趣味数学之 周期性问题

有趣的周期问题导言：在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现。

我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题。

要解决这类问题，关键要抓住两点：①找出规律，找出周期。

即多少个（次）又出现重复。

②用总量除以周期，看余数，余几就是周期里的第几个，没有余数就是最后一个。

例1．有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、、、、、、、（1）第2009个数是多少？（2）这列数字中，“2”会出现多少次（3）这2009个数相加的和是多少？解析：仔细观察，这2009个数不是随意排列的，每六个数重复一次，按1、4、2、8、5、7一个循环依次不断重复出现排列的。

周期找到了，接着用总量除以周期，把余数与周期对比，很容易解答问题。

（1） 2009÷6=334、、、5，即重复了334次，还余5个数，分别是1、4、2、8、5。

所以第2009个数就是5（2）（1、4、2、8、5、7）重复了334次，“2”也就出现了334次，再加上余下的五个数中，“2”又出现了一次，所以，数字“2”总共出现了335次（3）我们把2009个数按每一组（1、4、2、8、5、7）这样分组，可以分成334组，还剩5个数，334组的数都相同，每组的和=1+4+2+8+5+7=27，那么这334组的总和是27×334=9018，再加上还余下的五个数，即为2009个数的总和了。

（1+4+2+8+5+7）×334+（1+4+2+8+5）=9018+20=9038例2．求2×2×、、、×2（2008个2相乘）+ 3×3×、、、×3（2009个3相乘）的个位数字解析：要想求和的个位数字，关键是要求出每个加数的个位数字。

（1）先观察下2×2×、、、×2（2008个2相乘）个位数的特点，看是否有周期性，若有，则可根据周期问题的方法来解答2 个位数字是22×2 个位数字是42×2×2 个位数字是82×2×2×2 个位数字是62×2×2×2×2 个位数字是2可见，个位数字是按2、4、8、6不断循环重复，所以周期是4，2008÷4=502，没余数，个位数字就是最后一个6。

周期性问题周期问题指某事件发展过程中，某些特征循环往返出现，连续两次所经历的时间叫周期。

我们只要发现该周期现象，并加以利用，即可轻易解决此类问题。

例一：有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花?这249朵花中，红花、绿花、黄花各有多少朵？（思路导航）易得，这些花按5红，9黄，13绿的顺序轮流排列，即5+9+13=27（朵）花为一个周期，不断循环。

因为249/27=9……6，也就是经过9个周期还剩下6朵花。

每个周期中前5朵应是红花，第六朵应是黄花。

解：249/（5=9+13）=9 (6)红花：5*9+5=50(朵)黄花：9*9=1=82（朵）绿花：13*9=117（朵）练习题：1.有47盏彩灯，按两盏红灯，四盏蓝灯，三盏黄灯的顺序排列着，最后一盏灯是什么颜色？三种颜色的灯各占总数的几分之几？2.在100米跑道两侧每隔2米站着一个同学。

这些同学中从一侧开始，按每两个女同学在一个男同学的规律站立着，文这些同学中共有多少个女同学？3.流水线上生产小木珠涂色的次序是:先5个红,再4个黄,再3个绿,再2个黑,再1个白,然后再依次是5红,4黄,3绿,2黑,1白,……继续下去第1993个小珠的颜色是_____色.例二：1/7=0.142857142857………,小数点后面第100位个数字是多少？（思路导航）易得，小数点后以142857为一个周期循环，第一位数为1，第二位数为4，第三位......那么100/6=16 (4)即到小数点后一百位142857循环了16次另外多四位数即多1428 第一百位上的数即8解：100/6=16……4 即循环到第四位，循环周期第四位是8练习：1.循环小数0.37205小数点后面第106位上的数字是____2.分数9/13化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是_____.3.3/14化成小数后,小数点后面1993位上的数字是_____.4.(难)在一个循环小数0.1234567中,如果要使这个循环小数第100位的数字是5,那么表示循环节的两个小圆点,应分别在_____和_____这两个数字上例三：9x9x9x9x9x9x99x9x……x9（共51个9）的积为个位数字是多少？（思路导航）一个9的积个数字是9，两个数相乘，积的个位数字是1，三个9相乘，积的个位数字是9，以此类推，个位数字按9,1两个数不断重复，那么共有51/2=25……1，共有25个循环，余1.则最后的个位数字应该是9.练习：1.61x61x61x61x61x61x……61（共2011个61）积的尾数是几？2.9x9x9x9x9x9x……x9（共91个9）积的个位数字是几？例五：0.3X0.3X0.3X…X 0.3 (共204)X25X25X25X…X25(共1001)的积的尾数是几？（思路导航）小数乘法运算，开始不考虑小数点。

周期问题举例子：每个星期有7天，星期一，星期二……，星期六，星期日，每7天循环一次，不断重复，那么7天就是一个周期；每年有12个月，每12个月为一个周期……我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题。

类型一：图形周期问题例题1 有两种铁环，按下列的排列顺序，第50个是哪一种思考：第500个是哪一种练习一1，跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色2、流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色例题2 丁一在纸上画出下列一组图形，如果正好有102个图形，那么圆形有几个例题3 有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。

最后一盏灯是什么颜色的三种颜色的灯各占总数的几分之几练习巩固：1、有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，如果正好有160个珠子，那么共有多少个红色的2，有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几3，黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的其中，黑珠共有多少颗4、100个正方形是图中的第几个图形类型二：数字周期问题例题4 将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以哪个字母为代表A B C D E1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25…………思考：1、2001是第几个数2、几个数为一个周期（组）3、这个数在第几组第几个数练习四1，将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列A B C D E8 6 4 210 12 14 1624 22 20 1826 28 30 32……………………2，上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）。

周期性问题在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。

如：人调查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。

像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。

这类问题一般要利用余数的知识来解决。

在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。

一、例题与方法指导例1. 某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_____.思路导航：因为7⨯4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了 31+30+31+1=93(天).因为93÷7=13…2，所以这年6月1日是星期二.例2. 1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期_____.思路导航：依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有365⨯10+2=3652（天）因为（3652+1）÷7=521…6，所以再过十年的12月5日是星期日.[注]上述两题(题1—题2)都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年.例3. 按下面摆法摆80个三角形，有_____个白色的.……思路导航：从图中可以看出，三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，并且每一周期有3个白色三角形.因为80÷6=13…2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13⨯3=39（个）.例4. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是_____灯.思路导航：依题意知，电灯的安装排列如下:白，红，黄，绿，白，红，黄，绿，白，……这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.由73÷4=18…1，可知第73盏灯是白灯.例5. 时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是_____.思路导航：分针旋转一周为1小时，旋转1991周为1991小时.一天24小时，1991÷24=82…23，1991小时共82天又23小时.现在是14时正，经过82天仍然是14时正，再过23小时，正好是13时.[注]在圆面上，沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和一根短针，就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常，但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题，周期现象就是其中的一个重要方面.二、巩固训练列，那么数“1992”在_____列. 2. 把分数7化成小数后，小数点第110位上的数字是_____. 3. 循环小数7992511.0 与74563.0 .这两个循环小数在小数点后第_____位，首次同时出现在该位中的数字都是7.4. 一串数: 1，9，9，1，4，1， 4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，……共有1991个数.(1)其中共有_____个1，_____个9_____个4；(2)这些数字的总和是_____.10. 7⨯7⨯7⨯……⨯7所得积末位数是_____.50个答案：6. 3仔细观察题中数表.1 2 3 4 5 (奇数排)第一组 9 8 7 6 (偶数排)10 11 12 13 14 (奇数排)第二组 18 17 16 15 (偶数排)19 20 21 22 23 (奇数排)第三组 27 26 25 24 (偶数排)可发现规律如下:(1)连续自然数按每组9个数，且奇数排自左往右五个数，偶数排自右往左四个数的规律循环排列；(2)观察第二组，第三组，发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9除余数为1，第2列用9除余数为2，…，第5列用9除余数为5.(3)10÷9=1…1，10在1+1组，第1列19÷9=2…1，19在2+1组，第1列因为1992÷9=221…3，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3列数的位置上. 7. 774=0.57142857…… 它的循环周期是6，具体地六个数依次是5，7，1，4，2，8110÷6=18 (2)因为余2，第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7.8. 35 因为0.1992517的循环周期是7，0.34567的循环周期为5，又5和7的最小公倍数是35，所以两个循环小数在小数点后第35位，首次同时出现在该位上的数字都是7.9. 853，570，568，8255.不难看出，这串数每7个数即1，9，9，1，4，1，4为一个循环，即周期为7，且每个周期中有3个1，2个9，2个4.因为1991÷7=284…3，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9.其中1的个数是:3⨯284+1=853(个)，9的个数是2⨯284+2=570(个)，4的个数是2⨯284=568(个).这些数字的总和为1⨯853+9⨯570+4⨯568=8255.三、拓展提升1. 紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如8⨯9=72，在9后面写2，9⨯2=18，在2后面写8，……得到一串数字:1 9 8 92 8 6……这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？2. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？3. 设n =2⨯2⨯2⨯……⨯2，那么n 的末两位数字是多少？1991个4．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？答案：11. 依照题述规则多写几个数字:1989286884286884……可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6.因为(1989-4)÷6=330…5，所以所求数字是8.12. 1991个1990相乘所得的积末两位是0，我们只需考察1990个1991相乘的积末两. . . .位数即可.1个1991末两位数是91，2个1991相乘的积末两位数是81，3个1991相乘的积末两位数是71，4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61，51，41，31，21，11，01，11个1991相乘积的末两位数字是91，……，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为1990÷10=199，所以1990个1991相乘积的末两位数是01，即所求结果是01.13. n 是1991个2的连乘积，可记为n =21991，首先从2的较低次幂入手寻找规律，列表如下: n n 的十位数字 n 的个位数字 n n 的十位数字 n 的个位数字21 0 2 212 9 622 0 4 213 9 223 0 8 214 8 424 1 6 215 6 825 3 2 216 3 626 6 4 217 7 227 2 8 218 4 428 5 6 219 8 829 1 2 220 7 6210 2 4 221 5 2211 4 8 222 0 4观察上表，容易发现自22开始每隔20个2的连乘积，末两位数字就重复出现，周期为20.因为1990÷20=99…10，所以21991与211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是4，个位数字是8.所以，n 的末两位数字是48.14. 因为100能被5整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色.6与5的最小公倍数是30，即在30厘米的地方，同时染上红色，这样染色就会出现循环，每一周的长度是30厘米，如下图所示.由图示可知长1厘米的短木棍，每一周期中有两段，如第1周期中，6-5=1，5⨯5-6⨯4=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为:2⨯[(100-10)÷30]+1=2⨯3+1=7(段)[注]解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易.. . . . . . 6 12 18 24 30 5 10 15 20 25 95 96 100 . 90。

【三年级】巧算周期问题周期是指事物按照一定的时间间隔重复出现的规律性现象。

在日常生活中，很多事物都存在着周期性，比如天有白天和黑夜的交替，季节有春、夏、秋、冬的循环，人体有每天的作息规律等等。

周期性的现象有很多，而巧算周期问题就是通过运算找出这些周期的规律。

巧算周期问题是一种有趣又有挑战性的数学问题，通过巧妙的计算方法和观察力，我们可以找出一些数字之间的规律。

这些规律就是周期现象的重复模式，只要找到了这个模式，我们就可以用简单的方法来计算周期内的各个数字。

我们用整数从1开始连写，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ……一直写下去。

那么，我们可以观察到，这些数字在个位数上的个位数是按1 2 3 4 5 6 7 8 9 0的顺序不断重复的。

这个重复的模式就是周期，而这个周期的长度是10个数字。

巧算周期问题可以应用到加减乘除等各种运算中。

我们来看一个例子：计算6的100次方。

我们可以观察到，当我们计算6的每一个次方时，个位数都是按照6 6 6 6 6 6 6 6 6 6……这样的规律来重复的。

而周期的长度是4个数字。

那么，我们只需要找到这个周期的第100个数字，也就是100除以4的余数为0。

所以，6的100次方的个位数是6。

巧算周期问题需要我们用观察力和逻辑思维来找出重复的数字模式，从而简化计算的步骤。

通过巧妙地掌握巧算周期问题，我们可以在数学运算中节省时间和精力。

巧算周期问题还可以培养我们的观察力和思维能力。

在寻找周期的过程中，我们需要细心观察数字之间的规律，并用逻辑推理来找出重复的模式。

这种训练可以提高我们的逻辑思维和问题解决能力，培养我们的数学思维。

八、周期问题（一）〖趣味数学〗有10张卡片，正面朝上，每次翻动6张卡片，最少经过（）次翻动，卡片都能反面朝上。

〖知识要点〗1、什么是周期问题？在日常生活中有一些按照一定的规律不断重复的现象，如人的十二生肖、一年有春夏秋冬四个季节、一个星期七天等等。

像这样常碰到的有一定循环出现的问题，我们称为周期问题。

2、解题步骤：（1）观察、分析数、图形或事物的变化是否重复循环出现并具有周期性。

（2）每几个数循环一次，谁开始谁结束，周期长度是多少。

（3）每个循环节按什么次序排列。

（4）利用除法算式求出余数，根据余数得出正确的结果。

〖例题精讲〗例1、两个小朋友比赛智力，一位小朋友画出了一组图形（排列如下），根据排列的规律。

请算出第60个图形是（），第121个图形是（）。

〔分析与解答〕：每3个图形为一组，称为一个周期。

60÷3=30(组)，没有余数，说明30个图形里刚好有30个周期。

（即为）121÷3＝40（组）……1（个），说明121个图形中含有40个周期多1个，所以第121个图形就是重复40个周期后的第1个图形。

〖我真行1〗按照“数学奥林匹克比赛数学奥林匹克比赛数学奥林匹克比赛……”依次排列，第100个字是（）。

例2、黑珠、白珠共202个，穿成一串（如下图所示），在这串珠子中，最后一个珠子是（黑）颜色的，这种颜色的珠子共有（26）个。

……202÷4=50……2（黑色） 50+1=51（个）〖我真行2〗有一些灯泡按照“一黄三红四白”的顺序排列，第30个灯泡是（）色，第260个灯泡是（）色。

例3、一个小朋友写了这样一列数“4、1、3、2、4、1、3、2、4、1、3、2……”，你能很快算出这列前54个数字之和是多少吗？〔分析与解答〕：上面一列数中，从第一个数字开始重复出现的部分是“4132”，周期数是4。

要求这列数字的和，就要先求出这列数里一共有多少组“4132”。

54÷4＝13（组）……2（个），因此前13组数字之和是（4＋1＋3＋2）×13＝130；余下两个数的和是4＋1＝5。

第三讲周期问题班级 姓名 （春夏秋冬周而复始，日出日落循环往复。

按照一定的规律不断重复出现的现象在数学中也同样存在，称为循环问题或周期问题。

找到了周期，就可以使复杂问题变简单。

） 例1、今天是星期几，再过7天是星期几？如果再过365天呢？例2、流水线上给小球涂色：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白……像这样继续下去，到第2009个小球该涂什么颜色？例3、某班有35位同学，体育课时排成一列纵队，然后按照1—2—3—1—2—3的方法报数，报数字2的学生有几人？例4、有一列数：1，3，5，7，9，1，3，5，7，9，…第83个数是几？前83个数相加的和是多少？例5、有一列数：2，9，8，2，6……，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数的积的个位数字，这一列数的第1000个数是几？例6、把71化成小数，对第2009位四舍五入后，第2008位是几？周期问题练习班级姓名1、今天是星期三，再过一个月(31天)是星期（）。

2、从6点开始上课到8点10分下课，手表的秒针指向12点处（）次。

3、如下图，8个队员围成一圈做传球游戏，从1号开始，按照箭头方向传球。

在传球的同时按自然数数列报数。

当报到99时，球在（）号队员手上？4、把2009列，最后一个数应排在第几列？一二三四五1 2 3 48 7 6 59 10 11 1216 15 14 13……………………5、桌子上摆了一些硬币，按1个一角，2个五角，3个一元的次序排列，一共15枚硬币。

最后一个硬币是多少钱的？一共有多少钱？6、某部84集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星期日每天都要播出1集，星期六停播。

问：最后一集在星期几播出?（华杯赛试题）7、中国的十二生肖依次是：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。

你的生肖是（），比你大50岁的老爷爷的生肖是（）。

8、一串珠子由黑、白两种颜色珠子有规律的串联起来，如果珠子的总颗数是10 0颗，那么最多有黑色珠子（）颗。