimation= 11.8181144118 Exact number= 11.8113589251从上图可以看出，随着采样点数的增加，计算误差逐渐减⼩。

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蒙特·卡罗（Monte Carlo）法是一种统计模拟方法，通常是利用随机数来解决一些数值计算问题，本文要讲的就是利用蒙特·卡罗方法来求解数值积分。

基本思路首先我们知道定积分其实就是一个面积，将其设为I，现在我们就是要求出这个I。

我们的想法是通过在包含定积分的面积为S的区域（通常为矩形）内随机产生一些随机数，其数量为N，再统计在积分区域内的随机数，其数量为i，则产生的随机数在积分区域内的概率为iN，这与积分区域与总区域面积的比值IS应该是近似相等的，我们利用的就是这个关系，即IS≈iN最后即得所求定积分算式为：I=iNS代码部分有了上面的铺垫，我们就可以来写MATLAB代码了。

我们要求的定积分为∫0πsin⁡xdx.对于上述积分我们很容易可以得到其解析解为2，下面我们来看用蒙特·卡罗方法得到的结果，输入代码% Monte Carlo% 蒙特卡洛法求定积分clearN = 1e4;x_min = 0; x_max = pi;f = @(x) sin(x);xx =x_min:0.01:x_max;x = x_min + (x_max-x_min)*rand(N,1);y_min = min(f(xx)); y_max = max(f(xx));y = y_min +(y_max-y_min)*rand(N,1);i = y < f(x);I = sum(i)/N*(x_max-x_min)*(y_max-y_min);% 画图plot(x,y,'go',x(i),y(i),'bo')axis([x_min x_max y_min y_max])hold onplot(xx,f(xx),'r-','LineWidth',2)。

蒙特卡洛方法与定积分计算蒙特卡洛方法和定积分都是数学中常用的计算方法。

蒙特卡洛方法是一种基于随机数的统计计算方法，用于估计数值问题的解。

定积分则是一种通过将函数与自变量相乘并对其积分来计算曲线下的面积的方法。

本文将分别介绍蒙特卡洛方法和定积分的原理和应用，并比较两者的优劣。

蒙特卡洛方法是以蒙特卡洛赌场（Monte Carlo Casino）命名的一种计算方法，最早由美国科学家冯·诺依曼（John von Neumann）于20世纪40年代提出。

蒙特卡洛方法的基本思想是通过随机抽样和统计分析来估计数值问题的解。

具体而言，蒙特卡洛方法随机选择输入数据，并运行多次模拟来获取输出结果的分布情况。

通过对这些输出结果的统计分析，可以得到数值问题的解或近似解。

蒙特卡洛方法在很多领域都有广泛的应用。

其中最著名的应用之一是估计圆周率π的值。

通过在单位正方形内随机投点，并统计落在单位圆内的点的个数，可以得到一个π/4的近似值。

这是因为单位圆的面积为π，而单位正方形的面积为1，所以圆内点的比例即为π/4、通过增加抽样次数，可以得到更精确的π的近似值。

此外，蒙特卡洛方法还可以应用于金融建模、风险评估、物理模拟等领域。

定积分是微积分的一项基础概念，用于计算曲线下的面积。

定积分的计算公式为∫f(x)dx，其中f(x)表示被积函数，dx表示一个无限小的自变量增量。

定积分的计算过程可以看作是将函数与自变量相乘，并对其积分。

曲线下的面积即为定积分的值。

定积分可以通过几何方法、代数方法或数值计算方法等多种方式进行计算。

定积分在数学和物理学中有广泛的应用。

例如，通过计算函数曲线下的面积，可以得到函数的平均值、变化趋势、极值点等信息。

此外，定积分还可以用于求解一些平面图形或空间图形的面积、体积等几何问题。

在物理学中，定积分可以用于计算质点的位移、速度、加速度等运动参数，以及作用力、功等动力学参数。

比较蒙特卡洛方法和定积分，它们各自具有一些优势和劣势。