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抽象与概括在数学思维中也是两个很常用的思维方法。
特别是在概念形成的学习中，主要是靠抽象与概括的思维方法。
一、抽象所谓抽象，就是对同类事物，抽取其共同的本质属性或特征，舍弃其非本质的属性或特征的思维过程。
任何抽象都依赖于所研究的对象的性质、特点和研究它的目的。
概念的抽象也同样地要依赖于所研究的对象的性质、特点和研究它的目的。
1．等同性抽象(或称弱抽象)。
等同性抽象就是从同一类事物中抽取其本质特征，同时舍弃其非本质属性的思维过程。
这种抽象的特点是把同类事物按其同一的共同属性，建立起等价集合类，并且从等价集合的观点看，它们都具有相同的性质，从而抽象出这类集合的共同性质，形成概念，这个概念的内涵即是这类等价集合的共同特征。
在概念的等同性抽象过程中。
它表现为对研究对象的观察、比较、分析、综合、分类、提取、舍弃等一系列过程。
这一过程表现为特殊到一般的过程。
2．强化性抽象(或称强抽象)。
强化性抽象就是指通过把一些新的特征加入到某一概念中而形成的新概念的抽象过程。
这种抽象从逻辑上讲，主要表现为“种加类差”形式的抽象。
强化抽象总是在某一概念基础上的抽象，抽象的结果(新概念)又类属于原概念，即是原概念的类概念。
它们之间是一种从属关系。
因此这种抽象过程，容易形成概念间的关系结构——概念体系。
从现代认知观点来看，强化性抽象表现出一种概念的认知同化过程，即类属同化过程。
3．理想化抽象(或称构造性抽象)。
理想化抽象是指从数学研究的需要出发，人们构造出一些理想化的对象(数学概念)的思维过程。
这种抽象的结果是一种理想化的观念形态。
这种观念形态虽不是现实世界中的具体的实物对象，但它的出现(抽象结果)有利于数学研究。
例如，几何中的“点”、“线”、“面”、“体”，代数中的“虚数”等概念就是理想化抽象的产物。
4．公理化抽象。
公理化抽象是数学中或出于逻辑上的需要，或为了克服数学内部的矛盾(悖论)而形成的一种数学抽象。
前者如自然数的皮亚诺公理，就是一种对自然数(序数)的概念的一种抽象所得的结果。
第一章基础心理学心理学的定义：是研究心理现象发生、发展和活动规律的科学。
普通心理学：是以正常成人的心理现象为研究对象，总结心理活动最普遍、最一般规律的心理学的最基础的学科。
普通心理学的内容：分为四个方面：认知；情绪、情感和意志；需要和动机；能力和人格。
上述心理现象又可分为两大类，即心理过程和人格。
人的心理的本质：1. 心理是脑的功能。
脑是心理活动的器官。
2. 心理是客观现实的反映。
客观现实是心理的源泉和内容。
3. 心理是以活动的形式存在的。
心理支配人的行为活动，又通过行为活动表现出来。
4. 心理学是界于自然科学和社会科学之间的中间学科或叫边缘学科。
科学心理学的建立：德国心理学家冯特于1879年在莱比锡大学建立世界上第一个心理学实验室，这被看作是科学心理学诞生的标志。
学派的纷争1.构造心理学派：冯特、铁钦纳2.行为主义学派代表人：华生3.格式塔心理学派：魏特海墨等4.机能主义心理学派：詹姆士5.精神分析学派：弗洛伊德研究心理学的原则：1.客观性原则2.辨证发展原则3.理论联系实际的原则心理学的研究方法1.观察法2.调查.3.个案法4.实验法神经系统的基本结构单位、脑的基本结构单位是神经元神经元可分为：感觉神经元（传入神经元）运动神经元（传出神经元）和中间神经元（在感觉和运动神经元之间起联络作用的联络神经元）三种。
神经元包括细胞体、树突和轴突神经元功能是接受刺激、传递信息和整合信息神经系统包括中枢神经系统和外周神经系统中枢神经系统包括：脊髓和大脑外周神经系统包括：躯体神经系统；自主神经系统自主神经系统：又是植物神经系统工程；一般不受意识的支配包括交感神经和副支交感神经；与情绪反应有密切的关系。
外周神经系统及其功能1.外周神经系统是联系感觉输入和运动输出的神经机构，它包括由脑神经和脊神经组成的躯体神经系统及自主神经系统。
以沟和裂为界线，可把大脑皮层分为：额叶；顶叶；枕叶；颞叶大脑包括脑干、间脑和端脑脑干包括延脑、桥脑和中脑网状结构调节睡眠与觉醒和神经结构丘脑是皮层下较高级的感觉中枢下丘脑是皮层下调节自主神经系统活动的中枢大脑皮层感觉中枢包括视觉中枢、听觉中枢和躯体感觉中枢躯体感觉中枢在中央后回大脑皮层躯体运动中枢位于中央前回大脑两半球解剖结构对称，但功能不对称，表现为左半球言语功能占优势“割裂脑”实验（罗杰。
第一章：引论1、逻辑包括两大类：形式逻辑和辨证逻辑，普通逻辑即传统的形式逻辑。
2、普通逻辑是研究思维的逻辑形式及其基本规律和简单逻辑方法的科学。
3、思维分为三大类：抽象（逻辑）思维，形象（直感）思维，灵感（顿悟）思维，一般思维指抽象思维。
4、感觉是事物作用于人的感觉器官时在人脑中产生的关于事物的个别属性的反映。
5、知觉是事物在人脑中的整体性的直接反映。
6、表象是在感觉和知觉的基础上形成的具有一定概括性的感性形象。
7、概念是反映事物本质属性或特有属性的思维形式，是思维机构的基本组成要素。
8、判断是对思维对象有所断定的思维形式。
它是由概念组成的，同时，它又为推理提供了前提和结论。
9、思维有两个基本特征：概括性和间接性。
10、思维的逻辑形式指思维内容各部分的联系方式或形式结构，也叫思维形式的结构。
11、普通逻辑的研究推理，正是要研究从不同的推理内容中抽取出来的各种共同的逻辑形式。
12、思维的基本规律有四条：同一律、矛盾律、排中律、充足理由律。
13、同一律要求：一个思想是什么，它就是什么，不能把不同的思想混为一谈。
14、矛盾律要求：在互相否定的两个思想中，必须承认至少一个是假的，而不能承认它们都是真的。
15、排中律要求：在互相矛盾的两个思想中，必须承认至少一个是真的，即二者必居其一，排除第三种可能性。
16、充足理由律要求：断定任何一个思想为真，都必须拿出充分的理由。
17、普通逻辑是撇开思维的具体内容来研究思维的逻辑形式及其基本规律的。
18、普通逻辑的工具性表现在：它本身不能给人们直接提供各种具体的科学知识，但是它能够为人们进行正确思维，获取新知识，表述论证思想，提供必要的逻辑手段和方法。
19、学习普通逻辑的意义：1、有助于人们正确认识事物，获取新知识，2、有助于人们准确地表达思想，严格论证思想，3、有助于人们识别、驳斥谬误与诡辩，4、有助于人们学习和掌握其他各门科学知识，5、有助于提高人们的办事效率。
20、逻辑学有两千多年历史，发源地为古代中国、印度、希腊。
抽象与概括的名词解释一、抽象——从具体形象中概括出本质。
1．它的特点是舍弃了事物的细节，并根据本质属性对其加以抽取。
2．人类对事物的认识往往是先由具体到抽象，再由抽象到具体。
（如，人们不能正确地认识电子，就是因为他们没有弄清楚原子是怎么回事） 3．学会抽象，这是培养思维能力的重要条件。
1．概念：一般来说，凡是能用语言或文字来表达，并且人们能够自觉的运用的东西，都可称为概念。
2．类别：指事物或现象所具有的不同属性。
概念有多种分类方法。
（ 1）按反映对象的范围不同，可分为：个别概念，一般概念，抽象概念；（ 2）按反映事物本质的层次不同，可分为：本质概念，非本质概念。
（ 3）按概念的外延大小不同，可分为：全称概念，部分概念。
2．抽象性：指事物的非本质性、外在的联系，这是与事物的本质属性相联系的概念。
而非本质性是事物的外在联系。
由于事物的非本质性，决定了概念与对象的不同。
（ a、在内容上，概念不反映对象的任何个别特性，而只反映事物本身的属性。
b、在形式上，概念的反映是一般到个别。
）3．概括性：指事物的共同点和区别。
概括是由个别上升到一般，在此过程中，必然是舍弃个别，抓住一般。
概括是对具体的深入和精炼。
比如：“地震使很多人无家可归”、“新疆大旱灾”、“今年高考录取率是40%”、“全国中小学开展了读书活动”、“残疾儿童教育问题值得关注”等，就是一种典型的例子。
但是，总之，从一个个体事物上升到一般，这本身是难以做到的，所以我们经常使用“抽象”和“概括”这两个词语。
二、概括——根据事物的本质属性将其事物本质特征反映在一起。
以上三者是统一的。
（一）本质是事物的一种特殊的矛盾性或同类现象的共同点。
（二）概括是将本质特征集中在一起。
（三）所谓本质，是指具体事物区别于其他事物的内在特点，就是该事物所具有的同类现象的普遍性。
三、抽象和概括的辩证关系： 1．二者是相互区别的，概括是抽象的高级阶段。
2．二者又是相互联系的，概括是在抽象的基础上进行的。
《数学思想方法》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的地位、性质与任务《数学思想方法》是研究数学思想方法及其教学的一门课程。
随着现代科学技术的迅速发展和素质教育的全面实施，对科学思想、科学方法有着全局影响的数学思想方法其重要性日益凸现。
鉴于数学思想方法在素质教育中的重要作用，《数学思想方法》被列为中央广播电视大学小学教育专业的一门重要的必修课。
通过本课程的学习，使学员比较系统地获得对数学思想方法的认识，掌握实施数学思想方法教学的特点，并能运用这些理论指导小学数学教学实践。
通过各个教学环节，逐步培养学员实施数学思想方法教学的能力和综合运用所学知识分析问题、解决有关实际问题的能力，为成为适应新世纪需要的高素质的小学教师打下坚实基础。
二、课程主要内容及要求本课程的主要内容包括：数学思想与方法的两个源头、数学思想与方法的几次重要突破、数学的真理性、现代数学的发展趋势、演绎与化归、抽象与概括、猜想与反驳、计算与算法、应用与建模、数学思想与方法与素质教育、数学思想与方法教学、数学思想与方法教学案例。
通过本课程的学习，关键在于使学员建构起关于数学思想方法的认知结构，认识数学思想方法的重要性，增强数学思想方法教学的自觉性，提高实施数学思想方法教学的水平和能力。
通过“数学思想方法的发展”部分学习，帮助学员了解数学思想方法的源头、几次重要突破和现代数学的发展趋势，并能正确理解数学的真理性，确立动态的、拟经验主义的数学观。
通过“数学思想方法例解"部分学习，使学员掌握数学教学中常用的数学思想方法及其应用。
通过“数学思想方法教学"部分学习，使学员掌握数学思想方法教学的特点，并能将所学数学思想方法初步应用于小学数学教学。
三、教学媒体1．文字教材：文字教材是学生学习课程的主要用书，是学生获得知识和能力的重要媒体，是教和学的根本依据。
文字教材名称：《数学思想与方法》（顾泠沅主编，中央电大出版社出版）。
2．音像教材：《数学思想与方法》录像教材共18讲，由首都师范大学副教授姚芳主讲。
第一章“乡土本色”段意概括1、中国社会的基层是乡土性的。
2、乡下人、我们民族离不开泥土。
3、“土”是乡下人的命根，在我们的文化里所占的地位重要。
4、不流动是“土”的特性，因之而产生“土气”。
5、以土为生的乡下人黏着在土地上，稳定，少变化，少流动。
6、人口宣泄出去，但老根不常动。
7、农业本身没有聚居的需要，人和人在空间排列关系上是孤立和隔膜。
8、中国乡下大多聚村而居，与美国不同。
9、中国农民聚村而居的四点原因：耕地面积小、水利需要合作、为安全保卫、为继承。
10、村和村之间是孤立隔膜的，乡土社会的生活是富于地方性的。
11、乡土社会的地方性，形成了熟悉社会。
12、熟悉社会也就是礼俗社会。
13、14、熟悉社会的规矩是礼俗。
15、熟悉是土气的一种特色。
16、从熟悉里的来的认识是个别的，并不是抽象的普遍原则。
17、陌生人组成的社会是无法用乡土社会的风俗来应付的。
第二章“文字下乡”段意概括1、乡下人的“愚”是知识问题而不是智力问题。
2、乡下人因为不识字而被认为是“愚”我不甘服，因为识不识字并非愚不愚的标准。
3、教授们的孩子和乡下孩子之比较。
4、乡下人不识字是因为没有需要和没有练习的机会。
5、乡下人“愚”是因为（城市生活所需的）知识不及城里人多。
6、7、乡土社会是面对面（熟悉）的社会。
8、文字是为克服人和人接触的阻碍，在面对面社会中无需。
9、文字所传的情、达的意是不完全的。
10、说话时，可以不完整、不合文法，因为我们有很多辅助表情来补充。
11、文字是间接的不太完整的工具。
12、乡土社会中，面对面直接接触，无需文字。
13、在特殊生活团体里，必有他们的特殊语言。
14、语言只能在一个社群所有相同经验的一层上发生。
15、在一个社群所用的共同语言之外，还有特殊语言。
16、特殊语言是亲密社群中所使用的象征体系的一部分，并总是密切配合于其他象征原料。
17、特殊语言可以摆脱字句的固定意义。
18、熟人中，抛开比较间接的象征原料，所以乡土社会中文字是多余的，语言都不是传达情意的惟一象征体系。
以抽象的概括的普遍的形式来陈述课程1抽象概括是学科学习的重要思维形式抽象思维的最显著特点是抽象性与概括性的统一。
北京师范大学资深教授林崇德认为，从思维的特点来看，概括是思维的首要特性。
思维之所以能揭示事物的本质和内在规律性的关系，主要来自抽象和概括的过程，即思维是一种概括的现象，在2022版义务教育新课标中，几乎每个学科都涉及抽象与概括的能力。
抽象和概括应是一切学习的基础。
以概括为例，林崇德指出思维具有概括性、间接性、逻辑性、目的性、层次性、生产性，而概括性是最基本的特点，概括是思维的基础。
胡卫平教授认为概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深度、创造程度等思维品质的基础，没有概括就无法进行逻辑推理，就不可能有思维的深刻性和批判性，没有概括就没有了“缩减”的形式，就不能有思维的敏捷性，没有概括就形成不了知识和概念，就形成不了学科的结构。
2学生的思维能力仍存缺口发展学生的思维能力很重要，因为学生的思维能力的高低跟学生学习水平的高低是呈现正相关的。
以初中生为例，学生正好是处在一个由形象思维为主向抽象思维为主的过渡阶段，并经历由经验性思维向理论性思维发展的一个过程。
既表现为学生的思维发展的一个群体性特征，也表现为我们具体的教学对象、我们的任教的班级群体性的特征，以及个性化的特征。
但是基于我们已有的研究，发现学生的思维能力普遍还是相对滞后，或者说他们思维发展水平不是很高，尤其是高认知的思维，例如抽象思维、逻辑思维、辩证思维发展不均衡。
但是我们的学科对学生的思维能力要求事实上是比较高的，所以各位老师在本学科的任教过程当中，也会感受到一些困惑。
例如语文学科，老师会发现学生往往很难去准确地概括一篇文章的主旨；在写作的时候缺乏逻辑、结构；在进行口语交际的时候，不能够准确地概括别人讲话的主旨；在自己去表达的时候，又缺乏逻辑不着要领。
在数学学习过程当中，学生可能表现为不能发现规律，不能用规律公式概念定理去解决问题。
第1 2章抽象与概括12。
1抽象概述与过程12．1．1抽象概述抽象是对同类事物抽取其共同的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程。
一般说来，人在思维过程中是把客观事物的某一方面特征与其他特征分别开来给予单独考虑的，当然，还同时要求用概念、范畴、判断、理论等思维形式来固定这种“单独考察”的结果。
实际上，抽象是与具体相对应的概念，具体是事物的多种规定性的总和，因而抽象亦可理解为由具体事物的多种性质中舍弃了若干性质而固定了另一…些性质的思维活动。
抽象对于认识世界有着重要的意义，对数学认识也具：百十分重要的意义。
在数学中，抽象可以用于“抽象的产物”、“抽象的过程”和“抽象的方法”等几个意义。
当我们说数学概念、数学理论等深刻地反映着现实世界时，所指的就是抽象的产物、思维结果的抽象；当我们说由具体的量“抽象”出自然数的概念，由种种距离的测定中抽象出测度的概念时，所指的就是作为过程和方法的抽象。
12。
l。
2抽象过程从感性认识出发，通过分析和比较，抽出共同点，撇开差异性的内容和联系，通过综合得出简单的、基本的规定，这就是合理的抽象。
分析、比较和综合是抽象的基础，没有分析、比较和综合，就找不到事物的异同，也不能区分事物的本质属性和非本质属性。
在抽象过程中，分析、比较和综台相互作用、相互渗透，抽象的具体过程也干差万别，但都包括如下基本过程：分离、提纯、简略。
分离就是暂时不考虑研究对象与其他各个对象之间的种种联系。
如研究某事物的数学现象就撇开其物理、化学、生物等现象，确把特定的数学现象从总体现象中抽取出来。
分离本身就是…种抽象，这是抽象的第一步。
提纯就是在思维中排除那些模糊的基本过程以及忽略非本质因素，在纯粹状态下对研究对象的性质和规律进行考察。
这是抽象过程中最关键的一步。
简略就是对提纯结果所作的必要处理，即对研究结果的一种简化表达方式。
简略也是一种抽象，而且是抽象过程的一个必要环节。
例如，平行四边形概念的形成是从学生都看见过的“黑板相对的两边”、·。
笔直的两条铁轨”等，通过观察，撇开它们的不同用途、不同质地的材料、不同的设置、不同的长短等属性，定性定量地抽象表述为“在同一平面内永不相交的两条直线叫平行线”。
通过分离把两边的关系抽取出来，提纯得到“在同一平面内永不榴交”这…本质属性，简略得到上面的简化表达方式。
在对事物进行抽象时还要按照以下原则进行：规则l：只有对具有确定联系的对象，或使分析有意义的对象才能进行比较。
例如，实数与复数在性质上具有确定的联系，可以进行比较；三角形的边长和函数的可导性之问就没有确定的联系，不能进行比较。
规则2；比较应在同一标准下进行。
要比较什么由抽象的需要决定，但在一种比较中要按同一标准。
例如，三角形可以比较它的边，也可以比较它的角，也可以同时比较它的边和角，但不能一个按边，另…个按角来进行比较。
规则3：比较应能按一定的程序进行并在有限步内得出结果。
这一规则保证“比较”能够“有效”的进行。
例-女f1，自然数“大小，，的比较就是符合这条规则的，它可按下述程序进行：①位数不同的，位数较多的自然数较大；②位数相同的，先比较最高位的数，若不等，则大小已判明；若相等，再比较下一位的数是否相等，等等，因为比较的两个自然数都是有限的，因此这个比较能在有限步内得出结果。
规则4：对同一性质作的比较应在所研究的所有对象间进行，也可以说，要进行完全比较。
例如，对自然数能否被其他数整除作比较，可以发现有的自然数除了1和其自身外不能被其他自然数整除，有的有两个以上小于其本身的因数，此外，还有一一个自然数1。
如果不比较l，那么这个比较就是不完全的。
通过合乎以上规则的比较，就可以进一步对对象进行分析，根据对象的共同点和不同点把对象分为不同的类。
上例中我们可以进一步把自然数分为：1、质数和合数三类。
12。
2数学抽象的特征数学抽象有以下特征：第一一，数学抽象具有无物质性。
数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象：具有无物质性。
第二，数学抽象具有层次性。
数学概念是数学抽象的结果，但是不同的数学概念又表现出数学抽象的层次性。
例如，自然数概念是从客观事物中抽缘出来的，字蹲甜表示的数又是在埘数的抽象后的结果。
如d=均，(口，6，9∈z)就是对许多具体的整数的整除性的抽歙的结果。
如果说数的抽象是一级抽象，那么字母表示的数的抽象就是二级抽象，进而还有三级、四级抽象，等等。
第i，数学抽象过程要凭借分析或直觉。
在数学抽象中，表现为分析型抽象的一般模式为：阿斗再画=丽■—网￡．．．。
．．．．．．．．．．__J 1．．。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一I．．．．．．．．．．．．．．．_J分析型抽象中的分离，就是把事物的本质特征从事物的所有属性中分离出来；提纯就是把分离出来的本质特征加以提炼，即把其中的非本质属性排除出去；简略就是把提纯出来的事物本质特征加以简化，把那些多余的属性省去。
直觉型抽象。
就是不通过分析过程或逻辑思维过程而一…下子抓住事物的本质特征的一种抽象过程。
例如，圆的切线是与圆只有一个交点的直线，就是能够通过直觉去把握它的一…种数学概念。
对它的抽象要借助于直觉。
12。
3抽象类型在教学中，抽象的具体形式，按其内容特点来划分，大致分为两大类。
1．表征性抽象表征性抽象是在纯粹的理想的形态下，以可观察的事物现象的特征作为起点的一种抽象，数学中大多数概念就是表征性抽象的结果。
例1 分数概念的形成。
教学分数的意义时，通过演示教具和操作学具，让学生把～一个圆，一个正方形，八根彩色小棒，一条线段，各自分成若干等份，标出其中的一份或几份；撇开各种实物的不同颜色、形状，而仅仅注意它们等分的份数以及所取的儿份。
多次操作后，结合或观图示得出：“把单位1(可以是一个物体，也可以是几个同类的物体)平均分成几份，表示其中的…份或几份的数，叫做分数”。
然后再介绍分数的表示方法及分数各部分的名称，最后再让学生举出几个不同的分数并说出它们表示的意义。
这样，通过动作思维——建立表象——抽象思维～具体实例，分数的概念在学生头脑中就初步形成了。
2。
原理性抽象原理性抽象是在表征性抽象的基础上形成的更高一个层次上的抽象。
它已超出…般感性认识的范尉，它把握事物的因果关系及规律性的联系。
这种抽象的结果则是性质、定理、原理等。
例2教学同分母加法法则。
第…步，由观察图形的合并，抽象为分数的加法运算。
在这里摆脱了图形是圆或长方形等非本质特征，抽取出表示整体与部分的关系的数，并把“合并，，转化为加法运算，从图示中理解同分母加法的运算意义。
第二步，观察思考两道算式的共同特征是什么?l 2 3 3 2 5～F一=一一+～=一5 5 5 7 7 7这罩舍弃l『两个加法算式中具体的数不同的非本质特征，抽出它们共同的本质特征～一每道算式的分母相同，表示分数的单位相同，所以分子直接相加，分母不变。
启发学生自己抽象概括为数学语言：“同分母分数~blDI：I，把分f卡目加，分母不变”。
第三步，运用法则，开展演绎。
考虑到提供抽象材料的完整性，冉纠』织学止卜计算：(1)19+兰9：?(2)19十三9=?(3)三8+三8=?(4)三8+三8=?然后引导学生进…一步抽象出：“计算结果，能约分的要约分，是假分数的要化成带分数或整数。
”最后让学生综合为完整的数学结论。
12．4概括概述与过程12．4-．1 概括概述概括是一种由个别到一般的认识过程。
概括就是把同类事物的共同属性联结起来，或把个别事物的某些属性推广到同类事物中去的思维方法。
与抽象一样，概括这…概念也是既作为一种思维过程又可以作为这种思维过程所得到的结果来理解的。
当我们说从个别事物的本质属性概括出同类事物的共尉本质属性时，所用的就是“思维过程”的含义；当我们说数学概念是列客观世界的某一领域的性质的高度概括时，所用的就是“思维结果，，的意义。
12。
4．2概括过程概括通常呵分为经验概括和理沦概括两种。
经验概括是从事实出发，以剥·个别事物所做的观察陈述为攀础，上升为普遍的认识——由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。
理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观雎』：界的规律的认识。
在数学中经常使用的是理论概括。
～一个概括过程包括比较、分析和扩张等几个主要环节。
比较和分析的具体做法与抽象过程中的一样，不过在概括过程中，通过比较枷分析要得到的是某类对象的共同本质。
扩张指的是把由比较分析得到的关于对象的共同点推广一到包括这些对绿的…类更』一泛的对象的共同本质。
这是区别于抽象的一个环节，是概括的关键。
，例3由计算知1+2：3：塑2I+2+3：6：—3 x—421+2+3+4：10：兰兰主2l+2+3+…+19+20：210：呈塑2通过对以上19个算式的比较、区分可得出一个共同点：连续若干个从1开始的自然数的和等于最后的那个数乘以其后继数的积的一半。
把这个共同点推广到所有的自然数，则有1+2+3+…+”：!!竺±12例4在平面上，边数最少的多边形是三角形；在空间中，面数最少的多面体是四面体。
它们在“围成图形的元素最少”方面是相似的。
因而可以把平面中关于三角形的一些命题推』。
到空间四面体上。
例如，等底等高的三角形面积相等。
对于空间中的四面体则有：两个等底等高的四面体的体积相等。
在扩张中得到的关于更广泛的一类对象的新概念或新命题，对扩张了的对象来说不一定是真的。
为此，就要进行分析。
分析实际上是一个演绎证明的过程，证明扩张得出的结果确实是或不是那一类更广泛的对象的本质属性。
12．4．3 概括与抽象的关系概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系。
抽象是舍弃事物的一些属性而提纯固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有种属关系。
例如我们从现实存在的事物中抽象出“重量”概念来，它与原来的“物体”并无种属关系。
概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的…切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。
由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个属概念。
例如在数学中可由平行四边形、菱形等图形概念概括出“四边形”概念，它是前几个概念的属概念，还可以进一步由四边形、三角形等概念概括出“凸多边形”的概念，它又是四边形、三角形等概念的属概念。
概括和抽象虽有差别，但又是互相联系、密不可分的。
抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括。
概括也是抽象思维过程中所必须的一个环节，前述“提纯”操作实际上也是一个概括过程，有人就把“提纯”称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象过程。
