平行四边形、三角形和梯形面积面积

平行四边形、三角形、梯形的图形特征
平行四边形、三角形、梯形的图形特征是不可置疑的。

站到数学的角度，这三
种图形都具有明确的角度以及面积公式：
首先来看边长、角度以及外角关系。

平行四边形是一种特殊的图形，它的角大
小是一样的，所有边长也是一样的；而三角形的三边则不一样，它的一角是直角，另两个角则不一致，而梯形的四个角的角度也是不一样的，但其中的两个角是相等的。

其次是要看它们的面积公式。

平行四边形的面积公式是：s=a* h；三角形的面
积公式是：s=0.5*a* h；梯形的面积公式是：s = 0.5 * (a +b) * h。

这里的a表示平行四边形、三角形或梯形的底部边长，h表示高，b表示梯形的另一条边长。

最后要看这三种图形的构成要素。

平行四边形、三角形和梯形由面、线段和角
构成；平行四边形中，面是内角均相等的四边形，线段是相邻的两个角之间的连线，角是相邻的两条线段之间的交点；而三角形中，面是内角不相等的三边形，线段是相邻的两个角之间的连线，角是相邻的两条线段之间的交点；梯形中，面是内角不相等的四边形，线段是相邻的两个角之间的连线，角是相邻的两条线段之间的交点。

以上就是关于平行四边形、三角形、梯形的图形特征的讨论，其中包括了它们
的边长、角度以及外角关系，面积公式以及构成要素。

梯形的面积推导公式有多种，以下是其中四种：
1. 梯形面积公式推导一：
两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和，高等于梯形的高。

因为平行四边形的面积等于底×高，所以梯形的面积等于上底与下底和的一半乘以高，即（上底+下底）×高÷2。

2. 梯形面积公式推导二：
将梯形对角线右半部分顺次连接，可以将梯形分成两个三角形，其中一个是小三角形，另一个是大三角形的面积是小三角形的两倍。

因此，梯形的面积等于两个三角形的面积的和，即（上底+下底）×高÷2=1/2（上底+下底）×高+1/2（上底+下底）×高。

3. 梯形面积公式推导三：
在梯形内连接顶点到一腰中点的线段，将梯形分为两个等高不同底的三角形。

根据等高三角形的面积比等于底边的比，可以得出梯形的面积等于两个三角形的面积的和，即（上底+下底）×高÷2=1/2（上底+下底）×高+1/2（上底+下底）×高。

4. 梯形面积公式推导四：
在梯形内作一虚线，将梯形分为一个平行四边形和一个三角形。

根据
平行四边形和三角形的面积公式，可以得出梯形的面积等于平行四边形的面积和三角形的面积的和，即（上底+下底）×高÷2=1/2（上底+下底）×高+1/2（上底+下底）×高-1/2上底×高。

精心整理第五章多边形的面积【知识梳理】1.平行四边形的面积平行四边形的面积=底×高用字母表示：s=ah要点提示2.要点提示3.要点提示：已知梯形的面积，求梯形的高或其中一个底，也可以用方程法解决。

4.组合图形的面积把求组合图形的面积转化成求几个简单图形的面积的和或差。

要点提示：求组合图形的面积时，一定要分清是由哪些基本图形组合而成的，再利用割补、剔除等方法求面积。

5.估计不规则图形的面积方法一：借助方格纸用数方格的方法进行估计。

方法二：根据图形的特点转化为近似的规则图形来估计。

要点提示：数方格时，先确定图形的面积范围，再估计它的面积。

【诊断自测】1.填空题。

（1）3.8dm 2=（）cm 20.03公顷=（）平方米（2）一个三角形的底是3.6米，高是2.5米，它的面积是（）平方米，和它等底等高 的平行四边形的面积是（）平方米。

（3（42.选择。

（1A.(2)(34 1268A.3.(1)(2)(3)4.（1） 3 5 (2) 75.15.5米，这个花园的面积是多少平方米？6.一个三角形的面积是75平方厘米，高是7.5【考点突破】类型一：平行四边形、三角形、梯形的面积。

例1.13.5 B18C 答案：=18×=243(cm 2例2.0.25答案：905400÷例3.A.C.扩大到原来的4倍D.不变 答案：D解析：平行四边形的面积=底×高， （底×2）×（高×12）=底×高×2×12=底×高，面积不变。

故选D 。

例4.一块三角形绿地的面积是13.5平方米，底是6米，高是多少米？答案：由s=ah÷2推导出h=2s÷a。

h=2s÷a=2×13.5÷6=27÷6=4.5(m)答：高是4.5米。

解析：可以先根据三角形的面积计算公式s=ah÷2推导出h=2s÷a，再计算。

三角形面积与四边形面积的对比面积是几何学中一个重要的概念，它可以用来度量二维图形所占据的空间大小。

在几何学中，三角形和四边形是常见的二维图形，它们的面积计算方式不同。

本文将对三角形面积与四边形面积的计算方法进行比较和对比，并分析其应用场景。

一、三角形面积计算方法三角形是由三条线段连接而成的图形，其面积可以用以下计算公式来求得：面积 = 底边长 ×高 / 2其中，“底边长”代表三角形任意一边的长度，“高”代表从底边上某一顶点到底边上另一点的垂直距离。

根据这个公式，我们可以通过已知的边长和高来计算三角形的面积。

二、四边形面积计算方法四边形是由四个线段连接而成的图形，其面积计算方法因四边形类型不同而有所不同。

下面将分别介绍常见四边形的面积计算方法。

1. 矩形面积计算方法：矩形是一种特殊的四边形，拥有两对相等的对边和四个内角都为直角。

矩形的面积可以用以下计算公式来求得：面积 = 长 ×宽其中，“长”代表矩形的一条边的长度，“宽”代表与长相邻的另一条边的长度。

通过这个公式，我们可以直接通过已知的矩形边长计算其面积。

2. 平行四边形面积计算方法：平行四边形是一种具有两组平行边的四边形。

其面积可以用以下计算公式来求得：面积 = 底边长 ×高其中，“底边长”代表平行四边形的一条边的长度，“高”代表从底边上某一点到与底边平行的另一条边的垂直距离。

我们可以通过已知的底边长和高来计算平行四边形的面积。

3. 梯形面积计算方法：梯形是一种具有一对平行边的四边形。

其面积可以用以下计算公式来求得：面积 = （上底长 + 下底长）×高 / 2其中，“上底长”和“下底长”分别代表梯形的两条平行边的长度，“高”代表从一条平行边到与之平行的另一条平行边的垂直距离。

通过这个公式，我们可以通过已知的上底长、下底长和高来计算梯形的面积。

三、三角形面积与四边形面积的对比三角形和四边形都是常见的二维图形，它们的面积计算方法在一定程度上有相似之处，都需要已知的边长和高。

五年级上册数学平行四边形、梯形、三角形面积公式及推导过程1.平行四边形面积推导过程先画出平行四边形的底和高，沿平行四边形的高剪下，通过移拼，可以拼成一个长方形。

拼成长方形的长与平形四边形的底相等，长方形的宽与平形四边形的高相等，拼成长方形的面积与平形四边形面积相等，因为长方形面积等于长乘以宽，所以平行四边形的面积等于底乘以高。

字母表示为S =ah2.三角形面积推导过程把两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，拼成平行四边形的底与三角形的底相等，平行四边形的高与三角形的高相等，每个三角形的面积是拼成平形四边形面积的一半，拼成的平行四边形的面积是每个三角形面积的2倍。

因为平形四边形的面积等于底乘以高，所以其中一个三角形面积等于底乘以高除以2。

字母表示为S =ah÷2。

3.梯形面积推导过程用两个完全一样的梯形可以拼成一个平形四边形，拼成平形四边形的底等于梯形的上底加下底的和，平行四边形的高与梯形的高相等，每个梯形的面积是拼成平形四边形面积的一半，拼成的平行四边形的面积是每个梯形的2倍。

因为平形四边形面积等于底乘以高，所以其中一个梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以2。

字母表示为 S =(a+b)h÷2备注：1.长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小。

平行四边形拉成长方形，周长不变，面积变大。

2.等底等高的三角形，形状不同，面积相等。

（面积相等的三角形不一定等底等高）等底等高的平行四边形，形状不同，面积相等。

（面积相等的平行四边形不一定等底等高）等底等高的梯形，形状不同，面积相等。

（面积相等的梯形不一定等底等高）3.三角形的面积是与它等底等高平行四边形面积的一半。

平行四边形的面积是与它等底等高三角形面积的2倍。

三角形平行四边形梯形面积推导过程嘿，咱今儿就来讲讲三角形、平行四边形和梯形的面积推导过程。

先来说说三角形吧！你想想，三角形就像一个小屋顶，要知道它的面积，咱可以把两个完全一样的三角形拼在一起，哇，变成了一个平行四边形！这可神奇了，那这个平行四边形的面积咱会算呀，底乘高嘛！那一个三角形的面积不就是这个平行四边形面积的一半咯！是不是很好理解呀！就好像你有一块饼干，掰成两半，那其中一半不就是整个饼干的一半嘛，这道理不是一样一样的嘛！再看看平行四边形，那可简单啦！它就像一个扁扁的大盒子。

我们可以沿着它的高把它剪下来，然后平移到另一边，嘿，又拼成了一个长方形！那长方形的面积咱熟呀，长乘宽嘛，这平行四边形的底不就相当于长方形的长，高不就相当于宽嘛！这么一推导，平行四边形的面积不就出来啦！这就好比你搭积木，把一块积木换个方向摆，还是那个积木，但是你看它的角度就不一样啦！最后说说梯形，梯形就像一个歪歪的帽子。

那怎么推导它的面积呢？咱可以把两个完全一样的梯形拼在一起，变成了一个大平行四边形呀！这个大平行四边形的底就是梯形的上底加下底，高还是梯形的高。

那这个大平行四边形的面积会算了吧，然后除以2 不就是梯形的面积嘛！这就好像你有两顶一样的歪帽子，把它们拼在一起，不就变成一个正常点的形状啦，然后再去研究它的面积不就简单多啦！这三角形、平行四边形和梯形的面积推导过程，其实就藏在我们的生活中呀！只要我们多观察，多思考，这些知识就都变得好简单呢！你说是不是呀？你看，数学其实一点也不可怕，反而还挺有趣的呢！就像解开一个个小谜团一样，每解开一个，就会有一种成就感呢！我们在生活中也常常会用到这些知识呀，比如装修房子的时候算面积呀，做手工的时候算材料呀。

所以呀，好好掌握这些知识，用处可大着呢！总之，三角形、平行四边形和梯形的面积推导过程，就是这么神奇又有趣！大家可都要好好记住哦！。

平行四边形三角形和梯形面积的推导过程嘿，咱今儿就来聊聊平行四边形、三角形和梯形的面积推导过程，这可有意思啦！先说说平行四边形吧。

你看那平行四边形，就像是一个被压扁了的长方形嘛！那它的面积咋来的呢？咱可以沿着一条高把它剪开，然后往右一移，嘿，这不就变成一个长方形啦！那这个长方形的长不就是原来平行四边形的底嘛，宽不就是原来的高嘛。

所以呀，平行四边形的面积就等于底乘高，这多好理解呀！再讲讲三角形。

三角形就像是平行四边形的一半呀！那怎么推导它的面积呢？咱可以把两个完全一样的三角形拼在一起，哇哦，就变成一个平行四边形啦！那这个平行四边形的面积咱会算呀，底乘高。

但这是两个三角形组成的呀，那一个三角形的面积不就得除以 2 嘛，所以三角形的面积就是底乘高除以 2 呀。

这就像你有两个一样的苹果，加起来的重量知道了，那一个苹果的重量不就清楚啦！最后来瞧瞧梯形。

梯形就像是两个三角形拼在一起，不过中间有条边不一样长罢了。

那怎么算它的面积呢？咱可以把梯形分成两个三角形呀，一个大的一个小的。

那大三角形的面积能算，小三角形的面积也能算，加起来不就是梯形的面积嘛。

或者呀，咱还可以把两个完全一样的梯形拼在一起，变成一个大平行四边形。

那这个大平行四边形的面积知道怎么算，再除以 2 不就是梯形的面积嘛。

哎呀，这平行四边形、三角形和梯形的面积推导过程多好玩呀！就像在玩拼图游戏一样。

咱通过这些巧妙的方法，就能知道它们的面积怎么来的啦。

这可不是死记硬背哦，是真的理解了其中的道理呢。

你想想，要是没有这些推导过程，咱怎么能这么轻松地算出它们的面积呀。

而且呀，这些知识在生活中也很有用呢！比如你要铺地板，那不得知道房间的面积呀，要是房间是个平行四边形或者梯形的形状，你就得用这些方法来算面积啦。

或者你要做个三角形的架子，那也得知道需要多少材料呀。

所以说呀，这数学知识可不仅仅是在课本上有用，在生活中那也是大有用处呢！咱可不能小瞧了它们。

好好理解这些推导过程，以后遇到啥问题都不怕啦！怎么样，是不是觉得很有意思呀？赶紧去试试推导一下吧！。

第五单元教案单元学习内容:本单元教材包括四部分内容：平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积和组合图形的面积。

单元教材分析:平行四边形、三角形和梯形面积计算是在学生掌握了这些图形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上学习的，它们是进一步学习圆面积和立体图形表面积的基础。

到这一单元结束，多边形面积的计算就基本学完。

组合图形的面积在义务教育的教材中是选学内容。

本单元安排在平行四边形、三角形和梯形面积计算之后学习，学生在进行组合图形面积计算中，要把一个组合图形分解成已学过的平面图形并进行计算，可以巩固对各种平面图形特征的认识和面积公式的运用，有利于发展学生的空间观念。

学情分析：多边形的面积计算，学生在四年级的下册已有接触。

已会计算正方形和长方形的面积。

平行四边形、三角形和梯形学生也已经掌握了这些图形的特征。

渗透转化的思想是学习时本单元公式的重要的方法。

学生在前面的学习中已经接触过这种思想方法，因此在教师在教学时，教师不要把学生的思维限制在一种固定或简单的途径或方法上，要尊重学生的想法，鼓励学生从不同的途径和角度去思考和探索解决问题。

单元学习目标:1．利用方格纸和割补、拼摆等方法，探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。

会计算平行四边形、三角形和梯形的面积。

2．认识简单的组合图形，会把组合图形分解成已学过的平面图形并计算出它的面积。

课时安排：10课时第一课时学习内容：平行四边形面积的计算学习目标：1．使学生在理解的基础上掌握平行四边形面积的计算公式，并会运用公式正确地计算平行四边形的面积．2．通过操作、观察、比较，发展学生的空间观念，培养学生运用转化的思考方法解决问题的能力和逻辑思维能力．3．对学生进行辩证唯物主义观点的启蒙教育．学习重点：理解公式并正确计算平行四边形的面积．学习难点：理解平行四边形面积公式的推导过程．学具准备：每个学生准备一个平行四边形。

学习过程：一、复习引入：1、什么是面积？2、请同学翻书到80页，请观察这两个花坛，哪一个大呢？假如这块长方形花坛的长是3米，宽是2米，怎样计算它的面积呢？二、导入新课根据长方形的面积=长×宽（板书），得出长方形花坛的面积是6平方米，平行四边形面积我们还没有学过，所以不能计算出平行四边形花坛的面积，这节课我们就学习平行四边形面积计算。

小学数学三角形平行四边形梯形面积练习题篇一：五年级上册三角形、平行四边形和梯形面积练习(1) 三角形、平行四边形和梯形的面积长方形面积= 平行四边形面积=正方形面积= 三角形面积= 梯形面积= 求下列图形的面积：（单位：cm）835典型例题1：一个等腰直角三角形，最长的边是10厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？【巩固练习1】：如图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。

求中间长方形的面积。

典型例题2：求右面平行四边形的周长。

612【巩固练习2】：求右面三角形的AB上的高。

典型例题3：求右图等腰直角三角形中阴影部分的面积。

（单位：厘米）【巩固练习3】：求四边形ABCD的面积。

（单位：厘米）5B典型例题4：有一种将正方形内接于等腰直角三角形。

已知等腰直角三角形的面积是72平方厘米，正方形的面积分别是多少？【巩固练习4】：有一种将正方形内接于等腰直角三角形。

已知等腰直角三角形的面积是72平方厘米，正方形的面积分别是多少？典型例题5：图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

【巩固练习5】：图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。

典型例题6：如图，用40m长的篱笆靠墙围了一个梯形养鸡场，求养鸡场的面积？【巩固练习6】求右图等腰直角三角形中阴影部分的面积。

（单位：厘米）典型例题7：在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，剩下两个三角形，已知AD=3cm，DB=4cm，两个三角形面积和是多少？2、已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。

3、求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。

4、如图，用48m长的篱笆靠墙围了一个梯形养鸡场，求养鸡场的面积？5、在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，剩下两个三角形，已知AD=4cm，DB=6cm，两个三角形面积和是多少？一、填空（每题3分）1、一个平行四边形的底长8厘米，是高的2倍，它的面积是（），与它等底等高的三角形面积是（）。

计算面积公式长方形的长＝面积÷宽长方形的宽＝面积÷长2、长方形的周长＝（长＋宽）×2 字母表示：L＝（a＋b）×2长方形的长＝周长÷2－宽长方形的宽＝周长÷2－长二、正方形的面积和周长1、正方形的面积＝边长×边长字母表示：S＝a×a2、正方形的周长＝边长×4 字母表示：L＝4×a正方形的边长＝周长÷4三、认识底和高1、口诀：一横一竖加直角，分别就是底和高。

2、直角三角形的两条直角边，分别就是它的底和高。

3、三角形有3条高。

平行四边形有无数条高。

梯形有无数条高。

平行四边形的底＝S平÷高字母表示：a＝S平÷h平行四边形的高＝S平÷底字母表示：h＝S平÷a三角形的底＝S三×2÷高字母表示：a＝S三×2÷h三角形的高＝S三×2÷底字母表示：h＝S三×2÷a梯形的高＝S梯×2÷（上底＋下底）字母表示：h＝S梯×2÷（a＋b）梯形的上底＝＝S梯×2÷高－下底字母表示：a＝S梯×2÷h－b）梯形的下底＝＝S梯×2÷高－上底字母表示：b＝S梯×2÷h－a→等底等高的三角形的面积是等底等高平行四边形的一半，即2S三＝S平2、两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。

→这两个梯形的面积等于拼成的平行四边形的面积，即2S梯＝S平1、直角三角形的一条直角边与底重合，那么另外一条直角边就是高。

平行四边形的高锐角三角形的高（在里面）梯形的高2、三角形的高（1）锐角三角形：三条高都在里面。

（2）直角三角形：一条高在里面，两条直角边是另外两条高。

（3）钝角三角形：一条高在里面，另外两条高在外面（需要画出底的延长线）。

第五章多边形的面积【知识梳理】1.平行四边形的面积平行四边形的面积=底×高用字母表示：s=ah变形式：平行四边形的底=面积÷高（a=s÷h)平行四边形的高=面积÷底（h=s÷a)要点提示：求平行四边形的面积时，底和高要对应。

2.三角形的面积三角形的面积=底×高÷2用字母表示：s=ah÷2变形式：三角形的底=面积×2÷高（a=2s÷h)三角形的高=面积×2÷底（h=2s÷a)要点提示：①等底等高的三角形的面积相等。

②等底等高的平行四边形和三角形，三角形的面积是平行四边形面积的一半。

3.梯形的面积梯形的面积=（上底+下底）×高÷2用字母表示：s=（a+b）h÷2变形式：梯形的高=面积×2÷（上底+下底)字母表示为：h=2s÷(a+b)梯形的上底=面积×2÷高-下底字母表示为：a=2s÷h-b梯形的下底=面积×2÷高-上底字母表示为：b=2s÷h-a要点提示：已知梯形的面积，求梯形的高或其中一个底，也可以用方程法解决。

4.组合图形的面积把求组合图形的面积转化成求几个简单图形的面积的和或差。

要点提示：求组合图形的面积时，一定要分清是由哪些基本图形组合而成的，再利用割补、剔除等方法求面积。

5.估计不规则图形的面积方法一：借助方格纸用数方格的方法进行估计。

方法二：根据图形的特点转化为近似的规则图形来估计。

要点提示：数方格时，先确定图形的面积范围，再估计它的面积。

【诊断自测】1.填空题。

（1）3.8dm2=（）cm20.03公顷=（）平方米（2）一个三角形的底是3.6米，高是2.5米，它的面积是（）平方米，和它等底等高的平行四边形的面积是（）平方米。

（3）一个平行四边形的高是12厘米，面积是96平方厘米，它的底是（）厘米。

三角形和梯形面积的推导过程
以下是三角形和梯形面积的推导过程：
三角形面积的推导过程：
1. 从三角形的一个顶点向它的对边做一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，垂足所在的边叫做底。

三角形一共有三条高，直角三角形的两条直角边是互为底和高的。

2. 可以用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高。

3. 因为每个三角形的面积都等于拼成的平行四边形面积的一半，所以三角形的面积就等于底乘高除以二。

梯形面积的推导过程：
1. 可以将一个梯形沿着它的中线剪开，就得到了两个小的梯形。

把上面的小梯形绕腰的中点旋转后，和下面的部分拼在一起，就可以得到一个平行四边形。

这个平行四边形的面积就等于原来梯形的面积。

2. 平行四边形的底相当于梯形的上底加下底的和。

平行四边形的高就相当于梯形高的一半。

3. 因为平行四边形的面积等于底乘高，所以梯形的面积就等于上底加下底的和乘高除以二。