中考数学圆与相似综合练习题含详细答案.docx

中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题及答案一、相似1．如图所示，△ ABC 中， AB=AC，∠ BAC=90°， AD⊥ BC， DE⊥ AC，△ CDE 沿直线 BC 翻折到△ CDF，连结 AF 交 BE、 DE、 DC分别于点 G、 H、I．（1）求证： AF⊥ BE；（2）求证： AD=3DI．【答案】（1）证明：∵在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=90°， D 是 BC 的中点，∴AD=BD=CD，∠ ACB=45 ，°∵在△ ADC中， AD=DC，DE⊥ AC，∴A E=CE，∵△ CDE沿直线 BC 翻折到△ CDF，∴△ CDE≌ △CDF，∴C F=CE，∠ DCF=∠ACB=45 ，°∴C F=AE，∠ ACF=∠DCF+∠ACB=90 ，°在△ ABE 与△ ACF中，，∴△ ABE≌ △ ACF（SAS），∴∠ ABE=∠ FAC，∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°∴∠ AGB=90 ，°∴AF⊥BE（2）证明：作IC 的中点 M，连接 EM，由（ 1）∠ DEC=∠ECF=∠ CFD=90°∴四边形 DECF是正方形，∴EC∥ DF， EC=DF，∴∠ EAH=∠ HFD， AE=DF，在△ AEH 与△FDH 中，∴△ AEH≌ △FDH（ AAS），∴EH=DH，∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°∴∠ AGB=90 ，°∴AF⊥BE，∵M 是 IC 的中点， E 是 AC 的中点，∴EM∥AI，∴，∴DI=IM ，∴CD=DI+IM+MC=3DI，∴AD=3DI【解析】【分析】（ 1）根据翻折的性质和SAS 证明△ ABE≌ △ ACF，利用全等三角形的性质得出∠ ABE=∠ FAC，再证明∠ AGB=90°，可证得结论。

中考数学专题复习圆与相似的综合题及答案解析一、相似1．如图，在⊙ O 中，直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，点 M 在 OD 上， AM 的延长线交⊙ O 于点G，交过 D 的直线于 F，且∠ BDF=∠ CDB，BD 与 CG交于点 N．（1）求证： DF 是⊙ O 的切线；（2）连结 MN，猜想 MN 与 AB 的位置有关系，并给出证明．【答案】（1）证明：∵直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，，= ,即是的切线（2）解：猜想： MN∥AB．证明：连结 CB．∵直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，∴=,=,∴∵∴∴∵∴∵∵∴∴∴MN ∥ AB．【解析】【分析】（1）要证DF 是⊙ O 的切线，由切线的判定知，只须证∠ODF=即可。

由垂径定理可得 AB⊥ CD，则∠ BOD+∠ODE= ，而∠ ODF=∠ CDF+∠ ODE，由已知易得∠ BOD=∠CDF，则结论可得证；（ 2 ）猜想： MN ∥ AB．理由：连结CB，由已知易证△ CBN∽ △ AOM ，可得比例式，于是由已知条件可转化为，∠ODB是公共角，所以可得△MDN ∽ △ODB，则∠ DMN=∠ DOB，根据平行线的判定可得MN ∥AB。

2．已知抛物线 y＝ ax2＋ bx＋ 5 与 x 轴交于点 A(1， 0)和点 B(5， 0)，顶点为 M．点 C 在 x 轴的负半轴上，且 AC＝ AB，点 D 的坐标为 (0， 3)，直线 l 经过点 C、D．（1）求抛物线的表达式；（2）点 P 是直线 l 在第三象限上的点，联结 AP，且线段 CP是线段 CA、 CB的比例中项，求tan∠ CPA的值；（3）在（ 2）的条件下，联结 AM、 BM，在直线 PM 上是否存在点 E，使得∠ AEM=∠AMB. 若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（ 1， 0）， B（5， 0），∴,解得∴ 抛物线的解析式为（2）解：∵ A（1， 0）， B（ 5， 0），∴OA=1， AB=4.∵AC=AB且点 C 在点 A 的左侧，∴ AC=4 .∴CB=CA+AB=8.∵线段 CP 是线段 CA、 CB 的比例中项，∴.∴ CP=.又∵ ∠ PCB是公共角，∴ △ CPA∽ △ CBP .∴ ∠ CPA=∠ CBP.过P 作 PH⊥ x 轴于 H.∵OC=OD=3，∠DOC=90 ，°∴∠ DCO=45 .°∴ ∠ PCH=45 °∴ PH=CH=CP =4，∴H（ -7， 0）， BH=12，∴P（ -7，-4），∴，tan∠ CPA=.（3）解：∵抛物线的顶点是 M （3， -4），又∵ P（ -7，-4），∴PM∥x 轴 .当点 E 在 M 左侧，则∠BAM=∠ AME.∵ ∠ AEM=∠ AMB，∴ △ AEM∽ △ BMA.∴,∴.∴ME=5，∴ E（ -2， -4） .过点 A 作 AN⊥ PM 于点 N，则 N（ 1， -4） .当点 E 在 M 右侧时，记为点，∵ ∠ A N=∠AEN，∴ 点与 E 关于直线 AN 对称，则（4 ，-4） .综上所述， E 的坐标为（ -2， -4）或（ 4，-4） .【解析】【分析】（ 1）用待定系数法即可求解。

中考数学圆与相似综合题含详细答案一、相似1．阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．请从下列A、B两题中任选一条作答．A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．【答案】（1）（2）（3）；；或；或【解析】【解答】（解：（1）∵点H是AD的中点，∴AH= AD，∵正方形AEOH∽正方形ABCD，∴相似比为： == ；故答案为：；（ 2 ）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，∴△ACD与△ABC相似的相似比为：，故答案为：；（ 3 ）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，∴AF：AB=AB：AD，即 a：b=b：a，∴a= b；故答案为：②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，则b： a=a：b，∴a= b；故答案为：B、①如图2，由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，∴DN= b，Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN=AD：AB，即FD： b=a：b，解得FD= a，∴AF=a﹣ a= a，∴AG= = = a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即 a：b=b：a得：a= b；Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN=AB：AD即FD： b=b：a解得FD= ，∴AF=a﹣ = ，∴AG= = ，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a= b；故答案为：或；②如图3，由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，∴DN= b，Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN=AD：AB，即FD： b=a：b，解得FD= a，∴AF=a﹣ a，∴AG= = = a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即 a：b=b：a得：a= b；Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN=AB：AD即FD： b=b：a解得FD= ，∴AF=a﹣，∴AG= = ，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a= b；故答案为： b或 b．【分析】由题意可知，用相似多边形的性质即可求解。

中考数学圆与相似综合练习题及详细答案一、相似1．如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作交边AC于点E，分别取BC，DE 的中点M，N，连接MN．（1）发现：在图1中， ________；（2）应用：如图2，将绕点A旋转，请求出的值；（3）拓展：如图3，和是等腰三角形，且，M，N分别是底边BC，DE的中点，若，请直接写出的值．【答案】（1）（2）解：如图2中，连接AM、AN，，都是等边三角形，，，，，，，，，，∽，（3）解：如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O，，，，，，，，，，，，，，，∽，，，，，，≌，，，，，，，，，，【解析】【解答】解：（1）如图1中，作于H，连接AM，，，，时等边三角形，，，，，平分线段DE，，、N、M共线，，四边形MNDH时矩形，，，故答案为：；【分析】（1）作DH ⊥BC 于H，连接AM.证四边形MNDH时矩形，所以MN=DH，则MN：BD=DH：BD=sin60°，即可求解；（2）利用△ABC ，△ADE 都是等边三角形可得AM：AB=AN：AD，易得∠BAD = ∠MAN ，从而得△ BAD ∽△ MAN，则NM：BD=AM：AB=sin60°，从而求解；（3）连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O.先证明△BAD ∽△MAN可得NM：BD=AM：AB=sin∠ABC；再证明△ BAD ≌△ CAE，则∠ ABD = ∠ ACE ，进而可得∠ ABC = 45°，可求出答案.2．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC.延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E.（1）求证：△ABE≌△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为________时，四边形AOCE是菱形；②若AE＝6，BE=8，则EF的长为________.【答案】（1）证明：∵AB=AC，CD=CA，∴∠ABC=∠ACB，AB=CD．∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD=∠BAE，∠CED=∠ABC．∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE（AAS）（2）60；【解析】【解答】解：（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；理由是：连接AO、OC．∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AEC=180°．∵∠ABC=60，∴∠AEC=120°=∠AOC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°．∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°．∵∠ACB=∠CAD+∠D．∵AC=CD，∴∠CAD=∠D=30°，∴∠ACE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠OAE=∠OCE=60°，∴四边形AOCE是平行四边形．∵OA=OC，∴▱AOCE是菱形；②由（1）得：△ABE≌△CDE，∴BE=DE=8，AE=CE=6，∴∠D=∠EBC．∵∠CED=∠ABC=∠ACB，∴△ECD∽△CFB，∴ = ．∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB，∴△AEF∽△BCF，∴ = ，∴EF= = ．故答案为：①60°；② ．【分析】（1）由题意易证∠ABC=∠ACB，AB=CD；再由四点共圆和已证可得∠ABC=∠ACB=∠AEB，∠CED=∠AEB，则利用AAS可证得结论；（2）①连接AO、CO.宪政△ABC是等边三角形，再证明四边形AOCE是平行四边形，又AO=CO可得结论；②先证△ECD∽△CFB，可得EC：ED=CF：BC=6:8；再证△AEF∽△BCF，则AE：EF=BC：CF，从而求出EF.3．如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，①如图2，若∠ADC=60°，求的值；②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出的值.（用含α的三角函数表示）【答案】（1）解：，理由如下：∵四边形是平行四边形，∴∥， .∵四边形是菱形，∴∥， .∴∥， .∴ .又∵，∴≌ .∴（2）解：方法1：过点作∥，交于点，∴ .∵，∴∽ .∴ .由（1）结论知 .∴ .∴ .∵四边形为菱形，∴ .∵四边形是平行四边形，∴∥ .∴ .∵∥，∴ .∴，即 .∴是等边三角形。

中考数学圆与相似综合题汇编含详细答案一、相似1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，当x=0时，y=﹣3a，∴C（0，﹣3a）（2）解：∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），∴AB=4，OC=3a，∴S△ACB= AB•OC=6，∴6a=6，解得a=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3（3）解：设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，∴OF=2m+1，HF=1，当∠CGF=90°时，∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，∴∠GQH=∠HGF，∴Rt△QGH∽Rt△GFH，∴ = ，即，解得m=9，∴Q的坐标为（9，0）；当∠CFG=90°时，∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，∴∠CFO=∠FGH，∴Rt△GFH∽Rt△FCO，∴ = ，即 = ，解得m=4，∴Q的坐标为（4，0）；∠GCF=90°不存在，综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0，把x=0代入解析式即可求得点C的坐标；（2）由（1）的结论可求得AB=4，OC=3a，根据三角形ABC的面积=AB•OC=6可求得a的值，则解析式可求解；（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，根据中心对称的性质可得QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3。

中考数学圆与相似综合经典题及答案解析一、相似1．已知：如图一，抛物线C，直线经过A、 C 两点，且与 x．轴正半轴交于A、B 两点，与y 轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向平移，且分别交 y 轴、线段BC 于点 E， D，同时动点P 从点运动，如图；当点P 运动到原点O 时，直线B 出发，沿BO 方向以每秒 2 个单位速度DE 与点 P 都停止运动，连DP，若点P运动时间为 t秒；设，当 t 为何值时， s 有最小值，并求出最小值．（3）在的条件下，是否存在t 的值，使以P、B、 D 为顶点的三角形与相似；若存在，求 t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：由直线：知：、；∵，∴，即．设抛物线的解析式为：，代入，得：，解得∴抛物线的解析式：（2）解：在中，，，则；∵，∴；而；∴，∴当时， s 有最小值，且最小值为1（3）解：在中，在中，，∴以 P、 B、 D 为顶点的三角形与；，，则，则相似，已知；；，则有两种情况：，解得；，解得；综上，当或时，以P、B、D为顶点的三角形与相似【解析】【分析】（ 1）由直线与坐标轴相交易求得点A、 C 的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）由题意可将ED、 OP 用含 t 的代数式表示出来，并代入题目中的s 与 OP、 DE 的关系式整理可得s=（0<t<2），因为分子是定值1，所以分母越大，则分式的值越小，则当分母最大时，分式的值越小，即t=1 时， s 有最小值，且最小值为1；（ 3）解直角三角形可得BC 和 CD、 BD 的值，根据题意以P、 B、 D 为顶点的三角形与△ABC相似所得的比例式有两种情况：，，将这些线段代入比例式即可求解。

2．（1）问题发现：如图 1，在等边三角形ABC中，点 M 为 BC 边上异于B、 C 的一点，以AM 为边作等边三角形 AMN ，连接 CN， NC 与 AB 的位置关系为 ________；（2）深入探究：如图 2，在等腰三角形 ABC中， BA=BC，点 M 为 BC边上异于 B、C 的一点，以 AM 为边作等腰三角形 AMN ，使∠ ABC=∠ AMN， AM=MN ，连接 CN，试探究∠ ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图 3，在正方形ADBC 中， AD=AC，点 M 为 BC 边上异于B、C 的一点，以AM 为边作正方形 AMEF，点 N 为正方形AMEF 的中点，连接CN，若【答案】（1） NC∥ ABBC=10， CN=，试求EF的长．（2）解：∠ ABC=∠ ACN，理由如下：∵=1 且∠ ABC=∠ AMN ，∴△ ABC～△ AMN∴，∵A B=BC，∴∠ BAC=（180°﹣∠ABC），∵AM=MN∴∠ MAN=（180﹣°∠ AMN），∵∠ ABC=∠ AMN ，∴∠ BAC=∠ MAN ，∴∠ BAM=∠ CAN，∴△ ABM～△ ACN，∴∠ ABC=∠ ACN（3）解：如图3，连接 AB， AN，∵四边形 ADBC， AMEF 为正方形，∴∠ ABC=∠ BAC=45 ，°∠ MAN=45 °，∴∠ BAC﹣∠MAC=∠ MAN ﹣∠ MAC 即∠ BAM=∠ CAN，∵，∴，∴△ ABM～△ ACN∴，∴=cos45 = °，∴，∴B M=2，∴CM=BC﹣ BM=8，在 Rt△ AMC，AM=，∴EF=AM=2．【解析】【解答】解：（1） NC∥ AB，理由如下：∵△ ABC与△ MN 是等边三角形，∴A B=AC， AM=AN，∠BAC=∠MAN=60 °，∴∠ BAM=∠ CAN，在△ ABM 与△ ACN 中，，∴△ ABM≌ △ ACN（ SAS），∴∠ B=∠ACN=60 ，°∵∠ ANC+∠ ACN+∠ CAN=∠ ANC+60 +°∠CAN=180 ，°∴∠ ANC+∠ MAN+∠ BAM=∠ANC+60 +°∠ CAN=∠ BAN+∠ANC=180 ，°∴CN∥ AB；【分析】（1）由题意用边角边易得△ABM≌△ACN，则可得∠B=∠ACN=60°，所以∠BCN+∠B=∠BCA+∠ ACN+∠ B=180 ，°根据平行线的判定即可求解；（2）由题意易得△ABC～△AMN，可得比例式，由三角形内角和定理易得∠BAM=∠ CAN，根据相似三角形的判定可得△ ABM～△ACN，由相似三角形的性质即可求解；（3）要求EF 的值，只须求得CM 的值，然后解直角三角形AMC 即可求解。

中考数学圆与相似综合题汇编含答案一、相似1．如图，在□ ABCD中，对角线 AC、 BD 相交于点O，点 E、 F 是 AD 上的点，且AE=EF=FD.连结 BE、 BF。

使它们分别与AO 相交于点G、 H（1）求 EG： BG 的值（2）求证： AG=OG（3）设 AG =a ,GH =b，HO =c，求 a : b : c 的值【答案】（1）解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AO=AC， AD=BC， AD∥ BC，∴△ AEG∽ △CBG，∴==．∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，∴GC=3AG， GB=3EG，∴EG： BG=1： 3（2）解：∵GC=3AG（已证），∴AC=4AG，∴AO=AC=2AG，∴GO=AO﹣ AG=AG（3）解：∵ AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，AF=2AE．∵AD∥ BC，∴△ AFH∽ △ CBH，∴===，∴= ，即 AH=AC．∵AC=4AG，∴a=AG=AC，b=AH﹣AG= AC﹣AC=AC，c=AO﹣AH= AC﹣AC=AC，∴a： b： c=：：=5：3： 2【解析】【分析】（ 1）根据平行四边形的性质可得AO= AC， AD=BC， AD∥BC，从而可证得△ AEG∽ △CBG，得出对应边成比例，由 AE=EF=FD可得 BC=3AE，就可证得 GB=3EG，即可求出 EG： BG 的值。

（2）根据相似三角形的性质可得 GC=3AG，就可证得 AC=4AG，从而可得 AO=2AG，即可证得结论。

（3）根据平行可证得三角形相似，再根据相似三角形的性质可得AG= AC， AH= AC，结合AO= AC，即可得到用含AC 的代数式分别表示出a、 b、 c，就可得到a： b： c 的值。

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于点B、 A，与直线y=相交于点C．动点 P 从 O 出发在 x 轴上以每秒 5 个单位长度的速度向 B 匀速运动，点Q 从 C 出发在 OC 上以每秒 4 个单位长度的速度，向 O 匀速运动，运动时间为 t 秒（ 0＜ t ＜2）．（1）直接写出点 C 坐标及 OC、 BC 长；（2）连接 PQ，若△ OPQ 与△OBC 相似，求 t 的值；（3）连接 CP、 BQ，若 CP⊥ BQ，直接写出点 P 坐标．【答案】（1）解：对于直线y=﹣x+，令x=0，得到y=，∴A（0，），令 y=0，则 x=10，∴B（ 10，0），由，解得，∴C（，）．∴OC==8，BC==10（2）解：①当时，△ OPQ∽ △OCB，∴，∴t=．②当时，△ OPQ∽ △ OBC，∴，∴t=1 ，综上所述， t 的值为或1s时，△ OPQ与△ OBC相似（3）解：如图作PH⊥ OC于 H．∵OC=8， BC=6， OB=10，∴OC2+BC2=OB2，∴∠ OCB=90 ，°∴当∠ PCH=∠ CBQ时，PC⊥BQ．∵∠PHO=∠BCO=90 ，°∴PH∥ BC，∴，∴，∴P H=3t， OH=4t，∴t an ∠ PCH=tan∠ CBQ，∴，∴t=或0（舍弃），∴t=s 时， PC⊥ BQ．【解析】【分析】（ 1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B 点的坐标，解联立直线AB,与直线OC 的解析式组成的方程组，求出 C 点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接算出 OC,OB的长；（2 ）根据速度乘以时间表示出OP=5t， CQ=4t， OQ=8-4t，①当 OP∶OC=OQ∶ OB 时，△OPQ∽△ OCB，根据比例式列出方程，求解得出t 的值；②当 OP∶ OB=OQ∶OC 时，△OPQ∽△ OBC，根据比例式列出方程，求解得出t 的值，综上所述即可得出t 的值；（ 3 ）如图作PH⊥ OC 于H ．根据勾股定理的逆定理判断出∠ OCB=90°，从而得出当∠PCH=∠CBQ 时， PC⊥ BQ．根据同位角相等二直线平行得出PH∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出OP∶ OB=PH∶BC=OH∶ OC,根据比例式得出PH=3t， OH=4t，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由tan∠ PCH=tan∠ CBQ，列出方程，求解得出t的值，经检验即可得出答案。

中考数学专题复习圆与相似的综合题附答案解析一、相似1．如图，在□ ABCD中，对角线 AC、 BD 相交于点O，点 E、 F 是 AD 上的点，且AE=EF=FD.连结 BE、 BF。

使它们分别与AO 相交于点G、 H（1）求 EG ： BG 的值（2）求证： AG=OG（3）设 AG =a ,GH =b，HO =c，求 a : b : c 的值【答案】（1）解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AO=AC， AD=BC， AD∥ BC，∴△ AEG∽ △CBG，∴==．∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，∴GC=3AG， GB=3EG，∴EG： BG=1： 3（2）解：∵ GC=3AG（已证），∴AC=4AG，∴AO=AC=2AG，∴GO=AO﹣ AG=AG（3）解：∵ AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，AF=2AE．∵AD∥ BC，∴△ AFH∽ △ CBH，∴===，∴= ，即 AH=AC．∵AC=4AG，∴a=AG=AC，b=AH﹣AG= AC﹣AC=AC，c=AO﹣AH= AC﹣AC=AC，∴a： b： c=：：=5：3： 2【解析】【分析】（ 1）根据平行四边形的性质可得AO= AC， AD=BC， AD∥BC，从而可证得△ AEG∽ △CBG，得出对应边成比例，由AE=EF=FD可得 BC=3AE，就可证得GB=3EG，即可求出 EG： BG 的值。

（2）根据相似三角形的性质可得 GC=3AG，就可证得 AC=4AG，从而可得 AO=2AG，即可证得结论。

（3）根据平行可证得三角形相似，再根据相似三角形的性质可得AG= AC， AH= AC，结合AO= AC，即可得到用含AC 的代数式分别表示出a、 b、 c，就可得到a： b： c 的值。

2．已知线段a， b， c 满足，且a＋2b＋c＝26.（1）判断 a， 2b， c，b 2是否成比例；（2）若实数 x 为 a， b 的比例中项，求 x 的值．【答案】（1）解：设，则a=3k， b=2k， c=6k，又∵ a+2b+c=26，∴3k+2 × 2k+6k=26，解得 k=2，∴a=6， b=4，c=12；∴2b=8， b 2=16∵a=6，2b=8 ，c=12， b2=16∴2bc=96， ab2=6× 16=96∴2bc=ab2a， 2b， c，b 2是成比例的线段。

中考数学复习圆与相似专项综合练附答案一、相似1．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长；（2）求证：FQ=BQ【答案】（1）解：∵≌，∴，∵均为半圆切线，∴ .连接 ,则，∴四边形为菱形，∴DQ∥，∵均为半圆切线，∴∥，∴四边形为平行四边形∴，（2）证明：易得∽，∴ = ，∴ .∵是半圆的切线，∴ .过点作于点，则 .在中，，∴，解得：，∴∴【解析】【分析】（1）连接OP,由ΔABD≌ΔBFO可得AD=OB，由切线长定理可得AD=DP，于是易得OP=OA=DA=DP，根据菱形的判定可得四边形DAOP为菱形，则可得DQ∥AB，易得四边形DABQ为平行四边形，根据平行四边形的性质可求解；（2）过Q点作QK⊥AM于点K，由已知易证得ΔABD∽ΔBFO，可得比例式，可得BF与AD的关系，由切线长定理可得AD=DP,QB=QP ，解直角三角形DQK可求得BQ与AD 的关系，则根据FQ=BF−BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。

2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（2,0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD，作，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.（1）填空：点B的坐标为________；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值【答案】（1）（2）解：存在，理由如下：∵OA=2,OC=2，∵tan∠ACO==,∴∠ACO=30°,∠ACB=60°①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DCE=∠EDC=30°,∴∠DBC=∠BCD=60°,∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC-CD=4-2=2，∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形，②如图（2）中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°,∴∠ABD=∠ADB=75°,∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2.（3）①如图，过点D作MN⊥AB于点M，交OC于点N。