信号检测与估值第三次作业
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2-1 1[()]2E x t =,1212(,)3X t t R t t = 2-2 略。
2-3111[()]sin cos 333E x t t t=++12112212121111111(,)sin cos sin cos sin()cos()9999999X R t t t t t t t t t t =+++++++-2-4 [()]0E X t =,20(,)cos R t t w τστ+=2-5 [()]0E X t =,20(,)cos 2a R t t w ττ+= 2-6 略。
2-7 [()]0E X t =,10(,)200R t t τττ⎧=⎪+=⎨⎪≠⎩2-8 1210()()()2cos(10)(21)X X X R R R eτττττ-=+=++,2[()](0)5X E X t R ==,2(0)2X X R σ==2-9 11()()cos 22jw jw X X o G w R e d w e d τττττ∞∞---∞-∞==⎰⎰00()()()22X P w w w w w ππδδ=-++2-10 00()(()())2Y X X aG w G w w G w w =-++2-11 ())()X R u ττ=+-3-1 二元信号统计检测的贝叶斯平均代价C 为110000000100100110111111()()=()()()() ()()()()ij i i j j i C c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H ===+++∑∑ 利用01()1()P H P H =-1101()1()P H H P H H =- 0010()1()P H H P H H =-得平均代价C 为[][]0011010110011011110100101110111000111011000101()1()1()() ()()()1() ()() ()()()()()()C c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H c c c P H H P H c c c c P H H c c P H H =-⎡-⎤+-+⎣⎦+⎡-⎤⎣⎦=+-+⎡-+---⎤⎣⎦3-2 1)由于各假设j H 的先验概率()(0,1,2)j P H j =相等,所以采用最大似然准则。
时间:6月16日(星期一)晚上6:30-8:30 地点:六教104室(上课教室)试卷共8题,其中4题属于教材第一章内容,其余4题分别的其他章节。
请同学们对匹配滤波器,离散卡尔曼滤波,离散维纳滤波,高斯白噪声下确知信号的检测,K -L 展开,高斯白噪声信道中的单参量信号估计等内容重点关注。
1.1 (付柏成 20060150)在例1.2中,设噪声均方差电压值为σ=2v ,代价为f c =2,m c =1。
信号存在的先验概率P =0.2。
试确定贝叶斯意义下最佳门限β,并计算出相应的平均风险。
解:根据式(1-15),可以算出00.8280.21f mQc Pc ⨯Λ===⨯ 而判决门限2201ln 0.52ln 88.822βσ=+Λ=+= 根据式(1-21)可知平均风险1010Pr 0.2r 0.8R Qr r =+=+01100.2(|)0.8(|)m f c P D H c P D H =+ 而011(|)(|)D P D H p x H dx =⎰1100(|)(|)D P D H p x Hdx =⎰而2121(1)(|)exp[]22x p x H σπσ-=- 2021(|)exp[]22x p x H σπσ=-所以201121(1)(|)(|)exp[]22D D x P D H p x H dx dx σπσ-==-⎰⎰221(1)e x p []22x dx βσπσ-∞-=-⎰=17.82()()(3.91)22β-Φ=Φ=Φ 同理11210021(|)(|)exp[]22D D x P D H p x Hdx dx σπσ==-⎰⎰221e x p ()22x dx βσπσ∞=-⎰8.821()1()1(4.41)22β=-Φ=-Φ=-Φ 所以0.21(3.91)0.82[1(4.41)]R =⨯⨯Φ+⨯⨯-Φ 1.2 (关瑞东 20060155)假定加性噪声()n t 服从均值为零,方差为的正态分布。
信号检测与估值作业1.考虑下面观测样本为y 的简单二元假设检验问题:110011:()()22:(),0y y H f y rect H f y e y --⎧=⎪⎨⎪=>⎩ 其中,12121,()=0rect t if t -<<⎧⎨⎩,otherwise(a)求该假设检验的似然比检测器并确定判决域(即确定样本空间划分方法) (b)当00012,21P P P ===,时分别计算可能获得的最小错误概率解:(a )11100011,02,02:()()220,0,:(),0(),0y yy y H f y p y otherwise otherwise H f y e y p y e y --⎧⎧⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪=>=>⎩⎩11100110100 0y 222ln 11()y >2 ()112ln 1 H H y H H H H H H H H e y p y p y y y εεεεελλεεεεε⎧>>⎪⇒⎪<<-->⎪==⎨<-⎪>⎪∞<-⎪<≤⎩><-()=化简得:0 0y 2>2H y ⎧⎪<≤⎪⎨⎪⎪⎩判为(b )()001E F MP P P P P =+-,()10F y R P p y d =⎰,()01M yR P p y d=⎰2ln 220ln 2011111112ln 2=+ln 2222424y E P y P e dy dy e λ--=+=-⎰⎰当时,()=, 2ln 420ln 4021112123ln 4=ln 4332636y E P y P e dy dy e λ--=+=-+⎰⎰当时,()=,220011110=333y E P y P e dy e λ--==-⎰,()=,当时2.考虑下面观测样本为y 的简单二元假设检验问题:110011:()()221:()2y H f y rect H f y rect y -⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩(a ) 求该假设检验的似然比检测器并确定判决域(即确定样本空间划分方法) (b ) 计算虚报概率F M P P 和漏报概率 解:(a )11100011:()()1(),022221:()()1,02y H f y rect p y y H f y rect y p y y -⎧=⎧⎪=<<⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=-=<<⎩ ⎪⎪⎝⎭⎩1 111000()1y ()121H H H H p y p y εελλλεε>>=⇒=<<--()=即:1010 1<y<21 0y 1 2H H H λ⎧⎪⎪>⎨<≤⎪<⎪⎩判为(b )11000001100100100010()1111>=<0d 2()222()11=1d 102()2()11=,12()211,2F M F M F M p y P P y p y p y P y P p y p y H H p y P P λλλλλλεεεε===<>=====-=-=⎰⎰当时,,所以判为H ,,当时,,所以判为H ,,当时,,所以假设以的概率判为的概率判为则3.一个二元通信系统的表达式可以由下面的公式表示:y x n =+其中,y 是接收机观测到的样本,x 是发射的信号,n 是接收机端引入的高斯白噪声(均值为0,方差为2σ),x 取值可为-A 或+A ,分别对应假设01H H 和 (a )要求确定最小错误概率检测器的形式(b )给出先验概率分布满足1001103,,5P P P P P P ===情况下的最小错误概率检测器,并计算出相应的最小错误概率解:(a)2211022:()()())()):2 2 H y A n y A y A p y y H y A n p σσ=++⎧-+⇒=-=-⎨=-+⎩ 11122100()()=ln()1121H H H AyH H H p y y e y p y A σεεσελλεεε>>>=⇒⇒<<<---T (b )0E F M P P P P P =+0(1-) 2010010131ln 33,3442P P P P P y P A σλ=⇒==⇒==⇒T当= 22ln3222ln30123133ln 31ln 3()()()()4444242A E A P p y dy p y dy A A A Aσσσσ+∞-∞=+=-Φ-+Φ+⎰⎰010010111,122P P P P P y P λ=⇒==⇒==⇒T当=0 001011111()()()()22222E P p y dy p y dy A A +∞-∞=+=-Φ-+Φ+⎰⎰ 201001013ln35355,8852P P P P P y P A σλ=⇒==⇒==⇒T当=22322ln52301ln 5233lnln3533555()()(-)(+)8888282AE AP p y dy p y dy A A A Aσσσσ+∞-∞=+=-Φ+Φ⎰⎰ 4.接收机输出为信号电压S 和噪声电压N 之和,其二者的联合概率密度函数为:0(,), 0&0s SN f s n N N n e s αα-≤<∞≤≤=(a) 分别给出S 和N 的边缘概率密度函数()()S N f s f n 和; (b) 证明S 和N 统计独立;(c) 推导Y=S+N 的概率密度函数,并画出图形;(d) 推导()()S N f s f n 和对应假设10H H 和成立下的条件概率密度,即1()()S f y f y =0()()N f y f y =,现给定02=1N α=和,请写出最小错误概率检测器;(e) 分别计算在1001103,,23P P P P P P ===。
信号检测及估计试题-答案(不完整版)一、概念:1. 匹配滤波器。
概念:所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。
应用:在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。
在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。
2. 卡尔曼滤波工作原理及其基本公式(百度百科)首先,我们先要引入一个离散控制过程的系统。
该系统可用一个线性随机微分方程(Linear Stochastic Difference equation)来描述:X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值:Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中,X(k)是k时刻的系统状态,U(k)是k时刻对系统的控制量。
A和B是系统参数,对于多模型系统,他们为矩阵。
Z(k)是k时刻的测量值,H是测量系统的参数,对于多测量系统,H为矩阵。
W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise),他们的covariance 分别是Q,R(这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统,过程和测量都是高斯白噪声),卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出(类似上一节那个温度的例子)。
首先我们要利用系统的过程模型,来预测下一状态的系统。
假设现在的系统状态是k,根据系统的模型,可以基于系统的上一状态而预测出现在状态:X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式(1)中,X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果,X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果,U(k)为现在状态的控制量,如果没有控制量,它可以为0。
到现在为止,我们的系统结果已经更新了,可是,对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。
我们用P表示covariance:P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2)式(2)中,P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance,P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance,A’表示A的转置矩阵,Q是系统过程的covariance。
% 含有频率f ,2f 和3f 的正弦波叠加原始信号Fs=8000; %采样频率8KHzf=500; %信号基频A=1;t=0:1/Fs:0.02; %产生时间序列x=A*sin(2*pi*f*t)+A*sin(4*pi*f*t)+A*sin(6*pi*f*t); %产生目标信号figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,x);grid;title('原始信号');%FFT分析信号频谱len=512;y=fft(x,len); %对信号做len点FFT变换f1=Fs*(0:len/2-1)/len;subplot(2,1,2);plot(f1,abs(y(1:len/2)));grid;title('原始信号频谱')xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');%数字滤波器设计,均采用巴特沃斯滤波器Rp=3; %通带最大衰减率为3dBRc=40; %祖代最小衰减率为40dB%IIR数字低通滤波器设计Fp=1.2*f;Fc=1.8*f;Wp=2*Fp/Fs;Wc=2*Fc/Fs;[N,Wn]=buttord(Wp,Wc,Rp,Rc);[B,A]=butter(N,Wn,'low');[H,W]=freqz(B,A,len,Fs);figuresubplot(2,1,1);plot(W,abs(H));grid;title('低通滤波器');xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');xx=filter(B,A,x);yy=fft(xx,len);subplot(2,1,2);plot(f1,abs(yy(1:len/2)));grid;title('滤波后的信号频谱');xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');%IIR 数字高通滤波器的设计Fp=2.6*f;Fc=2.2*f;Wc=2*Fc/Fs;[N,Wn]=buttord(Wp,Wc,Rp,Rc);[B,A]=butter(N,Wn,'high');[H,W]=freqz(B,A,len,Fs);figuresubplot(2,1,1);plot(W,abs(H));grid;title('高通滤波器');xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');xx=filter(B,A,x);yy=fft(xx,len);subplot(2,1,2);plot(f1,abs(yy(1:len/2)));grid;title('滤波后的信号频谱');xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值'); %3.IIR 数字带通滤波器设计Fp=[1.8*f 2.2*f];Fc=[1.6*f 2.8*f];Wp=2*Fp/Fs;Wc=2*Fc/Fs;[N,Wn]=buttord(Wp,Wc,Rp,Rc);[B,A]=butter(N,Wn,'bandpass');[H,W]=freqz(B,A,len,Fs);figuresubplot(2,1,1);plot(W,abs(H));grid;title('带通滤波器');xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');xx=filter(B,A,x);yy=fft(xx,len);subplot(2,1,2);plot(f1,abs(yy(1:len/2)));grid;title('滤波后的信号频谱');xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');%3.IIR数字带阻滤波器设计Fp=[1.6*f 2.8*f];Fc=[1.8*f 2.2*f];Wc=2*Fc/Fs;[N,Wn]=buttord(Wp,Wc,Rp,Rc); [B,A]=butter(N,Wn,'stop'); [H,W]=freqz(B,A,len,Fs); figuresubplot(2,1,1);plot(W,abs(H));grid;title('带阻滤波器');xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');xx=filter(B,A,x);yy=fft(xx,len);subplot(2,1,2);plot(f1,abs(yy(1:len/2))); grid;title('滤波后的信号频谱'); xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');。
三、(15分)在二元信号的检测中,若两个假设下的观测信号分别为:0122112::H x r H x r r ==+其中,1r 和2r 是独立同分布的高斯随机变量,均值为零,方差为1。
若似然比检测门限为η,求贝叶斯判决表示式。
解 假设0H 下,观测信号x 的概率密度函数为1/2201(|)exp 22x p x H π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭假设1H 下,2212x r r =+,而12(0,1),(0,1)r N r N ,且相互统计独立。
大家知道,若(0,1)k r N ,且(1,2,,)k r k N =之间相互统计独立,则21Nk k x x ==∑是具有N 个自由度的2χ分布。
现在2N =,所以假设1H 下,观测信号x 的概率密度函数为22/2112/221(|)exp()2(2/2)21exp(),022x p x H x xx -=-Γ=-≥当0x <时,1(|)0p x H =。
于是,似然比函数为1/2210exp ,0(|)()222(|)0,0x x x p x H x p x H x πλ⎧⎛⎫⎛⎫-≥⎪ ⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎝⎭⎪<⎩ 当似然比检测门限为η时,判决表达式为11/220exp ,0222,0H Hx x x H x πη⎧⎛⎫>⎛⎫⎪-≥⎪ ⎪ ⎪<⎝⎭⎨⎝⎭⎪⎪<⎩成立 对0x ≥的情况,化简整理得判决表达式为11/2222ln H Hx x ηπ⎡⎤>⎛⎫-⎢⎥ ⎪<⎝⎭⎢⎥⎣⎦四、(15分)已知被估计参量θ的后验概率密度函数为2(|)()exp[()],0p x x x θλθλθθ=+-+≥(1)求θ的最小均方误差估计量^mse θ 。
(2)求θ 的最大后验估计量^map θ 。
解 (1)参量θ的最小均方误差估计量^mse θ是θ的条件均值,即^0220221(|)()[()]1()()2,mse p x d x exp x d x x x x θθθθλθλθθλλλλ∞∞+==+-+=++=≥-+⎰⎰^0,mse x θλ=<-(2)由最大后验方程^ln (|)|0map p x θθθθ=∂=∂ 得^2[ln()ln ()]1()|0mapx x x θθλθλθθλθ=∂++-+∂=-+=解得^^1,0,map map x x x θλλθλ=≥-+=<-七、(15分)若对未知参量θ进行了六次测量,测量方程和结果如下:182222202384404384n θ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设初始估计值和估计量的均方误差分别为:^2000,θε==∞ 试用递推估计求θ的线性最小二乘估计量^^1def s k θθ=和估计量的均方误差^122(1,2,,6)sdefk k θεε==;并将最终结果与非递推估计的结果进行比较。
信号检测与估计计算机仿真作业一.实验目的1.学习Matlab软件在信号检测与估计中的应用2.学习MUSIC、ESPRIT、GEESE等的空间谱估计算法的原理,并通过仿真分析比较这三种算法的不同及性能特点3.通过仿真分析了解非平稳噪声和色噪声对MUSIC、ESPRIT、GEESE方法性能的影响二.实验原理2.1最小错误概率准则出发点是如何使译码后的错误概率PE为最小。
其基本思路为:收到yj后,对于所有的后验概率P(x1|yj),P(x2|yj), …,P(xi|yj),…,若其中P(x*|yj)具有最大值,则将x*判决为yj的估值。
由于这种方法是通过寻找最大后验概率来进行译码的,故又常称之为最大后验概率准则。
最大后验概率译码方法是理论上最优的译码方法,但在实际译码时,既要知道先验概率又要知道后验概率,而后验概率的定量计算有时比较困难,需要寻找更为实际可行的译码准则。
2.2 MUSIC原理MUSIC算法是一种基于矩阵特征空间分解的方法。
从几何角度讲,信号处理的观测空间可以分解为信号子空间和噪声子空间,显然这两个空间是正交的。
信号子空间由阵列接收到的数据协方差矩阵中与信号对应的特征向量组成,噪声子空间则由协方差矩阵中所有最小特征值(噪声方差)对应的特征向量组成。
MUSIC算法就是利用这两个互补空间之间的正交特性来估计空间信号的方位。
噪声子空间的所有向量被用来构造谱,所有空间方位谱中的峰值位置对应信号的来波方位。
MUSIC算法大大提高了测向分辨率,同时适应于任意形状的天线阵列,但是原型MUSIC算法要求来波信号是不相干的。
2.3 ESPRIT算法原理ESPRIT算法估计信号参数时要求阵列的几何结构存在所谓的不变性,这个不变性可以通过两种手段得到:一是阵通过某些变换获得两个或两个以上的相同子阵。
由于这种算法在有效性和方面都有非常突出的表现,已经被公认为空间谱估计的一种经典算法,随着ESPRIT 算法的深入研究,ESPRIT算法进一步被广大学者接受并推广。
第二章 随机信号及其统计描述1.求在实数区间[]b a ,内均匀分布的随机变量X 均值和方差。
解: 变量X 的概率密度 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=其他,,01)(b x a a b x p均值 []⎰∞∞-+===2)(ba dx x xp X E m X方差 ⎰∞∞--=-=12)()()(222a b dx x p m x X Xσ2.设X 是具有概率密度函数)(x p 的随机变量,令x 的函数为0),exp(>-=a ax y试求随机变量y 的概率密度函数)(y p 。
解: 反函数0,ln 1>-=a y ax 雅可比式为 aydy dx J 1-==所以 0),ln 1(1)ln 1()(>-=-⋅=a y ap ay y a p J y p 4. 随机过程)(t X 为)sin()cos()(00t B t A t X ωω+=式中,0ω是常数,A 和B 是两个互相独立的高斯随机变量,而且0][][==B E A E ,222][][σ==B E A E 。
求)(t X 的均值和自相关函数。
7. 设有状态连续、时间离散的随机过程)2sin()(t t X Ω=π,式中t 只能取正整数,即 ,3,2,1=t ,而Ω为在区间)1,0(上均匀分布的随机变量,试讨论)(t X 的平稳性。
8.平稳随机过程)(t X 的自相关函数为1)10cos(22)(10++=-τττe R X ,求)(t X 均值、二阶原点矩和方差。
解: 可按公式求解[])()0(,)0()(,)(222∞-==∞=X X X X X X R R R t X E R m σ。
但在求解周期性分量时,不能得出)(∞R ,为此把自相关函数分成两部分: ()12)10cos(2)()()(1021++=+=-τττττeR R R X X X由于)10cos(2)(1ττ=X R 的对应的随机过程为 是随机变量为常数,ϕϕA t A t X ),10cos()(1+=所以[]0)(1=t X E而对于12)(102+=-ττeR X ,有1)(2=∞X R ,即[]1)(2±=t X E所以[][][]1)()()(21±=+=t X E t X E t X E 可理解为1)(=∞X R从而有 []5)0()(2==X R t X E ,)()0(2∞-=X X X R R σ=4因此)(t X 的均值、二阶原点矩和方差分别为[]1)(±=t X E []5)(2=t X E 42=X σ9. 若随机过程)(t X 的自相关函数为)cos(21)(0τωτ=X R ,求)(t X 的功率谱密度。
3.7 一连续周期信号()f t ,周期T=8,已知其非零傅里叶复系数是:112F F -==,334F F j *-==,试将()f t 展开成三角型傅里叶级数,求n A 并画出单边幅度谱和相位谱。
解:根据复指数形式的傅里叶级数与三角型傅里叶级数的关系Fnj n n F F e ϕ= 00120 0n n n Fn n Fn n F F A F A n n ϕϕϕϕ-====≥⎧⎨=-<⎩3102113313132j 4242F F jj j j F F F e F e F e F e F F πϕϕπϕϕ=2== =4 == = = =0 =由已知得:即:11331133 242802F F A F A F πϕϕϕϕ∴== == == ==单边幅度谱(即n A 对应的离散函数波形)n A 单边幅度频谱nϕ单边相位谱3.8 已知连续周期信号:25()2cos()4sin()33f t t t ππ=++,将其表示成复指数信号的形式,求0()n F jn ω并画出双边幅度谱和相位谱。
解:根据三角函数的关系sin()cos()cos()22ππααα=-=-,得:25()2cos()4cos()332f t t t πππ=++-根据傅里叶级数的特点,可以观察出周期信号的基波频率分量03πω=,即单边谱中:0250252 1 40 0 2A A A πϕϕϕ======-根据复指数形式的傅里叶级数与三角型傅里叶级数系数的关系Fnj n n F F e ϕ= 00120 0n n n Fn n Fn n F F A F A n n ϕϕϕϕ-====≥⎧⎨=-<⎩得:2525005222550025252 122220 0 20 2F F F F F F A A A F F F F πϕϕϕϕϕϕπϕϕϕϕ----==============-=-==-=即:2255222222555511 2222 22F F F F j j jjj j F F e F F e F F eej F F eejϕϕππϕϕ-------==========-可写出()f t 的复指数形式为:000052252211()22222jj j tj t j tj t f t e ee e e e ππωωωω---=++++ 可以画出双边幅度谱和相位谱如下:双边幅度谱n ω双边相位谱n ω3.22 求下列信号的傅里叶变换322(1)(1)[(2)(3)] (2)(1)2(3)(1) (4)(2)(5)() t t jt t te U t U t U e U t e t e U t δ-+---+ -- --+- 2(1) (6)(1)t e t δ--- 解:033363(2)93(3)303+2233(1)[(2)(3)](2)(3)(2)(3)1()1()3()(),()()1(+2)3 (t t t t t att j t t j t e U t U t e U t e U t e e U t e e U t e U t j ae U t jf t F j f t t F j e e U t e j e U t ωωωωωωω----+--------+ -- =+ --=+--↔+↔+↔-↔↔+- ()()根据变换对:得:根据时移特性:得:31122121263(2)13)3()(),()(),()()()()a b (2j t e j f t F j f t F j af t bf t aF j bF j e e U t ωωωωωω--+↔+↔↔+↔++根据线性:(其中、为常数)得:93(3)62936932(3)3(11)(3) 331[(2)(3)](3t j j t j j e e U t e e e e j j e e e U t U t e e j ωωωωωωω-------+-+--↔-+++ -- ↔-+(、为常数)即:3))注:也可根据定义直接求出本题变换的结果,但本题注重考察大家对性质的应用,故答案采用性质来解。