新人教版必修1高考数学总复习线面垂直的判定学案

第5课时 直线、平面垂直的判定与性质考纲传真1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． 2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．3．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．4．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°．1．(人教A 版教材习题改编)给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4『解析』由线面垂直的性质定理知①正确；由线面垂直的定义知④正确，故选B.『答案』B2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交『解析』由a⊥b，a⊥α知b⊂α或b∥α，但直线b不与α相交．『答案』C3．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC的长为()A.2aB.22a C.32a D．a『解析』如图所示：取BD的中点O连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′—BD—C的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝22a，∴A′C＝a22＋a22＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.『答案』D4．下列命题中错误．．的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β『解析』A显然正确，根据面面垂直的判定，B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l ⊥γ.故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，且l⊂β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D 错误． 『答案』 D5．(2012·浙江高考)设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β『解析』 设α∩β＝a ，若直线l ∥a ，且l ⊄α，l ⊄β，则l ∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故A 错误；由于l ∥α，故在α内存在直线l ′∥l ，又因为l ⊥β，所以l ′⊥β，故α⊥β，所以B 正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l ，则l ⊥α，此时l 在平面β内，因此C 错误；已知α⊥β，若α∩β＝a ，l ∥a ，且l 不在平面α，β内，则l ∥α且l ∥β，因此D 错误．『答案』 B直线与平面垂直的判定与性质图7－5－1(2012·广东高考)如图7－5－1所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .『思路点拨』 (1)证PH ⊥AB ，PH ⊥AD .(2)连接BH ，取BH 的中点G ，证明EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PH .(3)取P A 的中点M ，连接MD ，ME ，证明MD ⊥平面P AB ，MD ∥EF . 『尝试解答』 (1)因为AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ， 所以PH ⊥AB .因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .因为PH ⊄平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD .(2)如图，连接BH ，取BH 的中点G ，连接EG . 因为E 是PB 的中点， 所以EG ∥PH ， 且EG ＝12PH ＝12.因为PH ⊥平面ABCD ， 所以EG ⊥平面ABCD .因为AB ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥AD ，所以底面ABCD 为直角梯形， 所以V E －BCF ＝13S △BCF ·EG ＝13·12·FC ·AD ·EG ＝212.(3)取P A 中点M ，连接MD ，ME .因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB .又因为DF 綊12AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD .因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A . 因为AB ⊥平面P AD ，所以MD ⊥AB .因为P A ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面P AB ，所以EF ⊥平面P AB .,1．证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)．(4)面面垂直的性质． 2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．3．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．图7－5－2(2013·大连模拟)如图7－5－2，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值． 『解』 (1)证明 由条件知四边形PDAQ 为直角梯形． 因为QA ⊥平面ABCD ，所以QA ⊥DC ，又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，又QA ∩AD ＝A ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD . 又DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ . (2)设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高， 所以棱锥Q —ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P —DCQ 的高， 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P —DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.面面垂直的判定与性质图7－5－3(2012·课标全国卷)如图7－5－3，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 『思路点拨』 (1)证明DC 1⊥平面BDC .(2)先求四棱锥B —DACC 1的体积，再求三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积．『尝试解答』 (1)由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1. 又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC . 又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC . 又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC . (2)设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得 V 1＝13×1＋22×1×1＝12.又三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1，所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1. 故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.,1．解答本题(1)的关键是通过证明BC ⊥平面ACC 1A 1来证明DC 1⊥BC .2．证明面面垂直常用面面垂直的判定定理或定义法．(1)利用判定定理证明面面垂直实质是证明线面垂直，与其中一个平面垂直的直线的选取至关重要，要根据条件的直观图准确选取．(2)利用定义证明面面垂直实质是证明线线垂直，即证明两平面形成的二面角是直角．图7－5－4(2013·无锡模拟)如图7－5－4所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面P AD .『证明』 (1)如图，在△P AD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面P AD.又因为BF⊂平面BEF.所以平面BEF⊥平面P AD.直线、平面垂直的综合应用图7－5－5(2013·哈尔滨模拟)如图7－5－5所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：P A⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D—PBC的高．『思路点拨』(1)证明BD⊥平面P AD.(2)作DE⊥PB，证明DE⊥平面PBC，在△PDB中计算DE的长．『尝试解答』(1)因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理，BD＝3AD，从而AB2＝AD2＋BD2，故AD⊥BD，又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面P AD，故P A⊥BD.(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD.故BC⊥平面PBD，BC⊥DE.则DE⊥平面PBC.∵AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60°，∴BD＝ 3.又PD＝1，∴PB＝2.根据DE·PB＝PD·BD，得DE＝3 2，即棱锥D—PBC的高为3 2.,1．解答本题的关键是通过计算证明AD⊥BD，这也是解题中容易忽视的方法．2．面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据，其核心是其中一个面内的直线与交线垂直．在其中一个面内作交线的垂线，这是常作的辅助线．3．空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直或平行问题常常互相转化，将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想．图7－5－6如图7－5－6所示，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E—ABD的侧面积．『解』(1)证明在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠DAB＝23，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD，∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.(2)由(1)知AB⊥BD，CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.在Rt△DBE中，∵DB＝23，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE＝12DB·DE＝2 3.又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝12AB·BE＝4.∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE＝12AD·DE＝4.综上，三棱锥E—ABD的侧面积S＝8＋2 3.线面角、二面角(2013·广州模拟)如图7－5－7，在锥体P—ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，P A＝PD＝2，PB＝2，E，F分别是BC，PC的中点．图7－5－7(1)证明：AD⊥平面DEF；(2)求二面角P—AD—B的余弦值．『思路点拨』(1)取AD的中点G，则平面PGB∥平面DEF，只需证AD⊥平面PGB 即可．(2)作出二面角的平面角∠PGB，在△PGB中求解．『尝试解答』(1)取AD中点G，连接PG，BG.∵四边形ABCD为菱形，且E，G分别为BC，AD中点，则BG綊DE.又F为PC中点，则EF∥PB，则平面DEF∥平面GBP.∵G是AD中点且P A＝PD，∴PG ⊥AD .在△ABG 中，AG ＝12，AB ＝1，且∠DAB ＝60°，由余弦定理得BG ＝32，AB 2＝AG 2＋BG 2，则AG ⊥BG . ∵PG ∩BG ＝G ，∴AD ⊥平面PGB ，即AD ⊥平面DEF . (2)由(1)知二面角P —AD —B 的平面角为∠PGB . 在Rt △PGA 中，PG ＝P A 2－AG 2＝72. 在△PGB 中，BG ＝32，PB ＝2，由余弦定理知，cos ∠PGB ＝PG 2＋BG 2－PB 22PG ·BG ＝74＋34－42×72×32＝－217.,1．第(1)问关键是利用平面PGB ∥平面DEF ，若AD ⊥平面PGB ，则一定有AD ⊥平面DEF .2．求线面角、二面角的常用方法．(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．图7－5－8(2012·湖南高考)如图7－5－8所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD .(1)证明：BD ⊥PC ；(2)若AD ＝4，BC ＝2，直线PD 与平面P AC 所成的角为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积．『解』 (1)证明 因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又AC ⊥BD ，P A ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面P AC .而PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC .(2)如图所示，设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由(1)知，BD ⊥平面P AC ，所以∠DPO 是直线PD 和平面P AC 所成的角．从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面P AC ，PO ⊂平面P AC 知，BD ⊥PO .在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°得PD ＝2OD .因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，所以△AOD ，△BOC 均为等腰直角三角形．从而梯形ABCD 的高为12AD ＋12BC ＝12×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD 的面积S ＝12×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，OD ＝22AD ＝22， 所以PD ＝2OD ＝42，P A ＝PD 2－AD 2＝4.故四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×9×4＝12.一种关系垂直问题的转化关系三类证法1.证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ；(4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. 3．证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.通过近两年的高考试题看，线线、线面、面面垂直的判定与性质的应用是考查的重点和热点，主要考查空间想象能力和推理论证能力，以及转化思想的应用．题型全面，但主要以解答题的形式考查，规范解答至关重要．规范解答之十一 立体几何中探索性问题的求解策略(14分)(2012·北京高考)如图7－5－9(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图7－5－9(2)．图7－5－9(1)求证：DE ∥平面A 1CB . (2)求证：A 1F ⊥BE .(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由． 『规范解答』 (1)因为D ，E 分别为AC ，AB的中点，所以DE∥BC.2分又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.4分(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，6分所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.9分(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEP.12分从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.14分『解题程序』第一步：根据三角形中位线证明DE∥BC.从而证明DE∥平面A1CB；第二步：利用线面垂直的判定定理证明DE⊥平面A1DC；第三步：通过证明A1F⊥平面BCDE来证明A1F⊥BE；第四步：分别取A1C，A1B的中点P，Q，证明P、Q、D、E四点共面；第五步：通过证明PD⊥A1C来证明A1C⊥平面DEQ.易错提示：(1)想不到或不会利用DE⊥A1D，导致无法求解．(2)对于是否存在型问题没有解题思路，从而无法作出辅助线，导致思路受阻．防范措施：(1)对于平面图形的折叠问题，一定要注意折叠前后的不变量与可变量，要有意识地注意折叠前后不变的垂直性与平行性．(2)对于是否存在型问题，首先要分析条件，看结论需要的条件已有哪些，分析欲使结论成立，还需要什么条件，结合所求，不难作出辅助线．1．(2013·青岛质检)设α、β为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β，有两个命题，p：若m∥n，则α∥β；q：若m⊥β，则α⊥β.那么()A．“p或q”是假命题B．“p且q”是真命题C．“非p或q”是假命题D．“非p且q”是真命题『解析』依题意得，命题p是假命题，命题q为真命题，所以“非p且q”是真命题．『答案』D图7－5－102．(2012·福建高考)如图7－5－10，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(1)求三棱锥A－MCC1的体积；(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.『解』 (1)由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知， AD ⊥平面CDD 1C 1，∴点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1. 又S △MCC 1＝12CC 1·CD ＝12×2×1＝1，∴VA －MCC 1＝13AD ·S △MCC 1＝13.(2)证明 将侧面CDD 1C 1绕DD 1逆时针转90°展开，与侧面ADD 1A 1共面(如图)， 当A 1，M ，C ′共线时，A 1M ＋MC 取得最小值． 由AD ＝CD ＝1，AA 1＝2， 得M 为DD 1的中点．连接A 1M 、B 1M ，在△C 1MC 中，MC 1＝2，MC ＝2，CC 1＝2，∴CC 21＝MC 21＋MC 2，得∠CMC 1＝90°， 即CM ⊥MC 1.又由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知， B 1C 1⊥平面CDD 1C 1. ∴B 1C 1⊥CM . 又B 1C 1∩C 1M ＝C 1， ∴CM ⊥平面B 1C 1M ， 得CM ⊥B 1M . 同理可证，B 1M ⊥AM . 又AM ∩MC ＝M ， ∴B 1M ⊥平面MAC .。

一数学 SX-10-01-0062.3 《直线、平面垂直的判定及其性质》导学案【学习目标】（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论；（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理；（5）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用【重点难点】重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究；平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小【学法指导】实物观察，类比归纳，语言表达【知识链接】空间点、直线、平面之间的位置关系【学习过程】一.预习自学1.线面垂直定义：如果一条直线l和平面α内的，我们就说直线l和平面α互相垂直，记作，其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的, 直线与平面的交点叫做垂足.2.直线与平面垂直的判定定理：3.平面的斜线：4.直线和平面所成的角：5.二面角：6.二面角的平面角：7．面面垂直两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.记作两平面垂直的判定定理：8.直线和平面垂直的性质定理：9.两平面垂直的性质定理：二.典型例题例1. 已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a ∥直线b ，直线a ⊥平面α，则直线b ⊥平面α”例2.在正方体ABCD —A 1B 1C 1 D 1中, 求AC 1与面ADD 1 A 1所成的角的正弦值为 .例3.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥AC 1，求证：A 1B ⊥B 1C例4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点 （1）求证：AD ⊥D 1F ；（2）求AE 与D 1F 所成的角；（3）证明平面AED ⊥平面A 1FD 1例5.正四棱锥P -ABCD 中，AB =4，高为2，求二面角P -BC -D 的大小.三.课堂检测1D A BCO E P 1.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线 （ ） A ．只有一条 B ．有无数条 C ．所有直线 D ．不存在 2.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．无数个 D ．1个或无数个 3.已知直线m ⊥平面α，直线⊂n 平面β，下列说法正确的有 （ ）①若n m ⊥则,//βα ②若βα⊥，则m //n ③若m //n ，则βα⊥④若,//m n αβ⊥则A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等 ⑤直线l 垂直于平面α内的无数条直线,则l ⊥α5.在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S —EFG 中必有A. SG ⊥平面EFGB. SD ⊥平面EFGC. FG ⊥平面SEFD. GD ⊥平面SEF6.在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 17.在三棱锥S —ABC 中，N 是S 在底面ABC 上的射影，且N 在△ABC 的AB 边的高CD 上，点M ∈SC ，截面MAB 和底面ABC 所成的二面角M —AB —C 等于∠NSC ，求证：SC ⊥截面MAB 8.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是 PC 的中点.求证：平面P AC ⊥平面BDE ．四.归纳小结五.课外作业 A ．若αα⊥⊥b a b a 则,,// B ．若b a b a //,//,,则βαβα⊥⊥C ．若b a b a //,//,//,//则βαβαD ．若b a b a ⊥⊥⊥⊥则,,,βαβα2. A 、B 是二面角α—l —β的棱l 上两点，P 是面β内一点，PB ⊥l 于点B ，P A 和l 所成的角为450，P A 和面α所成的角为300，则二面角α—l —β 的大小为（ ） A ．450B ．300C ．600D ．7503.若直线l 与平面所成角为3π，直线a 在平面内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 0， B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π 0， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π 3π， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 3π， 4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD.5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、CC 1的中点. 求证：面EFG ⊥面AA 1C 1C .6.如图，在正三棱锥S —ABC 中，E 、F 分别是侧棱SA 、SB 的中点，且平面CEF ⊥平面SAB . （1）若G 为EF 的中点，求证：CG ⊥平面SAB ；（2）求此三棱锥的侧面积与底面积的比值.7.在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB =2，BC =a ，又侧棱P A ⊥底面ABCD （1）当a 为何值时，BD ⊥平面P AC ?试证明你的结论;（2）当a =4时，求证：BC 边上存在一点M ，使得PM ⊥DM ;（3）若在BC 边上至少存在一点M ，使PM ⊥DM ，求a 的取值范围.2.3 直线、平面垂直的判定及其性质答案二.典型例题例2.例4.（2）900 例5. 450三.课堂检测1.B2.D3.B4.②④5.A6. AC BD ⊥五.课外作业1.C2.A3.C 6.(2) 7.(1) 2a = (2)M 为中点时 （3）4a ≥。

高三数学第一轮复习讲义（59）直线与平面垂直一．复习目标：1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。

二．知识要点：1．直线与平面垂直的判定定理是 ； 性质定理是 ；2．三垂线定理是 ； 三垂线定理的逆定理是 ； 3．证明直线和平面垂直的常用方法有：三．课前预习：1．若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是 （ D ） ()A ,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ ()B ,//a b b α⊥ ()C ,,a b A b a b α=⊂⊥ ()D //,a b b α⊥2．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m l ⊥，则//m α；②若m α⊥，则//m l ；③若m α⊂，则m l ⊥；④//m l ，则m α⊥。

上述判断正确的是（ B ）()A ①②③ ()B ②③④ ()C ①③④ ()D ②④3．在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，当底面四边形ABCD 满足条件AC BD ⊥ 时， 有111AC B D ⊥（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 4.设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题： ①若PA BC ⊥，PB AC ⊥，则H 是ABC ∆的垂心 ②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC ∆的垂心 ③若90ABC ∠=，H 是AC 的中点，则PA PB PC == ④若PA PB PC ==，则H 是ABC ∆的外心其中正确命题的命题是 ①②③④N MPCBAM DA 1C 1B 1CBA四．例题分析：例1．四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC的中点，且2EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG12//AC =12//FG BD =，又,A C B D =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C = ∴BD ⊥平面ACD例2．如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。

∵A1C1⊥BB1，A1O⊥BB1，A1C1∩A1O＝A1， ∴BB1⊥平面A1OC1， 又C1O⊂平面A1OC1，∴BB1⊥C1O. 由题可知A1B1＝A1C1＝B1C1＝2 2， 在△A1OB1中，A1O⊥OB1，∠A1B1B＝45°，A1B1＝2 2， ∴A1O＝B1O＝2.
在△B1OC1中，∵C1O⊥OB1，B1O＝2，B1C1＝2 2， ∴C1O＝2. ∴OC12＋OA12＝A1C12，∴OC1⊥OA1， ∵BB1⊥C1O，A1O⊥C1O，BB1∩A1O＝O，∴C1O⊥平面 ABB1A1， 又C1O⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ABB1A1. 【答案】 略
①证明：平面PBD⊥平面PBC； ②求点D到平面PBC的距离．
【解析】 ①证明：如图，因为PD⊥DC，AD⊥DC， 所以二面角P－DC－A的平面角为∠PDA＝90°，则PD⊥平面 ABCD， 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. 又在平面四边形ABCD中，BD＝ AB2＋AD2 ＝ 2 2， 过B作BE⊥CD，由题意得，E为CD中点，又D为PA中点， 所以PD＝AD＝CE＝DE＝2， 又DE＝AB， 所以BE＝AD＝2，BC＝ CE2＋BE2＝2 2，所以BC2＋BD2＝DC2， 即BD⊥BC，而PD∩BD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD， 故BC⊥平面PBD，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC.
又因为F为AC的中点， 所以OF∥CC1且OF＝12CC1. 因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝12CC1. 所以BE∥OF且BE＝OF.
所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE. 因为AB＝CB，F为AC的中点，所以BF⊥AC，所以 OE⊥AC. 因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BF，所以OE⊥AA1. 又AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A， 所以OE⊥平面ACC1A1. 因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.

2021高三文数第一轮复习导学案：直线、平面垂直的判定和性质直线、平面垂直的判定和性质导学目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．一、知识点回顾 1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必______于另一条． 2．线面垂直定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相______，其中直线l叫做平面的______，平面α叫做直线l的垂面，直线与平面的交点叫做垂足．直线l与平面α垂直记作l⊥α. （1）直线与平面垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言判一条直线与一个平面内定的都垂直，则定该直线与此平面垂直理推论：文字语言图形语言符号语言推如果在两条平行直线中，有一论条垂直于平面，那么另一条直线也这个平面（2）直线和平面垂直的性质：①直线垂直于平面，则垂直于平面内______直线．②垂直于同一个平面的两条直线______．③垂直于同一直线的两个平面________． 3、面面垂直（1）面面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判一个平面过另一个平面定的，则这两个平定理面垂直（2）面面垂直的性质文字语言图形语言符号语言性两个平面垂直，则一个平面质内垂直于的直定理线与另一个平面垂直 4、直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的________所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一直线垂直于平面，说它们所成角为________；直线l∥α或l?α，则它们成________角． 5、二面角的平面角以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．二、典型例题题型一：线面垂直的判定与性质例1：如图所示，在四棱锥P―ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.变式1：如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB，PC的中点，若∠PDA＝45°。

优质写作材料，仅供学习参考直线、平面垂直的判定与性质2014高考会这样考 1.考查垂直关系的命题的判定；2.考查线线、线面、面面垂直关系的判定和性质；3.考查平行和垂直的综合问题；4.考查空间想象能力，逻辑思维能力和转化思想．复习备考要这样做 1.熟记、理解线面垂直关系的判定与性质定理；2.解题中规范使用数学语言，严格证题过程；3.重视转化思想的应用，解题中要以寻找线线垂直作为突破．1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．[难点正本疑点清源]1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α. 2．两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．1．一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是__________．答案垂直解析由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行，再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面”得出结论．2. △ABC中，∠ABC＝90°，P A⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是________．答案 43．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________________________．答案可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个4．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是() A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α答案 C解析对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b. 5．(2011·辽宁)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正．．确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案 D解析易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，B 正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.思维启迪：第(1)问通过DC⊥平面P AC证明；也可通过AE⊥平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.探究提高破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．(2012·陕西)(1)如图所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．(1)证明方法一如图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)．因为a⊥b，所以a·b＝0.又因为a⊂π，n⊥π，所以a·n＝0.故a·c＝0，从而a⊥c.方法二如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.因为PO⊥π，a⊂π，所以直线PO⊥a.又a⊥b，b⊂平面P AO，PO∩b＝P，所以a⊥平面P AO.又c⊂平面P AO，所以a⊥c.(2)解逆命题为a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A 1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.思维启迪：(1)证明两个平面垂直，关键是在一个平面内找到另一个平面的一条直线；(2)两个平面垂直的性质是证明的突破点．证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.探究提高面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法．(2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.证明(1)如图，在△P AD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面P AD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面P AD.题型三 线面、面面垂直的综合应用例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积．思维启迪：(1)因为两平面垂直与M 点位置无关，所以在平面MBD 内一定有一条直线垂直于平面P AD ，考虑证明BD ⊥平面P AD . (2)四棱锥底面为一梯形，高为P 到面ABCD 的距离． (1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ， BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD . 又BD ⊂面BDM ， ∴面MBD ⊥面P AD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ， ∵面P AD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高． 又△P AD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.探究提高 当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直．如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD为正方形，E 为线段AD 1的中点，F 为线段BD 1的中点， (1)求证：EF ∥平面ABCD ； (2)设M 为线段C 1C 的中点，当D 1DAD的比值为多少时，DF ⊥平面D 1MB ？并说明理由．(1)证明 ∵E 为线段AD 1的中点，F 为线段BD 1的中点，∴EF ∥AB .∵EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD .(2)解 当D 1DAD ＝2时，DF ⊥平面D 1MB .∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD . ∵D 1D ⊥平面ABC ，∴D 1D ⊥AC . ∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥DF .∵F ，M 分别是BD 1，CC 1的中点，∴FM ∥AC .∴DF ⊥FM . ∵D 1D ＝2AD ，∴D 1D ＝BD .∴矩形D 1DBB 1为正方形． ∵F 为BD 1的中点，∴DF ⊥BD 1. ∵FM ∩BD 1＝F ，∴DF ⊥平面D 1MB . 题型四 线面角、二面角的求法例4 如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点． (1)求PB 和平面P AD 所成的角的大小； (2)证明AE ⊥平面PCD ；(3)求二面角A —PD —C 的正弦值．思维启迪：(1)先找出PB 和平面P AD 所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角． (1)解 在四棱锥P —ABCD 中， 因P A ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 故P A ⊥AB .又AB ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 从而AB ⊥平面P AD ，故PB 在平面P AD 内的射影为P A ， 从而∠APB 为PB 和平面P AD 所成的角． 在Rt △P AB 中，AB ＝P A ，故∠APB ＝45°. 所以PB 和平面P AD 所成的角的大小为45°. (2)证明 在四棱锥P —ABCD 中，因P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 故CD ⊥P A .由条件CD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面P AC .又AE ⊂平面P AC ，∴AE ⊥CD .由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .又PC ∩CD ＝C ，综上得AE ⊥平面PCD .(3)解 过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示． 由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， 则AM ⊥PD .因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角． 由已知，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得P A ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a .在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝P A ·AD ， 则AM ＝P A ·AD PD ＝a ·233a 213a ＝277a .在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AE AM ＝144.所以二面角A —PD —C 的正弦值为144. 探究提高 (1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 ( )A.23B.33C.23D.63答案 D解析 如图，连接BD 交AC 于O ，连接D 1O ，由于BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角．易知∠DD 1O 即为所求．设正方体的棱长为1， 则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62， ∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26＝63.∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63.解答过程要规范典例：(12分)如图所示，M ，N ，K 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB ，CD ，C 1D 1的中点． 求证：(1)AN ∥平面A 1MK ； (2)平面A 1B 1C ⊥平面A 1MK .审题视角 (1)要证线面平行，需证线线平行．(2)要证面面垂直， 需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直． 规范解答证明 (1)如图所示，连接NK . 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∵四边形AA 1D 1D ，DD 1C 1C 都为正方形，∴AA 1∥DD 1，AA 1＝DD 1，C 1D 1∥CD ，C 1D 1＝CD .[2分] ∵N ，K 分别为CD ，C 1D 1的中点， ∴DN ∥D 1K ，DN ＝D 1K ，∴四边形DD 1KN 为平行四边形．[3分] ∴KN ∥DD 1，KN ＝DD 1， ∴AA 1∥KN ，AA 1＝KN .∴四边形AA 1KN 为平行四边形．∴AN ∥A 1K .[4分] ∵A 1K ⊂平面A 1MK ，AN ⊄平面A 1MK ， ∴AN ∥平面A 1MK .[6分](2)如图所示，连接BC 1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， AB ∥C 1D 1，AB ＝C 1D 1.∵M ，K 分别为AB ，C 1D 1的中点，∴BM ∥C 1K ，BM ＝C 1K . ∴四边形BC 1KM 为平行四边形．∴MK ∥BC 1.[8分]在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ， BC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴A 1B 1⊥BC 1. ∵MK ∥BC 1，∴A 1B 1⊥MK .∵四边形BB 1C 1C 为正方形，∴BC 1⊥B 1C .[10分]∴MK ⊥B 1C .∵A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，B 1C ⊂平面A 1B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴MK ⊥平面A 1B 1C .又∵MK ⊂平面A 1MK ，∴平面A 1MK ⊥平面A 1B 1C .[12分]温馨提醒 (1)步骤规范是答题得满分的最后保证，包括使用定理的严谨性，书写过程的流畅性．(2)本题证明常犯错误：①定理应用不严谨．如：要证AN ∥平面A 1MK ，必须强调AN ⊄平面A 1MK .②解题过程不完整，缺少关键步骤，如第(1)问中，应先证四边形ANKA 1为平行四边形．第(2)问中，缺少必要的条件，使思维不严谨，过程不流畅．方法与技巧1． 证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. 2． 证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； (4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 3． 证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 4． 转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．失误与防范1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是() A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B解析若l⊥m，m⊂α，则l与α可能平行、相交或l⊂α；若l⊥α，l∥m，则m⊥α；若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行或异面；若l∥α，m∥α，则l与m可能平行、相交或异面，故只有B选项正确．2．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则() A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直答案 C解析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．3．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α答案 C解析设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.4．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于() A．A′C′B．BD C．A′D′D．AA′答案 B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.二、填空题(每小题5分，共15分)5. 如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：与PC垂直的直线有______________；与AP垂直的直线有________．答案AB，BC，AC AB解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，∴AB⊥平面P AC，∴AB⊥PC.与AP垂直的直线是AB.6. 如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF . ∴PB ⊥EF .故①②③正确．7． 已知平面α，β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m ⊥β.(填所选条件的序号) 答案 ②④解析 若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β. 三、解答题(共22分)8． (10分)如图所示，在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，A 1B 1＝A 1C 1，侧面BB 1C 1C ⊥底面A 1B 1C 1. (1)若D 是BC 的中点，求证：AD ⊥CC 1；(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM ＝MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .证明 (1)∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC . ∵底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1.(2)如图，延长B 1A 1与BM 的延长线交于点N ，连接C 1N . ∵AM ＝MA 1，∴MA 1綊12BB 1，∴NA 1＝A 1B 1. ∵A 1B 1＝A 1C 1， ∴A 1C 1＝A 1N ＝A 1B 1， ∴NC 1⊥C 1B 1.∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ， ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ， 即截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .9． (12分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是CD 、A 1D 1的中点．(1)求证：AB 1⊥BF ； (2)求证：AE ⊥BF ；(3)棱CC 1上是否存在点P ，使BF ⊥平面AEP ？若存在，确定点P 的位置，若不存在，说明理由．(1)证明 连接A 1B ，则AB 1⊥A 1B ， 又∵AB 1⊥A 1F ，且A 1B ∩A 1F ＝A 1，∴AB1⊥平面A1BF.又BF⊂平面A1BF，∴AB1⊥BF.(2)证明取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG＝∠DAE.∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G，∴AE⊥平面BFG.又BF⊂平面BFG，∴AE⊥BF.(3)解存在．取CC1中点P，即为所求．连接EP，AP，C1D，∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1.由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，∴BF⊥平面AEP.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．已知l，m是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l∥βB．若l∥α，α⊥β，则l∥βC．若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥αD．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m答案 D解析∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β.又∵m⊂β，∴l⊥m.2．(2012·浙江)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直答案 B解析找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于选项A ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F ， 在图(1)中，由边AB ，BC 不相等可知点E ，F 不重合． 在图(2)中，连接CE ，若直线AC 与直线BD 垂直， 又∵AC ∩AE ＝A ，∴BD ⊥面ACE ，∴BD ⊥CE ，与点E ，F 不重合相矛盾，故A 错误． 对于选项B ，若AB ⊥CD ， 又∵AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ， ∴AB ⊥面ADC ，∴AB ⊥AC ，由AB <BC 可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB 与直线CD 垂直，故B 正确．对于选项C ，若AD ⊥BC ，又∵DC ⊥BC ，AD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥面ADC ， ∴BC ⊥AC .已知BC ＝2，AB ＝1，BC >AB ， ∴不存在这样的直角三角形．∴C 错误． 由上可知D 错误，故选B.3． 已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A.34B.54C.74D.34答案 D解析 如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接SD ；作AG ⊥SD 于点G ，连接GB .∵SA ⊥底面ABC ，△ABC 为等边三角形， ∴BC ⊥SA ，BC ⊥AD . ∴BC ⊥平面SAD .又AG ⊂平面SAD ，∴AG ⊥BC . 又AG ⊥SD ，∴AG ⊥平面SBC .∴∠ABG 即为直线AB 与平面SBC 所成的角． ∵AB ＝2，SA ＝3，∴AD ＝3，SD ＝2 3. 在Rt △SAD 中，AG ＝SA ·AD SD ＝32，∴sin ∠ABG ＝AG AB ＝322＝34.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知P 为△ABC 所在平面外一点，且P A 、PB 、PC 两两垂直，则下列命题：①P A ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC . 其中正确的个数是________． 答案 3解析 如图所示．∵P A ⊥PC 、P A ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ， ∴P A ⊥平面PBC . 又∵BC ⊂平面PBC ， ∴P A ⊥BC .同理PB ⊥AC 、PC ⊥AB .但AB 不一定垂直于BC . 5． 在正四棱锥P —ABCD 中，P A ＝32AB ，M 是BC 的中点，G 是△P AD 的重心，则在平面P AD 中经过G 点且与直线PM 垂直的直线有________条． 答案 无数解析 设正四棱锥的底面边长为a ，(如图)则侧棱长为32a . 由PM ⊥BC ， ∴PM ＝⎝⎛⎭⎫32a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝22a . 连接PG 并延长与AD 相交于N 点，则PN ＝22a ，MN ＝AB ＝a ， ∴PM 2＋PN 2＝MN 2，∴PM ⊥PN ，又PM ⊥AD ，PN ∩AD ＝N ，∴PM ⊥面P AD ，∴在平面P AD 中经过G 点的任意一条直线都与PM 垂直．6． 已知a 、b 、l 表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥γ；②若a 、b 相交，且都在α、β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α； ④若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，l ⊄α，则l ⊥α. 其中正确命题的序号是________． 答案 ②③解析①在正方体A1B1C1D1—ABCD中，可令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l⊥α，④错误．三、解答题7．(13分)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.证明(1)因为∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝1，所以△A1AC为等边三角形．所以A1C＝1.因为BC＝1，A1B＝2，所以A1C2＋BC2＝A1B2.所以∠A1CB＝90°，即A1C⊥BC.因为BC⊥A1A，BC⊥A1C，AA1∩A1C＝A1，所以BC⊥平面ACC1A1.因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.(2)连接AC1交A1C于点O，连接OD.因为ACC1A1为平行四边形，所以O为AC1的中点．因为D为AB的中点，所以OD∥BC1.因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习)。

第五节直线、平面垂直的判定及性质垂直的判定与性质(1)掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理．(2)掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．知识点一直线与平面垂直1．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图1所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的性质定理自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．图形语言：如图2所示．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.易误提醒斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段．必记结论(1)直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.(2)若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．[自测练习]1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，且l⊥b”是“l⊥α”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由线面垂直的判定定理知，充分性不成立，由线面垂直的性质定理知，必要性成立，故选C.答案：C2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交解析：由a⊥b，a⊥α知b⊂α或b∥α，但直线b不与α相交．答案：C知识点二平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定(1)两个平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β.(2)两个平面垂直的判定定理自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．图形语言：如图1所示．符号语言：AB⊥β，AB⊂α⇒α⊥β.图12．平面与平面垂直的性质自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．图形语言：如图2所示．图2符号语言：α⊥β，α∩β＝CD，AB⊂α，AB⊥CD⇒AB⊥β.易误提醒平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l⊂α，l⊥β，缺一不可．必记结论(1)两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的；(2)由定理可知，要证明平面与平面垂线，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直；(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．[自测练习]3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ解析：利用相关定理逐个判断．A中m与α的位置关系不确定，故错误；B中α，β可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知C正确；D中β，γ平行或相交，故错误，选C.答案：C4．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有________对．解析：因为AD⊥AB，AD⊥P A且P A∩AB＝A，可得AD⊥平面P AB.同理可得BC⊥平面P AB、AB⊥平面P AD、CD⊥平面P AD，由面面垂直的判定定理可得，平面P AD⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面PCD⊥平面P AD，平面P AB⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面ABCD，共有5对．答案：5考点一直线与平面垂直的判定与性质|1．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是()A．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB．若l⊥m，m⊥n，则m∥nC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若l⊥α，l∥a，则a⊥α解析：易知选项A不正确；选项B，从m⊥n就可以看出结论是错误的；选项C中，若b⊂α，则C不正确；选项D是正确的．答案：D2．(2016·丽水一模)在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是()A．AB⊥BC且AB⊥BDB．AD⊥BC且AC⊥BDC．AC＝AD且BC＝BDD．AC⊥BC且AD⊥BD解析：A.∵AB ⊥BD ，AB ⊥BC ，BD ∩BC ＝B ，∴AB ⊥平面BCD ，∵CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .B.设A 在平面BCD 内的射影为O ，则AO ⊥平面BCD ，∵AD ⊥BC ，AC ⊥BD ，∴O 为△BCD 的垂心，连接BO ，则BO ⊥CD ，又AO ⊥CD ，AO ∩BO ＝O ，∴CD ⊥平面ABO ，∵AB ⊂平面ABO ，∴AB ⊥CD .C.取CD 中点G ，连接BG ，AG .∵AC ＝AD 且BC ＝BD ，∴CD ⊥BG ，CD ⊥AG ， ∵BG ∩AG ＝G ，∴CD ⊥平面ABG ，∵AB ⊂平面ABG ，∴AB ⊥CD ，故选D. 答案：D3．(2015·高考重庆卷)如图，三棱锥P -ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P -DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．解：(1)证明：由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面P AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE . (2)设BC ＝x ，则在Rt △ABC 中， AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2， 从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC＝⎝⎛⎭⎫232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，得S △AFD ＝12S △AFE ＝12·49S △ABC ＝29S △ABC ＝19x 36－x 2，从而四边形DFBC 的面积为S DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x36－x2.由(1)知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P-DFBC的高．在Rt△PEC中，PE＝PC2－EC2＝42－22＝2 3.V P-DFBC＝13·S DFBC·PE＝13·718x36－x2·23＝7，故得x4－36x2＋243＝0，解得x2＝9或x2＝27，由于x>0，可得x＝3或x＝3 3.所以，BC＝3或BC＝3 3.证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理．(2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．考点二平面与平面垂直的判定与性质|(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．[解](1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED. 又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝3 2x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝2 2x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积V E-ACD＝13×12AC×GD×BE＝624x3＝63.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3＋2 5.证明面面垂直的主要方法①利用判定定理．在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边，勾股定理的逆定理等．②用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．(2015·佛山一中期中考试)如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，∠BCA＝90°，AP ＝AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE.(1)求证：DE⊥平面P AC；(2)当二面角A-DE-P为直二面角时，求A-BCED与P-AED的体积比．解：(1)证明：∵BC∥平面ADE，BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面ADE＝DE，∴BC ∥ED，∵P A⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴P A⊥BC，又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，∵P A与AC是平面P AC内的两条相交直线，∴BC⊥平面P AC，又BC∥ED，∴DE⊥平面P AC.(2)由(1)知，DE⊥平面P AC，∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，∴∠AEP＝90°，即AE⊥PC，∵AP＝AC，∴E是PC的中点，∴ED 是△PBC的中位线，DE⊥AC，又PC∩DE＝E，∴AE⊥平面PCD，∴V A-BCEDV A-PDE＝13S四边形BCED·AE13S△PED·AE＝S四边形BCEDS△PED＝3.考点三平行与垂直的综合问题|空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点，归纳起来常见的命题探究角度有：1．以多面体为载体考查平行与垂直的证明．2．探索性问题中的平行与垂直问题．3．折叠问题中的平行垂直问题．探究一平行与垂直关系的证明1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1. 而AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1. 因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点， 则易知MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1. 同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ， 所以直线AC 1⊥平面PQMN .探究二 探索性问题中的平行与垂直问题2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1＝2，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点．(1)求线段MN 的长； (2)求证：MN ∥平面ABB 1A 1；(3)线段CC 1上是否存在点Q ，使A 1B ⊥平面MNQ ？说明理由． 解：(1)连接CN .因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC ， 所以AC ⊥CC 1. 因为AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1.因为MC ＝1，CN ＝CC 21＋C 1N 2＝5，所以MN ＝ 6.(2)证明：取AB 中点D ，连接DM ，DB 1.在△ABC 中，因为M 为AC 中点，所以DM ∥BC ，DM ＝12BC .在矩形B 1BCC 1中，因为N 为B 1C 1中点，所以B 1N ∥BC ，B 1N ＝12BC .所以DM ∥B 1N ，DM ＝B 1N .所以四边形MDB 1N 为平行四边形，所以MN ∥DB 1. 因为MN ⊄平面ABB 1A 1，DB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以MN ∥平面ABB 1A 1.(3)线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ . 证明如下：连接BC 1.在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1.又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥QN ，从而NQ ⊥平面A 1BC 1. 所以A 1B ⊥QN .同理可得A 1B ⊥MQ ，所以A 1B ⊥平面MNQ .故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ.探究三折叠问题中的平行与垂直关系3．(2015·高考四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含量的垂直关系．7.平行与垂直综合问题的答题模板【典例】(12分)(2015·高考山东卷)如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[思维点拨](1)法一：证明四边形DFCG为平行四边形，结合H为BC的中点可得HM ∥BD，进而得BD∥平面FGH；法二：利用四边形HBEF为平行四边形，证明平面ABED ∥平面FGH，进而得BD∥平面FGH.(2)先证明CB⊥平面ECH，进而得平面BCD⊥平面EGH.[规范解答](1)证明：法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF-ABC 中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，(3分)则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD.又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，(4分)所以BD∥平面FGH.(5分)法二：在三棱台DEF-ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.(2分)在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点．所以GH∥AB.(3分)又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.(4分)淘宝店铺：漫兮教育因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(5分)(2)连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB，由AB⊥BC，得GH⊥BC.(7分)又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形(9分)所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.(11分)又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.(12分)[模板形成]由图形特征分析平行条件↓创设线面平行的条件↓利用判定定理或面面平行证明线面平行↓分析条件中平行与垂直的关系↓选定并证明线面垂直↓利用面面垂直的判定证明面面垂直A组考点能力演练1．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β，其中正确的命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：①中，α∥β，且m⊥α，则m⊥β，因为l⊂β，所以m⊥l，所以①正确；②中，α⊥β，且m⊥α，则m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，可能相交，所以②不正确；③中，m⊥l，且m⊥α，l⊂β，则α与β可能平行，可能相交，所以③不正确；④中，m∥l，且m⊥α，则l⊥α，因为l⊂β，所以α⊥β，所以④正确，故选B.答案：B2．设α，β，γ为不同的平面，m、n、l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为() A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：对于A，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；对于B，α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m 与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D.答案：D3.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE ＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.答案：C4.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：A中，△A1BD为等边三角形，∴其四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，故选D.答案：D5.如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC 上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.答案：A6．四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P-ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．解析：由题意可得P A ⊥BC ，P A ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥P A ，BD ⊥PC ，AD ⊥PB ，即互相垂直的异面直线共有6对．答案：67．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥BD . 又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ， ∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ， ∴平面MBD ⊥平面PCD . 答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)8．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝5，BC ＝4，AC ＝3，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点．给出下列四个命题：①若P A ⊥平面ABC ，则三棱锥P -ABC 的四个面都是直角三角形； ②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有P A ＝PB ＝PC ； ③若PC ＝5，PC ⊥平面ABC ，则△PCM 面积的最小值为152；④若PC ＝5，P 在平面ABC 上的射影是△ABC 内切圆的圆心，则点P 到平面ABC 的距离为23.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)解：由题意知AC ⊥BC ，对于①，若P A ⊥平面ABC ，则P A ⊥BC ，又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，因此该三棱锥P -ABC 的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得M 为△ABC 的外心，所以MA ＝MB ＝MC .∵PM ⊥平面ABC ，则PM ⊥MA ，PM ⊥MB ，PM ⊥MC ，由三角形全等可知P A ＝PB ＝PC ，故②正确；对于③，要使△PCM 的面积最小，只需CM 最短，在Rt △ABC 中，(CM )min ＝125，∴(S △PCM )min ＝12×125×5＝6，故③错误；对于④，设P 点在平面ABC 内的射影为O ，且O 为△ABC 的内心，由平面几何知识得△ABC 的内切圆半径r ＝1，且OC ＝2，在Rt △POC 中，PO ＝PC 2－OC 2＝23，∴点P 到平面ABC 的距离为23，故④正确．答案：①②④9．(2016·扬州中学模拟)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC ∩EF ＝O .沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接P A ，PB ，PD ，得到如图2的五棱锥P -ABFED ，且PB ＝10.(1)求证：BD ⊥平面POA ； (2)求四棱锥P -BFED 的体积．解：(1)证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点， ∴BD ∥EF .∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ， ∴EF ⊥AC ，∴翻折后EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO ＝O ， ∴EF ⊥平面POA ， ∴BD ⊥平面POA .(2)设AO ∩BD ＝H ，连接BO ，∵ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3， 在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7， 在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2， ∴PO ⊥BO ，∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED ，又梯形BFED 的面积为S ＝12(EF ＋BD )·HO ＝33，∴四棱锥P -BFED 的体积V ＝13S ·PO ＝13×33×3＝3.10.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面P AC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积．解：(1)证明：∵AB∥CD，CD⊂平面PDC，AB⊄平面PDC，∴AB∥平面PDC.(2)证明：在直角梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠EBC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝2，在Rt△ACE中，AC＝AE2＋CE2＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.又P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥P A，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.(3)∵M是PC的中点，∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC的距离的一半．∴V M-ACD＝13S△ACD×⎝⎛⎭⎫12P A＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×12＝112.B组高考题型专练1．(2015·高考安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m，n不平行．．．，则m与n不可能．．．垂直于同一个平面解析：A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．答案：D2．(2014·高考广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC ＝PC＝2.按图(2)折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M -CDE的体积．解：(1)证明：PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD，又CF⊥MF，MD，MF⊂平面MDF，MD∩MF＝M，∴CF⊥平面MDF.(2)∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，又易知∠PCD＝60°，∴∠CDF＝30°，从而CF＝12CD ＝12，∵EF∥DC，∴DEDP＝CFCP，即DE3＝122，∴DE＝3，∴PE＝33，S CDE＝1CD·DE＝3，MD＝ME2－DE2＝PE2－DE2＝⎝⎛⎭⎫3342－⎝⎛⎭⎫342＝62，∴V M -CDE＝13S△CDE·MD＝13·38·62＝216.3．(2015·高考陕西卷)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC ＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值． 解：(1)证明：在图1中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在图2中，BE⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ， 即A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高． 由图1知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1-BCDE 的体积为V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3，由26a 3＝362，得a ＝6.4.(2015·高考广东卷)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．解：(1)证明：∵长方形ABCD 中，BC ∥AD ， 又BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ， ∴BC ∥平面PDA .(2)证明：取CD 的中点H ，连接PH ， ∵PD ＝PC ，∴PH ⊥CD .又∵平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，∴PH ⊥平面ABCD . 又∵BC ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥BC . 又∵长方形ABCD 中，BC ⊥CD ， PH ∩CD ＝H ，∴BC ⊥平面PDC . 又∵PD ⊂平面PDC ，∴BC ⊥PD . (3)连接AC .由(2)知PH 为三棱锥P -ADC 的高．淘宝店铺：漫兮教育∵PH ＝PD 2－⎝⎛⎭⎫12CD 2＝42－32＝7， S △ADC ＝12·AD ·CD ＝12×3×6＝9，∴V P -ADC ＝13·S △ADC ·PH ＝13×9×7＝37. 由(2)知BC ⊥PD ， 又∵AD ∥BC ， ∴AD ⊥PD ，∴S △PDA ＝12·PD ·AD ＝12×4×3＝6.设点C 到平面PDA 的距离为h . ∵V C -PDA ＝V P -ADC ， ∴13·S △PDA ·h ＝37， ∴h ＝37＝37×6＝372.。

2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标1．了解、感受直线和平面垂直的概念，体会探究判定直线和平面垂直的方法，掌握线面垂直的判定定理并能进行简单运用；2．加深对转化思想的认识，进一步熟练将空间问题化为平面问题加以解决的基本方法；3．正确理解直线和平面所成角的概念，掌握求线面角的基本方法；课前预习学案一、预习目标：借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；二、预习内容：问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么直线与直线垂直是的定义_______________________________________ 思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？(3) 如何判定一条直线直线和平面垂直呢？课内探究学案学习过程1、探究判定定理学生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌面接触）问题1：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？问题2：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？问题3：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？直线与平面垂直的判定定理（文字，图形和符号三种形式）问题4：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?2、直线与平面垂直判定定理的应用如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．练习：如图７，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB思考：(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？自我检测：1．若三条直线OA OB OC ，，两两垂直，则直线OA 垂直于 （ ） A ．平面 OABB ．平面 OACC ．平面 OBCD ．平面ABC2．在正方形123SG G G 中，E F 、分别是1223G G G G 、的中点，现沿S S E F 、、EF 把这个正方形折成一个四面体，使123G G G 、、重合于点G ，则有 （ ）A ．SG ⊥平面 EFGB ．EG ⊥平面SEFC ．GF ⊥平面SEFD ．SG ⊥平面SEF3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为 （ ）A ． 90°B ． 60°C ． 45°D ． 30°4．若平面内的一条直线与该平面的一条斜线垂直，那么它与这条斜线在平面内的射影 ；若平面内的一条直线与该平面的一条斜线的射影垂直，那么它与这条斜线的位置关系是 ．5．在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =，求证：AC VB ⊥G 3G 2G 1F ESVDABC6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， （1）求证：111B D A C ⊥， （2）111B D A C B ⊥平面；D 1C 1B 1A 1DCBA。

优质资料---欢迎下载课题鲁班是我国古代一位出色的发明家，他在做木匠活时，常常遇到有关直角的问题．虽然他手头有画直角的矩，但用起来很费事．于是，鲁班对矩进行改进，做成一把叫做曲尺的“L”形木尺．现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如右图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．问题1：用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？问题2：上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？问题3：若直线垂直于平面内的无数条直线，直线与平面垂直吗？2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：练一练：下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2 D．3例1、如图，已知a//b,a⊥∂,求证：b⊥∂.例2：如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：（1）A1 C1⊥平面AA1B1B（2）AD⊥平面A1DC1.如图，直角三角形ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．四拓展延伸(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.五梳理提升用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．课后作业直线与平面垂直的判定作业1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是() A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定2.已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．3、课本67页练习14如图，已知P A⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平面PBC.。

平面与直线垂直判定一、学习目标:（1）借助对图片、实例的观察，复习巩固直线与平面垂直的位置关系和定义；（2）能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直；（3）掌握直线和平面垂直的判定定理和简单应用。

二、学习重点直线与平面垂直的定义和判定定理以及简单应用。

三、教学难点直线与平面垂直判定定理的探究和推论的证明。

四、课前预习(一)知识梳理：1.复习：如果两条直线 _______或平移后 _______，并且交角为直角，则称两条直线 ________。

空间中，过线段AB中点与AB垂直的直线有 _______条。

如果一条直线和一个平面相交于点O,并且和这个平面内过交点O的任何直线都 _______，就说这条直线和这个平面互相垂直。

2.反思：⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？3.探究：直线与平面垂直的判定定理问题：如图，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直呢？结论：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在的直线与.如图所示.反思：⑴折痕AD与桌面上的一条直线垂直时，能判断AD垂直于桌面吗?⑵如图，当折痕AD ⊥BC时，翻折后AD⊥α,即AD ⊥CD，AD ⊥BD.由此你能得出什么结论?4.新知：直线和平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

5.问题思考1、一条直线与一个平面垂直的意义是什么？2、在日常生活中，你见过哪些可以抽象成直线与平面垂直的位置关系（的形象）？请举例说明。

3、怎样去判定一条直线与一个平面垂直？有几种方法，分别是什么，它们有什么联系和区别呢？4、如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？5、如果直线l与平面α内的一条直线或两条直线垂直，能保证l ⊥α吗？6、如果一条直线与平面内的两条平行直线都垂直，那么该直线与此平面垂直吗？7、和直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?8、直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？二、基础练习1.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB.若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC.若m⊥β，m∥α，则α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：①三角形的两条边；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边；不能保证该直线与平面垂直的是( )A.①③B.②C.②④D.①②④3.设P是△ABC所在平面外一点,P到△ABC各顶点的距离相等,而且P到△ABC各边的距离也相等,那么△ABC( )A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形C.是等边三角形D.不是A、B、C所述的三角形4.若两直线a与b异面,则过a且与b垂直的平面( )A.有且只有—个B.可能存在也可能不存在C.有无数多个D.—定不存在5.在空间,下列哪些命题是正确的( )①平行于同一条直线的两条直线互相平行,②垂直于同一条直线的两条直线互相平行,③平行于同一个平面的两条直线互相平行,④垂直于同—个平面的两条直线互相平行,A.仅②不正确B.仅①、④正确C.仅①正确D.四个命题都正确6.若平面α的斜线l在α上的射影为l′,直线b∥α,且b⊥l′,则b与l( )A.必相交B.必为异面直线C.垂直D.无法确定7.在下列四个命题中,假命题为( )A.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直B.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内D.条直线确定的平面8.下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线;②若一条直线垂直于平面的斜线,则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影;③若平面的两条斜线段相等,则它们在同一平面内的射影也相等;④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面,则它的射影长一定小于线段的长,其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4三.点拨讲解例1：如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB思考：(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；（请学生判定后，追问：EF与VB的位置关系如何？）(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？四.训练内化1.设αa、b表示直线，给出下列四个说法①a∥αa⊥b⇒b∥α②a∥b a⊥α⇒b⊥α③a⊥αa⊥b ⇒b⊂α④a⊥b b⊂α⇒a⊥α其中正确说法的序号是( )A.①②B.①④C.②D.②④2.直线a与直线b垂直,直线b⊥平面α,则直线a与平面α的位置关系是( )A.a⊥αB.a∥αC.a⊂αD.a⊂α或a∥α3.已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面,若PC⊥BD,平行四边形ABCD一定是________.4.三棱锥的四个面中,最多有________个直角三角形.5.判断题：（1）垂直于同一个平面的两条直线平行。

高一数学必修二NO:26 2.3.1 《直线与平面垂直的判定》导学案【学习目标】 1、通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义；2、归纳线面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题；3、通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。

【重点难点】 重点：1、直线与平面垂直的定义.2、通过直观感知，操作确认，概括并证明直线和平面垂直的判定定理难点：1、归纳线面垂直的判定定理；2、并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题一、旧知重现1、直线与平面的位置关系：直线在平面外(直线与平面相交、直线与平面平行)、直线在平面内。

2、直线与平面平行的判定定理：平面_____一条直线与此平面______的一条直线______，则该直线与此平面平行。

可以用符号表示为：“_____________________________________________________”。

简记为“________________________________”.3、平面与平面平行的判定定理：一个平面内的_____条_________直线分别________于另一个平面，则这两个平面平行。

可以用符号表示为：“___________________________________________________”。

简记为“________________________________”. 二、新知探究1、思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？2、直线与平面垂直的定义：______________________________________________________ _______________________________________________________________________________3、思考：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触），进行观察并思考：折痕AD 与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？4、直线与平面垂直的判定定理：______________________________________________________ _____________________________________________________符号表示：____________________________________________________ 简记为：____________________________________________________ 图形表示：三.典型例题例1、已知：,//,b a a α⊥ 求证：α⊥b 。

第一章线面垂直学案
学习目标：
1、线面垂直的判定定理；
2、线面平行的性质定理；
3、定理的应用。
学习的重点与关键：
1、定理应用。
课前预习要求及内容：
1、命题：“如果两条直线垂直，那么两条直线一定相交”是否正确？
线线垂直分垂直和垂直。
2、线面垂直的定义：
这条直线叫做，这个平面叫做，交点叫做。垂线上任意一点到垂足间的线段叫做，它的长度叫做。
3、如果一条直线垂直于一个平面，那么
。
画直线和平面垂直时应。
4、线面垂直判定定理：
思考：若将判定定理中的条件“两条相交直线”改为“两条平行直线”，定理是Fra bibliotek成立？画图验证。
推论1：
5、线面垂直的性质定理：
思考：垂直于同一直线的两个平面是否垂直？如何定义两个平行平面的距离？
例一：教材例二，用符号语言写出证明过程。
例二：直线 平面 ，垂足为A，直线AP 。求证：AP在 内。
例三：空间四边形ABCD中，AB=AC，DB=DC。求证：BC⊥AD。
学习方法指导：
课后作业：
学生作业后的反思与体会：

9．3线面垂直、三垂线定理一、明确复习目标1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，能用文字、符号、图形规范表述.2．掌握三垂线定理及其逆定理3．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化提高化归转化能力.4．会求斜线与平面所成的角.二．建构知识网络1．直线和平面垂直定义：一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直.记作：a⊥α2．直线与平面垂直的判定方法：（1）判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则则线垂直；（2）依定义，一般要用反证法；（3）和直线的垂面平行的平面垂直于直线；（4）面面垂直的性质.3．直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行.4．点到平面的距离、直线和平面的距离以及面面距离的求法：找出垂线段，在一个平面内求，或用等积法、向量法求，5．斜线、射影、直线和平面所成的角：定义——性质：从平面外一点向平面所引的垂线段和斜线段中（1）垂线段最短；（2）斜线段相等<=>射影相等；(3)斜线段较长（短）<=>射影较长（短）.6．三垂线定理：平面内的直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：平面内的直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直用途：判定线线垂直=>线面垂直，二面角的平面角.三、双双基题目练练手1.已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A.a⊥c,a⊥b，其中b⊂α,c⊂αB.a⊥b,b∥αC.α⊥β，a∥βD.a∥b,b⊥α2.如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l；③若m∥α,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥α,上述判断正确的是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.②④3.直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC组成的图形只能是（）A.一条线段B.一个锐角三角形C.一个钝角三角形D.一条线段或一个钝角三角形4.已知P为Rt△ABC所在平面外一点，且P A=PB=PC，D为斜边AB的中点，则直线PD与平面ABC. （）A．垂直B.斜交C.成600角D.与两直角边长有关5．直线a,b,c是两两互相垂直的异面直线，直线d是b和c的公垂线，则d和a的位置关系是______________.6．（2006浙江）正四面体ABCD的棱长为l，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是______.◆答案提示：1-3.DBDA; 5. a∥d;6. 1]2.CD⊥平面α时射影面积最小42；CD//α时射影面积最大21.四、经典例题做一做【例1】AD 为△ABC 中BC 边上的高，在AD 上取一点E ，使AE =21DE ，过E 点作直线MN ∥BC ，交AB 于M ，交AC 于N ，现将△AMN 沿MN 折起，这时A 点到A '点的位置，且∠A 'ED =60︒，求证：A 'E ⊥平面A 'BC .【例2】如图，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ⊥平面ABC ，∠ABC =90°，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，求证：（1）BC ⊥平面P AB ；（2）AE ⊥平面PBC ；（3）PC ⊥平面AEF证明：（1）P A ⊥平面ABC ⇒ P A ⊥BC AB ⊥BCP A ∩AB =A （2）AE ⊂平面P AB ， 由（1）知AE ⊥BC AE ⊥PBABCDMNA 'E⇒BC ⊥平面P AB .⇒AE ⊥平面PBC .BPB ∩BC =B （3）PC ⊂平面PBC ， 由（2）知PC ⊥AE PC ⊥AFAE ∩AF =A【例3】如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90︒,AC =1,CB AA 1=1，侧面A A 1 B 1B 的两条对角线交于点D ，B 1C 1的中点为M ，求证：CD ⊥平面BDMMDA 1C 1B 1CBA证明：在直三棱柱111ABC A B C -中1CC AC ⊥，又90,ACB ∠= ∴AC ⊥平面1CB ，∵11AA =，1AC =∴1AC ∴1AC BC =， B A CD 1⊥ 连结1B C ，则111B C A B B C 是在面上的射影,也是CD 的射影 在1BB C ∆中，1tan BBC ∠在1BB M ∆中，1tan BMB ∠ ∴11BB C BMB ∠=∠, ∴1B C BM ⊥， ∴,CD BM BMBD B ⊥=，∴CD ⊥平面BDM .⇒PC ⊥平面AEF .◆总结提练： 证线面垂直, 要注意线线垂直与线面垂直关系与它之间的相互转化 证线线垂直常用余弦定理、勾股定理逆定理,三垂线定理或通过线面垂直.【例4】（2006浙江）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点. （Ⅰ）求证：PB DM ⊥；（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角.解：（I ）∵N 是PB 的中点，PA PB =，∴AN PB ⊥. ∵AD ⊥平面PAB ，∴AD PB ⊥，从而PB ⊥平面ADMN . ∵DM ⊂平面ADMN ，∴PB DM ⊥.（II ）取AD 的中点G ，连结BG 、NG ，则//BG CD ， ∴BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与面ADMN 所成的角相等. ∵PB ⊥平面ADMN ，∴NG 是BG 在面ADMN 内的射影,BGN ∠是BG 与平面ADMN 所成的角.在Rt BGN ∆中，sin BNBNG BG∠=故CD 与平面ADMN 所成的角是.五．提炼总结以为师PNB CMDA1.熟练掌握线面垂直的判定定理及性质定理.2.证明线面垂直的常用方法：（1）用判定定理；（2）与直线的垂面平行（3）用面面垂直的性质定理；（4）同一法.（5）用活三垂线定理证线线垂直.3．线面角的求法：作出射影转化为平面内的角.同步练习9.3线面垂直、三垂线定理【选择题】1.若两直线a⊥b，且a⊥平面α，则b与α的位置关系是（）A、相交B、b∥αC、b∥α，或b⊂αD、b⊂α2.下列命题中正确的是（）A.过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B.过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C.过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D.过平面的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个3.给出下列命题：①若平面α的两条斜线段P A、PB在α内的射影长相等，那么P A、PB的长度相等；②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β．上述命题中不正确的是 （ ） A .①②③④ B .①②③ C .①③④ D .②③④4.P A 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A 、B 的任一点，则下列关系不正确的是 （ ）A P A ⊥BCB BC ⊥平面P AC C AC ⊥PBD PC ⊥BC【填空题】5.△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且它们在α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为______6. 在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）◆答案提示： 1-4 CDAC ； 5.3cm ; 6. AC ⊥BD 或四边形ABCD 菱形等; 【解答题】7．如图ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，DP AD 是等腰三角形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ⊥平面PCD 证略8．（2006福建）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD ====AB AD =（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离. AC DMNP解法一：（I ）证明:证∠AOB =900.（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角.在OME ∆中，111,222EM AB OE DC ==== OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos OEM ∴∠=AB 与CD所成角的大小为arccos 4（III ）等积法得1.CDE ACD AO S h S ∆∆∴== 即为所求.ABMDEOC9.正方形ABCD 中，AB =2，E 是AB 边的中点，F 是BC 边上一点，将△AED 及△DCF 折起（如下图），使A 、C 点重合于A ′点.（1）证明：A ′D ⊥EF ；（2）当F 为BC 的中点时，求A ′D 与平面DEF 所成的角； （3）当BF =41BC 时，求三棱锥A ′—EFD 的体积.F（1）证明：略（2）解：取EF 的中点G ，连结A ′G 、DG ………… 平面DEF ⊥平面A ′DG .作A ′H ⊥DG 于H ，得A ′H ⊥平面DEF ， ∴∠A ′DG 为A ′D 与平面DEF 所成的角. 在Rt △A ′DG 中，A ′G =22，A ′D =2， ∴∠A ′DG =arctan 42.(3)解：∵A ′D ⊥平面A ′EF ， ∴A ′D 是三棱锥D —A ′EF 的高. 又由BE =1，BF =21推出EF =25，可得S EF A '∆=45，V A ′－EFD =V D －A ′EF =31·S EF A '∆·A ′D=31·4510． 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB =CC 1=a ，BC =b . （1）设E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ； （2）求证：A 1C 1⊥AB ；（3）求点B 1到平面ABC 1的距离.A C 11（1）证明：∵E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点， ∴EF ∥A 1C 1.∵A 1C 1∥AC ，∴EF ∥AC . ∴EF ∥平面ABC . （2）证明：∵AB =CC 1， ∴AB =BB 1.又三棱柱为直三棱柱，∴四边形ABB 1A 1为正方形.连结A 1B ，则A 1B ⊥AB 1. 又∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1. ∴AB 1⊥A 1C 1. 又A 1C 1⊥AA 1，∴A 1C 1⊥平面A 1ABB 1. ∴A 1C 1⊥AB . （3）解：∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1∥平面ABC 1.∴A 1到平面ABC 1的距离等于B 1到平面ABC 1的距离.过A 1作A 1G ⊥AC 1于点G ， ∵AB ⊥平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1G .从而A 1G ⊥平面ABC 1，故A 1G 即为所求的距离，即A 1G =ab 评述：本题（3）也可用等体积变换法求解. 【探索题】（2004年春季上海）如下图，点P 为斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .（1）求证：CC 1⊥MN ；（2）在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2－2DF ·EFcos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.B（1）证明：∵CC 1∥BB 1⇒CC 1⊥PM ，CC 1⊥PN ，∴CC 1⊥平面PMN ⇒CC 1⊥MN .（2）解：S 211ABB A 四边形=S 211B BCC 四边形+S 211A ACC 四边形 －2S 11B BCC 四边形·S 11A ACC 四边形cos α，其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角.∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角为∠MNP .在△PMN 中,PM 2=PN 2+MN 2－2PN ．MNcos ∠MNP ⇒PM 2CC 12=PN 2CC 12+MN 2CC 12－2（PN ·CC 1）·（MN ·CC 1）cos ∠MNP .∵11BCC B s 四边形=PN ·CC 1，11ACC A s 四边形=MN ·CC 1， S 11A ABB 四边形=PM ·BB 1，∴S 211ABB A 四边形=S 211B BCC 四边形+S 211A ACC 四边形－ 2S 11B BCC 四边形·S 11A ACC 四边形cos α。

第5讲直线、平面垂直的判定与性质一、知识梳理1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α3.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)线面角θ的X 围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角； ③当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角． 常用结论1．与线面垂直相关的两个常用结论：(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直． (2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直． 2．三种垂直关系的转化：线线垂直判定定理性质定理线面垂直判定定理性质定理面面垂直二、习题改编1．(必修2P72探究改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n解析：选C.由题意知，α∩β＝l ，所以l ⊂β，因为n ⊥β，所以n ⊥l . 2．(必修2P67练习T2改编)在三棱锥P ­ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O . (1)若PA ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的心；(2)若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则点O 是△ABC 的心．解析：(1)如图，连接OA ，OB ，OC ，OP ，在Rt △POA ，Rt △POB 和Rt △POC 中，PA ＝PB ＝PC ，所以OA ＝OB ＝OC ，即O 为△ABC 的外心．(2)如图，延长AO ，BO ，CO 分别交BC ，AC ，AB 于点H ，D ，G .因为PC ⊥PA ，PB ⊥PC ，PA ∩PB ＝P ，所以PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB，因为AB⊥PO，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．答案：(1)外(2)垂一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.( )(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.( )(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区(1)证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件；(2)面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直．1．(2020·某某江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．m⊥n且n∥βC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β解析：选C.由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．2．(2020·某某某某第一次(3月)双基测试)已知直线l和平面α，β，且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由面面垂直的判定定理可得，若l⊂α，l⊥β，则α⊥β，充分性成立；若l⊥β，α⊥β，则l⊂α或l∥α，必要性不成立，所以若l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A.线面垂直的判定与性质(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅱ节选)如图，在三棱锥P ­ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．证明：PO ⊥平面ABC .(2)(2020·某某市七校联合考试)如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的所有棱长都是2，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点．求证：AE ⊥平面A 1BD .【证明】 (1)因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，PO ⊥OB . 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC .(2)因为AB ＝BC ＝CA ，D 是AC 的中点，所以BD ⊥AC ，因为直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，所以平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ， 所以BD ⊥平面AA 1C 1C ，所以BD ⊥AE .又在正方形AA 1C 1C 中，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点， 所以A 1D ⊥AE .又A 1D ∩BD ＝D ， 所以AE ⊥平面A 1BD .判定线面垂直的四种方法如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，且A1M⊥B1N.求证：B1N⊥A1C.证明：连接CM，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以AA1⊥CM.在△ABC中，AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.又AA1∩AB＝A，所以CM⊥平面ABB1A1.因为B1N⊂平面ABB1A1，所以CM⊥B1N.又A1M⊥B1N，A1M∩CM＝M，所以B1N⊥平面A1CM.因为A1C⊂平面A1CM，所以B1N⊥A1C.面面垂直的判定与性质(师生共研)(2019·高考卷节选)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE.【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.(1)证明面面垂直的方法①定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．②定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直加以解决．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．如图，在三棱锥A­BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP.证明：平面ACD⊥平面BDP.证明：因为△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，所以Rt△ABD≌Rt△CBD，可得AD＝CD.因为点P是AC的中点，所以PD⊥AC，PB⊥AC，因为PD∩PB＝P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDP.直线与平面所成的角(师生共研)(2020·某某六盘山高级中学二模)空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC ＝BC ＝2，PA ＝4，则PC 和平面PAB 所成角的正切值为．【解析】 取AB 的中点O ， 连接CO ，PO ，易知CO ⊥平面PAB ，则∠CPO 为PC 和平面PAB 所成的角．易得CO ＝2，PO ＝32，所以tan ∠CPO ＝CO PO ＝13，所以PC 和平面PAB 所成角的正切值为13.【答案】 13求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3解析：选C.连接BC 1，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以∠AC 1B ＝30°，AB ⊥BC 1，所以△ABC 1为直角三角形．又AB ＝2，所以BC 1＝2 3.又B 1C 1＝2，所以BB 1＝（23）2－22＝22，故该长方体的体积V ＝2×2×22＝8 2.2．已知边长为2的正方形ABCD 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的体积V 球＝1605π3，则OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为．解析：如图，过点O 作OM ⊥平面ABCD ，垂足为点M ，则点M 为正方形ABCD 的中点．因为正方形ABCD 的边长为2，所以AC ＝22，所以AM ＝ 2.因为V 球＝43πr 3＝1605π3，所以球O 的半径OA ＝r ＝25，OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为cos ∠OAM ＝AM OA ＝225＝1010.答案：1010核心素养系列16 逻辑推理——空间中平行与垂直的证明如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：(1)PA ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面PAD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .【证明】 (1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ， 且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，PA ⊂平面PAD ， 所以PA ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点， 所以AB ∥DE ，且AB ＝DE ， 所以四边形ABED 为平行四边形． 所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BE ∥平面PAD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形． 所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，由(1)知PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，且PA ∩AD ＝A ，PA ，AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF ，又BE ⊥CD 且EF ∩BE ＝E ， 所以CD ⊥平面BEF ，又CD ⊂平面PCD ， 所以平面BEF ⊥平面PCD .本题考查数学核心素养中的逻辑推理及直观想象、逻辑推理让学生能发现问题和提出问题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，构建知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力．(2020·某某市模拟试题(一))如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD是菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P ­NBM 的体积． 解：(1)证明：连接BD . 因为PA ＝PD ，N 为AD 的中点， 所以PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， 所以△ABD 为等边三角形， 所以BN ⊥AD .又PN ∩BN ＝N ， 所以AD ⊥平面PNB . (2)因为PA ＝PD ＝AD ＝2， 所以PN ＝NB ＝ 3.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ， 所以PN ⊥平面ABCD .所以PN ⊥NB ，所以S △PNB ＝12×3×3＝32.因为AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ，所以BC ⊥平面PNB . 又PM ＝2MC ，所以V P ­NBM ＝V M ­PNB ＝23V C ­PNB ＝23×13×32×2＝23.[基础题组练]1．设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B ．若a ⊥α，a ∥b ，则b ⊥α C ．若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α D ．若a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥α解析：选B.若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；易知B 正确；若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，故C 错误；若a ∥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，或b 与α相交，故D 错误．故选B.2．(2020·某某一模)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥nB ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n解析：选B.若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 因为m ⊥α，m ∥n ，所以n ⊥α， 又因为n ∥β，所以α⊥β，故B 正确；若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C 错误； 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面， 故D 错误．3.如图，在正四面体PABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D.因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A 正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．4．(2020·某某某某一模)在三棱锥P­ABC中，已知PA＝AB＝AC，∠BAC＝∠PAC，点D，E分别为棱BC，PC的中点，则下列结论正确的是( )A．直线DE⊥直线AD B．直线DE⊥直线PAC．直线DE⊥直线AB D．直线DE⊥直线AC解析：选D.如图，因为PA＝AB＝AC，∠BAC＝∠PAC，所以△PAC≌△BAC，所以PC＝BC，取PB的中点G，连接AG，CG，则PB⊥CG，PB⊥AG，又因为AG∩CG＝G，所以PB⊥平面CAG，则PB⊥AC，因为D，E分别为棱BC，PC的中点，所以DE∥PB，则DE⊥AC.故选D.5．(2019·高考卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．解析：其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题．命题(1)：若l⊥m，m∥α，则l⊥α，此命题不成立，可以举一个反例，例如在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设平面ABCD为平面α，A1D1和A1B1分别为l和m，满足条件，但结论不成立．命题(2)：若l⊥m，l⊥α，则m∥α，此命题正确．证明：作直线m1∥m，且与l相交，故l与m1确定一个平面β，且l⊥m1，因为l⊥α，所以平面α与平面β相交，设α∩β＝n，则l⊥n，又m1，n⊂β，所以m1∥n，又m1∥m，所以m∥n，又m在平面α外，n⊂α，故m∥α.命题(3)：若m∥α，l⊥α，则l⊥m，此命题正确．证明：过直线m作一平面，且与平面α相交，交线为a，因为m∥α，所以m∥a.因为l⊥α，a⊂α，所以l⊥a，又m∥a，所以l⊥m.答案：②③⇒①或①③⇒②(答案不唯一)6．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有；与AP垂直的直线有．解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB7.如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAC .8．(2020·某某部分学校调研)如图，已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝AA 1＝1，AC ⊥BC ，E 在AB 上，且BA ＝3BE ，G 在AA 1上，且AA 1＝3GA 1.(1)求三棱锥A 1­ABC 1的体积； (2)求证：AC 1⊥EG .解：(1)在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1， 所以B 到平面ACC 1A 1的距离为1，所以VA 1­ABC 1＝VB ­AA 1C 1＝13×(12×1×1)×1＝16.(2)证明：如图，在AC 上取点D ，使CD ＝13CA ，连接ED ，DG ，因为BE ＝13BA ，所以DE ∥BC ，又BC ⊥平面ACC 1A 1， 所以DE ⊥平面ACC 1A 1. 又AC 1⊂平面ACC 1A 1， 所以DE ⊥AC 1. 在正方形ACC 1A 1中， 由CD ＝13CA ，A 1G ＝13A 1A ，得DG ⊥AC 1. 又DE ∩DG ＝D ， 所以AC 1⊥平面DEG . 所以AC 1⊥EG .[综合题组练]1.如图，棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论不正确的是( )A ．平面D 1A 1P ⊥平面A 1APB ．∠APD 1的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C ．三棱锥B 1­D 1PC 的体积为定值 D ．DC 1⊥D 1P解析：选B.在A 中，因为A 1D 1⊥平面A 1AP ，A 1D 1⊂平面D 1A 1P ，所以平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故A 正确；在B 中，当P 与A 1重合时，∠APD 1＝π2，故B 错误；在C 中，因为△B 1D 1C 的面积是定值，A 1B ∥平面B 1D 1C ，所以点P 到平面B 1D 1C 的距离是定值，所以三棱锥B 1­D 1PC 的体积为定值，故C 正确；在D 中，因为DC 1⊥D 1C ，DC 1⊥BC ，D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ⊂平面BCD 1A 1，所以DC 1⊥平面BCD 1A 1，所以DC 1⊥D 1P ，故D 正确．2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为．解析：由题意画出图形，如图，设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高．设圆锥的母线长为l ，则由SA ⊥SB ，△SAB 的面积为8，得12l 2＝8，得l Rt △ASO 中，由题意知∠SAO ＝30°，所以SO ＝12l ＝2，AO ＝32l ＝2 3.故该圆锥的体积V ＝13π×AO 2×SO ＝13π×(23)2×2＝8π.答案：8π3.如图，四棱锥P ­ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝2，点M ，N 分别在棱PD ，PC 上，且PC ⊥平面AMN .(1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面AMN 所成角的正弦值．解：(1)证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥AD . 又因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故CD ⊥平面PAD . 又AM ⊂平面PAD ，则CD ⊥AM ，而PC ⊥平面AMN ，有PC ⊥AM ，又PC ∩CD ＝C ，则AM ⊥平面PCD ，故AM ⊥PD .(2)延长NM ，CD 交于点E ，因为PC ⊥平面AMN ，所以NE 为CE 在平面AMN 内的射影，故∠CEN 为CD (即CE )与平面AMN 所成的角， 又因为CD ⊥PD ，EN ⊥PN ，则有∠CEN ＝∠MPN ， 在Rt △PMN 中，sin ∠MPN ＝MN PM ＝33， 故CD 与平面AMN 所成角的正弦值为33. 4．(2020·某某七校联考)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝2，E 是AB 的中点，G 是PD 的中点．(1)求四棱锥P ­ABCD 的体积； (2)求证：AG ∥平面PEC ； (3)求证：平面PCD ⊥平面PEC .解：(1)易知V 四棱锥P ­ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PA ＝13×2×2×2＝83.(2)证明：如图，取PC 的中点F ，连接EF 和FG ，则易得AE ∥FG ，且AE ＝12CD ＝FG ，所以四边形AEFG 为平行四边形，所以EF ∥AG . 因为EF ⊂平面PEC ，AG ⊄平面PEC ， 所以AG ∥平面PEC .(3)证明：易知CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，因为PA ∩AD ＝A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD .又AG ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AG .易知PD ⊥AG ，因为PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AG ⊥平面PCD ， 所以EF ⊥平面PCD . 又EF ⊂平面PEC ， 所以平面PEC ⊥平面PCD .。