§2 2.2 分层抽样与系统抽样

2.2分层抽样和系统抽样班级：姓名：编号：03设计：史旭龙审核：安仓娃审批：教学目标：（1）正确理解系统抽样的概念，掌握系统抽样的一般步骤；（2）通过对解决实际问题的过程的研究学会抽取样本的系统抽样方法，体会系统抽样与简单随机抽样的关系；（3）解分层抽样的概念与特征；（4）掌握简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的区别与联系.教学重点、难点：（1）正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题.（2）正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题.一、自主学习：1、分层抽样的定义：.2、分层抽样的步骤：3、系统抽样的定义：.4、系统抽样的步骤：二、自主检测1、某公司在甲、乙、丙、丁4个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个销售点调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）.A分层抽样，系统抽样.B分层抽样，简单随机抽样.C系统抽样，分层抽样.D简单随机抽样，分层抽样2、某公司共有1000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个容量为80的样本，已知广告部被抽取了4个员工，则广告部的员工人数是( )A．30人B．40人C．50人D．60人的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发3、从编号为150射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）B()1,2,3,4CA()3,13,23,33()5,10,15,20,254、为了了解学生对学校某项教改试验的意见，打算从1000名学生中抽取一个容量为25的样本．若采用系统抽样法，则分段的间隔为；共分成段．三、合作探究1、某校高一、高二和高三年级分别有学生1000、800、700名，为了了解全校学生的视力情况，从中抽取容量为100的样本，怎样抽取较为合理？2、某校高一年级共有20个班级，每班有50名学生。

分层抽样与系统抽样1. 引言分层抽样和系统抽样是统计学中两个常用的抽样方法。

它们在样本选择过程中有着不同的原理和应用场景。

本文将介绍分层抽样和系统抽样的基本概念、原理和例子，并比较两种抽样方法的优缺点。

2. 分层抽样2.1 概念分层抽样是将总体划分为若干个互不重叠的层次，然后在每个层次上进行独立的抽样。

每个层次的抽样单位被称为一个层次。

2.2 原理分层抽样的原理是通过对总体的划分，使得每个层次上的样本能够更好地代表总体的信息。

通常，在划分层次时，可以根据某种特征或属性进行划分，确保每个层次上的样本在这一特征上有一定的相似性。

2.3 示例例如，研究一个学校的学生体质健康状况。

该学校有初中部和高中部两个层次，每个层次有若干个班级。

我们可以将总体划分为两个层次：初中部和高中部，然后在每个层次上进行抽样。

在初中部和高中部各选择几个班级，并在每个班级中随机选择一部分学生进行测试。

这样，通过分层抽样，我们可以得到代表整个学校学生体质健康状况的样本。

2.4 优缺点•优点：分层抽样可以减小样本误差，提高估计的精度。

通过划分层次，使得每个层次上的样本能够更好地代表总体的信息。

•缺点：分层抽样需要对总体进行划分并确定层次，增加了调查设计和实施的复杂性。

同时，如果划分层次不合理或者层次内的差异较大，可能导致样本不具有代表性。

3. 系统抽样3.1 概念系统抽样是在总体中按照一定规则依次选择样本，通常选择第一个样本，然后以一定的间隔选择后续样本，直到达到所需的样本量。

3.2 原理系统抽样的原理是通过等间隔地选择样本，使得样本具有代表性，并且可以减少人为主观因素对抽样结果的影响。

3.3 示例例如，研究一个城市居民的消费水平。

我们可以在城市中选择一个起始点（例如某个街道的第一个住宅），然后以固定的间隔选择后续的住宅，直到达到所需的样本量。

这样，通过系统抽样，我们可以得到代表该城市居民消费水平的样本。

3.4 优缺点•优点：系统抽样方法简单、易于实施。

系统抽样和分层抽样的区别系统抽样和分层抽样是常用的两种概率抽样方法。

在统计学中，抽样是一种从总体中选择个体的方法，以便进行数据分析和推断。

系统抽样和分层抽样都有其独特的特点和应用场景。

本文将阐述系统抽样和分层抽样的区别，并探讨其在实际应用中的优缺点。

一、系统抽样系统抽样是指按照一定的规则从总体中选择个体的抽样方法。

具体而言，系统抽样是通过在总体中选择一个起点，然后根据事先确定的间隔规则依次选取个体，直到达到所需的样本量。

系统抽样的步骤包括：确定总体大小、计算间隔、选择起始个体、按照间隔选取个体。

系统抽样的优点在于简单易行，抽样过程便于操作和管理。

此外，系统抽样可以较好地保留总体的特征，适用于总体中个体分布规律较为均衡的情况。

系统抽样使得样本具有一定的随机性，从而提高了推断的精度和可靠性。

然而，系统抽样也存在一些缺点。

首先，如果总体中某些个体的特征呈现周期性或有规律的变化，可能会引入系统偏差。

其次，如果总体中存在某些特殊或异常个体，系统抽样可能无法很好地反映总体的全貌。

因此，在进行系统抽样时，需要事先对总体进行充分的了解和分析，避免因特殊因素导致的偏差。

二、分层抽样分层抽样是将总体划分为若干个层次，并从每个层次中选取样本，形成一个复合样本的抽样方法。

分层抽样的步骤包括：确定总体大小、划分层次、确定每层样本量、选择样本。

分层抽样的优点在于能够更好地反映总体的特征，保证了样本的代表性。

通过在不同的层次中选取样本，可以考虑到总体的异质性，缩小样本与总体之间的差异。

此外，分层抽样可以提高估计的精度，并且可以针对不同层次进行分析，获取更多层次的信息。

然而，分层抽样也存在一些限制和缺点。

首先，分层抽样需要对总体进行合理的划分，这需要对总体的特征有较为准确的了解。

如果划分不当或划分粒度过细，可能会导致样本的不均衡。

其次，分层抽样需要在每个层次中选择样本，增加了抽样的工作量和时间成本。

三、系统抽样和分层抽样的区别1. 定义和步骤：系统抽样是通过事先确定的间隔规则从总体中选择个体，抽取样本。

2.2 分层抽样与系统抽样 学 习 目 标核 心 素 养，准确把握分层抽样、系统抽样的概念．(重点)2．会用分层抽样、系统抽样解决实际问题．(难点)3．了解各种抽样方法的适用X 围，能根据具体情况选择恰当的抽样方法．(难点) 、系统抽样的概念，培养数学抽象素养．2．通过运用分层抽样、系统抽样解决实际问题，提升数据分析素养.一、分层抽样1．分层抽样的概念将总体按其属性特征分成假设干类型(有时称为层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．2．对分层抽样的公平性的理解在分层抽样的过程中，每个个体被抽到的概率是相同的，与分层的情况无关．如果总体的个体数是N ，共分k 层，n 为样本容量，N i (i ＝1,2,3，…，k )是第i 层中的个体数，那么第i 层中所要抽取的个体数n i ＝n ×N i N ，而每一个个体被抽取的可能性是n i N i ＝n N，与层数无关，所以对所有个体而言，其被抽到的概率是相同的，也就是说分层抽样是公平的．二、系统抽样的概念将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法叫系统抽样，有时也叫等距抽样或机械抽样．思考：系统抽样一般适用于具有怎样特征的样本？[提示]系统抽样的实质是“分组〞抽样，适用于总体中的个体数较大的情况．1．以下问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )A ．从10名同学中抽取3人参加座谈会B ．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C ．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D ．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量B [A 中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C 和D 中总体个体无明显差异且个数较多，不适合用分层抽样；B 中总体中的个体差异明显，适合用分层抽样．]2．为了解1 200名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采用系统抽样，那么分段间隔k 为( )A ．10B ．20C ．30D ．40C [分段间隔k ＝1 20040＝30.] 3．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )A ．30人，30人，30人B ．30人，45人，15人C ．20人，30人，10人D ．30人，50人，10人B [先求抽样比n N ＝903 600＋5 400＋1 800＝1120，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取 3 600×1120＝30(人)，乙校抽取5 400×1120＝45(人)，丙校抽取1 800×1120＝15(人)，应选B.] 4．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，那么应从一年级本科生中抽取________名学生．60[根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为44＋5＋5＋6×300＝60.]分层抽样用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽到的可能性相同吗？[解]因为总体由差异明显的三部分(青、中、老年)组成，所以采用分层抽样的方法更合理． 因为青、中、老年职工的比例是3∶5∶2，所以应分别抽取：青年职工400×310＝120(人)； 中年职工400×510＝200(人)； 老年职工400×210＝80(人)． 由样本容量为400，总体容量为3 200可知，抽样比是4003 200＝18，所以每人被抽到的可能性相同，均为18.1．分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占的比例抽取．2．用分层抽样抽取样本时，需照顾到各层中的个体，所以每层抽取的比例应等于样本容量在总体中的比例．3．在分层抽样中，确定抽样比k 是抽样的关键．一般地，抽样比k ＝n N(N 为总体容量，n 为样本容量)，按抽样比k 在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平性．4．在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行．[跟进训练]1．，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，，那么应抽取的中型城市数为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分〞题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，那么这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石(1)B (2)B [(1)根据分层抽样的特点可知，抽样比例为1248＝14，那么应抽取的中型城市数为16×14＝4.(2)设1 534石米内夹谷x 石，那么由题意知x 1 534＝28254，解得x ≈．]系统抽样【例2】 某单位共有在岗职工624人，为了调查职工上班时从离开家到来到单位的平均用时，决定抽取10%的工人进行调查，如何采用系统抽样完成这一抽样？[解]第一步：由题意知，应抽取在岗职工62人作为样本，即分成62组，由于62462的商是10，余数是4，所以每组有10人，还剩4人．这时，抽样距是10；第二步：用随机数法从这些职工中抽取4人并剔除，不进行调查；第三步：将余下的在岗职工620人进行编号，编号分别为000,001,002，…，619； 第四步：在第一组000,001,002，…，009这10个编号中，随机选定一个起始编号，每间隔10抽取一个编号，共抽62个编号，这样就抽取了容量为62的一个样本．1．解决此题时，对总体、个体先进行编号，然后依据样本容量确定分段数及每段间隔长度，再利用简单随机抽样法在第1段中抽取一个作为起始，并依次加间隔长度即可获取样本．2．系统抽样又称等距抽样，当给出总体数和样本容量后，应先确定组数和组距(注意一般组数等于样本容量/组距)，在第一组抽取起始后，只需依次加间隔长度即可得到样本．[跟进训练]2．(1)某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的所有听众进行座谈，这是运用了( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．放回抽样法 (2)为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，那么分段的间隔k ＝________.(1)C (2)40[(1)此抽样方法将座位分成40组，每组46个个体，会后留下座号为20的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20＋46n ，n ＝1,2,3，…，符合系统抽样特点．(2)根据样本容量为30，将1 200名学生分为30段，每段人数即间隔k ＝1 20030＝40.]三种抽样方法的综合应用[探究问题]1．简单随机抽样是不放回抽样吗？提示：是不放回抽样．2．分层抽样时为什么要将总体分成互不重叠的层？提示：在总体中由于个体之间存在着明显的差异，为了使抽取的样本更合理、更具代表性，故将总体分成互不重叠的层，而后独立地抽取一定数量的个体．3．系统抽样的第二步中，当Nn不是整数时，从总体中剔除一些个体采用的方法是什么？影响系统抽样的公平性吗？提示：剔除一些个体可以用简单随机抽样的方法抽取，不影响系统抽样的公平性．【例3】①某学校为了了解高一学生的情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，10人的成绩在100～110分，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现在从中抽取12人了解有关情况；③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道．就这三件事，合适的抽样方法分别为________、________、________.系统抽样分层抽样简单随机抽样[系统抽样适合总体中个体数量比较大的情况．分层抽样适合总体由差异明显的几部分组成的情况．总体中个体数比较少的时候，选用简单随机抽样．]三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用X围简单随机抽样(1)抽样过程中每个个体被抽取的概率相等；(2)均属于不放从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规那么在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层 抽样 回抽样将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成[跟进训练] 3．某社区有700户家庭，其中高收入家庭有225户，中收入家庭有400户，低收入家庭有75户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某中学高二年级有12名篮球运动员，要从中选出3人调查投篮命中率情况，记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取40辆测试某项性能，记作③.为完成上述三项抽样，那么应采取的抽样方法是( )A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B ．①分层抽样，②简单随机抽样，③系统抽样C ．①简单随机抽样，②分层抽样．③系统抽样D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样B [对于①.总体由差异明显的高收入家庭、中收入家庭和低收入家庭三部分组成，而所调查的指标与收入情况密切相关，所以应采用分层抽样；对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是平等的，应采用简单随机抽样；对于③，总体中的个体数较多，且个体之间差异不明显，样本中个体数也较多，应采用系统抽样．]1．对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式解：(1)样本容量n 总体容量N ＝各层抽取的样本数该层的容量； (2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比．2．选择抽样方法的规律：(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法．(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法．(3)当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用系统抽样法．(4)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法.1．思考辨析(1)分层抽样中每层抽样的可能性是不相等的．()(2)分层抽样时，样本是在各层中分别抽取．()(3)分层抽样时，如果总体个数不能被样本容量整除，那么应先剔除部分个体．()(4)系统抽样的分段段数与所抽取的样本容量的关系是相等．()(5)系统抽样时每个个体被抽到的机会不同．()(6)系统抽样时，如果总体个数不能被样本容量整除，那么应先剔除部分个体．()[解析](1)×，每个个体被抽到的可能性相同．(2)√，由分层抽样的概念知正确．(3)√，由于考虑到实际意义，需剔除部分个体．(4)√，系统抽样时，分段的段数由所抽样本容量确定．(5)×，无论是系统抽样还是分层抽样，每个个体被抽到的机会都相等．(6)√，系统抽样时为了保证间隔k为整数，应先剔除一部分个体．[答案](1)×(2)√(3)√(4)√(5)×(6)√2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样C[由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，排除选项A；由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差异性比较大，可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异性不大，不能按照性别进行分层抽样，排除B和D.应选C.]3．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况．用分层抽样的方法从该学生中抽取一个容量为n的样本．高中学生抽取70人，那么n的值为________．100[由题意，得703 500＝n3 500＋1 500，解得n＝100.]4．从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，假设编号为28的产品在样本中，那么该样本中产品的最大编号为________．76[根据系统抽样的定义可得，样本中产品的编号间隔为16，再根据编号为28的产品在样本中，可得样本中产品的编号为12,28,44,60,76，故该样本中产品的最大编号为76.]。