中考数学圆与相似综合题汇编含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上DCE B∠=∠．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan3B=，求半圆的半径．【答案】（1）见解析；(2)13【解析】分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接CO .∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB =90°.∴∠DCB =180°-∠ACB =90°.∴∠DCE+∠BCE=90°.∵OC =OB ,∴∠OCB =∠B.∵=DCE B ∠∠，∴∠OCB =∠DCE .∴∠OCE =∠DCB =90°.∴OC ⊥CE .∵OC 是半径，∴CE 是半圆的切线.（2）解：设AC =2x ，∵在Rt △ACB 中，2tan 3AC B BC ==, ∴BC =3x .∴()()222313AB x x x =+=.∵OD ⊥AB ,∴∠AOD =∠A CB=90°.∵∠A =∠A ，∴△AOD ∽△ACB .∴AC AO AB AD=. ∵11322OA AB x ==，AD =2x +10, ∴113221013x x x =+. 解得 x =8.∴1384132OA=⨯=.则半圆的半径为413.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.3．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .（1）求证：直线PD是⊙A的切线；（2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．【答案】（1）见解析；（2）20-4π.【解析】分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC，∴AD=PD，∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，∴PD是⊙A的切线.（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=23CDPD=，5，令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)252，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD 的面积为6×4=24，Rt △CED 的面积为12×4×2=4， 扇形ABE 的面积为12π×42=4π， ∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.4．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点”．如图，M （1，2），N （4，2）．（1） 在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有 ；（2） 如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x 的取值范围；（3） 如果点P 在以O （1，1-）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，直接写出⊙O 半径r 的取值范围．【答案】（1）P 1和P 3；（2）3311x -≤≤；（3333 3.r +≤ 【解析】【分析】 （1）先根据题意求出点P 的横坐标的范围，再求出P 点的纵坐标范围即可得出结果； （2）由直线y=x+1经过点M （1，2），得出x≥1，设直线y=x+1与P 4N 交于点A ，过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C ，则在△AMN 中，MN=3，∠AMN=45°，∠ANM=30°，设AB=MB=a ，tan ∠ANM=AB BN ，即tan30°=3a a-，求出a 即可得出结果； （3）圆心O 到P 4的距离为r 的最大值，圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值，分别求出两个距离即可得出结果．【详解】（1））如图1所示：∵点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点，M （1，2），N （4，2），∴点P 的横坐标1≤x≤4，∵以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，当∠MPN=60°时，PM=60MN tan ︒=3=3， 同理P′N=3，∴点P 的纵坐标为2-3或2+3，即纵坐标2-3≤y≤2+3，∴线段MN 的“关联点”有P 1和P 3；故答案为：P 1和P 3；（2）线段MN 的“关联点”P 的位置如图所示，∵ 直线1y x =+经过点M （1，2），∴ x ≥1.设直线1y x =+与P 4N 交于点A .过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C .由题意易知，在△AMN 中，MN = 3，∠AMN = 45°，∠ANM = 30°.设AB = MB = a ，∴ tan AB ANM BN ∠=，即tan303a a ︒=-， 解得333a -=∴ 点A 的横坐标为33333111.22x a --=+=+= ∴331.x -≤ 综上 3311.2x -≤≤（3）点P 在以O （1，-1）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，如图3所示：连接P 4O 交x 轴于点D ，P 4、M 、D 、O 共线，则圆心O 到P 4的距离为r 的最大值，由（1）知：MP 4=NP 53即OD+DM+MP 433圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值，作OE ⊥MP 5于E ，连接OP 5， 则OE 为r 的最小值，MP 5225MN NP +223(3)+3OM=OD+DM=1+2=3， △OMP 5的面积=12OE•MP 5=12OM•MN ，即12312×3×3， 解得：33 ∴3323 【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握“关联点”的含义，作出关于MN 的“关联点”图是关键．5．如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O(0，0)，点6，0)与点B(02)，点D 在劣弧OA 上，连结BD 交x 轴于点C ，且∠COD ＝∠CBO.(1)求⊙M 的半径；(2)求证：BD 平分∠ABO ；(3)在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标．【答案】（1）M 的半径r ＝2；（2）证明见解析；（3）点E 的坐标为(263，2)． 【解析】 试题分析：根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度，根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ，从而得出BH=BA=22，从而求出OH 的长度，即点E 的纵坐标，根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度，即点E 的横坐标.试题解析：（1）∵点A 为（6，0），点B 为（0，－2） ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得：AB=22∴M 的半径r=12AB=2. （2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－2=2在Rt △AOB 中，3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=2633=∴点E 的坐标为（263，2）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.6．在O 中，AB 为直径，C 为O 上一点.（Ⅰ）如图①，过点C 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小.【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°【解析】【分析】（1）首先连接OC ，由OA=OC ，即可求得∠A 的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC 的度数，继而求得答案；（2）因为D 为弧AC 的中点，OD 为半径，所以OD ⊥AC ，继而求得答案．【详解】（1）连接OC ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠OCA ＝28°，∴∠POC ＝56°，∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°，∴∠P ＝34°；（2）∵D 为弧AC 的中点，OD 为半径，∴OD ⊥AC ，∵∠CAB ＝12°，∴∠AOE ＝78°，∴∠DCA ＝39°，∵∠P ＝∠DCA ﹣∠CAB ，∴∠P ＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．7．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是弧AB 上任一点（点P 不与A 、B 重合），连AP ，BP ，过C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M ，（1）求证：△PCM 为等边三角形；（2）若PA ＝1，PB ＝2，求梯形PBCM 的面积．【答案】（1）见解析；（21534【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM 为等边三角形；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM 为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【详解】（1）证明：作PH ⊥CM 于H ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，∵CM ∥BP ，∴∠BPC=∠PCM=60°，∴△PCM 为等边三角形；（2）解：∵△ABC 是等边三角形，△PCM 为等边三角形，∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA ，∴∠BCP=∠ACM ，在△BCP 和△ACM 中， BC AC BCP ACM CP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP ≌△ACM （SAS ），∴PB=AM ，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt△PMH中，∠MPH=30°，∴PH=332，∴S梯形PBCM=12（PB+CM）×PH=12×（2+3）×33=1534．【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．8．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是半圆⊙O上的点，连接AC，BC，点E是AC的中点，点F是射线OE上一点．（1）如图1，连接FA，FC，若∠AFC＝2∠BAC，求证：FA⊥AB；（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA，FG，FG与AC相交于点P，且AF＝FG．①试猜想∠AFG和∠B的数量关系，并证明；②连接OG，若OE＝BD，∠GOE＝90°，⊙O的半径为2，求EP的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．理由见解析；②PE 3．【解析】【分析】（1）证明∠OFA＝∠BAC，由∠EAO+∠EOA＝90°，推出∠OFA+∠AOE＝90°，推出∠FAO＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．连接FC．由FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．因为AG AG，推出∠GFA＝2∠ACG，再证明∠ACG＝∠ABC．②图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．想办法证明∠GFA＝120°，求出EF，OF，OG即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠ACG，∴∠GFA ＝2∠ABC ．②如图2﹣1中，连接AG ，作FH ⊥AG 于H ．∵BD ＝OE ，∠CDB ＝∠AEO ＝90°，∠B ＝∠AOE ，∴△CDB ≌△AEO （AAS ），∴CD ＝AE ，∵EC ＝EA ，∴AC ＝2CD ．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 222213AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 60AH ︒=， 在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴134233=，∴PE ＝36 ． 【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于C 点，AC 平分∠DAB ． （1）求证：AD ⊥CD ；（2）若AD ＝2，AC=6，求⊙O 的半径R 的长．【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】试题分析：（1）连接OC ，由题意得OC ⊥CD ．又因为AC 平分∠DAB ，则∠1=∠2=12∠DAB ．即可得出AD ∥OC ，则AD ⊥CD ； （2）连接BC ，则∠ACB =90°，可证明△ADC ∽△ACB ．则2AD AC AC R ，从而求得R ． 试题解析：（1）证明：连接OC ，∵直线CD 与⊙O 相切于C 点，AB 是⊙O 的直径，∴OC ⊥CD ．又∵AC 平分∠DAB ，∴∠1=∠2=12∠DAB ． 又∠COB =2∠1=∠DAB ，∴AD ∥OC ，∴AD ⊥CD ．（2）连接BC ，则∠ACB =90°，在△ADC 和△ACB 中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB =90°，∴△ADC ∽△ACB ． ∴2AD AC AC R= ∴R =2322AC AD =10．如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ． （1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标； （2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．【答案】(1) B （，2）．(2)证明见解析.【解析】 试题分析：（1）在Rt △ABN 中，求出AN 、AB 即可解决问题； （2）连接MC ，NC ．只要证明∠MCD=90°即可试题解析：（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2）， ∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=，∴B （，2）． （2）连接MC ，NC∵AN 是⊙M 的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt △NCB 中，D 为NB 的中点，∴CD=NB=ND ，∴∠CND=∠NCD ，∵MC=MN ，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．。

圆的综合题一 、解答题1.如图所示在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，以的长为半径画圆．求证：（1）是的切线；（2）．2.如图，在平面直角坐标系中，点M 在x 轴的正半轴上，M 交x 轴于A B 、两点，交y 轴于C D 、两点，E 是M 上 一点，AC CE =,AE 交y 轴于G 点．已知点A 的坐标为()20，,8AE =． （1）求点C 的坐标；（2）连结MG BC ，，求证:MG BC ∥3.如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，连接，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，求的长．Rt ABC ∆90B ∠=︒A ∠BC D E AB DE DC =D DB AC D ⊙AB EB AC +=EBE BO AB CD E AC ACD △ACACF △FC AB G 2OB BG ==CD4.如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面l 上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的构成．点分别是两个半圆的圆心，分别与两个半圆相切于点长为8米．求的长．5.已知多边形是由边长为2的等边三角形和正方形组成，一圆过三点，求该圆半径的长．6.如图，在锐角ABC △中，AC 是最短边；以AC 中点O 为圆心，AC 长为直径作O ，交BC 于E ，过O 作OD BC ∥交O 于D ，连接AE 、AD 、DC ． （1）求证：D 是的中点； （2）求证：DAO B BAD ∠=∠+∠； （3）若12CEF OCD S S =△△，且4AC =，求CF 的长．A B C 、A E F BC 、、EF CBF E A ABDEC ABC BDEC A D E 、、AE7.已知：在ABC 中，以AC 边为直径的O 交BC 于点D ，在劣弧上取一点E使EBC DEC ∠=∠，延长BE 依次交AC 于点G =，交O 于H ． （1）求证：AC BH ⊥；（2）若45ABC ∠=︒，O ⊙O 的直径等于10，BD=8，求CE 的长．8.已知AD 是O 的直径，AB AC 、是弦，且AB AC =．（1）如图1，求证：直径AD 平分BAC ∠；（2）如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是CD 的中点，G 是FB 的中点，O 的半径为1，求弦长FG 的长（3）如图3，在（2）中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧AF 上一动点，连结PA PB PD PF 、、、，求证：PA PFPB PD++为定值．9.如图，在四边形ABCD 中，已知∠BAD=60°，∠ABC =90°，∠BCD =120°，对角线AC ，BD 交于点E ，且DE =2EB ，F 为AC 的中点． 求证：（1）∠FBD =30°；（2）AD =DC ．△ADADA10.如图，的半径为1，点P 是上一点，弦垂直平分线段，点是上任一点（与端点不重合），于点，以点为圆心、长为半径作，分别过点作的切线，两条切线相交于点． （1）求弦的长；（2）判断是否为定值，若是，求出的大小；否则，请说明理由； （3）记的面积为，若的周长．C OO AB OP D APB A B 、DE AB ⊥E D DE D A B 、D C AB ACB ∠ACB ∠ABC △S 2SDE =ABC △圆的综合题答案解析一 、解答题1.（1）如图所示，过点作于．∵为的切线，平分， ∴∴是的切线；（2）在和中， ∵，， ∴ ∴ 又 ∴．2.（1）连MC ，交AE 于H ，则MC AH ⊥，142AH AE ==．可以证明COM AHM ≌△△，得4OC AH ==．∴C 点坐标为()04，； （2）连AC MG AC CE AD ==，，，∴AG CG =，AGM CGM ≌△，∴12AMG AMC ∠=∠，又 12ABC AMC ∠=∠，∴AMG ABC ∠=∠，故MG BC ∥．【解析】利用三角形全等3.连接D DF AC ⊥F AB D ⊙AD BAC ∠BD DF =AC D ⊙Rt BDE ∆Rt DCF ∆BD DF =DE DC =BDE FDC ∆∆≌EB FC =AB AF =AB EB AC +=CO∵，∴．由翻折得，，． ∴，∴． ∴． ∴直线与相切． 在中，， ∴．在中，． ∵直径垂直于弦， ∴．【解析】连接，证即可．根据题意，证可得，从而，得证；根据垂径定理可求后求解．在中，根据三角函数可得．结合求，从而得解． 【点评】此题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形等知识点，难度中等．4.∵分别与两个半圆相切于点、，点分别是三个圆的圆心， ∴米，米，米． 则在和中，，， ∴． 故，则（米）． 【解析】由各圆的半径可得到，．则由两边对应成比例，且夹角相等得到．故．则可求得的OA OC =12∠=∠13∠=∠90F AEC ∠=∠=︒23∠=∠OC AF ∥90OCG F ∠=∠=︒FC O Rt OCG △1cos 22OC OC COG OG OB ∠===60COG ∠=︒Rt OCE△sin 602CE OC =⋅︒==ABCD 2CD CE ==OC OC FG ⊥AF FG ⊥FAC ACO ∠=∠OC AF ∥OC FG ⊥CE Rt OCG △60COG ∠=︒2OC =CE A E F A B C 、、4AE AF ==2BE CF ==6AB AC ==AEF △ABC △EAF BAC ∠=∠4263AE AF AB AC ===AEF ABC △∽△EF AE BC AB =216833AE EF BC AB =⋅=⨯=4AE AF ==26BE CF AB AC ====，AEF ABC △∽△EF AE BC AB=EF值．【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系以及相似三角形的判定和性质．5.如图2，作，垂足为，并延长交于点．∵为等边三角形， ∴垂直平分， ∵四边形为正方形， ∴垂直平分正方形的边． 又是圆的弦，∴必过圆心，记圆心为点，并设的半径为． 在中， ∵， ∴．∴． 在中，． ∴．解得∴该圆的半径长为2．图一 图二【解析】作，垂足为，并延长交于点．根据其轴对称性，则圆心必定在上．设其圆心是，连接，．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可以求得，的长，设圆的半径是．在直角三角形中，根据勾股定理列方程求解．AF BC ⊥F DE H ABC △AF BC BDEC AH DE DE AH O O r Rt ABF △30BAF ∠=︒AF2OH AF FH OA r =+--Rt ODH △222OH DH OD +=()22221r r +=2r =HAF BC ⊥F DE H AH O OD OE AH DH r BOH【点评】熟练运用等边三角形的性质、正方形的性质以及勾股定理．6.（1）∵AC是O的直径，∴AE BC⊥，∵OD BC∥，∴AE OD⊥，∴D是的中点；（2）方法一：如图，延长OD交AB于G，则OG BC∥，∴AGD B∠=∠，∵ADO BAD AGD∠=∠+∠，又∵OA OD=，∴DAO ADO∠=∠，∴DAO B BAD∠=∠+∠；方法二：如图，延长AD交BC BC于H，则ADO AHC∠=∠，∵AHC B BAD∠=∠+∠，∴ADO B BAD∠=∠+∠，又∵OA OD=，∴DAO B BAD∠=∠+∠；（3）∵AO OC=，∴12OCD ACDS S=△△，∵12CEFOCDSS=△△，∴14CEFACDSS=△△，∵ACD FCE∠=∠，90ADC FEC∠=∠=︒，∴ACD FCE△∽△，∴2CEFACDS CFS AC⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，AE即：2144CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2CF =．【解析】（1）由AC 是O 的直径，即可求得OD BC ∥，又由AE OD ⊥，即可证得D 是AE 的中点；（2）首先延长OD 交AB 于G ，则OG BC ∥，可得OA OD =，根据等腰三角形的性质，即可求得DAO B BAD ∠=∠+∠； （3）由AO OC =，12OCD ACD S S =△△，即可得14CEF ACD S S =△△，又由ACD FCE △∽△，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CF 的长． 【点评】此题考查了垂径定理，平行线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．7.（1）连接AD ，∵DAC DEC EBC DEC ∠=∠∠=∠，， ∴DAC EBC ∠=∠， ∵AC 是O 的直径， ∴90ADC ∠=︒， ∴90DCA DAC ∠+∠=︒， ∴90EBC DCA ∠+∠=︒，∴()1801809090BGC EBC DCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， ∴AC BH ⊥；（2）∵18090BDA ADC ∠=︒-∠=︒，45ABC ∠=︒， ∴45BAD ∠=︒， ∴BD AD =， ∵8BD =， ∴8AD =，∵9010ADC AC ∠=︒=，，∴，6DC ==∴8614BC BD DC =+=+=，∵90BGC ADC ∠=∠=︒，BCG ACD ∠=∠， ∴∠45BAD ∠=︒， ∴CG BCDC AC =， ∴14610CG =， ∴425CG =， 连接AE ， ∵AC 是直径， ∴90AEC ∠=︒， ∵EG AC ⊥， ∴CEG CAE △∽△， ∴CE CGAC CE=， ∴24210845EC AC CG =⋅=⨯=， ∴．【解析】（1）连接AD ，由圆周角定理即可得出DAC DEC ∠=∠，90ADC ∠=︒，再根据直角三角形的性质即可得出结论；（2）由18090BDA ADC ∠=︒-∠=︒，45ABC ∠=︒可求出45BAD ∠=︒，利用勾股定理即可得出DC 的长，再由相似三角形的判定定理与性质可求出CG 的长，连接AE 由圆周角定理可得出EG AC ⊥，进而得出CEG CAE △∽△，由相似三角形的性质即可得出结论．【点评】本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．8.（1）过O 作OM AB ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，则OM ON =；（2）连OB OC ，，则OA BC ⊥，又AE OE =，得AB BO OA OC ===，AOB AOC 、△△都是等边三角形，连OG ，则90GOF ∠=︒，FG =（3）取BD 的中点M ，过M 作MS PA ⊥于S ，MT PF ⊥于T ，连AM FM ，，BPM ∠=CE =30DPM ∠=︒，60APM FPM ∠=∠=︒，则MS MT AM MF ==，，Rt ASM Rt FTM ≌，△△△ Rt PMS Rt PMF ≌△△，∴12PS PM =．∴22PA PF PS PT PM +===．同理可证：PB PD +=．∴PA PF PB PD +===+为定值．【解析】（1）由30BPA DPF ∠=∠=︒，构建直角三角形 （2）构造PA PF PB PD ++、相关现线段 （3）取BD 中点H ,连PH ，联想常规命题等．9.（1）由已知得90ADC ∠=︒，从而A B C D ，，，四点共圆，AC 为直径，F 为该圆的圆心， 作FG BD ⊥于点G ，∴G 为BD 的中点，∴DF FB = ∴2120BFD BAD ∠=∠=︒， ∴60GFB ∠=︒，∴30FBD ∠=︒ （2）作FH FB ⊥于点H ，则12EH EB =．又DE =2EB ，12DG GB DB==，∴GE DE DG =-=31222BE BE BE-=EH =， ∴Rt FGE Rt FHE ≌△△， ∴30GFE HFE ∠=∠=︒，又FA FB =，所以1152FAB CFB ∠=∠=︒，故∠DAC =45°=∠DCA ， 所以AD =DC ．C【解析】（1）连接FD ，四边形ABCD 中，已知∠BAD =60°，∠ABC =90°，∠BCD =120°，根据内角和定理可求∠ADC =90°，则A 、B 、C 、D 四点共圆，对角线AC 为直径，F 点为圆心，△FBD 为等腰三角形，根据圆周角定理∠BFD =2∠BAD ，可证∠FBD =30°；（2）作EH ⊥BF 于点H ，由（1）的结论可知EH =12BE ，利用线段之间个关系证明EH =12BE =EG ，从而判断Rt FGE Rt FHE ≌△△，得出∠GFE =∠HFE =30°，由圆周角定理得∠CAB =12∠CFB ，则∠DAC =∠BAD -∠FAB =45°，又AC 为直径，故AD =DC ．10.（1）连接，取与的交点为，则有．∵弦垂直平分线段， ∴，， 在中，∵，∴． （2）是定值．理由：连接， 由（1）易知，， ∵点为的内心，∴， ∵，COA OP AB F 1OA =AB OP 1122OF OP ==AFBF =Rt OAF△AF2AB AF ==ACB ∠AD BD 、120ADB ∠=︒D ABC △22CAB DAE CBA DBA ∠=∠∠=∠，1602DAE DBA AOB ∠+∠=∠=︒∴， ∴．（3）记的周长为l ，取与的切点分别为， 连接，则有， ∴， ∵∴， ∴，∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴，又由切线长定理可知， ∴ 解得， ∴． 【解析】（1）连接，与的交点为，则为直角三角形，且，借助勾股定理可求得的长； （2）要判断是否为定值，只需判定的值是否是定值，由于是的内切圆，所以和分别为和的角平分线，因此只要是定值，那么就是定值，而等于所对的圆周角，这个值等于值的一半；（3）由题可知又因为120CAB CBA ∠+∠=︒60ACB ∠=︒ABC △AC BC ，D G H ，DG DC DH ，，DG DH DE DG AC DH BC ==⊥⊥，，ABD ACD BCD S S S S =++△△△111222AB DE BC DH AC DG ⋅+⋅+⋅()1122AB BC AC DE l DE =++⋅=⋅2SDE =212l DE DE⋅=l =CG CH ，D 1302GCD ACB ∠=∠=︒Rt CGD △tan30DG CG =︒CH CG =AG AE BH BE ==，l AB BC AC =++==，13DE =ABC △OA PO AB F AOF △112OA FO ==，AF ACB ∠CAB ABC ∠+∠D ABC △AD BD CAB ∠ABC ∠DAE DBA ∠+∠CAB ABC ∠+∠DAE DBA ∠+∠AB AOB ∠()12ABD ACD BCD S S S S DE AB AC BC =++=++，△△△2SDE =所以，由于，所以在中，，同理可得，又由于，，所以，可得，解得：，代入，即可求得． 【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题AB AB BC ++=DH DG DE ==Rt CDH △CH CG AG AE =BE BH =AB AC BC CG CH AG AB BH ++=++++=+=+13DE =AB AC BC ++=。

中考数学专题复习圆与相似的综合题及详细答案一、相似1．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长；（2）求证：FQ=BQ【答案】（1）解：∵≌，∴，∵均为半圆切线，∴ .连接 ,则，∴四边形为菱形，∴DQ∥，∵均为半圆切线，∴∥，∴四边形为平行四边形∴，（2）证明：易得∽，∴ = ，∴ .∵是半圆的切线，∴ .过点作于点，则 .在中，，∴，解得：，∴∴【解析】【分析】（1）连接OP,由ΔABD≌ΔBFO可得AD=OB，由切线长定理可得AD=DP，于是易得OP=OA=DA=DP，根据菱形的判定可得四边形DAOP为菱形，则可得DQ∥AB，易得四边形DABQ为平行四边形，根据平行四边形的性质可求解；（2）过Q点作QK⊥AM于点K，由已知易证得ΔABD∽ΔBFO，可得比例式，可得BF与AD的关系，由切线长定理可得AD=DP,QB=QP ，解直角三角形DQK可求得BQ与AD 的关系，则根据FQ=BF−BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。

2．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵B（2，t）在直线y=x上，∴t=2，∴B（2，2），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x（2）解：如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是抛物线上第四象限的点，∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，∴S△OBC=S△CDO+S△CDB= CD•OE+ CD•BF= （﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，∵△OBC的面积为2，∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，∴C（1，﹣1）（3）解：存在．设MB交y轴于点N，如图2，∵B（2，2），∴∠AOB=∠NOB=45°，在△AOB和△NOB中∴△AOB≌△NOB（ASA），∴ON=OA= ，∴N（0，），∴可设直线BN解析式为y=kx+ ，把B点坐标代入可得2=2k+ ，解得k= ，∴直线BN的解析式为y= x+ ，联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，∴M（﹣，），∵C（1，﹣1），∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），∴OB=2 ，OC= ，∵△POC∽△MOB，∴ = =2，∠POC=∠BOM，当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，∵∠COA=∠BOG=45°，∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，∴△MOG∽△POH，∴ = = =2，∵M（﹣，），∴MG= ，OG= ，∴PH= MG= ，OH= OG= ，∴P（，）；当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，同理可求得PH= MG= ，OH= OG= ，∴P（﹣，）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）【解析】【分析】（1）根据已知抛物线在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t），可求出点B的坐标，再将点A、B的坐标分别代入y=ax2+bx，建立二元一次方程组，求出a、b的值，即可求得答案。

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）25°.【解析】试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数．试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD即∠AOD=∠BOC∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠B=90°，AD=BC∴AOD BOC ∆≅∆∴AO=OB（2）解：∵AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ， ∴PA ⊥AB ，∴∠A=90°.又∵∠OPA=40°，∴∠AOP=50°，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB.又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252B OCB AOP ∠=∠=∠=︒.2．如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB=CD ．(1)如图(1),求证:AD ∥BC ；(2)如图(2),点F 是AC 的中点,弦DG ∥AB,交BC 于点E,交AC 于点M,求证:AE=2DF ；(3)在(2)的条件下,若DG 平分∠3∠3,求⊙O 的半径。

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）129【解析】试题分析：(1)连接AC．由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论．（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE，DN=BE．由圆内接四边形的性质得到∠NDC=∠B．即可证明ΔABE≌ΔCND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论．（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE．再证明ΔCDE是等边三角形，ΔBGE是等边三角形，通过解三角形ABE，得到AB，HB，AH，HE的长，由EC=DE=AB，得到HC的长．在Rt△AHC中，由勾股定理求出AC的长．作直径AP，连接CP，通过解△APC即可得出结论．试题解析：解：(1)连接AC．∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC．（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，∴DN=BE．∵ABCD是圆内接四边形，∴∠NDC=∠B．∵AB=CD，∴ΔABE≌ΔCND，∴AE=CN．∵DN=AD，AF=FC，∴DF=1CN，∴AE=2DF．2（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE．∵DF∥CN，∴∠ADF=∠ANC，∴∠AEB=∠ADF，∴tan∠AEB= tan∠ADF=3DG平分∠ADC，∴∠ADG=∠CDG．∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∠NDC=∠DCE．∵∠ABC=∠NDC，∴∠ABC=∠DCE．∵AB∥DG，∴∠ABC=∠DEC，∴∠DEC=∠ECD=∠EDC，∴ΔCDE是等边三角形，∴AB=DE=CE．∵∠GBC=∠GDC=60°，∠G=∠DCB=60°，∴ΔBGE是等边三角形，BE= GE=53．∵tan∠AEB= tan∠ADF=43，设HE=x，则AH=43x．∵∠ABE=∠DEC=60°，∴∠BAH=30°，∴BH=4x，AB=8x，∴4x+x=53，解得：x=3，∴AB=83，HB=43，AH=12，EC=DE=AB=83，∴HC=HE+EC=383+=93．在Rt△AHC中，AC=222212(93)AH HC+=+=343．作直径AP，连接CP，∴∠ACP=90°，∠P=∠ABC=60°，∴sin∠P=AC AP，∴3432129sin603ACAP===︒，∴⊙O的半径是129．3．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线与大圆交于点B，点D 在大圆上，BD与小圆相切于点F，AF的延长线与大圆相交于点C，且CE⊥BD．找出图中相等的线段并证明．【答案】见解析【解析】试题分析：由AE是小⊙O的直径，可得OA=OE，连接OF，根据切线的性质，可得OF⊥BD，然后由垂径定理，可证得DF=BF，易证得OF∥CE，根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF，继而可得四边形ABCD是平行四边形，则可得AD=BC，AB=CD．然后连接OD、OC，可证得△AOD≌△EOC，则可得BC=AD=CE=AE．试题解析：图中相等的线段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE．证明如下：∵AE是小⊙O的直径，∴OA=OE．连接OF，∵BD与小⊙O相切于点F，∴OF⊥BD．∵BD是大圆O的弦，∴DF=BF．∵CE⊥BD，∴CE∥OF，∴AF=CF．∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD=BC，AB=CD．∵CE：AE=OF：AO，OF=AO，∴AE=EC．连接OD、OC，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD．∵∠AOD=∠ODC，∠EOC=∠OEC，∴∠AOC=∠EOC，∴△AOD≌△EOC，∴AD=CE．∴BC=AD=CE=AE．【点睛】考查了切线的性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法，小心不要漏解．4．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）3π【解析】【分析】（1）与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．（2）根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．【详解】解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．（2）∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP=30°，∵∠A=90°，∴BP=2APRt△ABP中,AB=3，由勾股定理可得：3，∴S⊙P=3π5．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=45，求⊙O的半径．【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．【解析】分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，∴∠AFB=90°，∴∠FAG+∠FGA=90°，∵AE平分∠DAB，∴∠FAG=∠EAB，∴∠AGF=∠ABE，∴sin∠ABE=sin∠AGF=45AE AB ，∵AE=4，∴AB=5，则圆O 的半径为2.5．点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF ＝3，求阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）633π-. 【解析】【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图，∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC ；（2）连接OE ，如图，∵△ACB 中，∠ACB ＝90º,∠CAB ＝2∠B,∴∠B ＝30º,∠CAB ＝60º,∴△OCA 是等边三角形，∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD ＝∠CAD ＋∠ABC ＝90º,∴∠ACD ＝∠B ＝30º,∵PC ∥AE,∴∠PCA ＝∠CAE ＝30º,∴FC=FA,同理，CF ＝FM,∴AM ＝2CF=23,Rt △ACM 中，易得AC=23×3=3＝OC, ∵∠B ＝∠CAE ＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点，如图所示，∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO ＝3∵△CDO ≌△EDO(AAS)，∴332 ∴1332ABM S AB MO ∆=⨯= 同样，易求93AOE S ∆=， 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形933633332ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.7．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE（1）求证：直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，①△CBH∽△OBC②求OH＋HC的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5.【解析】分析：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：BC HBOC BC＝，所以HB=24BC，由于BC=HC，所以OH+HC=4−24BC+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．详解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB，∵OB=OC，∴∠CBH=∠OCB，∴△CBH∽△OBC②由△CBH ∽△OBC 可知：BC HB OC BC ＝ ∵AB=8，∴BC 2=HB•OC=4HB ， ∴HB=24BC ， ∴OH=OB-HB=4-24BC ∵CB=CH ，∴OH+HC=4−24BC +BC ， 当∠BOC=90°，此时BC=42 ∵∠BOC ＜90°， ∴0＜BC ＜42，令BC=x 则CH=x ，BH=24x ()221142544OH HC x x x ∴+=-++=--+ 当x=2时，∴OH+HC 可取得最大值，最大值为5点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．8．如图，是大半圆的直径，是小半圆的直径，点是大半圆上一点，与小半圆交于点，过点作于点. （1）求证：是小半圆的切线； （2）若，点在上运动（点不与两点重合），设，. ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②当时，求两点之间的距离.【答案】（1）见解析；（2）①，，②两点之间的距离为或.【解析】【分析】（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM 是△AOP的中位线即可．（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP•OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．②当y=3时，得到-x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．【详解】（1）连接，如图1所示∵是小半圆的直径，∴即∵∴∵∴∴，∵∴，∴∴.，即∵经过半径的外端，且∴直线是小半圆的切线.（2）①∵，，∴∴∴∽∴∴∵,,，∴当点与点重合时，；当点与点重合时，∵点在大半圆上运动（点不与两点重合），∴∴与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是.②当时，解得,Ⅰ当时，如图2所示在中，∵，∴，∴∵，∴是等边三角形∵∴∴.Ⅱ当时，如图3所示，同理可得∵∴∴过点作，垂足为，连接，如图3所示∵，∴同理在中，∵，∴综上所述，当时，两点之间的距离为或.【点睛】考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．9．结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积．解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．整理，得x2+7x=12．所以S△ABC=12 AC•BC=12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）=12．小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．可以一般化吗？（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．倒过来思考呢？（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．改变一下条件……（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=3mn；【解析】【分析】（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.【详解】设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，（1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，所以S△ABC＝AC•BC＝（x＋m）（x＋n）＝[x2＋（m＋n）x＋mn]＝（mn＋mn）＝mn;（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝（m＋n）2＝AB2，根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，∴S△ABC＝BC•AG＝×（x＋n）•（x＋m）＝3x2＋（m＋n）x＋mn]＝3（3mn＋mn）3．【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.10．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O 的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．（1）求证：PC=PD；（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．【答案】(1)见解析 (2) EC=172AE=132【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OC、OE．利用等角的余角相等，证明∠PCD=∠PDC即可；（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．首先证明Rt△AEF≌Rt△BEH，推出AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得5+x=12﹣x，推出x=72，延长即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC、OE．∵AB直径，∴∠ACB=90°，∴CE平分∠ACB，∴∠ECA=∠ECB=45°，∴AE=BE，∴OE⊥AB，∴∠DOE=90°．∵PC是切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°．∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC．∵∠PCD+∠OCE=90°，∠ODE+∠OEC=90°，∠PDC=∠ODE，∴∠PCD=∠PDC，∴PC=PD．（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．∵CE平分∠ACB，EH⊥BC于H，EF⊥CA于F，∴EH=EF，∠EFA=∠EHB=90°．∵AE=BE，∴AE=BE，∴Rt△AEF≌Rt△BEH，∴AF=BH，设AF=BH=x．∵∠F=∠FCH=∠CHE=90°，∴四边形CFEH是矩形．∵EH=EF，∴四边形CFEH是正方形，∴CF=CH，∴5+x=12﹣x，∴x =72，∴CF =FE =172，∴EC CF =2，AE 点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

中考数学圆的综合综合题汇编及详细答案一、圆的综合1．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE=BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示：∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；又∵AC=BC，∴AE=BE．（2）证明：连接OE，如图2所示：∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC•FB．设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG=．点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．2．如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．（1）求证：∠ABD=2∠BDC；（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）92DE =. 【解析】 【分析】（1）连接AD ，如图1，设∠BDC =α，∠ADC =β，根据圆周角定理得到∠CAB =∠BDC =α，由AB 为⊙O 直径，得到∠ADB =90°，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到∠ACE =∠ADC ，等量代换得到∠ACE =∠CAE ，于是得到结论； （3）如图2，连接OC ，根据圆周角定理得到∠COB =2∠CAB ，等量代换得到∠COB =∠ABD ，根据相似三角形的性质得到OH =5，根据勾股定理得到AB =22AD BD +=26，由相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）连接AD ．如图1，设∠BDC =α，∠ADC =β， 则∠CAB =∠BDC =α，∵点C 为弧ABD 中点，∴¶AC =¶CD，∴∠ADC =∠DAC =β，∴∠DAB =β﹣α， ∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB =90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD =90°﹣∠DAB =90°﹣（β﹣α），∴∠ABD =2α，∴∠ABD =2∠BDC ；（2）∵CH ⊥AB ，∴∠ACE +∠CAB =∠ADC +∠BDC =90°， ∵∠CAB =∠CDB ，∴∠ACE =∠ADC ， ∵∠CAE =∠ADC ，∴∠ACE =∠CAE ，∴AE =CE ； （3）如图2，连接OC ，∴∠COB =2∠CAB ， ∵∠ABD =2∠BDC ，∠BDC =∠CAB ，∴∠COB =∠ABD ， ∵∠OHC =∠ADB =90°，∴△OCH ∽△ABD ，∴12OH OC BD AB ==， ∵OH =5，∴BD =10，∴AB 22AD BD +，∴AO =13，∴AH =18，∵△AHE ∽△ADB ，∴AH AE AD AB =，即1824=26AE ，∴AE =392，∴DE =92．【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线．【答案】画图见解析.【解析】【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线.【详解】解：画图如下：【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB=52AD，∶DE=4∶1，求DE的长．【答案】(1)见解析;(2)5【解析】分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD•AE，进而得出答案．详解：（1）连接OD．∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴¶AB=¶BC，∴BC=AB=52．在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴△ADC～△ACE，∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD•AE．设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，∴100=4x•5x，∴x=5，∴DE=5．点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD•AE是解题的关键．5．如图AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CM，延长BC到点D，使CD=BC，连接AD交CM于点E，若⊙OD半径为3，AE=5，（1）求证：CM⊥AD；（2）求线段CE的长.【答案】（1）见解析；（2）5【解析】分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD，然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.详解：证明：（1）连接OC∵CM切⊙O于点C，∴∠OCE=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD=BC，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD，∴∠B=∠D∵∠B=∠OCB∴∠D=∠OCB∴OC∥AD∴∠CED=∠OCE=90°∴CM⊥AD.（2）∵OA=OB，BC=CD∴OC=1AD2∴AD=6∴DE=AD-AE=1易证△CDE ～△ACE∴CE DEAE CE = ∴CE 2=AE×DE∴CE=5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.6．如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a 1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a 2=_____；如图3，正三角形的边长a n =_____（用含n 的代数式表示）．3831343n 【解析】分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ． 本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为323 ∴a 13.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ，则A 2O ＝1－h ，连结B 2O ，设B 2C 2与PQ 交于点F ，则有OF ＝2h －1.∵B 2O 2＝OF 2＋B 2F 2，∴1＝(2h －1)2＋2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵h＝32a2，∴1＝(3a2－1)2＋14a22，解得a2＝83.(3)同(2)，连结B n O，设B n C n与PQ交于点F，则有B n O2＝OF2＋B n F2，即1＝(nh－1)2＋2 12na⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵h＝3a n，∴1＝14a n2＋2312nna⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，解得a n＝43n.7．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC垂足为H，∠ABC＝2∠CAD．（1）如图1，求证：AB＝BC；（2）如图2，过点B作BM⊥CD垂足为M，BM交⊙O于E,连接AE、HM，求证：AE∥HM;（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD交AE于N，AE与BC交于点F，若NH＝25，AD＝11，求线段AB的长.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AB的长为10.【解析】分析：（1）根据题意，设∠CAD=a，然后根据直角三角形的两锐角互余的关系，推导出∠BAC=∠ACB，再根据等角对等边得证结论；（2）延长AD、BM交于点N，连接ED.根据圆周角定理得出∠N=∠DEN=∠BAN，进而根据等角对等边，得到DE=DN,BA=BN，再根据等腰三角形和直角三角形的性质，求得MH∥AE；（3）连接CE，根据（2）的结论，由三角形全等的判定与性质证得HF=HC，然后结合勾股定理求出AC2-AH2=CD2-DH2，解得CD=5,CH=4,AH=8，最后根据锐角三角函数的性质得到AB.详解：（1）证明：设∠CAD=a,则∠ABC=2a,∠C=90°-a,∠BAD=90°-2a,∴∠BAC=90°-2a+a=90°-a∴∠BAC=∠ACB.∴AB=BC(2）证明：延长AD 、BM 交于点N ，连接ED. ∵∠DEN=∠DAB,∠N=∠BCD,∠BCD=∠BAN∴∠N=∠DEN=∠BAN ∴DE=DN,BA=BN 又∵BH ⊥AN,DM ⊥EN ∴EM=NM,HN=HA,∴MH ∥AE （3）连接CE.∠BDA=∠BCA,∠BDM=∠BAC,由（1）知∠BCA=∠BAC ∴∠BDA=∠BDM,∴△BDM ≌△BDH, ∴DH=MH,∠MBD=∠HBD,∴BD ⊥MH 又∵MH ∥AE,∴BD ⊥EF,∴△FNB ≌△ENB, 同理可证△AFH ≌△ACH,∴HF=HC,又∵FN=NE∴NH ∥EC,EC=2NH,又∵NH=25∴EC=45∠EAC=2∠AEC=2a=∠ABC,可证弧AC=弧EC, ∴AC=EC=5 设HD=x ，AH=11-x ，∵∠ADC=2∠CAD,翻折△CHD 至△CHG,可证CG=CD=AG AH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又∵AC 2-AH 2=CD 2-DH 2,∴(52-(11-x)2=(11-2x)2-x 2 ∴x 1=3,x 2=272(舍去)∴CD=5,CH=4,AH=8. 又∵tan2AH CHa BH DH==,∴BH=6 ∴22226810BM AH +=+= 点睛：此题主要考查了圆的综合，结合圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的性质，综合性比较强，灵活添加辅助线，构造方程求解是解题关键.8．如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t （s）（0＜t＜20）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以点C为圆心，12t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩；②100cm2．【解析】试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；②分两种情形分别列出方程即可解决问题．试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣12（5t﹣10）2=﹣72t2+50t﹣50．如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣12（30﹣3t）2=﹣72t2+50t﹣50．如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．综上所述：S=2229?(02)75050(210) 240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩．②如图7中，当0＜t≤5时，12t+3t=15，解得：t=307，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，12t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．9．四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC，CB，∠B=∠AEC．（1）如图1，求证：CE=CD；（2）如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交⊙O于点G，若tan∠53，EG=2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠CDE.(2) 作CH⊥DE于H, 设∠ECH=α，由（1）CE=CD，用α表示∠CAE，∠BAC，而∠BAD=∠BAC+∠CAE.（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先证明∠CAG=∠BAC，设NG=53m，可得AN=11m，利用直角n AGM,n AEM，勾股定理可以算出m的值并求出AE长.试题解析：（1）解：证明：∵四边形ABCD内接于⊙O.∴∠B+∠D=180°，∵∠B=∠AEC，∴∠AEC+∠D=180°，∵∠AEC+∠CED=180°，∴∠D=∠CED，∴CE=CD．（2）解：作CH⊥DE于H．设∠ECH=α，由（1）CE=CD，∴∠ECD=2α，∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，∴∠CAE+∠AEC=120°，∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°+α）=30°﹣α，∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，∵∠ACD=2∠BAC，∴∠BAC=30°+α，∴∠BAD =∠BAC +∠CAE =30°+α+30°﹣α=60°．（3）解：连接AG ，作GN ⊥AC ，AM ⊥EG ，∵∠CED =∠AEG ，∠CDE =∠AGE ，∠CED =∠CDE ，∴∠AEG =∠AGE ，∴AE =AG ，∴EM=MG =12EG =1， ∴∠EAG =∠ECD =2α，∴∠CAG =∠CAD +∠DAG =30°﹣α+2α=∠BAC ，∵tan ∠BAC =53， ∴设NG=53m ，可得AN =11m ，AG =22AG AM -=14m ， ∵∠ACG =60°，∴CN=5m ，AM =83m ，MG =22AG AM -=2m =1， ∴m =12， ∴CE=CD =CG ﹣EG =10m ﹣2=3， ∴AE =22AM EM +=221+43（）=7．10．如图1，四边形ABCD 为⊙O 内接四边形，连接AC 、CO 、BO ，点C 为弧BD 的中点． （1）求证：∠DAC=∠ACO+∠ABO ；（2）如图2，点E 在OC 上，连接EB ，延长CO 交AB 于点F ，若∠DAB=∠OBA+∠EBA ．求证：EF=EB ；（3）在（2）的条件下，如图3，若OE+EB=AB ，CE=2，AB=13，求AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD=7．【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OA ，只要证明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO ，由点C 是»BD中点，推出»»CD CB = ，推出∠BAC=∠DAC ，即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO ； （2）想办法证明∠EFB=∠EBF 即可；（3）如图3中，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，延长BE 交HO 的延长线于G ，作BN ⊥CF 于N ，作CK ⊥AD 于K ，连接OA ．作CT ∠⊥AB 于T ．首先证明△EFB 是等边三角形，再证明△ACK ≌△ACT ，Rt △DKC ≌Rt △BTC ，延长即可解决问题；试题解析：（1）如图1中，连接OA ，∵OA=OC ，∴∠1=∠ACO ，∵OA=OB ，∴∠2=∠ABO ，∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO ，∵点C 是BD u u u r 中点，∴CD CB =u u u r u u u r，∴∠BAC=∠DAC ，∴∠DAC=∠ACO+∠ABO ．（2）如图2中，∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB ，∠COB=2∠BAC ，∴∠BAD=∠BOC ，∵∠DAB=∠OBA+∠EBA ，∴∠BOC=∠OBA+∠EBA ，∴∠EFB=∠EBF ，∴EF=EB ．（3）如图3中，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，延长BE 交HO 的延长线于G ，作BN ⊥CF 于N ，作CK ⊥AD 于K ，连接OA ．作CT ∠⊥AB 于T ．∵∠EBA+∠G=90°，∠CFB+∠HOF=90°，∵∠EFB=∠EBF ，∴∠G=∠HOF ，∵∠HOF=∠EOG ，∴∠G=∠EOG ，∴EG=EO ，∵OH ⊥AB ，∴AB=2HB ，∵OE+EB=AB ，∴GE+EB=2HB ，∴GB=2HB ，∴cos ∠GBA=12HB GB = ，∴∠GBA=60°， ∴△EFB 是等边三角形，设HF=a ， ∵∠FOH=30°，∴OF=2FH=2a ， ∵AB=13，∴EF=EB=FB=FH+BH=a+132， ∴OE=EF ﹣OF=FB ﹣OF=132﹣a ，OB=OC=OE+EC=132﹣a+2=172﹣a ， ∵NE=12EF=12a+134， ∴ON=OE=EN=（132﹣a ）﹣（12a+134）=134﹣32a ， ∵BO 2﹣ON 2=EB 2﹣EN 2， ∴（172﹣a ）2﹣（134﹣32a ）2=（a+132）2﹣（12a+134）2， 解得a=32或﹣10（舍弃）， ∴OE=5，EB=8，OB=7， ∵∠K=∠ATC=90°，∠KAC=∠TAC ，AC=AC ，∴△ACK ≌△ACT ，∴CK=CT ，AK=AT ， ∵CD CB =u u u r u u u r ，∴DC=BC ，∴Rt △DKC ≌Rt △BTC ，∴DK=BT ，∵FT=12FC=5，∴DK=TB=FB ﹣FT=3，∴AK=AT=AB ﹣TB=10，∴AD=AK ﹣DK=10﹣3=7．11．如图，AC 是⊙O 的直径，OB 是⊙O 的半径，PA 切⊙O 于点A ，PB 与AC 的延长线交于点M ，∠COB ＝∠APB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）当MB ＝4，MC ＝2时，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据题意∠M +∠P ＝90°，而∠COB ＝∠APB ，所以有∠M +∠COB ＝90°，即可证明PB是⊙O 的切线.（2）设圆的半径为r ,则OM =r +2,BM=4,OB =r ,再根据勾股定理列方程便可求出r .【详解】证明：（1）∵AC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，∴PA ⊥OA∴在Rt △MAP 中，∠M +∠P ＝90°，而∠COB ＝∠APB ，∴∠M +∠COB ＝90°，∴∠OBM ＝90°，即OB ⊥BP ，∴PB 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，2OM r ∴=+ ,OB r = ,4BM =OBM ∆Q 为直角三角形∴222OM OB BM =+ ，即222(2)+4r r +=解得：r ＝3，∴⊙O 的半径为3．【点睛】本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径，另一种是证明半径垂直.12．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ；（1）求证：∠ADC+∠CBD ＝12∠AOD ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】【分析】()1根据垂径定理得到BD CD =n n ，根据等腰三角形的性质得到()111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠o o ，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =n n ，根据等腰三角形的性质得到ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=o ，求得90OAD DAP ∠+∠=o ，推出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】()1证明：OD BC ⊥Q ，BD CD ∴=n n， CBD DCB ∴∠=∠，90DFE EDF ∠+∠=o Q ，90EDF DFE ∴∠=-∠o ，OD OA =Q ，()111809022ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠o o ， 190902DFE AOD ∴-∠=-∠o o ， 12DEF AOD ∴∠=∠， DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠Q ，12ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠； ()2解：OD BC ⊥Q ，BE CE ∴=，BD CD =n n，BD CD ∴=，OA OD Q =，ADO OAD ∴∠=∠，PA Q 切O e 于点A ，90PAO ∴∠=o ，90OAD DAP ∴∠+∠=o ， PFA DFE ∠=∠Q ，90PFA ADO ∴∠+∠=o ，PAF PFA ∴∠=∠，PA PF ∴=．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．13．如图1，AB 为半圆O 的直径，半径OP ⊥AB ，过劣弧AP 上一点D 作DC ⊥AB 于点C ．连接DB ，交OP 于点E ，∠DBA ＝22.5°．⑴ 若OC ＝2，则AC 的长为 ；⑵ 试写出AC 与PE 之间的数量关系，并说明理由；⑶ 连接AD 并延长，交OP 的延长线于点G ，设DC ＝x ，GP ＝y ，请求出x 与y 之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）【答案】⑴ 222-；⑵ 见解析；⑶ y =2x【解析】【分析】（1）如图，连接OD ，则有∠AOD=45°，所以△DOC 为等腰直角三角形，又OC=2，所以DO=AO=22,故可求出AC 的长；（2）连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F . 证AC=PF 或AC=EF ，证DP=DE证PF=EF=12PE ，故可证出PE =2AC ； （3）首先求出22OD CD x ==，再求AB=22x ,再证△DGE ≌△DBA,得GE =AB =22x ，由PE=2AC 得PE =2(2)x x -，再根据GP =GE －PE 可求结论.【详解】（1）连接OD ，如图，∵∠B=22.5°，∴∠DOC=45°,∵DC ⊥AB∴△DOC 为等腰直角三角形，∵OC=2，∴2∴，∴AC=AO-OC=2.⑵连接AD，DP，过点D作DF⊥OP，垂足为点F.∵OP⊥AB,∴∠POD=∠DOC=45°，∴AD=PD，∵△DOC为等腰直角三角形，∴DC=CO,易证DF=CO，∴DC=DF，∴Rt△DAC≌Rt△DPF,∴PF=AC,∵DO=AO,∠DOA=45°∴∠DAC=67.5°∴∠DPE=67.5°,∵OD=OB，∠B=22.5°，∴∠ODE=22.5°∴∠DEP=22.5°+45°=67.5°∴∠DEP=∠DPE∴PF=EF=1PE2∴PE=2AC（3）如图2，由∠DCO=90°，∠DOC=45°得OD==∴AB=2OD=∵AB是直径，∴∠ADB=∠EDG=90°，由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC∴△DGE≌△DBA∴GE=AB=∵PE=2AC∴PE=2)x--∴GP=GE－PE=-)x即：y=2x【点睛】本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键. 14．如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝12∠P ． （1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若∠A ＝30°，⊙O 的半径为4，DM ＝1，求PM 的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF 、BM ；在线段DN 上有一点H ，并且以H 、D 、C 为顶点的三角形与△BFM 相似，求DH 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）PM ＝43﹣2；（3）满足条件的DH 的值为632- 或122311+． 【解析】【分析】（1）如图1中，作PH ⊥FM 于H ．想办法证明∠PFH=∠PMH ，∠C=∠OFC ，再根据等角的余角相等即可解决问题；（2）解直角三角形求出AD ，PD 即可解决问题；（3）分两种情形①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD FM BF =． ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF=，分别构建方程即可解决问题； 【详解】（1）证明：如图1中，作PH ⊥FM 于H ．∵PD ⊥AC ，∴∠PHM ＝∠CDM ＝90°，∵∠PMH ＝∠DMC ，∴∠C ＝∠MPH ，∵∠C ＝12∠FPM ，∴∠HPF ＝∠HPM ， ∵∠HFP+∠HPF ＝90°，∠HMP+∠HPM ＝90°，∴∠PFH ＝∠PMH ，∵OF ＝OC ，∴∠C ＝∠OFC ，∵∠C+∠CMD ＝∠C+∠PMF ＝∠C+∠PFH ＝90°，∴∠OFC+∠PFC ＝90°，∴∠OFP ＝90°，∴直线PA 是⊙O 的切线．（2）解：如图1中，∵∠A ＝30°，∠AFO ＝90°，∴∠AOF ＝60°，∵∠AOF ＝∠OFC+∠OCF ，∠OFC ＝∠OCF ，∴∠C ＝30°，∵⊙O 的半径为4，DM ＝1，∴OA ＝2OF ＝8，CD ＝3DM ＝3 ，∴OD ＝OC ﹣CD ＝4﹣3 ，∴AD ＝OA+OD ＝8+4﹣3 ＝12﹣3 ，在Rt △ADP 中，DP ＝AD•tan30°＝（12﹣3 ）×3 ＝43 ﹣1， ∴PM ＝PD ﹣DM ＝4 3﹣2．（3）如图2中，由（2）可知：BF ＝12BC ＝4，FM 3BF ＝3，CM ＝2DM ＝2，CD 3 ， ∴FM ＝FC ﹣CM ＝3﹣2，①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD FM BF = ， ∴3432=- ，∴DH 63- ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF =，∴34432DH =- ，∴DH ＝1223+ ， ∵DN ＝()22443833--=- ，∴DH ＜DN ，符合题意，综上所述，满足条件的DH 的值为63- 或1223+． 【点睛】本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题.15．如图，是大半圆的直径，是小半圆的直径，点是大半圆上一点，与小半圆交于点，过点作于点. （1）求证：是小半圆的切线； （2）若，点在上运动（点不与两点重合），设，. ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当时，求两点之间的距离.【答案】（1）见解析；（2）①，，②两点之间的距离为或.【解析】【分析】 （1）连接CO 、CM ，只需证到CD ⊥CM ．由于CD ⊥OP ，只需证到CM ∥OP ，只需证到CM 是△AOP 的中位线即可．（2）①易证△ODC ∽△CDP ，从而得到CD 2=DP•OD ，进而得到y 与x 之间的函数关系式．由于当点P 与点A 重合时x=0，当点P 与点B 重合时x=4，点P 在大半圆O 上运动（点P 不与A ，B 两点重合），因此自变量x 的取值范围为0＜x ＜4．②当y=3时，得到-x 2+4x=3，求出x ．根据x 的值可求出CD 、PD 的值，从而求出∠CPD ，运用勾股定理等知识就可求出P ，M 两点之间的距离．【详解】（1）连接，如图1所示∵是小半圆的直径，∴即∵∴∵∴∴，∵∴，∴∴.，即∵经过半径的外端，且∴直线是小半圆的切线.（2）①∵，，∴∴∴∽∴∴∵,,，∴当点与点重合时，；当点与点重合时，∵点在大半圆上运动（点不与两点重合），∴∴与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是.②当时，解得,Ⅰ当时，如图2所示在中，∵，∴，∴∵，∴是等边三角形∵∴∴.Ⅱ当时，如图3所示，同理可得∵∴∴过点作，垂足为，连接，如图3所示∵，∴同理在中，∵，∴综上所述，当时，两点之间的距离为或.【点睛】考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．。

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．试题解析：（1）连接FE，∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．∵，即．∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．（2）作图如下：P（7，7），PH是分割线．考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．2．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（235 2【解析】试题分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．（2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．试题解析：（1）结论：PC是⊙O的切线．证明：连接OC∵CB∥PO∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠POA=∠POC又∵OA=OC，OP=OP∴△APO≌△CPO∴∠OAP=∠OCP∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°∴PC是⊙O的切线．（2）连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°（6分）由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO∴△ACB∽△PCO∴∴．点睛：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．3．如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接O C、BC、CE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若圆O的直径等于2，填空：①当AD=时，四边形OADC是正方形；②当AD=时，四边形OECB是菱形．【答案】(1)见解析；（2）①1；②3．【解析】试题分析：（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；②依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．试题解析：解：∵AM⊥AB，∴∠OAD=90°．∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，∴△OAD≌△OCD，∴∠OCD=∠OAD=90°．∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）①∵当四边形OADC是正方形，∴AO=AD=1．故答案为：1．②∵四边形OECB是菱形，∴OE=CE．又∵OC=OE，∴OC=OE=CE．∴∠CEO=60°．∵CE∥AB，∴∠AOD=60°．在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，∴AD=．故答案为：．点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．4．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D 在劣弧OA上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.(1)求⊙M的半径；(2)求证：BD平分∠ABO；(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．【答案】（1）M的半径r2；（2）证明见解析；（3）点E的坐标为(2632)．【解析】试题分析：根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据Rt△AOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE≌△HBE，从而得出2，从而求出OH 的长度，即点E的纵坐标，根据Rt△AOB的三角函数得出∠ABO的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt△HBE得出HE的长度，即点E的横坐标.试题解析：（1）∵点A6，0），点B为（02）∴62∴根据Rt△AOB的勾股定理可得：2∴M的半径r=122.（2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－2=2在Rt △AOB 中，3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=263=∴点E 的坐标为（26，2）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF 3【答案】（1）详见解析；（2633π-. 【解析】【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC；（2）连接OE，如图，∵△ACB中，∠ACB＝90º,∠CAB＝2∠B,∴∠B＝30º,∠CAB＝60º,∴△OCA是等边三角形，∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD＝∠CAD＋∠ABC＝90º,∴∠ACD＝∠B＝30º,∵PC∥AE,∴∠PCA＝∠CAE＝30º,∴FC=FA,同理，CF＝FM,∴AM＝2CF=23,Rt△ACM中，易得AC=23×3=3＝OC,∵∠B＝∠CAE＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG⊥AB交AB于G点，如图所示，∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO＝3∵△CDO≌△EDO(AAS)，∴332∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样，易求934AOE S ∆=， 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=93363333424ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.6．如图，在Rt △ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E ，连接AD ．已知∠CAD ＝∠B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若CD ＝2，AC ＝4，BD ＝6，求⊙O 的半径．【答案】（1）详见解析；（2）35. 【解析】【分析】 (1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD ⊥AD ，从而证明AD 为圆O 的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）证明：连接OD ，∵OB ＝OD ，∴∠3＝∠B ，∵∠B ＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，∵OF⊥BD∴DF＝BF＝12BD＝3∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°∴AD＝22AC CD＝25∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°∴△BFO∽△ACD∴BFAC = OB AD即34=25∴OB＝352∴⊙O的半径为352．【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键7．（问题情境）如图1，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE、CE．求证：BCE 1S2=S平行四边形ABCD．（说明：S表示面积）请以“问题情境”为基础，继续下面的探究（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O，⊙O与BC边相切于点H，与BD相交于点M．若AD＝6，BD＝y，AM＝x，试求y与x之间的函数关系式．（探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F在CD上，连接AF、BF，AF与CE相交于点G，若AF＝CE，求证：BG平分∠AGC．（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，请直接写出DG：DH的值．【答案】【问题情境】见解析；【探究应用1】18yx=；【探究应用2】见解析；【迁移【解析】【分析】（1）作EF⊥BC于F，则S△BCE＝12BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，即可得出结论；（2）连接OH，由切线的性质得出OH⊥BC，OH＝12AD＝3，求出平行四边形ABCD的面积＝AD×OH＝18，由圆周角定理得出AM⊥BD，得出△ABD的面积＝12BD×AM＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果；（3）作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，同图1得：△ABF的面积＝△BCE的面积＝12平行四边形ABCD的面积，得出12AF×BM＝12CE×BN，证出BM＝BN，即可得出BG平分∠AGC．（4）作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，由平行四边形的性质得出∠ABP＝60°，得出∠BAP＝30°，设AB＝4x，则BC＝3x，由直角三角形的性质得出BP＝12AB＝2x，BQ＝12BE，AP＝BP＝，由已知得出BE＝2x，BF＝2x，得出BQ＝x，EQ x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理求出AF＝x，CE，连接DF、DE，由三角形的面积关系得出AF×DG＝CE×DH，即可得出结果．【详解】（1）证明：作EF⊥BC于F，如图1所示：则S△BCE＝12BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，∴12BCE ABCD S S =．（2）解：连接OH ，如图2所示：∵⊙O 与BC 边相切于点H ， ∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3， ∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AMD ＝90°，∴AM ⊥BD ，∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9， 即12xy ＝9， ∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x ； （3）证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴12AF×BM ＝12CE×BN ， ∵AF ＝CE ，∴BM ＝BN ，∴BG 平分∠AGC ． （4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示：∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，∴∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，∴BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP BP ＝， ∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，∴BE ＝2x ，BF ＝2x ，∴BQ ＝x ， ∴EQ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理得：AF ＝x ，CE ， 连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，∴AF×DG ＝CE×DH ，∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．8．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ．（1）d （点O ，AB ）= ；（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．【答案】（1）222）224r ≤≤；（3）25252t -<<-或6<r <8．【解析】【分析】（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求；（2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2， OE=22，即可求解； （3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可．【详解】（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，根据“非常距离”的定义可知，d （点O ，AB ）=OD=2AB =22442+=22; （2）如图，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4，∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0，∴224r ≤≤；（3）当⊙T 在△ABC 左侧时，如图，当⊙T 与BC 相切时，d=0,BC=2236+=35,过点C 作CE ⊥y 轴，过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,∴TF TH BE BC=, 即2=635TH , ∴TH=5,∵HO ∥CE,∴△BHO ∽△BEC,∴HO=2，此时T(-5-2，0);当d=2时，如图，同理可得，此时T （252--）；∵0<d <2，∴25252t --<<--；当⊙T 在△ABC 右侧时，如图，当p=0时，t=6，当p=2时，t=8.∵0<d <2，∴6<r <8； 综上，25252t --<<--或6<r <8．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．9．如图，AB 是半圆⊙O 的直径，点C 是半圆⊙O 上的点，连接AC ，BC ，点E 是AC 的中点，点F 是射线OE 上一点．（1）如图1，连接FA ，FC ，若∠AFC ＝2∠BAC ，求证：FA ⊥AB ；（2）如图2，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点G 是线段CD 上一点（不与点C 重合），连接FA ，FG ，FG 与AC 相交于点P ，且AF ＝FG ．①试猜想∠AFG 和∠B 的数量关系，并证明；②连接OG ，若OE ＝BD ，∠GOE ＝90°，⊙O 的半径为2，求EP 的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA ＝2∠ABC ．理由见解析；②PE 3． 【解析】【分析】 （1）证明∠OFA ＝∠BAC ，由∠EAO +∠EOA ＝90°，推出∠OFA +∠AOE ＝90°，推出∠FAO ＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA ＝2∠ABC ．连接FC ．由FC ＝FG ＝FA ，以F 为圆心FC 为半径作⊙F ．因为AG AG =，推出∠GFA ＝2∠ACG ，再证明∠ACG ＝∠ABC ．②图2﹣1中，连接AG ，作FH ⊥AG 于H ．想办法证明∠GFA ＝120°，求出EF ，OF ，OG 即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC ．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠ACG，∴∠GFA＝2∠ABC．②如图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．∵BD ＝OE ，∠CDB ＝∠AEO ＝90°，∠B ＝∠AOE ，∴△CDB ≌△AEO （AAS ），∴CD ＝AE ，∵EC ＝EA ，∴AC ＝2CD ．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 222213AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 603AH ︒=， 在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴134233=， ∴PE 3． 【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.10．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD ，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为35； （2）相似，理由见解析， 如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∴PH 垂直平分MN ，∴PM=PN ，在Rt △AHP 中，tanA=12PH AH =， 设PH=y ，AH=2y ，y 2+（2y ）2=（65）2解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴3535AM MP ==，35PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.。

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F . （1）求证：OE ∥BD ；（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5DBA ∠=时，求EF 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212【解析】试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明； （2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠. ∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD . （2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA=25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO . ∴BD CDBO EO= ∴252EO =.∵OE ∥BD ，CO =OD ， ∴CF =FB . ∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=2．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE=∠DBC ．（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若sin ∠ABE=33，CD=2，求⊙O 的半径．【答案】（1）直线BE 与⊙O 相切，证明见解析；（2）⊙O 的半径为32． 【解析】分析：（1）连接OE ，根据矩形的性质，可证∠BEO =90°，即可得出直线BE 与⊙O 相切； （2）连接EF ，先根据已知条件得出BD 的值，再在△BEO 中，利用勾股定理推知BE 的长，设出⊙O 的半径为r ，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值． 详解：（1）直线BE 与⊙O 相切．理由如下：连接OE ，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ． ∵OD =OE ，∴∠OED =∠ODE ． 又∵∠ABE =∠DBC ，∴∠ABE =∠OED ， ∵矩形ABDC ，∠A =90°，∴∠ABE +∠AEB =90°，∴∠OED +∠AEB =90°，∴∠BEO =90°，∴直线BE 与⊙O 相切；（2）连接EF ，方法1：∵四边形ABCD 是矩形，CD =2，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =33sin ABE ∠= ∴23DCBD sin CBD∠==在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AEAE BC AB ，，==∴=， 由勾股定理求得6BE =在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2．设⊙O 的半径为r ，则222623r r +=-（）（），∴r =32， 方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°． ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=． 设3DC x BD x ==，，则2BC x =．∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AEAE BC AB ，，=∴=∴=， ∴E 为AD 中点．∵DF 为直径，∠FED =90°，∴EF ∥AB ，∴132DF BD ==，∴⊙O 的半径为32．点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．3．如图，O 是△ABC 的内心，BO 的延长线和△ABC 的外接圆相交于D ，连结DC 、DA 、OA 、OC ，四边形OADC 为平行四边形． （1）求证：△BOC ≌△CDA ． （2）若AB =2，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2433π-. 【解析】分析: （1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD ，于是可判断四边形OADC 为菱形，则BD 垂直平分AC ，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC ，∠2=∠3，所以OB=OC ，可判断点O 为△ABC 的外心，则可判断△ABC 为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC ，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC ，CD=OA=OB ，则根据“SAS”证明△BOC ≌△CDA ；（2）作OH ⊥AB 于H ，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=12AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=33BH=33，OB=2OH=233，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S 阴影部分=S 扇形AOB-S △AOB 进行计算即可. 详解:（1）证明：∵O 是△ABC 的内心，∴∠2=∠3，∠5=∠6， ∵∠1=∠2，∴∠1=∠3， 由AD ∥CO ,AD =CO ，∴∠4=∠6， ∴△BOC ≌△CDA （AAS ）(2)由（1）得，BC =AC ,∠3=∠4=∠6， ∴∠ABC =∠ACB ∴AB =AC∴△ABC 是等边三角形 ∴O 是△ABC 的内心也是外心 ∴OA =OB =OC设E 为BD 与AC 的交点，BE 垂直平分AC . 在Rt △OCE 中，CE=12AC=12AB=1，∠OCE=30°， ∴23∵∠AOC=120°， ∴=AOBAOB S S S -阴影扇=2120231323602π-⨯ =433π- 点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.4．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．5．如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t （s）（0＜t＜20）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以点C为圆心，12t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩；②100cm2．【解析】试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；②分两种情形分别列出方程即可解决问题．试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣12（5t﹣10）2=﹣72t2+50t﹣50．如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣12（30﹣3t）2=﹣72t2+50t﹣50．如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．综上所述：S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩．②如图7中，当0＜t≤5时，12t+3t=15，解得：t=307，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，12t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．6．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】 分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点，∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点，∴∠EDB=∠EBD ．（2分）又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°，∴∠EDB+∠ODB=90°．∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又∵BD ⊥AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形．∴∠C AB=45°．过E 作EH ⊥AC 于H ，设BC=2k ，则EH=22k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=1010EH AE ．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．3．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。

中考数学专题复习圆与相似的综合题及答案一、相似1．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE 沿直线 BC 翻折到△ CDF，连结 AF交 BE、DE、DC分别于点 G、H、I．1）求证： AF⊥ BE；2）求证： AD=3DI．答案】（1）证明：∵在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=90°， D 是 BC的中点，∴AD=BD=CD，∠ACB=45，°∵在△ ADC中， AD=DC，DE⊥AC，∴AE=CE，∵△ CDE沿直线 BC翻折到△CDF，∴△ CDE≌ △CDF，∴CF=CE，∠ DCF=∠ACB=45 ，° ∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90 ，°在△ ABE与△ACF中，∴△ ABE≌ △ ACF（SAS），∴∠ ABE=∠FAC，∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°∴∠ AGB=90 ，°∴AF⊥BE2）证明：作 IC的中点 M，连接 EM，由（ 1）∠DEC=∠ECF=∠ CFD=90°∴四边形 DECF是正方形，∴EC∥DF，EC=DF，∴∠ EAH=∠HFD，AE=DF，在△ AEH与△FDH中∴△ AEH≌△FDH（AAS），∴EH=DH，∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°∴∠ AGB=90 ，°∴AF⊥BE，∵M 是 IC的中点， E 是 AC的中点，∴EM∥AI，∴DI=IM，∴CD=DI+IM+MC=3DI，∴AD=3DI【解析】【分析】（ 1）根据翻折的性质和 SAS 证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=9°0 ，可证得结论。

（2）作 IC 的中点 M ，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS 证明△AEH 与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。

中考数学《圆的综合》专题训练(含有答案)1．如图，：AB 是O 的直径：BC 是O 弦，OD CB ⊥于点E ，交BC 于点D ．(1)请写出三个不同类型的正确结论(2)连结CD ，设BCD α∠= ABC β∠= 试找出α与β之间的一种关系式并给予证明．2．如图，，在ABC 中 AB AC = 以AB 为直径的O 交BC 于点D 交CA 的延长线于点E ．(1)求证点D 为线段BC 的中点．(2)若63BC = 3AE = 求O 的半径及阴影部分的面积．3．如图，AB 为O 的直径 点C 在O 上 延长BC 至点D 使DC CB =．延长DA 与O 的另一个交点为E 连结AC CE ，．(1)求证D E ∠=∠(2)若42AB BC AC =-=， 求CE 的长．4．请仅用无刻度的直尺完成下列作图 不写作法 保留作图痕迹(1)如图1， ABC 与ADE 是圆内接三角形 AB AD = AE AC = 画出圆的一条直径．(2)如图2 ， AB CD 是圆的两条弦 AB CD =且不相互平行 画出圆的一条直径． 5．如图，AB 是O 的直径 点D 在AB 的延长线上 点C 在O 上 ,30CA CD CDA =∠=︒．(1)求证CD 是O 的切线(2)若O 的半径为6 求点A 到CD 所在直线的距离．6．如图， 点C 在以AB 为直径的O 上 过C 作O 的切线交AB 的延长线于E AD CE ⊥于D 连接AC ．(1)求证ACD ABC ∠=∠(2)若3tan 4CAD ∠= 8AD = 求O 直径AB 的长．7．如图， 已知以Rt ABC 的直角边AC 为直径作O 交斜边AB 于点E 连接EO 并延长交BC 的延长线于点D 连接AD 点F 为BC 的中点 连接EF ．(1)求证EF 是O 的切线(2)若O 的半径为6 8CD = 求AB 的长．8．如图， AB 是半圆O 的直径 D 为半圆O 上的点(不与A B 重合) 连接AD 点C 为BD 的中点 过点C 作CF AD ⊥ 交AD 的延长线于点F 连接BF AC 交于点E ．(1)求证FC 是半圆O 的切线(2)若3AF = 23AC = 求半圆O 的半径及AE 的长．9．如图， AB 为O 的直径 C 为BA 延长线上一点 CD 是O 的切线 D 为切点 OF AD ⊥于点E 交CD 于点F ．(1)求证ADC AOF ∠=∠ (2)若53OC OB = 24BD = 求EF 的长． 10．如图，所示 AB 是O 的直径 点D 在AB 上 点C 在O 上 AD AC =CD 的延长线交O 于点E ．(1)在CD 的延长线上取一点F 使BF BC = 求证BF 是O 的切线 (2)若2AB = 2CE 求图中阴影部分的面积．11．如图， ABC 内接于O AB 为O 的直径 D 为BA 延长线上一点 连接CD 过O 作OF BC ∥交AC 于点E 交CD 于点F ACD AOF ∠=∠．(1)求证CD 为圆O 的切线 (2)若1sin 4D =10BC = 求EF 的长． 12．如图， 四边形ABCD 是O 的内接四边形 AD CD = 70BAC ∠=︒ 50∠=°ACB ．(1)求ABD ∠的度数 (2)求BAD ∠的度数．13．如图， 四边形ABCD 是O 的内接四边形 且对角线BD 为O 的直径 过点A 作AE CD ⊥ 与CD 的延长线交于点E 且DA 平分BDE ∠．(1)求证AE 是O 的切线(2)若O 的半径为5 6CD = 求DA 的长．14．如图， 在正方形ABCD 中有一点P 连接AP BP 旋转APB △到CEB 的位置．(1)若正方形的边长是8 4BP =．求阴影部分面积 (2)若4BP = 7AP = 135APB ∠=︒ 求PC 的长．15．如图， AB 是O 的直径 OD 垂直于弦AC 于点E 且交O 于点D F 是BA 延长线上一点 若CDB BFD ∠=∠．(1)求证 FD 是O 的一条切线(2)若15AB = 9BC = 求DF 的长． 16．如图，O 是ABC ∆的外接圆 AE 切O 于点A AE 与直径BD 的延长线相交于点E ．(1)如图，① 若70C ∠=︒ 求E ∠的大小 (2)如图，① 若AE AB = 求E ∠的大小．17．已知 如图， 直线MN 交O 于A B 两点 AC 是直径 AD 平分CAM ∠交O 于D 过D 作DE MN ⊥于E ．(1)求证DE 是O 的切线(2)若8cm DE = 4cm AE = 求O 的半径．18．已知四边形ABCD 内接于O C 是DBA 的中点 FC AC ⊥于C 与O 及AD 的延长线分别交于点,E F 且DE BC =．(1)求证~CBA FDC(2)如果9,4AC AB == 求tan ACB ∠的值．参考答案与解析1．(1)见解析(2)关系式为2=90αβ+︒ 证明见解析【分析】（1）AB 是O 的直径 BC 是弦 OD BC ⊥于E 本题满足垂径定理． （2）连接,CD DB 根据四边形ACDB 为圆内接四边形 可以得到290αβ+=︒． 【解析】（1）解不同类型的正确结论有 ①BE CE = ①BD CD = ①90BED ∠=︒ ①BOD A ∠=∠ ①AC OD ∥ ①AC BC ⊥ ①222OE BE OB += ①ABC S BC OE =⋅△ ①BOD 是等腰三角形 ①BOE BAC △∽△等等． （2）如图， 连接,CD DBα与β之间的关系式为290αβ+=︒证明AB 为圆O 的直径90A ABC ∴∠+∠=︒①又四边形ACDB 为圆内接四边形180A CDB ∠∠∴+=︒①∴①-①得90CDB ABC ∠∠-=︒①18021802CDB BCD α∠=︒-∠=︒- 即180290αβ︒--=︒ ①2=90αβ+︒．【点评】本题考查了圆的一些基本性质 且有一定的开放性 垂径定理 圆内接四边形的性质掌握圆的相关知识． 2．(1)见解析 (2)半径为3 39π324S =阴【分析】（1）连结AD 可得90ADB ∠=︒ 已知AB AC = 根据等腰三角形三线合一的性质即可得证点D 为线段BC 的中点（2）根据已知条件可证ABC DEC ∽△△ 得到ED ECAB BC= 22BD AB EC =⋅ 且EDC △是等腰三角形 进而得到ED DC BD == 设AB x = 则(()22333x x =+ 解方程即可求得O 的半径连接OE 可证AOE △是等边三角形 再根据AOEAOE S S S =-阴扇形即可求出阴影部分的面积【解析】（1）连结AD①AB 为O 的直径 ①90ADB ∠=︒ ①AB AC = ①BD CD =即点D 为线段BC 的中点． （2）①B E ∠=∠ C C ∠=∠ ①ABC DEC ∽△△ ①ED ECAB BC= ①AB AC = ①B C ∠=∠ ①C E ∠=∠ ①ED DC BD == ①22BD AB EC =⋅ 设AB x = 则 (()22333x x =+解得19x =-（舍去） 26x = ①O 的半径为3 连接OE ①60AOE =︒∠ ①AOE △是等边三角形 ①AE 33①AOEAOE S S S=-阴扇形260313333602π⨯⨯=-⨯ 39π324=【点评】本题主要考查等腰三角形的性质 相似三角形的判定和性质 不规则图形面积的计算 熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3．(1)见解析 (2)CE 的长为17【分析】（1）由AB 为O 的直径得90ACB ∠=︒ 通过证明()ACD ACB ≌SAS 得到D B ∠=∠ 又由B E ∠=∠ 从而得到D E ∠=∠（2）设BC x = 则2AC x =- 在Rt ABC 中 由勾股定理可得222AC BC AB += 即()22224x x -+= 解一元二次方程得到BC 的长 由（1）知D E ∠=∠ 从而得到CD CE = 又由DC CB = 得到17CE CB ==【解析】（1）证明AB 为O 的直径90ACB ∴∠=︒180ACD ACB ∠+∠=︒90ACD ∴∠=︒在ACD 和ACB △中AC AC ACD ACB DC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD ACB ∴≌SASD B ∴∠=∠ BE ∠=∠D E ∴∠=∠（2）解设BC x =2BC AC -=∴2AC x =-在Rt ABC 中 由勾股定理可得222AC BC AB += 即()22224x x -+=解得117x = 217x = 17BC ∴=由（1）得D E ∠=∠ CD CE ∴= DC CB =17CE CB ∴==∴ CE 的长为17【点评】本题主要考查了圆周角定理 三角形全等的判定与性质 等腰三角形的性质 勾股定理解直角三角形 熟练掌握圆周角定理 三角形全等的判定与性质 等腰三角形的性质是解题的关键． 4．(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）设BC DE 交于点G 连接AG 交圆于点F 即可作答（2）连接BC AD 交于点F 延长BA DC 两线交于点E 作直线EF 交圆于点M N 即可作答．【解析】（1）如图， 设BC DE 交于点G 连接AG 并延长 交圆于点F线段AF 即为所求证明如图， BC AE 交于点Q DE AC 交于点P 连接DB 交AF 于点H①AB AD = AE AC = ①C E ∠=∠ ADE ABC =∠∠ ①DAE BAC ∠=∠①DAE BAC ≌ ①BC DE = ①DAE BAC ∠=∠ ①BAE DAC ∠=∠①AB AD = ADE ABC =∠∠ ①DAP BAQ ≌ ①AQ AP = ①AE AC = ①QE PC =①QGE PGC ∠=∠ C E ∠=∠ ①QGE PGC ≌ ①QG PG =①AG AG = AQ AP = ①QAG PAG ≌ ①QAG PAG ∠=∠ ①BAE DAC ∠=∠ ①BAG DAG ∠=∠ ①AH AH = AB AD = ①BAH DAH ≌①BH DH = 90AHB AHD ∠=∠=° ①AF 垂直平分弦DB ①AF 是圆的直径（2）如图， 连接BC AD 交于点F 延长BA DC 两线交于点E 作直线EF 交圆于点M N线段MN 即为所求． 证明方法同（1）．【点评】本题主要考查了垂径定理 圆周角定理以及全等三角形的判定与性质等知识 掌握圆周角定理以及垂径定理是解答本题的关键． 5．(1)见解析 (2)9【分析】（1）已知点C 在O 上 先连接OC 由已知CA CD = 30CDA ∠=︒ 得30CAO ∠=︒ 30ACO ∠=︒ 所以得到60COD ∠=︒ 根据三角形内角和定理得90DCO ∠=︒ 即能判断直线CD 与O 的位置关系．（2）要求点A 到CD 所在直线的距离 先作AE CD ⊥ 垂足为E 由30CDA ∠=︒ 得12AE AD = 在Rt OCD △中 半径6OD = 所以212OD OC == 18AD OA OD =+= 从而求出AE ．【解析】（1）①ACD 是等腰三角形 30D ∠=︒①30CAD CDA ∠=∠=︒．连接OC①AO CO =①AOC 是等腰三角形①30CAO ACO ∠=∠=︒①60COD ∠=︒在COD △中 又①30CDO ∠=︒①90DCO ∠=︒①CD 是O 的切线 即直线CD 与O 相切．（2）过点A 作AE CD ⊥ 垂足为E ．在Rt OCD △中 ①30CDO ∠=︒①212OD OC ==61218AD AO OD =+=+=在Rt ADE △中①30EDA ∠=︒①点A 到CD 边的距离为92AD AE ==． 【点评】此题考查的知识点是切线的判定与性质 解题的关键是运用直角三角形的性质及30°角所对直角边的性质．6．(1)见解析 (2)252AB =．【分析】（1）连接OC 由DE 为O 的切线 得到OC DE ⊥ 再由AD CE ⊥ 得到AD OC ∥ 得到OCA CAD ∠=∠ 根据OA OC = 利用等边对等角得到OCA CAB ∠=∠ 等量代换得到CAD CAB ∠=∠ 由AB 为O 的直径 可知90ACB ∠=︒ 最后根据等角的余角相等可得结论 （2）在Rt CAD △中 利用锐角三角函数定义求出CD 的长 根据勾股定理求出AD 的长 由（1）易证ADC ACB 得到AD AC AC AB= 即可求出AB 的长． 【解析】（1）解连接OC由题意可知DE 与O 的相切于COC DE ∴⊥AD CE ⊥AD OC ∴∥OCA CAD ∴∠=∠OA OC =OCA CAB ∴∠=∠CAD CAB ∴∠=∠ AB 为O 的直径90ACB ∴∠=︒90CAD ACD CAB ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒ACD ABC ∴∠=∠（2）在Rt CAD △中3tan 4CDCAD AD ∠== 8AD =364CD AD ∴==22226810AC CD AD ∴+=+=由（1）可知CAD CAB ∠=∠90D ACB ∠=∠=︒ADC ACB ∴ADACAC AB ∴=81010AB∴= 252AB ∴=【点评】此题考查了切线的性质 以及解直角三角形 熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 7．(1)证明见解析 (2)125AB =【分析】（1）连接FO 可根据三角形中位线的性质可判断OF AB ∥ 然后根据直径所对的圆周角是直角 可得CE AE ⊥ 进而知OF CE ⊥ 然后根据垂径定理可得FEC FCE ∠=∠OEC OCE ∠=∠ 再通过Rt ABC 可知90OEC FEC ∠+∠=︒ 因此可证EF 为O 的切线（2）根据题意可先在Rt OCD △中求出OD 然后在Rt EFD 中求出FC 最终在Rt ABC 中求解AB 即可．【解析】（1）证连接FO 则由题意OF 为Rt ABC 的中位线①OF AB ∥①AC 是O 的直径①CE AE ⊥①OF AB ∥①OF CE ⊥①由垂径定理知 OF 所在直线垂直平分CE①FC FE = OE OC =①FEC FCE ∠=∠ OEC OCE ∠=∠①90ACB ∠=︒即90OCE FCE ∠+∠=︒①90OEC FEC ∠+∠=︒即90FEO ∠=︒①EF 是O 的切线（2）解①O 的半径为6 8CD = 90ACB ∠=︒①OCD 为直角三角形 6OC OE == 8CD = ①2210OD OC CD += 10616ED OD OE =+=+=由（1）知 EFD △为直角三角形 且FC FE =①设FC FE x == 则8FD FC CD x =+=+①由勾股定理 222EF ED FD +=即()222168x x +=+ 解得12x =即12FC FE ==①点F 为BC 的中点①224BC FC ==①212AC OC ==①在Rt ABC 中 22125AB BC AC +①125AB =【点评】本题考查切线的证明 圆的基本性质 以及勾股定理解三角形等 掌握切线的证明方法 熟练运用圆中的基本性质是解题关键．8．(1)见解析(2)半径为2 123AE =【分析】（1）根据点C 为弧BD 的中点 得出FAC CAB ∠∠= 然后得出FAC ACO ∠∠= 根据平行线的性质得出CF OC ⊥ 进而即可求解（2）连接BC 设OC 与BF 相交于点P 证明AFC ACB ∽ 得出4AB = 证明BOP BAF ∽得出1322OP AF == 进而证明ECP EAF ∽ 根据相似三角形的性质列出比例式 进而即可求解． 【解析】（1）证明连接OC 如图，点C 为弧BD 的中点∴CD CB =FAC CAB ∠∠∴=又OA OC =CAB ACO ∠∠∴=FAC ACO ∠∠∴=∴OC AF ∥又CF AD ⊥CF OC ∴⊥FC ∴是半圆O 的切线．（2）解连接BC 如图，AB 是半圆O 的直径90ACB ∠∴=︒90AFC ACB ∠∠∴==︒又FAC CAB ∠∠=AFC ACB ∴∽ ∴AFACAC AB = 23234AB ∴=∴半圆O 的半径为2．设OC 与BF 相交于点POC AF ∥BOP BAF ∴∽ ∴12OPOB AF AB == ∴1322OP AF == ∴12PC OC OP =-=OC AF ∥ECP EAF ∴∽ ∴EC PCAE AF = 即123AC AEAE -= 2316AE-=∴123AE = 【点评】本题考查了切线的性质与判定 相似三角形的性质与判定 掌握切线的判定以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．9．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接DO 根据CD 是O 的切线 OF AD ⊥ 证明ADC DOF ∠∠= 利用等腰三角形三线合一性质 证明ADC AOF ∠∠=．（2） 利用平行线分线段成比例定理 计算OE 证明CFO CDB △∽△ 计算OF两线段作差即可求解．【解析】（1）如图， 连接DO CD 是O 的切线OD DF ∴⊥90ADC ADO ∠∠∴+=︒OF AD ⊥ OA OD =90DOF ADO ∠∠∴+=︒ DOF AOF ∠∠=ADC DOF ∠∠∴=ADC AOF ∠∠∴=．（2）如图， 连接DO CD 是O 的切线OD DF ∴⊥90CDO ∠∴=︒53OC OB =设5(0)CO k k => 则3DO OB AO k ===4CD k ∴=538CB CO OB k k k ∴=+=+= AB 是O 的直径 24BD =AD DB ∴⊥OF AD ⊥∴OF BD ∥ ∴AO AE OB ED = CFO CDB △∽△ ∴OF CO BD CB= AE ED ∴=5524538OF k k k ==+ ∴1122OE BD == 15OF = 3EF OF OE ∴=-=．【点评】本题考查了切线的性质 等腰三角形的三线合一性质 平行线分线段成比例定理 相似三角形的性质与判定 熟练掌握切线的性质 相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．(1)证明过程见解析 (2)142π-【分析】（1）AB 是O 的直径 AC AD = BF BC = 可求出90FBD ∠=︒ AB BF ⊥ 由此即可求证（2）如图，所示（见解析）连接,CO EO 可得1OC OE == 可证222CO O CE += 90COE ∠=︒ 根据扇形面积的计算方法即可求解．【解析】（1）证明①AB 是O 的直径①90ACB ∠=︒①90ACD BCD ∠+∠=︒①AC AD =①ACD ADC ∠=∠①ADC BDF ∠=∠①ACD BDF ∠=∠①BC BF =①BCD F ∠=∠①90BDF F ∠+∠=︒①180()90FBD FDB F ∠=︒-∠+∠=︒①AB BF ⊥ 且OB 是O 的半径①BF 是O 的切线．（2）解如图，所示 连接,CO EO①2AB =①1OC OE == ①2CE ①222CO EO += 2222CE == ①222CO O CE +=①90COE ∠=︒ ①29011111360242ππS ⨯=-⨯⨯=-阴影 ①图中阴影部分的面积为142π-． 【点评】本题主要考查圆的基础知识 掌握圆的切线的证明方法 扇形面积的计算方法是解题的关键．11．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接CO 根据OF BC ∥可得B AOF ∠=∠ 根据直径所对的圆周角为直角可得90B CAB ∠+∠=︒ 再根据AO CO =得出CAB ACO ∠=∠ 最后证明90ACD ACO ∠+∠=︒即可 （2）根据中位线定理得出152OE BC == 证明DBC DOF ∽ 根据相似三角形对应边成比例 即可求解．【解析】（1）证明连接CO①OF BC ∥①B AOF ∠=∠①AB 为O 的直径①90ACB ∠=︒ 则90B CAB ∠+∠=︒①90AOF CAB ∠+∠=︒①AO CO =①CAB ACO ∠=∠①ACD AOF ∠=∠①90ACD ACO ∠+∠=︒ 即OC CD ⊥①CD 为圆O 的切线（2）①AB 为O 的直径①点O 为AB 中点①OF BC ∥①OE 为ABC 中位线 ①152OE BC == ①1sin 4D = OC CD ⊥ ①4OD OC = 则5BD OD OB OC =+=①OF BC ∥①DBC DOF ∽ ①OF OF BC BD = 即4510OC OF OC = 解得8OF =①853EF OF OE =-=-=．【点评】本题主要考查了切线的判定和性质 圆周角定理 相似三角形的判定和性质以及解直角三角形 解题的关键是掌握切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．12．(1)30︒(2)100︒【分析】（1）根据三角形内角和定理可得60ABC ∠=︒ 再由AD CD = 可得ABD CBD ∠=∠ 即可求解（2）根据圆周角定理可得30ABD ACD ∠∠==︒ 从而得到80BCD ∠=︒ 再由圆内接四边形的性质 即可求解．【解析】（1）解①70,50BAC ACB ∠=︒∠=︒①18060ABC BAC ACB ∠=︒-∠-∠=︒①AD CD = ①1302ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒ （2）解由圆周角定理得30ABD ACD ∠∠==︒①80BCD ACB ACD ∠=∠+∠=︒①四边形ABCD 是O 的内接四边形①180100BAD BCD ∠=︒-∠=︒．【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质 圆周角定理等知识 熟练掌握圆内接四边形的性质 圆周角定理是解题的关键．13．(1)见解析(2)AD 的长是25【分析】（1）连接OA 根据已知条件证明OA AE ⊥即可解决问题（2）作OF CD ⊥ 则四边形OAEF 是矩形 且132DF CD ==由此可求得DE 的长 在Rt OFD △中 勾股定理求出OF 即AE 的长 在Rt AED △中利用勾股定理求DA ． 【解析】（1）证明如图， 连接OA①AE CD ⊥①90DAE ADE ∠+∠=︒．①DA 平分BDE ∠①ADE ADO ∠=∠又①OA OD =①OAD ADO ∠=∠①90DAE OAD ∠+∠=︒①OA AE ⊥①AE 是O 的切线（2）解过点O 作OF CD ⊥于F ．①90OAE AEF OFE ∠︒=∠=∠=①四边形OAEF 是矩形①5EF OA AE OF ===，．①OF CD ⊥ ①132DF FC CD ===①532DE EF DF =-=-=在Rt OFD △中 2222534OF OD DF --=①4AE OF ==在Rt AED △中 22224225AD AE DE ++=①AD 的长是25【点评】本题考查了切线的判定与性质 垂径定理 圆周角定理 勾股定理 解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．14．(1)12π(2)9【分析】(1) 根据题意 CEB APB ABC PBE S S S S S =+--阴影扇形扇形 根据公式计算即可．(2) 连接PE 根据题意 45,135,90PEB CEP PEC ∠=︒∠=︒∠=︒ 根据勾股定理计算即可．【解析】（1）如图， ①正方形ABCD 旋转APB △到CEB 的位置①APB CEB ≌ 90ABC PBE ∠=∠=︒ =CEB APB S S ①CEB APB ABC PBE S S S S S =+--阴影扇形扇形①ABC PBE S S S =-阴影扇形扇形①48BP AB ==， ①9064901612360360S πππ︒⨯⨯︒⨯⨯=-=︒︒阴影． （2）连接PE根据题意 45,135PEB APB CEP ∠=︒∠=∠=︒ AP CE =①90PEC ∠=︒①4BP = 7AP =①2227,4432CE PE ==+=①222273281PC CE PE =+=+=解得9PC =．【点评】本题考查了正方形的性质 旋转的性质 阴影面积的计算 扇形面积公式 勾股定理 熟练掌握旋转的性质 阴影面积的计算 扇形面积公式 勾股定理是解题的关键．15．(1)证明见解析(2)10DF =【分析】（1）因为CDB CAB ∠=∠ CDB BFD ∠=∠ 所以CAB BFD ∠=∠ 即可得出FD ①AC 可得得出OD FD ⊥ 进而得出结论（2）利用勾股定理先求解AC 再利用垂径定理得出AE 的长 可得OE 的长 证明AEO FDO ∽ 再利用相似三角形的判定与性质得出DF 的长．【解析】（1）①CDB CAB ∠=∠ CDB BFD ∠=∠①CAB BFD ∠=∠①FD AC ∥①OD 垂直于弦AC 于点E①OD FD ⊥①FD 是O 的一条切线（2）①AB 为O 的直径①90ACB ∠=︒①15AB = 9BC = ①2215912AC -= 7.5AO OB OD ===①DO AC ⊥①6AE CE == ①227.56 4.5OE -①AC FD ∥①AEO FDO ∽ ①AE EO FD DO = ①4.567.5FD= 解得10DF =．经检验符合题意.【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质 垂径定理 圆周角定理 切线的判定 以及平行线的判定 掌握相似三角形的判定与性质 垂径定理 圆周角定理以及平行线的判定是解题的关键．16．(1)50︒(2)30︒【分析】（1）连接OA 先由切线的性质得OAE ∠的度数 求出2142AOB C ∠=∠=︒ 进而得AOE ∠ 则可求出答案（2）连接OA 根据等腰三角形的性质及切线的性质列方程求解即可．【解析】（1）连接OA ．如图，①AE 切O 于点AOA AE ∴⊥90OAE ∴∠=︒70C ∠=︒2270140AOB C ∴∠=∠=⨯︒=︒又180AOB AOE ∠+∠=︒40AOE ∴∠=︒90AOE E ∠+∠=︒904050E ∴∠=︒-︒=︒．（2）连接OA 如图，①设E x ∠=．AB AE =ABE E x ∴∠=∠=OA OB =OAB ABO x ∴∠=∠=2AOE ABO BAO x ∴∠=∠+∠=． AE 是O 的切线OA AE ∴⊥ 即90OAE ∠=︒在OAE ∆中 90AOE E ∠+∠=︒即290x x +=︒解得30x =︒30E ∴∠=︒．【点评】本题主要考查了切线的性质 等腰三角形的性质 圆周角的性质 三角形内角和的性质 用方程思想解决几何问题 关键是熟悉掌握这些性质．17．(1)见解析(2)10cm【分析】(1)连接OD 根据平行线的判定与性质可得90ODE DEM ∠=∠=︒ 又点D 在O 上 即可证得DE 是O 的切线(2)首先根据勾股定理可得AD 的长 再由ACD ADE ∽ 根据相似三角形的性质列出比例式 代入数据即可求得圆的半径．【解析】（1）证明如图，连接ODOA OD =OAD ODA ∠=∠∴ AD 平分CAM ∠OAD DAE ∴∠=∠ODA DAE ∴∠=∠DO MN ∴∥DE MN ⊥90ODE DEM ∴∠=∠=︒ 即OD DE ⊥ 又点D 在O 上 OD 为O 的半径DE ∴是O 的切线（2）解90AED ∠=︒ 8cm DE = 4cm AE =22228445AD DE AE ∴++如图，连接CDAC 是直径90ADC AED ∴∠=∠=︒CAD DAE ∠=∠ACD ADE ∴△∽△AD AC AE AD ∴= 4545=解得20AC =O ∴的半径为10cm ．【点评】本题考查圆了切线的判定；等边对等角 平行线的判定与性质 圆周角定理 勾股定理 相似三角形的判定和性质等知识 在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．18．(1)见解析 (2)49【分析】（1）欲证~CBA FDC ，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明DE BC =就可以 （2）由~CBA FDC 可得814CF = ACB F ∠=∠ 进而即可得到答案． 【解析】（1）证明①四边形ABCD 内接于O①CBA CDF ∠=∠．①DE BC =①BCA DCE ∠=∠．①~CBA FDC（2）解①C 是DBA 的中点①9CD AC ==①~CBA FDC 4AB = ①AB AC CD CF = 即499CF= ①814CF = ①~CBA FDC ①94tan tan 8194AC ACB F CF ∠=∠===．【点评】本题考查的是圆的综合题；涉及弧、弦的关系；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数；掌握相似三角形的判定和性质是解答此题的关键．。